V kurze matematiky 7. ročníka sa stretávame prvýkrát rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. Preto celý rad problémov, v ktorých sa zavádzajú určité podmienky na koeficienty rovnice, ktoré ich obmedzujú, vypadáva z dohľadu. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci v Materiály jednotnej štátnej skúšky A pri prijímacích skúškach sa s problémami tohto druhu stretávame čoraz častejšie.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice v dvoch premenných.

Zoberme si rovnicu 2x – y = 1. Platí, keď x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením danej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré menia túto rovnicu na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

A) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

V) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet sa rovná 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať v tvare (k; 3 – k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, izolácii úplného štvorca, využívajúce vlastnosti kvadratickej rovnice, obmedzené výrazy a metódy odhadu. Rovnica sa zvyčajne transformuje do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Riešte rovnicu: xy – 2 = 2x – y.

Riešenie.

Na účely faktorizácie zoskupujeme výrazy:

(xy + y) – (2x + 2) = 0. Z každej zátvorky vyberieme spoločný faktor:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y – 2) = 0. Máme:

y = 2, x – ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y – ľubovoľné reálne číslo.

teda odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovná sa nule nie je záporné čísla

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 – 12x + 4) + (4y 2 – 12y + 9) = 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca na druhú druhú.

(3x – 2) 2 + (2 roky – 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x – 2 = 0 a 2y – 3 = 0.

To znamená x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda odhadu

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2)(y 2 – 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberieme celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1)((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhadnime význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y – 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y – 2) 2 + 2 = 2, čo znamená x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda pozostáva zo spracovania rovnice ako štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4.

Vyriešte rovnicu: x 2 – 6x + y – 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú rovnicu pre x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 – 4(y – 4√y + 13) = -4y + 16√y – 16 = -4(√y – 2) 2 . Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Hodnotu y dosadíme do pôvodnej rovnice a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi označujú obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešte rovnicu celými číslami: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice pri delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina a číslo nedeliteľné 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6.

Vyriešte rovnicu: (x 2 – 4|x| + 5)(y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Zvýraznime celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu, že |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár záporných celých čísel (x;y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 – 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu sumu.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce:

(x2 – 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x – y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Ak spočítame 1 + 36, dostaneme súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37. Preto:

(x – y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x – y) 2 = 1 a (y + 2) 2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problém vyriešiť rovnice s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Stále máte otázky? Neviete, ako riešiť rovnice v dvoch premenných?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Rovnosť f(x; y) = 0 predstavuje rovnicu s dvoma premennými. Riešením takejto rovnice je pár premenných hodnôt, ktoré menia rovnicu s dvoma premennými na skutočnú rovnosť.

Ak máme rovnicu s dvoma premennými, potom podľa tradície musíme dať x na prvé miesto a y na druhé miesto.

Uvažujme rovnicu x – 3y = 10. Dvojice (10; 0), (16; 2), (-2; -4) sú riešením uvažovanej rovnice, kým dvojica (1; 5) riešením nie je.

Ak chcete nájsť ďalšie dvojice riešení tejto rovnice, je potrebné vyjadriť jednu premennú pomocou inej - napríklad x pomocou y. V dôsledku toho dostaneme rovnicu
x = 10 + 3 roky. Vypočítajme hodnoty x výberom ľubovoľných hodnôt y.

Ak y = 7, potom x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

Ak y = -2, potom x = 10 + 3 ∙ (-2) = 10 – 6 = 4.

Riešením danej rovnice sú teda aj dvojice (31; 7), (4; -2).

Ak majú rovnice s dvoma premennými rovnaké korene, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné.

Pre rovnice s dvoma premennými platia vety o ekvivalentných transformáciách rovníc.

Zoberme si graf rovnice s dvoma premennými.

Nech je daná rovnica s dvoma premennými f(x; y) = 0. Všetky jej riešenia môžu byť reprezentované bodmi na súradnicová rovina po prijatí určitého súboru bodov roviny. Táto množina bodov v rovine sa nazýva graf rovnice f(x; y) = 0.

Teda grafom rovnice y – x 2 = 0 je parabola y = x 2; graf rovnice y – x = 0 je priamka; graf rovnice y – 3 = 0 je priamka rovnobežná s osou x atď.

Rovnica v tvare ax + by = c, kde x a y sú premenné a a, b a c sú čísla, sa nazýva lineárna; čísla a, b sa nazývajú koeficienty premenných, c je voľný člen.

Graf lineárnej rovnice ax + by = c je:

Zostrojme rovnicu 2x – 3y = -6.

1. Pretože žiadny z koeficientov premenných sa nerovná nule, potom bude graf tejto rovnice priamka.

2. Na zostrojenie priamky potrebujeme poznať aspoň dva jej body. Dosaďte hodnoty x do rovníc a získajte hodnoty y a naopak:

ak x = 0, potom y = 2; (0 ∙ x – 3y = -6);

ak y = 0, potom x = -3; (2x – 3 ∙ 0 = -6).

Na grafe sme teda dostali dva body: (0; 2) a (-3; 0).

3. Nakreslíme priamku cez získané body a získame graf rovnice
2x – 3r = -6.

Ak má lineárna rovnica ax + by = c tvar 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, potom musíme zvážiť dva prípady:

1. c = 0. V tomto prípade rovnici vyhovuje ľubovoľná dvojica (x; y), a preto grafom rovnice je celá súradnicová rovina;

2. c ≠ 0. V tomto prípade rovnica nemá riešenie, čo znamená, že jej graf neobsahuje jediný bod.

blog.site, pri kopírovaní celého materiálu alebo jeho časti je potrebný odkaz na pôvodný zdroj.

Nelineárne rovnice s dvoma neznámymi

Definícia 1. Nech je A nejaký súbor dvojíc čísel (X; r). Hovoria, že množina A je daná numerická funkcia z z dvoch premenných x a y , ak je zadané pravidlo, pomocou ktorého je každá dvojica čísel z množiny A spojená s určitým číslom.

Špecifikácia numerickej funkcie z dvoch premenných x a y je často označovať Takže:

Kde f (X , r) – akákoľvek iná funkcia ako funkcia

f (X , r) = ax+by+c ,

kde a, b, c sú dané čísla.

Definícia 3. Riešenie rovnice (2) zavolajte na pár čísel ( X; r), pre ktorý vzorec (2) je skutočná rovnosť.

Príklad 1 Vyriešte rovnicu

Keďže druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, zo vzorca (4) vyplýva, že neznáme x a y spĺňajú sústavu rovníc

riešením je dvojica čísel (6; 3).

Odpoveď: (6; 3)

Príklad 2 Vyriešte rovnicu

Preto riešenie rovnice (6) je nekonečný počet dvojíc čísel milý

(1 + r ; r) ,

kde y je ľubovoľné číslo.

lineárne

Definícia 4. Riešenie sústavy rovníc

zavolajte na pár čísel ( X; r) , pri ich dosadení do každej z rovníc tejto sústavy sa získa správna rovnosť.

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je lineárna, majú tvar

g(X , r)

Príklad 4. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie . Vyjadrime neznáme y z prvej rovnice sústavy (7) cez neznámu x a výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice sústavy:

Riešenie rovnice

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

teda

r 1 = 8 - X 1 = 9 ,
r 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna, majú tvar

kde a, b, c sú dané čísla a g(X , r) – funkcia dvoch premenných x a y.

Príklad 6. Riešiť sústavu rovníc

Riešenie . Poďme vyriešiť homogénnu rovnicu

3X 2 + 2xy - r 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10r 2 = 0 ,

zaobchádzať s ňou ako s kvadratickou rovnicou vzhľadom na neznámu x:

.

V prípade X = - 5r, z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

5r 2 = - 20 ,

ktorá nemá korene.

V prípade

z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

,

ktorých koreňmi sú čísla r 1 = 3 , r 2 = - 3 . Keď pre každú z týchto hodnôt y nájdeme zodpovedajúcu hodnotu x, získame dve riešenia systému: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Odpoveď: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Príklady riešenia sústav rovníc iných typov

Príklad 8. Vyriešte systém rovníc (MIPT)

Riešenie . Zavedme nové neznáme u a v, ktoré sú vyjadrené pomocou x a y podľa vzorcov:

Aby sme prepísali systém (12) na nové neznáme, najprv vyjadríme neznáme x a y pomocou u a v. Zo systému (13) vyplýva, že

Vyriešme lineárnu sústavu (14) vylúčením premennej x z druhej rovnice tejto sústavy. Na tento účel vykonáme na systéme (14) nasledujúce transformácie:

• Prvú rovnicu sústavy necháme nezmenenú;
• od druhej rovnice odčítame prvú rovnicu a druhú rovnicu sústavy nahradíme výsledným rozdielom.

Výsledkom je, že systém (14) sa transformuje na ekvivalentný systém

z ktorých nájdeme

Pomocou vzorcov (13) a (15) prepíšeme pôvodný systém (12) do tvaru

Prvá rovnica sústavy (16) je lineárna, takže z nej môžeme vyjadriť neznáme u cez neznáme v a tento výraz dosadiť do druhej rovnice sústavy.

Lineárna rovnica s dvoma premennými - akákoľvek rovnica, ktorá má nasledujúci tvar: a*x + b*y =с. Tu sú x a y dve premenné, a,b,c sú nejaké čísla.

Nižšie uvádzame niekoľko príklady lineárnych rovníc.

1. 10*x + 25*y = 150;

Rovnako ako rovnice s jednou neznámou, aj lineárna rovnica s dvoma premennými (neznámymi) má riešenie. Napríklad lineárna rovnica x-y=5 s x=8 a y=3 sa zmení na správnu identitu 8-3=5. V tomto prípade je dvojica čísel x=8 a y=3 považovaná za riešenie lineárnej rovnice x-y=5. Môžete tiež povedať, že dvojica čísel x=8 a y=3 spĺňa lineárnu rovnicu x-y=5.

Riešenie lineárnej rovnice

Riešením lineárnej rovnice a*x + b*y = c je teda ľubovoľná dvojica čísel (x,y), ktorá vyhovuje tejto rovnici, teda premení rovnicu s premennými x a y na správnu číselnú rovnosť. Všimnite si, ako sa tu píše dvojica čísel x a y. Tento vstup je kratší a pohodlnejší. Musíte si len zapamätať, že prvé miesto v takomto zázname je hodnota premennej x a druhé je hodnota premennej y.

Upozorňujeme, že čísla x=11 a y=8, x=205 a y=200 x= 4,5 a y= -0,5 tiež spĺňajú lineárnu rovnicu x-y=5, a preto sú riešením tejto lineárnej rovnice.

Riešenie lineárnej rovnice s dvoma neznámymi nie je jediný. Každá lineárna rovnica o dvoch neznámych má nekonečne veľa rôznych riešení. To znamená, že existuje nekonečne veľa rôznych dve čísla x a y, ktoré premieňajú lineárnu rovnicu na skutočnú identitu.

Ak niekoľko rovníc s dvoma premennými má rovnaké riešenia, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné rovnice. Treba poznamenať, že ak rovnice s dvoma neznámymi nemajú riešenia, potom sa tiež považujú za ekvivalentné.

Základné vlastnosti lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

1. Ktorýkoľvek z členov rovnice je možné preniesť z jednej časti do druhej, je však potrebné zmeniť jej znamienko na opačné. Výsledná rovnica bude ekvivalentná tej pôvodnej.

2. Obidve strany rovnice možno vydeliť ľubovoľným číslom, ktoré nie je nula. Výsledkom je, že dostaneme rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej.

Inštrukcie

Substitučná metódaVyjadrite jednu premennú a dosaďte ju do inej rovnice. Môžete vyjadriť akúkoľvek premennú podľa vlastného uváženia. Vyjadrite napríklad y z druhej rovnice:
x-y=2 => y=x-2Potom dosaďte všetko do prvej rovnice:
2x+(x-2)=10 Presuňte všetko bez „x“ na pravú stranu a vypočítajte:
2x+x=10+2
3x=12 Ďalej, ak chcete získať x, vydeľte obe strany rovnice 3:
x = 4. Takže ste našli „x. Nájdite „y. Za týmto účelom nahraďte „x“ do rovnice, z ktorej ste vyjadrili „y“:
y=x-2=4-2=2
y=2.

Vykonajte kontrolu. Za týmto účelom nahraďte výsledné hodnoty do rovníc:
2*4+2=10
4-2=2
Neznáme boli nájdené správne!

Spôsob sčítania alebo odčítania rovníc Okamžite sa zbavte akejkoľvek premennej. V našom prípade je to jednoduchšie urobiť s „y.
Keďže v „y“ je znamienko „+“ a v druhom „-“, môžete vykonať operáciu sčítania, t.j. zložte ľavú stranu ľavou stranou a pravú stranu pravou:
2x+y+(x-y)=10+2Konvertovať:
2x+y+x-y=10+2
3x=12
x=4Nahraďte „x“ do ľubovoľnej rovnice a nájdite „y“:
2*4+y=10
8 + y = 10
y=10-8
y=2Pomocou 1. metódy môžete vidieť, že boli nájdené správne.

Ak neexistujú jasne definované premenné, potom je potrebné mierne transformovať rovnice.
V prvej rovnici máme „2x“ a v druhej máme jednoducho „x“. Aby sa x počas sčítania znížilo, vynásobte druhú rovnicu 2:
x-y=2
2x-2y=4Potom odčítajte druhú od prvej rovnice:
2x+y-(2x-2y)=10-4 Všimnite si, že ak je pred zátvorkou mínus, po otvorení ho zmeňte na opak:
2x+y-2x+2y=6
3u=6
nájdite y=2x vyjadrením z ľubovoľnej rovnice, t.j.
x=4

Video k téme

Tip 2: Ako vyriešiť lineárnu rovnicu v dvoch premenných

Rovnica, zapísaná vo všeobecnom tvare ax+bу+c=0, sa nazýva lineárna rovnica s dvomi premenných. Takáto rovnica sama o sebe obsahuje nekonečné množstvo riešení, preto je v úlohách vždy niečím doplnená – ďalšou rovnicou alebo obmedzujúcimi podmienkami. V závislosti od podmienok poskytnutých úlohou vyriešte lineárnu rovnicu s dvoma premenných by mal rôzne cesty.

Budete potrebovať

• - lineárna rovnica s dvoma premennými;
• - druhá rovnica resp dodatočné podmienky.

Inštrukcie

Daný systém dvoch lineárnych rovníc vyriešte nasledovne. Vyberte jednu z rovníc, v ktorej sú koeficienty premenných menšie a vyjadrujú jednu z premenných, napríklad x. Potom dosaďte túto hodnotu obsahujúcu y do druhej rovnice. Vo výslednej rovnici bude len jedna premenná y, všetky časti s y presuňte doľava a voľné doprava. Nájdite y a dosaďte do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc, aby ste našli x.

Existuje ďalší spôsob riešenia systému dvoch rovníc. Vynásobte jednu z rovníc číslom tak, aby koeficient jednej z premenných, napríklad x, bol v oboch rovniciach rovnaký. Potom odčítajte jednu z rovníc od druhej (ak sa pravá strana nerovná 0, nezabudnite rovnakým spôsobom odčítať aj pravú stranu). Uvidíte, že premenná x zmizla a zostala len jedna premenná y. Vyriešte výslednú rovnicu a dosaďte nájdenú hodnotu y do ktorejkoľvek z pôvodných rovníc. Nájdite x.

Tretí spôsob riešenia sústavy dvoch lineárnych rovníc je grafický. Nakreslite súradnicový systém a nakreslite do grafu dve priame čiary, ktorých rovnice sú uvedené vo vašom systéme. Za týmto účelom nahraďte ľubovoľné dve hodnoty x do rovnice a nájdite zodpovedajúce y - to budú súradnice bodov patriacich k čiare. Najpohodlnejší spôsob, ako nájsť priesečník so súradnicovými osami, je jednoducho nahradiť hodnoty x=0 a y=0. Úlohami budú súradnice priesečníka týchto dvoch čiar.

Ak je v problémových podmienkach iba jedna lineárna rovnica, potom ste dostali ďalšie podmienky, pomocou ktorých môžete nájsť riešenie. Pozorne si prečítajte problém, aby ste našli tieto podmienky. Ak premenných x a y označujú vzdialenosť, rýchlosť, hmotnosť - pokojne nastavte limit x≥0 a y≥0. Je dosť možné, že x alebo y skrýva počet jabĺk atď. - potom hodnoty môžu byť iba . Ak je x vek syna, je jasné, že nemôže byť starší ako jeho otec, preto to uveďte v podmienkach problému.

Zdroje:

• ako vyriešiť rovnicu s jednou premennou

Sám od seba rovnica s tromi neznámy má veľa riešení, preto sa najčastejšie dopĺňa o dve ďalšie rovnice alebo podmienky. Od toho, aké sú prvotné údaje, bude do značnej miery závisieť priebeh rozhodovania.

Budete potrebovať

• - sústava troch rovníc s tromi neznámymi.

Inštrukcie

Ak majú dva z troch systémov iba dve z troch neznámych, skúste niektoré premenné vyjadriť inými a dosaďte ich do rovnica s tromi neznámy. Vaším cieľom v tomto prípade je premeniť ho na normálne rovnica s neznámou osobou. Ak je toto , ďalšie riešenie je celkom jednoduché - dosaďte nájdenú hodnotu do iných rovníc a nájdite všetky ostatné neznáme.

Niektoré sústavy rovníc možno od jednej rovnice odčítať druhou. Pozrite sa, či je možné vynásobiť jednu z alebo premennú tak, aby boli zrušené dve neznáme naraz. Ak existuje takáto príležitosť, využite ju, s najväčšou pravdepodobnosťou nebude následné riešenie ťažké. Pamätajte, že pri násobení číslom musíte vynásobiť ľavú aj pravú stranu. Podobne pri odčítaní rovníc musíte pamätať na to, že sa musí odčítať aj pravá strana.

Ak predchádzajúce metódy nepomohli, použite všeobecnú metódu riešenia akýchkoľvek rovníc s tromi neznámy. Za týmto účelom prepíšte rovnice v tvare a11x1+a12x2+a13x3=b1, a21x1+a22x2+a23x3=b2, a31x1+a32x2+a33x3=b3. Teraz vytvorte maticu koeficientov pre x (A), maticu neznámych (X) a maticu voľných (B). Upozorňujeme, že vynásobením matice koeficientov maticou neznámych získate maticu voľných členov, teda A*X=B.

Nájdite maticu A s mocninou (-1) tak, že najprv nájdete , všimnite si, že by sa nemala rovnať nule. Potom vynásobte výslednú maticu maticou B, v dôsledku čoho dostanete požadovanú maticu X s uvedením všetkých hodnôt.

Pomocou Cramerovej metódy môžete nájsť aj riešenie sústavy troch rovníc. Na tento účel nájdite determinant tretieho rádu ∆ zodpovedajúci matici systému. Potom postupne nájdite tri ďalšie determinanty ∆1, ∆2 a ∆3, pričom nahraďte hodnoty voľných členov namiesto hodnôt zodpovedajúcich stĺpcov. Teraz nájdite x: x1=∆1/∆, x2=∆2/∆, x3=∆3/∆.

Zdroje:

• riešenia rovníc s tromi neznámymi

Riešenie sústavy rovníc je náročné a vzrušujúce. Čím je systém zložitejší, tým je jeho riešenie zaujímavejšie. Najčastejšie sa v stredoškolskej matematike vyskytujú sústavy rovníc s dvoma neznámymi, ale vo vyššej matematike môže byť premenných viac. Systémy je možné riešiť niekoľkými spôsobmi.

Inštrukcie

Najbežnejšou metódou riešenia sústavy rovníc je substitúcia. Aby ste to dosiahli, musíte jednu premennú vyjadriť inou a nahradiť ju druhou rovnica systémov, teda viesť rovnica do jednej premennej. Napríklad za predpokladu nasledujúcich rovníc: 2x-3y-1=0;x+y-3=0.

Z druhého výrazu je vhodné vyjadriť jednu z premenných, všetko ostatné presunúť na pravú stranu výrazu, pričom nezabudnite zmeniť znamienko koeficientu: x = 3-y.

Otvorte zátvorky: 6-2y-3y-1=0;-5y+5=0;y=1 Výslednú hodnotu y dosadíme do výrazu: x=3-y;x=3-1;x=2 .

V prvom výraze sú všetky výrazy 2, môžete vyňať 2 zo zátvorky na distributívnu vlastnosť násobenia: 2*(2x-y-3)=0. Teraz môžu byť obe časti výrazu znížené o toto číslo a potom vyjadrené ako y, pretože koeficient modulu sa rovná jednej: -y = 3-2x alebo y = 2x-3.

Rovnako ako v prvom prípade dosadíme tento výraz do druhého rovnica a dostaneme: 3x+2*(2x-3)-8=0;3x+4x-6-8=0;7x-14=0;7x=14;x=2. Výslednú hodnotu dosaďte do výrazu: y=2x-3;y=4-3=1.

Vidíme, že koeficient pre y má rovnakú hodnotu, ale rozdielne znamienko, takže ak spočítame tieto rovnice, úplne sa zbavíme y: 4x+3x-2y+2y-6-8=0; 7x- 14 = 0; x = 2. Dosaďte hodnotu x do ktorejkoľvek z dvoch rovníc systému a získajte y = 1.

Video k téme

Bikvadratický rovnica predstavuje rovnicaštvrtý stupeň, všeobecná forma ktorý je reprezentovaný výrazom ax^4 + bx^2 + c = 0. Jeho riešenie je založené na použití metódy dosadzovania neznámych. V tomto prípade je x^2 nahradené inou premennou. Výsledkom je teda obyčajný štvorec rovnica, ktorý je potrebné vyriešiť.

Inštrukcie

Vyriešte kvadratiku rovnica, vyplývajúce z výmeny. Ak to chcete urobiť, najskôr vypočítajte hodnotu podľa vzorca: D = b^2? 4ac. V tomto prípade sú premenné a, b, c koeficienty našej rovnice.

Nájdite korene bikvadratickej rovnice. Za týmto účelom vezmite druhú odmocninu získaných riešení. Ak existovalo jedno riešenie, potom budú dve - pozitívne a negatívny význam odmocnina. Ak by existovali dve riešenia, bikvadratická rovnica bude mať štyri korene.

Video k téme

Jeden z klasické metódy riešenie sústav lineárnych rovníc je Gaussova metóda. Spočíva v sekvenčnej eliminácii premenných, kedy sa sústava rovníc pomocou jednoduchých transformácií transformuje na stupňovitú sústavu, z ktorej sa postupne zisťujú všetky premenné počnúc poslednými.

Inštrukcie

Najprv uveďte systém rovníc do tvaru, v ktorom sú všetky neznáme v presne definovanom poradí. Napríklad všetky neznáme X sa objavia ako prvé v každom riadku, všetky Y budú nasledovať po X, všetky Z budú nasledovať po Y atď. Na pravej strane každej rovnice by nemali byť žiadne neznáme. Mentálne určte koeficienty pred každou neznámou, ako aj koeficienty na pravej strane každej rovnice.