Fibonacciho čísla: praktická aplikácia. Fibonacciho sekvencia ilustrovaná prírodou

Text práce je umiestnený bez obrázkov a vzorcov.
Plná verzia práca je k dispozícii na karte „Pracovné súbory“ vo formáte PDF

NAJVYŠŠÍ ÚČEL MATEMATIKY SKLADÁ NA NÁJDENIE SKRYTEJ OBJEDNÁVKY V CHAOSE, KTORÉ NÁS OKOLÍ.

Wiener N.

Človek sa celý život snaží o poznanie, snaží sa študovať svet okolo seba. A v procese pozorovania má otázky, na ktoré je potrebné odpovedať. Odpovede sa hľadajú, ale vynárajú sa nové otázky. V archeologických nálezoch, v stopách civilizácie, vzdialených jeden od druhého v čase a priestore, sa nachádza jeden a ten istý prvok - vzor vo forme špirály. Niektorí ho považujú za symbol slnka a spájajú ho s legendárnou Atlantídou, ale jeho skutočný význam nie je známy. Čo je bežné medzi tvarmi galaxie a atmosférickým cyklónom, usporiadaním listov na stonke a semien v slnečnici? Tieto vzorce sú redukované na takzvanú „zlatú“ špirálu, úžasnú Fibonacciho sekvenciu, ktorú objavil veľký taliansky matematik 13. storočia.

História Fibonacciho čísel

Prvýkrát som počul o tom, čo sú Fibonacciho čísla, od učiteľa matematiky. Ale okrem toho, ako sa pridáva postupnosť týchto čísel, nevedel som. Práve tým je táto sekvencia skutočne preslávená, ako na človeka pôsobí a chcem vám to povedať. O Leonardovi Fibonaccim je toho málo známe. Neexistuje ani presný dátum jeho narodenia. Je známe, že sa narodil v roku 1170 v rodine obchodníka v meste Pisa v Taliansku. Fibonacciho otec často navštevoval Alžírsko obchodné záležitosti a Leonardo tam študoval matematiku s arabskými učiteľmi. Následne napísal niekoľko matematických prác, z ktorých najznámejšia je „Kniha abakusu“, ktorá obsahuje takmer všetky vtedajšie aritmetické a algebraické informácie. 2

Fibonacciho čísla sú postupnosťou čísel, ktoré majú množstvo vlastností. Fibonacci túto číselnú postupnosť objavil náhodou, keď sa v roku 1202 pokúsil vyriešiť praktický problém králikov. "Niekto umiestnil pár králikov na určité miesto, oplotené zo všetkých strán múrom, aby zistil, koľko párov králikov sa narodí počas roka, ak je povaha králikov taká, že za mesiac pár králikov porodí ďalší pár a králiky sa narodia od druhého mesiaca po narodení “. Pri riešení problému vzal do úvahy, že každý pár králikov spôsobí počas života vznik ďalších dvoch párov, a potom uhynie. Takto sa objavil sled čísel: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ... V tomto poradí sa každé ďalšie číslo rovná súčtu dvoch predchádzajúcich. Hovorilo sa mu Fibonacciho sekvencia. Matematické vlastnosti sekvencie

Chcel som preskúmať túto sekvenciu a identifikoval som niektoré z jej vlastností. Tento vzorec má veľký význam. Sekvencia je stále pomalšia a bližšia sa k určitému konštantnému pomeru rovnajúcemu sa približne 1,618 a pomer akéhokoľvek čísla k ďalšiemu je približne 0,618.

Môžete si všimnúť množstvo zaujímavých vlastností Fibonacciho čísel: dve susedné čísla sú coprime; každé tretie číslo je párne; každý pätnásty končí nulou; každý štvrtý je násobkom troch. Ak vyberiete ľubovoľných 10 susedných čísel z Fibonacciho postupnosti a sčítate ich, vždy dostanete násobok 11. Ale to nie je všetko. Každý súčet sa rovná 11 -násobku siedmeho členu v poradí. A tu je ďalšia zaujímavá funkcia. Pre akékoľvek n bude súčet prvých n termínov sekvencie vždy rovný rozdielu medzi (n + 2) th a prvým pojmom sekvencie. Túto skutočnosť je možné vyjadriť vzorcom: 1 + 1 + 2 + 3 + 5 +… + an = a n + 2 - 1. Teraz máme nasledujúci trik: nájsť súčet všetkých výrazov

postupnosť medzi dvoma danými členmi, stačí nájsť rozdiel zodpovedajúcich (n + 2) -x členov. Napríklad 26 +… + a 40 = a 42 - a 27. Teraz hľadajme spojitosť Fibonacciho, Pytagorasa a „zlatého rezu“. Najslávnejším dôkazom matematického génia ľudstva je Pytagorova veta: v každom pravouhlom trojuholníku sa štvorec prepony rovná súčtu štvorcov jeho nôh: c 2 = b 2 + a 2. Z geometrického hľadiska môžeme uvažovať o všetkých stranách správny trojuholník ako na nich postavené strany troch štvorcov. Pytagorova veta to hovorí Celková plochaštvorce postavené na nohách pravouhlého trojuholníka sa rovnajú ploche štvorca postaveného na prepone. Ak sú dĺžky strán pravouhlého trojuholníka celé čísla, potom tvoria skupinu troch čísel, nazývaných Pytagorove trojice. Pomocou Fibonacciho sekvencie môžete nájsť takéto trojčatá. Vezmite akékoľvek štyri po sebe idúce čísla zo sekvencie, napríklad 2, 3, 5 a 8, a zostrojte ďalšie tri čísla takto: 1) súčin dvoch extrémnych čísel: 2 * 8 = 16; 2) zdvojnásobený súčin dvoch čísla v strede: 2 * (3 * 5) = 30; 3) súčet druhých mocnín dvoch stredných čísel: 3 2 +5 2 = 34; 34 2 = 30 2 +16 2. Táto metóda funguje pre všetky štyri po sebe idúce Fibonacciho čísla. Akékoľvek tri po sebe nasledujúce čísla zo série Fibonacci sa správajú predvídateľným spôsobom. Ak vynásobíte dva extrémne a porovnáte výsledok so štvorcom priemeru, výsledok sa bude vždy líšiť o jednu. Napríklad pre čísla 5, 8 a 13 dostaneme: 5 * 13 = 8 2 +1. Ak uvažujete o tejto vlastnosti z hľadiska geometrie, všimnete si niečo zvláštne. Rozdeľte štvorec

vo veľkosti 8x8 (celkom 64 malých štvorcov) na štyri časti, ktorých dĺžky strán sú rovnaké ako Fibonacciho čísla. Teraz z týchto častí zostrojíme obdĺžnik 5x13. Jeho rozloha je 65 malých štvorcov. Odkiaľ pochádza námestie navyše? Ide o to, že sa nevytvorí perfektný obdĺžnik, ale zostanú malé medzery, ktoré spolu dávajú tejto ďalšej jednotke plochy. Pascalov trojuholník má tiež vzťah k Fibonacciho sekvencii. Stačí napísať riadky Pascalovho trojuholníka pod seba a potom pridať prvky diagonálne. Výsledkom je Fibonacciho sekvencia.

Teraz zvážte „zlatý“ obdĺžnik s jednou stranou 1,618 krát dlhšou ako druhou. Na prvý pohľad sa nám to môže zdať ako obyčajný obdĺžnik. Urobme však jednoduchý experiment s dvoma bežnými bankovými kartami. Jeden z nich vložíme vodorovne a druhý zvisle, aby boli ich spodné strany na jednej línii. Ak nakreslíme diagonálnu čiaru do horizontálnej mapy a predĺžime ju, uvidíme, že prejde presne pravým horným rohom vertikálnej mapy - príjemným prekvapením. Možno je to nehoda, alebo možno oku lahodia najmä také obdĺžniky a iné geometrické tvary, ktoré používajú „zlatý rez“. Myslel Leonardo da Vinci pri práci na svojom majstrovskom diele na zlatý rez? Zdá sa to nepravdepodobné. Možno však tvrdiť, že spojeniu estetiky a matematiky prikladal veľký význam.

Fibonacciho čísla v prírode

Spojenie zlatého rezu a krásy nie je len vecou ľudského vnímania. Zdá sa, že samotná príroda udelila F osobitnú úlohu. Ak do „zlatého“ obdĺžnika postupne vpíšete štvorce, potom do každého štvorca nakreslíte oblúk, získate elegantnú krivku, ktorá sa nazýva logaritmická špirála. Nejde vôbec o matematickú kuriozitu. 5

Naopak, táto pozoruhodná línia sa často nachádza v fyzický svet: od ulity nautilus po ramená galaxií a v elegantnej špirále okvetných lístkov rozkvitnutej ruže. Spojenia medzi zlatým rezom a Fibonacciho číslami sú početné a neočakávané. Zvážte kvetinu, ktorá vyzerá veľmi odlišne od ruže - slnečnice so semenami. Prvá vec, ktorú vidíme, je, že semená sú usporiadané do dvoch typov špirál: v smere hodinových ručičiek a proti smeru hodinových ručičiek. Ak spočítame špirály hodinovej ručičky, dostaneme dve zdanlivo obyčajné čísla: 21 a 34. Nie je to jediný príklad, keď v štruktúre rastlín nájdete Fibonacciho čísla.

Príroda nám ponúka množstvo príkladov usporiadania homogénnych predmetov opísaných Fibonacciho číslami. V rôznych špirálovitých usporiadaniach malých častí rastlín možno zvyčajne vidieť dve rodiny špirál. V jednej z týchto rodín sa špirály stáčajú v smere hodinových ručičiek a v druhej proti smeru hodinových ručičiek. Počty špirál jedného a druhého typu sa často ukazujú ako susediace s Fibonacciho číslami. Keď vezmeme mladú borovicovú vetvičku, je ľahké vidieť, že ihly tvoria dve špirály smerujúce zdola doľava hore doprava. Na mnohých kužeľoch sú semená usporiadané do troch špirál, ktoré sa jemne vinú okolo drieku kužeľa. Nachádzajú sa tiež v piatich špirálách strmo sa vinúcich v opačnom smere. Vo veľkých kužeľoch je možné pozorovať 5 a 8 a dokonca aj 8 a 13 špirál. Na ananáse sú dobre viditeľné aj Fibonacciho špirály: spravidla ich je 8 a 13.

Čakankový výhonok urobí silný vyvrhnutie do vesmíru, zastaví sa, uvoľní list, ale je kratší ako prvý, opäť urobí vyhodenie do vesmíru, ale s menšou silou uvoľní list ešte menšej veľkosti a opäť sa vysunie. Jeho rastové impulzy sa postupne znižujú úmerne so „zlatým“ úsekom. Aby ste ocenili obrovskú úlohu Fibonacciho čísel, stačí sa pozrieť na krásu prírody okolo nás. Fibonacciho čísla je možné nájsť v množstve

konáre na stonke každej rastúcej rastliny a v počte okvetných lístkov.

Počítajme okvetné lístky niektorých kvetov - dúhovka s 3 okvetnými lístkami, prvosienky s 5 okvetnými lístkami, ambrózia s 13 okvetnými lístkami, sedmokráska s 34 okvetnými lístkami, astry s 55 okvetnými lístkami atď. Je to náhodné, alebo je to prírodný zákon? Pozrite sa na stonky a kvety rebríka. Celková Fibonacciho sekvencia teda môže ľahko interpretovať vzor prejavov „zlatých“ čísel nachádzajúcich sa v prírode. Tieto zákony fungujú bez ohľadu na naše vedomie a túžbu ich prijať alebo nie. Vzory „zlatej“ symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v genetických štruktúrach živých organizmov, v štruktúre jednotlivých orgánov človeka a tela ako celku, a prejavujú sa aj biorytmami a fungovaním mozgu a zrakovým vnímaním.

Fibonacciho čísla v architektúre

« Zlatý pomer„Prejavuje sa mnohými pozoruhodnými architektonickými kreáciami v celej histórii ľudstva. Ukazuje sa, že aj starovekí grécki a staroegyptskí matematici poznali tieto koeficienty dávno pred Fibonaccim a nazývali ich „zlatý pomer“. Gréci použili pri stavbe Parthenonu princíp „zlatého rezu“, Egypťania - Veľkú pyramídu v Gíze. Pokroky v stavebnej technológii a vývoji nových materiálov otvorili architektom 20. storočia nové príležitosti. Američan Frank Lloyd Wright bol jedným z hlavných zástancov organickej architektúry. Krátko pred smrťou navrhol Múzeum Solomona Guggenheima v New Yorku, ktoré je obrátenou špirálou a interiér múzea pripomína ulitu nautilus. Poľsko-izraelský architekt Zvi Hecker použil špirálové konštrukcie aj v projekte školy Heinza Galinského v Berlíne, postaveného v roku 1995. Hecker začal s myšlienkou slnečnice s centrálnym kruhom, odkiaľ

všetky architektonické prvky sa rozchádzajú. Budova je kombináciou

ortogonálne a koncentrické špirály, symbolizujúce interakciu obmedzeného ľudského poznania a riadeného chaosu prírody. Jeho architektúra napodobňuje rastlinu, ktorá sleduje pohyb slnka, takže triedy sú osvetlené po celý deň.

V parku Quincy, ktorý sa nachádza v Cambridge v štáte Massachusetts (USA), je „zlatá“ špirála bežná. Park navrhol v roku 1997 umelec David Phillips a nachádza sa v blízkosti Clayovho matematického ústavu. Táto inštitúcia je renomovaným centrom matematického výskumu. V Quincy Parku sa môžete prejsť medzi „zlatými“ špirálami a kovovými krivkami, reliéfmi dvoch mušlí a skalou so symbolom odmocnina... Tanier obsahuje informácie o „zlatom“ pomere. Dokonca aj parkovanie bicyklov používa F.

Fibonacciho čísla v psychológii

V psychológii sú zaznamenané zlomové body, krízy, prevraty, ktoré znamenajú transformáciu štruktúry a funkcií duše na životnej ceste človeka. Ak človek úspešne prekonal tieto krízy, stane sa schopný riešiť problémy novej triedy, o ktorých predtým ani neuvažoval.

Prítomnosť zásadných zmien dáva dôvod považovať životný čas za rozhodujúci faktor vo vývoji duchovných vlastností. Koniec koncov, príroda nám nemeria čas štedro, „bez ohľadu na to, koľko to bude, bude to tak veľa“, ale natoľko, aby sa proces vývoja zhmotnil:

v štruktúrach tela;

v pocitoch, myslení a psychomotorike - kým nezískajú harmónia potrebné na vznik a spustenie mechanizmu

tvorivosť;

v štruktúre energetického potenciálu človeka.

Vývoj tela nemožno zastaviť: dieťa sa stáva dospelým. S mechanizmom kreativity však nie je všetko také jednoduché. Jeho vývoj je možné zastaviť a zmeniť jeho smer.

Je šanca dobehnúť čas? Nepochybne. Na to však musíte na sebe urobiť veľa práce. To, čo sa vyvíja voľne, prirodzeným spôsobom, nevyžaduje špeciálne úsilie: dieťa sa vyvíja slobodne a nevníma túto obrovskú prácu, pretože proces slobodného rozvoja sa vytvára bez násilia voči sebe samému.

Ako je chápaný význam životná cesta v bežnej mysli? Laik to vidí takto: na úpätí - narodenie, na vrchole - vrchol života, a potom - všetko ide z kopca.

Mudrc povie: všetko je oveľa komplikovanejšie. Výstup rozdeľuje na etapy: detstvo, dospievanie, dospievanie ... Prečo je to tak? Len málo ľudí je schopných odpovedať, aj keď si každý je istý, že ide o uzavreté, holistické fázy života.

Aby zistil, ako sa vyvíja mechanizmus tvorivosti, V.V. Klimenko používal matematiku, a to zákony Fibonacciho čísel a podiel „zlatého rezu“ - zákony prírody a ľudského života.

Fibonacciho čísla rozdeľujú náš život na etapy podľa počtu odžitých rokov: 0 - východiskový bod - narodilo sa dieťa. Stále mu chýbajú nielen psychomotorické schopnosti, myslenie, pocity, predstavivosť, ale aj operačný energetický potenciál. Je počiatkom nového života, novej harmónie;

1 - dieťa zvládlo chôdzu a ovláda bezprostredné prostredie;

2 - rozumie reči a koná pomocou slovných pokynov;

3 - koná cez slovo, kladie otázky;

5 - „vek milosti“ - harmónia psychomotoriky, pamäte, predstavivosti a pocitov, ktoré už dieťaťu umožňujú prijať svet v celej jeho celistvosti;

8 - do popredia sa dostávajú pocity. Slúži im predstavivosť a myslenie silami jej kritickosti je zamerané na podporu vnútornej a vonkajšej harmónie života;

13 - mechanizmus talentu začína fungovať, zameraný na transformáciu materiálu získaného v procese dedičstva, rozvoj vlastného talentu;

21 - mechanizmus tvorivosti sa priblížil k stavu harmónie a pokúšajú sa vykonávať talentovanú prácu;

34 - harmónia myslenia, pocitov, predstavivosti a psychomotorických schopností: rodí sa schopnosť brilantne pracovať;

55 - v tomto veku je človek za predpokladu, že bude zachovaná harmónia duše a tela, pripravený stať sa tvorcom. Atď…

Čo sú to pätky Fibonacciho čísel? Cestou sa dajú prirovnať k priehradám. Tieto priehrady čakajú na každého z nás. V prvom rade je potrebné prekonať každého z nich a potom trpezlivo zvyšovať úroveň rozvoja, až kým sa jedného dňa nerozpadne, čím sa otvorí cesta k ďalšiemu pre voľný tok.

Teraz, keď chápeme význam týchto uzlových bodov vývoja veku, pokúsime sa rozlúštiť, ako sa to všetko deje.

B1 rok dieťa ovláda chôdzu. Predtým poznal svet predkom. Teraz učí svet rukami - výhradná výsada človeka. Zviera sa pohybuje vo vesmíre a on, ako vie, sa zmocňuje priestoru a ovláda územie, na ktorom žije.

2 roky- rozumie slovu a koná v súlade s ním. Znamená to, že:

dieťa sa naučí minimálny počet slov - významy a spôsoby konania;

sa ešte neoddelil od prostredie a zlúčili sa do integrity s prostredím,

preto koná na pokyn niekoho iného. V tomto veku je pre svojich rodičov najposlušnejší a najpríjemnejší. Z rozumného človeka sa dieťa zmení na poznajúceho.

3 roky- akcia s vlastným slovom. K oddeleniu tejto osoby od prostredia už došlo - a učí sa byť nezávisle konajúcou osobou. Preto on:

zámerne vystupuje proti životnému prostrediu a rodičom, učiteľkám materských škôl atď .;

uvedomuje si svoju suverenitu a bojuje za nezávislosť;

pokúša sa podrobiť blízkych a známych ľudí jeho vôli.

Teraz je pre dieťa slovo činom. Tu herecká osoba začína.

5 rokov- „vek milosti“. Je zosobnením harmónie. Hry, tance, šikovné pohyby - všetko je nasýtené harmóniou, ktorú sa človek snaží zvládnuť na vlastnú päsť... Harmonické psychomotorické schopnosti prispievajú k uvedeniu do nového stavu. Preto je dieťa zamerané na psychomotorickú aktivitu a snaží sa o najaktívnejšie akcie.

Materializácia produktov práce citlivosti sa vykonáva prostredníctvom:

schopnosť zobrazovať prostredie a seba ako súčasť tohto sveta (počujeme, vidíme, dotýkame sa, cítime atď. - na tento proces pracujú všetky zmysly);

schopnosť navrhnúť vonkajší svet vrátane seba

(vytvorenie druhej prirodzenosti, hypotézy - urobiť oboje zajtra, vybudovať nové auto„vyriešiť problém“, silami kritického myslenia, pocitov a predstavivosti;

schopnosť vytvárať druhú, ľuďmi vytvorenú povahu, produkty činnosti (implementácia koncipovaných, špecifických mentálnych alebo psychomotorických akcií s konkrétne predmety a procesy).

Po 5 rokoch sa mechanizmus predstavivosti prihlási a začne dominovať nad ostatnými. Dieťa robí skvelú prácu, vytvára fantastické obrázky a žije vo svete rozprávok a mýtov. Hypertrofická predstavivosť dieťaťa je u dospelých prekvapujúca, pretože predstavivosť nijako nezodpovedá realite.

8 rokov- do popredia sa dostávajú pocity a ich vlastné meranie pocitov (kognitívne, morálne, estetické), keď je dieťa neprehliadnuteľné:

hodnotí známe a neznáme;

rozlišuje morálne od nemorálnych, morálne od nemorálnych;

krásna z toho, čo ohrozuje život, harmónia z chaosu.

13 rokov- mechanizmus kreativity začína fungovať. To však neznamená, že funguje na plný výkon. Do popredia sa dostáva jeden z prvkov mechanizmu a všetky ostatné prispievajú k jeho práci. Ak sa aj v tomto vekovom období vývoja zachová harmónia, ktorá takmer neustále obnovuje svoju štruktúru, potom dospievajúci bezbolestne dosiahne ďalšiu priehradu, nepostrehnuteľne ju prekoná a bude žiť vo veku revolucionára. Vo veku revolucionára musí mládež urobiť nový krok vpred: oddeliť sa od najbližšej spoločnosti a žiť v nej harmonický život a aktivitu. Nie každý dokáže vyriešiť tento problém, ktorý vzniká pred každým z nás.

21 rokov starý. Ak revolucionár úspešne prekonal prvý harmonický vrchol života, potom je jeho talentový mechanizmus schopný vykonávať talentovaného

práca. Pocity (kognitívne, morálne alebo estetické) niekedy zatieňujú myslenie, ale vo všeobecnosti všetky prvky fungujú harmonicky: pocity sú svetu otvorené a logické myslenie je schopné pomenovať a nájsť miery vecí od tohto vrcholu.

Mechanizmus tvorivosti, ktorý sa normálne rozvíja, dosahuje stav, ktorý mu umožňuje prijímať určité ovocie. Začína to fungovať. V tomto veku sa prejavuje mechanizmus pocitov. Keďže predstavivosť a jej produkty sú hodnotené pocitmi a myslením, vzniká medzi nimi antagonizmus. Pocity víťazia. Táto schopnosť postupne získava na sile a mládež ju začína používať.

34 rokov- rozvaha a harmónia, produktívna efektivita talentu. Harmónia myslenia, pocitov a predstavivosti, psychomotorické schopnosti, ktoré sú doplnené optimálnym energetickým potenciálom, a mechanizmus ako celok - schopnosť vykonávať brilantnú prácu sa rodí.

55 rokov- človek sa môže stať tvorcom. Tretí harmonický vrchol života: myslenie tlmí silu pocitov.

Fibonacciho čísla sa týkajú štádií ľudského vývoja. To, či človek prejde touto cestou bez zastavenia, závisí od rodičov a učiteľov, vzdelávací systém a ďalej - od seba a od toho, ako človek spozná a prekoná sám seba.

Na ceste životom človek objaví 7 predmetov vzťahov:

Od narodenín do 2 rokov - objavovanie fyzického a objektívneho sveta bezprostredného prostredia.

Od 2 do 3 rokov - sebapoznanie: „Som sám sebou“.

Od 3 do 5 rokov - reč, efektívny svet slov, harmónia a systém „ja - ty“.

Od 5 do 8 rokov - objavovanie sveta myšlienok, pocitov a obrazov iných ľudí - systém „ja - my“.

Od 8 do 13 rokov - objavovanie sveta úloh a problémov, ktoré riešia géniovia a talenty ľudstva - systém „I - spiritualita“.

Od 13 do 21 rokov - objavenie schopnosti samostatne riešiť známe problémy, keď myšlienky, pocity a predstavivosť začnú aktívne pracovať, objaví sa systém „I - Noosphere“.

21 až 34 rokov - objavovanie schopnosti tvoriť Nový svet alebo jeho fragmenty - uvedomenie si konceptu „Ja som Stvoriteľ“.

Životná cesta má časopriestorovú štruktúru. Skladá sa z veku a jednotlivých fáz, určených mnohými parametrami života. Človek do určitej miery ovláda okolnosti svojho života, stáva sa tvorcom svojich dejín a tvorcom dejín spoločnosti. Skutočne kreatívny prístup k životu sa však neobjaví okamžite, a dokonca ani u každého človeka. Medzi fázami životnej cesty existujú genetické súvislosti a to určuje jej prirodzený charakter. Z toho vyplýva, že v zásade je možné predpovedať budúci vývoj na základe znalosti jeho raných fáz.

Fibonacciho čísla v astronómii

Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm 18. storočia, pomocou série Fibonacci zistil pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečná sústava... Jeden prípad však zdanlivo odporoval zákonu: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Ale po Titiovej smrti začiatok XIX v. koncentrované pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objaveniu pásu asteroidov.

Záver

V procese výskumu som zistil, že Fibonacciho čísla sú široko používané v technickej analýze cien na burze. Jeden z najjednoduchších spôsobov, ako používať Fibonacciho čísla v praxi, je určiť časové intervaly, po ktorých dôjde k udalosti, napríklad zmene ceny. Analytik spočíta určitý počet Fibonacciho dní alebo týždňov (13,21,34,55 atď.) Z predchádzajúcej podobnej udalosti a urobí predpoveď. Ale to je pre mňa stále príliš ťažké pochopiť. Napriek tomu, že Fibonacci bol najväčší matematik stredoveku, jedinou Fibonacciho pamiatkou je socha pred Šikmou vežou v Pise a dve ulice, ktoré nesú jeho meno, jedna v Pise a druhá vo Florencii. A napriek tomu v súvislosti so všetkým, čo som videl a čítal, vyvstávajú celkom prirodzené otázky. Odkiaľ pochádzajú tieto čísla? Kto je tento architekt vesmíru, ktorý sa pokúsil urobiť ho dokonalým? Čo bude ďalej? Keď nájdete odpoveď na jednu otázku, dostanete ďalšiu. Vyriešite to, získate dvoch nových. Dohodnite sa s nimi, objavia sa ďalší traja. Keď ich vyriešite tiež, budete mať päť nevyriešených. Potom osem, trinásť atď. Nezabudnite, že na dvoch rukách je päť prstov, z ktorých dva pozostávajú z dvoch falangov a osem z troch.

Literatúra:

Voloshinov A.V. „Matematika a umenie“, M., Vzdelávanie, 1992.

Vorobiev N.N. „Fibonacciho čísla“, M., Science, 1984.

Stakhov A.P. „Séria Da Vinciho kódu a Fibonacciho“, formát Peter, 2006

F. Corvalan „Zlatý rez. Matematický jazyk krásy “, M., De Agostini, 2014

Maksimenko S.D. „Citlivé obdobia života a ich kódy.“

Fibonacciho čísla. Wikipedia

Poďme zistiť, čo je spoločné medzi staroegyptskými pyramídami, obrazom Leonarda da Vinciho „Mona Lisa“, slnečnicou, slimákom, šiškou a ľudskými prstami?

Odpoveď na túto otázku sa skrýva v úžasných číslach, ktoré boli objavené taliansky stredoveký matematik Leonardo z Pisy, známejší pod menom Fibonacci (narodený približne 1170 - zomrel po roku 1228), taliansky matematik ... Cestovaním na východe som sa zoznámil s úspechmi arabskej matematiky; prispelo k ich presunu na Západ.

Po jeho objave sa tieto čísla začali nazývať menom slávneho matematika. Úžasná podstata Fibonacciho sekvencie je že každé číslo v tomto poradí je získané zo súčtu dvoch predchádzajúcich čísel.

Čísla tvoriace postupnosť:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, …

sa nazývajú „Fibonacciho čísla“ a samotná sekvencia sa nazýva Fibonacciho postupnosť.

V číslach Fibonacciho je jeden veľmi zaujímavá funkcia... Pri delení ľubovoľného čísla zo sekvencie číslom pred ním v riadku bude výsledkom vždy hodnota kolísajúca okolo iracionálnej hodnoty 1,61803398875 ... a v priebehu času buď stúpajúca, alebo nedosahujúca ju. (Poznámka: iracionálne číslo, t.j. číslo, ktorého desatinné zastúpenie je nekonečné a nie periodické)

Navyše, po 13. v poradí sa tento výsledok delenia stáva neobmedzene konštantný ... Presne toto konštantné číslo rozdelenie v stredoveku sa nazývalo Božský podiel a v dnešnej dobe sa nazýva zlatý rez, zlatá stredná cesta alebo zlatý pomer ... V algebre je toto číslo označené gréckym písmenom phi (Ф)

Zlatý pomer = 1: 1,618

233 / 144 = 1,618

377 / 233 = 1,618

610 / 377 = 1,618

987 / 610 = 1,618

1597 / 987 = 1,618

2584 / 1597 = 1,618

Ľudské telo a zlatý rez

Umelci, vedci, módni návrhári, návrhári robia svoje výpočty, kresby alebo náčrty na základe pomeru zlatého rezu. Používajú merania z ľudského tela, tiež vytvorené podľa princípu zlatého rezu. Leonardo Da Vinci a Le Corbusier, než vytvorili svoje majstrovské diela, vzali parametre ľudského tela, vytvorené podľa zákona Zlatého pomeru.

Najdôležitejšia kniha všetkých moderných architektov, referenčná kniha E. Neuferta „Building Design“ obsahuje základné výpočty parametrov ľudského tela, obsahujúce zlatý pomer.

Proporcie rôznych častí nášho tela tvoria číslo veľmi blízke zlatému rezu. Ak sa tieto proporcie zhodujú so vzorcom zlatého rezu, potom je vzhľad alebo telo osoby považované za dokonale zložené. Princíp výpočtu zlatej miery na ľudskom tele je možné znázorniť ako diagram:

M / m = 1,618

Prvý príklad zlatého rezu v štruktúre ľudského tela:
Ak vezmeme bod pupka ako stred ľudského tela a vzdialenosť medzi nohami človeka a bodom pupka ako mernú jednotku, potom je výška osoby ekvivalentná 1,618.

Okrem toho existuje niekoľko ďalších základných zlatých proporcií nášho tela:

* vzdialenosť od končekov prstov k zápästiu k lakťu je 1: 1,618;

* vzdialenosť od úrovne ramien po temeno hlavy a veľkosť hlavy je 1: 1,618;

* vzdialenosť od bodu pupka k temenu hlavy a od úrovne ramien k temenu hlavy je 1: 1,618;

* vzdialenosť bodu pupka od kolien a od kolien k chodidlám je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k špičke horného pera a od špičky horného pera k nosným dierkam je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k hornej línii obočia a od hornej línie obočia k temenu je 1: 1,618;

* vzdialenosť od špičky brady k hornej línii obočia a od hornej línie obočia k temenu je 1: 1,618:

Zlatý pomer vo funkciách ľudskej tváre ako kritérium dokonalej krásy.

V štruktúre čŕt tváre človeka je tiež mnoho príkladov, ktoré sa približujú k hodnote vzorca zlatý rez. Neponáhľajte sa však hneď za vládcom zmerať tváre všetkým ľuďom. Pretože presná zhoda so zlatým rezom podľa vedcov a ľudí z umenia, výtvarníkov a sochárov existuje iba u ľudí s dokonalou krásou. Presná prítomnosť zlatého rezu v tvári človeka je v skutočnosti ideálom krásy pre ľudské oko.

Ak napríklad spočítame šírku dvoch predných horných zubov a vydelíme túto sumu výškou zubov, potom, čo sme získali číslo Zlatý pomer, možno tvrdiť, že štruktúra týchto zubov je ideálna.

Zapnuté ľudská tvár existujú ďalšie inkarnácie pravidla zlatého rezu. Tu sú niektoré z týchto vzťahov:

* Výška tváre / šírka tváre;

* Stredový bod spojenia pier so základňou nosa / dĺžka nosa;

* Výška tváre / vzdialenosť od špičky brady k stredovému bodu spojenia pier;

* Šírka úst / šírka nosa;

* Šírka nosa / vzdialenosť medzi nosnými dierkami;

* Vzdialenosť medzi zreničkami / vzdialenosť medzi obočím.

Ľudská ruka

Stačí, aby ste si teraz dlaň priblížili a pozorne sa na ňu pozreli ukazovák, a hneď v ňom nájdete vzorec Zlatý pomer. Každý prst našej ruky pozostáva z troch falangov.

* Súčet prvých dvoch falangov prsta vo vzťahu k celej dĺžke prsta a udáva číslo zlatého rezu (okrem palec);

* Pomer medzi prostredníkom a malíčkom sa navyše rovná aj zlatému rezu;

* Osoba má 2 ruky, prsty na každej ruke pozostávajú z 3 falangov (bez palca). Každá ruka má 5 prstov, to je spolu 10, ale s výnimkou dvoch biphalangeálnych palcov je podľa princípu zlatého rezu vytvorených iba 8 prstov. Zatiaľ čo všetky tieto čísla 2, 3, 5 a 8 sú čísla Fibonacciho postupnosti:

Zlatý podiel na štruktúre ľudských pľúc

Americký fyzik B.D. West a Dr. A.L. Goldberger počas fyzických a anatomických štúdií zistil, že zlatý pomer existuje aj v štruktúre ľudských pľúc.

Zvláštnosť priedušiek, ktoré tvoria ľudské pľúca, spočíva v ich asymetrii. Priedušky sú tvorené dvoma hlavnými dýchacími cestami, z ktorých jeden (vľavo) je dlhší a druhý (vpravo) je kratší.

* Zistilo sa, že táto asymetria pokračuje vo vetvách priedušiek, vo všetkých menších dýchacích cestách. Pomer dĺžky krátkych a dlhých priedušiek navyše tvorí zlatý pomer a je rovný 1: 1,618.

Štruktúra zlatého ortogonálneho štvoruholníka a špirály

Zlatý rez je také proporcionálne rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, v ktorom celý segment odkazuje na väčšiu časť rovnakým spôsobom, ako samotná väčšia časť odkazuje na menšiu časť; alebo inými slovami, menší segment sa týka väčšieho, ako väčší všetkého.

V geometrii sa obdĺžnik s týmto pomerom strán nazýva zlatý obdĺžnik. Jeho dlhé strany sú v porovnaní s krátkymi stranami v pomere 1,168: 1.

Zlatý obdĺžnik má tiež mnoho úžasných vlastností. Zlatý obdĺžnik má mnoho neobvyklých vlastností. Odrezaním štvorca zo zlatého obdĺžnika, ktorého strana sa rovná menšej strane obdĺžnika, opäť získame menší zlatý obdĺžnik. Tento proces môže pokračovať neobmedzene dlho. Ako pokračujeme vo vykrajovaní štvorcov, vznikajú nám stále menšie zlaté obdĺžniky. Okrem toho budú umiestnené pozdĺž logaritmickej špirály, ktorá má zásadný v matematických modeloch prírodných predmetov (napríklad ulity slimákov).

Špirálový pól leží v priesečníku uhlopriečok počiatočného obdĺžnika a prvého zvislého rezu, ktorý sa má rezať. Na týchto uhlopriečkach navyše ležia uhlopriečky všetkých nasledujúcich zmenšujúcich sa zlatých obdĺžnikov. Samozrejme, existuje aj zlatý trojuholník.

Anglický dizajnér a estetik William Charlton uviedol, že ľudia nájdu špirálové tvary príjemné pre oko a používajú ich už tisícročia, pričom to vysvetľuje takto:

„Páči sa nám vzhľad špirály, pretože vizuálne ju môžeme ľahko vidieť.“

V prírode

* Pravidlo zlatého rezu, ktoré je základom štruktúry špirály, sa v prírode vyskytuje veľmi často vo výtvoroch, ktoré sú krásou neporovnateľné. Väčšina ilustračné príklady- špirálovitý tvar je možné vidieť na usporiadaní slnečnicových semien a na šiškách, ananásoch, kaktusoch, štruktúre okvetných lístkov ruže atď .;

* Botanici zistili, že v usporiadaní listov na vetve, slnečnicových semenách alebo šiškách sa jasne prejavuje séria Fibonacci, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu;

Najvyšší Pán stanovil pre každé svoje stvorenie špeciálnu mieru a proporcionalitu, čo potvrdzujú príklady nachádzajúce sa v prírode. Je možné uviesť mnoho príkladov, keď proces rastu živých organizmov prebieha v prísnom súlade s tvarom logaritmickej špirály.

Všetky pružiny v cievke majú rovnaký tvar. Matematici zistili, že aj pri zväčšovaní veľkosti prameňov zostáva tvar špirály nezmenený. V matematike neexistuje žiadna iná forma, ktorá by mala rovnaké jedinečné vlastnosti ako špirála.

Štruktúra mušlí

Vedci, ktorí študovali vnútornú a vonkajšiu štruktúru lastúr mäkkýšov mäkkýšov žijúcich na dne morí, uviedli:

"Vnútorný povrch škrupín je bezchybne hladký, zatiaľ čo vonkajší povrch je pokrytý drsnosťou a nepravidelnosťami." Mäkkýš bol v škrupine, a preto musel byť vnútorný povrch škrupiny dokonale hladký. Vonkajšie rohy-ohyby škrupiny zvyšujú jej pevnosť, tvrdosť a tým zvyšujú jej pevnosť. Dokonalosť a úžasná inteligencia štruktúry škrupiny (slimáka) je úžasná. Špirálová predstava škrupín je dokonalým geometrickým tvarom a je ohromujúca vo svojej vyleštenej kráse. “

Vo väčšine slimákov, ktoré majú škrupiny, škrupina rastie v logaritmickej špirále. Nie je však pochýb o tom, že tieto nerozumné tvory nemajú predstavu nielen o logaritmickej špirále, ale dokonca ani nemajú najjednoduchšie matematické znalosti na to, aby si vytvorili špirálovitú škrupinu.

Ale ako by potom tieto nerozumné bytosti mohli samy určovať a vyberať si perfektný tvar rast a existencia vo forme špirálovej škrupiny? Mohli by tieto živé tvory, ktoré vedci sveta nazývajú primitívne formy života, vypočítať, že by logaritmická forma škrupiny bola pre ich existenciu ideálna?

Samozrejme, že nie, pretože takýto plán nie je možné realizovať bez prítomnosti rozumu a znalostí. Ale ani primitívne mäkkýše, ani nevedomá príroda, ktorú však niektorí vedci nazývajú tvorcom života na Zemi (?!)

Pokúšať sa vysvetliť vznik takej aj tej najprimitívnejšej formy života náhodnou zhodou určitých prírodných okolností je prinajmenšom absurdné. Je zrejmé, že tento projekt je vedomou tvorbou.

Biológ Sir D'arkey Thompson nazýva tento typ rastu mušlí "Rastová forma škriatkov."

Sir Thompson uvádza nasledujúci komentár:

"Neexistuje jednoduchší systém ako rast." mušle ktoré rastú a proporcionálne sa rozširujú, pričom si zachovávajú rovnaký tvar. Škrupina, prekvapivo, rastie, ale nikdy nezmení tvar. “

Nautilus s priemerom niekoľko centimetrov je najdramatickejším príkladom rastu trpaslíka. S. Morrison opisuje tento proces rastu nautilu nasledujúcim spôsobom, ktorý je dosť ťažké naplánovať dokonca aj s ľudskou mysľou:

"Vo vnútri ulity nautilus je veľa oddelených miestností s priehradkami z perlete a samotná škrupina vo vnútri je špirála, ktorá sa od stredu rozširuje." Ako nautilus rastie, v prednej časti škrupiny rastie ďalšia miestnosť, ale už väčšia ako predchádzajúca, a priečky miestnosti, ktoré zostali, sú pokryté vrstvou perlete. Špirála sa teda proporcionálne neustále rozširuje. “

Tu je len niekoľko typov špirálových škrupín s logaritmickým rastom v súlade s ich vedeckými názvami:
Haliotis Parvus, Dolium Perdix, Murex, Fusus Antiquus, Scalari Pretiosa, Solarium Trochleare.

Všetky objavené fosílne zvyšky škrupín mali tiež vyvinutý špirálovitý tvar.

Logaritmická forma rastu sa nachádza v živočíšnej ríši nielen v mäkkýšoch. Rohy antilop, divých kôz, baranov a iných podobných zvierat sa tiež vyvíjajú vo forme špirály podľa zákonov zlatého rezu.

Zlatý rez v ľudskom uchu

Vo vnútornom uchu človeka je orgán nazývaný kochlea („slimák“), ktorý plní funkciu prenosu zvukových vibrácií. Táto kostnatá štruktúra je naplnená tekutinou a je vytvorená aj vo forme slimáka obsahujúceho stabilný logaritmický špirálový tvar = 73 ° 43 ’.

Rohy a kly zvierat, ktoré sa vyvíjajú v špirálovitom tvare

Kly slonov a vyhynuté mamuty, levy pazúry a papagáje majú logaritmické tvary a pripomínajú tvar osi, ktorá má tendenciu sa meniť na špirálu. Pavúky vždy točia svoje siete v logaritmickej špirále. Štruktúra mikroorganizmov, ako je planktón (druhy globigerinae, planorbis, vortex, terebra, turitellae a trochida), má tiež špirálovitý tvar.

Zlatý rez v štruktúre mikrosvetov

Geometrické tvary sa neobmedzujú iba na trojuholník, štvorec, päťuholník alebo šesťuholník. Ak tieto postavy navzájom spojíme rôznymi spôsobmi, získame nové trojrozmerné geometrické tvary. Príkladom sú tvary ako kocka alebo pyramída. Okrem nich však existujú aj ďalšie trojrozmerné postavy, s ktorými sme sa nemuseli stretnúť Každodenný život, a ktorých mená počujeme možno prvýkrát. Medzi tieto trojrozmerné figúrky patrí štvorsten (pravidelný štvorstranný obrazec), oktaedrón, dodekahedron, icosahedron atď. Dodekahedron pozostáva z 13 päťuholníkov, icosahedron z 20 trojuholníkov. Matematici poznamenávajú, že tieto údaje sú matematicky veľmi ľahko transformovateľné a ich transformácia prebieha podľa vzorca pre logaritmickú špirálu zlatého rezu.

V mikrokozme sú všade rozšírené trojrozmerné logaritmické formy postavené podľa zlatých rozmerov. ... Mnoho vírusov má napríklad trojrozmerný geometrický tvar icosahedronu. Asi najznámejším z týchto vírusov je vírus Adeno. Proteínový obal adenovírusu je vytvorený z 252 jednotiek proteínových buniek usporiadaných v špecifickej sekvencii. V každom rohu ikosahedronu je 12 jednotiek proteínových buniek vo forme päťuholníkového hranola a z týchto rohov sa tiahnu bodcovité štruktúry.

Po prvýkrát bol zlatý pomer v štruktúre vírusov objavený v 50. rokoch minulého storočia. vedci z London Birkbeck College A. Klug a D. Kaspar. 13 Polyo vírus bol prvý, kto sa objavil v logaritmickej forme. Zistilo sa, že forma tohto vírusu je podobná vírusu Rhino 14.

Vynára sa otázka, ako vírusy tvoria také komplexné trojrozmerné formy, ktorých štruktúra obsahuje zlatý rez, ktorý je dokonca aj pre našu ľudskú myseľ dosť ťažké postaviť? Objaviteľ týchto foriem vírusov, virológ A. Klug, uvádza nasledujúci komentár:

"Doktor Kaspar a ja sme ukázali, že pre sférický obal vírusu je najoptimálnejším tvarom symetria, napríklad tvar ikosahedronu." Toto usporiadanie minimalizuje počet spojovacích prvkov ... Väčšina geodetických polguľových kociek Buckminster Fuller je postavená na podobnom geometrickom princípe. 14 Inštalácia takýchto kociek vyžaduje mimoriadne presný a podrobný vysvetľujúci diagram. Zatiaľ čo samotné vírusy v bezvedomí konštruujú taký komplexný obal z elastických, flexibilných proteínových bunkových jednotiek. “

Leonardo Fibonacci je jedným z najväčších matematikov stredoveku. V jednom zo svojich diel „Kniha výpočtov“ Fibonacci popísal indoarabský systém počtu a výhody jeho použitia oproti rímskemu.

Definícia
Fibonacciho čísla alebo Fibonacciho postupnosť je číselná postupnosť, ktorá má množstvo vlastností. Napríklad súčet dvoch susedných čísel sekvencie udáva hodnotu nasledujúceho (napríklad 1 + 1 = 2; 2 + 3 = 5 atď.), Čo potvrdzuje existenciu takzvaných Fibonacciho pomerov , tj konštantné pomery.

Fibonacciho sekvencia začína takto: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233 ...

2.

Kompletná definícia Fibonacciho čísel

3.


Vlastnosti Fibonacciho sekvencie

4.

1. Pomer každého čísla k nasledujúcemu má stále viac tendencií 0,618, keď sa radové číslo zvyšuje. Pomer každého čísla k predchádzajúcemu má tendenciu k 1,618 (obrátene k 0,618). Číslo 0,618 sa nazýva (PI).

2. Pri delení každého čísla nasledujúcim číslom po jednom sa získa číslo 0,382; naopak - respektíve 2,618.

3. Voľbou pomerov týmto spôsobom získame hlavný súbor Fibonacciho koeficientov: ... 4,235, 2,618, 1,618, 0,618, 0,382, 0,236.

5.


Spojenie medzi Fibonacciho sekvenciou a „zlatým pomerom“

6.

Fibonacciho sekvencia asymptoticky (blíži sa stále pomalšie) má tendenciu k nejakému konštantnému pomeru. Tento pomer je však iracionálny, to znamená, že ide o číslo s nekonečným, nepredvídateľným sledom desatinných číslic v zlomkovej časti. Nedá sa to presne vyjadriť.

Ak je ktorýkoľvek člen Fibonacciho postupnosti delený tým, ktorý mu predchádza (napríklad 13: 8), výsledkom bude hodnota, ktorá kolíše okolo iracionálnej hodnoty 1,61803398875 ... a raz za čas aj áno nedosiahnuť to. Ale aj keď sa to dotkne Večnosti, nie je možné presne poznať pomer až do posledného desatinného čísla. Kvôli tvrdosti ho preložíme do tvaru 1,618. Špeciálne názvy pre tento pomer sa začali dávať ešte predtým, ako ho Luca Pacioli (matematik z polovice storočia) nazval Božskou proporciou. Medzi jeho moderné názvy patria napríklad Zlatý pomer, Zlatý priemer a pomer rotujúcich štvorcov. Keplep nazval tento vzťah jedným z „pokladov geometrie“. V algebre je jej označenie všeobecne akceptované gréckym písmenom phi

Predstavme si zlatý rez na príklade úsečky.

Uvažujme segment s koncami A a B. Nech bod C rozdelí segment AB tak, že,

AC / CB = CB / AB alebo

AB / CB = CB / AC.

Môžete si to predstaviť takto: A -– C --– B

7.

Zlatý rez je také proporcionálne rozdelenie segmentu na nerovnaké časti, v ktorom celý segment odkazuje na väčšiu časť, rovnako ako samotná väčšia časť na menšiu; alebo inými slovami, menší segment sa týka väčšieho, ako väčší všetkého.

8.

Segmenty zlatého rezu sú vyjadrené nekonečnou iracionálnou frakciou 0,618 ... ak je AB brané ako jednotka, AC = 0,382 .. Ako už vieme, čísla 0,618 a 0,382 sú koeficienty Fibonacciho postupnosti.

9.

Fibonacciho a Zlatý pomer v prírode a histórii

10.


Je dôležité poznamenať, že Fibonacci akoby pripomínal jeho postupnosť ľudstvu. Poznali ju už starovekí Gréci a Egypťania. Odvtedy sa v prírode, architektúre, výtvarnom umení, matematike, fyzike, astronómii, biológii a mnohých ďalších oblastiach našli vzorce popísané Fibonacciho koeficientmi. Je úžasné, koľko konštánt je možné vypočítať pomocou Fibonacciho postupnosti a ako sa jej členy objavujú v obrovskom počte kombinácií. Nebolo by však prehnané tvrdiť, že nejde len o hru s číslami, ale o najdôležitejšie matematické vyjadrenie prírodných javov, aké bolo kedy objavené.

11.

Nasledujúce príklady ukazujú niektoré zaujímavé aplikácie tejto matematickej postupnosti.

12.

1. Škrupina je špirálovito navinutá. Ak ho rozložíte, získate dĺžku mierne nižšiu ako je dĺžka hada. Malá desaťcentimetrová škrupina má špirálu dlhú 35 cm Tvar špirálovito vinutej škrupiny upútal pozornosť Archimedesa. Ide o to, že pomer meraní obalových kudrliniek je konštantný a rovná sa 1,618. Archimedes študoval špirálu škrupín a odvodil pre ňu špirálu. Špirála odvodená z tejto rovnice je pomenovaná po ňom. Nárast jej kroku je vždy rovnomerný. V súčasnosti je špirála Archimedes v technológiách široko používaná.

2. Rastliny a zvieratá. Dokonca aj Goethe zdôrazňoval sklon prírody k špirále. Špirálovité a špirálové usporiadanie listov na konároch stromov bolo zaznamenané už dávnejšie. Špirálu bolo možné vidieť v úprave slnečnicových semien, v šiškách, ananásoch, kaktusoch atď. Spoločná práca botanikov a matematikov vrhla svetlo na tieto úžasné prírodné úkazy. Ukázalo sa, že séria Fibonacci sa prejavuje usporiadaním listov na vetve slnečnicových semien a šišiek, a preto sa prejavuje zákon zlatého rezu. Pavúk pletie pavučinu špirálovitým spôsobom. Špirálou sa točí hurikán. Vystrašené stádo sobov sa rozptýli po špirále. Molekula DNA je skrútená v dvojitej špirále. Goethe nazval špirálu „krivkou života“.

Medzi cestnými trávami rastie nenápadná rastlina - čakanka. Pozrime sa naňho bližšie. Z hlavného stonky sa vytvoril proces. Prvý list sa nachádza priamo tam. Výstrel urobí silný vyhodenie do vesmíru, zastaví sa, uvoľní list, ale je kratší ako prvý, opäť urobí vyhodenie do vesmíru, ale s menšou silou uvoľní list ešte menšej veľkosti a opäť sa vysunie. Ak sa prvá emisia berie ako 100 jednotiek, potom druhá je 62 jednotiek, tretia je 38, štvrtá je 24 atď. Zlatému rezu podlieha aj dĺžka okvetných lístkov. V raste, dobývaní vesmíru, si rastlina zachovala určité rozmery. Impulzy jeho rastu postupne klesali úmerne so zlatým rezom.

Jašterica je viviparous. U jašterice sú na prvý pohľad zachytené proporcie príjemné pre naše oči - dĺžka jeho chvosta rovnako súvisí s dĺžkou zvyšku tela ako 62 až 38.

V rastlinnom i živočíšnom svete vytrvalo preráža formatívna tendencia prírody - symetria vzhľadom na smer rastu a pohybu. Tu sa zlatý rez objavuje v pomeroch častí kolmých na smer rastu. Príroda rozdelila na symetrické časti a zlaté proporcie. V častiach sa prejavuje opakovanie štruktúry celku.

Pierre Curie na začiatku tohto storočia sformuloval niekoľko hlbokých myšlienok symetrie. Tvrdil, že nemožno uvažovať o symetrii akéhokoľvek telesa bez toho, aby sa zvážila symetria prostredia. Vzory zlatej symetrie sa prejavujú v energetických prechodoch elementárnych častíc, v štruktúre niektorých chemických zlúčenín, v planetárnych a vesmírnych systémoch, v genetických štruktúrach živých organizmov. Tieto vzorce, ako je uvedené vyššie, sú v štruktúre jednotlivých orgánov osoby a tela ako celku a prejavujú sa aj v biorytmoch a fungovaní mozgu a vizuálneho vnímania.

3. Priestor. Z histórie astronómie je známe, že I. Titius, nemecký astronóm 18. storočia, pomocou tejto série (Fibonacci) zistil pravidelnosť a poriadok vo vzdialenostiach medzi planétami slnečnej sústavy

Jeden prípad však zdanlivo odporoval zákonu: medzi Marsom a Jupiterom nebola žiadna planéta. Sústredené pozorovanie tejto oblasti oblohy viedlo k objaveniu pásu asteroidov. Stalo sa to po smrti Titia na začiatku 19. storočia.

Séria Fibonacci je široko používaná: používa sa na reprezentáciu architektoniky živých bytostí a štruktúr vytvorených ľuďmi a štruktúry galaxií. Tieto skutočnosti sú dôkazom nezávislosti číselného radu na podmienkach jeho prejavu, čo je jedným zo znakov jeho univerzálnosti.

4. Pyramídy. Mnohí sa pokúsili odhaliť tajomstvá pyramídy v Gíze. Na rozdiel od iných egyptských pyramíd nejde o hrobku, ale skôr o nerozpustnú hádanku kombinácií čísel. Pozoruhodná vynaliezavosť, zručnosť, čas a práca architektov pyramídy, ktoré použili pri stavbe večného symbolu, naznačujú mimoriadny význam posolstva, ktoré chceli sprostredkovať budúcim generáciám. Ich éra bola preliterovaná, predhieroglyfická a symboly boli jediným prostriedkom na zaznamenávanie objavov. Kľúč k geometricko-matematickému tajomstvu pyramídy v Gíze, ktorý bol pre ľudstvo tak dlho záhadou, skutočne odovzdali Herodotovi chrámoví kňazi, ktorí ho informovali, že pyramída bola postavená tak, aby oblasť každá z jeho tvárí sa rovnala štvorcu svojej výšky.

Oblasť trojuholníka

356 x 440/2 = 78320

Štvorcová plocha

280 x 280 = 78400

Dĺžka hrany základne pyramídy v Gíze je 783,3 stôp (238,7 m), výška pyramídy je 484,4 stôp (147,6 m). Dĺžka základného rebra delená výškou vedie k pomeru Ф = 1,618. Výška 484,4 stôp zodpovedá 5813 palcom (5-8-13)-to sú čísla zo sekvencie Fibonacci. Tieto zaujímavé pozorovania naznačujú, že konštrukcia pyramídy je založená na pomere Φ = 1,618. Niektorí moderní vedci majú tendenciu interpretovať, že starovekí Egypťania ju postavili s jediným cieľom - odovzdať znalosti, ktoré chceli zachovať pre budúce generácie. Intenzívne štúdie pyramídy v Gíze ukázali, aké rozsiahle znalosti v matematike a astrológii boli v tej dobe. Vo všetkých vnútorných a vonkajších proporciách pyramídy zohráva ústrednú úlohu číslo 1,618.

Pyramídy v Mexiku. Egyptské pyramídy sú postavené nielen v súlade s dokonalými proporciami zlatého rezu, ale rovnaký jav sa vyskytuje aj v mexických pyramídach. Vzniká myšlienka, že egyptské aj mexické pyramídy postavili ľudia rovnakého pôvodu približne v rovnakom čase.

Vo vesmíre je stále veľa nevyriešených záhad, niektoré z nich už vedci dokázali identifikovať a popísať. Fibonacciho čísla a zlatý rez tvoria základ pre riešenie sveta okolo, budovanie jeho tvaru a optimálne vizuálne vnímanie človekom, pomocou ktorého cíti krásu a harmóniu.

Zlatý pomer

Princíp určenia veľkosti zlatého rezu je základom dokonalosti celého sveta a jeho častí v jeho štruktúre a funkciách, jeho prejav je možné vidieť v prírode, umení a technológiách. Doktrína zlatého rezu bola stanovená ako výsledok štúdií starovekých vedcov o povahe čísel.

Vychádza z teórie proporcií a pomerov rozdelení segmentov, ktorú vytvoril staroveký filozof a matematik Pythagoras. Dokázal, že pri rozdelení segmentu na dve časti: X (menší) a Y (väčší) bude pomer väčších k menším rovný pomeru ich súčtu (celého segmentu):

Výsledkom je rovnica: x 2 - x - 1 = 0, ktorý je riešený ako x = (1 ± √5) / 2.

Ak vezmeme do úvahy pomer 1 / x, potom sa rovná 1,618…

Dôkaz o použití zlatého rezu starovekými myslitelmi je uvedený v Euklidovej knihe „Začiatky“, napísanej v 3. storočí. P.n.l., ktorý toto pravidlo použil na zostrojenie pravidelných 5-uholníkov. Medzi Pythagorejcami je táto postava považovaná za posvätnú, pretože je symetrická aj asymetrická. Pentagram symbolizoval život a zdravie.

Fibonacciho čísla

Slávna kniha Liber abaci od matematika z Talianska Leonarda z Pisy, ktorý sa neskôr stal známym ako Fibonacci, vyšla v roku 1202. V nej vedec prvýkrát uvádza pravidelnosť čísel, v rade ktorých každé číslo predstavuje súčet 2 predchádzajúcich číslic. Poradie Fibonacciho čísel je nasledujúce:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atď.

Vedec tiež uviedol niekoľko vzorov:

• Akékoľvek číslo zo série, vydelené ďalším, sa bude rovnať hodnote, ktorá má tendenciu k 0,618. Navyše prvé Fibonacciho čísla nedávajú také číslo, ale ako sa budeme pohybovať od začiatku sekvencie, tento pomer bude stále presnejší.
• Ak vydelíme číslo zo série predchádzajúcim, výsledok sa ponáhľa na 1,618.
• Jedno číslo delené ďalším za druhým zobrazí hodnotu, ktorá má tendenciu k 0,382.

Aplikáciu spojenia a zákonov zlatého rezu, Fibonacciho číslo (0,618) nájdeme nielen v matematike, ale aj v prírode, v histórii, v architektúre a stavebníctve a v mnohých ďalších vedách.

Archimédova špirála a zlatý obdĺžnik

Špirály, ktoré sú v prírode veľmi bežné, skúmal Archimedes, ktorý dokonca odvodil jej rovnicu. Špirálovitý tvar je založený na zákonoch zlatého rezu. Keď je odkrútený, získa sa dĺžka, na ktorú je možné uplatniť proporcie a Fibonacciho čísla, krok sa zvyšuje rovnomerne.

Paralelu medzi Fibonacciho číslami a zlatým pomerom je možné vidieť vytvorením „zlatého obdĺžnika“ so stranami úmernými 1,618: 1. Je konštruovaný tak, že prechádza od veľkého obdĺžnika k malým tak, aby dĺžky strán boli rovnaké ako čísla z radu. Jeho konštrukciu je možné vykonať v opačnom poradí, počínajúc políčkom „1“. Keď sú rohy tohto obdĺžnika spojené čiarami v strede ich priesečníka, získa sa Fibonacciho špirála alebo logaritmická špirála.

História používania zlatých proporcií

Mnoho starovekých architektonických pamiatok v Egypte bolo postavených pomocou zlatých rozmerov: slávne Cheopsove pyramídy a ďalšie. Architekti Staroveké Grécko boli široko používané pri stavbe architektonických predmetov, ako sú chrámy, amfiteátre, štadióny. Také proporcie boli napríklad použité pri stavbe starovekého chrámu Parthenon (Atény) a ďalších objektov, ktoré sa stali majstrovskými dielami starovekej architektúry, ktoré demonštrujú harmóniu založenú na matematických zákonoch.

V neskorších storočiach záujem o Zlatý rez opadol a na vzorce sa zabudlo, ale opäť sa obnovilo v renesancii spolu s knihou františkánskeho mnícha L. Pacioli di Borgo „Božská proporcia“ (1509). Obsahoval ilustrácie Leonarda da Vinciho, ktorý upevnil nový názov „zlatý rez“. Vedecky dokázaných bolo aj 12 vlastností zlatého rezu a autor hovoril o tom, ako sa prejavuje v prírode, v umení a nazval ho „princíp budovania sveta a prírody“.

Vitruvian Man Leonardo

Kresba, pomocou ktorej Leonardo da Vinci v roku 1492 ilustroval knihu Vitruvius, zobrazuje ľudskú postavu v 2 polohách s roztiahnutými rukami. Postava je vpísaná do kruhu a štvorca. Táto kresba je považovaná za kanonické proporcie ľudského tela (muža), popísané Leonardom na základe jeho štúdie v pojednaniach o rímskom architektovi Vitruviovi.

Pupok je považovaný za stred tela ako rovnako vzdialený bod od konca rúk a nôh, pričom dĺžka ramien sa rovná výške osoby, maximálna šírka ramien = 1/8 výšky, vzdialenosť od temena hrudníka po vlasy = 1/7, od temena hrudníka po temeno hlavy = 1/6 atď.

Od tej doby sa kresba používa ako symbol na zobrazenie vnútornej symetrie ľudského tela.

Leonardo použil termín „zlatý pomer“ na označenie proporcionálnych vzťahov k postave osoby. Napríklad vzdialenosť od pásu k nohám súvisí s rovnakou vzdialenosťou od pupka po temeno hlavy, ako aj s výškou k prvej dĺžke (od pása nadol). Tento výpočet sa robí podobne ako pomer segmentov pri výpočte zlatého rezu a má tendenciu k 1,618.

Všetky tieto harmonické proporcie umelci často používajú na vytváranie krásnych a pôsobivých kúskov.

Štúdie zlatého rezu v 16.-19. storočí

Pomocou zlatého rezu a Fibonacciho čísel výskumná práca v otázke proporcií prebieha už viac ako jedno storočie. Paralelne s Leonardom da Vinci pracoval na vývoji teórie správnych proporcií ľudského tela aj nemecký umelec Albrecht Durer. Na tento účel dokonca vytvoril špeciálny kompas.

V 16. storočí. otázka vzťahu medzi Fibonacciho číslom a zlatým rezom bola predmetom prác astronóma I. Keplera, ktorý ako prvý uplatnil tieto pravidlá v botanike.

Na zlatý rez čakal v 19. storočí nový „objav“. s vydaním „Estetického výskumu“ nemeckého vedca profesora Zeisiga. Tieto proporcie povýšil na absolútne a oznámil, že sú univerzálne pre všetky prírodné úkazy. Vykonal štúdie s veľkým počtom ľudí, alebo skôr s ich telesnými proporciami (asi 2 000), na základe ktorých boli vyvodené závery o štatisticky potvrdených vzorcoch v pomeroch rôznych častí tela: dĺžka ramien, predlaktia, ruky, prsty a pod.

Študovali sa aj umelecké predmety (vázy, architektonické štruktúry), hudobné tóny, veľkosti pri písaní básní - Zeisig to všetko odrážal v dĺžkach segmentov a čísel, predstavil aj pojem „matematická estetika“. Po obdržaní výsledkov sa ukázalo, že je získaná Fibonacciho séria.

Fibonacciho číslo a zlatý rez v prírode

V rastlinnom a živočíšnom svete existuje tendencia vytvárať formácie vo forme symetrie, ktorá sa pozoruje v smere rastu a pohybu. Rozdelenie na symetrické časti, v ktorých sa pozorujú zlaté proporcie, je vzor vlastný mnohým rastlinám a zvieratám.

Prírodu okolo nás možno opísať pomocou Fibonacciho čísel, napríklad:

• umiestnenie listov alebo konárov akýchkoľvek rastlín, ako aj vzdialenosti, súvisia s počtom daných čísel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a ďalej;
• slnečnicové semená (šupiny na šiškách, ananásové bunky), usporiadané v dvoch radoch pozdĺž skrútených špirál v rôznych smeroch;
• pomer dĺžky chvosta a celého tela jašterice;
• tvar vajíčka, ak podmienene nakreslíte čiaru cez jeho širokú časť;
• pomer veľkosti prstov na ruke človeka.

A samozrejme, najzaujímavejšie tvary sú špirálovité ulity slimákov, vzory na pavučinách, pohyb vetra vo vnútri hurikánu, dvojitá špirála v DNA a štruktúra galaxií - všetky obsahujú postupnosť Fibonacciho čísel .

Použitie zlatého rezu v umení

Vedci, ktorí hľadajú príklady použitia zlatého rezu v umení, podrobne skúmajú rôzne architektonické objekty a obrazy. Známe sú sochárske diela, ktorých tvorcovia sa držali zlatých proporcií - sochy olympského Dia, Apolla Belvedera a

Jeden z výtvorov Leonarda da Vinciho - „Portrét Mony Lisy“ - je predmetom výskumu vedcov už mnoho rokov. Zistili, že kompozícia diela pozostáva výlučne zo „zlatých trojuholníkov“, ktoré spolu vytvárajú pravidelnú päťuholníkovú hviezdu. Všetky da Vinciho diela sú dôkazom toho, ako hlboké boli jeho znalosti v štruktúre a proporciách ľudského tela, vďaka čomu dokázal zachytiť neskutočne tajomný úsmev La Gioconda.

Zlatý pomer v architektúre

Vedci napríklad študovali architektonické majstrovské diela vytvorené podľa pravidiel „zlatého rezu“: Egyptské pyramídy, Panteón, Parthenon, Katedrála Notre Dame de Paris, Katedrála sv. Bazila atď.

Parthenon - jedna z najkrajších budov starovekého Grécka (5. storočie pred n. L.) - má 8 stĺpcov a 17 na rôznych stranách, pomer jeho výšky k dĺžke strán je 0,618. Výčnelky na jeho fasádach sú vyrobené podľa „zlatého rezu“ (foto nižšie).

Jeden z vedcov, ktorý prišiel s týmto zlepšením a úspešne ho aplikoval modulárny systém proporcie pre architektonické objekty (takzvaný „modulátor“) - bol francúzsky architekt Le Corbusier. Modulátor je založený na meracom systéme spojenom s podmieneným rozdelením na časti ľudského tela.

Ruský architekt M. Kazakov, ktorý postavil niekoľko obytných budov v Moskve, ako aj budovy Senátu v Kremli a Golitsynskej nemocnice (dnes 1. klinika pomenovaná po NI Pirogov), bol jedným z architektov, ktorí v r. dizajn a konštrukcia o zlatom pomere.

Aplikácia proporcií v dizajne

V odevnom dizajne robia všetci módni návrhári nové obrázky a modely s prihliadnutím na proporcie ľudského tela a pravidlá zlatého rezu, aj keď od prírody nie všetci ľudia majú ideálne proporcie.

Pri plánovaní dizajn krajiny a vytváranie volumetrických kompozícií parku pomocou rastlín (stromov a kríkov), fontán a malých architektonických predmetov je možné uplatniť aj zákony „božských rozmerov“. Koniec koncov, kompozícia parku by mala byť zameraná na vytvorenie dojmu v návštevníkovi, ktorý sa v ňom môže voľne pohybovať a nájsť kompozičné centrum.

Všetky prvky parku sú v takých pomeroch, že pomocou geometrickej štruktúry, vzájomného usporiadania, osvetlenia a svetla pôsobia na človeka dojmom harmónie a dokonalosti.

Aplikácia zlatého rezu v kybernetike a inžinierstve

Vzory zlatého rezu a Fibonacciho čísla sa prejavujú aj v energetických prechodoch, v procesoch prebiehajúcich s elementárnymi časticami, ktoré tvoria chemické zlúčeniny, vo vesmírnych systémoch, v genetickej štruktúre DNA.

Podobné procesy sa vyskytujú v ľudskom tele, prejavujúce sa v biorytmoch jeho života, v pôsobení orgánov, napríklad mozgu alebo zraku.

Algoritmy a vzorce zlatých rozmerov sú široko používané v modernej kybernetike a informatike. Jednou z jednoduchých úloh, ktoré musia vyriešiť začínajúci programátori, je napísať vzorec a pomocou súčtu programovacích jazykov určiť súčet Fibonacciho čísel do určitého čísla.

Moderný výskum teórie zlatého rezu

Od polovice 20. storočia záujem o problémy a vplyv vzorov zlatých proporcií na ľudský život prudko rastie a zo strany mnohých vedcov rôznych profesií: matematikov, výskumníkov etnológov, biológov, filozofov, lekárov robotníci, ekonómovia, hudobníci atď.

V USA od 70. rokov vychádza časopis The Fibonacci Quarterly, kde sú publikované práce na túto tému. V tlači existujú práce, v ktorých sú použité zovšeobecnené pravidlá zlatého rezu a Fibonacciho série rôzne priemyselné odvetvia znalosti. Napríklad na kódovanie informácií, chemický výskum, biologický atď.

To všetko potvrdzuje závery starovekých a moderných vedcov, že zlatý rez multilaterálne súvisí so základnými problémami vedy a prejavuje sa v symetrii mnohých výtvorov a javov sveta okolo nás.

Zlatý pomer a čísla Fibonacciho postupnosti. 14. júna 2011

Pred nejakým časom som sľúbil, že sa vyjadrím k Tolkačevovu tvrdeniu, že Petrohrad je postavený podľa princípu zlatého rezu a Moskva je postavená podľa princípu symetrie, a preto sú rozdiely vo vnímaní týchto dvoch miest sú tak hmatateľné, a preto sv. “, a moskovského„ bolí hlava “, keď príde do Petrohradu. Zarovnanie s mestom trvá nejaký čas (ako pri lete do štátov - zarovnanie je časom potrebné).

Faktom je, že naše oko vyzerá - cíti priestor pomocou určitých pohybov očí - sakády (v preklade - bavlna plachty). Oko „zatlieska“ a vyšle do mozgu signál, že „došlo k priľnavosti k povrchu. Všetko je v poriadku. Informácie sú také a také. “ A počas života si oko zvykne na určitý rytmus týchto sakád. A keď sa tento rytmus radikálne zmení (od panorámy mesta k lesu, od zlatého rezu k symetrii), potom je potrebná určitá práca mozgu na prekonfigurovanie.

Teraz podrobnosti:
Definícia ZS je rozdelenie segmentu na dve časti v takom pomere, v ktorom väčšia časť odkazuje na menšiu časť, ako ich súčet (celý segment) na väčší.

To znamená, že ak vezmeme celý segment c ako 1, potom segment a bude rovný 0,618, segment b - 0,382. Ak teda vezmeme štruktúru, napríklad chrám, postavený podľa princípu ZS, potom s jeho výškou, povedzme 10 metrov, bude výška bubna s kupolou 3,82 cm a výška základne štruktúra bude 6, 18 cm. (Je zrejmé, že postavy, ktoré som zobral priamo kvôli prehľadnosti)

A aký je vzťah medzi číslami ZS a Fibonacciho?

Fibonacciho poradové čísla sú:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597…

Pravidelnosť čísel je v tom, že každé nasledujúce číslo sa rovná súčtu dvoch predchádzajúcich čísel.
0 + 1 = 1;
1 + 1 = 2;
2 + 3 = 5;
3 + 5 = 8;
5 + 8 = 13;
8 + 13 = 21 atď.,

a pomer susedných čísel sa blíži k pomeru ZS.
21: 34 = 0,617 a 34: 55 = 0,618.

To znamená, že ZS je založená na číslach Fibonacciho sekvencie.
Toto video opäť jasne ukazuje toto spojenie medzi číslami ZS a Fibonacciho.

Kde inde sa stretávajú princíp ZS a Fibonacciho poradové čísla?

Listy v rastlinách sú popísané Fibonacciho sekvenciou. Slnečnicové semená, šišky, okvetné lístky kvetov, ananásové bunky sú tiež usporiadané podľa Fibonacciho postupnosti.

Vtáčie vajíčko

Dĺžka falangov prstov človeka je zhruba rovnaká ako Fibonacciho čísla. Zlatý rez je viditeľný v proporciách tváre.

Emil Rosenov skúmal ZS v hudbe barokových a klasicistických epoch na príklade diel Bacha, Mozarta, Beethovena.

Je známe, že Sergej Eisenstein umelo skonštruoval film „Bojová loď Potemkin“ podľa pravidiel agentúry AP. Pásku rozbil na päť kusov. V prvých troch sa akcia odohráva na lodi. V posledných dvoch - v Odese, kde sa rozvíja povstanie. Tento prechod do mesta prebieha presne v mieste zlatého rezu. A v každej časti je bod zlomu, ku ktorému dochádza podľa zákona zlatého rezu. V rámci, scéne, epizóde je určitý skok vo vývoji témy: zápletka, nálada. Eisenstein veril, že keďže takýto prechod je blízko bodu zlatého rezu, je vnímaný ako najlogickejší a najprirodzenejší.

Mnoho dekoratívnych prvkov, ako aj písma, sú vytvorené pomocou ZS. Napríklad písmo A. Dürera (na obrázku písmeno „A“)

Verí sa, že termín „zlatý rez“ zaviedol Leonardo Da Vinci, ktorý povedal: „Nikto, nie matematik, sa neodváži čítať moje diela“ a vo svojej slávnej kresbe „Vitruvian“ ukázal proporcie ľudského tela. Muž". "Ak previazame ľudskú postavu - najdokonalejší výtvor vesmíru - opaskom a potom zmeriame vzdialenosť od pása k nohám, potom sa táto hodnota bude vzťahovať na vzdialenosť od rovnakého pásu k temenu hlavy, ako celá výška osoby až po dĺžku od pása po nohy “.

Slávny portrét Mony Lisy alebo Mony Lisy (1503) bol vytvorený podľa princípu zlatých trojuholníkov.

V skutočnosti je hviezda samotná alebo päťuholník konštrukciou ZP.

Mnoho Fibonacciho čísel je vizuálne modelovaných (materializovaných) vo forme špirály

A v prírode špirála GS vyzerá takto:

Špirála je zároveň všade pozorovaná.(nielen v prírode):
- Semená vo väčšine rastlín sú usporiadané v špirále
- Pavúk spletie pavučinu v špirále
- Hurikán sa točí v špirále
- Vystrašené stádo sobov sa rozptýli po špirále.
- Molekula DNA je skrútená v dvojitej špirále. Molekula DNA pozostáva z dvoch vertikálne prepletených špirál dlhých 34 angstrômov a širokých 21 angstrômov. Čísla 21 a 34 na seba nadväzujú vo Fibonacciho sekvencii.
- Embryo sa vyvíja v špirálovitom tvare
- Špirálový „slimák vo vnútornom uchu“
- Voda tečie do odtoku špirálou
- Špirálová dynamika ukazuje vývoj osobnosti človeka a jeho hodnôt v špirále.
- A samozrejme, samotná Galaxia má tvar špirály

Možno teda tvrdiť, že samotná príroda je postavená na princípe Zlatého rezu, a preto je tento podiel vnímaný harmonickejšie ľudské oko... Nevyžaduje „opravu“ ani pridanie výsledného obrazu sveta.

Teraz o Zlatej sekcii v architektúre

Cheopsova pyramída predstavuje proporcie ZS. (Páči sa mi fotka - so Sfingou posypanou pieskom).

Podľa Le Corbusiera v reliéfe z chrámu faraóna Setiho I. na Abydose a v reliéfe zobrazujúcom faraóna Ramsesa proporcie postáv zodpovedajú zlatému rezu. Fasáda starovekého gréckeho chrámu Parthenon má tiež zlaté rozmery.

Katedrála "Notredame de Paris" v Paríži, Francúzsko.

Jednou z vynikajúcich budov postavených na základe AP je Smolny Cathedral v Petrohrade. K katedrále vedú po okrajoch dve cesty, a ak sa k katedrále priblížite po nich, zdá sa, že stúpa vo vzduchu.

V Moskve existujú aj budovy vyrobené s využitím ZS. Napríklad Katedrála svätého Bazila

Prevládajú však budovy využívajúce princípy symetrie.
Napríklad Kremeľ a Spasská veža.

Výška hradieb Kremľa tiež nikde neodráža napríklad princíp AP vzhľadom na výšku veží. Alebo vezmite hotel Rusko alebo hotel Cosmos.

Budovy postavené na princípe ZS zároveň predstavujú v Petrohrade väčšie percento, pričom ide o pouličné budovy. Liteiny vyhliadka.

Zlatý pomer teda používa pomer 1,68 a symetriu 50/50.
To znamená, že symetrické budovy sú postavené na princípe rovnosti strán.

Ešte jeden dôležitá charakteristika ZS je jeho dynamika a túžba rozvinúť sa kvôli sekvencii Fibonacciho čísel. Symetria naopak predstavuje stabilitu, stabilitu a nehybnosť.

Dodatočná ZS navyše zavádza do plánu Petrohradu množstvo vodných priestorov, ktoré sa rozliali po meste a diktujú podriadenie mesta svojim zákrutám. A samotná schéma Petra pripomína špirálu alebo embryo súčasne.

Otec však vyjadril inú verziu toho, prečo Moskovčanov a Petrohradčanov „bolí hlava“ pri návšteve hlavných miest. Pápež to nazýva energiou miest:
Petrohrad - má mužské pohlavie, a teda aj mužské energie,
Moskva - podľa toho - je ženská a vlastní ženské energie.

Obyvatelia hlavných miest, ktorí si v tele naladili istú rovnováhu medzi mužmi a ženami, sa teda pri návšteve susedného mesta ťažko obnovujú a niekto môže mať určité problémy s vnímaním jednej alebo druhých energií, a preto susedné mesto nemusí byť vôbec zamilované!

Na podporu tejto verzie tiež hovorí, že všetko Ruské cisárovné vládol v Petrohrade, zatiaľ čo Moskva videla iba cárov mužov!

Použité zdroje.