Konštantná pi. Čo je pi a aká je jeho história?

Pomer obvodu kruhu k jeho priemeru je rovnaký pre všetky kruhy. Tento vzťah sa zvyčajne označuje Grécke písmeno(„pi“ je začiatočné písmeno gréckeho slova , čo znamenalo „kruh“).

Archimedes vo svojej práci „Measurement of a Circle“ vypočítal pomer obvodu k priemeru (číslu) a zistil, že je medzi 3 10/71 a 3 1/7.

Dlho sa ako približná hodnota používalo číslo 22/7, hoci už v 5. storočí v Číne sa zistilo priblíženie 355/113 = 3,1415929..., ktoré bolo v Európe znovu objavené až v 16. storočí.

V starovekej Indii sa považovalo za rovné = 3,1622….

Francúzsky matematik F. Viète vypočítal v roku 1579 s 9 číslicami.

Holandský matematik Ludolf Van Zeijlen v roku 1596 zverejnil výsledok svojej desaťročnej práce – číslo vypočítané s 32 číslicami.

Všetky tieto objasnenia významu čísla sa však uskutočnili pomocou metód, ktoré naznačil Archimedes: kruh bol nahradený mnohouholníkom s rastúcim počtom strán. Obvod vpísaného mnohouholníka bol menší ako obvod kruhu a obvod opísaného mnohouholníka bol väčší. Zároveň však nebolo jasné, či je číslo racionálne, teda pomer dvoch celých čísel, alebo iracionálne.

Až v roku 1767 nemecký matematik I.G. Lambert dokázal, že číslo je iracionálne.

A o viac ako sto rokov neskôr, v roku 1882, dokázal ďalší nemecký matematik F. Lindemann jej transcendenciu, ktorá znamenala nemožnosť zostrojiť pomocou kružidla a pravítka štvorec veľkosti danej kružnice.

Na hrubú lepenku nakreslite kruh s priemerom d(=15 cm), vystrihnite výsledný kruh a omotajte okolo neho tenkú niť. Meranie dĺžky l(= 46,5 cm) jedno plné otočenie nite, rozdeľte l na dĺžku priemeru d kruhy. Výsledný kvocient bude približnou hodnotou čísla, t.j. = l/ d= 46,5 cm / 15 cm = 3,1. Táto pomerne hrubá metóda poskytuje za normálnych podmienok približnú hodnotu čísla s presnosťou na 1.

Nakreslite štvorec na list kartónu. Napíšeme do nej kruh. Vystrihneme štvorec. Určme hmotnosť kartónového štvorca pomocou školských váh. Zo štvorca si vystrihneme kruh. Vážme si ho tiež. Poznanie masy námestia m štvorcových (=10 g) a kruh v ňom vpísaný m kr (=7,8 g) použime vzorce

kde p a h- hustota a hrúbka lepenky, resp. S- oblasť postavy. Uvažujme o rovnosti:

Prirodzene, v tomto prípade približná hodnota závisí od presnosti váženia. Ak sú vážené kartónové figúrky pomerne veľké, potom aj na bežných váhach je možné získať také hodnoty hmotnosti, ktoré zabezpečia aproximáciu čísla s presnosťou 0,1.

Sčítanie plôch obdĺžnikov vpísaných do polkruhu

Obrázok 1

Nech A (a; 0), B (b; 0). Popíšme polkruh na AB ako priemer. Rozdeľte úsečku AB na n rovnakých častí bodmi x 1, x 2, ..., x n-1 a obnovte z nich kolmice na priesečník s polkruhom. Dĺžka každej takejto kolmice je hodnota funkcie f(x)=. Z obrázku 1 je zrejmé, že plochu S polkruhu možno vypočítať pomocou vzorca

V našom prípade b = 1, a = -1. Potom = 2 S.

Čím viac deliacich bodov je na segmente AB, tým presnejšie budú hodnoty. Na uľahčenie monotónnej výpočtovej práce pomôže počítač, pre ktorý je nižšie uvedený program 1 zostavený v BASICu.

Program 1

REM "Výpočet Pi"
REM "Metóda obdĺžnika"
INPUT "Zadajte počet obdĺžnikov", č
dx = 1/n
PRE i = 0 AŽ n - 1
f = SQR(1 – x^2)
x = x + dx
a = a + f
ĎALEJ i
p = 4 * dx * a
TLAČ "Hodnota pi je ", str
KONIEC

Program bol napísaný a spustený s rôznymi hodnotami parametrov n. Výsledné číselné hodnoty sú zapísané v tabuľke:

Toto je vlastne štatistická testovacia metóda. Svoj exotický názov dostal podľa mesta Monte Carlo v Monackom kniežatstve, ktoré je známe svojimi herňami. Faktom je, že metóda vyžaduje použitie náhodných čísel a jedným z najjednoduchších zariadení, ktoré generujú náhodné čísla, je ruleta. Náhodné čísla však môžete získať pomocou...dažďa.

Na pokus si pripravíme kúsok kartónu, nakreslíme naň štvorec a do štvorca vpíšeme štvrtinu kruhu. Ak sa takýto výkres nejaký čas uchováva v daždi, na jeho povrchu zostanú stopy kvapiek. Spočítajme počet stôp vo vnútri štvorca a vo vnútri štvrťkruhu. Je zrejmé, že ich pomer bude približne rovnaký ako pomer plôch týchto obrázkov, pretože kvapky budú padať na rôzne miesta na výkrese s rovnakou pravdepodobnosťou. Nechaj N cr- počet kvapiek v kruhu, N štvorcových je potom počet kvapiek na druhú

Obrázok 2

Dážď je možné nahradiť tabuľkou náhodných čísel, ktorá je zostavená pomocou počítača pomocou špeciálneho programu. Každej stope kvapky priraďme dve náhodné čísla, charakterizujúce jej polohu pozdĺž osí Oh A OU. Náhodné čísla je možné vybrať z tabuľky v ľubovoľnom poradí, napríklad v rade. Nech je prvé štvormiestne číslo v tabuľke 3265 . Z neho môžete pripraviť dvojicu čísel, z ktorých každé je väčšie ako nula a menšie ako jedna: x = 0,32, y = 0,65. Tieto čísla budeme považovať za súradnice poklesu, t. j. kvapka akoby zasiahla bod (0,32; 0,65). To isté urobíme so všetkými vybranými náhodnými číslami. Ak sa ukáže, že k veci (x; y) Ak nerovnosť platí, potom leží mimo kruhu. Ak x + y = 1, potom bod leží vo vnútri kruhu.

Na výpočet hodnoty opäť použijeme vzorec (1). Chyba výpočtu pri použití tejto metódy je zvyčajne úmerná , kde D je konštanta a N je počet testov. V našom prípade N = N štvorcových. Z tohto vzorca je jasné: na zníženie chyby 10-krát (inými slovami, na získanie ďalšieho správneho desatinného miesta v odpovedi), je potrebné zvýšiť N, teda množstvo práce, 100-krát. Je jasné, že použitie metódy Monte Carlo bolo možné len vďaka počítačom. Program 2 implementuje opísaný spôsob na počítači.

Program 2

REM "Výpočet Pi"
REM "Metóda Monte Carlo"
INPUT "Zadajte počet kvapiek", č
m = 0
PRE i = 1 AŽ n
t = INT(RND(1) * 10 000)
x = INT(t\100)
y = t - x * 100
IF x^2 + y^2< 10000 THEN m = m + 1
ĎALEJ i
p=4*m/n

KONIEC

Program bol napísaný a spustený s rôznymi hodnotami parametra n. Výsledné číselné hodnoty sú zapísané v tabuľke:

Vezmime si obyčajnú ihlu na šitie a list papiera. Na plech nakreslíme niekoľko rovnobežných čiar tak, aby vzdialenosti medzi nimi boli rovnaké a presahovali dĺžku ihly. Kresba musí byť dostatočne veľká, aby náhodne hodená ihla nespadla za jej hranice. Predstavme si nasledujúci zápis: A- vzdialenosť medzi čiarami, l- dĺžka ihly.

Obrázok 3

Poloha ihly náhodne hodenej na výkres (pozri obr. 3) je určená vzdialenosťou X od jej stredu k najbližšej priamke a uhlom j, ktorý zviera ihla s kolmicou spustenou zo stredu ihly k najbližšia priamka (pozri obr. 4). To je jasné

Obrázok 4

Na obr. 5 si graficky znázornime funkciu y=0,5 cos. Všetky možné polohy ihiel sú charakterizované bodmi so súradnicami (; y), ktorý sa nachádza v sekcii ABCD. Tieňovaná oblasť AED sú body, ktoré zodpovedajú prípadu, keď ihla pretína priamku. Pravdepodobnosť udalosti a– „ihla prekročila priamku“ – vypočíta sa pomocou vzorca:

Obrázok 5

Pravdepodobnosť p(a) dá sa približne určiť opakovaným hádzaním ihly. Nechajte ihlu hodiť na výkres c raz a p keďže spadol pri prechode jednej z priamych čiar, tak s dostatočne veľkým c máme p(a) = p/c. Odtiaľ = 2 l s / a k.

Komentujte. Predložená metóda je variáciou štatistickej testovacej metódy. Je to zaujímavé z didaktického hľadiska, pretože pomáha spojiť jednoduchú skúsenosť s tvorbou pomerne zložitého matematického modelu.

Výpočet pomocou Taylorovho radu

Prejdime k úvahe o ľubovoľnej funkcii f(x). Predpokladajme, že pre ňu x 0 existujú deriváty všetkých rádov až n vrátane. Potom pre funkciu f(x) môžeme napísať Taylorovu sériu:

Výpočty pomocou tejto série budú presnejšie, čím viac členov série bude zapojených. Najlepšie je, samozrejme, implementovať túto metódu na počítači, na ktorý môžete použiť program 3.

Program 3

REM "Výpočet Pi"
REM "Rozšírenie série Taylor"
VSTUP n
a = 1
PRE i = 1 AŽ n
d = 1 / (i + 2)
f = (-1)^i * d
a = a + f
ĎALEJ i
p = 4* a
PRINT "hodnota pi sa rovná"; p
KONIEC

Program bol napísaný a spustený s rôznymi hodnotami parametra n. Výsledné číselné hodnoty sú zapísané v tabuľke:

() a stal sa všeobecne akceptovaným po práci Eulera. Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιφέρεια - kruh, obvod a περίμετρος - obvod.

hodnotenia

• 510 desatinných miest: π ≈ 3,141 592 653 589 793 238 462 643 383 279 502 884 197 169 399 375 105 820 9479 84 81 8 998 628 034 825 342 117 067 982 148 086 513 282 306 647 093 844 609 550 582 231 725 359 408 128 481 117 450 284 102 701 938 521 105 559 644 622 948 954 930 346 497 346 48953 31 28 475 648 233 786 783 165 271 201 909 145 648 566 923 460 348 610 454 326 648 213 393 607 260 249 141 273 724 587 006 606 315 588 174 881 520 920 962 829 254 0591 716 799 03 03 381 03 30 5 48 820 466 521 384 146 951 941 511 609 433 057 270 365 759 591 953 092 186 117 381 932 611 793 105 118 548 074 462 379 962 749 567 351 885 752 724 891 227 938 183 931 2…

Vlastnosti

Pomery

Existuje veľa známych vzorcov s číslom π:

• Wallisov vzorec:

• Eulerova identita:

• T.n. "Poissonov integrál" alebo "Gaussov integrál"

Transcendencia a iracionalita

Nevyriešené problémy

• Nie je známe, či čísla π a e algebraicky nezávislé.
• Nie je známe, či čísla π + e , π − e , π e , π / e , π e , π π , e e transcendentálny.
• Doteraz nie je nič známe o normalite čísla π; nie je ani známe, ktoré z číslic 0-9 sa v desiatkovej reprezentácii čísla π vyskytujú nekonečne veľakrát.

História výpočtov

a Chudnovského

Mnemotechnické pravidlá

Aby sme nerobili chyby, musíme správne čítať: Tri, štrnásť, pätnásť, deväťdesiatdva a šesť. Musíte len vyskúšať a zapamätať si všetko tak, ako to je: Tri, štrnásť, pätnásť, deväťdesiatdva a šesť. Tri, štrnásť, pätnásť, deväť, dva, šesť, päť, tri, päť. Takže to robiť vedu, To by mal vedieť každý. Môžete to skúsiť a opakovať častejšie: "Tri, štrnásť, pätnásť, deväť, dvadsaťšesť a päť."

2. Spočítajte počet písmen v každom slove v nižšie uvedených frázach ( s výnimkou interpunkčných znamienok) a zapíšte si tieto čísla do radu - samozrejme nezabudnite na desatinnú čiarku za prvou číslicou „3“. Výsledkom bude približný počet Pi.

Toto viem a pamätám si dokonale: Ale mnohé znamenia sú pre mňa zbytočné, márne.

Kto si zo žartu a čoskoro praje, aby Pi poznala číslo – už vie!

Misha a Anyuta teda pribehli a chceli zistiť číslo.

(Druhá mnemotechnická pomôcka je správna (so zaokrúhlením poslednej číslice) iba pri použití pravopisu pred reformou: pri počítaní počtu písmen v slovách je potrebné vziať do úvahy tvrdé znaky!)

Ďalšia verzia tohto mnemotechnického zápisu:

Toto viem a dokonale si pamätám:
A mnohé znaky sú pre mňa zbytočné, márne.
Dôverujme našim obrovským znalostiam
Tí, ktorí počítali počty armády.

Ak budete postupovať podľa poetického metra, rýchlo si zapamätáte:

Tri, štrnásť, pätnásť, deväť dva, šesť päť, tri päť
Osem deväť, sedem a deväť, tri dva, tri osem, štyridsaťšesť
Dva šesť štyri, tri tri osem, tri dva sedem deväť, päť nula dva
Osem osem a štyri, devätnásť, sedem, jedna

Zábavné fakty

Poznámky

Pozrite sa, čo je „Pi“ v iných slovníkoch:

číslo- Zdroj príjmu: GOST 111 90: Tabuľové sklo. technické údaje pôvodný dokument Pozri tiež súvisiace pojmy: 109. Počet oscilácií betatrónu ... Slovník-príručka termínov normatívnej a technickej dokumentácie

Podstatné meno, s., použité. veľmi často Morfológia: (nie) čo? čísla, čo? číslo, (pozri) čo? číslo, čo? číslo, o čom? o čísle; pl. Čo? čísla, (nie) čo? čísla, prečo? čísla, (pozri) čo? čísla, čo? čísla, o čom? o matematike čísel 1. Podľa čísla... ... Slovník Dmitrieva

ČÍSLO, čísla, množné číslo. čísla, čísla, čísla, porov. 1. Pojem, ktorý slúži ako vyjadrenie kvantity, niečoho, pomocou čoho sa počítajú predmety a javy (mat.). Celé číslo. Zlomkové číslo. Menované číslo. Prvočíslo. (pozri jednoduchú hodnotu 1 v 1).… … Ušakovov vysvetľujúci slovník

Abstraktné označenie bez osobitného obsahu pre ktoréhokoľvek člena určitého radu, v ktorom tomuto členovi predchádza alebo za ním nasleduje nejaký iný špecifický člen; abstraktný individuálny znak, ktorý odlišuje jeden súbor od... ... Filozofická encyklopédia

číslo- Číslo je gramatická kategória, ktorá vyjadruje kvantitatívne charakteristiky predmetov myslenia. Gramatické číslo je jedným z prejavov všeobecnejšej lingvistickej kategórie kvantity (pozri Jazyková kategória) spolu so lexikálnym prejavom („lexikálny... ... Lingvistický encyklopedický slovník

Číslo približne rovné 2,718, ktoré sa často vyskytuje v matematike a vede. Napríklad pri kolapse rádioaktívna látka po čase t zostane časť počiatočného množstva látky rovná ekt, kde k je číslo,... ... Collierova encyklopédia

A; pl. čísla, sat, buchnúť; St 1. Účtovná jednotka vyjadrujúca konkrétne množstvo. Zlomkové, celé číslo, prvočíslo, párne, nepárne hodiny. Počítajte okrúhle čísla(približne, počítanie v celých jednotkách alebo desiatkach). Prirodzená h. (kladné celé číslo... encyklopedický slovník

St. množstvo, podľa počtu, na otázku: koľko? a samotný znak vyjadrujúci množstvo, číslo. Bez čísla; neexistuje číslo, bez počítania, veľa, veľa. Nastavte príbory podľa počtu hostí. Rímske, arabské alebo cirkevné čísla. Celé číslo, opak. zlomok...... Dahlov vysvetľujúci slovník

História Pi začína s Staroveký Egypt a ide paralelne s rozvojom celej matematiky. Toto je prvýkrát, čo sa s touto veličinou stretávame medzi stenami školy.

Číslo Pi je možno najzáhadnejšie z nekonečného množstva iných. Venujú sa mu básne, zobrazujú ho umelci, dokonca bol o ňom natočený aj film. V našom článku sa pozrieme na históriu vývoja a výpočtu, ako aj na oblasti použitia konštanty Pi v našom živote.

Pi je matematická konštanta rovnajúca sa pomeru obvodu kruhu k dĺžke jeho priemeru. Pôvodne sa nazývalo Ludolphovo číslo a britský matematik Jones v roku 1706 navrhol jeho označenie písmenom Pi. Po práci Leonharda Eulera v roku 1737 sa toto označenie stalo všeobecne akceptovaným.

Pi je iracionálne číslo, čo znamená, že jeho hodnotu nemožno presne vyjadriť ako zlomok m/n, kde m a n sú celé čísla. Prvýkrát to dokázal Johann Lambert v roku 1761.

História vývoja čísla Pi siaha asi 4000 rokov dozadu. Dokonca aj starí egyptskí a babylonskí matematici vedeli, že pomer obvodu k priemeru je rovnaký pre akýkoľvek kruh a jeho hodnota je o niečo väčšia ako tri.

Archimedes navrhol matematickú metódu výpočtu Pi, v ktorej vpísal pravidelné mnohouholníky do kruhu a opísal ho okolo neho. Podľa jeho výpočtov bolo Pi približne rovné 22/7 ≈ 3,142857142857143.

V 2. storočí Zhang Heng navrhol dve hodnoty pre Pi: ​​≈ 3,1724 a ≈ 3,1622.

Indickí matematici Aryabhata a Bhaskara našli približnú hodnotu 3,1416.

Najpresnejšou aproximáciou Pi za 900 rokov bol výpočet čínskeho matematika Zu Chongzhi v 480. rokoch. Odvodil, že Pi ≈ 355/113 a ukázal, že 3,1415926< Пи < 3,1415927.

Pred 2. tisícročím nebolo vypočítaných viac ako 10 číslic pí. Až s rozvojom matematickej analýzy, a najmä s objavom sérií, sa dosiahli ďalšie veľké pokroky vo výpočte konštanty.

V roku 1400 bol Madhava schopný vypočítať Pi=3,14159265359. Jeho rekord prekonal v roku 1424 perzský matematik Al-Kashi. Vo svojej práci „Pojednanie o kruhu“ citoval 17 číslic Pi, z ktorých sa 16 ukázalo ako správnych.

Holandský matematik Ludolf van Zeijlen dosiahol vo svojich výpočtoch 20 čísel, ktorým venoval 10 rokov svojho života. Po jeho smrti bolo v jeho poznámkach objavených ďalších 15 číslic Pi. Odkázal, aby tieto čísla boli vytesané na jeho náhrobnom kameni.

S príchodom počítačov má číslo Pi dnes niekoľko biliónov číslic a toto nie je limit. Ako však uvádza Fractals for the Classroom, hoci je Pi dôležité, „je ťažké nájsť oblasti vo vedeckých výpočtoch, ktoré vyžadujú viac ako dvadsať desatinných miest“.

V našom živote sa číslo Pi používa v mnohých vedeckých oblastiach. Fyzika, elektronika, teória pravdepodobnosti, chémia, stavebníctvo, navigácia, farmakológia – to je len niekoľko z nich, ktoré si bez tohto záhadného čísla jednoducho nemožno predstaviť.

Chcete sami vedieť a dokázať viac?

Ponúkame Vám školenia v oblastiach: počítače, programy, administrácia, servery, siete, tvorba web stránok, SEO a ďalšie. Zistite podrobnosti už teraz!

Na základe materiálov zo stránky Calculator888.ru - Číslo pí - význam, história, kto ho vynašiel.

Úvod

Článok obsahuje matematické vzorce, takže ak si chcete prečítať, prejdite na stránku, aby ste ich správne zobrazili.Číslo \(\pi\) má bohatú históriu. Táto konštanta označuje pomer obvodu kruhu k jeho priemeru.

Vo vede sa číslo \(\pi \) používa pri akýchkoľvek výpočtoch zahŕňajúcich kruhy. Počnúc objemom plechovky sódy až po obežné dráhy satelitov. A nielen kruhy. V skutočnosti pri štúdiu zakrivených čiar číslo \(\pi \) pomáha pochopiť periodické a oscilačné systémy. Napríklad, elektromagnetické vlny a dokonca aj hudba.

V roku 1706, v knihe A New Introduction to Mathematics od britského vedca Williama Jonesa (1675-1749), bolo písmeno gréckej abecedy \(\pi\) prvýkrát použité na vyjadrenie čísla 3,141592.... Toto označenie pochádza zo začiatočného písmena gréckych slov περιϕερεια - kruh, obvod a περιµετρoς - obvod. Toto označenie sa stalo všeobecne akceptovaným po práci Leonharda Eulera v roku 1737.

Geometrické obdobie

Nemennosť pomeru dĺžky akéhokoľvek kruhu k jeho priemeru bola zaznamenaná už dlho. Obyvatelia Mezopotámie používali pomerne približnú aproximáciu čísla \(\pi\). Ako vyplýva zo starovekých problémov, vo svojich výpočtoch používajú hodnotu \(\pi ≈ 3\).

Presnejšiu hodnotu pre \(\pi\) používali starí Egypťania. V Londýne a New Yorku sa uchovávajú dva kusy staroegyptského papyrusu, ktorý sa nazýva „Rinda papyrus“. Papyrus zostavil pisár Armes niekedy v rokoch 2000-1700. BC Armes napísal vo svojom papyruse, že plocha kruhu s polomerom \(r\) sa rovná ploche štvorca so stranou rovnou \(\frac(8)(9) \) priemer kruhu \(\frac(8 )(9) \cdot 2r \), teda \(\frac(256)(81) \cdot r^2 = \pi r^2 \). Preto \(\pi = 3,16\).

Staroveký grécky matematik Archimedes (287-212 pred n. l.) ako prvý postavil problém merania kruhu na vedecký základ. Získal skóre \(3\frac(10)(71)< \pi < 3\frac{1}{7}\), рассмотрев отношение периметров вписанного и описанного 96-угольника к диаметру окружности. Архимед выразил приближение числа \(\pi \) в виде дроби \(\frac{22}{7}\), которое до сих называется архимедовым числом.

Metóda je pomerne jednoduchá, ale pri absencii hotových tabuliek goniometrické funkcie Bude potrebná extrakcia koreňov. Navyše, aproximácia konverguje k \(\pi \) veľmi pomaly: s každou iteráciou sa chyba zníži iba štvornásobne.

Analytické obdobie

Napriek tomu sa až do polovice 17. storočia všetky pokusy európskych vedcov o výpočet čísla \(\pi\) scvrkli na zväčšenie strán mnohouholníka. Napríklad holandský matematik Ludolf van Zeijlen (1540-1610) vypočítal približnú hodnotu čísla \(\pi\) s presnosťou na 20 desatinných miest.

Výpočet mu trval 10 rokov. Zdvojnásobením počtu strán vpísaných a opísaných mnohouholníkov pomocou Archimedovej metódy dospel k \(60 \cdot 2^(29) \) - trojuholníku na výpočet \(\pi \) s 20 desatinnými miestami.

Po jeho smrti bolo v jeho rukopisoch objavených 15 presnejších číslic čísla \(\pi\). Ludolf odkázal, aby znaky, ktoré našiel, boli vytesané na jeho náhrobnom kameni. Na jeho počesť sa číslo \(\pi\) niekedy nazývalo „Ludolfovo číslo“ alebo „Ludolfova konštanta“.

Jedným z prvých, ktorí zaviedli metódu odlišnú od metódy Archimedes, bol François Viète (1540-1603). Dospel k výsledku, že kruh, ktorého priemer sa rovná jednej, má obsah:

\[\frac(1)(2 \sqrt(\frac(1)(2)) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1) )(2) \cdot \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt(\frac(1)(2) + \frac(1)(2) \sqrt ( \frac(1)(2) \cdots )))) \]

Na druhej strane je oblasť \(\frac(\pi)(4)\). Nahradením a zjednodušením výrazu môžeme získať nasledujúci nekonečný vzorec súčinu na výpočet približnej hodnoty \(\frac(\pi)(2)\):

\[\frac(\pi)(2) = \frac(2)(\sqrt(2)) \cdot \frac(2)(\sqrt(2 + \sqrt(2))) \cdot \frac(2 )(\sqrt(2+ \sqrt(2 + \sqrt(2)))) \cdots \]

Výsledný vzorec je prvým presným analytickým výrazom pre číslo \(\pi\). Okrem tohto vzorca dal Viet pomocou metódy Archimeda pomocou vpísaných a opísaných mnohouholníkov, počínajúc 6-uholníkom a končiac mnohouholníkom so stranami \(2^(16) \cdot 6 \) aproximáciu čísla \(\pi \) s 9 so správnymi znamienkami.

Anglický matematik William Brounker (1620-1684) pomocou nepretržitého zlomku získal na výpočet \(\frac(\pi)(4)\ nasledujúce výsledky:

\[\frac(4)(\pi) = 1 + \frac(1^2)(2 + \frac(3^2)(2 + \frac(5^2)(2 + \frac(7^2) ) )(2 + \frac(9^2)(2 + \frac(11^2)(2 + \cdots )))))) \]

Táto metóda výpočet aproximácie čísla \(\frac(4)(\pi)\) vyžaduje pomerne veľa výpočtov na získanie čo i len malej aproximácie.

Hodnoty získané v dôsledku substitúcie sú buď väčšie alebo menšie ako číslo \(\pi\), a zakaždým sú bližšie k skutočnej hodnote, ale na získanie hodnoty 3,141592 bude potrebné vykonať pomerne veľké výpočty.

Ďalší anglický matematik John Machin (1686-1751) v roku 1706 na výpočet čísla \(\pi\) so 100 desatinnými miestami použil vzorec odvodený Leibnizom v roku 1673 a použil ho takto:

\[\frac(\pi)(4) = 4 arctg\frac(1)(5) - arctg\frac(1)(239) \]

Séria rýchlo konverguje a s jej pomocou dokážete vypočítať číslo \(\pi \) s veľkou presnosťou. Tieto typy vzorcov sa používali na nastavenie niekoľkých záznamov počas počítačovej éry.

V 17. storočí so začiatkom obdobia matematiky premenných hodnôt sa začala nová etapa vo výpočte \(\pi\). Nemecký matematik Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) v roku 1673 našiel rozšírenie čísla \(\pi\), v r. všeobecný pohľad dá sa to zapísať ako nasledujúca nekonečná séria:

\[ \pi = 1 — 4(\frac(1)(3) + \frac(1)(5) — \frac(1)(7) + \frac(1)(9) — \frac(1) (11) + \cdots) \]

Séria sa získa dosadením x = 1 do \(arctg x = x - \frac(x^3)(3) + \frac(x^5)(5) - \frac(x^7)(7) + \frac (x^9)(9) — \cdots\)

Leonhard Euler rozvíja Leibnizovu myšlienku vo svojich prácach o použití radov pre arktan x pri výpočte čísla \(\pi\). V traktáte „De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi“ (O rôzne metódy výrazy na kvadratúru kruhu podľa približných čísel), napísaný v roku 1738, pojednáva o metódach na zlepšenie výpočtov pomocou Leibnizovho vzorca.

Euler píše, že rad pre arkustangens bude konvergovať rýchlejšie, ak má argument tendenciu k nule. Pre \(x = 1\) je konvergencia radu veľmi pomalá: na výpočet s presnosťou 100 číslic je potrebné pridať \(10^(50)\) členy radu. Výpočty môžete urýchliť znížením hodnoty argumentu. Ak vezmeme \(x = \frac(\sqrt(3))(3)\), dostaneme rad

\[ \frac(\pi)(6) = artctg\frac(\sqrt(3))(3) = \frac(\sqrt(3))(3)(1 — \frac(1)(3 \cdot 3) + \frac(1)(5 \cdot 3^2) — \frac(1)(7 \cdot 3^3) + \cdots) \]

Podľa Eulera, ak vezmeme 210 členov tohto radu, dostaneme 100 správnych číslic čísla. Výsledný rad je nepohodlný, pretože je potrebné poznať pomerne presnú hodnotu iracionálneho čísla \(\sqrt(3)\). Euler vo svojich výpočtoch použil aj expanzie arkustangens na súčet arkustangens menších argumentov:

\[kde x = n + \frac(n^2-1)(m-n), y = m + p, z = m + \frac(m^2+1)(p) \]

Nie všetky vzorce na výpočet \(\pi \), ktoré Euler použil vo svojom notebooky, boli zverejnené. V publikovaných článkoch a zošitoch zvažoval 3 rôzne série na výpočet arkustangensu a tiež urobil veľa vyhlásení týkajúcich sa počtu sčítateľných členov potrebných na získanie približnej hodnoty \(\pi\) s danou presnosťou.

V nasledujúcich rokoch dochádzalo k spresňovaniu hodnoty čísla \(\pi\) rýchlejšie a rýchlejšie. Napríklad v roku 1794 Georg Vega (1754-1802) identifikoval už 140 znakov, z ktorých sa len 136 ukázalo ako správnych.

Výpočtové obdobie

20. storočie sa nieslo v znamení úplne novej etapy vo výpočte čísla \(\pi\). Indický matematik Srinivasa Ramanujan (1887-1920) objavil mnoho nových vzorcov pre \(\pi\). V roku 1910 získal vzorec na výpočet \(\pi\) prostredníctvom expanzie arctangens v Taylorovom rade:

\[\pi = \frac(9801)(2\sqrt(2) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((1103+26390k) \cdot (4k){(4\cdot99)^{4k} (k!)^2}} .\]!}

Pri k=100 sa dosiahne presnosť 600 správnych číslic čísla \(\pi\).

Nástup počítačov umožnil výrazne zvýšiť presnosť získaných hodnôt v kratšom čase. V roku 1949, len za 70 hodín, pomocou ENIAC, skupina vedcov vedená Johnom von Neumannom (1903-1957) získala 2037 desatinných miest pre číslo \(\pi\). V roku 1987 David a Gregory Chudnovsky získali vzorec, pomocou ktorého boli schopní vytvoriť niekoľko rekordov vo výpočte \(\pi\):

\[\frac(1)(\pi) = \frac(1)(426880\sqrt(10005)) \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac((6k)!(13591409+545140134k ))((3k)!(k!)^3(-640320)^(3k)).\]

Každý člen série dáva 14 číslic. V roku 1989 bolo získaných 1 011 196 691 desatinných miest. Tento vzorec je vhodný na výpočet \(\pi \) na osobných počítačoch. Zapnuté tento moment bratia sú profesormi na Polytechnickom inštitúte New York University.

Dôležitým nedávnym vývojom bol objav vzorca v roku 1997 Simonom Plouffom. Umožňuje extrahovať ľubovoľnú šestnástkovú číslicu čísla \(\pi\) bez výpočtu predchádzajúcich. Vzorec sa nazýva „formula Bailey-Borwain-Plouffe“ na počesť autorov článku, kde bol vzorec prvýkrát publikovaný. Vyzerá to takto:

\[\pi = \sum\limits_(k=1)^(\infty) \frac(1)(16^k) (\frac(4)(8k+1) — \frac(2)(8k+4 ) - \frac(1)(8k+5) - \frac(1)(8k+6)) .\]

V roku 2006 Simon pomocou PSLQ vymyslel niekoľko pekných vzorcov na výpočet \(\pi\). Napríklad,

\[ \frac(\pi)(24) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n) (\frac(3)(q^n - 1) - \frac (4)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

\[ \frac(\pi^3)(180) = \sum\limits_(n=1)^(\infty) \frac(1)(n^3) (\frac(4)(q^(2n) — 1) — \frac(5)(q^(2n) -1) + \frac(1)(q^(4n) -1)), \]

kde \(q = e^(\pi)\). V roku 2009 japonskí vedci pomocou superpočítača T2K Tsukuba System získali číslo \(\pi\) s 2 576 980 377 524 desatinnými miestami. Výpočty trvali 73 hodín 36 minút. Počítač bol vybavený 640 štvorjadrovými jadrami procesory AMD Opteron, ktorý poskytoval výkon 95 biliónov operácií za sekundu.

Ďalší úspech vo výpočtoch \(\pi\) patrí francúzskemu programátorovi Fabriceovi Bellardovi, ktorý koncom roka 2009 na svojom osobnom počítači so systémom Fedora 10 vytvoril rekord vypočítaním 2 699 999 990 000 desatinných miest čísla \(\pi\ ). Za posledných 14 rokov ide o prvý svetový rekord, ktorý bol vytvorený bez použitia superpočítača. Pre vysoký výkon použil Fabrice formulu bratov Chudnovských. Celkovo výpočet trval 131 dní (103 dní výpočtov a 13 dní overovania výsledku). Bellarov úspech ukázal, že takéto výpočty nevyžadujú superpočítač.

Len o šesť mesiacov neskôr prekonali Francoisov rekord inžinieri Alexander Yi a Singer Kondo. Na dosiahnutie rekordu 5 biliónov desatinných miest čísla \(\pi\) bol tiež použitý osobný počítač, ale s pôsobivejšími vlastnosťami: dva procesor Intel Xeon X5680 na frekvencii 3,33 GHz, 96 GB Náhodný vstup do pamäťe, 38 TB diskovej pamäte a operačný systém Windows Server 2008 R2 Enterprise x64. Na výpočty použili Alexander a Singer vzorec bratov Chudnovských. Proces výpočtu trval 90 dní a 22 TB miesta na disku. V roku 2011 vytvorili ďalší rekord, keď pre číslo \(\pi\) vypočítali 10 biliónov desatinných miest. Výpočty prebiehali na tom istom počítači, na ktorom bol nastavený ich predchádzajúci záznam a trvali spolu 371 dní. Na konci roka 2013 Alexander a Singerou zlepšili rekord na 12,1 bilióna číslic čísla \(\pi\), čo im zabralo len 94 dní na výpočet. Toto zlepšenie výkonu sa dosahuje optimalizáciou výkonu softvér, zvýšenie počtu procesorových jadier a výrazné zlepšenie odolnosti softvéru voči chybám.

Aktuálny rekord je rekord Alexander Yee a Singer Kondo, čo je 12,1 bilióna desatinných miest \(\pi\).

Pozreli sme sa teda na metódy výpočtu čísla \(\pi\) používané v staroveku, analytické metódy a pozreli sme sa aj na moderné metódy a záznamy na výpočet čísla \(\pi\) na počítačoch.

Zoznam zdrojov

1. Žukov A.V. Všadeprítomné číslo Pi - M.: Vydavateľstvo LKI, 2007 - 216 s.
2. F.Rudio. Na kvadratúre kruhu s aplikáciou histórie problematiky zostavenej F. Rudiom. / Rudio F. – M.: ONTI NKTP ZSSR, 1936. – 235c.
3. Arndt, J. Pi Unleashed / J. Arndt, C. Haenel. – Springer, 2001. – 270s.
4. Shukhman, E.V. Približný výpočet Pi pomocou série pre arctan x v publikovaných a nepublikovaných prácach Leonharda Eulera / E.V. Shukhman. — Dejiny vedy a techniky, 2008 – č. 4. – S. 2-17.
5. Euler, L. De variis modis circuli quadraturam numeris proxime exprimendi/ Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. 1744 – Vol.9 – 222-236s.
6. Shumikhin, S. Číslo Pi. História 4000 rokov / S. Shumikhin, A. Shumikhina. - M.: Eksmo, 2011. - 192 s.
7. Borwein, J.M. Ramanujan a číslo Pi. / Borwein, J.M., Borwein P.B. Vo svete vedy. 1988 – č.4. – s. 58-66.
8. Alex Yee. Číselný svet. Režim prístupu: numberworld.org

Páčilo sa?

Povedz

Nedávno existuje elegantný vzorec na výpočet Pi, ktorý prvýkrát publikovali v roku 1995 David Bailey, Peter Borwein a Simon Plouffe:

Zdalo by sa: čo je na tom zvláštne - existuje veľké množstvo vzorcov na výpočet Pi: od školskej metódy Monte Carlo po nepochopiteľný Poissonov integrál a vzorec Francois Vieta z neskorého stredoveku. Ale práve tento vzorec stojí za pozornosť Osobitná pozornosť- umožňuje počítať n-tý znakčísla pi bez nájdenia predchádzajúcich. Ak chcete získať informácie o tom, ako to funguje, ako aj pripravený kód v jazyku C, ktorý vypočítava 1 000 000 číslicu, prihláste sa na odber.

Ako funguje algoritmus na výpočet N-tej číslice Pi?
Napríklad, ak potrebujeme 1000. hexadecimálnu číslicu Pi, vynásobíme celý vzorec číslom 16^1000, čím zmeníme faktor pred zátvorkami na 16^(1000-k). Pri umocňovaní používame binárny algoritmus umocňovania alebo, ako ukáže príklad nižšie, modulo umocňovanie. Potom vypočítame súčet niekoľkých členov radu. Navyše nie je potrebné veľa počítať: ako sa k zvyšuje, 16^(N-k) rýchlo klesá, takže nasledujúce členy neovplyvnia hodnotu požadovaných čísel). To je všetko kúzlo - brilantné a jednoduché.

Vzorec Bailey-Borwine-Plouffe našiel Simon Plouffe pomocou algoritmu PSLQ, ktorý bol v roku 2000 zaradený do zoznamu 10 najlepších algoritmov storočia. Samotný algoritmus PSLQ zase vyvinul Bailey. Tu je mexická séria o matematikoch.
Mimochodom, čas chodu algoritmu je O(N), využitie pamäte je O(log N), kde N je poradové číslo požadovaného znaku.

Myslím, že by bolo vhodné citovať kód v C, ktorý napísal priamo autor algoritmu David Bailey:

/* Tento program implementuje algoritmus BBP na generovanie niekoľkých hexadecimálnych číslic začínajúcich bezprostredne po danej pozícii id, alebo inými slovami začínajúcimi na pozícii id + 1. Vo väčšine systémov používajúcich IEEE 64-bitovú aritmetiku s pohyblivou rádovou čiarkou tento kód funguje správne pokiaľ je d menšie ako približne 1,18 x 10^7. Ak je možné použiť 80-bitovú aritmetiku, tento limit je výrazne vyšší. Nech sa použije akákoľvek aritmetika, výsledky pre dané ID pozície možno skontrolovať opakovaním s id-1 alebo id+1 a overením, či sa hexadecimálne číslice dokonale prekrývajú s posunom o jednu, možno s výnimkou niekoľkých koncových číslic. Výsledné zlomky sú zvyčajne presné na najmenej 11 desatinných miest a najmenej na 9 hexadecimálnych číslic. */ /* David H. Bailey 2006-09-08 */ #include #include int main() ( double pid, s1, s2, s3, s4; double series (int m, int n); void ihex (double x, int m, char c); int id = 1000000; #define NHX 16 char chx ; /* id je pozícia číslice. Vygenerované číslice nasledujú hneď za id. */ s1 = séria (1, id); s2 = séria (4, id); s3 = séria (5, id); s4 = séria (6 , id); pid = 4. * s1 - 2. * s2 - s3 - s4; pid = pid - (int) pid + 1.; ihex (pid, NHX, chx); printf (" pozícia = %i\n zlomok = %.15f \n hexadecimálne číslice = %10,10s\n", id, pid, chx); ) void ihex (dvojité x, int nhx, char chx) /* Vráti prvých nhx hexadecimálnych číslic v chx zlomku x. */ ( int i; dvojité y; char hx = "0123456789ABCDEF"; y = fabs (x); for (i = 0; i< nhx; i++){ y = 16. * (y - floor (y)); chx[i] = hx[(int) y]; } } double series (int m, int id) /* This routine evaluates the series sum_k 16^(id-k)/(8*k+m) using the modular exponentiation technique. */ { int k; double ak, eps, p, s, t; double expm (double x, double y); #define eps 1e-17 s = 0.; /* Sum the series up to id. */ for (k = 0; k < id; k++){ ak = 8 * k + m; p = id - k; t = expm (p, ak); s = s + t / ak; s = s - (int) s; } /* Compute a few terms where k >= id. */ pre (k = id; k<= id + 100; k++){ ak = 8 * k + m; t = pow (16., (double) (id - k)) / ak; if (t < eps) break; s = s + t; s = s - (int) s; } return s; } double expm (double p, double ak) /* expm = 16^p mod ak. This routine uses the left-to-right binary exponentiation scheme. */ { int i, j; double p1, pt, r; #define ntp 25 static double tp; static int tp1 = 0; /* If this is the first call to expm, fill the power of two table tp. */ if (tp1 == 0) { tp1 = 1; tp = 1.; for (i = 1; i < ntp; i++) tp[i] = 2. * tp; } if (ak == 1.) return 0.; /* Find the greatest power of two less than or equal to p. */ for (i = 0; i < ntp; i++) if (tp[i] >p) prestávka; pt = tp; p1 = p; r = 1; /* Vykonajte binárny exponenciálny algoritmus modulo ak. */ pre (j = 1; j<= i; j++){ if (p1 >= pt) ( r = 16. * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; p1 = p1 - pt; ) pt = 0,5 * pt; if (pt >= 1.)( r = r * r; r = r - (int) (r / ak) * ak; ) ) vráti r; )
Aké príležitosti to poskytuje? Napríklad: môžeme vytvoriť distribuovaný výpočtový systém, ktorý vypočíta číslo Pi a nastaviť nový rekord v presnosti výpočtov pre celý Habr (ktorý je mimochodom teraz 10 biliónov desatinných miest). Podľa empirických údajov je zlomková časť čísla Pi normálna postupnosť čísel (hoci to ešte nebolo spoľahlivo dokázané), čo znamená, že postupnosti čísel z nej môžu byť použité pri generovaní hesiel a jednoducho náhodných čísel alebo pri šifrovaní. algoritmy (napríklad hashovanie). Môžete nájsť veľké množstvo spôsobov, ako ho použiť – stačí len zapojiť fantáziu.

Viac informácií k téme nájdete v článku samotného Davida Baileyho, kde podrobne hovorí o algoritme a jeho implementácii (pdf);

A zdá sa, že ste si práve prečítali prvý článok v ruskom jazyku o tomto algoritme na RuNet - žiadne iné som nenašiel.