Lineárna rovnica s dvoma premennými. Rovnice s dvoma premennými

Rovnosť f(x; y) = 0 predstavuje rovnicu s dvoma premennými. Riešením takejto rovnice je pár premenných hodnôt, ktoré menia rovnicu dvoch premenných na skutočnú rovnosť.

Ak máme rovnicu s dvoma premennými, potom v jej zázname musíme podľa tradície dať na prvé miesto x a na druhé y.

Zvážte rovnicu x - 3y \u003d 10. Dvojice (10; 0), (16; 2), (-2; -4) sú riešeniami uvažovanej rovnice, zatiaľ čo dvojica (1; 5) nie je riešením .

Na nájdenie ďalších párov riešení tejto rovnice je potrebné vyjadriť jednu premennú pomocou druhej - napríklad x až y. V dôsledku toho dostaneme rovnicu
x = 10 + 3 roky. Vypočítajte hodnoty x výberom ľubovoľných hodnôt y.

Ak y \u003d 7, potom x \u003d 10 + 3 ∙ 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31.

Ak y \u003d -2, potom x \u003d 10 + 3 ∙ (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Riešeniami danej rovnice sú teda aj dvojice (31; 7), (4; -2).

Ak majú rovnice s dvoma premennými rovnaké korene, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné.

Pre rovnice s dvoma premennými platia vety o ekvivalentných transformáciách rovníc.

Zoberme si graf rovnice s dvoma premennými.

Nech je daná rovnica s dvoma premennými f(x; y) = 0. Všetky jej riešenia môžu byť reprezentované bodmi na súradnicová rovina, po prijatí určitej sady bodov roviny. Táto množina bodov v rovine sa nazýva graf rovnice f(x; y) = 0.

Takže graf rovnice y - x 2 \u003d 0 je parabola y \u003d x 2; graf rovnice y - x \u003d 0 je priamka; graf rovnice y - 3 \u003d 0 je priamka rovnobežná s osou x atď.

Rovnica v tvare ax + by = c, kde x a y sú premenné a a, b a c sú čísla, sa nazýva lineárna; čísla a, b sa nazývajú koeficienty premenných, c je voľný člen.

Graf lineárnej rovnice ax + by = c je:

Zostrojme rovnicu 2x - 3y = -6.

1. Pretože žiadny z koeficientov pre premenné sa nerovná nule, potom bude graf tejto rovnice priamka.

2. Na zostavenie priamky potrebujeme poznať aspoň dva jej body. Dosaďte hodnoty x do rovníc a získajte hodnoty y a naopak:

ak x = 0, potom y = 2; (0 ∙ x - 3 roky \u003d -6);

ak y \u003d 0, potom x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6).

Získali sme teda dva body grafu: (0; 2) a (-3; 0).

3. Získanými bodmi nakreslíme priamku a získame graf rovnice
2x - 3 roky \u003d -6.

Ak má lineárna rovnica ax + by = c tvar 0 ∙ x + 0 ∙ y = c, potom musíme zvážiť dva prípady:

1. c \u003d 0. V tomto prípade vyhovuje rovnici ktorýkoľvek pár (x; y), a preto je grafom rovnice celá súradnicová rovina;

2. c ≠ 0. V tomto prípade rovnica nemá riešenie, čo znamená, že jej graf neobsahuje jediný bod.

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Lineárna rovnica s dvoma premennými je akákoľvek rovnica, ktorá má nasledujúci tvar: a*x + b*y =c. Tu sú x a y dve premenné, a,b,c sú nejaké čísla.

Nižšie uvádzame niekoľko príklady lineárnych rovníc.

1. 10*x + 25*y = 150;

Rovnako ako rovnice s jednou neznámou, aj lineárna rovnica s dvoma premennými (neznámymi) má riešenie. Napríklad lineárna rovnica x-y=5 s x=8 a y=3 sa zmení na správnu identitu 8-3=5. V tomto prípade je dvojica čísel x=8 a y=3 považovaná za riešenie lineárnej rovnice x-y=5. Môžete tiež povedať, že dvojica čísel x=8 a y=3 spĺňa lineárnu rovnicu x-y=5.

Riešenie lineárnej rovnice

Riešením lineárnej rovnice a * x + b * y = c je teda ľubovoľná dvojica čísel (x, y), ktorá vyhovuje tejto rovnici, to znamená, že rovnicu s premennými x a y zmení na správnu číselnú hodnotu. rovnosť. Všimnite si, ako sa tu píše dvojica čísel x a y. Takýto záznam je kratší a pohodlnejší. Treba len pripomenúť, že prvé miesto v takomto zázname je hodnota premennej x a druhé je hodnota premennej y.

Upozorňujeme, že čísla x=11 a y=8, x=205 a y=200 x= 4,5 a y= -0,5 tiež spĺňajú lineárnu rovnicu x-y=5, a preto sú riešením tejto lineárnej rovnice.

Riešenie lineárnej rovnice o dvoch neznámych nie je jediný. Každá lineárna rovnica o dvoch neznámych má nekonečne veľa rôznych riešení. To znamená, že existuje nekonečné množstvo rôznych dve čísla x a y, ktoré menia lineárnu rovnicu na skutočnú identitu.

Ak niekoľko rovníc v dvoch premenných má rovnaké riešenia, potom sa takéto rovnice nazývajú ekvivalentné rovnice. Treba poznamenať, že ak rovnice s dvoma neznámymi nemajú riešenia, potom sa tiež považujú za ekvivalentné.

Základné vlastnosti lineárnych rovníc o dvoch neznámych

1. Ktorýkoľvek z členov rovnice je možné preniesť z jednej časti do druhej, pričom je potrebné zmeniť jej znamienko na opačné. Výsledná rovnica bude ekvivalentná pôvodnej.

2. Obidve strany rovnice možno vydeliť ľubovoľným číslom, ktoré nie je nula. Výsledkom je, že dostaneme rovnicu ekvivalentnú tej pôvodnej.

V kurze matematiky 7. ročníka sa najskôr stretávajú s rovnice s dvoma premennými, ale skúmajú sa len v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. To je dôvod, prečo množstvo problémov vypadáva z dohľadu, v ktorých sú na koeficienty rovnice zavedené určité podmienky, ktoré ich obmedzujú. Okrem toho sa ignorujú aj metódy na riešenie problémov ako „Vyriešte rovnicu v prirodzených alebo celých číslach“, hoci v POUŽÍVAJTE materiály a na vstupné vyšetrenia sa s problémami tohto druhu stretávame čoraz častejšie.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Takže napríklad rovnice 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20 alebo xy = 12 sú rovnice s dvoma premennými.

Zvážte rovnicu 2x - y = 1. Premení sa na skutočnú rovnosť pri x = 2 a y = 3, takže táto dvojica premenných hodnôt je riešením uvažovanej rovnice.

Riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množina usporiadaných párov (x; y), hodnôt premenných, ktoré táto rovnica premení na skutočnú číselnú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

a) mať jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 = 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viacero riešení. Napríklad (5 -|x|) 2 + (|y| – 2) 2 = 0 má 4 riešenia: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

v) nemať riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 = 0 nemá riešenia;

G) má nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y = 3. Riešeniami tejto rovnice budú čísla, ktorých súčet je 3. Množinu riešení tejto rovnice môžeme zapísať ako (k; 3 - k), kde k je ľubovoľné reálne číslo.

Hlavnými metódami riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktoringových výrazoch, zvýrazňovaní celého štvorca, využívaní vlastností kvadratickej rovnice, ohraničených výrazov a vyhodnocovacích metód. Rovnica sa spravidla prevedie do tvaru, z ktorého možno získať systém na hľadanie neznámych.

Faktorizácia

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: xy - 2 = 2x - y.

Riešenie.

Na účely faktoringu zoskupujeme pojmy:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. Vyberte spoločný faktor z každej zátvorky:

y(x + 1) – 2 (x + 1) = 0;

(x + 1)(y - 2) = 0. Máme:

y = 2, x je ľubovoľné reálne číslo alebo x = -1, y je ľubovoľné reálne číslo.

Touto cestou, odpoveďou sú všetky dvojice v tvare (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Nula nie je záporné čísla

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12(x + y).

Riešenie.

Zoskupenie:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. Teraz je možné zbaliť každú zátvorku pomocou vzorca štvorcového rozdielu.

(3x - 2) 2 + (2 roky - 3) 2 = 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, len ak 3x - 2 = 0 a 2y - 3 = 0.

Takže x = 2/3 a y = 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda hodnotenia

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2.

Riešenie.

V každej zátvorke vyberte celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1) ((y – 2) 2 + 2) = 2. Odhad význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá strana rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 = 1 a (y - 2) 2 + 2 = 2, teda x = -1, y = 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámime sa s ďalšou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda spočíva v tom, že rovnica sa považuje za štvorec vzhľadom na nejakú premennú.

Príklad 4

Vyriešte rovnicu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0.

Riešenie.

Riešime rovnicu ako kvadratickú vzhľadom na x. Poďme nájsť diskriminant:

D = 36 - 4(y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4(√y - 2) 2. Rovnica bude mať riešenie len vtedy, keď D = 0, teda ak y = 4. Do pôvodnej rovnice dosadíme hodnotu y a zistíme, že x = 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi naznač obmedzenia premenných.

Príklad 5

Riešte rovnicu v celých číslach: x 2 + 5y 2 = 20x + 2.

Riešenie.

Prepíšme rovnicu v tvare x 2 = -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice po delení 5 dáva zvyšok 2. Preto x 2 nie je deliteľné 5. Ale štvorec čísla, ktoré nie je deliteľné 5, dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6

Vyriešte rovnicu: (x 2 - 4|x| + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

Riešenie.

Vyberme celé štvorce v každej zátvorke:

((|x| – 2) 2 + 1)((y + 3) 2 + 3) = 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná, ak |x| – 2 = 0 a y + 3 = 0. Teda x = ± 2, y = -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7

Pre každý pár záporných celých čísel (x; y), ktoré spĺňajú rovnicu
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, vypočítajte súčet (x + y). Odpovedzte na najmenšie množstvo.

Riešenie.

Vyberte celé štvorce:

(x2 - 2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. Keďže x a y sú celé čísla, ich druhé mocniny sú tiež celé čísla. Súčet druhých mocnín dvoch celých čísel rovný 37 dostaneme, ak spočítame 1 + 36. Preto:

(x - y) 2 = 36 a (y + 2) 2 = 1

(x - y)2 = 1 a (y + 2)2 = 36.

Vyriešením týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte ťažkosti pri riešení rovníc s dvoma neznámymi. S trochou cviku zvládnete akúkoľvek rovnicu.

Máte nejaké otázky? Neviete, ako riešiť rovnice s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc od tútora -.
Prvá lekcia je zadarmo!

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Nelineárne rovnice o dvoch neznámych

Definícia 1. Nech je A nejaký súbor dvojíc čísel (X; r). Hovorí sa, že množina A je daná numerická funkcia z z dvoch premenných x a y , ak je zadané pravidlo, pomocou ktorého je každej dvojici čísel z množiny A pridelené určité číslo.

Špecifikácia numerickej funkcie z dvoch premenných x a y je často určiť Takže:

kde f (X , r) - akákoľvek iná funkcia ako funkcia

f (X , r) = ax+by+c ,

kde a, b, c sú dané čísla.

Definícia 3. Riešenie rovnice (2). pomenovať dvojicu čísel X; r), pre ktorý vzorec (2) je skutočná rovnosť.

Príklad 1. vyriešiť rovnicu

Keďže druhá mocnina ľubovoľného čísla je nezáporná, zo vzorca (4) vyplýva, že neznáme x a y spĺňajú sústavu rovníc

ktorého riešením je dvojica čísel (6 ; 3) .

Odpoveď: (6; 3)

Príklad 2. vyriešiť rovnicu

Preto riešenie rovnice (6) je nekonečné množstvo dvojíc čísel milý

(1 + r ; r) ,

kde y je ľubovoľné číslo.

lineárne

Definícia 4. Riešenie sústavy rovníc

pomenovať dvojicu čísel X; r) , ich dosadením do každej z rovníc tohto systému dostaneme správnu rovnosť.

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je lineárna, majú tvar

g(X , r)

Príklad 4. Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie . Vyjadrime neznámu y z prvej rovnice sústavy (7) pomocou neznámej x a výsledný výraz dosadíme do druhej rovnice sústavy:

Riešenie rovnice

X 1 = - 1 , X 2 = 9 .

v dôsledku toho

r 1 = 8 - X 1 = 9 ,
r 2 = 8 - X 2 = - 1 .

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna

Sústavy dvoch rovníc, z ktorých jedna je homogénna, majú tvar

kde a , b , c sú dané čísla a g(X , r) je funkciou dvoch premenných x a y .

Príklad 6. Vyriešte sústavu rovníc

Riešenie . Poďme vyriešiť homogénnu rovnicu

3X 2 + 2xy - r 2 = 0 ,

3X 2 + 17xy + 10r 2 = 0 ,

zaobchádzať s ňou ako s kvadratickou rovnicou vzhľadom na neznámu x:

.

V prípade, keď X = - 5r, z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

5r 2 = - 20 ,

ktorá nemá korene.

V prípade, keď

z druhej rovnice sústavy (11) získame rovnicu

,

ktorých koreňmi sú čísla r 1 = 3 , r 2 = - 3 . Keď pre každú z týchto hodnôt y nájdeme zodpovedajúcu hodnotu x, získame dve riešenia systému: (- 2 ; 3), (2 ; - 3) .

Odpoveď: (- 2 ; 3), (2 ; - 3)

Príklady riešenia sústav rovníc iných typov

Príklad 8. Vyriešte sústavu rovníc (MIPT)

Riešenie . Zavádzame nové neznáme u a v , ktoré sú vyjadrené pomocou x a y vzorcami:

Aby sme prepísali systém (12) na nové neznáme, najprv vyjadríme neznáme x a y pomocou u a v . Zo systému (13) vyplýva, že

Lineárnu sústavu (14) riešime vylúčením premennej x z druhej rovnice tejto sústavy. Za týmto účelom vykonáme na systéme (14) nasledujúce transformácie:

• prvú rovnicu sústavy necháme nezmenenú;
• odčítajte prvú rovnicu od druhej rovnice a nahraďte druhú rovnicu sústavy výsledným rozdielom.

Výsledkom je, že systém (14) sa transformuje na ekvivalentný systém

z ktorých nájdeme

Pomocou vzorcov (13) a (15) prepíšeme pôvodnú sústavu (12) ako

Prvá rovnica sústavy (16) je lineárna, takže neznáme u z nej môžeme vyjadriť pomocou neznámej v a tento výraz dosadiť do druhej rovnice sústavy.

téma:Lineárna funkcia

lekcia:Lineárna rovnica s dvoma premennými a jej graf

Oboznámili sme sa s pojmami súradnicová os a súradnicová rovina. Vieme, že každý bod roviny jednoznačne definuje dvojicu čísel (x; y), pričom prvé číslo je úsečka bodu a druhé je ordináta.

Budeme sa stretávať veľmi často lineárna rovnica s dvoma premennými, ktorých riešením je dvojica čísel, ktoré možno znázorniť na súradnicovej rovine.

Typ rovnice:

Kde a, b, c sú čísla a

Nazýva sa lineárna rovnica s dvoma premennými x a y. Riešením takejto rovnice bude ľubovoľná taká dvojica čísel x a y, ktorých dosadením do rovnice dostaneme správnu číselnú rovnosť.

Dvojica čísel sa zobrazí na rovine súradníc ako bod.

Pre takéto rovnice uvidíme veľa riešení, teda veľa dvojíc čísel a všetky zodpovedajúce body budú ležať na jednej priamke.

Zvážte príklad:

Ak chcete nájsť riešenia tejto rovnice, musíte vybrať vhodné dvojice čísel x a y:

Nech sa pôvodná rovnica zmení na rovnicu s jednou neznámou:

,

Teda prvá dvojica čísel, ktorá je riešením danej rovnice (0; 3). Mám bod A(0; 3)

Nechaj . Dostaneme pôvodnú rovnicu s jednou premennou: , teda dostal bod В(3; 0)

Dajme dvojice čísel do tabuľky:

Nakreslite body do grafu a nakreslite priamku:

Všimnite si, že akýkoľvek bod na tejto priamke bude riešením danej rovnice. Skontrolujeme - vezmite bod so súradnicou a nájdite jeho druhú súradnicu z grafu. Je zrejmé, že v tomto bode. Dosaďte túto dvojicu čísel do rovnice. Dostaneme 0=0 - správna číselná rovnosť, čo znamená, že bod ležiaci na priamke je riešením.

Zatiaľ nevieme dokázať, že nejaký bod ležiaci na zostrojenej priamke je riešením rovnice, preto to akceptujeme ako pravdivé a dokážeme to neskôr.

Príklad 2 - Zostrojte rovnicu:

Urobme si tabuľku, stačí nám postaviť priamku z dvoch bodov, ale na kontrolu si vezmeme tretí:

V prvom stĺpci sme si vzali pohodlné , nájdeme y:

, ,

V druhom stĺpci sme si vzali pohodlný, nájdeme x:

, , ,

Zoberme si overenie a nájdite na:

, ,

Zostavme si graf:

Vynásobte danú rovnicu dvoma:

Od takejto transformácie sa množina riešení nezmení a graf zostane rovnaký.

Záver: naučili sme sa riešiť rovnice s dvoma premennými a zostavovať ich grafy, naučili sme sa, že graf takejto rovnice je priamka a že akýkoľvek bod tejto priamky je riešením rovnice

1. Dorofeev G.V., Suvorova S.B., Bunimovich E.A. a kol., Algebra 7. 6. vydanie. M.: Osveta. 2010

2. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7. M.: VENTANA-GRAF

3. Kolyagin Yu.M., Tkacheva M.V., Fedorova N.E. a iné Algebra 7 .M .: Vzdelávanie. 2006

2. Portál pre rodinné prezeranie ().

Úloha 1: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, č. 960, str. 210;

Úloha 2: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, č. 961, položka 210;

Úloha 3: Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebra 7, č. 962, položka 210;