Ako vypočítať plochu lichobežníka na štyroch stranách. Ako nájsť oblasť rovnoramenného lichobežníka

Hrazda sa nazýva štvoruholník iba dva strany sú navzájom rovnobežné.

Nazývajú sa základy postavy, zvyšok - strany. Rovnobežník sa považuje za špeciálny prípad obrazca. K dispozícii je tiež krivočiary lichobežník, ktorý obsahuje funkčný graf. Vzorce pre oblasť lichobežníka zahŕňajú takmer všetky jeho prvky a najlepšie riešenie vybrané v závislosti od daných hodnôt.
Hlavné úlohy v lichobežníku sú priradené výške a stredovej čiare. stredná čiara- toto je čiara spájajúca stredy strán. Výška lichobežník je nakreslený v pravom uhle od horného rohu k základni.
Plocha lichobežníka cez výšku sa rovná súčinu polovice súčtu dĺžok základní, vynásobených výškou:

Ak je stredná čiara známa podľa podmienok, potom je tento vzorec značne zjednodušený, pretože sa rovná polovici súčtu dĺžok základov:

Ak sú podľa podmienok uvedené dĺžky všetkých strán, potom môžeme zvážiť príklad výpočtu plochy lichobežníka prostredníctvom týchto údajov:

Predpokladajme, že je daný lichobežník so základňami a = 3 cm, b = 7 cm a stranami c = 5 cm, d = 4 cm. Nájdite plochu obrázku:

Oblasť rovnoramenného lichobežníka

Samostatným prípadom je rovnoramenný alebo, ako sa tiež nazýva, rovnoramenný lichobežník.
Špeciálnym prípadom je tiež nájdenie oblasti rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka. Vzorec je odvodený rôznymi spôsobmi - cez uhlopriečky, cez uhly susediace so základňou a polomerom vpísanej kružnice.
Ak je dĺžka uhlopriečok určená podmienkami a je známy uhol medzi nimi, môžete použiť nasledujúci vzorec:

Pamätajte, že uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké!

To znamená, že ak poznáte jednu z ich základov, stranu a uhol, môžete ľahko vypočítať plochu.

Oblasť krivočiareho lichobežníka

Samostatný prípad je krivočiary lichobežník. Nachádza sa na súradnicovej osi a je obmedzený na graf spojitej kladnej funkcie.

Jeho základňa je umiestnená na osi X a je obmedzená na dva body:
Integrály pomáhajú vypočítať plochu krivočiareho lichobežníka.
Vzorec je napísaný takto:

Zvážte príklad výpočtu plochy krivočiareho lichobežníka. Vzorec vyžaduje určité znalosti na prácu s určitými integrálmi. Najprv analyzujme hodnotu určitého integrálu:

Tu F(a) je hodnota primitívnej funkcie f(x) v bode a , F(b) je hodnota tej istej funkcie f(x) v bode b .

Teraz poďme vyriešiť problém. Na obrázku je znázornený krivočiary lichobežník ohraničený funkciou. Funkcia
Musíme nájsť plochu vybraného útvaru, čo je krivočiary lichobežník ohraničený navrchu grafom, vpravo je priamka x = (-8), vľavo priamka x = (- 10) a os OX je nižšie.
Plochu tohto obrázku vypočítame pomocou vzorca:

Podľa podmienok problému nám je daná funkcia. Pomocou neho nájdeme hodnoty primitívneho prvku v každom z našich bodov:


Teraz
odpoveď: plocha daného krivočiareho lichobežníka je 4.

Pri výpočte tejto hodnoty nie je nič zložité. Dôležitá je len maximálna opatrnosť pri výpočtoch.

Hrazda. Definícia, vzorce a vlastnosti

Lichobežník je štvoruholník s dvoma protiľahlými rovnobežnými stranami.

Poznámka. V tomto prípade je rovnobežník špeciálnym prípadom lichobežníka.

Rovnobežné protiľahlé strany sa nazývajú základne lichobežníka a ďalšie dve sa nazývajú strany.

Trapézy sú:

- všestranný ;

- rovnoramenné;

- pravouhlý

A - rovnoramenný (rovnoramenný, rovnoramenný) lichobežník
B - pravouhlý lichobežník
C - všestranný lichobežník

Všestranný lichobežník má všetky strany rôznej dĺžky a základne sú rovnobežné.

Strany sú rovnaké a základne sú rovnobežné.

Na základni sú rovnobežné, jedna strana je kolmá na základne a druhá strana je naklonená k základniam.

Vlastnosti lichobežníka

• Stredná čiara lichobežníka rovnobežné so základňami a rovné polovici ich súčtu
• Úsečka spájajúca stredy uhlopriečok, sa rovná polovici rozdielu základov a leží na stredovej čiare. Jeho dĺžka
• Rovnobežné čiary pretínajúce strany ľubovoľného uhla lichobežníka odrežú proporcionálne segmenty zo strán uhla (pozri Thalesovu vetu)
• Priesečník uhlopriečok lichobežníka, priesečník predĺženia jeho bočných strán a stredy základní leží na jednej priamke (pozri tiež vlastnosti štvoruholníka)
• Trojuholníky na základniach lichobežníky, ktorých vrcholy sú priesečníkom ich uhlopriečok, sú podobné. Pomer plôch takýchto trojuholníkov sa rovná štvorcu pomeru základní lichobežníka
• Trojuholníky po stranách lichobežníky, ktorých vrcholy sú priesečníkom ich uhlopriečok, majú rovnakú plochu (rovnakú plochu)
• do lichobežníka môžete vpísať kruh ak sa súčet dĺžok základní lichobežníka rovná súčtu dĺžok jeho strán. Stredová čiara sa v tomto prípade rovná súčtu strán deleného 2 (pretože stredná čiara lichobežníka sa rovná polovici súčtu základov)
• Segment rovnobežný so základňami a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok, je delený uhlopriečkami na polovicu a rovná sa dvojnásobku súčinu báz delených ich súčtom 2ab / (a ​​+ b) (Burakovov vzorec)

Trapézové uhly

Obdĺžnikový lichobežník má dva pravé uhly a ďalšie dve sú akútne a tupé. Iné typy lichobežníkov majú: dva ostré rohy a dvaja hlúpi.

Tupé uhly lichobežníka patria k najmenším po dĺžke základne a ostrý - viac základ.

Môže sa zvážiť akýkoľvek lichobežník ako zrezaný trojuholník, ktorej čiara rezu je rovnobežná so základňou trojuholníka.
Dôležité. Upozorňujeme, že týmto spôsobom (dodatočnou konštrukciou lichobežníka na trojuholník) možno vyriešiť niektoré úlohy o lichobežníku a dokázať niektoré vety.

Ako nájsť strany a uhlopriečky lichobežníka

Hľadanie strán a uhlopriečok lichobežníka sa vykonáva pomocou vzorcov, ktoré sú uvedené nižšie:

V týchto vzorcoch sa používa zápis ako na obrázku.

a - najmenšia zo základov lichobežníka
b - najväčšia zo základov lichobežníka
c,d - strany
h 1 h 2 - uhlopriečky

Súčet druhých mocnín uhlopriečok lichobežníka sa rovná dvojnásobku súčinu základní lichobežníka plus súčet druhých mocnín strán (vzorec 2)

Aby ste sa cítili sebaisto a úspešne riešili problémy na hodinách geometrie, nestačí sa naučiť vzorce. Najprv ich treba pochopiť. Báť sa a ešte viac nenávidieť vzorce je neproduktívne. V tomto článku sa bude analyzovať dostupný jazyk rôznymi spôsobmi nájdenie oblasti lichobežníka. Pre lepšiu asimiláciu zodpovedajúcich pravidiel a teorém budeme venovať určitú pozornosť jeho vlastnostiam. To vám pomôže pochopiť, ako pravidlá fungujú a v akých prípadoch by sa mali použiť určité vzorce.

Definujte lichobežník

Aký je tento údaj vo všeobecnosti? Lichobežník je mnohouholník so štyrmi uhlami a dvoma rovnobežnými stranami. Ďalšie dve strany lichobežníka môžu byť naklonené v rôznych uhloch. Jeho rovnobežné strany sa nazývajú základne a pre nerovnobežné strany sa používa názov „boky“ alebo „boky“. Takéto postavy sú v každodennom živote celkom bežné. Obrysy lichobežníka možno vidieť v siluetách oblečenia, interiérových predmetov, nábytku, riadu a mnohých ďalších. Stáva sa hrazda odlišné typy: mnohostranné, rovnoramenné a pravouhlé. Ich typy a vlastnosti si podrobnejšie rozoberieme neskôr v článku.

Vlastnosti lichobežníka

Zastavme sa krátko pri vlastnostiach tohto obrázku. Súčet uhlov susediacich s ktoroukoľvek stranou je vždy 180°. Treba poznamenať, že súčet všetkých uhlov lichobežníka je 360°. Lichobežník má koncepciu stredovej čiary. Ak spojíte stredy strán segmentom, bude to stredná čiara. Označuje sa m. Stredná čiara má dôležité vlastnosti: je vždy rovnobežná so základňami (pamätáme si, že základne sú tiež navzájom rovnobežné) a rovná sa ich polovičnému súčtu:

Túto definíciu si treba osvojiť a pochopiť, pretože je kľúčom k riešeniu mnohých problémov!

Pri lichobežníku môžete vždy znížiť výšku k základni. Nadmorská výška je kolmica, často označovaná symbolom h, ktorá je vedená z akéhokoľvek bodu na jednej základni k inej základni alebo jej predĺženiu. Stredová čiara a výška vám pomôžu nájsť oblasť lichobežníka. Takéto úlohy sú v školskom kurze geometrie najčastejšie a pravidelne sa objavujú medzi kontrolnými a skúšobnými prácami.

Najjednoduchšie vzorce pre oblasť lichobežníka

Poďme analyzovať dva najobľúbenejšie a najjednoduchšie vzorce, pomocou ktorých nájdete oblasť lichobežníka. Stačí vynásobiť výšku polovicou súčtu základov, aby ste ľahko našli to, čo hľadáte:

S = h*(a + b)/2.

V tomto vzorci a, b označujú základy lichobežníka, h - výšku. Kvôli čitateľnosti v tomto článku sú znaky násobenia vo vzorcoch označené symbolom (*), hoci v oficiálnych referenčných knihách sa znak násobenia zvyčajne vynecháva.

Zvážte príklad.

Dané: lichobežník s dvoma základňami rovnými 10 a 14 cm, výška je 7 cm. Aká je plocha lichobežníka?

Poďme analyzovať riešenie tohto problému. Podľa tohto vzorca musíte najskôr nájsť polovičný súčet základov: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Polovičný súčet je teda 12 cm. Teraz polovičný súčet vynásobíme výškou: 12 * 7 \u003d 84. Požadované je nájdené. Odpoveď: Plocha lichobežníka je 84 metrov štvorcových. cm.

Druhý známy vzorec hovorí: plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky lichobežníka. To znamená, že to vlastne vyplýva z predchádzajúcej koncepcie strednej čiary: S=m*h.

Použitie uhlopriečok na výpočty

Ďalší spôsob, ako nájsť oblasť lichobežníka, nie je v skutočnosti taký ťažký. Je spojená so svojimi uhlopriečkami. Podľa tohto vzorca je na nájdenie plochy potrebné vynásobiť polovičný súčin jej uhlopriečok (d 1 d 2) sínusom uhla medzi nimi:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Zvážte problém, ktorý ukazuje použitie tejto metódy. Dané: lichobežník s dĺžkou uhlopriečky 8 a 13 cm, uhol a medzi uhlopriečkami je 30°. Nájdite oblasť lichobežníka.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedeného vzorca je ľahké vypočítať, čo je potrebné. Ako viete, hriech 30 ° je 0,5. Preto S = 8*13*0,5=52. Odpoveď: Rozloha je 52 metrov štvorcových. cm.

Hľadáte oblasť rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník môže byť rovnoramenný (rovnomerný). Jeho strany sú rovnaké A uhly na základniach sú rovnaké, čo je dobre znázornené na obrázku. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké vlastnosti ako bežný lichobežník, plus množstvo špeciálnych. Okolo rovnoramenného lichobežníka možno opísať kruh a do neho možno vpísať kruh.

Aké sú metódy na výpočet plochy takéhoto čísla? Nižšie uvedená metóda bude vyžadovať veľa výpočtov. Aby ste ho mohli použiť, musíte poznať hodnoty sínusu (sin) a kosínusu (cos) uhla na základni lichobežníka. Ich výpočty vyžadujú buď Bradisove tabuľky alebo inžiniersku kalkulačku. Tu je vzorec:

S= c*hriech a*(a - c* čos a),

kde S- bočné stehno a- uhol na spodnej základni.

Rovnoramenný lichobežník má uhlopriečky rovnakej dĺžky. Platí to aj naopak: ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný. Preto nasledujúci vzorec, ktorý vám pomôže nájsť plochu lichobežníka - polovičný súčin štvorca uhlopriečok a sínus uhla medzi nimi: S = ½ d 2 sin a.

Nájdenie oblasti pravouhlého lichobežníka

Známy je špeciálny prípad pravouhlého lichobežníka. Toto je lichobežník, v ktorom jedna strana (jej stehno) prilieha k základniam v pravom uhle. Má vlastnosti obyčajného lichobežníka. Okrem toho má veľmi zaujímavá vlastnosť. Rozdiel štvorcov uhlopriečok takéhoto lichobežníka sa rovná rozdielu štvorcov jeho základov. Na to sa používajú všetky predtým uvedené metódy na výpočet plochy.

Uplatnenie vynaliezavosti

Existuje jeden trik, ktorý môže pomôcť v prípade zabudnutia konkrétnych vzorcov. Pozrime sa bližšie na to, čo je lichobežník. Ak to mentálne rozdelíme na časti, získame známe a zrozumiteľné geometrické tvary: štvorec alebo obdĺžnik a trojuholník (jeden alebo dva). Ak poznáte výšku a strany lichobežníka, môžete použiť vzorce pre oblasť trojuholníka a obdĺžnika a potom sčítať všetky získané hodnoty.

Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade. Daný obdĺžnikový lichobežník. Uhol C = 45°, uhly A, D sú 90°. Horná základňa lichobežníka je 20 cm, výška je 16 cm. Je potrebné vypočítať plochu obrázku.

Tento obrazec sa samozrejme skladá z obdĺžnika (ak dva uhly majú 90°) a trojuholníka. Keďže je lichobežník pravouhlý, jeho výška sa rovná jeho strane, teda 16 cm, máme obdĺžnik so stranami 20 a 16 cm. Uvažujme teraz trojuholník, ktorého uhol je 45°. Vieme, že jedna z jeho strán má 16 cm, keďže táto strana je zároveň výškou lichobežníka (a vieme, že výška dopadá na základňu v pravom uhle), preto je druhý uhol trojuholníka 90°. Zostávajúci uhol trojuholníka je teda 45°. V dôsledku toho dostaneme pravouhlý rovnoramenný trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké. To znamená, že druhá strana trojuholníka sa rovná výške, to znamená 16 cm. Zostáva vypočítať plochu trojuholníka a obdĺžnika a pridať výsledné hodnoty.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh: S = (16*16)/2 = 128. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho šírky a dĺžky: S = 20 * 16 = 320. Našli sme požadovaný: plocha lichobežníka S = 128 + 320 = 448 štvorcových. viď. Môžete si to jednoducho overiť pomocou vyššie uvedených vzorcov, odpoveď bude identická.

Používame vzorec Pick

S \u003d M / 2 + N - 1,

v tomto vzorci je M počet uzlov, t.j. priesečníky čiar obrázku s čiarami bunky na hraniciach lichobežníka (oranžové bodky na obrázku), N je počet uzlov vo vnútri obrázku (modré bodky). Najpohodlnejšie je použiť ho pri hľadaní oblasti nepravidelného mnohouholníka. Čím väčší je však arzenál použitých metód, tým menej chýb a lepšie výsledky.

Samozrejme, uvedené informácie zďaleka nevyčerpávajú typy a vlastnosti lichobežníka, ako aj metódy na zistenie jeho oblasti. Tento článok poskytuje prehľad jeho najdôležitejších charakteristík. Pri riešení geometrických úloh je dôležité konať postupne, začať s ľahkými vzorcami a problémami, dôsledne upevňovať porozumenie a prejsť na ďalšiu úroveň zložitosti.

Zozbierané najbežnejšie vzorce pomôžu študentom orientovať sa v rôznych spôsoboch výpočtu plochy lichobežníka a lepšie sa pripraviť na testy a kontrolná práca na túto tému.

A . Teraz môžeme začať uvažovať o otázke, ako nájsť oblasť lichobežníka. Táto úloha sa v každodennom živote vyskytuje veľmi zriedkavo, ale niekedy sa ukáže, že je potrebné napríklad nájsť oblasť miestnosti vo forme lichobežníka, ktorý sa čoraz viac používa v stavebníctve. moderné apartmány, alebo v projekčných projektoch na opravy.

Hrazda je geometrický obrazec, tvorený štyrmi pretínajúcimi sa segmentmi, z ktorých dva sú navzájom rovnobežné a nazývajú sa základne lichobežníka. Ďalšie dva segmenty sa nazývajú strany lichobežníka. Okrem toho budeme neskôr potrebovať ďalšiu definíciu. Toto je stredná čiara lichobežníka, čo je segment spájajúci stredy strán a výšku lichobežníka, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi základňami.
Podobne ako trojuholníky, aj lichobežník má osobitné typy vo forme rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka, v ktorom sú dĺžky strán rovnaké, a pravouhlého lichobežníka, v ktorom jedna zo strán zviera so základňami pravý uhol.

Lichobežníky majú niekoľko zaujímavých vlastností:

1. Stredová čiara lichobežníka je polovicou súčtu základov a je s nimi rovnobežná.
   
2. Rovnoramenné lichobežníky majú rovnaké strany a uhly, ktoré zvierajú so základňami.
   
3. Stredy uhlopriečok lichobežníka a priesečník jeho uhlopriečok sú na tej istej priamke.
   
4. Ak sa súčet strán lichobežníka rovná súčtu základov, potom doň možno vpísať kruh
   
5. Ak je súčet uhlov vytvorených stranami lichobežníka na niektorej z jeho základní 90, potom sa dĺžka segmentu spájajúceho stredy základní rovná ich polovičnému rozdielu.
   
6. Rovnoramenný lichobežník možno opísať kružnicou. A naopak. Ak je lichobežník vpísaný do kruhu, potom je rovnoramenný.
   
7. Segment prechádzajúci strednými bodmi základní rovnoramenný lichobežník bude kolmá na jej základne a predstavuje os symetrie.
   

Ako nájsť oblasť lichobežníka.

Plocha lichobežníka bude polovica súčtu jeho základov vynásobených jeho výškou. Vo forme vzorca je to napísané ako výraz:

kde S je plocha lichobežníka, a,b je dĺžka každej zo základní lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Akýkoľvek lichobežník môžete tiež rozložiť na jednoduchšie tvary: obdĺžnik a jeden alebo dva trojuholníky, a ak je to pre vás jednoduchšie, nájdite plochu lichobežníka ako súčet plôch jeho základných figúrok.

Existuje ďalší jednoduchý vzorec na výpočet jeho plochy. Podľa nej sa plocha lichobežníka rovná súčinu jeho stredovej čiary a výšky lichobežníka a je napísaná ako: S \u003d m * h, kde S je plocha, m je dĺžka stredová čiara, h je výška lichobežníka. Tento vzorec je vhodnejší pre matematické úlohy ako pre každodenné úlohy, pretože v reálnych podmienkach nepoznáte dĺžku stredovej čiary bez predbežné výpočty. A poznáte len dĺžky základov a strán.

V tomto prípade možno plochu lichobežníka nájsť pomocou vzorca:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kde S je plocha, a,b sú základne, c,d sú strany lichobežníka.

Existuje niekoľko ďalších spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Sú však asi také nepohodlné ako posledný vzorec, čo znamená, že nemá zmysel sa nimi zaoberať. Preto vám odporúčame použiť prvý vzorec z článku a želáme si, aby ste vždy dosiahli presné výsledky.

Čo je rovnoramenný lichobežník? Ide o geometrický útvar, ktorého protiľahlé nerovnobežné strany sú rovnaké. Je ich viacero rôzne vzorce nájsť oblasť lichobežníka s rôzne podmienky uvedené v úlohách. To znamená, že oblasť sa dá nájsť, ak je uvedená výška, strany, uhly, uhlopriečky atď. Nemožno nespomenúť ani to, že pre rovnoramenné lichobežníky existujú určité „výnimky“, vďaka ktorým je hľadanie oblasti a samotného vzorca výrazne zjednodušené. Podrobné riešenia pre každý prípad sú popísané nižšie s príkladmi.

Potrebné vlastnosti na nájdenie oblasti rovnoramenného lichobežníka

Už sme zistili, že geometrický útvar, ktorý má protiľahlý nie rovnobežný, ale rovnaké strany- toto je lichobežník, navyše rovnoramenný. Existujú špeciálne prípady, keď sa lichobežník považuje za rovnoramenný.

• Toto sú podmienky pre rovnaké uhly. Takže povinný bod: uhly na základni (pozrite si obrázok nižšie) musia byť rovnaké. V našom prípade uhol BAD = uhol CDA a uhol ABC = uhol BCD
• Po druhé dôležité pravidlo- v takomto lichobežníku musia byť uhlopriečky rovnaké. Preto AC = BD.
• Tretí aspekt: ​​opačné uhly lichobežníka by mali byť 180 stupňov. To znamená, že uhol ABC + uhol CDA = 180 stupňov. S uhlami BCD a BAD podobne.
• Po štvrté, ak lichobežník umožňuje opísať okolo seba kruh, potom je rovnoramenný.

Ako nájsť oblasť rovnoramenného lichobežníka - vzorce a ich popis

• S = (a + b) h / 2 - toto je najbežnejší vzorec na zistenie oblasti, kde a - spodná základňa b je horná základňa a h je výška.

• Ak výška nie je známa, môžete ju vyhľadať pomocou podobného vzorca: h \u003d c * sin (x), kde c je buď AB alebo CD. sin(x) je sínus uhla na ľubovoľnej základni, t.j. uhol DAB = uhol CDA = x. Vzorec nakoniec vyzerá takto: S = (a+b)*s*sin(x)/2.
• Výška sa dá zistiť aj pomocou tohto vzorca:

• Konečný vzorec vyzerá takto:

• Oblasť rovnoramenného lichobežníka možno nájsť aj pomocou stredná čiara a výška. Vzorec je: S = mh.

Zvážte stav, keď je kruh vpísaný do lichobežníka.

V prípade znázornenom na obrázku,

QN = D = H - priemer kruhu a zároveň výška lichobežníka;

LO, ON, OQ = R sú polomery kruhu;

DC = a - horná základňa;

AB = b - spodná základňa;

DAB, ABC, BCD, CDA - alfa, beta - lichobežníkové základné uhly.

Podobný prípad umožňuje nájsť oblasť pomocou nasledujúcich vzorcov:

• Teraz sa pokúsime nájsť oblasť cez uhlopriečky a uhly medzi nimi.

Na obrázku označte AC, DB - uhlopriečky - d. Uhly COB, DOB - alfa; DOC, AOB - beta. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi, ( S ) je: