To, čo sa nazýva tangenta ostrého uhla. Pravouhlý trojuholník: sínus, kosínus, tangens, kotangens uhla

Sínus ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer protichodný noha do prepony.
Označuje sa ako: sin α.

Cosine ostrý uhol α pravouhlého trojuholníka je pomer priľahlej nohy k prepone.
Označuje sa ako: cos α.

Tangens ostrý uhol α je pomer opačnej nohy k susednej nohe.
Označuje sa takto: tg α.

Kotangens ostrý uhol α je pomer susednej nohy k opačnej.
Označuje sa takto: ctg α.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla závisia iba od veľkosti uhla.

Pravidlá:

Základné goniometrické identity v pravom trojuholníku:

(α - ostrý uhol oproti nohe b a priľahlé k nohe a ... Bokom s - prepona. β Je druhý ostrý uhol).

S rastúcim ostrým uhlomhriech α atg α zvýšenie, acos α klesá.

Pre akýkoľvek ostrý uhol α:

hriech (90 ° - α) = cos α

cos (90 ° - α) = hriech α

Príklad objasnenia:

Vpustíme pravouhlý trojuholník ABC
AB = 6,
BC = 3,
uhol A = 30 °.

Zistite sínus uhla A a kosínus uhla B.

Riešenie .

1) Najprv zistíme hodnotu uhla B. Všetko je tu jednoduché: pretože v pravouhlom trojuholníku je súčet ostrých uhlov 90 °, potom uhol B = 60 °:

B = 90 ° - 30 ° = 60 °.

2) Vypočítajte hriech A. Vieme, že sínus sa rovná pomeru opačnej nohy k prepone. Pre uhol A je opačná noha strana BC. Takže:

Pred Kr. 3 1
hriech A = - = - = - -
AB 6 2

3) Teraz vypočítame cos B. Vieme, že kosínus sa rovná pomeru priľahlej nohy k prepone. V prípade uhla B je susedná noha rovnaká strana BC. To znamená, že opäť musíme rozdeliť BC na AB - to znamená, že vykonáme rovnaké akcie ako pri výpočte sínusu uhla A:

Pred Kr. 3 1
pretože B = - = - = - -
AB 6 2

Výsledkom je:
hriech A = cos B = 1/2.

hriech 30 ° = cos 60 ° = 1/2.

Z toho vyplýva, že v pravouhlom trojuholníku sa sínus jedného ostrého uhla rovná kosínusu iného ostrého uhla - a naopak. Toto znamenajú naše dva vzorce:
hriech (90 ° - α) = cos α
cos (90 ° - α) = hriech α

Uistime sa o tom znova:

1) Nechajte α = 60 °. Nahradením hodnoty α v sínusovom vzorci dostaneme:
hriech (90 ° - 60 °) = cos 60 °.
hriech 30 ° = cos 60 °.

2) Nechajte α = 30 °. Nahradením hodnoty α do kosínusového vzorca dostaneme:
cos (90 ° - 30 °) = hriech 30 °.
cos 60 ° = hriech 30 °.

(Viac informácií o trigonometrii nájdete v časti Algebra)

Trigonometria je odvetvie matematiky, ktoré študuje goniometrické funkcie a ich použitie v geometrii. Vývoj trigonometrie sa začal v dobách starovekého Grécka. V stredoveku vedci z Blízkeho východu a Indie významne prispeli k rozvoju tejto vedy.

Tento článok je venovaný základným pojmom a definíciám trigonometrie. Rozoberá definície hlavných trigonometrických funkcií: sínus, kosínus, tangens a kotangens. Ich význam je vysvetlený a ilustrovaný v kontexte geometrie.

Definície trigonometrických funkcií, ktorých argumentom je uhol, boli spočiatku vyjadrené ako pomery strán pravouhlého trojuholníka.

Definície trigonometrických funkcií

Sínus uhla (sin α) je pomer nohy opačnej k tomuto uhlu k prepone.

Kosínus uhla (cos α) je pomer priľahlej nohy k prepone.

Tangens uhla (t g α) je pomer opačnej nohy k susednej.

Uhol kotangens (c t g α) - pomer priľahlej nohy k opačnej.

Tieto definície sú uvedené pre ostrý uhol pravouhlého trojuholníka!

Tu je ilustrácia.

V trojuholníku ABC s pravým uhlom C je sínus uhla A rovný pomeru nohy BC k prepone AB.

Definície sínus, kosínus, tangens a kotangens vám umožňujú vypočítať hodnoty týchto funkcií zo známych dĺžok strán trojuholníka.

Dôležité zapamätať si!

Rozsah hodnôt sínus a kosínus: od -1 do 1. Inými slovami, sínus a kosínus majú hodnoty od -1 do 1. Rozsah hodnôt dotyčnice a kotangensu je celé číslo. riadok, to znamená, že tieto funkcie môžu mať akékoľvek hodnoty.

Vyššie uvedené definície platia pre ostré rohy. V trigonometrii je zavedený koncept uhla rotácie, ktorého hodnota na rozdiel od ostrého uhla nie je obmedzená na rámec od 0 do 90 stupňov. Uhol otočenia v stupňoch alebo radiánoch je vyjadrený akýmkoľvek skutočným číslom od - ∞ až + ∞.

V tomto kontexte je možné dať definíciu sínusového, kosínusového, tangentového a kotangensového uhla ľubovoľnej veľkosti. Predstavte si jednotkový kruh vycentrovaný na začiatku karteziánskeho súradnicového systému.

Počiatočný bod A so súradnicami (1, 0) sa otáča okolo stredu jednotkovej kružnice o určitý uhol α a prechádza do bodu A 1. Definícia je daná prostredníctvom súradníc bodu A 1 (x, y).

Sínus (sin) uhla rotácie

Sínus uhla rotácie α je súradnicou bodu A 1 (x, y). hriech α = y

Kosínus (cos) uhla rotácie

Kosínus uhla rotácie α je úsečka bodu A 1 (x, y). cos α = x

Tangens (tg) uhla natočenia

Tangenta uhla natočenia α je pomer súradnice bodu A 1 (x, y) k jej osi x. t g α = y x

Kotangens (ctg) uhla rotácie

Kotangens uhla rotácie α je pomer osi x bodu A 1 (x, y) k jeho súradnici. c t g α = x y

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol natočenia. Je to logické, pretože os x a súradnicu bodu po otočení je možné určiť v ľubovoľnom uhle. Iná je situácia s tangensom a kotangensom. Dotyčnica nie je definovaná, keď bod po otočení ide do bodu s nulovou osou x (0, 1) a (0, - 1). V takýchto prípadoch výraz pre dotyčnicu t g α = y x jednoducho nedáva zmysel, pretože obsahuje delenie nulou. Podobná situácia je aj s kotangensom. Rozdiel je v tom, že kotangens nie je definovaný, keď súradnica bodu zmizne.

Dôležité zapamätať si!

Sínus a kosínus sú definované pre akýkoľvek uhol α.

Dotyčnica je definovaná pre všetky uhly okrem α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z)

Kotangens je definovaný pre všetky uhly okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z)

Pri riešení príkladov z praxe nehovorte „sínus uhla rotácie α“. Slová „uhol natočenia“ sa jednoducho vynechávajú, čo znamená, že z kontextu je zrejmé, o čo ide.

Čísla

Čo definícia sínusového, kosínusového, tangensového a kotangensového čísla, a nie uhol natočenia?

Sínus, kosínus, tangens, kotangens čísla

Sínus, kosínus, tangens a kotangens čísla t je číslo, ktoré sa rovná sínusovému, kosínusovému, tangensovému a kotangensovému v t radián.

Napríklad sínus 10 π sa rovná sínusu uhla natočenia 10 π rad.

Existuje ďalší prístup k určovaniu sínusového, kosínusového, tangensového a kotangensu čísla. Pozrime sa na to podrobnejšie.

Akékoľvek skutočné číslo t je priradený bod na jednotkovej kružnici so stredom na začiatku obdĺžnikovej karteziánskej súradnicovej sústavy. Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú definované prostredníctvom súradníc tohto bodu.

Východiskovým bodom v kruhu je bod A so súradnicami (1, 0).

Kladné číslo t

Záporné číslo t zodpovedá bodu, do ktorého pôjde počiatočný bod, ak sa pohybuje po kruhu proti smeru hodinových ručičiek a traverzuje cestu t.

Teraz, keď je nadviazané spojenie medzi číslom a bodom v kruhu, pristúpime k definícii sínusového, kosínusového, tangensového a kotangensového.

Sínus (hriech) t

Sínus čísla t je súradnica bodu jednotkovej kružnice zodpovedajúca číslu t. hriech t = y

Kosínus (cos) čísla t

Kosínové číslo t je os x bodu jednotkového kruhu zodpovedajúceho číslu t. cos t = x

Tangens (tg) čísla t

Tangens čísla t- pomer súradnice k vodorovnej osi bodu jednotkového kruhu zodpovedajúceho číslu t. t g t = y x = hriech t cos t

Posledné uvedené definície sú v súlade s definíciou uvedenou na začiatku tejto doložky a nie sú s ňou v rozpore. Bod v kruhu zodpovedajúci číslu t, sa zhoduje s bodom, do ktorého ide počiatočný bod po otočení o uhol t radián.

Trigonometrické funkcie uhlového a numerického argumentu

Každá hodnota uhla α zodpovedá určitej hodnote sínusu a kosínu tohto uhla. Rovnako ako všetky uhly α iné ako α = 90 ° + 180 ° k, k ∈ Z (α = π 2 + π k, k ∈ Z) tam zodpovedá určitá hodnota dotyčnice. Kotangens, ako je uvedené vyššie, je definovaný pre všetky α, okrem α = 180 ° k, k ∈ Z (α = π k, k ∈ Z).

Môžeme povedať, že sin α, cos α, t g α, c t g α sú funkcie uhla alfa alebo funkcie uhlového argumentu.

Podobne môžete hovoriť o sínuse, kosinuse, tangente a kotangente ako o funkciách numerického argumentu. Na každé skutočné číslo t zodpovedá konkrétnej hodnote sínus alebo kosínus čísla t... Všetky čísla iné ako π 2 + π · k, k ∈ Z, zodpovedajú hodnote dotyčnice. Kotangens je podobne definovaný pre všetky čísla okrem π k, k ∈ Z.

Základné funkcie trigonometrie

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné trigonometrické funkcie.

Z kontextu je spravidla zrejmé, s ktorým argumentom goniometrickej funkcie (uhlový argument alebo numerický argument) sa zaoberáme.

Vráťme sa k údajom na úplnom začiatku definícií a uhlu alfa ležiaceho v rozmedzí od 0 do 90 stupňov. Trigonometrické definície sínusov, kosinusov, tangens a kotangens sú plne v súlade s geometrickými definíciami uvedenými pomocou pomerov strán pravouhlého trojuholníka. Ukážme to.

Vezmite jednotkový kruh vycentrovaný na obdĺžnikový karteziánsky súradnicový systém. Otočíme počiatočný bod A (1, 0) o uhol až 90 stupňov a z výsledného bodu A 1 (x, y) nakreslíme kolmicu na os x. Vo výslednom pravouhlom trojuholníku je uhol A 1 O H rovný uhlu otáčania α, dĺžka nohy O H je rovná osi bodu A 1 (x, y). Dĺžka nohy opačnej k rohu sa rovná súradnici bodu A 1 (x, y) a dĺžka prepony sa rovná jednej, pretože ide o polomer jednotkovej kružnice.

Podľa definície z geometrie je sínus uhla α rovný pomeru opačnej nohy k prepone.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

To znamená, že určenie sínusu ostrého uhla v pravouhlom trojuholníku prostredníctvom pomeru strán je ekvivalentné stanoveniu sínusu uhla natočenia α, pričom alfa leží v rozsahu od 0 do 90 stupňov.

Podobne môže byť korešpondencia definícií ukázaná pre kosínus, tangens a kotangens.

Ak si v texte všimnete chybu, vyberte ju a stlačte kombináciu klávesov Ctrl + Enter

Najprv zvážte kruh s polomerom 1 a stredom v (0; 0). Pre ľubovoľný αЄR môže byť polomer 0A nakreslený tak, že radiánová miera uhla medzi 0A a osou 0x je rovná α. Proti smeru hodinových ručičiek sa považuje za pozitívny. Nech má koniec polomeru A súradnice (a, b).

Definícia sine

Definícia: Číslo b, rovnajúce sa súradnici jednotkového polomeru, zostavené opísaným spôsobom, sa označuje ako sinα a nazýva sa sínus uhla α.

Príklad: sin 3π cos3π / 2 = 0 0 = 0

Stanovenie kosínu

Definícia: Číslo a, rovnajúce sa úsečke na konci jednotkového polomeru, postavené opísaným spôsobom, sa označuje ako cosα a nazýva sa kosínus uhla α.

Príklad: cos0 cos3π + cos3,5π = 1 (-1) + 0 = 2

Tieto príklady používajú definíciu sínusu a kosínusu uhla z hľadiska súradníc konca jednotkového polomeru a jednotkovej kružnice. Na dosiahnutie vizuálnejšej reprezentácie je potrebné nakresliť jednotkový kruh a odložiť na ňom zodpovedajúce body a potom vypočítať ich osi x na výpočet kosínusu a súradnice na výpočet sínusu.

Definícia tangens

Definícia: Funkcia tgx = sinx / cosx pre x ≠ π / 2 + πk, kЄZ, sa nazýva kotangens uhla x. Doménou funkcie tgx sú všetky reálne čísla, s výnimkou x = π / 2 + πn, nЄZ.

Príklad: tg0 tgπ = 0 0 = 0

Tento príklad je podobný predchádzajúcemu. Ak chcete vypočítať tangens uhla, vydelte súradnicu bodu jeho osou x.

Definícia kotangensu

Definícia: Funkcia ctgx = cosx / sinx pre x ≠ πk, kЄZ sa nazýva kotangens uhla x. Doménou funkcie ctgx = sú všetky reálne čísla okrem bodov x = πk, kЄZ.

Uvažujme o príklade obyčajného pravouhlého trojuholníka

Aby bolo jasnejšie, čo sú to kosínus, sínus, tangenta a kotangens. Uvažujme príklad na obyčajnom pravouhlom trojuholníku s uhlom y a stranami a, b, c. Hypotenuse c, nohy a a b, v tomto poradí. Uhol medzi preponou c a nohou b y.

Definícia: Sínus uhla y je pomer opačnej nohy k prepone: siny = a / c

Definícia: Kosínus uhla y je pomer priľahlej nohy k prepone: útulný = v / s

Definícia: Tangenta uhla y je pomer opačnej nohy k susednej: tgy = a / b

Definícia: Kotangens uhla y je pomer susednej nohy k opačnej: ctgy = w / a

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sa tiež nazývajú goniometrické funkcie. Každý uhol má svoj vlastný sínus a kosínus. A takmer každý má svoju vlastnú tangens a kotangens.

Verí sa, že ak dostaneme uhol, poznáme jeho sínus, kosínus, tangens a kotangens! A naopak. Vzhľadom na sínusovú alebo inú trigonometrickú funkciu poznáme uhol. Dokonca boli vytvorené špeciálne tabuľky, kde sú popísané goniometrické funkcie pre každý uhol.

Myslím, že si viac ako to zaslúžiš. Tu je môj kľúč k trigonometrii:

• Nakreslite kupolu, stenu a strop
• Trigonometrické funkcie nie sú ničím iným ako percentom z týchto troch foriem.

Metafora pre sínus a kosínus: kupola

Namiesto toho, aby ste sa pozerali na samotné trojuholníky, predstavte si ich v akcii a nájdite konkrétny príklad zo života.

Predstavte si, že ste uprostred kupoly a chcete zavesiť plátno projektora. Ukážte prstom na kupolu pod určitým uhlom „x“ a obrazovka by mala byť od tohto bodu zavesená.

Uhol, na ktorý ukazujete, určuje:

• sine (x) = sin (x) = výška obrazovky (od podlahy k bodu montáže kupoly)
• kosinus (x) = cos (x) = vzdialenosť od vás k obrazovke (na podlahe)
• prepona, vzdialenosť od vás k hornej časti obrazovky je vždy rovnaká, rovná sa polomeru kupoly

Chcete, aby bola obrazovka čo najväčšia? Zaveste ho priamo nad seba.

Chcete, aby obrazovka visela čo najďalej od vás? Zaveste ho rovno a kolmo. V tejto polohe bude mať obrazovka nulovú výšku a bude visieť tak ďaleko, ako ste požadovali.

Výška a vzdialenosť od obrazovky sú nepriamo úmerné: čím bližšie je obrazovka, tým je jej výška vyššia.

Sínus a kosínus sú percentá

Bohužiaľ, počas štúdií mi nikto nevysvetlil, že trigonometrické funkcie sínus a kosínus nie sú ničím iným ako percentami. Ich hodnoty sa pohybujú od + 100% do 0 až -100%, alebo od kladného maxima k nule a k zápornému maximu.

Povedzme, že som zaplatil daň 14 rubľov. Nevieš, koľko to je. Ale ak poviete, že som zaplatil 95% na dani, pochopíte, že ma len strhli ako lepkavého.

Absolútna výška nič neznamená. Ale ak je sínusová hodnota 0,95, potom chápem, že televízor visí takmer v hornej časti vašej kupoly. Veľmi skoro dosiahne maximálnu výšku v strede kupoly a potom začne znova klesať.

Ako môžeme vypočítať toto percento? Veľmi jednoduché: vydeľte aktuálnu hodnotu výšky obrazovky maximálnym možným (polomer dómu, nazývaný tiež prepona).

Preto bolo nám povedané, že „kosínus = opačná strana / prepona“. To všetko je potrebné získať percento! Najlepšie je definovať sínus ako „percento aktuálnej nadmorskej výšky z maximálneho možného“. (Sinus sa stane záporným, ak váš uhol smeruje „pod zem.“ Kosínus sa stane záporným, ak uhol smeruje k bodu kupoly za vami).

Zjednodušme výpočty za predpokladu, že sa nachádzame v strede jednotkovej kružnice (polomer = 1). Delenie môžeme preskočiť a vziať len sínus rovný výške.

Každý kruh je v zásade jeden kruh, zväčšený alebo zmenšený na veľkosť. Preto definujte vzťahy na jednotkovom kruhu a výsledky aplikujte na svoju konkrétnu veľkosť kruhu.

Experiment: urobte ľubovoľný roh a zistite, aké percento výšky k šírke zobrazuje:

Graf sínusového rastu nie je len priamka. Prvých 45 stupňov pokrýva 70% výšky a posledných 10 stupňov (80 ° až 90 °) pokrýva iba 2%.

Vďaka tomu bude jasnejšie: ak kráčate v kruhu, pri 0 ° stúpate takmer kolmo, ale keď sa približujete k vrcholu kupoly, výška sa mení stále menej.

Tečna a sečna. Stena

Jedného dňa sused postavil múr sprava dozadu do vašej kupoly. Plakali ste za svoj pohľad a dobrú cenu za ďalší predaj!

Dokážete však v tejto situácii nejako vyhrať?

Samozrejme áno. Čo keď zavesíme filmové plátno priamo na susedovu stenu? Namierite pod uhlom (x) a získate:

• tangens (x) = tan (x) = výška obrazovky na stene
• vzdialenosť od vás k stene: 1 (toto je polomer vašej kupoly, stena sa od vás nikam nepohybuje, však?)
• secant (x) = sec (x) = „dĺžka schodiska“ od vás, stojace v strede kupoly, k hornej časti zavesenej obrazovky

Vysvetlíme niekoľko bodov o dotyčnici alebo výške obrazovky.

• začína na 0 a môže ísť nekonečne vysoko. Obrazovku môžete na stene natiahnuť vyššie a vyššie, aby ste získali nekonečné plátno na sledovanie vášho obľúbeného filmu! (Na taký obrovský samozrejme budete musieť veľa minúť).
• tangenta je len zväčšenou verziou sínusu! A zatiaľ čo sa sínusový zisk spomaľuje, keď sa pohybujete smerom k vrcholu kupoly, dotyčnica stále stúpa!

Sekansu sa má tiež čím chváliť:

• secant začína na 1 (rebrík leží na podlahe, od vás k stene) a začne sa odtiaľ dvíhať
• secant je vždy dlhší ako tangenta. Sklonený rebrík, s ktorým zavesíte obrazovku, musí byť dlhší ako samotná obrazovka, nie? (Pri nerealistických rozmeroch, keď je obrazovka tááák dlhá a schody musia byť umiestnené takmer zvisle, sú ich rozmery takmer rovnaké. Ale aj tak bude secant trochu dlhší).

Nezabudnite, že hodnoty sú percent... Ak sa rozhodnete zavesiť obrazovku na 50 stupňov, opálenie (50) = 1,19. Vaša obrazovka je o 19% väčšia ako vzdialenosť od steny (polomer kupoly).

(Zadajte x = 0 a skontrolujte svoju intuíciu - tan (0) = 0 a sek (0) = 1.)

Kotangens a kosekant. Strop

Váš sused sa teraz neuveriteľne rozhodol postaviť strop nad vašu kupolu. (Čo mu je? Zjavne nechce, aby ste ho špehovali, zatiaľ čo chodí nahý po dvore ...)

Teraz je načase postaviť strešný východ a porozprávať sa so svojim susedom. Vyberiete si uhol sklonu a začnete stavať:

• vertikálna vzdialenosť medzi východom zo strechy a podlahou je vždy 1 (polomer kupoly)
• kotangens (x) = detská postieľka (x) = vzdialenosť medzi vrcholom kupoly a výstupným bodom
• cosecant (x) = csc (x) = dĺžka vašej cesty k streche

Tangenta a secant opisujú stenu a Kotangent a Kosecant opisujú podlahu.

Naše intuitívne závery sú tentokrát podobné predchádzajúcim:

• Ak vezmete uhol 0 °, váš výjazd na strechu bude pokračovať neobmedzene, pretože nikdy nedosiahne strop. Problém.
• Najkratší „rebrík“ na strechu získate, ak ho postavíte pod uhlom 90 stupňov k podlahe. Kotangens bude rovný 0 (vôbec sa nepohybujeme po streche, vystupujeme striktne kolmo) a kosekans bude rovný 1 („dĺžka rebríka“ bude minimálna).

Vizualizujte pripojenia

Ak nakreslíte všetky tri puzdrá v kombinácii kupola-stena-podlaha, získate nasledujúce:

Wow, je to všetko rovnaký trojuholník, zväčšený tak, aby dosiahol na stenu a strop. Máme zvislé strany (sínusové, dotykové), horizontálne (kosínusové, kotangensové) a „prepony“ (sečné, kosekansové). (Zo šípok vidíte, kam každý prvok smeruje. Kosekant je celková vzdialenosť od vás k streche).

Trochu mágie. Všetky trojuholníky majú rovnakú rovnosť:

Z Pytagorovej vety (a 2 + b 2 = c 2) vidíme, ako sú strany každého trojuholníka prepojené. Pomer výšky k šírke musí byť navyše rovnaký pre všetky trojuholníky. (Stačí sa posunúť od najväčšieho trojuholníka k menšiemu. Áno, veľkosť sa zmenila, ale pomer strán strán zostane rovnaký).

Keď vieme, ktorá strana v každom trojuholníku je 1 (polomer kupoly), môžeme ľahko vypočítať, že „sin / cos = tan / 1“.

Vždy som sa snažil zapamätať si tieto skutočnosti prostredníctvom jednoduchej vizualizácie. Na obrázku môžete jasne vidieť tieto závislosti a pochopiť, odkiaľ pochádzajú. Táto technika je oveľa lepšia ako memorovanie suchých receptúr.

Nezabudnite na ďalšie rohy

Pst ... Nie je potrebné sa zaseknúť na jednom grafe, pretože myslíme, že dotyčnica je vždy menšia ako 1. Ak zväčšíte uhol, môžete dosiahnuť strop bez toho, aby ste dosiahli stenu:

Pytagorské spojenia vždy fungujú, ale relatívne veľkosti môžu byť rôzne.

(Možno ste si všimli, že pomer sínus a kosínus je vždy najmenší, pretože sú uzavreté v kupole.)

Aby sme to zhrnuli: na čo si musíme pamätať?

Väčšine z nás by som povedal, že to bude stačiť:

• trigonometria vysvetľuje anatómiu matematických predmetov, ako sú kruhy a opakujúce sa intervaly
• analógia kupoly / steny / strechy ukazuje vzťah medzi rôznymi goniometrickými funkciami
• goniometrické funkcie majú za následok percentá, ktoré aplikujeme na náš scenár.

Nepotrebujete si zapamätať vzorce ako 1 2 + detská postieľka 2 = csc 2. Sú vhodné iba na hlúpe testy, v ktorých sa znalosti o faktoch vydávajú za porozumenie. Nájdite si chvíľu na to, aby ste nakreslili polkruh vo forme kupoly, steny a strechy, podpísali prvky a všetky vzorce vás požiadajú na papieri.

Príloha: inverzné funkcie

Akákoľvek goniometrická funkcia berie ako uhol uhol a vracia výsledok v percentách. hriech (30) = 0,5. To znamená, že uhol 30 stupňov je 50% maximálnej výšky.

Inverzná trigonometrická funkcia je zapísaná ako sin -1 alebo arcsin („arcsine“). Asin je tiež často písaný v rôznych programovacích jazykoch.

Ak je naša výška 25% výšky kupoly, aký je náš uhol?

V našej tabuľke proporcií nájdete pomer, v ktorom je sečna delená číslom 1. Napríklad sekačka 1 (prepona k horizontále) sa bude rovnať 1 delenej kosínom:

Povedzme, že náš secant je 3,5, t.j. 350% polomeru jednotkovej kružnice. Akému uhlu sklonu k stene zodpovedá táto hodnota?

Príloha: Niekoľko príkladov

Nudná úloha. Skomplikujeme banálne „nájsť sínus“ na „Aká je výška v percentách maxima (prepona)?“.

Najprv si všimnite, že trojuholník je otočený. Na tom nie je nič zlé. Trojuholník má napriek tomu výšku, na obrázku je označený zelenou farbou.

Čomu sa rovná prepona? Podľa Pythagorovej vety vieme, že:

3 2 + 4 2 = prepona 2 25 = prepona 2 5 = prepona

Dobre! Sínus je percento výšky od najdlhšej strany trojuholníka alebo prepony. V našom prípade je sínus 3/5 alebo 0,60.

Samozrejme, môžeme ísť niekoľkými spôsobmi. Teraz vieme, že sínus je 0,60 a jednoducho nájdeme arcsín:

Asin (0,6) = 36,9

Tu je ďalší prístup. Všimnite si toho, že trojuholník je „tvárou v tvár proti stene“, takže namiesto sínusu môžeme použiť tangens. Výška je 3, vzdialenosť od steny je 4, takže dotyčnica je ¾ alebo 75%. Arktangens môžeme použiť na návrat z percentuálnej hodnoty späť do rohu:

Tan = 3/4 = 0,75 atan (0,75) = 36,9 Príklad: Dostanete sa na pobrežie?

Ste na lodi a máte dostatok paliva na prejdenie 2 km. Teraz ste 0,25 km od pobrežia. Aký maximálny uhol môžete dosiahnuť k brehu s dostatkom paliva? Doplnenie podmienky problému: máme k dispozícii iba tabuľku inverzných kosínusových hodnôt.

Čo máme? Pobrežie je v našom známom trojuholníku myslené ako „stena“ a „dĺžka rebríka“ pri múre je maximálna možná splavná vzdialenosť lode od pobrežia (2 km). Objaví sa secant.

Najprv musíte prejsť na percentá. Máme 2 / 0,25 = 8, to znamená, že môžeme plávať vzdialenosť 8 -násobku priamej vzdialenosti od brehu (alebo od steny).

Vynára sa otázka „Aký je rozlišovací znak 8?“ Na to však nemôžeme odpovedať, pretože máme iba arkkozíny.

Na väzbu secantu na kosínus používame naše predtým odvodené závislosti: „s / 1 = 1 / cos“

Sekans 8 sa rovná kosínu ⅛. Uhol, ktorého kosínus ⅛ je acos (1/8) = 82,8. A to je najväčší uhol, ktorý si na lodi s uvedeným množstvom paliva môžeme dovoliť.

Nie je to zlé, však? Bez analógie kupola-stena-strop by som bol zmätený hromadou vzorcov a výpočtov. Vizualizácia problému výrazne zjednodušuje hľadanie riešenia, okrem toho je zaujímavé zistiť, ktorá trigonometrická funkcia nakoniec pomôže.

Pri riešení každého problému premýšľajte takto: Zaujíma ma kupola (sin / cos), stena (tan / s) alebo strop (detská postieľka / csc)?

A trigonometria bude oveľa príjemnejšia. Jednoduché výpočty pre vás!