Funkcia v trigonometrii 10. Všetky trigonometrické vzorce

Pri vykonávaní trigonometrických transformácií postupujte podľa týchto tipov:

1. Nesnažte sa okamžite prísť so schémou riešenia príkladu od začiatku do konca.
2. Nepokúšajte sa previesť celý príklad naraz. Pohybujte sa vpred malými krokmi.
3. Pamätajte, že okrem goniometrických vzorcov v trigonometrii môžete stále použiť všetky spravodlivé algebraické transformácie (zátvorky, zmenšovanie zlomkov, skrátené vzorce na násobenie atď.).
4. Verte, že všetko bude v poriadku.

Základné goniometrické vzorce

Väčšina vzorcov v trigonometrii sa často používa sprava doľava aj zľava doprava, takže sa tieto vzorce musíte naučiť tak dobre, aby ste mohli jednoducho použiť nejaký vzorec v oboch smeroch. Na začiatok si zapíšeme definície goniometrických funkcií. Nech existuje pravouhlý trojuholník:

Potom definícia sínusu je:

Definícia kosínusu:

Definícia dotyčnice:

Definícia kotangens:

Základná trigonometrická identita:

Najjednoduchšie dôsledky základnej trigonometrickej identity:

Vzorce s dvojitým uhlom. Sínus dvojitého uhla:

Kosínus dvojitého uhla:

Dvojitý uhol tangens:

Kotangens s dvojitým uhlom:

Ďalšie trigonometrické vzorce

Goniometrické vzorce prídavok. Sínus súčtu:

Sínus rozdielu:

Kosínus súčtu:

Kosínus rozdielu:

Tangent súčtu:

Tangenta rozdielu:

Kotangens súčtu:

Rozdiel kotangens:

Goniometrické vzorce na prevod sumy na súčin. Súčet sínusov:

Sínusový rozdiel:

Súčet kosínov:

Kosínový rozdiel:

súčet dotyčníc:

Tangentový rozdiel:

Súčet kotangens:

Rozdiel kotangens:

Goniometrické vzorce na prepočet súčinu na súčet. Súčin sínusov:

Súčin sínusu a kosínusu:

Súčin kosínusov:

Vzorce na zníženie stupňa.

Vzorce polovičného uhla.

Trigonometrické redukčné vzorce

Volá sa funkcia kosínus kofunkcia sínusová funkcia a naopak. Podobne funkcie tangens a kotangens sú kofunkcie. Redukčné vzorce možno formulovať podľa nasledujúceho pravidla:

• Ak sa v redukčnom vzorci uhol odpočíta (sčíta) od 90 stupňov alebo 270 stupňov, potom sa redukovateľná funkcia zmení na kofunkciu;
• Ak je v redukčnom vzorci uhol odčítaný (pridaný) od 180 stupňov alebo 360 stupňov, názov redukovanej funkcie sa zachová;
• V tomto prípade pred redukovanou funkciou je znamienko, ktoré má redukovaná (t. j. pôvodná) funkcia v zodpovedajúcej štvrtine, ak odčítaný (sčítaný) uhol považujeme za ostrý.

Odlievané vzorce sú uvedené vo forme tabuľky:

Autor: trigonometrický kruh je ľahké určiť tabuľkové hodnoty goniometrických funkcií:

Goniometrické rovnice

Na vyriešenie určitej goniometrickej rovnice je potrebné ju zredukovať na jednu z najjednoduchších goniometrických rovníc, o ktorej sa bude diskutovať nižšie. Pre to:

• Môžete použiť vyššie uvedené trigonometrické vzorce. V tomto prípade sa nemusíte pokúšať konvertovať celý príklad naraz, ale musíte postupovať vpred po malých krokoch.
• Netreba zabúdať ani na možnosť transformácie nejakého výrazu pomocou algebraických metód, t.j. napríklad vyložiť niečo zo zátvorky alebo naopak zátvorky otvoriť, zlomok zmenšiť, použiť skrátený vzorec na násobenie, zlomky zredukovať na spoločného menovateľa atď.
• Pri riešení goniometrických rovníc môžete použiť metóda zoskupovania. Treba mať na pamäti, že na to, aby sa súčin viacerých faktorov rovnal nule, stačí, aby sa ktorýkoľvek z nich rovnal nule a zvyšok existoval.
• Uplatňuje sa variabilná náhradná metóda, ako obvykle, rovnica po zavedení náhrady by sa mala zjednodušiť a nemala by obsahovať pôvodnú premennú. Musíte tiež pamätať na opačnú substitúciu.
• Pamätajte, že homogénne rovnice sa často vyskytujú aj v trigonometrii.
• Pri otváraní modulov alebo riešení iracionálnych rovníc s goniometrickými funkciami si treba pamätať a brať do úvahy všetky jemnosti riešenia zodpovedajúcich rovníc s obyčajnými funkciami.
• Pamätajte na ODZ (v goniometrických rovniciach sa obmedzenia na ODZ v podstate scvrkávajú na skutočnosť, že nemôžete deliť nulou, ale nezabudnite na ďalšie obmedzenia, najmä na kladnosť výrazov v racionálnych mocninách a pod koreňmi párnych stupňov ). Pamätajte tiež, že hodnoty sínus a kosínus môžu ležať iba medzi mínus jedna a plus jedna vrátane.

Hlavná vec je, že ak neviete, čo robiť, urobte aspoň niečo, zatiaľ čo hlavnou vecou je správne používať trigonometrické vzorce. Ak sa to, čo získate, zlepšuje a zlepšuje, pokračujte v riešení, a ak sa to zhorší, vráťte sa na začiatok a skúste použiť iné vzorce, tak to robte, kým nenarazíte na správne riešenie.

Vzorce na riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc. Pre sínus existujú dve ekvivalentné formy zápisu riešenia:

Pre ostatné goniometrické funkcie je zápis jedinečný. Pre kosínus:

Pre dotyčnicu:

Pre kotangens:

Riešenie goniometrických rovníc v niektorých špeciálnych prípadoch:

Úspešná, usilovná a zodpovedná implementácia týchto troch bodov, ako aj zodpovedné štúdium záverečných tréningových testov vám umožní ukázať na CT vynikajúci výsledok, maximum toho, čoho ste schopní.

Našli ste chybu?

Ak ste, ako si myslíte, našli chybu v školiacich materiáloch, napíšte o nej na email(). V liste uveďte predmet (fyziku alebo matematiku), názov alebo číslo témy alebo testu, číslo úlohy, prípadne miesto v texte (strane), kde je podľa vás chyba. Popíšte tiež, čo je údajná chyba. Váš list nezostane nepovšimnutý, chyba bude buď opravená, alebo vám bude vysvetlené, prečo nejde o chybu.

Pomery medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens - sú uvedené trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Odkaz na niektoré vzorce goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné sú funkciami viacnásobného uhla, iné umožňujú znížiť stupeň, štvrté umožňujú vyjadriť všetky funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Navigácia na stránke.

Základné goniometrické identity

Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkový kruh. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku.

Odlievané vzorce

Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich použitia si môžete prečítať v článku.

Vzorce na sčítanie

Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Vzorce pre dvojité, trojité atď. rohu

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol .

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.

Ich záver a príklady aplikácie nájdete v článku.

Redukčné vzorce

Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov navrhnutý tak, aby uľahčil prechod z prirodzené stupne goniometrické funkcie na sínus a kosínus na prvý stupeň, ale viac uhlov. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.

Bibliografia.

• Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. - M.: Osveta, 1993. - 351 s.: chor. - ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Autorské práva šikovných študentov

Všetky práva vyhradené.
Chránené zákonom autorské práva. Žiadna časť stránky vrátane vnútorné materiály a vonkajší dizajn, nesmú byť reprodukované v žiadnej forme ani použité bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.

Na tejto stránke nájdete všetky základné goniometrické vzorce, ktoré vám pomôžu vyriešiť mnohé cvičenia a výrazne zjednodušia samotný výraz.

Goniometrické vzorce sú matematické rovnosti pre goniometrické funkcie, ktoré sú platné pre všetky platné hodnoty argumentov.

Vzorce nastavujú vzťah medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens, kotangens.

Sínus uhla je y-ová súradnica bodu (ordináta) na jednotkovej kružnici. Kosínus uhla je x-ová súradnica bodu (abscisa).

Tangenta a kotangens sú pomer sínusu ku kosínu a naopak.
`sin\\alpha,\cos\\alpha`
`tg \ \alpha=\frac(sin\ \alpha)(cos \ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`ctg \ \alpha=\frac(cos\ \alpha)(sin\ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n, \ n \in Z`

A dva, ktoré sa používajú menej často - sekant, kosekant. Označujú pomery 1 ku kosínu a sínusu.

`s \ \alpha=\frac(1)(cos\ \alpha),` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n,\ n \in Z`
`cosec \ \alpha=\frac(1)(sin \ \alpha),` ` \alpha\ne\pi+\pi n,\ n \in Z`

Z definícií goniometrických funkcií môžete vidieť, aké znamienka majú v jednotlivých štvrťrokoch. Znamienko funkcie závisí len od toho, v ktorom kvadrante sa argument nachádza.

Pri zmene znamienka argumentu z „+“ na „-“ nemení jeho hodnotu iba funkcia kosínus. Volá sa to dokonca. Jeho graf je symetrický okolo osi y.

Zvyšné funkcie (sínus, tangens, kotangens) sú nepárne. Keď sa znamienko argumentu zmení z „+“ na „-“, ich hodnota sa tiež zmení na zápornú. Ich grafy sú symetrické podľa pôvodu.

`sin(-\alpha)=-sin \\alpha`
`cos(-\alpha)=cos \\alpha`
`tg(-\alpha)=-tg \ \alpha`
`ctg(-\alpha)=-ctg \ \alpha`

Základné goniometrické identity

Základné goniometrické identity sú vzorce, ktoré vytvárajú vzťah medzi goniometrickými funkciami jedného uhla (`sin \ \alpha, \ cos \ \\alpha, \ tg \ \alpha, \ ctg \ \alpha`) a ktoré umožňujú nájsť hodnotu každej z týchto funkcií prostredníctvom akejkoľvek inej známej.
`sin^2 \alpha+cos^2 \alpha=1`
`tg \ \alpha \cdot ctg \ \alpha=1, \ \alpha\ne\frac(\pi n) 2, \ n \in Z`
`1+tg^2 \alpha=\frac 1(cos^2 \alpha)=sec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\frac\pi2+\pi n, \ n \in Z`
`1+ctg^2 \alpha=\frac 1(sin^2 \alpha)=cosec^2 \alpha,` ` \alpha\ne\pi n, \ n \in Z`

Vzorce pre súčet a rozdiel uhlov goniometrických funkcií

Vzorce na sčítanie a odčítanie argumentov vyjadrujú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov z hľadiska goniometrických funkcií týchto uhlov.
`sin(\alpha+\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta+cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`sin(\alpha-\beta)=` `sin \ \alpha\ cos \ \beta-cos \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha+\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta-sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`cos(\alpha-\beta)=` `cos \ \alpha\ cos \ \beta+sin \ \alpha\ sin \ \beta`
`tg(\alpha+\beta)=\frac(tg \ \alpha+tg \ \beta)(1-tg \ \alpha\ tg \ \beta)`
`tg(\alpha-\beta)=\frac(tg \ \alpha-tg \ \beta)(1+tg \ \alpha \ tg \ \beta)`
`ctg(\alpha+\beta)=\frac(ctg \ \alpha \ ctg \ \beta-1)(ctg \ \beta+ctg \ \alpha)`
`ctg(\alpha-\beta)=\frac(ctg \ \alpha\ ctg \ \beta+1)(ctg \ \beta-ctg \ \alpha)`

Vzorce s dvojitým uhlom

`sin \ 2\alpha=2 \ sin \ \alpha \ cos \ \alpha=` `\frac (2 \ tg \ \alpha)(1+tg^2 \alpha)=\frac (2 \ ctg \ \alpha )(1+ctg^2 \alpha)=` `\frac 2(tg \ \alpha+ctg \ \alpha)`
`cos \ 2\alpha=cos^2 \alpha-sin^2 \alpha=` `1-2 \ sin^2 \alpha=2 \ cos^2 \alpha-1=` `\frac(1-tg^ 2\alpha)(1+tg^2\alpha)=\frac(ctg^2\alpha-1)(ctg^2\alpha+1)=` `\frac(ctg \ \alpha-tg \ \alpha) (ctg\\alpha+tg\\alpha)`
`tg \ 2\alpha=\frac(2 \ tg \ \alpha)(1-tg^2 \alpha)=` `\frac(2 \ ctg \ \alpha)(ctg^2 \alpha-1)=` `\frac 2( \ ctg \ \alpha-tg \ \alpha)`
`ctg \ 2\alpha=\frac(ctg^2 \alpha-1)(2 \ ctg \ \alpha)=` `\frac ( \ ctg \ \\alpha-tg \ \alpha)2`

Vzorce s trojitým uhlom

`sin \ 3\alpha=3 \ sin \ \alpha-4sin^3 \alpha`
`cos \ 3\alpha=4cos^3 \alpha-3 \ cos \ \alpha`
`tg \ 3\alpha=\frac(3 \ tg \ \alpha-tg^3 \alpha)(1-3 \ tg^2 \alpha)`
`ctg \ 3\alpha=\frac(ctg^3 \alpha-3 \ ctg \\alpha)(3 \ ctg^2 \alpha-1)`

Vzorce polovičného uhla

`sin \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)2)`
`cos \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)2)`
`tg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1-cos \ \alpha)(1+cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1+cos \ \ alfa)=\frac (1-cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`
`ctg \ \frac \alpha 2=\pm \sqrt(\frac (1+cos \ \alpha)(1-cos \ \alpha))=` `\frac (sin \ \alpha)(1-cos \ \ alfa)=\frac (1+cos \ \alpha)(sin \ \alpha)`

Polovičné, dvojité a trojité argumentové vzorce vyjadrujú funkcie `sin, \cos, \tg, \ctg` týchto argumentov (`\frac(\alpha)2, \ 2\alpha, \ 3\alpha,… `) v podmienky týchto rovnakých funkcií argument `\alpha`.

Ich výstup je možné získať z predchádzajúcej skupiny (sčítanie a odčítanie argumentov). Napríklad dvojité uhly identity možno ľahko získať nahradením `\beta` za `\alpha`.

Redukčné vzorce

Vzorce štvorcov (kocky atď.) goniometrických funkcií umožňujú prejsť od 2,3, ... stupňov k goniometrickým funkciám prvého stupňa, ale viac uhlov (`\alfa, \ 3\alpha, \ ... ` alebo `2\alpha, \ 4\alpha, \...`).
`sin^2 \alpha=\frac(1-cos \ 2\alpha)2,` ` (sin^2 \frac \alpha 2=\frac(1-cos \ \alpha)2)`
`cos^2 \alpha=\frac(1+cos \ 2\alpha)2,` ` (cos^2 \frac \alpha 2=\frac(1+cos \ \alpha)2)`
`sin^3 \alpha=\frac(3sin \ \alfa-sin \ 3\alpha)4`
`cos^3 \alpha=\frac(3cos \ \alpha+cos \ 3\alpha)4`
`sin^4 \alpha=\frac(3-4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`
`cos^4 \alpha=\frac(3+4cos \ 2\alpha+cos \ 4\alpha)8`

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

Vzorce sú transformácie súčtu a rozdielu goniometrických funkcií rôznych argumentov na súčin.

`sin \ \alpha+sin \ \beta=` `2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`sin \ \alpha-sin \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha+cos \ \beta=` `2 \ cos \frac(\alpha+\beta)2 \ cos \frac(\alpha-\beta)2`
`cos \ \alpha-cos \ \beta=` `-2 \ sin \frac(\alpha+\beta)2 \ sin \frac(\alpha-\beta)2=` `2 \ sin \frac(\alpha+\ beta)2\sin\frac(\beta-\alpha)2`
`tg \ \alpha \pm tg \ \beta=\frac(sin(\alpha \pm \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta)`
`ctg \ \alpha \pm ctg \ \beta=\frac(sin(\beta \pm \alpha))(sin \ \alpha \ sin \ \beta)`
`tg \ \alpha \pm ctg \ \beta=` `\pm \frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ sin \ \beta)`

Tu sa sčítanie a odčítanie funkcií jedného argumentu prevedie na súčin.

`cos \ \alpha+sin \ \alpha=\sqrt(2) \ cos (\frac(\pi)4-\alpha)`
`cos \ \alpha-sin \ \alpha=\sqrt(2) \sin (\frac(\pi)4-\alpha)`
`tg \ \alpha+ctg \ \alpha=2 \cosec \2\alpha;` `tg \ \alpha-ctg \ \alpha=-2 \ctg \2\alpha`

Nasledujúce vzorce konvertujú súčet a rozdiel jednotky a goniometrickej funkcie na súčin.

`1+cos \ \alpha=2 \ cos^2 \frac(\alpha)2`
`1-cos \ \alpha=2 \ sin^2 \frac(\alpha)2`
`1+sin \ \alpha=2 \ cos^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1-sin \ \\alpha=2 \ sin^2 (\frac (\pi) 4-\frac(\alpha)2)`
`1 \pm tg \ \alpha=\frac(sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \frac(\pi)4 \ cos \ \alpha)=` `\frac(\sqrt (2) sin(\frac(\pi)4 \pm \alpha))(cos \\alpha)`
`1 \pm tg \ \alpha \ tg \ \beta=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(cos \ \alpha \ cos \ \beta);` ` \ctg \ \alpha \ ctg \ \ beta \pm 1=\frac(cos(\alpha \mp \beta))(hriech \ \alfa \ hriech \ \beta)`

Vzorce na konverziu funkcií

Vzorce na prevod súčinu goniometrických funkcií s argumentmi `\alpha` a `\beta` na súčet (rozdiel) týchto argumentov.
`sin \ \alpha \ sin \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(2)`
`sin\alpha \ cos\beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(2)`
`cos \ \\alpha \ cos \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(2)`
`tg \ \alpha \ tg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(tg \ \alpha + tg \ \beta)(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)`
`ctg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(cos(\alpha - \beta)+cos(\alpha + \beta))(cos(\alpha - \beta)-cos(\alpha + \ beta)) =` `\frac(ctg \ \alpha + ctg \ \beta)(tg \ \alpha + tg \ \beta)`
`tg \ \alpha \ ctg \ \beta =` `\frac(sin(\alpha - \beta)+sin(\alpha + \beta))(sin(\alpha + \beta)-sin(\alpha - \ beta))“.

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Tieto vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla.
`sin \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha\ne \pi +2\ pi n, n \in Z`
`cos \ \alpha= \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(1 + tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ ne \pi +2\pi n, n \in Z`
`tg \ \alpha= \frac(2tg\frac(\alpha)(2))(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi +2\ pi n, n \in Z,` ` \alpha \ne \frac(\pi)(2)+ \pi n, n \in Z`
`ctg \ \alpha = \frac(1 - tg^(2)\frac(\alpha)(2))(2tg\frac(\alpha)(2)),` ` \alpha \ne \pi n, n \in Z,` `\alpha \ne \pi + 2\pi n, n \in Z`

Odlievané vzorce

Redukčné vzorce možno získať pomocou takých vlastností goniometrických funkcií, ako je periodicita, symetria, vlastnosť posunu o daný uhol. Umožňujú previesť ľubovoľné funkcie uhla na funkcie, ktorých uhol je medzi 0 a 90 stupňami.

Pre uhol (`\frac (\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`90^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (\pi)2 - \alpha)=cos \ \alpha;` ` sin(\frac (\pi)2 + \alpha)=cos \ \alpha`
`cos(\frac (\pi)2 - \alpha)=sin \ \alpha;` ` cos(\frac (\pi)2 + \alpha)=-sin \ \alpha`
`tg(\frac (\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`\pi \pm \alpha`) alebo (`180^\circ \pm \alpha`):
`sin(\pi - \alpha)=sin \ \alpha;` ` sin(\pi + \alpha)=-sin \ \alpha`
`cos(\pi - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` cos(\pi + \alpha)=-cos \ \alpha`
`tg(\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`
Pre uhol (`\frac (3\pi)2 \pm \alpha`) alebo (`270^\circ \pm \alpha`):
`sin(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-cos \ \alpha;` ` sin(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-cos \ \alpha`
`cos(\frac (3\pi)2 - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` cos(\frac (3\pi)2 + \alpha)=sin \ \alpha`
`tg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=ctg \ \alpha;` ` tg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-ctg \ \alpha`
`ctg(\frac (3\pi)2 - \alpha)=tg \ \alpha;` ` ctg(\frac (3\pi)2 + \alpha)=-tg \ \alpha`
Pre uhol (`2\pi \pm \alpha`) alebo (`360^\circ \pm \alpha`):
`sin(2\pi - \alpha)=-sin \ \alpha;` ` sin(2\pi + \alpha)=sin \ \alpha`
`cos(2\pi - \alpha)=cos \\alpha;` ` cos(2\pi + \alpha)=cos \\alpha`
`tg(2\pi - \alpha)=-tg \ \alpha;` ` tg(2\pi + \alpha)=tg \ \alpha`
`ctg(2\pi - \alpha)=-ctg \ \alpha;` ` ctg(2\pi + \alpha)=ctg \ \alpha`

Vyjadrenie niektorých goniometrických funkcií z hľadiska iných

`sin \ \alpha=\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha)=` `\frac(tg \ \alpha)(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac 1( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`cos \ \alpha=\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha)=` `\frac 1(\pm \sqrt(1+tg^2 \alpha))=\frac (ctg \ \alpha)( \pm \sqrt(1+ctg^2 \alpha))`
`tg \ \alpha=\frac (sin \ \alpha)(\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))=` `\frac (\pm \sqrt(1-cos^2 \alpha))( cos \ \alpha)=\frac 1(ctg \\alpha)`
`ctg \ \alpha=\frac (\pm \sqrt(1-sin^2 \alpha))(sin \ \alpha)=` `\frac (cos \ \alpha)(\pm \sqrt(1-cos^ 2 \alpha))=\frac 1(tg \\alpha)`

Trigonometria sa doslova prekladá ako "meranie trojuholníkov". Začína sa študovať v škole, podrobnejšie pokračuje na univerzitách. Preto sú potrebné základné vzorce pre trigonometriu od 10. ročníka, ako aj na zloženie skúšky. Označujú spojenia medzi funkciami a keďže týchto spojení je veľa, aj samotných vzorcov je dosť. Zapamätať si ich všetky nie je jednoduché a nie je to potrebné – v prípade potreby sa dajú všetky odvodiť.

Goniometrické vzorce sa používajú v integrálnom počte, ako aj v goniometrických zjednodušeniach, výpočtoch a transformáciách.

Trigonometria, trigonometrické vzorce

Sú uvedené vzťahy medzi hlavnými goniometrickými funkciami - sínus, kosínus, tangens a kotangens. trigonometrické vzorce. A keďže medzi goniometrickými funkciami existuje pomerne veľa spojení, vysvetľuje to aj množstvo goniometrických vzorcov. Niektoré vzorce spájajú goniometrické funkcie rovnakého uhla, iné - funkcie viacnásobného uhla, iné - umožňujú znížiť stupeň, štvrtý - vyjadriť všetky funkcie prostredníctvom tangens polovičného uhla atď.

V tomto článku uvádzame v poradí všetky základné trigonometrické vzorce, ktoré stačia na vyriešenie veľkej väčšiny problémov s trigonometriou. Pre ľahšie zapamätanie a používanie ich zoskupíme podľa účelu a zapíšeme do tabuliek.

Základné goniometrické identity nastavte vzťah medzi sínusom, kosínusom, tangentom a kotangensom jedného uhla. Vyplývajú z definície sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu, ako aj z pojmu jednotkovej kružnice. Umožňujú vám vyjadriť jednu goniometrickú funkciu prostredníctvom ktorejkoľvek inej.

Podrobný popis týchto trigonometrických vzorcov, ich odvodenie a príklady aplikácií nájdete v článku základné trigonometrické identity.

Začiatok stránky

Odlievané vzorce

Odlievané vzorce vyplývajú z vlastností sínusu, kosínusu, dotyčnice a kotangensu, to znamená, že odrážajú vlastnosť periodicity goniometrických funkcií, vlastnosť symetrie a tiež vlastnosť posunu o daný uhol. Tieto trigonometrické vzorce vám umožňujú prejsť od práce s ľubovoľnými uhlami k práci s uhlami v rozsahu od nuly do 90 stupňov.

Zdôvodnenie týchto vzorcov, mnemotechnické pravidlo na ich zapamätanie a príklady ich aplikácie nájdete v článku o redukčných vzorcoch.

Začiatok stránky

Vzorce na sčítanie

Goniometrické sčítacie vzorce ukážte, ako sú goniometrické funkcie súčtu alebo rozdielu dvoch uhlov vyjadrené pomocou goniometrických funkcií týchto uhlov. Tieto vzorce slúžia ako základ pre odvodenie nasledujúcich goniometrických vzorcov.

Viac detailné informácie je obsiahnutá v článku adičné vzorce.

Začiatok stránky

Vzorce pre dvojité, trojité atď. rohu

Vzorce pre dvojité, trojité atď. uhla (nazývajú sa aj viacuhlové vzorce) ukazujú, ako goniometrické funkcie dvojitého, trojitého atď. uhly () sú vyjadrené ako trigonometrické funkcie jedného uhla. Ich odvodenie je založené na adičných vzorcoch.

Podrobnejšie informácie sú zhromaždené vo vzorcoch článku pre dvojité, trojité atď. uhol.

Začiatok stránky

Vzorce polovičného uhla

Vzorce polovičného uhla ukazujú, ako sú goniometrické funkcie polovičného uhla vyjadrené ako kosínus celočíselného uhla. Tieto trigonometrické vzorce vyplývajú zo vzorcov dvojitého uhla.

Ich odvodenie a príklady použitia nájdete v článku Vzorce polovičného uhla.

Začiatok stránky

Redukčné vzorce

Trigonometrické vzorce na znižovanie stupňov sú navrhnuté tak, aby uľahčili prechod od prirodzených mocnín goniometrických funkcií na sínusy a kosínusy v prvom stupni, ale s viacerými uhlami. Inými slovami, umožňujú znížiť mocniny goniometrických funkcií na prvé.

Začiatok stránky

Vzorce pre súčet a rozdiel goniometrických funkcií

hlavný cieľ súčtové a rozdielové vzorce pre goniometrické funkcie spočíva v prechode na súčin funkcií, čo je veľmi užitočné pri zjednodušovaní goniometrických výrazov. Tieto vzorce sú tiež široko používané pri riešení goniometrických rovníc, pretože umožňujú faktorizáciu súčtu a rozdielu sínusov a kosínusov.

Odvodenie vzorcov, ako aj príklady ich použitia nájdete v článku vzorce pre súčet a rozdiel sínusov a kosínusov.

Začiatok stránky

Vzorce na súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínu

Prechod od súčinu goniometrických funkcií k súčtu alebo rozdielu sa uskutočňuje prostredníctvom vzorcov pre súčin sínusov, kosínusov a sínus po kosínusu.

Začiatok stránky

Univerzálna trigonometrická substitúcia

Prehľad základných vzorcov trigonometrie doplňujeme o vzorce vyjadrujúce goniometrické funkcie z hľadiska tangens polovičného uhla. Táto náhrada je tzv univerzálna trigonometrická substitúcia. Jeho výhoda spočíva v tom, že všetky goniometrické funkcie sú vyjadrené v tangente polovičného uhla racionálne bez koreňov.

Pre viac úplné informácie pozri článok univerzálna trigonometrická substitúcia.

Začiatok stránky

• Algebra: Proc. pre 9 buniek. priem. škola / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova; Ed. S. A. Telyakovsky.- M.: Osvietenstvo, 1990.- 272 s.: Ill.- ISBN 5-09-002727-7
• Bašmakov M.I. Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. priem. školy - 3. vyd. — M.: Osveta, 1993. — 351 s.: chor. — ISBN 5-09-004617-4.
• Algebra a začiatok analýzy: Proc. pre 10-11 buniek. všeobecné vzdelanie inštitúcie / A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn a ďalší; Ed. A. N. Kolmogorova.- 14. vyd.- M.: Osveta, 2004.- 384 s.: ill.- ISBN 5-09-013651-3.
• Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre uchádzačov o štúdium na technických školách): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.

Goniometrické vzorce- sú to najpotrebnejšie vzorce v trigonometrii, potrebné na vyjadrenie goniometrických funkcií, ktoré sa vykonávajú pre akúkoľvek hodnotu argumentu.

Sčítacie vzorce.

sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α

sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α

cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β

cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β

tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)

tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)

ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)

ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

Vzorce s dvojitým uhlom.

pretože 2α = cos²α — hriech²α

pretože 2α = 2 cos²α — 1

pretože 2α = 1 - 2 sin²α

hriech 2α = 2 hriechyα cosα

tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)

ctg 2α = (ctg²α - 1) ÷ (2 ctgα )

Vzorce s trojitým uhlom.

sin3α = 3sinα - 4sin³α

pretože 3α = 4 cos³α — 3 cosα

tg 3α = (3tgα — tg³α ) ÷ (1 - 3 tg²α )

ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Vzorce polovičného uhla.

Odlievacie vzorce.

Podrobný popis redukčných vzorcov.

Základné goniometrické vzorce.

Základná trigonometrická identita:

sin2α+cos2α=1

Táto identita je výsledkom aplikácie Pytagorovej vety na trojuholník v jednotkovej trigonometrickej kružnici.

Vzťah medzi kosínusom a tangentom:

1/cos 2 α-tan 2 α=1 alebo sek 2 α-tan 2 α=1.

Tento vzorec je dôsledkom základnej goniometrickej identity a získa sa z nej delením ľavej a pravej časti cos2α. Predpokladá sa, že α≠π/2+πn,n∈Z.

Vzťah medzi sínusom a kotangensom:

1/sin 2 α−postieľka 2 α=1 alebo csc 2 α−postieľka 2 α=1.

Tento vzorec vyplýva aj zo základnej goniometrickej identity (získanej z nej delením ľavej a pravej strany o sin2α. Tu sa predpokladá, že α≠πn,n∈Z.

Definícia dotyčnice:

tanα=sinα/cosα,

kde α≠π/2+πn,n∈Z.

Definícia kotangens:

cotα=cosα/sinα,

kde α≠πn,n∈Z.

Dôsledok z definícií tangens a kotangens:

tanα⋅ cotα=1,

kde α≠πn/2,n∈Z.

Definícia sekantu:

sekα=1/cosα,α≠π/2+πn,n∈ Z

Definícia kosekantu:

cscα=1/sinα,α≠πn,n∈ Z

Trigonometrické nerovnosti.

Najjednoduchšie trigonometrické nerovnosti:

sinx > a, sinx ≥ a, sinx< a, sinx ≤ a,

cosx > a, cosx ≥ a, cosx< a, cosx ≤ a,

tanx > a, tanx ≥ a, tanx< a, tanx ≤ a,

cotx > a, cotx ≥ a, cotx< a, cotx ≤ a.

Štvorce goniometrických funkcií.

Vzorce kociek goniometrických funkcií.

Trigonometria Matematika. Trigonometria. Vzorce. Geometria. teória

Uvažovali sme o najzákladnejších goniometrických funkciách (nenechajte sa zmiasť, okrem sínusových, kosínusových, tangens a kotangens existuje množstvo ďalších funkcií, ale o nich neskôr), ale zatiaľ zvážime niektoré z základné vlastnosti už študovaných funkcií.

Goniometrické funkcie číselného argumentu

Bez ohľadu na to, aké reálne číslo t sa použije, môže mu byť priradené jednoznačne definované číslo sin(t).

Je pravda, že pravidlo korešpondencie je dosť komplikované a spočíva v nasledujúcom.

Ak chcete nájsť hodnotu sin (t) podľa čísla t, potrebujete:

1. zariadiť číselný kruh na súradnicová rovina aby sa stred kružnice zhodoval s počiatkom a začiatočný bod A kružnice zasiahol bod (1; 0);
2. nájdite bod na kružnici zodpovedajúci číslu t;
3. nájdite ordinátu tohto bodu.
4. tento ordinát je požadovaný hriech(t).

Vlastne rozprávame sa o funkcii s = sin(t), kde t je ľubovoľné reálne číslo. Vieme, ako vypočítať niektoré hodnoty tejto funkcie (napríklad sin(0) = 0, \(sin \frac (\pi)(6) = \frac(1)(2) \), atď.) , poznáme niektoré jeho vlastnosti.

Spojenie goniometrických funkcií

Ako dúfam, hádate, všetky goniometrické funkcie sú vzájomne prepojené a aj bez toho, aby ste poznali hodnotu jednej, ju možno nájsť cez druhú.

Napríklad najdôležitejší vzorec celej trigonometrie je základná trigonometrická identita:

\[ hriech^(2) t + cos^(2) t = 1 \]

Ako vidíte, ak poznáte hodnotu sínusu, môžete nájsť hodnotu kosínusu a naopak.

Trigonometrické vzorce

Tiež veľmi bežné vzorce týkajúce sa sínusu a kosínusu s dotyčnicou a kotangensom:

\[ \boxed (\tan\; t=\frac(\sin\; t)(\cos\; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (\cot\; t=\frac(\cos\; )(\sin\; ), \qquad t \neq \pi k) \]

Z posledných dvoch vzorcov možno odvodiť ešte jednu trigometrickú identitu, ktorá spája tentoraz tangens a kotangens:

\[ \boxed (\tan \; t \cdot \cot \; t = 1, \qquad t \neq \frac(\pi k)(2)) \]

Teraz sa pozrime, ako tieto vzorce fungujú v praxi.

PRÍKLAD 1. Zjednodušte výraz: a) \(1+ \tan^2 \; t \), b) \(1+ \cot^2 \; t \)

a) Najprv napíšeme dotyčnicu, pričom ponecháme druhú mocninu:

\[ 1+ \tan^2 \; t = 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

\[ 1 + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t)= \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) \]

Teraz uvedieme všetko pod spoločným menovateľom a dostaneme:

\[ \sin^2\; t + \cos^2 \; t + \frac(\sin^2 \; t)(\cos^2 \; t) = \frac(\cos^2 \; t + \sin^2 \; t)(\cos^2 \; t )\]

A nakoniec, ako vidíme, čitateľ môže byť zredukovaný na jednotku podľa základnej goniometrickej identity, výsledkom čoho je: \[ 1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t) \]

b) S kotangensom vykonávame všetky rovnaké akcie, len menovateľ už nebude mať kosínus, ale sínus a odpoveď dopadne takto:

\[ 1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t) \]

Po dokončení tejto úlohy sme odvodili ďalšie dva veľmi dôležité vzorce, ktoré spájajú naše funkcie, ktoré tiež potrebujete poznať ako vlastnú dlaň:

\[ \boxed (1+ \tan^2 \; = \frac(1)(\cos^2 \; t), \qquad t \neq \frac(\pi)(2)+ \pi k) \]

\[ \boxed (1+ \cot^2 \; = \frac(1)(\sin^2 \; t), \qquad t \neq \pi k) \]

Musíte poznať naspamäť všetky vzorce prezentované v rámci, inak je ďalšie štúdium trigonometrie bez nich jednoducho nemožné. V budúcnosti bude vzorcov pribúdať a bude ich veľa a ubezpečujem vás, že na všetky si ich určite ešte dlho zapamätáte, alebo možno nebudete, no týchto šesť kúskov by mal poznať KAŽDÝ !

Kompletná tabuľka všetkých základných a zriedkavých trigonometrických redukčných vzorcov.

Tu nájdete trigonometrické vzorce pohodlný spôsob. A trigonometrické redukčné vzorce si môžete pozrieť na inej stránke.

Základné goniometrické identity

sú matematické výrazy pre goniometrické funkcie, ktoré sa vykonávajú pre každú hodnotu argumentu.

• sin² α + cos² α = 1
• tgα ctgα = 1
• tan α = sin α ÷ cos α
• ctg α = cos α ÷ sin α
• 1 + tan² α = 1 ÷ cos² α
• 1 + ctg² α = 1 ÷ sin² α

Vzorce na sčítanie

• sin (α + β) = sin α cos β + sin β cos α
• sin (α - β) \u003d sin α cos β - sin β cos α
• cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β
• cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
• tg (α + β) = (tg α + tg β) ÷ (1 - tg α tg β)
• tg (α - β) = (tg α - tg β) ÷ (1 + tg α tg β)
• ctg (α + β) = (ctg α ctg β + 1) ÷ (ctg β - ctg α)
• ctg (α - β) = (ctg α ctg β - 1) ÷ (ctg β + ctg α)

https://uchim.org/matematika/trigonometricheskie-formuly-uchim.org

Vzorce s dvojitým uhlom

• cos 2α = cos² α - sin² α
• cos2α = 2cos²α - 1
• cos 2α = 1 - 2 sin² α
• sin2α = 2sinα cosα
• tg 2α = (2tg α) ÷ (1 - tg² α)
• ctg 2α = (ctg² α - 1) ÷ (2ctg α)

Vzorce s trojitým uhlom

• sin3α = 3sinα - 4sin³α
• cos 3α = 4cos³ α - 3cos α
• tg 3α = (3tg α - tg³ α) ÷ (1 - 3tg² α)
• ctg 3α = (3ctg α - ctg³ α) ÷ (1 - 3ctg² α)

Redukčné vzorce

• sin² α = (1 - cos 2α) ÷ 2
• sin³ α = (3sin α - sin 3α) ÷ 4
• cos² α = (1 + cos 2α) ÷ 2
• cos³ α = (3cos α + cos 3α) ÷ 4
• sin² α cos² α = (1 - cos 4α) ÷ 8
• sin³ α cos³ α = (3sin 2α - sin 6α) ÷ 32

Prechod od produktu k sume

• sin α cos β = ½ (sin (α + β) + sin (α - β))
• sin α sin β \u003d ½ (cos (α - β) - cos (α + β))
• cos α cos β = ½ (cos (α - β) + cos (α + β))

Uviedli sme pomerne veľa goniometrických vzorcov, ale ak niečo chýba, napíšte.

Všetko na štúdium » Matematika v škole » Trigonometrické vzorce - cheat sheet

Ak chcete pridať stránku medzi záložky, stlačte Ctrl+D.

Skupina s partiou užitočná informácia(podpíšte, ak musíte absolvovať skúšku alebo skúšku):

Celá základňa abstraktov, semestrálnych prác, záverečných prác a iných vzdelávacích materiálov je poskytovaná bezplatne. Používaním materiálov stránky potvrdzujete, že ste si prečítali používateľskú zmluvu a v plnom rozsahu súhlasíte so všetkými jej ustanoveniami.

podrobne sa uvažuje o transformácii skupín spoločné riešenia goniometrické rovnice. Tretia časť sa zaoberá neštandardnými goniometrickými rovnicami, ktorých riešenia sú založené na funkcionálnom prístupe.

Všetky trigonometrické vzorce (rovnice): sin(x) cos(x) tg(x) ctg(x)

Štvrtá časť sa zaoberá goniometrickými nerovnosťami. Metódy riešenia elementárnych goniometrických nerovností sa podrobne zvažujú na jednotkovej kružnici aj ...

… uhol 1800-α= pozdĺž prepony a ostrého uhla: => OB1=OB; A1B1=AB => x = -x1,y = y1=> Takže v školskom kurze geometrie sa pojem goniometrické funkcie zavádza pomocou geometrických prostriedkov z dôvodu ich väčšej dostupnosti. Tradičná metodologická schéma na štúdium goniometrických funkcií je nasledovná: 1) najprv sa určia goniometrické funkcie pre ostrý uhol obdĺžnikový...

… Domáca úloha 19(3,6), 20(2,4) Stanovenie cieľa Aktualizácia základných vedomostí Vlastnosti goniometrických funkcií Redukčné vzorce nový materiál Hodnoty goniometrických funkcií Riešenie najjednoduchších goniometrických rovníc Konsolidácia Riešenie problémov Účel lekcie: dnes vypočítame hodnoty goniometrických funkcií a vyriešime ...

... formulovaná hypotéza mala riešiť tieto úlohy: 1. Identifikovať úlohu goniometrických rovníc a nerovníc vo vyučovaní matematiky; 2. Vypracovať metodiku na vytváranie zručností pri riešení goniometrických rovníc a nerovníc zameranú na rozvoj goniometrických zobrazení; 3. Experimentálne overte účinnosť vypracovanej metodiky. Pre riešenia…

Goniometrické vzorce

Goniometrické vzorce

Prezentovať do vašej pozornosti rôzne vzorce súvisí s trigonometriou.

Všeobecné vzorce

- verzia pre tlač

© školák. Matematika (podpora Branch Tree) 2009—2016