Pravidelný lichobežníkový vzorec. Oblasť lichobežníka: ako vypočítať, vzorec

Oblasť lichobežníka. Pozdravujem! V tejto publikácii sa pozrieme na tento vzorec. Prečo je práve taká a ako jej rozumieť. Ak existuje porozumenie, nemusíte ho učiť. Ak sa chcete len pozrieť na tento vzorec a súrne, môžete okamžite posunúť stránku nadol))

Teraz podrobne a v poriadku.

Lichobežník je štvoruholník, dve strany tohto štvoruholníka sú rovnobežné, ostatné dve nie sú. Tie, ktoré nie sú rovnobežné, sú základne lichobežníka. Ďalšie dve sa nazývajú strany.

Ak sú strany rovnaké, potom sa lichobežník nazýva rovnoramenný. Ak je jedna zo strán kolmá na základne, potom sa takýto lichobežník nazýva obdĺžnikový.

IN klasický vzhľad Lichobežník je znázornený nasledovne: väčšia základňa je dole a menšia základňa je hore. Ale nikto nezakazuje zobrazovať ju a naopak. Tu sú náčrty:

Ďalší dôležitý koncept.

Stredová čiara lichobežníka je segment, ktorý spája stredy strán. Stredná čiara je rovnobežná so základňami lichobežníka a rovná sa ich polovičnému súčtu.

Teraz poďme hlbšie. prečo je to tak?

Zvážte lichobežník so základňami a a b a so strednou čiarou l, a vykonáme niekoľko dodatočných konštrukcií: nakreslíme rovné čiary cez základne a cez konce stredová čiara kolmice, kým sa nepretnú so základňami:

*Označenia vrcholov a iných bodov písmenami nie sú zámerne zahrnuté, aby sa predišlo zbytočným označeniam.

Pozrite, trojuholníky 1 a 2 sú rovnaké podľa druhého znamienka rovnosti trojuholníkov, trojuholníky 3 a 4 sú rovnaké. Z rovnosti trojuholníkov vyplýva rovnosť prvkov, a to nôh (sú označené modrou a červenou farbou).

Teraz pozornosť! Ak mentálne „odrežeme“ modrý a červený segment zo spodnej základne, zostane nám segment (toto je strana obdĺžnika) rovný strednej čiare. Ďalej, ak vyrezané modré a červené segmenty „prilepíme“ na hornú základňu lichobežníka, získame tiež segment (to je tiež strana obdĺžnika) rovnajúci sa stredovej čiare lichobežníka.

Mám to? Ukazuje sa, že súčet základov sa bude rovnať dvom stredným čiaram lichobežníka:

Pozrite si ďalšie vysvetlenie

Urobme nasledovné - zostrojme priamku prechádzajúcu spodnou základňou lichobežníka a priamku, ktorá bude prechádzať bodmi A a B:

Dostaneme trojuholníky 1 a 2, sú rovnaké pozdĺž bočných a susedných uhlov (druhý znak rovnosti trojuholníkov). To znamená, že výsledný segment (na náčrte je označený modrou farbou) sa rovná hornej základni lichobežníka.

Teraz zvážte trojuholník:

*Stredná čiara tohto lichobežníka a stredná čiara trojuholníka sa zhodujú.

Je známe, že trojuholník sa rovná polovici základne rovnobežnej s ním, to znamená:

Dobre, prišli sme na to. Teraz o oblasti lichobežníka.

Vzorec lichobežníkovej oblasti:

Hovorí sa: plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu jeho základov a výšky.

To znamená, že sa ukáže, že sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky:

Pravdepodobne ste si už všimli, že je to zrejmé. Geometricky sa to dá vyjadriť takto: ak v duchu odrežeme trojuholníky 2 a 4 z lichobežníka a umiestnime ich na trojuholníky 1 a 3:

Potom dostaneme obdĺžnik v ploche rovná ploche náš lichobežník. Plocha tohto obdĺžnika sa bude rovnať súčinu stredovej čiary a výšky, to znamená, že môžeme napísať:

Ale tu nejde o písanie, samozrejme, ale o pochopenie.

Stiahnite si (zobrazte) materiál článku vo formáte *pdf

To je všetko. Veľa šťastia!

S pozdravom Alexander.

Mnohostranný lichobežník... Môže byť ľubovoľný, rovnoramenný alebo pravouhlý. A v každom prípade musíte vedieť, ako nájsť oblasť lichobežníka. Samozrejme, najjednoduchšie je zapamätať si základné vzorce. Niekedy je však jednoduchšie použiť ten, ktorý je odvodený s prihliadnutím na všetky vlastnosti konkrétneho geometrického útvaru.

Niekoľko slov o lichobežníku a jeho prvkoch

Akýkoľvek štvoruholník, ktorého dve strany sú rovnobežné, možno nazvať lichobežníkom. Vo všeobecnosti nie sú rovnaké a nazývajú sa bázy. Väčšia je spodná a druhá je horná.

Ostatné dve strany sa ukážu ako bočné. V ľubovoľnom lichobežníku majú rôzne dĺžky. Ak sú rovnaké, potom sa postava stane rovnoramenným.

Ak sa náhle ukáže, že uhol medzi ktoroukoľvek stranou a základňou je rovný 90 stupňom, potom je lichobežník obdĺžnikový.

Všetky tieto funkcie môžu pomôcť pri riešení problému, ako nájsť oblasť lichobežníka.

Medzi prvkami obrázku, ktoré môžu byť nevyhnutné pri riešení problémov, môžeme zdôrazniť nasledovné:

• výška, to znamená segment kolmý na obe základne;
• stredová čiara, ktorá má na svojich koncoch stredy bočných strán.

Aký vzorec možno použiť na výpočet plochy, ak je známa základňa a výška?

Tento výraz je uvedený ako základný, pretože najčastejšie sa dajú tieto veličiny rozpoznať, aj keď nie sú výslovne uvedené. Aby ste pochopili, ako nájsť oblasť lichobežníka, budete musieť pridať obe základne a rozdeliť ich dvoma. Výslednú hodnotu potom vynásobte hodnotou výšky.

Ak označíme základy ako 1 a a 2 a výšku ako n, potom vzorec pre oblasť bude vyzerať takto:

S = ((a1 + a2)/2)*n.

Vzorec, ktorý vypočíta plochu, ak je zadaná jej výška a stredová čiara

Ak sa pozorne pozriete na predchádzajúci vzorec, je ľahké si všimnúť, že jasne obsahuje hodnotu stredovej čiary. Totiž súčet základov delený dvomi. Nech je stredná čiara označená písmenom l, potom vzorec pre oblasť bude:

S = l * n.

Schopnosť nájsť oblasť pomocou uhlopriečok

Táto metóda pomôže, ak je známy uhol, ktorý tvoria. Predpokladajme, že uhlopriečky sú označené písmenami d 1 a d 2 a uhly medzi nimi sú α a β. Potom bude vzorec, ako nájsť oblasť lichobežníka, napísaný takto:

S = ((d 1 * d 2)/2) * sin α.

V tomto výraze môžete jednoducho nahradiť α za β. Výsledok sa nezmení.

Ako zistiť oblasť, ak sú známe všetky strany postavy?

Existujú aj situácie, keď sú presne známe strany tohto obrazca. Tento vzorec je ťažkopádny a ťažko zapamätateľný. Ale pravdepodobne. Nech majú strany označenie: a 1 a a 2, základňa a 1 je väčšia ako 2. Potom bude mať vzorec oblasti nasledujúci tvar:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 1 2 - [(a 1 - a 2) 2 + v 1 2 - v 2 2) / (2 * (a 1 - a 2)) ] 2).

Metódy výpočtu plochy rovnoramenného lichobežníka

Prvá je spôsobená tým, že do nej možno vpísať kruh. A ak poznáte jeho polomer (označuje sa písmenom r), ako aj uhol pri základni - γ, môžete použiť nasledujúci vzorec:

S = (4 * r 2) / sin γ.

Posledný všeobecný vzorec, ktorý je založený na znalosti všetkých strán obrazca, bude výrazne zjednodušený, pretože strany majú rovnaký význam:

S = ((a 1 + a 2) / 2) * √ (v 2 - [(a 1 - a 2) 2 / (2 * (a 1 - a 2))] 2).

Metódy výpočtu plochy pravouhlého lichobežníka

Je jasné, že čokoľvek z vyššie uvedeného je vhodné pre akúkoľvek postavu. Ale niekedy je užitočné vedieť o jednej vlastnosti takéhoto lichobežníka. Spočíva v tom, že rozdiel medzi štvorcami dĺžok uhlopriečok sa rovná rozdielu, ktorý tvoria druhé mocniny podstav.

Často sa zabúda na vzorce pre lichobežník, zatiaľ čo výrazy pre oblasti obdĺžnika a trojuholníka sú zapamätané. Potom môžete použiť jednoduchú metódu. Rozdeľte lichobežník na dva tvary, ak je obdĺžnikový, alebo na tri. Jeden bude určite obdĺžnik a druhý alebo zvyšné dva trojuholníky. Po výpočte plôch týchto obrazcov ich ostáva už len sčítať.

Toto je pomerne jednoduchý spôsob, ako nájsť oblasť obdĺžnikového lichobežníka.

Čo ak sú známe súradnice vrcholov lichobežníka?

V tomto prípade budete musieť použiť výraz, ktorý vám umožní určiť vzdialenosť medzi bodmi. Môže sa aplikovať trikrát: na zistenie oboch základov a jednej výšky. A potom už len aplikujte prvý vzorec, ktorý je popísaný o niečo vyššie.

Na ilustráciu tejto metódy je možné uviesť nasledujúci príklad. Dané vrcholy so súradnicami A(5; 7), B(8; 7), C(10; 1), D(1; 1). Musíte zistiť oblasť postavy.

Pred nájdením oblasti lichobežníka musíte zo súradníc vypočítať dĺžky základní. Budete potrebovať nasledujúci vzorec:

dĺžka úseku = √((rozdiel prvých súradníc bodov) 2 + (rozdiel druhých súradníc bodov) 2 ).

Horná základňa je označená AB, čo znamená, že jej dĺžka sa bude rovnať √((8-5) 2 + (7-7) 2 ) = √9 = 3. Spodná je CD = √ ((10-1) 2 + (1-1)2) = √81 = 9.

Teraz musíte nakresliť výšku zhora na základňu. Nech je jeho začiatok v bode A. Koniec úsečky bude na spodnej základni v bode so súradnicami (5; 1), nech je to bod H. Dĺžka úsečky AN bude rovná √((5) -5) 2 + (7-1) 2) = √36 = 6.

Zostáva len nahradiť výsledné hodnoty do vzorca pre oblasť lichobežníka:

S = ((3 + 9) / 2) * 6 = 36.

Problém bol vyriešený bez jednotiek merania, pretože nebola špecifikovaná mierka súradnicovej siete. Môže to byť buď milimeter alebo meter.

Vzorové problémy

č. 1. Podmienka. Uhol medzi uhlopriečkami ľubovoľného lichobežníka je známy, rovná sa 30 stupňom. Menšia uhlopriečka má hodnotu 3 dm a druhá je 2-krát väčšia. Je potrebné vypočítať plochu lichobežníka.

Riešenie. Najprv musíte zistiť dĺžku druhej uhlopriečky, pretože bez toho nebude možné vypočítať odpoveď. Nie je ťažké vypočítať, 3 * 2 = 6 (dm).

Teraz musíte použiť vhodný vzorec pre oblasť:

S = ((3 * 6) / 2) * sin 30º = 18/2 * ½ = 4,5 (dm2). Problém je vyriešený.

odpoveď: Plocha lichobežníka je 4,5 dm2.

č. 2. Podmienka. V lichobežníku ABCD sú základmi segmenty AD a BC. Bod E je stred strany SD. Vedie sa z nej kolmica na priamku AB, koniec tohto segmentu je označený písmenom H. Je známe, že dĺžky AB a EH sa rovnajú 5 a 4 cm. Je potrebné vypočítať plochu lichobežník.

Riešenie. Najprv musíte urobiť kresbu. Pretože hodnota kolmice je menšia ako strana, na ktorú je nakreslená, bude lichobežník mierne predĺžený smerom nahor. Takže EH bude vo vnútri obrázku.

Aby ste jasne videli priebeh riešenia problému, budete musieť vykonať dodatočnú konštrukciu. Konkrétne nakreslite priamku, ktorá bude rovnobežná so stranou AB. Priesečníky tejto priamky s AD sú P a s pokračovaním BC sú X. Výsledný obrazec VHRA je rovnobežník. Okrem toho sa jeho plocha rovná požadovanej. Je to spôsobené tým, že trojuholníky, ktoré boli získané pri dodatočnej výstavbe, sú rovnaké. Vyplýva to z rovnosti strany a dvoch k nej priľahlých uhlov, jeden zvislý, druhý ležiaci krížom krážom.

Oblasť rovnobežníka nájdete pomocou vzorca, ktorý obsahuje súčin strany a výšky na ňu spustenej.

Plocha lichobežníka je teda 5 * 4 = 20 cm 2.

odpoveď: S = 20 cm2.

č. 3. Podmienka. Prvky rovnoramenného lichobežníka majú tieto hodnoty: spodná základňa - 14 cm, horná základňa - 4 cm, ostrý roh- 45º. Musíte vypočítať jeho plochu.

Riešenie. Menšia základňa nech je označená BC. Výška čerpaná z bodu B sa bude nazývať VH. Keďže uhol je 45º, trojuholník ABH bude pravouhlý a rovnoramenný. Takže AN=VN. Okrem toho sa AN dá veľmi ľahko nájsť. Rovná sa polovici rozdielu v základoch. To znamená (14 - 4) / 2 = 10 / 2 = 5 (cm).

Základy sú známe, výšky sú vypočítané. Môžete použiť prvý vzorec, o ktorom sa tu hovorilo pre ľubovoľný lichobežník.

S = ((14 + 4) / 2) * 5 = 18/2 * 5 = 9 * 5 = 45 (cm2).

odpoveď: Potrebná plocha je 45 cm2.

č. 4. Podmienka. Existuje ľubovoľný lichobežník ABCD. Body O a E sú zobraté na jeho bočných stranách, takže OE je rovnobežné so základňou AD. Plocha lichobežníka AOED je päťkrát väčšia ako plocha OVSE. Vypočítajte hodnotu OE, ak sú známe dĺžky základní.

Riešenie. Budete musieť nakresliť dve rovnobežné čiary AB: prvú cez bod C, jej priesečník s OE - bod T; druhý cez E a priesečník s AD bude M.

Nech neznáme OE=x. Výška menšieho lichobežníka OVSE je n 1, väčšieho AOED je n 2.

Keďže plochy týchto dvoch lichobežníkov sú spojené ako 1 až 5, môžeme napísať nasledujúcu rovnosť:

(x + a 2) * n 1 = 1/5 (x + a 1) * n 2

n1/n2 = (x + a 1) / (5 (x + a 2)).

Výšky a strany trojuholníkov sú úmerné konštrukcii. Preto môžeme napísať ešte jednu rovnosť:

n 1 / n 2 = (x - a 2) / (a ​​1 - x).

V posledných dvoch záznamoch na ľavej strane sú rovnaké hodnoty, čo znamená, že môžeme napísať, že (x + a 1) / (5(x + a 2)) sa rovná (x - a 2) / (a ​​​1-x).

Tu je potrebných niekoľko transformácií. Najprv vynásobte krížom krážom. Zobrazia sa zátvorky označujúce rozdiel štvorcov, po použití tohto vzorca dostanete krátku rovnicu.

V ňom musíte otvoriť zátvorky a presunúť všetky výrazy s neznámym „x“ do ľavá strana a potom vezmite druhú odmocninu.

Odpoveď: x = √ ((a 1 2 + 5 a 2 2) / 6).

A . Teraz môžeme začať uvažovať o otázke, ako nájsť oblasť lichobežníka. Táto úloha sa v každodennom živote vyskytuje veľmi zriedka, ale niekedy sa ukáže, že je potrebné napríklad nájsť plochu miestnosti v tvare lichobežníka, ktorý sa čoraz viac používa v stavebníctve. moderné apartmány alebo v projektoch renovácie.

Lichobežník je geometrický útvar tvorený štyrmi pretínajúcimi sa segmentmi, z ktorých dva sú navzájom rovnobežné a nazývajú sa základne lichobežníka. Ďalšie dva segmenty sa nazývajú strany lichobežníka. Okrem toho budeme neskôr potrebovať ďalšiu definíciu. Toto je stredná čiara lichobežníka, čo je segment spájajúci stredy strán a výšku lichobežníka, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi základňami.
Podobne ako trojuholníky, aj lichobežníky majú špeciálne typy v podobe rovnoramenného (rovnakostranného) lichobežníka, v ktorom sú dĺžky strán rovnaké, a pravouhlého lichobežníka, v ktorom jedna zo strán zviera so základňami pravý uhol.

Trapézy majú niekoľko zaujímavých vlastností:

1. Stredová čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu základní a je s nimi rovnobežná.
   
2. Rovnoramenné lichobežníky majú rovnaké strany a uhly, ktoré zvierajú so základňami.
   
3. Stredy uhlopriečok lichobežníka a priesečník jeho uhlopriečok sú na tej istej priamke.
   
4. Ak sa súčet strán lichobežníka rovná súčtu základov, potom do neho možno vpísať kruh
   
5. Ak je súčet uhlov vytvorených stranami lichobežníka na niektorej z jeho základov 90, potom sa dĺžka segmentu spájajúceho stredné body základne rovná ich polovičnému rozdielu.
   
6. Rovnoramenný lichobežník možno opísať kružnicou. A naopak. Ak lichobežník zapadá do kruhu, potom je rovnoramenný.
   
7. Úsek prechádzajúci stredmi základov rovnoramenného lichobežníka bude kolmý na jeho základne a predstavuje os symetrie.
   

Ako nájsť oblasť lichobežníka.

Plocha lichobežníka sa bude rovnať polovici súčtu jeho základov vynásobených jeho výškou. Vo forme vzorca je to napísané ako výraz:

kde S je plocha lichobežníka, a, b je dĺžka každej zo základov lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Akýkoľvek lichobežník môžete tiež rozložiť na jednoduchšie obrazce: obdĺžnik a jeden alebo dva trojuholníky, a ak je to pre vás jednoduchšie, nájdite plochu lichobežníka ako súčet plôch jeho základných obrazcov.

Existuje ďalší jednoduchý vzorec na výpočet jeho plochy. Podľa nej sa plocha lichobežníka rovná súčinu jeho stredovej čiary výškou lichobežníka a zapisuje sa v tvare: S = m*h, kde S je plocha, m je dĺžka lichobežníka. stredová čiara, h je výška lichobežníka. Tento vzorec je vhodnejší pre matematické úlohy ako pre každodenné úlohy, pretože v reálnych podmienkach nepoznáte dĺžku stredovej čiary bez predbežné výpočty. A poznáte len dĺžky základov a strán.

V tomto prípade možno plochu lichobežníka nájsť pomocou vzorca:

S = ((a+b)/2)*√c 2 -((b-a) 2 +c 2 -d 2 /2(b-a)) 2

kde S je plocha, a, b sú základne, c, d sú strany lichobežníka.

Existuje niekoľko ďalších spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Ale sú asi také nepohodlné ako posledný vzorec, čo znamená, že nemá zmysel sa nimi zaoberať. Preto vám odporúčame použiť prvý vzorec z článku a želáme si, aby ste vždy dosiahli presné výsledky.

Prax minuloročnej Jednotnej štátnej skúšky a štátnej skúšky ukazuje, že problémy s geometriou spôsobujú mnohým školákom ťažkosti. Ľahko si s nimi poradíte, ak si zapamätáte všetky potrebné vzorce a precvičíte si riešenie problémov.

V tomto článku uvidíte vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka, ako aj príklady problémov s riešeniami. Na tie isté môžete naraziť v KIM pri certifikačných skúškach alebo na olympiádach. Preto s nimi zaobchádzajte opatrne.

Čo potrebujete vedieť o lichobežníku?

Na začiatok si to pripomeňme lichobežník sa nazýva štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany, tiež nazývané základne, rovnobežné a ostatné dve nie sú.

V lichobežníku možno výšku (kolmo na základňu) aj znížiť. Stredná čiara je nakreslená - je to priamka, ktorá je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu. Rovnako ako uhlopriečky, ktoré sa môžu pretínať a vytvárať ostré a tupé uhly. Alebo v niektorých prípadoch v pravom uhle. Okrem toho, ak je lichobežník rovnoramenný, môže byť do neho vpísaný kruh. A opíšte okolo neho kruh.

Vzorce lichobežníkovej oblasti

Najprv sa pozrime na štandardné vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka. Nižšie zvážime spôsoby výpočtu plochy rovnoramenných a krivočiarych lichobežníkov.

Predstavte si teda, že máte lichobežník so základňami a a b, v ktorých je výška h znížená na väčšiu základňu. Výpočet plochy postavy je v tomto prípade rovnako jednoduchý ako lúskanie hrušiek. Stačí vydeliť súčet dĺžok základov dvoma a výsledok vynásobiť výškou: S = 1/2 (a + b) x h.

Zoberme si ďalší prípad: predpokladajme, že v lichobežníku je okrem výšky aj stredná čiara m. Poznáme vzorec na zistenie dĺžky strednej čiary: m = 1/2(a + b). Preto môžeme oprávnene zjednodušiť vzorec pre oblasť lichobežníka na nasledujúci tvar: S = m* h. Inými slovami, ak chcete nájsť oblasť lichobežníka, musíte vynásobiť stredovú čiaru výškou.

Zoberme si inú možnosť: lichobežník obsahuje uhlopriečky d 1 a d 2, ktoré sa nepretínajú v pravom uhle α. Na výpočet plochy takéhoto lichobežníka je potrebné rozdeliť súčin uhlopriečok dvoma a výsledok vynásobiť hriechom uhla medzi nimi: S = 1/2 d 1 d 2 *sinα.

Teraz zvážte vzorec na nájdenie oblasti lichobežníka, ak o ňom nie je známe nič okrem dĺžok všetkých jeho strán: a, b, c a d. Toto je ťažkopádny a zložitý vzorec, ale bude pre vás užitočné zapamätať si ho pre každý prípad: S = 1/2(a + b) * √c 2 – ((1/2(b – a)) * ((b – a) 2 + c 2 – d 2)) 2.

Mimochodom, vyššie uvedené príklady platia aj pre prípad, keď potrebujete vzorec pre oblasť obdĺžnikového lichobežníka. Ide o lichobežník, ktorého strana prilieha k základniam v pravom uhle.

Rovnoramenný lichobežník

Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Zvážime niekoľko možností pre vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka.

Prvá možnosť: pre prípad, keď je do rovnoramenného lichobežníka vpísaná kružnica s polomerom r a bočná a väčšia základňa zvierajú ostrý uhol α. Kruh môže byť vpísaný do lichobežníka za predpokladu, že súčet dĺžok jeho základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Plocha rovnoramenného lichobežníka sa vypočíta takto: vynásobte štvorec polomeru vpísanej kružnice štyrmi a všetko vydeľte sinα: S = 4r2/sinα. Ďalší plošný vzorec je špeciálny prípad pre možnosť, keď je uhol medzi veľkou základňou a stranou 30 0: S = 8r2.

Druhá možnosť: tentoraz vezmeme rovnoramenný lichobežník, v ktorom sú navyše nakreslené uhlopriečky d 1 a d 2, ako aj výška h. Ak sú uhlopriečky lichobežníka navzájom kolmé, výška je polovica súčtu základní: h = 1/2(a + b). Keď to viete, je ľahké premeniť vzorec pre oblasť lichobežníka, ktorý je vám už známy, do tejto formy: S = h 2.

Vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka

Začnime tým, že zistíme, čo je zakrivený lichobežník. Predstavte si súradnicovú os a graf spojitej a nezápornej funkcie f, ktorá nemení znamienko v rámci daného segmentu na osi x. Krivočiary lichobežník je tvorený grafom funkcie y = f(x) - hore je os x dole (segment) a po stranách - priamkami nakreslenými medzi bodmi a a b a grafom funkcia.

Pomocou vyššie uvedených metód nie je možné vypočítať plochu takejto neštandardnej hodnoty. Tu musíte použiť matematickú analýzu a použiť integrál. Konkrétne: Newtonov-Leibnizov vzorec - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tomto vzorci je F primitívna funkcia našej funkcie na vybranom segmente. A plocha krivočiareho lichobežníka zodpovedá prírastku primitívnej derivácie na danom segmente.

Vzorové problémy

Aby boli všetky tieto vzorce vo vašej hlave ľahšie pochopiteľné, uvádzame niekoľko príkladov problémov pri hľadaní oblasti lichobežníka. Najlepšie bude, ak sa najprv pokúsite problémy vyriešiť sami a až potom porovnáte odpoveď, ktorú dostanete, s hotovým riešením.

Úloha č. 1: Daný lichobežník. Jeho väčšia základňa má 11 cm, menšia 4 cm. Lichobežník má uhlopriečky, jedna je dlhá 12 cm, druhá 9 cm.

Riešenie: Zostrojte lichobežníkový AMRS. Nakreslite priamku РХ cez vrchol P tak, aby bola rovnobežná s uhlopriečkou MC a pretínala priamku AC v bode X. Dostanete trojuholník APХ.

Budeme brať do úvahy dve čísla získané ako výsledok týchto manipulácií: trojuholník APX a rovnobežník CMRX.

Vďaka rovnobežníku sa dozvieme, že PX = MC = 12 cm a CX = MR = 4 cm. Odkiaľ môžeme vypočítať stranu AX trojuholníka ARX: AX = AC + CX = 11 + 4 = 15 cm.

Môžeme tiež dokázať, že trojuholník APX je pravouhlý (na tento účel použite Pytagorovu vetu - AX 2 = AP 2 + PX 2). A vypočítajte jeho plochu: S APX = 1/2 (AP * PX) = 1/2 (9 * 12) = 54 cm2.

Ďalej budete musieť dokázať, že trojuholníky AMP a PCX majú rovnakú plochu. Základom bude rovnosť strán MR a CX (už overená vyššie). A tiež výšky, ktoré na týchto stranách znížite – rovnajú sa výške lichobežníka AMRS.

To všetko vám umožní povedať, že S AMPC = S APX = 54 cm 2.

Úloha č. 2: Je daný lichobežník KRMS. Na jeho bočných stranách sú body O a E, pričom OE a KS sú rovnobežné. Je tiež známe, že plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5. RM = a a KS = b. Musíte nájsť OE.

Riešenie: Nakreslite priamku rovnobežnú s RK cez bod M a označte jej priesečník s OE ako T. A je priesečník priamky vedenej cez bod E rovnobežnú s RK so základňou KS.

Zavedieme ešte jeden zápis - OE = x. A tiež výška h 1 pre trojuholník TME a výška h 2 pre trojuholník AEC (podobnosť týchto trojuholníkov môžete nezávisle dokázať).

Budeme predpokladať, že b > a. Plochy lichobežníkov ORME a OKSE sú v pomere 1:5, čo nám dáva právo vytvoriť nasledujúcu rovnicu: (x + a) * h 1 = 1/5 (b + x) * h 2. Transformujme a získame: h 1 / h 2 = 1/5 * ((b + x)/(x + a)).

Keďže trojuholníky TME a AEC sú podobné, máme h 1 / h 2 = (x – a)/(b – x). Skombinujme oba údaje a získame: (x – a)/(b – x) = 1/5 * ((b + x)/(x + a)) ↔ 5(x – a)(x + a) = ( b + x)(b – x) ↔ 5(x 2 – a 2) = (b 2 – x 2) ↔ 6x 2 = b 2 + 5a 2 ↔ x = √(5a 2 + b 2)/6.

Teda OE = x = √(5a 2 + b 2)/6.

Záver

Geometria nie je najľahšia z vied, ale s otázkami na skúšku si určite poradíte. V príprave stačí ukázať trochu vytrvalosti. A samozrejme si zapamätajte všetky potrebné vzorce.

Snažili sme sa zhromaždiť všetky vzorce na výpočet plochy lichobežníka na jednom mieste, aby ste ich mohli použiť pri príprave na skúšky a revízii materiálu.

Nezabudnite o tomto článku povedať svojim spolužiakom a priateľom. v sociálnych sieťach. Nech je viac dobrých známok pre jednotnú štátnu skúšku a štátne skúšky!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Aby ste sa cítili sebaisto a úspešne riešili problémy na hodinách geometrie, nestačí sa naučiť vzorce. Najprv ich treba pochopiť. Báť sa a ešte viac nenávidieť vzorce je neproduktívne. Tento článok bude analyzovať v dostupnom jazyku rôznymi spôsobmi Nájdenie oblasti lichobežníka. Pre lepšie pochopenie zodpovedajúcich pravidiel a teorém budeme venovať určitú pozornosť jeho vlastnostiam. To vám pomôže pochopiť, ako pravidlá fungujú a v akých prípadoch by sa mali použiť určité vzorce.

Definovanie lichobežníka

Čo je to celkovo za postavu? Lichobežník je mnohouholník so štyrmi rohmi a dvoma rovnobežnými stranami. Ďalšie dve strany lichobežníka môžu byť naklonené v rôznych uhloch. Jeho rovnobežné strany sa nazývajú základne a pre nerovnobežné strany sa používa názov „strany“ alebo „boky“. Takéto postavy sú v každodennom živote celkom bežné. Obrysy lichobežníka možno vidieť v siluetách oblečenia, interiérových predmetov, nábytku, riadu a mnohých ďalších. Stáva sa hrazda odlišné typy: skalnatý, rovnostranný a pravouhlý. Ich typy a vlastnosti podrobnejšie preskúmame neskôr v článku.

Vlastnosti lichobežníka

Zastavme sa krátko pri vlastnostiach tohto obrázku. Súčet uhlov susediacich s ktoroukoľvek stranou je vždy 180°. Treba poznamenať, že súčet všetkých uhlov lichobežníka je 360°. Lichobežník má koncepciu stredovej čiary. Ak spojíte stredy strán segmentom, bude to stredná čiara. Označuje sa m. Stredná čiara má dôležité vlastnosti: je vždy rovnobežná so základňami (pamätáme si, že základne sú tiež navzájom rovnobežné) a rovná sa ich polovičnému súčtu:

Túto definíciu si treba osvojiť a pochopiť, pretože je kľúčom k riešeniu mnohých problémov!

Pri lichobežníku môžete vždy znížiť výšku k základni. Nadmorská výška je kolmica, často označovaná symbolom h, ktorá je nakreslená z akéhokoľvek bodu jednej základne k inej základni alebo jej predĺženiu. Stredová čiara a výška vám pomôžu nájsť oblasť lichobežníka. Takéto problémy sú najčastejšie v kurze školskej geometrie a pravidelne sa objavujú medzi testovými a skúšobnými prácami.

Najjednoduchšie vzorce pre oblasť lichobežníka

Pozrime sa na dva najpopulárnejšie a najjednoduchšie vzorce používané na nájdenie oblasti lichobežníka. Stačí vynásobiť výšku polovicou súčtu základov, aby ste ľahko našli to, čo hľadáte:

S = h*(a + b)/2.

V tomto vzorci a, b označujú základy lichobežníka, h - výšku. Pre uľahčenie vnímania sú v tomto článku znaky násobenia vo vzorcoch označené symbolom (*), hoci v oficiálnych referenčných knihách sa znak násobenia zvyčajne vynecháva.

Pozrime sa na príklad.

Dané: lichobežník s dvoma základňami rovnými 10 a 14 cm, výška 7 cm. Aká je plocha lichobežníka?

Pozrime sa na riešenie tohto problému. Pomocou tohto vzorca musíte najskôr nájsť polovičný súčet základov: (10+14)/2 = 12. Polovičný súčet sa teda rovná 12 cm. Teraz polovičný súčet vynásobíme výškou: 12*7 = 84. To, čo hľadáme, sa našlo. Odpoveď: Plocha lichobežníka je 84 metrov štvorcových. cm.

Druhý známy vzorec hovorí: plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky lichobežníka. To znamená, že to vlastne vyplýva z predchádzajúcej koncepcie strednej čiary: S=m*h.

Použitie uhlopriečok na výpočty

Ďalší spôsob, ako nájsť oblasť lichobežníka, nie je v skutočnosti taký zložitý. Je spojená s jej uhlopriečkami. Pomocou tohto vzorca, aby ste našli oblasť, musíte vynásobiť polovičný súčin jej uhlopriečok (d 1 d 2) sínusom uhla medzi nimi:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Uvažujme o probléme, ktorý ukazuje aplikáciu tejto metódy. Dané: lichobežník s dĺžkou uhlopriečok 8 a 13 cm, uhol a medzi uhlopriečkami je 30°. Nájdite oblasť lichobežníka.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedeného vzorca je ľahké vypočítať, čo je potrebné. Ako viete, sin 30° je 0,5. Preto S = 8*13*0,5=52. Odpoveď: plocha je 52 metrov štvorcových. cm.

Nájdenie oblasti rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník môže byť rovnoramenný (rovnoramenný). Jeho strany sú rovnaké a uhly na základniach sú rovnaké, čo je dobre znázornené na obrázku. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké vlastnosti ako bežná, plus množstvo špeciálnych. Okolo rovnoramenného lichobežníka možno opísať kruh a do neho možno vpísať kruh.

Aké metódy existujú na výpočet plochy takejto postavy? Nižšie uvedená metóda bude vyžadovať veľa výpočtov. Aby ste ho mohli použiť, musíte poznať hodnoty sínusu (sin) a kosínusu (cos) uhla na základni lichobežníka. Na ich výpočet potrebujete buď Bradisove tabuľky, alebo inžiniersku kalkulačku. Tu je vzorec:

S= c*hriech a*(a - c*kos a),

Kde s- bočné stehno, a- uhol na spodnej základni.

Rovnostranný lichobežník má uhlopriečky rovnakej dĺžky. Platí to aj naopak: ak má lichobežník rovnaké uhlopriečky, potom je rovnoramenný. Preto nasledujúci vzorec, ktorý vám pomôže nájsť plochu lichobežníka - polovičný súčin štvorca uhlopriečok a sínus uhla medzi nimi: S = ½ d 2 sin a.

Nájdenie oblasti pravouhlého lichobežníka

Známy je špeciálny prípad pravouhlého lichobežníka. Ide o lichobežník, v ktorom jedna strana (jeho stehno) prilieha k základniam v pravom uhle. Má vlastnosti pravidelného lichobežníka. Okrem toho má veľmi zaujímavá vlastnosť. Rozdiel v štvorcoch uhlopriečok takéhoto lichobežníka sa rovná rozdielu v štvorcoch jeho základov. Používajú sa na to všetky predtým opísané metódy na výpočet plochy.

Používame vynaliezavosť

Existuje jeden trik, ktorý vám môže pomôcť, ak zabudnete na konkrétne vzorce. Pozrime sa bližšie na to, čo je lichobežník. Ak to mentálne rozdelíme na časti, dostaneme známe a zrozumiteľné geometrické tvary: štvorec alebo obdĺžnik a trojuholník (jeden alebo dva). Ak sú výška a strany lichobežníka známe, môžete použiť vzorce pre oblasť trojuholníka a obdĺžnika a potom sčítať všetky výsledné hodnoty.

Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade. Daný obdĺžnikový lichobežník. Uhol C = 45°, uhly A, D sú 90°. Horná základňa lichobežníka je 20 cm, výška je 16 cm. Musíte vypočítať plochu postavy.

Tento obrazec sa samozrejme skladá z obdĺžnika (ak sa dva uhly rovnajú 90°) a trojuholníka. Keďže je lichobežník pravouhlý, jeho výška sa rovná jeho strane, teda 16 cm, máme obdĺžnik so stranami 20 a 16 cm. Teraz uvažujme trojuholník, ktorého uhol je 45°. Vieme, že jedna jeho strana má 16 cm, keďže táto strana je zároveň výškou lichobežníka (a vieme, že výška klesá k základni v pravom uhle), preto je druhý uhol trojuholníka 90°. Zostávajúci uhol trojuholníka je teda 45°. Výsledkom toho je, že dostaneme pravouhlý rovnoramenný trojuholník s dvoma rovnakými stranami. To znamená, že druhá strana trojuholníka sa rovná výške, to znamená 16 cm. Zostáva vypočítať plochu trojuholníka a obdĺžnika a pridať výsledné hodnoty.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh: S = (16*16)/2 = 128. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho šírky a dĺžky: S = 20 * 16 = 320. Našli sme požadované: plocha lichobežníka S = 128 + 320 = 448 štvorcových. Môžete si to jednoducho overiť pomocou vyššie uvedených vzorcov, odpoveď bude identická.

Používame vzorec Pick

S = M/2 + N - 1,

v tomto vzorci M je počet uzlov, t.j. priesečníky čiar obrázku s čiarami bunky na hraniciach lichobežníka (oranžové bodky na obrázku), N je počet uzlov vo vnútri obrázku (modré bodky). Najvýhodnejšie je použiť ho pri hľadaní oblasti nepravidelného mnohouholníka. Čím väčší je však arzenál použitých techník, tým viac menej chýb a lepšie výsledky.

Samozrejme, uvedené informácie nevyčerpávajú typy a vlastnosti lichobežníka, ako aj metódy na zistenie jeho oblasti. Tento článok poskytuje prehľad jeho najdôležitejších charakteristík. Pri riešení geometrických úloh je dôležité konať postupne, začať s ľahkými vzorcami a problémami, dôsledne si upevniť svoje chápanie a prejsť na ďalšiu úroveň zložitosti.

Zozbierané najbežnejšie vzorce pomôžu študentom orientovať sa v rôznych spôsoboch výpočtu plochy lichobežníka a lepšie sa pripraviť na testy a testy na túto tému.