Referenčné údaje o hyperbolických funkciách - vlastnosti, grafy, vzorce. Deriváty hyperbolických funkcií

Sú uvedené definície inverzných hyperbolických funkcií a ich grafy. A tiež vzorce spájajúce inverzné hyperbolické funkcie – vzorce pre súčty a rozdiely. Výrazy cez goniometrické funkcie. Derivácie, integrály, rozšírenia radov.

Definície inverzných hyperbolických funkcií, ich definičné oblasti a hodnoty

arsh x - inverzný hyperbolický sínus

Inverzný hyperbolický sínus (areazín), je inverzná funkcia hyperbolického sínusu ( x = sh y) , ktorý má doménu definície -∞< x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .

Plošný sínus sa striktne zvyšuje pozdĺž celej číselnej osi.

oblúk x - inverzný hyperbolický kosínus

Inverzný hyperbolický kosínus (areakozín), je inverzná funkcia hyperbolického kosínusu ( x = сh y) s doménou definície 1 ≤ x< +∞ a mnoho významov 0 ≤ r< +∞ .

Areakozín sa striktne zvyšuje vo svojej doméne definície.

Druhá vetva areakozínu je tiež definovaná pre x ≥ 1 a je umiestnená symetricky vzhľadom na os x, - ∞< y ≤ 0 :
. Striktne klesá v oblasti definície.

arth x - inverzná hyperbolická dotyčnica

Inverzná hyperbolická dotyčnica (areatangens), je inverzná funkcia hyperbolickej dotyčnice ( x = th r) , ktorý má doménu definície - 1 < x < 1 a množina hodnôt -∞< y < +∞ .

Plošný tangens sa striktne zvyšuje vo svojej doméne definície.

oblúk x - inverzný hyperbolický kotangens

Inverzný hyperbolický kotangens (areakotangens), je inverzná funkcia hyperbolického kotangens ( x = cth y) , ktorý má doménu |x| > 1 a množina hodnôt y ≠ 0 .

Plošný kotangens striktne klesá vo svojej doméne definície.

Graf inverzného hyperbolického sínusu (areazín) y = arsh x

Graf inverzného hyperbolického kosínusu (areakozínu) y = oblúk x , x ≥ 1
Bodkovaná čiara znázorňuje druhú vetvu arecosinu.

Graf inverznej hyperbolickej dotyčnice (areatangens) y = arth x , |x|< 1

Graf inverznej hyperbolickej kotangens (areakotangens) y = oblúk x , |x| > 1

Vzorce s inverznými hyperbolickými funkciami

Vzťah k goniometrickým funkciám

Arsh iz = i Arcsin z; Arch z = i Arccos z;
Arcsin iz = i Arsh z; Arccos z = - i Arch z;
Arth iz = i Arctg z; Arcth iz = - i Arcctg z;
Arctg iz = i Arth z; Arcctg iz = - i Arcth z;
Tu i je imaginárna jednotka, i 2 = - 1 .

Parita

arsh(-x) = - arsh x; oblúk(-x) ≠ oblúk x;
arth(-x) = - arth x; oblúk (-x) = - oblúk x.

Funkcie arsh(x), arth(x), oblúk (x)- zvláštny. Funkcia oblúk(x)- nie je párne ani nepárne.

Vzorce na spájanie inverzných hyperbolických sínusov cez dotyčnice a kosínusov cez kotangens

;
;
;
.

Vzorce súčtu a rozdielu

;
;
;
.

Deriváty inverzných hyperbolických funkcií

;
.

Integrály z arsh x, arch x, arth x, arcth x

arsh x

Na výpočet integrálu hyperbolického arcsínusu vykonáme substitúciu x = sh t a integrovať po častiach:
.

oblúk x

Podobne pre hyperbolický oblúk kosínus. Urobíme substitúciu x = ch t a integrovať po častiach, berúc do úvahy, že t ≥ 0 :
.

arth x

Urobíme substitúciu x = th t a integrovať po častiach:
;
;
;
.

oblúk x

Podobne dostaneme:
.

Rozšírenia série

arsh x

Keď |x|< 1

arth x

Keď |x|< 1 dochádza k nasledujúcemu rozkladu:

oblúk x

Keď |x| > 1 dochádza k nasledujúcemu rozkladu:

Inverzné funkcie

Hyperbolický sínus

Pri - ∞< y < ∞ и - ∞ < x < ∞ имеют место формулы:
,
.

Hyperbolický kosínus

O 1 ≤ r< ∞ A 0 ≤ x< ∞ platia tieto vzorce:
,
.

Hyperbolická dotyčnica

o - 1 < y < 1 a - ∞< x < ∞ имеют место формулы:
,
.

Hyperbolický kotangens

Pri - ∞< y < - 1 alebo 1 < y < ∞ a x ≠ 0 platia tieto vzorce:
,
.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.

Hyperbolické funkcie sa nachádzajú v mechanike, elektrotechnike a iných technických disciplínach. Mnohé vzorce pre hyperbolické funkcie sú podobné vzorcom pre goniometrické funkcie, s výnimkou vlastnosti ohraničenosti.

№	Funkcia	názov	Derivát
1.		hyperbolický sínus
2.		hyperbolický kosínus
3.		hyperbolická dotyčnica
4.		hyperbolický kotangens

Vzorce pre hyperbolické funkcie

1. .

Dôkaz. Zvážme požadovaný rozdiel

. .

Dôkaz. Pozrime sa na prácu

.

Pozrime sa na prácu
.

Pridajme dva produkty a dajme podobné:

Spojením začiatku a konca dostaneme dokázanú rovnosť: .

Existuje mnoho ďalších vlastností hyperbolických funkcií podobných vlastnostiam goniometrických funkcií, ktoré sa dokazujú podobným spôsobom.

Dokážme vzorce pre derivácie hyperbolických funkcií.

1. Uvažujme hyperbolický sínus .

Pri hľadaní derivácie odoberieme konštantu zo znamienka derivácie. Ďalej použijeme vlastnosť derivácie rozdielu dvoch funkcií a . Nájdite deriváciu funkcie pomocou tabuľky derivácií: . Deriváciu funkcie hľadáme ako deriváciu komplexnej funkcie
.

Preto derivát
.

Spojením začiatku a konca dostaneme dokázanú rovnosť: .

2. Uvažujme hyperbolický kosínus .

Plne aplikujeme predchádzajúci algoritmus, len namiesto vlastnosti o derivácii rozdielu dvoch funkcií použijeme vlastnosť o derivácii súčtu týchto dvoch funkcií.
.

Spojením začiatku a konca dostaneme dokázanú rovnosť: .

3. Uvažujme hyperbolický tangens
.

Deriváciu nájdeme pomocou pravidla na nájdenie derivácie zlomku.

4. Derivácia hyperbolického kotangens

možno nájsť ako deriváciu komplexnej funkcie
.

Spojením začiatku a konca dostaneme dokázanú rovnosť: .

Funkčný diferenciál

Nechajte funkciu – je diferencovateľný v bode, potom jeho prírastok tejto funkcie v bode, zodpovedajúci prírastku argumentu, môže byť reprezentovaný ako

kde je určité číslo nezávislé od , a je funkciou argumentu , ktorý je nekonečne malý pre .

Teda prírastok funkcie je súčet dvoch nekonečne malých členov A . Ukázalo sa, že druhý termín je nekonečná malá funkcia vyššieho rádu ako t.j. (pozri 8.1). Preto prvý termín je hlavná lineárna časť prírastku funkcie . V poznámke 8.1. iný vzorec (8.1.1) bol získaný pre prírastok funkcie , a to: . (8.1.1)

Definícia 8.3.Diferenciál funkcie v bode sa nazýva hlavná lineárna časť jeho prírastku, ktorá sa rovná súčinu derivátu v tomto bode ľubovoľným prírastkom argumentu a označuje sa (alebo ):

(8.4)

Funkčný diferenciál tiež nazývaný diferenciál prvého rádu.

Diferenciál nezávisle premennej sa chápe ako akékoľvek číslo nezávislé od . Najčastejšie sa toto číslo berie ako prírastok premennej, t.j. . To je v súlade s pravidlom (8.4) na nájdenie diferenciálu funkcie

Zvážte funkciu a nájdite jeho diferenciál.

Pretože derivát . Takto sme dostali: a diferenciálne funkcie možno nájsť pomocou vzorca

. (8.4.1)

Poznámka 8.7. Zo vzorca (8.4.1) vyplýva, že.

Zápis teda možno chápať nielen ako zápis pre derivát , ale aj ako pomer diferenciálov závislých a nezávislých premenných.

8.7. Geometrický význam diferenciálnej funkcie

Nech je graf funkcie nakreslí sa dotyčnica (pozri obr. 8.1). Bodka je na grafe funkcie a má úsečku - . Dávame ľubovoľný prírastok taký, že bod neopustil rozsah funkcie .

Obrázok 8.1 Ilustrácia grafu funkcie

Bod má súradnice . Segment čiary . Bod leží na dotyčnici ku grafu funkcie a má abscisu - . Z obdĺžnikového z toho vyplýva, že kde uhol je uhol medzi kladným smerom osi a dotyčnicou nakreslenou ku grafu funkcie v bode . Podľa definície diferenciálu funkcie a geometrický význam derivačnej funkcie v bode sme dospeli k záveru . Teda geometrický význam diferenciálu funkcie je, že diferenciál predstavuje prírastok súradnice dotyčnice ku grafu funkcie v bode .

Poznámka 8.8. Diferenciál a prírastok pre ľubovoľnú funkciu , vo všeobecnosti nie sú navzájom rovné. Vo všeobecnom prípade je rozdiel medzi prírastkom a diferenciálom funkcie nekonečne malý vyššieho rádu malosti ako prírastok argumentu. Z definície 8.1 to vyplýva
, t.j. .

Na obrázku 8.1 bod leží na grafe funkcie a má súradnice
. Úsečka .

Na obrázku 8.1 je nerovnosť splnená , t.j. . Ale môžu nastať prípady, keď platí aj opačná nerovnosť . Toto sa robí pre lineárna funkcia a pre hore konvexnú funkciu.

odpoveď: Hyperbolické funkcie sú skupinou elementárnych funkcií vyjadrených prostredníctvom exponentov a úzko súvisia s goniometrickými funkciami. Hyperbolické funkcie zaviedol Vincenzo Riccati v roku 1757 (Opusculorum, zväzok I). Získal ich z úvahy o jednotkovej hyperbole.

Ďalší výskum vlastností hyperbolických funkcií uskutočnil Lambert. S hyperbolickými funkciami sa často stretávame pri výpočte rôznych integrálov. Niektoré integrály racionálnych funkcií a funkcií obsahujúcich radikály sa jednoducho vykonávajú pomocou zmien premenných pomocou hyperbolických funkcií. Deriváty hyperbolických funkcií sa dajú ľahko nájsť, pretože hyperbolické funkcie sú kombinácie. Napríklad hyperbolický sínus a kosínus sú definované ako Deriváty týchto funkcií majú tvar Hyperbolické funkcie sú dané nasledujúcimi vzorcami: 1) hyperbolický sínus: (v zahraničnej literatúre sa označuje ako sinx); 2) hyperbolický kosínus: (v zahraničnej literatúre sa označuje ako cosx); 3) hyperbolický tangens: (v zahraničnej literatúre sa označuje ako tanx); 4) hyperbolický kotangens: ; 5) hyperbolický sekans a kosekans: Geometrická definícia: Vzhľadom na vzťah poskytujú hyperbolické funkcie parametrickú reprezentáciu hyperboly. V tomto prípade je argumentom t = 2S, kde S je plocha krivočiareho trojuholníka OQR, braná so znamienkom „+“, ak sektor leží nad osou OX a „-“ v opačnom prípade. Táto definícia je podobná definícii goniometrických funkcií z hľadiska jednotkový kruh, ktorý možno tiež skonštruovať podobným spôsobom. Spojenie s goniometrickými funkciami: Hyperbolické funkcie sú vyjadrené ako goniometrické funkcie imaginárneho argumentu. Analytické vlastnosti: Hyperbolický sínus a hyperbolický kosínus sú analytické v celej komplexnej rovine, s výnimkou v podstate singulárneho bodu v nekonečne.

Tabuľka derivátov.

odpoveď: Tabuľka derivátov (ktoré potrebujeme hlavne):

46) Derivácia funkcie – špecifikovaná parametricky.

odpoveď: Nech je daná závislosť dvoch premenných x a y na parametri t, meniaca sa v medziach od Nech má funkcia inverznú funkciu: Potom môžeme, ak vezmeme zloženie funkcií získajte závislosť y od x: Závislosť hodnoty y od hodnoty x, špecifikovanej parametricky, možno vyjadriť pomocou derivácií funkcií, pretože podľa vzorca pre deriváciu inverznej funkcie, kde je hodnota parametra, pri ktorej sa získa hodnota x, ktorá nás zaujíma pri výpočte derivácie. Všimnite si, že použitie vzorca nás vedie k vzťahu medzi, opäť vyjadrenému ako parametrický vzťah: druhý z týchto vzťahov je ten istý, ktorý sa podieľal na parametrickej špecifikácii funkcie y(x) . Napriek tomu, že derivácia nie je explicitne vyjadrená, nebráni nám to v riešení problémov súvisiacich s hľadaním derivácie nájdením zodpovedajúcej hodnoty parametra t. Ukážme si to na nasledujúcom príklade. Príklad 4.22: Závislosť medzi x a y nech je daná parametricky nasledujúcimi vzorcami: Nájdite rovnicu dotyčnice ku grafu závislosti y(x) v bode Hodnoty získame, ak vezmeme t=1. Nájdite derivácie x a y vzhľadom na parameter t: Preto Keď t=1 dostaneme hodnotu derivácie, táto hodnota udáva uhlový koeficient k požadovanej dotyčnice. Súradnice dotykové body sú špecifikované vo vyhlásení o probléme. To znamená, že rovnica dotyčnice je nasledovná: Všimnite si, že na základe získanej parametrickej závislosti môžeme nájsť druhú deriváciu funkcie y vzhľadom na premennú x:

Referenčné údaje o hyperbolických funkciách. Definície, grafy a vlastnosti hyperbolického sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu. Vzorce pre sumy, rozdiely a produkty. Derivácie, integrály, rozšírenia radov. Výrazy cez goniometrické funkcie.

Definície hyperbolických funkcií, ich oblasti definícií a hodnôt

sh x - hyperbolický sínus

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

ch x - hyperbolický kosínus

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ r< +∞ .

th x - hyperbolická dotyčnica

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

cth x - hyperbolický kotangens

X ≠ 0; r< -1 или y > +1 .

Grafy hyperbolických funkcií

Hyperbolický sínusový graf y = sh x

Graf hyperbolického kosínusu y = ch x

Graf hyperbolickej dotyčnice y = Vďaka

Graf hyperbolického kotangens y = cth x

Vzorce s hyperbolickými funkciami

Vzťah k goniometrickým funkciám

sin iz = i sh z; cos iz = ch z
sh iz = i sin z; ch iz = cos z
tg iz = i th z; detská postieľka iz = - i cth z
th iz = i tg z; cth iz = - i ctg z
Tu i je imaginárna jednotka, i 2 = - 1 .

Aplikácia týchto vzorcov na goniometrické funkcie, získame vzorce spájajúce hyperbolické funkcie.

Parita

sh(-x) = - sh x; ch(-x) = ch x.
th(-x) = - th x; cth(-x) = - cth x.

Funkcia ch(x)- dokonca. Funkcie sh(x), Vďaka), cth(x)- zvláštny.

Rozdiel štvorcov

ch 2 x - sh 2 x = 1.

Vzorce pre súčet a rozdiel argumentov

sh(x y) = sh x ch y ch x sh y,
ch(x y) = ch x ch y sh x sh y,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 kanály 2 x - 1 = 1 + 2 sh 2 x,
.

Vzorce pre súčin hyperbolického sínusu a kosínusu

,
,
,

,
,
.

Vzorce pre súčet a rozdiel hyperbolických funkcií

,
,
,
,
.

Vzťah hyperbolického sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom

, ,
, .

Deriváty

,

Integrály sh x, ch x, th x, cth x

,
,
.

Rozšírenia série

sh x

ch x

Vďaka

cth x

Inverzné funkcie

Areasinus

Pri - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakozín

O 1 ≤ x< ∞ A 0 ≤ r< ∞ platia tieto vzorce:
,
.

Druhá vetva areacosine sa nachádza na 1 ≤ x< ∞ a - ∞< y ≤ 0 :
.

Areatangent

o - 1 < x < 1 a - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,
.

Areakotangens

Pri - ∞< x < - 1 alebo 1 < x < ∞ a y ≠ 0 platia tieto vzorce:
,
.

Referencie:
I.N. Bronstein, K.A. Semendyaev, Príručka matematiky pre inžinierov a vysokoškolských študentov, „Lan“, 2009.