Fibonacciho postupnosť a princípy zlatého pomeru. Začnite vo vede

Nedávno som sa v práci na individuálnych a skupinových procesoch s ľuďmi vrátil k myšlienkam spojiť všetky procesy (karmické, mentálne, fyziologické, duchovné, transformačné atď.) Do jedného.

Priatelia za závojom stále viac odhaľovali obraz viacrozmerného človeka a vzájomnú prepojenosť všetkého vo všetkom.

Vnútorný impulz ma prinútil vrátiť sa k starým štúdiám s číslami a znova sa pozrieť na knihu Drunvalo Melchizedeka „Staroveké tajomstvo kvetu života“.

V tom čase bol v kinách premietaný film „Da Vinciho kód“. Nemám v úmysle diskutovať o kvalite, hodnote a pravde tohto filmu. Avšak okamih, keď sa čísla začali rýchlo posúvať, sa stal pre mňa jedným z kľúčov v tomto filme.

Intuícia mi povedala, že sa oplatí venovať pozornosť číselnej sekvencii Fibonacciho a Zlatému oddielu. Ak sa pozriete na internet a nájdete niečo o Fibonacci, padne na vás lavína informácií. Dozviete sa, že ste o tejto postupnosti vždy vedeli. Je zastúpená v prírode a priestore, v technológii a vede, v architektúre a maľbe, v hudbe a proporciách v ľudskom tele, v DNA a RNA. Mnoho vedcov tohto sledu dospelo k záveru, že kľúčové udalosti v živote človeka, štátu, civilizácie podliehajú tiež zákonu o pomere zlatého.

Zdá sa, že človek dostal zásadný náznak.

Potom sa objaví myšlienka, že človek môže vedome aplikovať princíp Zlatého rezu na obnovenie zdravia a napravenie osudu, t. zefektívnenie prebiehajúcich procesov v ich vlastnom vesmíre, rozširovanie vedomia, návrat k sociálnej starostlivosti.

Spoločne si spomíname Fibonacciho postupnosť:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025…

Každé nasledujúce číslo sa vytvorí pridaním dvoch predchádzajúcich čísel:

1 + 1 \u003d 2, 1 + 2 \u003d 3, 2 + 3 \u003d 5 atď.

Teraz navrhujem, aby sa každé číslo v sérii znížilo na jednu číslicu: 1, 1, 2, 3, 5, 8,

13=1+3(4), 21=2+1(3), 34=3+4(7), 55=5+5(1), 89= 8+9(8), 144=1+4+4(9)…

Tu je to, čo sme dostali:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9, 8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9…1, 1, 2…

postupnosť 24 čísel, ktorá sa opakuje znova od 25. dňa:

75025=7+5+0+2+5=19=1+0=1, 121393=1+2+1+3+9+3=19=1+0=1…

Nezdá sa vám to zvláštne alebo logické

•   v dňoch - 24 hodín,
•   vesmírne domy - 24,
•   DNA reťazce - 24,
•   24 starších od Božej hviezdy Sirius,
•   opakujúca sa sekvencia v sérii Fibonacci - 24 číslic.

Ak je výsledná sekvencia zapísaná nasledovne,

1, 1, 2, 3, 5, 8, 4, 3, 7, 1, 8, 9

8, 8, 7, 6, 4, 1, 5, 6, 2, 8, 1, 9

9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9, 9,

potom uvidíme, že 1. a 13. číslo poradia, 2. a 14., 3. a 15., 4. a 16. ... 12. a 24. celkovo dáva 9 ,

3 3 6 9 6 6 3 9

Pri testovaní týchto číselných radov dostávame:

• Princíp pre deti;
• Paternálny princíp;
• Materský princíp;
• Zásada jednoty.

Matica zlatých profilov

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9 2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9

4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9 5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

5 5 1 6 7 4 2 6 8 5 4 9 4 4 8 3 2 5 7 3 1 4 5 9

6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9 6 6 3 9 3 3 6 9

2 2 4 6 1 7 8 6 5 2 7 9 7 7 5 3 8 2 1 3 4 7 2 9

8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9 1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9

9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9 9

Praktické použitie série Fibonacci

Môj priateľ vyjadril svoj úmysel s ním individuálne pracovať na rozvoji svojich schopností a schopností.

Zrazu hneď na začiatku Sai Baba vstúpil do procesu a vyzval ho, aby ho nasledoval.

Začali sme vstávať v priateľskom Božskom Monade a nechali sme ho cez Príčinné telo, nachádzali sme sa v inej realite na úrovni Kozmického domu.

Tí, ktorí študovali diela Marka a Elizabeth Claire Proroka, poznajú doktrínu Kozmických hodín, ktorú im odovzdala Matka Mária.

Na úrovni Vesmírneho domu videl Yuri kruh s vnútorným stredom s 12 šípkami.

Starší, ktorí nás stretli na tejto úrovni, povedal, že pred nami predstavujú Božské hodiny a 12 rúk 12 (24) Prejavy Božských aspektov ... (možno Stvoritelia).

Pokiaľ ide o Kozmické hodiny, boli umiestnené pod Božským podľa princípu energie ôsmich.

- V akom režime sú pre vás Božské hodiny?

- Ruky hodín stoja, nedochádza k žiadnemu pohybu.Teraz ma prichádzajú myšlienky, že pred mnohými rokmi som odmietol Božské vedomie a išiel inou cestou, ako kúzelník. Všetky moje magické artefakty a amulety, ktoré sa vo mne a vo mne nazhromaždili počas mnohých inkarnácií, vyzerajú na tejto úrovni ako chrastítka. Na jemnej rovine predstavujú obraz čarovných energetických rúch.

- Dokončené.Avšak žehnám svojej magickej skúsenosti.Skúsenosti z tejto úprimne ma viedli k návratu k pôvodnému zdroju, k integrite.Je mi ponúknuté, že odo mňa odstránim magické artefakty a stojím v strede hodín.

- Čo treba urobiť, aby ste aktivovali Božské hodiny?

- Sai Baba sa znova objavila a ponúka, aby vyjadrila svoj úmysel spojiť Striebornú strunu s hodinami. Tiež hovorí, že máte nejakú číselnú sériu. Je kľúčom k aktivácii. Pred vznikom vnútorného oka je obraz Muž Leonarda da Vinciho.

- 12-krát.

- Boh, prosím, sústredte celý proces a nasmerujte pôsobenie energie číselných sérií na aktiváciu Božích hodín.

Čítal som nahlas 12-krát

1 1 2 3 5 8 4 3 7 1 8 9 8 8 7 6 4 1 5 6 2 8 1 9…

V priebehu čítania išli šípky na hodinách.

Striebornou šnúrou prešla energia, ktorá spájala všetky úrovne Yurina Monad, ako aj pozemské a nebeské energie ...

Najneočakávanejšou vecou v tomto procese bolo to, že sa na Hodinách objavili štyri entity, ktoré sú súčasťou Jednotného čísla s Jurou.

Počas komunikácie sa ukázalo, že kedysi došlo k oddeleniu centrálnej duše a každá časť si vybrala na realizáciu svoju vlastnú oblasť vo vesmíre.

Bolo rozhodnuté integrovať sa, čo sa stalo v strede Božích hodín.

Výsledkom tohto procesu bolo vytvorenie spoločného kryštálu na tejto úrovni.

Potom som si spomenul, že Sai Baba kedysi hovoril o určitom Pláne, ktorý zahŕňa spojenie dvoch entít najskôr do jedného, \u200b\u200bpotom na štyri a tak ďalej podľa binárneho princípu.

Samozrejme, že táto číselná séria nie je všeliekom. Toto je len nástroj, ktorý vám umožňuje rýchlo vykonať potrebnú prácu s človekom, vertikálne ho priťahovať s rôznymi úrovňami Bytia.

Fibonacciho sekvencia je definovaná nasledovne:

Prvých pár členov:

Príbeh

Tieto čísla predstavil v roku 1202 Leonardo Fibonacci (známy tiež ako Leonardo Pisano). Názov „Fibonacciho číslo“ sa však stal bežným matematikom 19. storočia.

Indickí matematici však spomenuli čísla tejto postupnosti ešte skôr: Gopala do roku 1135, Hemachandra v roku 1150.

Fibonacciho čísla v prírode

Sám Fibonacci spomenul tieto čísla v súvislosti s touto úlohou: „Muž dal pár králikov do ohrady obklopenej zo všetkých strán múrom. Koľko párov králikov môže tento pár vyniesť na svetlo, ak je známe, že každý mesiac, počnúc druhým, každý pár produkuje jeden pár králiky? “ Riešením tohto problému budú čísla postupnosti, ktoré sa teraz volajú na jeho počesť. Fibonacciho situácia je však skôr hrou mysle ako skutočnou prírodou.

Indickí matematici Gopala a Hemachandra spomenuli čísla tejto postupnosti v súvislosti s počtom rytmických vzorcov vyplývajúcich zo striedania dlhých a krátkych slabík vo veršoch alebo silných a slabých častiach hudby. Počet takýchto čísel s celkovým podielom rovným.

Fibonacciho čísla sa objavujú aj v diele Keplera z roku 1611, ktoré sa odrazilo na počtoch nájdených v prírode (práca „Na šesťuholníkových snehových vločkách“).

Zaujímavým príkladom rastliny je rebríček, v ktorom počet stoniek (a teda aj kvetov) je vždy Fibonacciho číslo. Dôvod je jednoduchý: keď bol pôvodne jediný kmeň, tento kmeň je potom rozdelený na dva, potom ďalšie vetvy vetiev z hlavného kmeňa, potom znova prvé vetvy stoniek, potom všetky stonky okrem poslednej dvoch vetiev atď. Preto každá stonka po svojom vzhľade „vynechá“ jednu vetvu a potom sa začne deliť na každej úrovni vetvy, čím sa získa Fibonacciho číslo.

Všeobecne možno povedať, že v mnohých kvetoch (napr. Ľalie) je počet okvetných lístkov jedno alebo druhé číslo Fibonacci.

V botanike je tiež známy fenomén „fylotaxis“. Príkladom je usporiadanie slnečnicových semien: ak sa pozriete na ich usporiadanie zhora, môžete súčasne vidieť dve série špirál (ako keby sa na seba prekrývali): niektoré sú skrútené v smere hodinových ručičiek, iné sú proti smeru hodinových ručičiek. Ukazuje sa, že počet týchto špirál sa približne zhoduje s dvoma po sebe nasledujúcimi Fibonacciho číslami: 34 a 55 alebo 89 a 144. Podobné fakty platia pre niektoré iné farby, ako aj pre šišky, brokolicu, ananásy atď.

Pre mnoho rastlín (podľa niektorých správ je to 90%) taký zaujímavý fakt. Zoberme si list a z neho zostúpime, až kým nedosiahneme list nachádzajúci sa na stonke presne rovnakým spôsobom (t. J. Nasmerovaný presne rovnakým smerom). Pozdĺž cesty vezmeme do úvahy všetky listy, ktoré k nám prichádzajú (tj umiestnené vo výške medzi východiskovým a posledným listom), ale umiestnené odlišne. Po ich očíslovaní sa budeme postupne otáčať okolo stonky (pretože listy sú usporiadané na stonke v špirále). V závislosti od toho, či sa chcete otáčať v smere alebo proti smeru hodinových ručičiek, sa získa iný počet otočení. Ukazuje sa však, že počet otočení, ktoré sme urobili v smere hodinových ručičiek, počet otočení proti smeru hodinových ručičiek a počet listov sa stretol z 3 po sebe idúcich Fibonacciho čísel.

Malo by sa však poznamenať, že existujú rastliny, pre ktoré vyššie uvedené výpočty dávajú čísla z úplne odlišných sekvencií, preto sa nedá povedať, že fenomén fylotaxie je zákon - je to skôr zaujímavý trend.

Vlastnosti

Fibonacciho čísla majú mnoho zaujímavých matematických vlastností.

Tu je len niekoľko z nich:

Fibonacciho číselný systém

Zeckendorfova veta tvrdí, že akékoľvek prirodzené číslo možno jedinečne vyjadriť ako súčet Fibonacciho čísel:

kde ,,, (t. j. dve susedné Fibonacciho čísla sa v zázname nemôžu použiť).

Z toho vyplýva, že akékoľvek číslo môže byť jedinečne napísané fibonacciho číselný systémnapríklad:

a v žiadnom prípade nemôžu ísť dve jednotky za sebou.

V systéme čísel Fibonacci nie je ťažké získať pravidlo na pridanie čísla k číslu: ak je najnižšia číslica 0, potom sa nahradí 1 a ak je 1 (tj 01 je na konci), potom 01 sa nahradí 10. Potom „opravíme“ zaznamenávať, postupne korigovať všade 011 až 100. Výsledkom je, že záznam nového čísla sa získa v lineárnom čase.

Preklad čísla do Fibonacciho číselného systému sa vykonáva pomocou jednoduchého „chamtivého“ algoritmu: jednoducho triedime Fibonacciho čísla od veľkých po menšie a ak sú nejaké, sú zahrnuté do číselného záznamu a odčítame a pokračujeme v hľadaní.

Vzorec pre deviate Fibonacciho číslo

Vzorec cez radikály

Existuje nádherný vzorec, ktorý nazval francúzsky matematik Binet, hoci ho Moivre poznal už predtým:

Tento vzorec sa dá ľahko dokázať indukciou, ale dá sa odvodiť pomocou konceptu generovania funkcií alebo riešením funkčnej rovnice.

Okamžite si môžete všimnúť, že druhý člen je vždy modulo menší ako 1 a navyše veľmi rýchlo (exponenciálne) klesá. Z toho vyplýva, že hodnota prvého funkčného obdobia dáva „takmer“ hodnotu. Môže to byť napísané striktne:

kde hranaté zátvorky označujú zaokrúhlenie na najbližšie celé číslo.

Avšak na praktické použitie vo výpočtoch nie sú tieto vzorce príliš vhodné, pretože vyžadujú veľmi vysokú presnosť práce s zlomkovými číslami.

Maticový vzorec pre Fibonacciho čísla

Je ľahké dokázať rovnosť matíc

Ale potom to označujem

dostaneme:

Na nájdenie i-tého Fibonacciho čísla je preto potrebné maticu zvýšiť na moc.

Pamätajte, že zvýšenie matrice na iónovú moc sa dá vykonať v (pozri

Postupnosť čísel Fibonacciho v priebehu mnohých storočí, od čias veľkého Leonarda po súčasnosť, pritiahla pozornosť. Možno posledným príkladom je senzačný román Dana Browna The Davinci Code.

Najprv pár slov o Fibonacciho číslach všeobecne ao ich derivátoch - najmä o zlatom pomere. Je známe, že Fibonacciho séria je nekonečná sekvencia čísel, z ktorých každé je súčtom predchádzajúcich dvoch.

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89,….

Pôvod tejto sekvencie je zvyčajne spojený s menom talianskeho obchodníka Leonarda z Pisy, ktorý je známy pod prezývkou Fibonacci. Bol veľkým matematikom svojej doby a jeho úlohu vo vývoji matematiky je ťažké preceňovať. Vo svojich dielach, nad arabskými a stredovekými európskymi dielami, učili matematiku až do XVI-XVII storočia.

Fibonacci, ako to bolo, pripomenul ľudstvu, čo mu bolo známe od staroveku, ako „zlatá sekcia“. Geometrický význam tohto podielu spočíva v rozdelení segmentu takým spôsobom, že všetky sa týkajú jeho väčšej časti, zatiaľ čo najväčšia časť sa týka menšej časti. Hodnota zlatého pomeru je iracionálna, to znamená, že sa nedá presne vypočítať. Možno ho však získať približne vydelením dvoch susedných čísiel v sérii Fibonacci a čím väčšie čísla, tým presnejší je výsledok. Ak delíme väčšie číslo menším číslom, dostaneme hodnotu Ф * \u003d 1,618 .... a delíme-li menšie väčším číslom, dostaneme približne Ф \u003d 0,618 ... ...

Podľa pamiatok architektúry, ktoré k nám prišli, a vzoriek hmotnej kultúry vzdialených čias, môžeme predpokladať, že starí ľudia tieto vzťahy poznali. Aj keď sa všeobecne verí, že koncepciu Zlatého pomeru zaviedol Pythagoras (VI. Storočie pred Kristom), je celkom možné, že táto znalosť je staršia a požičal si ju od Egypťanov alebo Babylončanov. Pomery Cheopsovej pyramídy, chrámov, reliéfov basov, niektorých domácich potrieb a šperkov z hrobky Tutanchamona zodpovedajú pomerom zlatých častí. Francúzsky architekt Le Corbusier našiel tieto korešpondencie v pomere k reliéfom zobrazujúcim faraónov, ktoré sú prítomné na fasáde komplexu chrámu Parthenon. Pokiaľ ide o staroveké reliéfy z egyptských hrobiek, ľudia držia meracie prístroje, v ktorých sú zaznamenané tieto pozoruhodné rozmery.

Platón vedel o zlatom pomere (4. storočie pred Kristom), tento vzťah je uvedený v „Princípoch“ Euklidov. Po štúdiách Euclid, Gipsicle (II. Storočie pred Kristom), Papp (III. Storočie pred Kristom) a ďalšie sa v stredovekej Európe s ním zoznámili v arabských prekladoch euklidovských princípov. Prekladateľ J. Campano z Navarry (3. storočie) sa k prekladu vyjadril. Je potrebné poznamenať, že v tom čase boli tieto znalosti tajné, starostlivo chránené pred nezasvätenými a udržiavané v prísnom utajení.

Počas renesancie bola zlatá časť venovaná Leonardovi da Vinciho, Albrechtovi Durerovi a mníchovi Lucovi Pacioliovi, tvorcovi popisnej geometrie. Našiel v ňom „božskú podstatu“ - výraz Trojice Boha Syna, Boha Otca a Boha Ducha Svätého. Rozumelo sa, že malý segment je zosobnením Boha syna, väčší segment je Bohom otca a spolu Duchom Svätým.

V nasledujúcich storočiach pokračovalo štúdium tohto podielu. V roku 1855 publikoval nemecký a profesor Zeising dielo „Estetické štúdie“, v ktorom deklaroval podiel zlatého pomeru ako univerzálneho pre všetky fenomény prírody a umenia. Na základe štúdie o rozmeroch niekoľkých tisíc ľudských orgánov dospel k záveru, že vyjadruje priemerný štatistický zákon a proporcie ľudského tela sú opísané vzťahmi členov série Fibonacci. Prejavuje sa to vo vzťahu k rôznym častiam tela - dĺžka ramena, predlaktia a ruky, ruky a prsty atď.

Zlatý pomer sa vyskytuje nielen v umení a architektúre, ale aj v prírode. Pomery série Fibonacci sú prítomné v usporiadaní listov na stromoch, rôznych semenách, v biorytmoch a vo fungovaní mozgu a vizuálneho vnímania, hudobných tónov, poetických veľkostí, v génových štruktúrach živých organizmov a podobne.

Prejav čísiel Fibonacciho nie je obmedzený na zákony vnímania a divočiny. Z histórie astronómie je známe, že v XVIII. Storočí. Nemecký astronóm I. Titius pomocou série Fibonacci našiel vzorec vzdialeností medzi planétami slnečnej sústavy. Dnes existuje množstvo údajov o prejavoch zlatého rezu v rôznych fyzikálnych systémoch - o energetických prechodoch elementárnych častíc, o štruktúre niektorých chemických zlúčenín atď. Stanovia sa vzťahy zlatého rezu s vlastnosťami vody, objemom a frekvenciou zvuku, spektrom viditeľného svetla, fyzikálnymi a mechanickými vlastnosťami tuhých látok atď. Tieto fakty sú dôkazom nezávislosti číselnej série od podmienok jej prejavu, čo je jedným zo znakov jej univerzálnosti. Sú známe aj pokusy vytvoriť chronológiu ľudskej spoločnosti založenú na sérii Fibonacci.

Ako dôvody na vysvetlenie týchto javov, výsledky štúdií zvyčajne ukazujú, že najstabilnejšie prírodné a sociálne konfigurácie majú tvar podobný Fibonacci, pretože sú optimálne z hľadiska úspory energie a zdrojov.

V XX storočia, na základe Fibonacciho sekvencie, bola vytvorená jedna z najúspešnejších metód pre analýzu finančných, komoditných a iných trhov - Elliot Wave Theory. S určitou fantáziou je možné vidieť celkom zrejmé analógie medzi finančným trhom a tým, čo nazývame „politickým trhom“. Pod týmto pojmom rozumieme politický systém regulácie občianskej spoločnosti, kde sú prítomné záujmy rôznych skupín obyvateľstva a možné rozpory medzi nimi sa riešia dohodami v rámci demokratických postupov. Všeobecne je známe, že politika je kompromisným umením. Kompromis je vždy dohodou a nezáleží na tom, či ide o obchod, sprostredkovanie alebo politický postup. V tomto zmysle sú všetci politici aktérmi na politickom trhu.

Zároveň nezáleží na tom, čo poháňa politikov: skvelé nápady, osobné ambície, záujmy finančných a priemyselných skupín, ktoré ich podporujú alebo určité skupiny obyvateľstva, alebo jednoducho ich vlastný záujem. Je dôležité, aby pri preukazovaní svojej činnosti vytvárali politické strany, propagovali určité projekty realizované v oblasti zákonodarstva alebo iné činnosti. Tu máme rovnaký paradox trhovej ekonomiky. V prípade, že činnosť politikov sa odohráva v právnej oblasti, bez ohľadu na motiváciu, je to pre spoločnosť objektívne užitočné, pretože títo „sprostredkovatelia politického trhu“ riešia problémy samoregulácie verejného organizmu pomocou ich rozruchu a rozruchu. Pokračovaním v analógii môžeme povedať, že „obchodníci a investori politického trhu“ možno považovať za sily, ktoré financujú politickú činnosť.

Ak je to tak, potom existuje pokušenie uplatňovať metódy analýzy finančných trhov na politické trhy. Jednou z metód technickej analýzy je použitie zákona o Elliotovej vlne. Pred viac ako šesťdesiatimi rokmi Ralph Elliott rozvinul teóriu trhového správania, ktorú najviac objasnil v knihe „Zákon prírody - tajomstvo vesmíru“, ktorá vyšla v roku 1946. Už bol presvedčený, že jeho teória zahŕňa nielen správanie sa akciových indexov, ale aj všeobecnejšie prírodné zákony, ktoré riadia činnosť ľudskej spoločnosti.

Podstatou Elliotovho prístupu je, že spoločnosť sa vyvíja a mení vo forme rozpoznateľných modelov. Identifikoval viac ako tucet druhov pohybových vzorcov („vĺn“), ktoré vznikajú v prúde trhových cien, opakujúc sa formou, ale nie nevyhnutne v čase alebo amplitúde. Tieto modely dostali názvy, definície a ilustrácie.

Podľa jeho teórie k pohybu dochádza podľa „starého dobrého princípu“ tri kroky vpred dva kroky dozadu a vlny sú oddelené - impulz (vpred) a nápravný (v smere dozadu). Dokonca aj zbežný pohľad na graf indexu Dow Jones alebo správanie sa výmenného kurzu na trhu FOREX stačí na to, aby ste videli vlnový pohyb veľkého počtu veľkých a malých vĺn. Vyznačujú sa vlastnosťou nazývanou „sebapodobnosť“, ktorá je súčasťou tzv. Fraktálov.

Elliot tvrdil, že bez ohľadu na veľkosť je priebeh pomerne stabilný a poradie ich striedania poskytuje rozumné vysvetlenie. Zákon vĺn je modelom rozvoja a úpadku. Vzťahy medzi jednotlivými vlnami sú založené na číslach odvodených od Fibonacciho série a najmä na zlatom pomere.

Niektorí autori sa snažia aplikovať zákon o Elliotovej vlne aj na analýzu histórie ľudstva, jeho globálneho vývoja. Bez toho, aby sme si stanovili také ambiciózne úlohy, pokúsime sa zvážiť z hľadiska použiteľnosti Fibonacciho postupnosť na analýzu trvania niektorých procesov, ktoré sa odohrali v Rusku v XX. Storočí, a dokonca sa pokúsime poskytnúť nejakú predpoveď pre prvé desaťročia XXI storočia.

Je potrebné poznamenať, že ak boli vyvinuté rôzne indexy (Dow Jones, NASDAQ, atď.) A sú široko využívané na akciovom trhu, čo vám umožňuje zostavovať a analyzovať grafy ich zmien v priebehu času. Pokiaľ ide o politický trh, možno bude potrebné, aby sa tieto ukazovatele vytvorili v budúcnosti. Je intuitívne zrejmé, že tieto hypotetické analógy indexu Dow Jones by mali mať pravdepodobnostnú entropickú povahu.

Vo vesmíre je stále veľa nevyriešených záhad, z ktorých niektorí vedci už dokázali identifikovať a opísať. Fibonacciho čísla a zlatý pomer sú základom riešenia sveta okolo nás, budovania jeho tvaru a optimálneho vizuálneho vnímania človekom, pomocou ktorého môže cítiť krásu a harmóniu.

Zlatý pomer

Princíp určovania rozmerov zlatého rezu je základom dokonalosti celého sveta a jeho častí v jeho štruktúre a funkciách, jeho prejav je viditeľný v prírode, umení a technológii. Doktrína zlatého pomeru bola položená ako výsledok výskumu starovekých vedcov o povahe čísel.

Je založená na teórii pomerov a pomerov rozdelenia segmentov, ktorú vytvoril staroveký filozof a matematik Pythagoras. Dokázal, že pri rozdelení segmentu na dve časti: X (menší) a Y (veľký) bude pomer väčšej k menšej rovnať pomeru ich súčtu (celý segment):

Výsledkom je rovnica: x 2 - x - 1 \u003d 0,ktoré sa rozhoduje ako   x \u003d (1 ± 5) / 2.

Ak vezmeme do úvahy pomer 1 / x, potom sa rovná 1,618…

Dôkaz použitia zlatého pomeru starými mysliteľmi je uvedený v knihe Euclidových „začiatkov“, napísanej v 3. storočí. Pred naším letopočtom, ktorý použil toto pravidlo na zostavenie pravidelných 5-ton. Medzi Pythagorejcami je toto číslo považované za posvätné, pretože je symetrické aj asymetrické. Pentagram symbolizoval život a zdravie.

Fibonacciho čísla

Slávna kniha Liber abaci matematik z Talianska Leonardo z Pisy, ktorá sa neskôr stala známou ako Fibonacci, bola vydaná v roku 1202. V nej vedec najprv uvádza vzorec čísel, z ktorých každé číslo predstavuje súčet 2 predchádzajúcich číslic. Poradie Fibonacciho čísel je nasledovné:

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377 atď.

Vedec tiež citoval niekoľko vzorov:

• Akékoľvek číslo zo série delené ďalším sa bude rovnať hodnote, ktorá má tendenciu k 0,618. Prvé Fibonacciho čísla navyše takéto číslo nedávajú, ale ako sa budete pohybovať od začiatku sekvencie, bude tento pomer presnejší.
• Ak číslo rozdelíte zo série na predchádzajúce, výsledok sa vráti na 1.618.
• Jedno číslo vydelené ďalším číslom bude mať hodnotu tendenciu k 0,382.

Aplikácia vzťahu a zákony zlatého pomeru, Fibonacciho číslo (0,618), možno nájsť nielen v matematike, ale aj v prírode, v histórii, v architektúre a stavebníctve a v mnohých ďalších vedách.

Archimedes špirála a zlatý obdĺžnik

Špirály, veľmi bežné v prírode, boli vyšetrované Archimedesom, ktorý dokonca odvodil jej rovnicu. Tvar špirály je založený na zákonoch o zlatých častiach. Ak nie je zahnutý, získa sa dĺžka, na ktorú je možné aplikovať proporcie a Fibonacciho čísla, krok sa rovnomerne zvyšuje.

Paralelu medzi Fibonacciho číslami a zlatým pomerom je možné vidieť vytvorením „zlatého obdĺžnika“, v ktorom sú strany proporcionálne, napríklad 1,618: 1. Je postavený tak, že sa pohybuje z väčšieho obdĺžnika na malý, takže dĺžky strán sú rovnaké ako čísla v rade. Jeho konštrukcia sa môže vykonať v opačnom poradí, počnúc rámčekom „1“. Keď spojíme čiary rohov tohto obdĺžnika v strede ich priesečníka, získa sa Fibonacciho špirála alebo logaritmický tvar.

História používania pomerov zlata

Mnoho starovekých architektonických pamiatok Egypta bolo postavených pomocou zlatých rozmerov: slávne pyramídy Cheops a i. Architekti antického Grécka ich často používali pri stavbe architektonických objektov, ako sú chrámy, amfiteátry, štadióny. Napríklad, takéto proporcie sa použili pri stavbe antického chrámu Parthenon (Atény) a ďalších predmetov, ktoré sa stali majstrovskými dielami starodávnej architektúry, čím demonštrujú harmóniu založenú na matematickej pravidelnosti.

V neskorších storočiach záujem o Zlatý pomer ustupoval a vzorce sa zabudli, ale v renesancii sa znovu obnovili, spolu s knihou františkánskeho mnícha L. Pacioli di Borgo „Božský pomer“ (1509). Obsahoval ilustrácie Leonarda da Vinciho, ktorý zakotvil nový názov „Zlatá sekcia“. Vedecky sa preukázalo aj 12 vlastností zlatého pomeru a autor hovoril o tom, ako sa prejavuje v prírode, v umení a nazval ho „princípom budovania sveta a prírody“.

Vitruvian Man Leonardo

Kresba, ktorou Leonardo da Vinci ilustroval knihu Vitruviusa v roku 1492, zobrazuje postavu muža na 2 pozíciách s roztiahnutými rukami. Obrázok je vpísaný do kruhu a štvorca. Táto postava sa považuje za kanonické proporcie ľudského tela (muža), ktoré opísal Leonardo na základe ich štúdia v prácach rímskeho architekta Vitruviusa.

Stred tela ako rovnako vzdialený bod od konca ramien a nôh je pupok, dĺžka ramien sa rovná výške osoby, maximálna šírka ramien \u003d 1/8 výšky, vzdialenosť od vrchu hrudníka k vlasom \u003d 1/7, od vrchu hrudníka k hornej časti hlavy \u003d 1/6 atď.

Od tej doby sa obrázok používa vo forme symbolu znázorňujúceho vnútornú symetriu ľudského tela.

Leonardo používal termín „Golden Ratio“ na vyjadrenie pomerových vzťahov v ľudskej postave. Napríklad vzdialenosť od pásu k chodidlám zodpovedá rovnakej vzdialenosti od pupka po korunu, rovnako ako rast k prvej dĺžke (od pásu dole). Tento výpočet sa vykonáva podobne ako pomer segmentov pri výpočte zlatého pomeru a má tendenciu k 1,618.

Všetky tieto harmonické proporcie umelci často používajú na vytváranie krásnych a pôsobivých diel.

Štúdium zlatých rezov v 16. - 19. storočí

Použitím zlatého pomeru a Fibonacciho čísel sa výskum otázky proporcií uskutočňuje už viac ako storočie. Nemecký umelec Albrecht Durer vyvíjal súbežne s Leonardo da Vinci teóriu správnych proporcií ľudského tela. Za týmto účelom dokonca vytvoril špeciálny kompas.

V 16. storočí spojenie medzi Fibonacciho číslom a zlatým pomerom bolo venované práci astronóma I. Keplera, ktorý tieto pravidlá prvýkrát aplikoval na botaniku.

Nový „objav“ očakával zlatý pomer v 19. storočí. s publikáciou Estetického výskumu nemeckého vedca profesora Zeisiga. Tieto proporcie povýšil na absolútne a vyhlásil, že sú univerzálne pre všetky prírodné javy. Vykonal výskum na veľkom počte ľudí, alebo skôr na ich telesných proporciách (približne 2 000), na základe ktorých sa vyvodili závery o štatisticky potvrdených obrazcoch v pomeroch rôznych častí tela: dĺžka ramien, predlaktia, rúk, prstov atď.

Preskúmané boli aj predmety umenia (vázy, architektonické konštrukcie), hudobné tóny, veľkosti pri písaní básní - Zeisig to všetko zobrazoval v dĺžkach segmentov a čísel, uviedol aj pojem „matematická estetika“. Po získaní výsledkov sa ukázalo, že sa získa séria Fibonacci.

Fibonacciho číslo a zlatý pomer v prírode

V rastlinnom a živočíšnom svete existuje tendencia tvoriť sa vo forme symetrie, ktorá sa pozoruje v smere rastu a pohybu. Rozdelenie na symetrické časti, v ktorých sú pozorované zlaté proporcie, je takým vzorom, ktorý je vlastný mnohým rastlinám a zvieratám.

Charakter okolo nás možno opísať pomocou Fibonacciho čísel, napríklad:

• umiestnenie listov alebo vetiev akýchkoľvek rastlín, ako aj vzdialenosti korelujú s počtom daných čísiel 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 a ďalej;
• slnečnicové semená (šupiny na kužele, ananásové bunky) umiestnené v dvoch radoch v skrútených špirálach v rôznych smeroch;
• pomer dĺžky chvosta a celého tela jašterice;
• tvar vajíčka, ak rysku nakreslíme podmienečne cez jej širokú časť;
• pomer strán prstov na ruke osoby.

A samozrejme najzaujímavejšie formy sú škrupiny slimákov, vzory na webe, pohyb vetra vo vnútri hurikánu, dvojitá špirála v DNA a štruktúra galaxií - všetky obsahujú sekvenciu Fibonacciho čísel.

Použitie zlatého pomeru v čl

Vedci v oblasti hľadania príkladov použitia Zlatého pomeru podrobne skúmajú rôzne architektonické objekty a maľby. Sú známe slávne sochárske diela, ktorých tvorcovia dodržiavali zlaté proporcie - sochy olympionika Zeusa, Apolla Belvedera a

Jedno z diel Leonarda da Vinciho - „Portrét Mona Lisy“ - je predmetom vedcov už mnoho rokov. Zistili, že zloženie diela pozostáva výlučne zo „zlatých trojuholníkov“ kombinovaných do pravidelnej päťuholníkovej hviezdy. Všetky diela Da Vinciho sú dôkazom toho, aké hlboké boli jeho znalosti v štruktúre a proporciách ľudského tela, vďaka ktorým dokázal zachytiť neuveriteľne tajomný úsmev Giocondy.

Zlatý pomer v architektúre

Ako príklad vedci študovali architektonické diela vytvorené podľa pravidiel „zlatého oddielu“: egyptské pyramídy, Panteón, Parthenon, katedrála Notre Dame de Paris, katedrála sv. Bazila atď.

Parthenon - jedna z najkrajších budov v starovekom Grécku (5. storočie pred naším letopočtom) - má 8 stĺpcov a 17 na rôznych stranách, pomer jeho výšky k dĺžke strán je 0,618. Výčnelky na jeho fasádach sa vyrábajú podľa „zlatého rezu“ (foto nižšie).

Jedným z vedcov, ktorí vynašli a úspešne uplatnili vylepšenie systému modulárnych rozmerov pre architektonické objekty (takzvaný „modulátor“), bol francúzsky architekt Le Corbusier. Modulátor je založený na meracom systéme spojenom s podmieneným rozdelením na časti ľudského tela.

Ruský architekt M. Kazakov, ktorý postavil niekoľko obytných budov v Moskve, ako aj budovu Senátu v Kremli a Golitsynskej nemocnici (teraz 1. klinika pomenovaná po N. I. Pirogov), bol jedným z architektov, ktorí pri navrhovaní a stavbe použili zákony o zlatom pomere.

Použitie rozmerov v dizajne

Pokiaľ ide o módny dizajn, všetci módni návrhári vytvárajú nové obrázky a modely, pričom zohľadňujú proporcie ľudského tela a pravidlá zlatého pomeru, hoci nie všetci ľudia z prírody majú ideálne proporcie.

Pri plánovaní krajinného plánovania a vytváraní objemových parkových kompozícií s použitím rastlín (stromov a kríkov), fontán a malých architektonických objektov je možné uplatniť aj zákony „božských rozmerov“. Zloženie parku by sa malo napokon zamerať na vytvorenie dojmu o návštevníkovi, ktorý sa v ňom bude môcť voľne pohybovať a nájsť skladacie centrum.

Všetky prvky parku sú v takom pomere, že pomocou geometrickej štruktúry, relatívneho umiestnenia, osvetlenia a svetla zapôsobia na človeka harmóniou a dokonalosťou.

Využitie zlatého pomeru v kybernetike a technológii

Zákony zlatej sekcie a Fibonacciho čísla sa tiež prejavujú v energetických prechodoch, v procesoch vyskytujúcich sa v elementárnych časticiach, ktoré tvoria chemické zlúčeniny, vo vesmírnych systémoch, v genetickej štruktúre DNA.

Podobné procesy sa vyskytujú v ľudskom tele a prejavujú sa v biorytmoch jeho života, pri pôsobení orgánov, napríklad mozgu alebo videnia.

Algoritmy a vzorce zlatých rozmerov sa v modernej kybernetike a počítačovej vede často používajú. Jednou z jednoduchých úloh, ktorú môžu začiatočníci programátori vyriešiť, je napísať vzorec a určiť súčet Fibonacciho čísla na určité číslo pomocou programovacích jazykov.

Súčasný výskum teórie zlatého pomeru

Od polovice 20. storočia sa záujem o problémy a vplyv zákonov zlatých rozmerov na ľudský život prudko zvyšuje a zo strany mnohých vedcov rôznych profesií: matematikov, výskumníkov etnológie, biológov, filozofov, zdravotníckych pracovníkov, ekonómov, hudobníkov atď.

V USA sa od 70. rokov začal vydávať časopis Fibonacci Quarterly, kde sa uverejňujú práce na túto tému. V tlači sa objavujú diela, v ktorých sa všeobecné pravidlá zlatého oddielu a série Fibonacci používajú v rôznych odvetviach poznania. Napríklad na kódovanie informácií, chemický výskum, biologický atď.

To všetko potvrdzuje závery starých a moderných vedcov, že zlatý podiel je multilaterálne spojený so základnými otázkami vedy a prejavuje sa v symetrii mnohých stvorení a javov sveta okolo nás.

Taliansky matematik Leonardo Fibonacci žil v 13. storočí a bol jedným z prvých v Európe, ktorý používal arabské (indické) čísla. Prišiel s trochu umelým problémom o králikoch chovaných na farme, ktoré sa považujú za samice, samce sa ignorujú. Králiky sa začnú rozmnožovať potom, ako dosiahnu vek dvoch mesiacov, a potom každý mesiac rodia králika. Králiky nikdy nezomrú.

Je potrebné určiť, koľko králikov bude na farme prejsť n  mesiacov, ak bol v počiatočnom období iba jeden novonarodený králik.

Je zrejmé, že farmár má jedného králika v prvom mesiaci a jedného králika v druhom mesiaci. V treťom mesiaci už budú dva králiky, v štvrtom - troch atď. Uveďte počet králikov v n  mesiac ako. Týmto spôsobom
,
,
,
,
, …

Môžete si vytvoriť algoritmus, ktorý vám umožní nájsť pre všetkých n.

Podľa stavu problému je celkový počet králikov
v n+1 mesiac sa rozloží na tri zložky:

jednodňových králikov neschopných chovu, vo výške

;

Takto získame

. (8.1)

Vzorec (8.1) vám umožňuje vypočítať sériu čísel: 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, ...

Čísla v tejto postupnosti sa volajú fibonacciho čísla .

Ak je akceptovaný
a
, potom pomocou vzorca (8.1) môžeme určiť všetky ďalšie Fibonacciho čísla. Nazýva sa vzorec (8.1) opakovaný   vzorec ( opakovanie   - „návrat“ v latinčine).

Príklad 8.1.Predpokladajme, že je tu schodisko n  krokoch. Môžeme to vyšplhať v krokoch po jednom kroku, alebo - v krokoch po dvoch krokoch. Koľko kombinácií rôznych metód zdvíhania existuje?

ak n  \u003d 1, existuje iba jedno riešenie problému. pre n  \u003d 2 sú 2 možnosti: dva jednoduché kroky alebo jeden dvojitý. pre n  \u003d 3 sú 3 možnosti: tri kroky jednotky alebo jedna jednotka a jedna dvojitá alebo jedna dvojitá a jedna jednotka.

V nasledujúcom prípade n  \u003d 4, máme 5 možností (1 + 1 + 1 + 1, 2 + 1 + 1, 1 + 2 + 1, 1 + 1 + 2, 2 + 2).

S cieľom odpovedať na otázku náhodne n, označte počet možností ako a skúste to zistiť
slávny a
, Ak začneme jedným krokom, potom máme kombinácie pre ostatné n  krokoch. Ak začneme dvojitým krokom, potom máme
kombinácie pre ostatné n–1 krokov. Celkový počet možností pre nKroky +1 sa rovnajú

. (8.2)

Výsledný vzorec ako dvojča sa podobá vzorcu (8.1). To však neumožňuje identifikovať počet kombinácií s Fibonacciho číslami , Vidíme to napríklad
ale
, Vyskytuje sa však nasledujúci vzťah:

.

To je pravda n \u003d 1, 2 a platí aj pre každú z nich n, Fibonacciho čísla a počet kombinácií sú vypočítané pomocou rovnakého vzorca, počiatočné hodnoty
,
a
,
líšia sa.

Príklad 8.2.Tento príklad má praktický význam pre problémy s opravou chýb pri kódovaní. Nájdite počet všetkých binárnych slov dĺžky nneobsahujúce viac núl v rade. Označte toto číslo používateľom , samozrejme,
a slová dĺžky 2, ktoré spĺňajú naše obmedzenia, sú: 10, 01, 11, t.
, nechať
- také slovo z n  znaky. Ak je symbol
potom
môže byť ľubovoľný (
) je písmenové slovo, ktoré neobsahuje niekoľko núl v rade. Takže počet slov s jednotkou na konci je
.

Ak je symbol
potom sa uistite
a prvý
symbol
môže byť svojvoľné, berúc do úvahy zvažované obmedzenia. Preto existuje
slová dĺžky n  na konci nula. Celkový počet slov, ktoré nás zaujímajú, sa teda rovná

.

Vzhľadom na skutočnosť, že
a
, výsledná postupnosť čísel sú Fibonacciho čísla.

Príklad 8.3V príklade 7.6 sme zistili, že počet binárnych slov konštantnej váhy t  (a dĺžka k) je rovnaké , Teraz nájdite počet binárnych slov konštantnej váhy tneobsahujúce viac núl v rade.

Môžete to takto zdôvodniť. nechať
počet núl v predmetných slovách. Akékoľvek slovo má
medzery medzi najbližšími nulami, z ktorých každá obsahuje jednu alebo viac jednotiek. Predpokladá sa, že
, Inak neexistuje jediné slovo bez susedných núl.

Ak z každej medzery odstránime presne jednu jednotku, dostaneme slovo dĺžky
zahŕňajúce nuly. Každé takéto slovo možno získať naznačeným spôsobom od niektorých (a navyše iba jedného) klist obsahujúci nuly, žiadne z nich nestoja bok po boku. Požadované číslo sa teda zhoduje s počtom všetkých slov dĺžky
ktoré obsahujú presne nuly, t.j. je
.

Príklad 8.4.Dokážme to
rovná sa Fibonacciho číslu pre akékoľvek celé číslo , symbol
predstavuje najmenšie celé číslo väčšie alebo rovné , Napríklad, ak
potom
; a ak
potom
opatriť stropom  ( "Strop"). Symbol sa tiež objaví.
čo označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné , V angličtine sa táto operácia nazýva podlaha ( "Pohlavie").

ak
potom
, ak
potom
, ak
potom
.

V posudzovaných prípadoch je teda suma skutočne rovnaká ako Fibonacciho čísla. Teraz poskytujeme dôkaz pre všeobecný prípad. Pretože Fibonacciho čísla je možné získať pomocou rekurenčnej rovnice (8.1), potom rovnosť

.

A naozaj:

Tu sme použili predtým získaný vzorec (4.4):
.

Súčet Fibonacciho čísel

Určíme súčet prvého n  Fibonacciho čísla.

0+1+1+2+3+5 = 12,

0+1+1+2+3+5+8 = 20,

0+1+1+2+3+5+8+13 = 33.

Je ľahké vidieť, že pridaním jednej na pravú stranu každej rovnice dostaneme opäť Fibonacciho číslo. Všeobecný vzorec na určenie súčtu prvého n  Fibonacciho čísla majú tvar:

Dokazujeme to pomocou metódy matematickej indukcie. Za týmto účelom píšeme:

Táto suma by sa mala rovnať
.

Znížením ľavej a pravej strany rovnice o –1 dostaneme rovnicu (6.1).

Vzorec pre Fibonacciho čísla

Veta 8.1. Fibonacciho čísla sa môžu vypočítať podľa vzorca

.

dôkaz, Overujeme platnosť tohto vzorca pre n  \u003d 0, 1, a potom dokážeme platnosť tohto vzorca pre ľubovoľný n  indukciou. Vypočítame pomer dvoch najbližších Fibonacciho čísel:

Vidíme, že pomer týchto čísel kolíše okolo 1,618 (ak ignorujete prvých pár hodnôt). Podľa tejto vlastnosti sa členovia geometrického postupu podobajú Fibonacciho číslam. Bude akceptovať
, (
). Potom výraz

prevedené na

ktorý po zjednodušení vyzerá takto

.

Dostali sme kvadratickú rovnicu, ktorej korene sú rovnaké:

Teraz môžeme napísať:

(kde c  je konštanta). Obaja členovia   a napríklad nedávajte Fibonacciho čísla
, Kým
, Avšak rozdiel
  spĺňa rekurenčnú rovnicu:

pre n\u003d 0, tento rozdiel dáva , t.j.
, Avšak, keď n\u003d 1 máme
, Dostať
, musíte akceptovať:
.

Teraz máme dve sekvencie:   a
ktoré začínajú rovnakými dvoma číslami a spĺňajú rovnaký vzorec opakovania. Mali by byť rovnaké:
, Veta je dokázaná.

S rastúcou n  člen byť veľmi veľký
a úloha člena rozdiel je znížený. Preto pre veľké n  približne môžeme písať

.

Ignorujeme 1/2 (pretože počet Fibonacciho rastie do nekonečna s rastom n  ad infinitum).

postoj
  vyzvala zlatý pomer, používa sa mimo matematiky (napríklad v sochárstve a architektúre). Zlatý pomer je pomer medzi uhlopriečkou a stranou pravidelný päťuholník  (Obr. 8.1).

Obr. 8.1. Pravidelný päťuholník a jeho uhlopriečky

Na označenie zlatého pomeru sa obvykle používa písmeno
na počesť slávneho aténskeho sochára Phidiasa.

Prvočísla

Všetky prirodzené čísla, veľké jednotky, patria do dvoch tried. Prvá obsahuje čísla, ktoré majú presne dvoch prirodzených deliteľov, jeden a seba, druhý - všetky ostatné. Nazývajú sa čísla prvej triedy prostýa druhý - zložený, Počiatočné čísla za prvé tri desiatky: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, ...

Vlastnosti prvočísel a ich vzťah so všetkými prirodzenými číslami boli študované Euclidom (3. storočie pred Kristom). Ak napíšete prvočísla v rade, všimnete si, že sa ich relatívna hustota zníži. K dispozícii sú 4 v prvých desiatich, t. J. 40%, v sto - 25, t. 25% na tisíc - 168, t.j. menej ako 17%, na milión - 78498, t.j. menej ako 8% atď. Ich celkový počet je však nekonečný.

Medzi prvočísla existujú také dvojice, ktorých rozdiel sa rovná dvom (tzv jednoduché dvojičky), konečnosť alebo nekonečno takýchto párov však nebolo dokázané.

Euclid považoval za zrejmé, že vynásobením iba prvočísel sa dajú získať všetky prirodzené čísla a každé prirodzené číslo možno jedinečne vyjadriť ako výsledok prvočísel (až do radu faktorov). Preto prvočísla tvoria multiplikatívny základ prirodzenej série.

Štúdium distribúcie prvočísel viedlo k vytvoreniu algoritmu, ktorý vám umožní získať tabuľky prvočísel. Takýto algoritmus je sito eratostenes  (3. storočie pred Kristom). Táto metóda spočíva v preosievaní (napríklad preškrtnutím) tých celých čísel danej sekvencie
ktoré sú deliteľné najmenej jedným z prvočíselníkov
.

Veta 8 . 2 .   (Euklidovská veta). Počet prvočíselníkov je nekonečný.

dôkaz, Euklidovskú vetu o nekonečne prvočísel dokazujeme metódou, ktorú navrhol Leonard Euler (1707–1783). Euler skontroloval produkt na všetky prvočísla p:

na
, Tento produkt sa zbližuje, a ak sa odhalí, v dôsledku jedinečnosti rozkladu prírodných čísel na hlavné faktory sa ukáže, že sa rovná súčtu série. , odkiaľ Eulerova identita vyplýva:

.

Odkedy
pretože séria napravo sa líši (harmonická séria), potom Eulidova veta vyplýva z Eulerovej identity.

Ruský matematik P.L. Chebyshev (1821 - 1894) odvodil vzorec definujúci limity, v ktorých leží počet prvočísel
nepresahujúcim X:

,

kde
,
.