Rovnoplošné trojuholníky v lichobežníkoch dôkaz. Zapamätajte si a aplikujte vlastnosti lichobežníka

V rôznych materiáloch testy a skúšky sú veľmi bežné problémy s lichobežníkmi, ktorého riešenie si vyžaduje znalosť jeho vlastností.

Poďme zistiť, aké zaujímavé a užitočné vlastnosti má lichobežník na riešenie problémov.

Po preštudovaní vlastností strednej čiary lichobežníka je možné formulovať a dokázať vlastnosť segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka. Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní.

MO – stredná čiara trojuholník ABC a rovný 1/2BC (obr. 1).

MQ je stredná čiara trojuholníka ABD a rovná sa 1/2AD.

Potom OQ = MQ – MO, teda OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Pri riešení mnohých problémov na lichobežníku je jednou z hlavných techník nakresliť do neho dve výšky.

Zvážte nasledujúce úloha.

Nech je BT výška rovnoramenný lichobežník ABCD so základmi BC a AD, s BC = a, AD = b. Nájdite dĺžky segmentov AT a TD.

Riešenie.

Riešenie problému nie je ťažké (obr. 2), ale umožňuje vám získať vlastnosť výšky rovnoramenného lichobežníka ťahaného z vrcholu tupého uhla: výška rovnoramenného lichobežníka vedeného z vrcholu tupého uhla rozdeľuje väčšiu základňu na dva segmenty, z ktorých menší sa rovná polovici rozdielu základov a väčší sa rovná polovici súčtu základov .

Pri štúdiu vlastností lichobežníka musíte venovať pozornosť takej vlastnosti, ako je podobnosť. Napríklad uhlopriečky lichobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky a trojuholníky susediace so základňami sú podobné a trojuholníky susediace so stranami majú rovnakú veľkosť. Toto vyhlásenie možno nazvať vlastnosť trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvú časť tvrdenia je navyše možné veľmi ľahko dokázať prostredníctvom znamienka podobnosti trojuholníkov v dvoch uhloch. Poďme dokázať druhá časť vyhlásenia.

Trojuholníky BOC a COD majú spoločnú výšku (obr. 3), ak za ich základňu vezmeme segmenty BO a OD. Potom S BOC /S COD = BO/OD = k. Preto S CHSK = 1/k · S BOC .

Podobne trojuholníky BOC a AOB majú spoločnú výšku, ak za základ zoberieme úsečky CO a OA. Potom S BOC/S AOB = CO/OA = k a S A O B = 1/k · S BOC.

Z týchto dvoch viet vyplýva, že S COD = S A O B.

Nezostávajme pri formulovanom tvrdení, ale nájdime vzťah medzi plochami trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Ak to chcete urobiť, vyriešte nasledujúci problém.

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. Je známe, že plochy trojuholníkov BOC a AOD sa rovnajú S1 a S2. Nájdite oblasť lichobežníka.

Keďže S COD = S A O B, potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD vyplýva, že BO/OD = √(S₁/S 2).

Preto S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), čo znamená S COD = √(S 1 · S 2).

Potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Pomocou podobnosti je to dokázané vlastnosť úsečky prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami.

Uvažujme úloha:

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. BC = a, AD = b. Nájdite dĺžku úsečky PK prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežných so základňami. Aké segmenty delí PK bod O (obr. 4)?

Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOC vyplýva, že AO/OC = AD/BC = b/a.

Z podobnosti trojuholníkov AOP a ACB vyplýva, že AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Preto PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBC vyplýva, že OK = ab/(a + b).

Preto PO = OK a PK = 2ab/(a + b).

Dokázanú vlastnosť teda možno formulovať takto: úsečka rovnobežná so základňami lichobežníka, prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok a spájajúca dva body na bočných stranách, je rozdelená na polovicu priesečníkom lichobežníka. uhlopriečky. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základov lichobežníka.

Sledovanie štvorbodová vlastnosť: v lichobežníku leží priesečník uhlopriečok, priesečník pokračovania strán, stredy základov lichobežníka ležia na tej istej priamke.

Trojuholníky BSC a ASD sú podobné (obr. 5) a v každom z nich mediány ST a SG rozdeľujú vrcholový uhol S na rovnaké časti. Preto body S, T a G ležia na tej istej priamke.

Rovnakým spôsobom sa na tej istej priamke nachádzajú body T, O a G. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD.

To znamená, že všetky štyri body S, T, O a G ležia na jednej priamke.

Môžete tiež nájsť dĺžku segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dva podobné.

Ak sú lichobežníky ALFD a LBCF podobné (obr. 6), potom a/LF = LF/b.

Preto LF = √(ab).

Segment rozdeľujúci lichobežník na dva podobné lichobežníky má teda dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základní.

Poďme dokázať vlastnosť segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dve rovnaké oblasti.

Nech je oblasť lichobežníka S (obr. 7). h 1 a h 2 sú časti výšky a x je dĺžka požadovaného segmentu.

Potom S/2 = h1 (a + x)/2 = h2 (b + x)/2 a

S = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vytvorme si systém

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h1 · (a + x) = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vyriešením tejto sústavy dostaneme x = √(1/2(a 2 + b 2)).

teda dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná √((a 2 + b 2)/2)(stredná štvorec základných dĺžok).

Takže pre lichobežník ABCD so základňami AD a BC (BC = a, AD = b) sme dokázali, že segment:

1) MN, spájajúca stredy bočných strán lichobežníka, je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu (aritmetický priemer čísel a a b);

2) PK prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami sa rovná
2ab/(a + b) (harmonický priemer čísel a a b);

3) LF, ktorá rozdeľuje lichobežník na dva podobné lichobežníky, má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru čísel a a b, √(ab);

4) EH, ktorý delí lichobežník na dva rovnaké, má dĺžku √((a 2 + b 2)/2) (stredná odmocnina z čísel a a b).

Znak a vlastnosť vpísaného a ohraničeného lichobežníka.

Vlastnosť vpísaného lichobežníka: lichobežník môže byť vpísaný do kruhu vtedy a len vtedy, ak je rovnoramenný.

Vlastnosti opísaného lichobežníka. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak súčet dĺžok základní je rovný súčtu dĺžok strán.

Užitočné dôsledky skutočnosti, že kruh je vpísaný do lichobežníka:

1. Výška opísaného lichobežníka sa rovná dvom polomerom vpísanej kružnice.

2. Strana opísaného lichobežníka je viditeľná zo stredu vpísanej kružnice v pravom uhle.

Prvý je zrejmý. Aby sa dokázal druhý dôsledok, je potrebné zistiť, či je uhol COD správny, čo tiež nie je ťažké. Ale znalosť tohto následku vám umožňuje používať pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Upresnime dôsledky pre rovnoramenný opísaný lichobežník:

Výška rovnoramenného opísaného lichobežníka je geometrickým priemerom základov lichobežníka
h = 2r = √(ab).

Uvažované vlastnosti vám umožnia hlbšie pochopiť lichobežník a zabezpečiť úspech pri riešení problémov pomocou jeho vlastností.

Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť problémy s lichobežníkmi?
Ak chcete získať pomoc od tútora, zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

\[(\Large(\text(Voľný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník je konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho základne a ďalšie dve strany sa nazývajú jeho bočné strany.

Výška lichobežníka je kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k druhej základni.

Vety: vlastnosti lichobežníka

1) Súčet bočných uhlov je \(180^\circ\) .

2) Uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky, z ktorých dva sú podobné a ďalšie dva majú rovnakú veľkosť.

Dôkaz

1) Pretože \(AD\paralelný BC\), potom sú uhly \(\uhol BAD\) a \(\uhol ABC\) jednostranné pre tieto čiary a priečne \(AB\), preto, \(\uhol BAD +\uhol ABC=180^\circ\).

2) Pretože \(AD\paralelný BC\) a \(BD\) sú sečna, potom \(\uhol DBC=\uhol BDA\) ležia priečne.
Tiež \(\uhol BOC=\uhol AOD\) ako zvislý.
Preto v dvoch uhloch \(\trojuholník BOC \sim \trojuholník AOD\).

Dokážme to \(S_(\trojuholník AOB)=S_(\trojuholník COD)\). Nech \(h\) je výška lichobežníka. Potom \(S_(\trojuholník ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trojuholník ACD)\). potom: \

Definícia

Stredová čiara lichobežníka je segment spájajúci stredné body strán.

Veta

Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

dôkaz*

1) Dokážme paralelizmus.

Narysujme bodom \(M\) priamku \(MN"\paralelná AD\) (\(N"\v CD\) ). Potom podľa Thalesovej vety (od r \(MN"\paralelný AD\paralelný BC, AM=MB\)) bod \(N"\) je stredom segmentu \(CD\). To znamená, že body \(N\) a \(N"\) sa budú zhodovať.

2) Dokážme vzorec.

Urobme \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Nechaj \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Potom podľa Thalesovej vety sú \(M"\) a \(N"\) stredmi segmentov \(BB"\) a \(CC"\). To znamená, že \(MM"\) je stredná čiara \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) je stredná čiara \(\trojuholník DCC"\) . Preto: \

Pretože \(MN\paralelný AD\paralelný BC\) a \(BB", CC"\perp AD\), potom \(B"M"N"C"\) a \(BM"N"C\) sú obdĺžniky. Podľa Thalesovej vety z \(MN\paralelná AD\) a \(AM=MB\) vyplýva, že \(B"M"=M"B\) . Preto \(B"M"N"C "\) a \(BM"N"C\) sú rovnaké obdĺžniky, preto \(M"N"=B"C"=BC\) .

Takto:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Veta: vlastnosť ľubovoľného lichobežníka

Stredy základní, priesečník uhlopriečok lichobežníka a priesečník predĺžení bočných strán ležia na tej istej priamke.

dôkaz*
Po preštudovaní témy „Podobnosť trojuholníkov“ sa odporúča oboznámiť sa s dôkazom.

1) Dokážme, že body \(P\) , \(N\) a \(M\) ležia na tej istej priamke.

Nakreslíme priamku \(PN\) (\(P\) je priesečník predĺženia bočných strán, \(N\) je stred \(BC\)). Nech pretína stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

Zvážte \(\triangle BPN\) a \(\triangle APM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol APM\) – všeobecný, \(\uhol PAM=\uhol PBN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(AB\) sečna). znamená: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Zvážte \(\triangle CPN\) a \(\triangle DPM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol DPM\) – všeobecný, \(\uhol PDM=\uhol PCN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(CD\) sečna). znamená: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) preto \(AM=DM\) .

2) Dokážme, že body \(N, O, M\) ležia na tej istej priamke.

Nech \(N\) je stred \(BC\) a \(O\) je priesečník uhlopriečok. Nakreslíme priamku \(NO\) , bude pretínať stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

\(\trojuholník BNO\sim \trojuholník DMO\) pozdĺž dvoch uhlov (\(\uhol OBN=\uhol ODM\) ležiaci priečne na \(BC\rovnobežná AD\) a \(BD\) sečna; \(\uhol BON=\uhol DOM\) ako vertikála). znamená: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Podobne \(\trojuholník CON\sim \trojuholník AOM\). znamená: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) teda \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Rovnostranný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov pravý.

Lichobežník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho strany rovnaké.

Vety: vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

1) Rovnoramenný lichobežník má rovnaké základné uhly.

2) Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

3) Dva trojuholníky tvorené uhlopriečkami a základňou sú rovnoramenné.

Dôkaz

1) Uvažujme rovnoramenný lichobežník \(ABCD\) .

Z vrcholov \(B\) a \(C\) zhodíme kolmice \(BM\) a \(CN\) na stranu \(AD\). Pretože \(BM\perp AD\) a \(CN\perp AD\) , potom \(BM\paralelné CN\) ; \(AD\paralelný BC\) , potom \(MBCN\) je rovnobežník, teda \(BM = CN\) .

Uvažujme pravouhlé trojuholníky \(ABM\) a \(CDN\) . Keďže ich prepony sú rovnaké a rameno \(BM\) sa rovná ramenu \(CN\) , potom sú tieto trojuholníky rovnaké, teda \(\uhol DAB = \uhol CDA\) .

Pretože \(AB=CD, \uhol A=\uhol D, AD\)- všeobecný, potom podľa prvého znaku. Preto \(AC=BD\) .

3) Pretože \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\), potom \(\uhol BDA=\uhol CAD\) . Preto je trojuholník \(\trojuholník AOD\) rovnoramenný. Podobne je dokázané, že \(\trojuholník BOC\) je rovnoramenný.

Vety: znaky rovnoramenného lichobežníka

1) Ak má lichobežník rovnaké základné uhly, potom je rovnoramenný.

2) Ak má lichobežník rovnaké uhlopriečky, potom je rovnoramenný.

Dôkaz

Uvažujme lichobežník \(ABCD\) taký, že \(\uhol A = \uhol D\) .

Dotvorme lichobežník na trojuholník \(AED\), ako je znázornené na obrázku. Pretože \(\uhol 1 = \uhol 2\) , potom trojuholník \(AED\) je rovnoramenný a \(AE = ED\) . Uhly \(1\) a \(3\) sú rovnaké ako zodpovedajúce uhly pre rovnobežné čiary \(AD\) a \(BC\) a priečne \(AB\). Podobne sú uhly \(2\) a \(4\) rovnaké, ale \(\uhol 1 = \uhol 2\), potom \(\uhol 3 = \uhol 1 = \uhol 2 = \uhol 4\), preto je aj trojuholník \(BEC\) rovnoramenný a \(BE = EC\) .

Nakoniec \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), teda \(AB = CD\), čo bolo potrebné dokázať.

2) Nechajte \(AC=BD\) . Pretože \(\trojuholník AOD\sim \trojuholník BOC\), potom ich koeficient podobnosti označíme ako \(k\) . Potom ak \(BO=x\) , potom \(OD=kx\) . Podobne ako \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Pretože \(AC=BD\) , potom \(x+kx=y+ky \šípka doprava x=y\) . To znamená, že \(\trojuholník AOD\) je rovnoramenný a \(\uhol OAD=\uhol ODA\) .

Teda podľa prvého znaku \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\) (\(AC=BD, \uhol OAD=\uhol ODA, AD\)– všeobecný). Takže, \(AB=CD\) , prečo.

V materiáloch rôznych testov a skúšok sa veľmi často nachádzajú problémy s lichobežníkmi, ktorého riešenie si vyžaduje znalosť jeho vlastností.

Poďme zistiť, aké zaujímavé a užitočné vlastnosti má lichobežník na riešenie problémov.

Po preštudovaní vlastností strednej čiary lichobežníka je možné formulovať a dokázať vlastnosť segmentu spájajúceho stredy uhlopriečok lichobežníka. Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka sa rovná polovici rozdielu základní.

MO je stredná čiara trojuholníka ABC a rovná sa 1/2BC (obr. 1).

MQ je stredná čiara trojuholníka ABD a rovná sa 1/2AD.

Potom OQ = MQ – MO, teda OQ = 1/2AD – 1/2BC = 1/2(AD – BC).

Pri riešení mnohých problémov na lichobežníku je jednou z hlavných techník nakresliť do neho dve výšky.

Zvážte nasledujúce úloha.

Nech BT je výška rovnoramenného lichobežníka ABCD so základňami BC a AD, pričom BC = a, AD = b. Nájdite dĺžky segmentov AT a TD.

Riešenie.

Riešenie problému nie je ťažké (obr. 2), ale umožňuje vám získať vlastnosť výšky rovnoramenného lichobežníka ťahaného z vrcholu tupého uhla: výška rovnoramenného lichobežníka vedeného z vrcholu tupého uhla rozdeľuje väčšiu základňu na dva segmenty, z ktorých menší sa rovná polovici rozdielu základov a väčší sa rovná polovici súčtu základov .

Pri štúdiu vlastností lichobežníka musíte venovať pozornosť takej vlastnosti, ako je podobnosť. Napríklad uhlopriečky lichobežníka ho rozdeľujú na štyri trojuholníky a trojuholníky susediace so základňami sú podobné a trojuholníky susediace so stranami majú rovnakú veľkosť. Toto vyhlásenie možno nazvať vlastnosť trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvú časť tvrdenia je navyše možné veľmi ľahko dokázať prostredníctvom znamienka podobnosti trojuholníkov v dvoch uhloch. Poďme dokázať druhá časť vyhlásenia.

Trojuholníky BOC a COD majú spoločnú výšku (obr. 3), ak za ich základňu vezmeme segmenty BO a OD. Potom S BOC /S COD = BO/OD = k. Preto S CHSK = 1/k · S BOC .

Podobne trojuholníky BOC a AOB majú spoločnú výšku, ak za základ zoberieme úsečky CO a OA. Potom S BOC/S AOB = CO/OA = k a S A O B = 1/k · S BOC.

Z týchto dvoch viet vyplýva, že S COD = S A O B.

Nezostávajme pri formulovanom tvrdení, ale nájdime vzťah medzi plochami trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Ak to chcete urobiť, vyriešte nasledujúci problém.

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. Je známe, že plochy trojuholníkov BOC a AOD sa rovnajú S1 a S2. Nájdite oblasť lichobežníka.

Keďže S COD = S A O B, potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2S COD.

Z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD vyplýva, že BO/OD = √(S₁/S 2).

Preto S₁/S COD = BO/OD = √(S₁/S 2), čo znamená S COD = √(S 1 · S 2).

Potom S ABC D = S 1 + S 2 + 2√(S 1 · S 2) = (√S 1 + √S 2) 2.

Pomocou podobnosti je to dokázané vlastnosť úsečky prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami.

Uvažujme úloha:

Nech bod O je priesečníkom uhlopriečok lichobežníka ABCD so základňami BC a AD. BC = a, AD = b. Nájdite dĺžku úsečky PK prechádzajúcej priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežných so základňami. Aké segmenty delí PK bod O (obr. 4)?

Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOC vyplýva, že AO/OC = AD/BC = b/a.

Z podobnosti trojuholníkov AOP a ACB vyplýva, že AO/AC = PO/BC = b/(a + b).

Preto PO = BC b / (a ​​​​+ b) = ab / (a ​​+ b).

Podobne z podobnosti trojuholníkov DOK a DBC vyplýva, že OK = ab/(a + b).

Preto PO = OK a PK = 2ab/(a + b).

Dokázanú vlastnosť teda možno formulovať takto: úsečka rovnobežná so základňami lichobežníka, prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok a spájajúca dva body na bočných stranách, je rozdelená na polovicu priesečníkom lichobežníka. uhlopriečky. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom základov lichobežníka.

Sledovanie štvorbodová vlastnosť: v lichobežníku leží priesečník uhlopriečok, priesečník pokračovania strán, stredy základov lichobežníka ležia na tej istej priamke.

Trojuholníky BSC a ASD sú podobné (obr. 5) a v každom z nich mediány ST a SG rozdeľujú vrcholový uhol S na rovnaké časti. Preto body S, T a G ležia na tej istej priamke.

Rovnakým spôsobom sa na tej istej priamke nachádzajú body T, O a G. Vyplýva to z podobnosti trojuholníkov BOC a AOD.

To znamená, že všetky štyri body S, T, O a G ležia na jednej priamke.

Môžete tiež nájsť dĺžku segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dva podobné.

Ak sú lichobežníky ALFD a LBCF podobné (obr. 6), potom a/LF = LF/b.

Preto LF = √(ab).

Segment rozdeľujúci lichobežník na dva podobné lichobežníky má teda dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok základní.

Poďme dokázať vlastnosť segmentu rozdeľujúceho lichobežník na dve rovnaké oblasti.

Nech je oblasť lichobežníka S (obr. 7). h 1 a h 2 sú časti výšky a x je dĺžka požadovaného segmentu.

Potom S/2 = h1 (a + x)/2 = h2 (b + x)/2 a

S = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vytvorme si systém

(h 1 (a + x) = h 2 (b + x)
(h1 · (a + x) = (h1 + h2) · (a + b)/2.

Vyriešením tejto sústavy dostaneme x = √(1/2(a 2 + b 2)).

teda dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná √((a 2 + b 2)/2)(stredná štvorec základných dĺžok).

Takže pre lichobežník ABCD so základňami AD a BC (BC = a, AD = b) sme dokázali, že segment:

1) MN, spájajúca stredy bočných strán lichobežníka, je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu (aritmetický priemer čísel a a b);

2) PK prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežného so základňami sa rovná
2ab/(a + b) (harmonický priemer čísel a a b);

3) LF, ktorá rozdeľuje lichobežník na dva podobné lichobežníky, má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru čísel a a b, √(ab);

4) EH, ktorý delí lichobežník na dva rovnaké, má dĺžku √((a 2 + b 2)/2) (stredná odmocnina z čísel a a b).

Znak a vlastnosť vpísaného a ohraničeného lichobežníka.

Vlastnosť vpísaného lichobežníka: lichobežník môže byť vpísaný do kruhu vtedy a len vtedy, ak je rovnoramenný.

Vlastnosti opísaného lichobežníka. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu vtedy a len vtedy, ak súčet dĺžok základní je rovný súčtu dĺžok strán.

Užitočné dôsledky skutočnosti, že kruh je vpísaný do lichobežníka:

1. Výška opísaného lichobežníka sa rovná dvom polomerom vpísanej kružnice.

2. Strana opísaného lichobežníka je viditeľná zo stredu vpísanej kružnice v pravom uhle.

Prvý je zrejmý. Aby sa dokázal druhý dôsledok, je potrebné zistiť, či je uhol COD správny, čo tiež nie je ťažké. Ale znalosť tohto následku vám umožňuje používať pri riešení problémov pravouhlý trojuholník.

Upresnime dôsledky pre rovnoramenný opísaný lichobežník:

Výška rovnoramenného opísaného lichobežníka je geometrickým priemerom základov lichobežníka
h = 2r = √(ab).

Uvažované vlastnosti vám umožnia hlbšie pochopiť lichobežník a zabezpečiť úspech pri riešení problémov pomocou jeho vlastností.

Stále máte otázky? Neviete, ako vyriešiť problémy s lichobežníkmi?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

V tomto článku sa pokúsime čo najúplnejšie odrážať vlastnosti lichobežníka. Najmä budeme hovoriť o všeobecné znaky a vlastnostiach lichobežníka, ako aj o vlastnostiach vpísaného lichobežníka a o kružnici vpísanej do lichobežníka. Dotkneme sa aj vlastností rovnoramenného a pravouhlého lichobežníka.

Príklad riešenia problému pomocou diskutovaných vlastností vám pomôže utriediť si ho na miesta v hlave a lepšie si zapamätať materiál.

Hrazda a všetko-všetko

Na začiatok si stručne pripomeňme, čo je lichobežník a aké ďalšie pojmy sú s ním spojené.

Lichobežník je teda štvoruholníkový útvar, ktorého dve strany sú navzájom rovnobežné (toto sú základne). A tieto dve nie sú rovnobežné - to sú strany.

V lichobežníku je možné výšku znížiť - kolmo na základne. Stredová čiara a uhlopriečky sú nakreslené. Je tiež možné nakresliť os z ľubovoľného uhla lichobežníka.

Teraz si povieme niečo o rôznych vlastnostiach spojených so všetkými týmito prvkami a ich kombináciami.

Vlastnosti lichobežníkových uhlopriečok

Aby to bolo jasnejšie, počas čítania si načrtnite lichobežník ACME na papier a nakreslite doň uhlopriečky.

1. Ak nájdete stredy každej z uhlopriečok (nazvime ich X a T) a spojíte ich, získate segment. Jednou z vlastností uhlopriečok lichobežníka je, že segment HT leží na stredovej čiare. A jeho dĺžku možno získať vydelením rozdielu základov dvoma: ХТ = (a – b)/2.
2. Pred nami je rovnaký lichobežník ACME. Uhlopriečky sa pretínajú v bode O. Pozrime sa na trojuholníky AOE a MOK, tvorené segmentmi uhlopriečok spolu so základňami lichobežníka. Tieto trojuholníky sú podobné. Koeficient podobnosti k trojuholníkov je vyjadrený pomerom základní lichobežníka: k = AE/KM.
   Pomer plôch trojuholníkov AOE a MOK popisuje koeficient k 2 .
3. Rovnaký lichobežník, rovnaké uhlopriečky pretínajúce sa v bode O. Tentoraz budeme uvažovať o trojuholníkoch, ktoré segmenty uhlopriečok tvorili spolu so stranami lichobežníka. Plochy trojuholníkov AKO a EMO sú rovnako veľké - ich plochy sú rovnaké.
4. Ďalšou vlastnosťou lichobežníka je konštrukcia uhlopriečok. Ak teda budete pokračovať po stranách AK a ME v smere menšej základne, tak sa skôr či neskôr v určitom bode pretnú. Ďalej nakreslite priamku cez stred základne lichobežníka. Pretína základne v bodoch X a T.
   Ak teraz predĺžime priamku XT, potom spojí priesečník uhlopriečok lichobežníka O, bod, v ktorom sa pretínajú predĺženia strán a stredu základní X a T.
5. Cez priesečník uhlopriečok nakreslíme úsečku, ktorá bude spájať základne lichobežníka (T leží na menšej základni KM, X na väčšej AE). Priesečník uhlopriečok rozdeľuje tento segment v nasledujúcom pomere: TO/OX = KM/AE.
6. Teraz cez priesečník uhlopriečok nakreslíme segment rovnobežný so základňami lichobežníka (a a b). Priesečník ho rozdelí na dve rovnaké časti. Dĺžku segmentu zistíte pomocou vzorca 2ab/(a + b).

Vlastnosti stredovej čiary lichobežníka

Nakreslite strednú čiaru v lichobežníku rovnobežne s jeho základňami.

1. Dĺžku stredovej čiary lichobežníka možno vypočítať sčítaním dĺžok základní a ich rozdelením na polovicu: m = (a + b)/2.
2. Ak nakreslíte ľubovoľný segment (napríklad výšku) cez obe základne lichobežníka, stredná čiara ho rozdelí na dve rovnaké časti.

Bisektorová vlastnosť lichobežníka

Vyberte ľubovoľný uhol lichobežníka a nakreslite os. Vezmime si napríklad uhol KAE nášho lichobežníka ACME. Po dokončení konštrukcie sami si môžete ľahko overiť, že os odrezáva od základne (alebo jej pokračovania na priamke mimo samotnej postavy) segment rovnakej dĺžky ako strana.

Vlastnosti lichobežníkových uhlov

1. Ktorýkoľvek z dvoch párov uhlov susediacich so stranou si vyberiete, súčet uhlov v páre je vždy 180 0: α + β = 180 0 a γ + δ = 180 0.
2. Spojme stredy základov lichobežníka so segmentom TX. Teraz sa pozrime na uhly na základniach lichobežníka. Ak je súčet uhlov pre ktorýkoľvek z nich 90 0, dĺžka segmentu TX sa dá ľahko vypočítať na základe rozdielu v dĺžkach základní, rozdelených na polovicu: TX = (AE – KM)/2.
3. Ak sú cez strany lichobežníkového uhla nakreslené rovnobežné čiary, rozdelia strany uhla na proporcionálne segmenty.

Vlastnosti rovnoramenného (rovnostranného) lichobežníka

1. V rovnoramennom lichobežníku sú uhly na ktorejkoľvek základni rovnaké.
2. Teraz znova postavte lichobežník, aby ste si ľahšie predstavili, o čom hovoríme. Pozorne sa pozrite na základňu AE - vrchol opačnej základne M sa premietne do určitého bodu na úsečke, ktorá obsahuje AE. Vzdialenosť od vrcholu A k bodu premietania vrcholu M a stredová čiara rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.
3. Niekoľko slov o vlastnosti uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka - ich dĺžky sú rovnaké. A tiež uhly sklonu týchto uhlopriečok k základni lichobežníka sú rovnaké.
4. Kruh možno opísať iba okolo rovnoramenného lichobežníka, pretože súčet opačných uhlov štvoruholníka je 180 0 - požadovaný stav pre to.
5. Vlastnosť rovnoramenného lichobežníka vyplýva z predchádzajúceho odseku – ak sa dá v blízkosti lichobežníka opísať kružnica, ide o rovnoramenný.
6. Z vlastností rovnoramenného lichobežníka vyplýva vlastnosť výšky lichobežníka: ak sa jeho uhlopriečky pretínajú v pravom uhle, potom sa dĺžka výšky rovná polovici súčtu základní: h = (a + b)/2.
7. Opäť nakreslite segment TX cez stredy základov lichobežníka - v rovnoramennom lichobežníku je kolmý na základne. A zároveň TX je osou symetrie rovnoramenného lichobežníka.
8. Tentokrát znížte výšku z opačného vrcholu lichobežníka na väčšiu základňu (nazvime to a). Získate dva segmenty. Dĺžku jedného možno nájsť, ak sa dĺžky základne spočítajú a rozdelia na polovicu: (a + b)/2. Druhý dostaneme, keď odčítame menší od väčšieho základu a výsledný rozdiel vydelíme dvoma: (a – b)/2.

Vlastnosti lichobežníka vpísaného do kruhu

Keďže už hovoríme o lichobežníku vpísanom do kruhu, poďme sa venovať tejto problematike podrobnejšie. Najmä tam, kde je stred kruhu vo vzťahu k lichobežníku. Aj tu sa odporúča, aby ste si našli čas na to, aby ste zobrali ceruzku a nakreslili to, o čom bude reč nižšie. Takto rýchlejšie pochopíte a lepšie si zapamätáte.

1. Umiestnenie stredu kruhu je určené uhlom sklonu uhlopriečky lichobežníka k jeho strane. Napríklad uhlopriečka môže siahať od vrcholu lichobežníka v pravom uhle na stranu. V tomto prípade väčšia základňa pretína stred opísanej kružnice presne v strede (R = ½AE).
2. Uhlopriečka a strana sa môžu stretnúť aj v ostrom uhle - vtedy je stred kruhu vo vnútri lichobežníka.
3. Stred opísanej kružnice môže byť mimo lichobežníka, za jeho väčšou základňou, ak je medzi uhlopriečkou lichobežníka a stranou tupý uhol.
4. Uhol tvorený uhlopriečkou a veľkou základňou lichobežníka ACME (vpísaný uhol) je polovica stredového uhla, ktorý mu zodpovedá: MAE = ½ MOE.
5. Stručne o dvoch spôsoboch, ako nájsť polomer kružnice opísanej. Prvý spôsob: pozorne sa pozrite na svoj výkres - čo vidíte? Ľahko si všimnete, že uhlopriečka rozdeľuje lichobežník na dva trojuholníky. Polomer možno nájsť pomerom strany trojuholníka k sínusu opačného uhla, vynásobeným dvoma. Napríklad, R = AE/2*sinAME. Podobným spôsobom možno vzorec napísať pre ktorúkoľvek zo strán oboch trojuholníkov.
6. Metóda dva: nájdite polomer opísanej kružnice cez oblasť trojuholníka tvoreného uhlopriečkou, stranou a základňou lichobežníka: R = AM*ME*AE/4*S AME.

Vlastnosti lichobežníka opísaného okolo kruhu

Kruh môžete umiestniť do lichobežníka, ak je splnená jedna podmienka. Prečítajte si viac o tom nižšie. A dokopy má táto kombinácia figúrok množstvo zaujímavých vlastností.

1. Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, dĺžku jeho stredovej čiary možno ľahko zistiť sčítaním dĺžok strán a vydelením výsledného súčtu na polovicu: m = (c + d)/2.
2. Pre lichobežník ACME, opísaný okolo kruhu, sa súčet dĺžok základní rovná súčtu dĺžok strán: AK + ME = KM + AE.
3. Z tejto vlastnosti podstav lichobežníka vyplýva opačné tvrdenie: do lichobežníka možno vpísať kruh, ktorého súčet základov sa rovná súčtu jeho strán.
4. Dotykový bod kružnice s polomerom r vpísaným do lichobežníka rozdeľuje stranu na dva segmenty, nazvime ich a a b. Polomer kruhu možno vypočítať pomocou vzorca: r = √ab.
5. A ešte jedna nehnuteľnosť. Aby ste sa vyhli nejasnostiam, nakreslite tento príklad aj vy. Máme starý dobrý lichobežník ACME, popísaný okolo kruhu. Obsahuje uhlopriečky, ktoré sa pretínajú v bode O. Trojuholníky AOK a EOM tvorené segmentmi uhlopriečok a bočnými stranami sú pravouhlé.
   Výšky týchto trojuholníkov, znížených na prepony (t. j. bočné strany lichobežníka), sa zhodujú s polomermi vpísanej kružnice. A výška lichobežníka sa zhoduje s priemerom vpísaného kruhu.

Vlastnosti pravouhlého lichobežníka

Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov pravý. A z tejto okolnosti pramenia aj jeho vlastnosti.

1. Obdĺžnikový lichobežník má jednu zo svojich strán kolmú na základňu.
2. Výška a bočná strana priľahlého lichobežníka pravý uhol, sú si rovné. To vám umožňuje vypočítať plochu obdĺžnikového lichobežníka ( všeobecný vzorec S = (a + b) * h/2) nielen cez výšku, ale aj cez stranu susediacu s pravým uhlom.
3. Pre pravouhlý lichobežník sú dôležité všeobecné vlastnosti uhlopriečok lichobežníka, ktoré už boli opísané vyššie.

Dôkazy o niektorých vlastnostiach lichobežníka

Rovnosť uhlov na základni rovnoramenného lichobežníka:

• Pravdepodobne ste už uhádli, že tu budeme opäť potrebovať lichobežník AKME - nakreslite rovnoramenný lichobežník. Nakreslite priamku MT z vrcholu M rovnobežnú so stranou AK (MT || AK).

Výsledný štvoruholník AKMT je rovnobežník (AK || MT, KM || AT). Pretože ME = KA = MT, ∆ MTE je rovnoramenné a MET = MTE.

AK || MT, teda MTE = KAE, MET = MTE = KAE.

Kde je AKM = 180 0 - MET = 180 0 - KAE = KME.

Q.E.D.

Teraz to dokážeme na základe vlastnosti rovnoramenného lichobežníka (rovnosť uhlopriečok). lichobežník ACME je rovnoramenný:

• Najprv nakreslíme priamku MX – MX || KE. Získame rovnobežník KMHE (základ – MX || KE a KM || EX).

∆AMX je rovnoramenný, pretože AM = KE = MX a MAX = MEA.

MH || KE, KEA = MXE, teda MAE = MXE.

Ukázalo sa, že trojuholníky AKE a EMA sú si navzájom rovné, keďže AM = KE a AE sú spoločnou stranou týchto dvoch trojuholníkov. A tiež MAE = MXE. Môžeme usúdiť, že AK = ME a z toho vyplýva, že lichobežník AKME je rovnoramenný.

Skontrolovať úlohu

Základy lichobežníka ACME sú 9 cm a 21 cm, bočná strana KA, rovná 8 cm, zviera s menšou základňou uhol 150°. Musíte nájsť oblasť lichobežníka.

Riešenie: Z vrcholu K znížime výšku na väčšiu základňu lichobežníka. A začnime sa pozerať na uhly lichobežníka.

Uhly AEM a KAN sú jednostranné. To znamená, že celkovo dajú 180 0. Preto KAN = 30 0 (na základe vlastnosti lichobežníkových uhlov).

Uvažujme teraz o obdĺžnikovom ∆ANC (verím, že tento bod je čitateľom zrejmý bez ďalších dôkazov). Z nej zistíme výšku lichobežníka KH - v trojuholníku je to noha, ktorá leží oproti uhlu 30 0. Preto KH = ½AB = 4 cm.

Plochu lichobežníka nájdeme podľa vzorca: S ACME = (KM + AE) * KN/2 = (9 + 21) * 4/2 = 60 cm 2.

Doslov

Ak ste si pozorne a premyslene preštudovali tento článok, neboli príliš leniví nakresliť ceruzkou v rukách lichobežníky pre všetky dané vlastnosti a v praxi ich rozobrať, mali ste materiál dobre ovládať.

Samozrejme, je tu veľa informácií, pestrých a niekedy aj mätúcich: zameniť vlastnosti opísaného lichobežníka s vlastnosťami vpísaného nie je také ťažké. Sami ste však videli, že rozdiel je obrovský.

Teraz máte podrobné zhrnutie všetkých všeobecné vlastnosti lichobežníky. Rovnako ako špecifické vlastnosti a charakteristiky rovnoramenných a pravouhlých lichobežníkov. Je veľmi výhodné použiť na prípravu na testy a skúšky. Vyskúšajte to sami a zdieľajte odkaz so svojimi priateľmi!

webová stránka, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti sa vyžaduje odkaz na pôvodný zdroj.

Lichobežník je špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom je jeden pár strán rovnobežný. Pojem „lichobežník“ pochádza z gréckeho slova τράπεζα, čo znamená „stôl“, „stôl“. V tomto článku sa pozrieme na typy lichobežníka a jeho vlastnosti. Okrem toho prídeme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky tohto Napríklad uhlopriečku rovnoramenného lichobežníka, stredovú čiaru, plochu atď. Materiál je prezentovaný v štýle elementárnej populárnej geometrie, teda v ľahko dostupnej forme .

Všeobecné informácie

Po prvé, poďme zistiť, čo je štvoruholník. Tento obrázok je špeciálny prípad mnohouholníka, ktorý obsahuje štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nesusedia, sa nazývajú opačné. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavné typy štvoruholníkov sú rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Vráťme sa teda k lichobežníkom. Ako sme už povedali, tento obrazec má dve rovnobežné strany. Nazývajú sa základne. Ďalšie dve (neparalelné) sú bočné strany. V materiáloch skúšok a rôznych testov často nájdete problémy súvisiace s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje, aby študent mal znalosti, ktoré nie sú v programe uvedené. Kurz školskej geometrie oboznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok, ako aj so stredovou čiarou rovnoramenného lichobežníka. Ale okrem toho má spomínaný geometrický útvar aj iné črty. Ale o nich trochu neskôr...

Druhy lichobežníka

Existuje mnoho typov tejto postavy. Najčastejšie je však zvyčajné zvážiť dva z nich - rovnoramenné a obdĺžnikové.

1. Obdĺžnikový lichobežník je obrazec, ktorého jedna zo strán je kolmá na základne. Jej dva uhly sa vždy rovnajú deväťdesiatim stupňom.

2. Rovnoramenný lichobežník je geometrický útvar, ktorého strany sú si navzájom rovné. To znamená, že uhly na základniach sú rovnaké aj v pároch.

Hlavné princípy metodiky štúdia vlastností lichobežníka

Hlavným princípom je využitie tzv. task approach. V skutočnosti nie je potrebné zavádzať nové vlastnosti tohto útvaru do teoretického kurzu geometrie. Môžu byť objavené a formulované v procese riešenia rôznych problémov (najlepšie systémových). Zároveň je veľmi dôležité, aby učiteľ vedel, aké úlohy je potrebné študentom v tom či onom čase zadať vzdelávací proces. Okrem toho môže byť každá vlastnosť lichobežníka reprezentovaná ako kľúčová úloha v systéme úloh.

Druhým princípom je takzvaná špirálová organizácia štúdia „pozoruhodných“ vlastností lichobežníka. To znamená návrat v procese učenia sa k individuálnym črtám danej veci geometrický obrazec. Študenti si ich tak ľahšie zapamätajú. Napríklad vlastnosť štyroch bodov. Dá sa to dokázať tak pri štúdiu podobnosti, ako aj následným použitím vektorov. A ekvivalenciu trojuholníkov susediacich s bočnými stranami obrazca možno dokázať použitím nielen vlastností trojuholníkov s rovnakou výškou nakreslených na strany, ktoré ležia na rovnakej priamke, ale aj použitím vzorca S = 1/2( ab*sinα). Okrem toho môžete pracovať na vpísanom lichobežníku alebo pravouhlom trojuholníku na vpísanom lichobežníku atď.

Používanie „mimoškolských“ prvkov geometrického útvaru v obsahu školského kurzu je technológiou založenou na úlohách na ich výučbu. Neustále odvolávanie sa na študované vlastnosti pri preberaní iných tém umožňuje študentom získať hlbšie vedomosti o lichobežníku a zabezpečuje úspešnosť riešenia zadaných úloh. Začnime teda študovať túto nádhernú postavu.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako sme už uviedli, tento geometrický útvar má rovnaké strany. Je známa aj ako správny lichobežník. Prečo je taký pozoruhodný a prečo dostal také meno? Zvláštnosťou tohto obrázku je, že nielen strany a uhly na základniach sú rovnaké, ale aj uhlopriečky. Okrem toho súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je 360 ​​stupňov. Ale to nie je všetko! Zo všetkých známych lichobežníkov možno ako kruh označiť iba rovnoramenný. Je to spôsobené tým, že súčet opačných uhlov tohto obrázku sa rovná 180 stupňom a iba za tejto podmienky možno opísať kruh okolo štvoruholníka. Ďalšou vlastnosťou uvažovaného geometrického útvaru je, že vzdialenosť od vrcholu základne k priemetu opačného vrcholu na priamku, ktorá obsahuje túto základňu, sa bude rovnať stredovej čiare.

Teraz poďme zistiť, ako nájsť uhly rovnoramenného lichobežníka. Uvažujme o riešení tohto problému za predpokladu, že sú známe rozmery strán obrázku.

Riešenie

Typicky sa štvoruholník zvyčajne označuje písmenami A, B, C, D, kde BS a AD sú základne. V rovnoramennom lichobežníku sú strany rovnaké. Budeme predpokladať, že ich veľkosť sa rovná X a veľkosti základov sa rovnajú Y a Z (menšie a väčšie). Na vykonanie výpočtu je potrebné nakresliť výšku H z uhla B. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB je prepona a BN a AN sú nohy. Vypočítame veľkosť nohy AN: menšiu odčítame od väčšej základne a výsledok vydelíme 2. Zapíšeme ho vo forme vzorca: (Z-Y)/2 = F. Teraz vypočítame akút. uhla trojuholníka, použijeme funkciu cos. Dostaneme nasledujúci záznam: cos(β) = X/F. Teraz vypočítame uhol: β=arcos (X/F). Ďalej, keď poznáme jeden uhol, môžeme určiť druhý, preto vykonáme elementárnu aritmetickú operáciu: 180 - β. Všetky uhly sú definované.

Existuje druhé riešenie tohto problému. Najprv ju spustíme z rohu do výšky H. Vypočítame hodnotu nohy BN. Vieme, že druhá mocnina prepony správny trojuholník rovná súčtu štvorcov nôh. Dostaneme: BN = √(X2-F2). Ďalej použijeme goniometrická funkcia tg. Výsledkom je: β = arctan (BN/F). Bol nájdený ostrý uhol. Ďalej ju definujeme podobne ako pri prvej metóde.

Vlastnosť uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka

Najprv si napíšme štyri pravidlá. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom:

Výška postavy sa bude rovnať súčtu základov vydelených dvoma;

Jeho výška a stredová čiara sú rovnaké;

Stred kruhu je bod, v ktorom ;

Ak je bočná strana rozdelená bodom dotyku na segmenty H a M, potom sa rovná odmocnina produkty týchto segmentov;

Štvoruholník, ktorý tvoria dotykové body, vrchol lichobežníka a stred vpísanej kružnice, je štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru;

Plocha postavy sa rovná súčinu základov a súčinu polovice súčtu základov a jeho výšky.

Podobné lichobežníky

Táto téma je veľmi vhodná na štúdium vlastností tohto Napríklad uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky a tie, ktoré susedia so základňami, sú podobné a tie, ktoré susedia so stranami, majú rovnakú veľkosť. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosťou trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvá časť tohto tvrdenia je dokázaná znakom podobnosti v dvoch uhloch. Na dôkaz druhej časti je lepšie použiť metódu uvedenú nižšie.

Dôkaz vety

Akceptujeme, že obrazec ABSD (AD a BS sú základne lichobežníka) je rozdelený uhlopriečkami VD a AC. Ich priesečník je O. Získame štyri trojuholníky: AOS - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a BOS majú spoločnú výšku, ak segmenty BO a OD sú ich základňami. Zistili sme, že rozdiel medzi ich plochami (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmentmi: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Preto PSOD = PBOS/K. Podobne trojuholníky BOS a AOB majú spoločnú výšku. Za ich základ berieme segmenty CO a OA. Dostaneme PBOS/PAOB = CO/OA = K a PAOB = PBOS/K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Na upevnenie učiva sa študentom odporúča nájsť súvislosť medzi plochami výsledných trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami, riešením nasledujúcej úlohy. Je známe, že trojuholníky BOS a AOD majú rovnaké plochy, je potrebné nájsť oblasť lichobežníka. Keďže PSOD = PAOB, znamená to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD vyplýva, že BO/OD = √(PBOS/PAOD). Preto PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dostaneme PSOD = √(PBOS*PAOD). Potom PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Vlastnosti podobnosti

Pokračovaním v rozvíjaní tejto témy je možné dokázať iné zaujímavé funkcie lichobežník. Pomocou podobnosti je teda možné dokázať vlastnosť segmentu, ktorý prechádza bodom tvoreným priesečníkom uhlopriečok tohto geometrického útvaru rovnobežne so základňami. Aby sme to urobili, vyriešme nasledujúci problém: musíme nájsť dĺžku úsečky RK, ktorá prechádza bodom O. Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOS vyplýva, že AO/OS = AD/BS. Z podobnosti trojuholníkov AOP a ASB vyplýva, že AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=BS*BP/(BS+BP). Podobne z podobnosti trojuholníkov DOC a DBS vyplýva, že OK = BS*AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=OK a RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok, rovnobežný so základňami a spájajúci dve bočné strany, je priesečníkom rozdelený na polovicu. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom podstavcov postavy.

Uvažujme ďalšia kvalita lichobežník, ktorý sa nazýva štvorbodová vlastnosť. Priesečníky uhlopriečok (O), priesečník pokračovania strán (E), ako aj stredy základní (T a F) ležia vždy na tej istej priamke. To sa dá ľahko dokázať pomocou metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky BES a AED sú podobné a v každom z nich mediány ET a EJ rozdeľujú vrcholový uhol E na rovnaké časti. Preto body E, T a F ležia na rovnakej priamke. Rovnakým spôsobom sa body T, O a Zh nachádzajú na rovnakej priamke.To všetko vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD. Z toho vyvodíme, že všetky štyri body - E, T, O a F - budú ležať na rovnakej priamke.

Pomocou podobných lichobežníkov môžete požiadať študentov, aby našli dĺžku segmentu (LS), ktorý rozdeľuje postavu na dve podobné. Tento segment musí byť rovnobežný so základňami. Keďže výsledné lichobežníky ALFD a LBSF sú podobné, potom BS/LF = LF/AD. Z toho vyplýva, že LF=√(BS*AD). Zistili sme, že úsečka rozdeľujúca lichobežník na dva podobné má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok podstav obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Je založená na segmente, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnaké postavy. Predpokladáme, že lichobežník ABSD je rozdelený segmentom EH na dva podobné. Z vrcholu B je vynechaná výška, ktorá je segmentom EN rozdelená na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 a PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ďalej zostavíme systém, ktorého prvá rovnica je (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 a druhá (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Z toho vyplýva, že B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) a BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Zistili sme, že dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná strednej odmocnine dĺžok základní: √((BS2+AD2)/2).

Zistenia podobnosti

Dokázali sme teda, že:

1. Segment spájajúci stredy bočných strán lichobežníka je rovnobežný s AD a BS a rovná sa aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Priamka prechádzajúca bodom O priesečníka uhlopriečok rovnobežných s AD a BS sa bude rovnať harmonickému priemeru čísel AD a BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Úsečka rozdeľujúca lichobežník na podobné má dĺžku geometrického priemeru báz BS a AD.

4. Prvok rozdeľujúci obrazec na dva rovnaké má dĺžku strednej odmocniny čísel AD a BS.

Na upevnenie materiálu a pochopenie spojenia medzi uvažovanými segmentmi ich študent potrebuje skonštruovať pre konkrétny lichobežník. Dokáže ľahko zobraziť strednú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečníkom uhlopriečok obrazca - rovnobežne so základňami. Kde sa však bude nachádzať tretí a štvrtý? Táto odpoveď privedie žiaka k objaveniu požadovaného vzťahu medzi priemernými hodnotami.

Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka

Zvážte nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Predpokladáme, že úsečka MH je rovnobežná so základňami a pretína uhlopriečky. Priesečníky nazvime Ш a Ш. Tento segment sa bude rovnať polovici rozdielu báz. Pozrime sa na to podrobnejšie. MS je stredná čiara trojuholníka ABS, rovná sa BS/2. MSH je stredná čiara trojuholníka ABD, rovná sa AD/2. Potom dostaneme, že ShShch = MSh-MSh, teda ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok určený pre daný geometrický útvar. K tomu je potrebné predĺžiť základne v opačných smeroch. Čo to znamená? Spodnú základňu musíte pridať k hornej základni - v ľubovoľnom smere, napríklad vpravo. A spodnú predĺžime o dĺžku vrchnej doľava. Ďalej ich spojíme diagonálne. Priesečník tohto segmentu so stredovou čiarou obrázku je ťažisko lichobežníka.

Vpísané a ohraničené lichobežníky

Vymenujme vlastnosti takýchto postáv:

1. Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu, len ak je rovnoramenný.

2. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu za predpokladu, že súčet dĺžok ich základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Dôsledky incircle:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Strana opísaného lichobežníka sa pozoruje od stredu kruhu v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý, ale na preukázanie druhého je potrebné preukázať, že uhol SOD je správny, čo v skutočnosti tiež nie je ťažké. Ale vedomosti tejto nehnuteľnosti vám umožní používať pri riešení úloh pravouhlý trojuholník.

Teraz špecifikujme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník vpísaný do kruhu. Zistili sme, že výška je geometrickým priemerom základov obrázku: H=2R=√(BS*AD). Pri nácviku základnej techniky riešenia úloh pre lichobežníky (princíp kreslenia dvoch výšok) musí žiak vyriešiť nasledujúcu úlohu. Predpokladáme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Pomocou vyššie opísaného vzorca to nebude ťažké.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti ohraničeného lichobežníka. Znížime výšku z vrcholu B na základňu AD. Keďže kruh je vpísaný do lichobežníka, potom BS+AD = 2AB alebo AB = (BS+AD)/2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dostaneme PABSD = (BS+BP)*R, z čoho vyplýva, že R = PABSD/(BS+BP).

Všetky vzorce pre stredovú čiaru lichobežníka

Teraz je čas prejsť na posledný prvok tohto geometrického útvaru. Poďme zistiť, čomu sa rovná stredná čiara lichobežníka (M):

1. Cez základy: M = (A+B)/2.

2. Cez výšku, základňu a rohy:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctga+ctgp)/2.

3. Cez výšku, uhlopriečky a uhol medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú uhlopriečky lichobežníka; α, β - uhly medzi nimi:

M = Dl*D2*sina/2N = Dl*D2*sinp/2N.

4. Priechodná plocha a výška: M = P/N.