Trigonometria pre blondínky. trigonometrický kruh

Skôr než prejdeme k tejto časti, pripomeňme si definície sínusov a kosínusov uvedené v učebnici geometrie pre ročníky 7-9.

Sínus ostrého uhla t správny trojuholník rovný pomeru protiľahlej nohy k prepone (obr. 1):

Kosínus ostrého uhla t pravouhlého trojuholníka sa rovná pomeru priľahlého ramena k prepone (obr. 1):

Tieto definície sa vzťahujú na pravouhlý trojuholník a sú špeciálnymi prípadmi definícií uvedených v tejto časti.

Rovnaký pravouhlý trojuholník umiestnime do číselného kruhu (obr. 2).

Vidíme, že noha b rovná určitej hodnote r na osi Y (os y), noha a rovná určitej hodnote X na osi x (abscisa). Prepona s rovný polomeru kružnice (R).

Naše vzorce teda nadobúdajú inú podobu.

Keďže b = r, a = X, c = R, potom:

y x
sin t = -- , cos t = --.
R R

Mimochodom, potom, prirodzene, aj vzorce tangens a kotangens nadobúdajú inú formu.

Pretože tg t \u003d b / a, ctg t \u003d a / b, platia aj ďalšie rovnice:

tg t = r/X,

ctg= X/r.

Ale späť k sínusu a kosínusu. Máme čo do činenia s číselným kruhom, ktorého polomer je 1. Ukazuje sa teda:

r
hriech t = -- = r,
1

X
cos t = -- = X.
1

Tak sa dostávame k tretiemu, ďalšiemu obyčajný pohľad trigonometrické vzorce.

Tieto vzorce sú použiteľné nielen pre ostrý uhol, ale aj pre akýkoľvek iný uhol (tupý alebo rozvinutý).

Definície a vzorcecost,hriecht,tgt,ctgt.

Ďalší vzorec vyplýva zo vzorcov tangens a kotangens:

Rovnice číselného kruhu.

Znaky sínusu, kosínusu, tangensu a kotangensu v štvrtinách kruhu:

Kosínus a sínus hlavných bodov číselného kruhu:

Ako si zapamätať hodnoty kosínusov a sínusov hlavných bodov číselného kruhu.

Najprv musíte vedieť, že v každom páre čísel sú hodnoty kosínusu prvé a sínusové hodnoty druhé.

1) Pozor: pre celú množinu bodov číselného kruhu máme do činenia iba s piatimi číslami (v module):

1 √2 √3
0; -; --; --; 1.
2 2 2

Urobte tento „objav“ pre seba - a odstránite psychologický strach z množstva čísel: v skutočnosti je ich len päť.

2) Začnime s celými číslami 0 a 1. Sú iba na súradnicových osiach.

Nie je potrebné sa učiť naspamäť, kde má napríklad kosínus v module jednotku a kde 0.

Na koncoch nápravy kosínusy(osi X), samozrejme, kosínusy rovný modul 1 a sínusy sú 0.

Na koncoch nápravy prínosových dutín(osi pri) sínusy sú modulo 1 a kosínusy sú 0.

Teraz o znameniach. Nula nemá žiadne znamenie. Pokiaľ ide o 1 - tu si musíte pamätať najviac jednoduchá vec: z kurzu 7. ročníka viete, čo je na osoh X vpravo od stredu súradnicová rovina- kladné čísla, vľavo - záporné; na náprave pri kladné čísla stúpajú od stredu, záporné klesajú. A potom nemôžete urobiť chybu so znakom 1.

3) Teraz prejdime k zlomkovým hodnotám.

Vo všetkých menovateľoch zlomkov - rovnaké číslo 2. Nebudeme sa mýliť, čo napísať do menovateľa.

V strede kvartálov majú kosínus a sínus presne rovnakú hodnotu modulo: √2/2. V takom prípade sú so znamienkom plus alebo mínus - pozri tabuľku vyššie. Takú tabuľku však sotva potrebujete: poznáte to z toho istého kurzu 7. ročníka.

Všetko najbližšie k osi X body majú presne rovnaké modulo hodnoty kosínusu a sínusu: (√3/2; 1/2).

Hodnoty všetkých najbližšie k osi pri body sú absolútne identické aj v absolútnej hodnote - a majú rovnaké čísla, len si „vymenili“ miesta: (1/2; √3/2).

Teraz o znameniach - je tu zaujímavé striedanie (hoci veríme, že znameniam by ste aj tak mali ľahko porozumieť).

Ak sú v prvom štvrťroku hodnoty kosínusu aj sínusu so znamienkom plus, potom v diametrálne opačnej (tretej) sú so znamienkom mínus.

Ak v druhej štvrtine so znamienkom mínus sú iba kosínusy, potom v diametrálne opačnom (štvrtom) - iba sínusy.

Zostáva len pripomenúť, že v každej kombinácii hodnôt kosínusu a sínusu je prvé číslo kosínusovou hodnotou, druhé číslo je sínusová hodnota.

Venujte pozornosť ešte jednej zákonitosti: sínus a kosínus všetkých diametrálne opačných bodov kruhu sú absolútne rovnaké. Vezmime si napríklad opačné body π/3 a 4π/3:

cos π/3 = 1/2, sin π/3 = √3/2
cos 4π/3 = -1/2, sin 4π/3 = -√3/2

Hodnoty kosínusov a sínusov dvoch protiľahlých bodov sa líšia iba znamienkom. Ale aj tu existuje vzor: sínusy a kosínusy diametrálne opačných bodov majú vždy opačné znamienka.

Je dôležité vedieť:

Hodnoty kosínusov a sínusov bodov číselného kruhu sa postupne zvyšujú alebo znižujú v presne definovanom poradí: od najmenšej hodnoty po najväčšiu a naopak (pozri časť „Zvýšenie a zníženie goniometrické funkcie“- toto sa však dá ľahko overiť pohľadom na číselný kruh vyššie).

V zostupnom poradí sa získa nasledujúce striedanie hodnôt:

√3 √2 1 1 √2 √3
1; --; --; -; 0; – -; – --; – --; –1
2 2 2 2 2 2

Rastú presne v opačnom poradí.

Po pochopení tohto jednoduchého vzoru sa naučíte, ako pomerne ľahko určiť hodnoty sínusu a kosínusu.

Dotyčnica a kotangens hlavných bodov číselnej kružnice.

Keď poznáme kosínus a sínus bodov číselného kruhu, je možné ľahko vypočítať ich tangens a kotangens. Sínus vydelíme kosínusom – dostaneme dotyčnicu. Kosínus vydelíme sínusom – dostaneme kotangens. Výsledky tohto delenia sú na obrázku.

POZNÁMKA: V niektorých tabuľkách sú hodnoty tangens a kotangens rovné modulo √3/3 označené ako 1/√3. Nejde o žiadnu chybu, pretože ide o ekvivalentné čísla. Ak sa čitateľ a menovateľ čísla 1/√3 vynásobí √3, dostaneme √3/3.

Ako si zapamätať hodnotu dotyčníc a kotangens hlavných bodov číselného kruhu.

Tu sú rovnaké vzory ako pri sínusoch a kosínusoch. A existujú iba štyri čísla (v module): 0, √3/3, 1, √3.

Na koncoch súradnicových osí sú pomlčky a nuly. Čiarky znamenajú, že v týchto bodoch dotyčnica alebo kotangens nemá zmysel.

Ako si zapamätať, kde sú pomlčky a kde nuly? Pomôže pravidlo.

Tangenta je pomer sínus na kosínus. Na koncoch nápravy prínosových dutín(os pri) dotyčnica neexistuje.

Kotangens je pomer kosínus do sínusu. Na koncoch nápravy kosínusy(os X) kotangens neexistuje.

Vo zvyšných bodoch sa striedajú iba tri čísla: 1, √3 a √3/3 so znamienkami plus alebo mínus. Ako sa s nimi vysporiadať? Pamätajte (alebo si to lepšie predstavte) na tri okolnosti:

1) dotyčnice a kotangensy všetkých stredov štvrťrokov sú v module 1.

2) dotyčnice a kotangens najbližšie k osi X body majú v module √3/3; √3.

3) dotyčnice a kotangensy bodov najbližšie k osi y majú modul √3; √3/3.

Nenechajte sa pomýliť znakmi – a ste veľký znalec.

Bude užitočné zapamätať si, ako sa tangens a kotangens zväčšujú a zmenšujú na číselnom kruhu (pozri číselný kruh vyššie alebo časť „Zvýšenie a zníženie goniometrických funkcií“). Potom bude poradie striedania hodnôt tangens a kotangens ešte lepšie pochopené.

Trigonometrické vlastnosti čísel číselného kruhu.

Predstavte si, že určitý bod M má hodnotu t.

Nehnuteľnosť 1:

Vysvetlenie. Nech t = -60º a t = -210º.

cos –60º sa rovná 1/2. Ale pretože 60º je tiež 1/2. To znamená, že kosínusy –60º a 60º sú rovnaké v absolútnej hodnote aj v znamienku: cos –60º = cos 60º.

cos –210º sa rovná –√3/2. Ale pretože 210º je tiež -√3/2. To znamená: cos -210º = cos 210º.

pretože (-t) =cost.

hriech –60º sa rovná –√3/2. A hriech 60º sa rovná √3/2. To znamená, že sin –60º a sin 60º sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale v opačnom znamienku.

sin –210º sa rovná 1/2. A hriech 210º je -1/2. To znamená, že sin –210º a sin 210º sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale v opačnom znamienku.

Tak sme to dokázali hriech (-t) = -hriecht.

Pozrite sa, čo sa stane s dotyčnicami a kotangens týchto uhlov – a sami si ľahko dokážete správnosť ďalších dvoch identít uvedených v tabuľke.

Záver: kosínus je párna funkcia, sínus, tangens a kotangens sú nepárne funkcie.

Vlastnosť 2: Pretože t = t + 2π k, potom:

Vysvetlenie: t a t + 2π k je rovnaký bod na číselnom kruhu. Len v prípade 2π k zaväzujeme sa určité množstvoúplné otáčky po obvode pred dosiahnutím bodu t. To znamená, že rovnosti uvedené v tejto tabuľke sú zrejmé.

Vlastnosť 3: Ak sú dva body kruhu oproti stredu O, potom sú ich sínusy a kosínusy rovnaké v absolútnej hodnote, ale opačné v znamienku a ich tangenty a kotangensy sú rovnaké v absolútnej hodnote aj v znamienku.

Vysvetlenie: Nech je bod M v prvej štvrtine. Ona má kladná hodnota sínus a kosínus. Z tohto bodu nakreslíme priemer – teda úsečku prechádzajúcu stredom súradnicovej osi a končiacu v opačnom bode kružnice. Označme tento bod písmenom N. Ako vidíte, oblúk MN sa rovná polovici kruhu. Už viete, že polovica kruhu je množstvo rovnajúce sa π. To znamená, že bod N je vo vzdialenosti π od bodu M. Inými slovami, ak k bodu M pripočítame vzdialenosť π, dostaneme bod N, ktorý je opačný. Je v treťom štvrťroku. Skontrolujte a uvidíte: kosínus a sínus bodu N - so znamienkom mínus ( X a r majú záporné hodnoty).

Dotyčnica a kotangens bodu M majú kladnú hodnotu. A čo dotyčnica a kotangens bodu N? Odpoveď je jednoduchá: dotyčnica a kotangens sú napokon pomer sínusu a kosínusu. V našom príklade sú sínus a kosínus bodu N so znamienkom mínus. znamená:

– hriech t
tg (t + π) = ---- = tg t
-cos t

-cos t
ctg (t + π) = ---- = ctg t
– hriech t

Dokázali sme, že dotyčnica a kotangens diametrálne opačných bodov kružnice majú nielen rovnakú hodnotu, ale aj rovnaké znamienko.

Vlastnosť 4: Ak sú dva body kruhu v susedných štvrtinách a vzdialenosť medzi bodmi je jedna štvrtina kruhu, potom sa sínus jedného bodu rovná kosínusu druhého bodu s rovnakým znamienkom a kosínus jedného bodu je rovný sínusu druhého s opačným znamienkom.

trigonometrický kruh. Jediný kruh. Číselný kruh. Čo to je?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Veľmi často termíny trigonometrický kruh, jednotkový kruh, číselný kruh zle pochopené študentmi. A úplne márne. Tieto koncepty sú výkonným a univerzálnym pomocníkom vo všetkých sekciách trigonometrie. V skutočnosti ide o legálny cheat! Nakreslil som trigonometrický kruh - a okamžite som videl odpovede! Lákavé? Učme sa teda, je hriech takéto niečo nepoužiť. Navyše je to celkom jednoduché.

Na úspešnú prácu s trigonometrickým kruhom potrebujete vedieť iba tri veci.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Pojmy sínus, kosínus, tangens a kotangens sú hlavnými kategóriami trigonometrie - odvetvia matematiky a sú neoddeliteľne spojené s definíciou uhla. Ovládanie tejto matematickej vedy si vyžaduje zapamätanie a pochopenie vzorcov a teorémov, ako aj rozvinuté priestorové myslenie. Preto trigonometrické výpočty často spôsobujú ťažkosti školákom a študentom. Aby ste ich prekonali, mali by ste sa lepšie zoznámiť s goniometrickými funkciami a vzorcami.

Pojmy v trigonometrii

Aby ste pochopili základné pojmy trigonometrie, musíte sa najprv rozhodnúť, čo je pravouhlý trojuholník a uhol v kruhu a prečo sú s nimi spojené všetky základné trigonometrické výpočty. Trojuholník, v ktorom je jeden z uhlov 90 stupňov, je pravouhlý trojuholník. Historicky túto postavu často používali ľudia v architektúre, navigácii, umení, astronómii. V súlade s tým ľudia pri štúdiu a analýze vlastností tohto čísla dospeli k výpočtu zodpovedajúcich pomerov jeho parametrov.

Hlavné kategórie spojené s pravouhlými trojuholníkmi sú prepona a nohy. Prepona je strana trojuholníka, ktorá je opačná pravý uhol. Nohy sú ďalšie dve strany. Súčet uhlov akéhokoľvek trojuholníka je vždy 180 stupňov.

Sférická trigonometria je odbor trigonometrie, ktorý sa neštuduje v škole, ale v aplikované vedy ako je astronómia a geodézia, vedci to využívajú. Znakom trojuholníka v sférickej trigonometrii je, že má vždy súčet uhlov väčší ako 180 stupňov.

Uhly trojuholníka

V pravouhlom trojuholníku je sínus uhla pomer nohy oproti požadovanému uhlu k prepone trojuholníka. V súlade s tým je kosínus pomerom susednej vetvy a prepony. Obe tieto hodnoty majú vždy hodnotu menšiu ako jedna, pretože prepona je vždy dlhšia ako noha.

Tangenta uhla je hodnota rovnajúca sa pomeru protiľahlej vetvy k susednej vetve požadovaného uhla alebo sínusu ku kosínusu. Kotangens je zase pomer priľahlého ramena požadovaného uhla k opačnému kaktetu. Kotangens uhla možno získať aj delením jednotky hodnotou dotyčnice.

jednotkový kruh

Jednotková kružnica v geometrii je kružnica, ktorej polomer sa rovná jednej. Takáto kružnica je zostrojená v karteziánskom súradnicovom systéme, pričom stred kružnice sa zhoduje s počiatočným bodom a počiatočná poloha vektora polomeru je určená kladným smerom osi X (os úsečka). Každý bod kružnice má dve súradnice: XX a YY, teda súradnice úsečky a ordináty. Vyberieme ľubovoľný bod na kružnici v rovine XX a pustíme z neho kolmicu na os x, dostaneme pravouhlý trojuholník tvorený polomerom k vybranému bodu (označme ho písmenom C), kolmicu nakreslenú k os X (priesečník je označený písmenom G) a úsečka os x medzi počiatkom (bod je označený písmenom A) a priesečníkom G. Výsledný trojuholník ACG je pravouhlý trojuholník vpísaný do kruh, kde AG je prepona a AC a GC sú nohy. Uhol medzi polomerom kružnice AC a segmentom osi x s označením AG definujeme ako α (alfa). Takže, cos α = AG/AC. Vzhľadom na to, že AC je polomer jednotkovej kružnice a rovná sa jednej, ukáže sa, že cos α=AG. Podobne sin α=CG.

Navyše, ak poznáme tieto údaje, je možné určiť súradnicu bodu C na kružnici, keďže cos α=AG, a sin α=CG, čo znamená, že bod C má dané súradnice (cos α; sin α). Keď vieme, že dotyčnica sa rovná pomeru sínusu ku kosínusu, môžeme určiť, že tg α \u003d y / x a ctg α \u003d x / y. Vzhľadom na uhly v negatívnom súradnicovom systéme je možné vypočítať, že sínusové a kosínusové hodnoty niektorých uhlov môžu byť záporné.

Výpočty a základné vzorce

Hodnoty goniometrických funkcií

Po zvážení podstaty goniometrických funkcií cez jednotkový kruh môžeme odvodiť hodnoty týchto funkcií pre niektoré uhly. Hodnoty sú uvedené v tabuľke nižšie.

Najjednoduchšie trigonometrické identity

Rovnice, v ktorých je pod znamienkom goniometrickej funkcie neznáma hodnota, sa nazývajú trigonometrické. Totožnosti s hodnotou sin x = α, k je ľubovoľné celé číslo:

1. sin x = 0, x = πk.
2. 2. hriech x \u003d 1, x \u003d π / 2 + 2πk.
3. sin x \u003d -1, x \u003d -π / 2 + 2πk.
4. sin x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. sin x = a, |a| ≦ 1, x = (-1)^k * arcsin α + πk.

Totožnosti s hodnotou cos x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. cos x = 0, x = π/2 + πk.
2. cos x = 1, x = 2πk.
3. cos x \u003d -1, x \u003d π + 2πk.
4. cos x = a, |a| > 1, žiadne riešenia.
5. cos x = a, |a| ≦ 1, х = ±arccos α + 2πk.

Totožnosti s hodnotou tg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. tg x = 0, x = π/2 + πk.
2. tg x \u003d a, x \u003d arctg α + πk.

Totožnosti s hodnotou ctg x = a, kde k je ľubovoľné celé číslo:

1. ctg x = 0, x = π/2 + πk.
2. ctg x \u003d a, x \u003d arcctg α + πk.

Odlievané vzorce

Táto kategória konštantných vzorcov označuje metódy, pomocou ktorých môžete prejsť od goniometrických funkcií tvaru k funkciám argumentu, to znamená previesť sínus, kosínus, tangens a kotangens uhla ľubovoľnej hodnoty na zodpovedajúce ukazovatele uhla uhla. interval od 0 do 90 stupňov pre väčšie pohodlie pri výpočtoch.

Vzorce na redukciu funkcií pre sínus uhla vyzerajú takto:

• sin(900 - α) = α;
• sin(900 + α) = cos α;
• sin(1800 - α) = sin α;
• sin(1800 + α) = -sin α;
• sin(2700 - α) = -cos α;
• sin(2700 + α) = -cos α;
• sin(3600 - α) = -sin α;
• sin(3600 + α) = hriech α.

Pre kosínus uhla:

• cos(900 - α) = sin α;
• cos(900 + α) = -sin α;
• cos(1800 - α) = -cos α;
• cos(1800 + a) = -cos a;
• cos(2700 - α) = -sin α;
• cos(2700 + α) = sin α;
• cos(3600 - α) = cos α;
• cos(3600 + α) = cos α.

Použitie vyššie uvedených vzorcov je možné pri dodržaní dvoch pravidiel. Po prvé, ak možno uhol znázorniť ako hodnotu (π/2 ± a) alebo (3π/2 ± a), hodnota funkcie sa zmení:

• od hriechu k cos;
• od cos k hriechu;
• od tg do ctg;
• z ctg do tg.

Hodnota funkcie zostáva nezmenená, ak možno uhol znázorniť ako (π ± a) alebo (2π ± a).

Po druhé, znamienko zníženej funkcie sa nemení: ak bolo pôvodne pozitívne, tak to zostane. To isté platí pre negatívne funkcie.

Vzorce na sčítanie

Tieto vzorce vyjadrujú hodnoty sínusu, kosínusu, tangensu a kotangens súčtu a rozdielu dvoch uhlov natočenia z hľadiska ich goniometrických funkcií. Uhly sa zvyčajne označujú ako α a β.

Vzorce vyzerajú takto:

1. sin(α ± β) = sin α * cos β ± cos α * sin.
2. cos(α ± β) = cos α * cos β ∓ sin α * sin.
3. tan(α ± β) = (tan α ± tan β) / (1 ∓ tan α * tan β).
4. ctg(α ± β) = (-1 ± ctg α * ctg β) / (ctg α ± ctg β).

Tieto vzorce platia pre všetky uhly α a β.

Vzorce s dvojitým a trojitým uhlom

Goniometrické vzorce dvojitého a trojitého uhla sú vzorce, ktoré spájajú funkcie uhlov 2α a 3α s goniometrickými funkciami uhla α. Odvodené zo sčítacích vzorcov:

1. sin2α = 2sinα*cosα.
2. cos2α = 1 - 2sin^2α.
3. tg2α = 2tgα / (1 - tg^2 α).
4. sin3α = 3sinα - 4sin^3α.
5. cos3α = 4cos^3α - 3cosα.
6. tg3α = (3tgα - tg^3 α) / (1-tg^2 α).

Prechod od sumy k produktu

Ak vezmeme do úvahy, že 2sinx*cosy = sin(x+y) + sin(x-y), zjednodušením tohto vzorca dostaneme identitu sinα + sinβ = 2sin(α + β)/2 * cos(α − β)/2. Podobne sinα - sinβ = 2sin(α - β)/2 * cos(α + β)/2; cosα + cosβ = 2cos(α + β)/2 * cos(α − β)/2; cosα - cosβ = 2sin(α + β)/2 * sin(α − β)/2; tgα + tgβ = sin(α + β) / cosα * cosβ; tgα - tgβ = sin(α - β) / cosα * cosβ; cosα + sinα = √2sin(π/4 ∓ α) = √2cos(π/4 ± α).

Prechod od produktu k sume

Tieto vzorce vyplývajú z identít pre prechod súčtu na súčin:

• sinα * sinβ = 1/2*;
• cosα * cosβ = 1/2*;
• sinα * cosβ = 1/2*.

Redukčné vzorce

V týchto identitách môžu byť druhé mocniny a kubické mocniny sínusu a kosínusu vyjadrené ako sínus a kosínus prvej mocniny viacnásobného uhla:

• sin^2 α = (1 - cos2α)/2;
• cos^2α = (1 + cos2α)/2;
• sin^3 α = (3 * sinα - sin3α)/4;
• cos^3 α = (3 * cosα + cos3α)/4;
• sin^4 α = (3 - 4cos2α + cos4α)/8;
• cos^4 α = (3 + 4cos2α + cos4α)/8.

Univerzálna náhrada

Univerzálne goniometrické substitučné vzorce vyjadrujú goniometrické funkcie ako tangens polovičného uhla.

• sin x \u003d (2tgx / 2) * (1 + tg ^ 2 x / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn;
• cos x = (1 - tg^2 x/2) / (1 + tg^2 x/2), kde x = π + 2πn;
• tg x \u003d (2tgx / 2) / (1 - tg ^ 2 x / 2), kde x \u003d π + 2πn;
• ctg x \u003d (1 - tg ^ 2 x / 2) / (2tgx / 2), zatiaľ čo x \u003d π + 2πn.

Špeciálne prípady

Konkrétne prípady najjednoduchších goniometrických rovníc sú uvedené nižšie (k je akékoľvek celé číslo).

Súkromné ​​pre sínus:

Kosínové kvocienty:

Súkromné ​​pre dotyčnicu:

Kotangensové kvocienty:

Vety

Sínusová veta

Existujú dve verzie vety - jednoduchá a rozšírená. Jednoduchá sínusová veta: a/sin α = b/sin β = c/sin γ. V tomto prípade sú a, b, c strany trojuholníka a α, β, γ sú opačné uhly.

Rozšírená sínusová veta pre ľubovoľný trojuholník: a/sin α = b/sin β = c/sin γ = 2R. V tejto identite R označuje polomer kružnice, do ktorej je daný trojuholník vpísaný.

Kosínusová veta

Identita sa zobrazí takto: a^2 = b^2 + c^2 - 2*b*c*cos α. Vo vzorci sú a, b, c strany trojuholníka a α je uhol opačnej strany a.

Tangentová veta

Vzorec vyjadruje vzťah medzi dotyčnicami dvoch uhlov a dĺžkou strán proti nim. Strany sú označené a, b, c a zodpovedajúce opačné uhly sú α, β, γ. Vzorec tangentovej vety: (a - b) / (a+b) = tg((α - β)/2) / tg((α + β)/2).

Kotangensová veta

Priradí polomer kružnice vpísanej trojuholníku k dĺžke jeho strán. Ak a, b, c sú strany trojuholníka a A, B, C sú ich opačné uhly, r je polomer vpísanej kružnice a p je polovica obvodu trojuholníka, nasledujúce identity držať:

• ctg A/2 = (p-a)/r;
• ctg B/2 = (p-b)/r;
• ctg C/2 = (p-c)/r.

Aplikácie

Trigonometria nie je len teoretická veda spojená s matematickými vzorcami. Jeho vlastnosti, vety a pravidlá využívajú v praxi rôzne odvetvia ľudskej činnosti – astronómia, letecká a námorná navigácia, hudobná teória, geodézia, chémia, akustika, optika, elektronika, architektúra, ekonómia, strojárstvo, meračské práce, počítačová grafika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika, elektronika kartografia, oceánografia a mnohé iné.

Sínus, kosínus, tangens a kotangens sú základné pojmy trigonometrie, pomocou ktorých môžete matematicky vyjadriť vzťah medzi uhlami a dĺžkami strán v trojuholníku a pomocou identít, teorémov a pravidiel nájsť požadované veličiny.

Súradnice X body ležiace na kružnici sa rovnajú cos(θ) a súradnice r zodpovedajú sin(θ), kde θ je veľkosť uhla.

• Ak je pre vás ťažké zapamätať si toto pravidlo, spomeňte si len na to, že vo dvojici (cos; sin) „sínus prichádza ako posledný“.
• Toto pravidlo možno odvodiť, ak vezmeme do úvahy pravouhlé trojuholníky a definíciu týchto goniometrických funkcií (sínus uhla sa rovná pomeru dĺžky protiľahlej a kosínusu susednej vetvy k prepone).

Trigonometria ako veda vznikla na starovekom východe. Prvé trigonometrické pomery vyvinuli astronómovia, aby vytvorili presný kalendár a orientovali sa podľa hviezd. Tieto výpočty sa týkali sférickej trigonometrie, pričom v školskom kurze študujú pomer strán a uhla plochého trojuholníka.

Trigonometria je časť matematiky, ktorá sa zaoberá vlastnosťami goniometrických funkcií a vzťahom medzi stranami a uhlami trojuholníkov.

V období rozkvetu kultúry a vedy v 1. tisícročí nášho letopočtu sa poznatky rozšírili zo starovekého východu do Grécka. Ale hlavné objavy trigonometrie sú zásluhou mužov arabského kalifátu. Najmä turkménsky vedec al-Marazvi zaviedol také funkcie ako tangens a kotangens, zostavil prvé tabuľky hodnôt pre sínus, tangens a kotangens. Pojem sínus a kosínus zaviedli indickí vedci. Veľká pozornosť je venovaná trigonometrii v dielach takých veľkých postáv staroveku ako Euklides, Archimedes a Eratosthenes.

Základné veličiny trigonometrie

Základné goniometrické funkcie numerického argumentu sú sínus, kosínus, tangens a kotangens. Každý z nich má svoj vlastný graf: sínus, kosínus, tangens a kotangens.

Vzorce na výpočet hodnôt týchto veličín sú založené na Pytagorovej vete. Školákom je známejšia v znení: „ Pytagorove nohavice, sú rovnaké vo všetkých smeroch“, keďže dôkaz je uvedený na príklade rovnoramenného pravouhlého trojuholníka.

Sínus, kosínus a iné závislosti vytvárajú vzťah medzi ostrými uhlami a stranami akéhokoľvek pravouhlého trojuholníka. Uvádzame vzorce na výpočet týchto veličín pre uhol A a sledujeme vzťah goniometrických funkcií:

Ako vidíte, tg a ctg sú inverzné funkcie. Ak reprezentujeme rameno a ako súčin sínu A a prepony c a rameno b ako cos A * c, dostaneme nasledujúce vzorce pre dotyčnicu a kotangens:

trigonometrický kruh

Graficky možno pomer spomínaných veličín znázorniť takto:

Kruh v tomto prípade predstavuje všetky možné hodnoty uhla α - od 0° do 360°. Ako je možné vidieť z obrázku, každá funkcia nadobúda zápornú alebo kladnú hodnotu v závislosti od uhla. Napríklad sin α bude so znamienkom „+“, ak α patrí do I a II štvrtín kruhu, to znamená, že je v rozsahu od 0 ° do 180 °. Pri α od 180° do 360° (štvrtiny III a IV) môže byť sin α iba zápornou hodnotou.

Skúsme stavať trigonometrické tabuľky pre konkrétne uhly a zistite význam veličín.

Hodnoty α rovné 30°, 45°, 60°, 90°, 180° atď. sa nazývajú špeciálne prípady. Hodnoty goniometrických funkcií pre nich sú vypočítané a prezentované vo forme špeciálnych tabuliek.

Tieto uhly neboli zvolené náhodou. Označenie π v tabuľkách je pre radiány. Rad je uhol, pod ktorým dĺžka kruhového oblúka zodpovedá jeho polomeru. Táto hodnota bola zavedená za účelom vytvorenia univerzálneho vzťahu, pri výpočte v radiánoch nezáleží na skutočnej dĺžke polomeru v cm.

Uhly v tabuľkách pre goniometrické funkcie zodpovedajú radiánom:

Nie je teda ťažké uhádnuť, že 2π je celý kruh alebo 360°.

Vlastnosti goniometrických funkcií: sínus a kosínus

Aby sme mohli zvážiť a porovnať základné vlastnosti sínusu a kosínusu, dotyčnice a kotangensu, je potrebné nakresliť ich funkcie. Dá sa to urobiť vo forme krivky umiestnenej v dvojrozmernom súradnicovom systéme.

Zvážte porovnávaciu tabuľku vlastností pre sínusovú a kosínusovú vlnu:

Určenie, či je funkcia párna alebo nie, je veľmi jednoduché. Stačí si predstaviť trigonometrický kruh so znakmi trigonometrických veličín a mentálne „zložiť“ graf vzhľadom na os OX. Ak sú znamienka rovnaké, funkcia je párna, v opačnom prípade je nepárna.

Zavedenie radiánov a vymenovanie hlavných vlastností sínusovej a kosínusovej vlny nám umožňuje priniesť nasledujúci vzorec:

Overenie správnosti vzorca je veľmi jednoduché. Napríklad pre x = π/2 sa sínus rovná 1, rovnako ako kosínus x = 0. Kontrolu možno vykonať prezeraním tabuliek alebo sledovaním kriviek funkcií pre dané hodnoty.

Vlastnosti tangentoidu a kotangentoidu

Grafy funkcií tangens a kotangens sa výrazne líšia od sínusoidy a kosínusovej vlny. Hodnoty tg a ctg sú navzájom inverzné.

1. Y = tgx.
2. Dotyčnica smeruje k hodnotám y pri x = π/2 + πk, ale nikdy ich nedosiahne.
3. Najmenšia kladná perióda tangentoidu je π.
4. Tg (- x) \u003d - tg x, t.j. funkcia je nepárna.
5. Tg x = 0, pre x = πk.
6. Funkcia sa zvyšuje.
7. Tg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
8. Tg x ‹ 0, pre x ϵ (— π/2 + πk, πk).
9. Derivát (tg x)' = 1/cos 2⁡x.

Zvážte grafický obrázok kotangentoidy nižšie.

Hlavné vlastnosti kotangentoidu:

1. Y = ctgx.
2. Na rozdiel od funkcií sínus a kosínus môže v tangentoide Y nadobudnúť hodnoty množiny všetkých reálnych čísel.
3. Kotangentoid má tendenciu k hodnotám y pri x = πk, ale nikdy ich nedosiahne.
4. Najmenšia kladná perióda kotangentoidu je π.
5. Ctg (- x) \u003d - ctg x, t.j. funkcia je nepárna.
6. Ctg x = 0, pre x = π/2 + πk.
7. Funkcia sa znižuje.
8. Ctg x › 0, pre x ϵ (πk, π/2 + πk).
9. Ctg x ‹ 0, pre x ϵ (π/2 + πk, πk).
10. Derivát (ctg x)' = - 1/sin 2 ⁡x Fix