3 4 na jednom kruhu. Číselný kruh

Na trigonometrickom kruhu, okrem rohov v stupňoch, pozorujeme.

Prečítajte si viac o Radiánoch:

Radín je definovaný ako uhlová veľkosť oblúka, ktorej dĺžka je rovná jej polomeru. Pretože obvod sa rovná , je zrejmé, že radián je naskladaný v kruhu, to znamená

1 RUN ≈ 57,295779513 ° ≈ 57 ° 17'44,806 "≈ 206265".

Každý vie, že Radiáni sú

Napríklad, napríklad a. Tak sme my naučili sa prekladať Radiáni v rohoch.

Teraz, naopak, preložme stupne do radičov.

Predpokladajme, že musíme preložiť do Radiánov. Pomôžeme. Robíme takto:

Vzhľadom k tomu, Radiáni, potom vyplňte tabuľku:

Vídime, aby sme našli hodnoty sínusu a kosínu v kruhu

Poďme skontrolovať nasledovné.

No, dobre, ak sme požiadaní, aby sme vypočítať, povedali, - tu zvyčajne sa nedosiahne zmätok - každý začína hľadať na kruhu najprv.

A ak sa pýtajú na výpočet, napríklad, náhle, začnú nechápem, kde hľadať túto nulu ... často ho hľadať na začiatku súradníc. Prečo?

1) Znova súhlasím a navždy! Čo stojí po alebo je argument \u003d uhol a rohy sú umiestnené na kruhu, nepozerajte ich na os! (Jednoducho samostatné body padnú na kruh, a na osi ...) a hodnoty sinusov a samotní Cosiners sa pozerajú na osi!

2) A tiež!Ak ideme z bodu "Start" proti smeru (hlavný smer obchádzania trigonometrického kruhu), potom odložíme pozitívne uhly, Hodnoty rohov rastú pri jazde v tomto smere.

Ak ideme z bodu "Start" v smere hodinových ručičiek odložíme negatívne rohy.

Príklad 1.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Nájdite na kruhu. Predpokladáme bod na osi dutín (to znamená, že vykonávame kolmo z bodu na sinusovú os (ou)).

Prísť.

Príklad 2.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Nájdeme na kruhu (prejsť proti smeru hodinových ručičiek a ďalších). Projectujeme bod na sínusové osi (a ona ona už Leží na osi dutín).

Spadneme do -1 pozdĺž osi sínusy.

Všimnite si, že bod je "skrýva" takéto body, ako (mohli by sme ísť do bodu označeného ako, v smere hodinových ručičiek, čo znamená znamenie mínus) a nekonečne mnoho ďalších.

Túto analógiu môžete priniesť:

Predstavte si trigonometrický kruh ako bežiacu stopu štadióna.

Môžete byť v políčku "Zaškrtnite políčko", idem z štartu proti smeru hodinových ručičiek, behom, poďme, povedzme, 300 m. Alebo spustiť, povedzme, 100m v smere hodinových ručičiek (uvažujeme o dĺžke trate 400 m).

A môžete byť tiež v bode "Zaškrtávacie políčko" (po "štarte"), beh, povedzme, 700 m, 1100 m, 1500 m, atď proti smeru hodinových ručičiek. Môžete byť v bode "Začiarknite políčko", bežiace 500 m alebo 900 m, atď. Z "štartu".

Rozbaliť štadión mentálne bežecký pás na číselné priame. Predstavte si, kde na tejto rovnej bude, napríklad hodnoty 300, 700, 1100, 1500 atď. Uvidíme body na číselné priame, rovnaké. Vráťme sa späť do kruhu. Body budú "lietať" v jednom.

Takže s trigonometrickým kruhom. Pointe je skrytý nekonečne mnoho ďalších.

Povedzme uhly ,,,, atď. Znázornené jedným bodom. A hodnoty sínusov, kosínus v nich, samozrejme, sa zhoduje. (Všimli ste si, že sme pridali / odpočítali, alebo? Toto je obdobie pre sinus a cosine funkciu.)

Príklad 3.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Prekladáme sa na ľahkosť stupňov

(Neskôr, keď si zvyknete na trigonometrický kruh, nebudete musieť prekladať Radiáni do stupňov):

Budeme presunúť v smere hodinových ručičiek z bodu, ktorý prejdeme polkrug () a stále

Chápeme, že hodnota sinus sa zhoduje s hodnotou sínusu a rovná

Poznámka, ak by sme si vzali, napríklad, alebo atď., Všetci by sme dostali hodnotu sínusu.

Príklad 4.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Napriek tomu nebudeme prekladať Radiány v stupňoch, ako v predchádzajúcom príklade.

To znamená, že musíme ísť proti smeru hodinových ručičiek o pol štvrťroku a štvrtinu pol štvrťroku a rozprestierať výsledný bod na kosínusovej osi (horizontálna os).

Príklad 5.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Ako odložiť na trigonometrický kruh?

Ak prejdeme, alebo hoci sa stále nachádzame v bode, ktorý sme odmietli ako "Štart". Preto môžete okamžite ísť do bodu v kruhu

Príklad 6.

Nájsť hodnotu.

Rozhodnutie:

Budeme v bode (nás v každom poradí v bode nula). Project kruhový bod na Cosine os (pozri trigonometrický kruh), dostaneme sa do. T.j.

Trigonometrický kruh - Vo vašich rukách

Už ste pochopili, že hlavná vec je pamätať na hodnoty trigonometrických funkcií prvého štvrťroka. V ostatných štvrtiach je všetko podobné, stačí dodržiavať znamenia. A "rebrík" hodnôt trigonometrických funkcií, dúfate, že nezabudnete.

Ako nájsť tangent a KOTNENCE Hlavné rohy.

Potom sa zoznámili s hlavnými hodnotami Tangenta a kotangentu, môžete ísť

Na prázdnom vzore kruhu. Vlak!

Ak hovoríme jednoducho, to sú zelenina varená vo vode špeciálnym receptom. Budem zvážiť dve zdrojové komponenty (rastlinný šalát a voda) a hotový výsledok - Borsch. Geometricky, to môže byť reprezentované ako obdĺžnik, v ktorom jedna strana označuje šalát, druhá strana označuje vodu. Súčet týchto dvoch strán bude označiť Borsch. Diagonálny a oblasť takéhoto "prasknutia" obdĺžnika sú čisto matematické koncepty a nikdy sa nepoužívajú v receptoch boršča.

V učebniciach matematiky nenájdete nič o lineárnych uhlových funkciách. Ale bez nich nemôžu byť matematici. Zákony matematiky, ako aj zákony prírody, pracujú nezávisle od toho, či vieme o svojej existencii alebo nie.

Lineárne uhlové funkcie sú zákony pridávania. Pozrite sa, ako sa algebra zmení na geometriu a geometria sa zmení na trigonometriu.

Je možné robiť bez lineárnych uhlových funkcií? Je možné, pretože matematika stále robia bez nich. Trik matematikov je, že nám vždy hovoria len o tých výzvach, ktoré sami môžu rozhodnúť, a nikdy nehovoriť o týchto úlohách, že nevedia, ako sa rozhodnúť. Vidieť. Ak poznáme výsledok pridania a jedného termínu, na vyhľadávanie ďalších bezplatných, používame odčítanie. Všetko. Nepoznáme iné úlohy a nevieme, ako riešiť. Čo robiť v prípade, že sme známe len na výsledok pridávania a nie sú známe obe podmienky? V tomto prípade musí byť výsledok pridania rozložený do dvoch termínov s lineárnymi uhlovými funkciami. Potom si už si vyberieme, ako môže byť jeden termín, a lineárne uhlové funkcie ukazujú, čo by mal byť druhý termín, takže výsledok pridávania bolo presne to, čo potrebujeme. Takéto páry termínov môžu byť nekonečnou súpravou. V každodennom živote sa zobudíme bez rozkladu sumy, máme dostatok odčítania. Ale vo vedeckom výskume zákonov prírody môže byť rozklad sumy na komponentoch veľmi užitočný.

Ďalším zákonom pridávania, o ktorej matematika nemajú radi hovoriť (iný z ich trik), vyžaduje, aby komponenty mali rovnaké merania. Pre šalát, voda a borschor môže to byť jednotka merania, objemu, nákladov alebo jednotky merania.

Obrázok zobrazuje dve úrovne rozdielov pre matematické. Prvá úroveň je rozdiely v oblasti uvedených čísel a., b., c.. To je matematika zapojená. Druhou úrovňou sú rozdiely v oblasti merania jednotiek, ktoré sú uvedené v hranatých zátvorkách a označené písmenom U.. Fyzika sa zaoberá. Môžeme pochopiť tretiu úroveň - rozdiely v oblasti opísaných objektov. Rôzne objekty môžu mať rovnaký počet identických jednotiek merania. Pokiaľ je to dôležité, môžeme vidieť príklad trigonometrie Borscht. Ak pridáme nižšie indexy na rovnaké označenie meracích jednotiek rôznych objektov, môžeme presne povedať, ktorá matematická hodnota opisuje špecifický objekt a ako sa mení v priebehu času alebo v súvislosti s našimi akciami. Písmeno W. Budem odkazovať na vodu, list S. Nechajte šalát a list B. - Borsch. Takto lineárne uhlové funkcie pre Borscht vyzerať.

Ak si vezmeme časť vody a časť šalátu, spolu sa zmenia na jednu časť borscht. Tu vám navrhujem trochu rozptýliť od Borscht a pamätajte na vzdialené detstvo. Pamätajte si, ako sme sa učili skladať zajačikov a úradníka? Bolo potrebné nájsť, koľko zvierat by uspieť. Čo nás potom učili? Učili sme sa odtrhnúť jednotky meraní z čísel a pridávať čísla. Áno, jedno ľubovoľné číslo môže byť zložené s iným ľubovoľným číslom. Je to priama cesta k autori modernej matematiky - robíme to nie je jasné, čo nie je jasné, prečo a veľmi dobre pochopiť, ako to odkazuje na realitu, pretože tri úrovne matematiky rozdiely len jeden. Bude to správne naučiť sa pohybovať z jednej jednotky merania do iných.

A zajačikovia a klarops a zvieratá sa môžu vypočítať v kusoch. Jedna spoločná jednotka merania pre rôzne objekty nám umožňuje ich spojiť. Toto je možnosť detskej úlohy. Pozrime sa na podobnú úlohu pre dospelých. Čo sa stane, ak ste zložené zajačiky a peniaze? Tu môžete ponúknuť dve riešenia.

Prvá možnosť. Definujeme trhovú hodnotu zajačikov a zložíme ho s množstvom peňazí. Dostali sme celkové náklady na naše bohatstvo v peňažnom ekvivalente.

Druhá možnosť. Môžete pridať počet zajačikov s počtom dostupných peňažných účtov. Dostaneme počet pohyblivých majetku v kusoch.

Ako vidíte, ten istý zákon o dohodách vám umožňuje získať rôzne výsledky. To všetko závisí od toho, čo presne chceme vedieť.

Ale späť k našim banským. Teraz môžeme vidieť, čo sa stane pri rôznych hodnotách uhla lineárnych uhlových funkcií.

Uhol je nula. Máme šalát, ale nie je voda. Nemôžeme variť borsch. Množstvo dosiek je tiež nula. To neznamená, že nulová borschor je nulová voda. Zero nula môže byť na nulový šalát (priamy uhol).

Pre mňa osobne je to hlavné matematické dôkazy o tom, že. Zero nezmení číslo pri pridávaní. Je to preto, že samotný prídavok je nemožný, ak existuje len jeden termín a nie je tu druhý termín. Môžete zaobchádzať s ním, ale pamätajte - všetky matematické operácie s nulou prišiel s matematikou sami, takže hádzanie vašej logiky a hlúpe nástroje definície vymyslel matematikov: "Divízia na nulu je nemožná", "akékoľvek číslo vynásobené nulu je nula "," pre kačica poľa nula "a iné nezmysly. Je to len raz zapamätať si, že nula nie je číslo, a nikdy nebudete mať otázku, je nula prirodzené číslo alebo nie, pretože takáto otázka je všeobecne zbavená akéhokoľvek významu: ako možno považovať za číslo, ktoré je číslo nie. Je to ako pýtať, akú farbu je neviditeľná farba. Pridať nula na číslo je rovnaké ako maliarska farba, ktorá nie je. Suchý strapce premyl a porozprával sa s každým, že "maľovali sme." Ale bol som trochu rozptyľovaný.

Uhol je väčší ako nula, ale menej ako štyridsaťpäť stupňov. Máme veľa šalátu, ale málo vody. V dôsledku toho dostaneme hrubý borsch.

Uhol je štyridsaťpäť stupňov. Máme v rovnakom množstve vody a šaláte. Toto je dokonalý borsch (a odpusť mi variť, je to len matematika).

Uhol je viac ako štyridsaťpäť stupňov, ale menej ako deväťdesiat stupňov. Máme veľa vody a malého šalátu. Ukazuje tekutý borsch.

Pravý uhol. Máme vodu. Iba spomienky zostali zo šalátu, pretože uhol, ktorý pokračujeme v meraní z linky, ktorý kedysi označil šalát. Nemôžeme variť borsch. Množstvo Borscht je nula. V tomto prípade držte a pijete vodu, keď je)))

Tu. Niečo také. Môžem tu povedať a iné príbehy, ktoré budú tu viac ako vhodné.

Dvaja priatelia mali vlastné akcie vo všeobecnom podnikaní. Po vražde jednej z nich, všetko šlo do druhej.

Vzhľad matematiky na našej planéte.

Všetky tieto príbehy v jazyku matematiky sa rozprávajú pomocou lineárnych uhlových funkcií. Niektoré inokedy vám ukážem skutočné miesto týchto funkcií v štruktúre matematiky. Medzitým, späť na trigonometriu borscht a zvážiť projekciu.

sobota 26. októbra 2019

streda, 7 August 2019

Dokončenie konverzácie o, musíte zvážiť nekonečný súbor. To dal, že koncepcia "nekonečno" pôsobí na matematikov ako člnkovanie na králiku. Awesome horor pred Infinity zbavuje matematikov zdravého rozumu. Tu je príklad:

Zdroj sa nachádza. Alpha označuje platné číslo. Znamenie rovnosti vo vyššie uvedených výrazoch naznačuje, že ak nekonečno pridávať číslo alebo nekonečno, nič sa nezmení, čo viedlo k rovnakému nekonečna. Ak je napríklad príklad, vykonajte nekonečný súbor prirodzených čísel, potom môžu byť v tomto formulári reprezentované uvažované príklady:

Pre vizuálny dôkaz o ich matematike prišiel mnoho rôznych metód. Osobne sa pozerám na všetky tieto metódy, ako je na tanec šamanov s tamburínmi. V podstate sa všetci znižujú na skutočnosť, že buď časť čísel nie je zaneprázdnená a nová hostia sú v nich osídlené, alebo na skutočnosť, že časť návštevníkov je vyhodená do chodby, aby mohli oslobodiť miesto pre hostí (veľmi ľudské). Načrt som svoj názor na takéto riešenia vo forme fantastického príbehu o blondínke. Aké sú moje uvažovanie? Presídlenie nekonečného počtu návštevníkov vyžaduje nekonečne veľa času. Potom, čo sme oslobodili prvú izbu pre hosť, jeden z návštevníkov bude vždy sledovať chodbu z vašej izby do susedného storočia. Samozrejme, časový faktor môže byť hlúpy ignorovaný, ale nebude to napísané z kategórie "bláznov". To všetko závisí od toho, čo robíme: Prispôsobte si realitu pre matematické teórie alebo naopak.

Aký je "nekonečný hotel"? Nekonečný hotel je hotel, kde je vždy ľubovoľný počet voľných miest, bez ohľadu na to, koľko izieb je zaneprázdnený. Ak sú všetky izby v nekonečnom koridore "pre návštevníkov" obsadené, je tu ďalšia nekonečná chodba s číslami hostí. Takéto chodby budú nekonečnou súpravou. V tomto prípade je "nekonečný hotel" nekonečným počtom podláh v nekonečných množstvách puzdier na nekonečnom množstve planét v nekonečnom počte vesmírov vytvorených nekonečným množstvom bohov. Matematika nie je schopná odstrániť z problémov banálnych domácností: Boh-allah-Buddha je vždy len jeden, hotel je jeden, chodba je len jedna. Tu sú matematici a snažia sa zametať poradové čísla hotelových izieb, presvedčivé nás v skutočnosti, že môžete "strčiť zlorené".

Logika vášho úvahy, budem vám demonštrovať na príklad nekonečnej sady prírodných čísel. Najprv musíte odpovedať na veľmi jednoduchú otázku: Koľko súborov prírodných čísel existuje - jeden alebo veľa? Neexistuje žiadna správna odpoveď na túto otázku, pretože čísla prišli so sebou, nie sú žiadne čísla v prírode. Áno, príroda vie, ako dokonale počítať, ale pre to používa iné matematické nástroje, ktoré nám nie sú oboznámení. Ako sa príroda verí, poviem vám inú dobu. Vzhľadom k tomu, že čísla prišli s nami, my sami seba, koľko súborov prírodných čísel existuje. Zvážte obe možnosti, ako to predloží tento vedci.

Najprv. "Dajte nám dať" jednovúčelovú sadu prírodných čísel, ktoré pokojné leží na polici. Vezmite si ho z škrmu To je veľa. Všetko, ostatné prírodné čísla na polici nie sú zostávajúce a vezmite ich nikde. Na túto súpravu nemôžeme pridať jednotku, ako už máme. A ak naozaj chcete? Žiaden problém. Môžeme si vziať jednotku mnohých, ktorí už užili a priniesli ju späť do police. Potom môžeme prijať jednotku z úkrytu a pridať ho do toho, čo sme odišli. V dôsledku toho sa opäť dostaneme nekonečný súbor prírodných čísel. Napíšte všetky naše manipulácie takto:

Zaznamenal som akcie v algebraickom systéme označení av systéme označení prijatých v teórii súborov s podrobným zoznamom súborov súborov. Nižší index označuje, že mnohé prírodné čísla máme jediný. Ukazuje sa, že sada prirodzených čísel zostane nezmenená len vtedy, ak sa od neho odpočítate jednotku a pridajte rovnakú jednotku.

Druhá možnosť. Máme veľa rôznych nekonečných sadov prírodných čísel na našej polici. Zdôrazňujem - odlišný, napriek tomu, že sú prakticky nerozlišuje. Vezmite jednu z týchto súborov. Potom, z inej sady prírodných čísel, vezmeme si jednotku a pridajte súbor už prijal. Môžeme dokonca zložiť dve sady prírodných čísel. To je to, čo robíme:

Nižšie indexy "jeden" a "dva" označujú, že tieto prvky patrili rôznym množstvám. Áno, ak pridáte jednotku do nekonečnej súpravy, výsledkom je tiež nekonečný súbor, ale nebude rovnaký ako počiatočný súbor. Ak sa do jednej nekonečnej súpravy pridá jedna nekonečná súprava, výsledkom je nová nekonečná súprava pozostávajúca z prvkov prvých dvoch sadov.

Súbor prírodných čísel sa používa pre účet rovnako ako vládca na meranie. Teraz si predstavte, že ste pridali jeden centimeter na vládcu. Toto bude už iná riadok, nie je rovná pôvodnému.

Môžete prijať alebo neprijať moje uvažovanie je vaša osobná vec. Ale ak ste niekedy stretli s matematickými problémami, premýšľajte o tom, či idete po chodníku falošných odôvodnení, trojkolitých generácií matematikov. Koniec koncov, triedy v matematike, predovšetkým, tvoria stabilný stereotyp myslenia, a to len potom pridávajú mentálne schopnosti pre nás (alebo naopak, zbavili nás nákladnej dopravy).

pOZG.RU.

nedeľa, 4. augusta 2019

Aktualizované Postscript na článok a videl tento nádherný text v Wikipédii:

Čítame: "... Bohatý teoretický základ matematiky Babylonu nemal holistický charakter a bol znížený na súbor rozptýlených techník bez spoločného systému a dôkazov."

Wow! Čo sme šikovní a ako dobre vidíme nedostatky druhých. A mierne sa pozeráme na modernú matematiku v rovnakom kontexte? Mierne parafrázovanie daného textu, osobne zvládol nasledovné:

Bohatý teoretický základ modernej matematiky nie je holistickým charakterom a prichádza do súboru rozptýlených sekcií bez spoločného systému a dôkazov.

Pre potvrdenie vašich slov, nebudem chodiť ďaleko - má jazyk a podmienené označenia iné ako jazyk a symboly mnohých ďalších častí matematiky. Rovnaké mená v rôznych častiach matematiky môžu mať iný význam. Najzreteľnejšie hrudky modernej matematiky, chcem venovať celý cyklus publikácií. Uvidíme sa čoskoro.

sobota 3. augusta 2019

Ako rozdeliť sadu na podskupine? Zadajte novú mernú jednotku, ktorá je prítomná zo strany prvkov zvolenej súpravy. Príkladom.

Nech máme veľa ALEpozostáva zo štyroch ľudí. Táto sada je vytvorená na základe "ľudí", ktorú sme označili prvky tejto stanovenej listom aleNižší index s číslom označuje poradové číslo každej osoby v tejto súprave. Predstavujeme novú jednotku merania "penis" a označujeme jeho list b.. Keďže sexuálne príznaky sú obsiahnuté vo všetkých ľuďoch, vynásobte každý prvok setu ALE o sexuálnom znamení b.. Upozorňujeme, že teraz sa naši ľudia stali mnohými ľuďmi "ľudí so sexuálnymi znakmi". Potom môžeme rozdeliť genitálne značky pre mužov bm. a ženy bw Sexuálne značky. Teraz môžeme použiť matematický filter: vyberieme jeden z týchto sexuálnych značiek, čo je ľahostajní k tomu, čo je muž alebo žena. Ak je prítomný u ľudí, potom ste ho znásobili na jednej, ak nie je takéto znamenie - vynásobíte ho na nule. A potom aplikujte obvyklú školskú matematiku. Vidieť, čo sa stalo.

Po násobení, skratiek a preskupení sme dostali dve podmnožiny: podmnožina mužov Bm. a podmnožina žien Bw. Približne rovnaké matematicians dôvod, keď používajú teóriu súborov v praxi. Ale v detailoch nás nedesia nás, ale vydávajú hotový výsledok - "Veľa ľudí sa skladá z podmnožiny mužov a podmnožín žien." Samozrejme, možno budete mať otázku, ako správne sa matematika aplikujú vo vyššie uvedených transformáciách? Odvažujem sa vás uistiť, v podstate, aby sa transformácie urobili všetko správne, stačí poznať matematické odôvodnenie aritmetiky, boolean algebry a iných častí matematiky. Čo to je? Ktokoľvek iný vám o tom poviem.

Ako u príkladov je možné kombinovať dve sady do jedného predpokladu, predstavujú jednotku merania prítomných na prvkach týchto dvoch sadov.

Ako vidíte, jednotky merania a bežnej matematiky otočia teóriu súborov do relikvie z minulosti. Znamenie skutočnosti, že s teóriou súborov nie je v poriadku, je to, že pre teóriu matematikov, ich vlastný jazyk a ich vlastné označenia prišli. Matematika boli prijaté ako šamanov. Iba Šamani vedia, ako "správne" aplikujú svoje "vedomosti". Tieto "vedomosti" naučia nás.

Na záver vám chcem ukázať, ako matematika manipuluje.

pondelok, 7. januára 2019

V piatom storočí pred naším letopočtom na Bc, staroveký grécky filozof Zenon Elayky formuloval svoje slávne, z ktorých najslávnejšie je Achilles a Turtle Aritia. Takto to znie:

Predpokladajme, že Achilles beží desaťkrát rýchlejšie ako korytnačka, a je za ním vo vzdialenosti tisíc krokov. Pre čas, pre ktorý je Achilles prebiehať cez túto vzdialenosť, sto krokov sa zrúti na tej istej strane. Keď Achilles beží sto krokov, korytnačka sa prejde asi desať krokov, a tak ďalej. Proces bude pokračovať v nekonečno, Achilles nikdy chytí korytnačku.

Toto uvažovanie sa stalo logickým šokom pre všetky nasledujúce generácie. Aristotle, Diogen, Kant, Hegel, Hilbert ... Všetci z nich nejako považovali APRIOLÓGU ZENONU. Šok sa ukázal byť tak silný, že " ... Diskusie Pokračujte a v súčasnosti, aby sa dostali k všeobecnému stanovisku o podstate paradoxov do vedeckej komunity ešte nebolo možné ... Matematická analýza, teória sady, nové fyzické a filozofické prístupy sa zapojili do štúdium problému; Nikto z nich sa nestalo všeobecne uznávaným problémom problému ..."[Wikipedia," Yenon Aprliya "]. Každý chápe, že sú zablokovaní, ale nikto nerozumie, čo podvod je.

Z hľadiska matematiky Zeno v jeho aprorerii jasne preukázal prechod z hodnoty do. Tento prechod znamená aplikáciu namiesto konštantnej. Pokiaľ idem rozumiem, matematické prístroje používania premenných jednotiek merania sa ešte ešte nevyvinulo, alebo nebolo aplikované na svedčenie Zenónu. Použitie našej bežnej logiky nás vedie k pasci. My, pri zotrvaní myslenia, používame meniča s trvalým časovým meraním. Z fyzického hľadiska vyzerá ako spomalenie času na jeho úplnú zastávku v okamihu, keď je Achilles plnené korytnačkou. Ak sa čas zastaví, Achilles už nemôžete predbehnúť korytnačku.

Ak obrátite logickú logiku, všetko sa stane na mieste. Achilly beží konštantnou rýchlosťou. Každý nasledujúci segment jeho cesty je desaťkrát kratší ako predchádzajúci. V súlade s tým, čas strávený na jeho prekonávaní, desaťkrát menej ako predchádzajúci. Ak aplikujete koncepciu "nekonečna" v tejto situácii, bude správne povedať "Achilles nekonečne rýchlo dohnať korytnačku."

Ako sa vyhnúť tejto logickej pasce? Zostaňte v permanentných jednotkách merania času a nepohybujte sa na reverzné hodnoty. V jazyku Zenonu to vyzerá takto:

Pre túto dobu, pre ktoré Achilles beží tisíc krokov, sto krokov praskne korytnačku na tú istú stranu. Na najbližší časový interval, rovný prvému, Achilles budú spúšťať ďalšie tisíc krokov, a korytnačka praskne sto krokov. Teraz je Achilles osemsto krokov pred korytnačkou.

Tento prístup primerane opisuje realitu bez akýchkoľvek logických paradoxov. Ale to nie je kompletné riešenie problému. Na Zenoniáni Agrác Achillov a korytnačky je veľmi podobný výpisu Einstein o neodolateľnosti rýchlosti svetla. Stále musíme tento problém študovať, prehodnotíme a riešiť. A rozhodnutie by sa malo hľadať v nekonečne veľkého počtu, ale v jednotkách merania.

Ďalšie zaujímavé Yenon Aproreria rozpráva o lietajúcich šípoch:

Lietajúca šípka je stále, pretože v každom okamihu, keď spočíva, a keďže spočíva v každom okamihu času, vždy spočíva.

V tomto kaštieľ je logický paradox veľmi jednoduchý - stačí objasniť, že v každom okamihu sa lietajúca šípka odpočíva v rôznych miestach priestoru, čo je v skutočnosti hnutie. Tu potrebujete všimnúť ďalšiu chvíľu. Podľa jednej fotografie auta na ceste nie je možné určiť skutočnosť jeho pohybu, ani na to. Ak chcete určiť skutočnosť pohybu vozidla, potrebujete dve fotografie vyrobené z jedného bodu na rôznych miestach v čase, ale nie je možné určiť vzdialenosť. Na určenie vzdialenosti od auta, dve fotografie z rôznych bodov priestoru v jednom okamihu, ale nie je možné určiť skutočnosť pohybu (prirodzene, ďalšie údaje sú stále potrebné na výpočty, trigonometry, ktoré vám pomôžu). To, čo chcem venovať osobitnú pozornosť, je, že dva body v čase a dva body v priestore sú rôzne veci, ktoré by nemali byť zmätené, pretože poskytujú rôzne príležitosti na výskum.
Ukážem proces v príklade. Zvolíme "červenú pevnú látku na vankúš" - to je naša "celá". Zároveň vidíme, že tieto veci sú s lukom, a tam je bez luku. Potom vyberáme časť "celku" a vytvoríme veľa "s lukom". Takže šamans robia svoje krmivá, kravatu ich teórie súprav na realitu.

Teraz si urobme trochu špinavé. Vezmite si "Ťažký v Pary s lukom" a zjednotte tieto "celé" vo farebnom znamení, swing červené prvky. Máme veľa "červenej". Teraz je otázka na chrbtici: Získané sady "s lukom" a "červeným" sú rovnaké nastavené alebo dve rôzne súbory? Iba Šamani poznajú odpoveď. Presnejšie, oni sami nepoznajú nič, ale povedia, takže to bude.

Tento jednoduchý príklad ukazuje, že teória súborov je úplne zbytočná, pokiaľ ide o realitu. Čo je tajomstvo? Vytvorili sme veľa "červenej pevnej látky v parii s lukom." Tvorba nastala v štyroch rôznych jednotkách merania: farba (červená), silu (pevná látka), drsnosť (v ťahu), dekorácie (s lukom). Iba súbor meracích jednotiek umožňuje primerane opísať skutočné objekty v jazyku matematiky. To je to, čo to vyzerá.

List "A" s rôznymi indexmi označuje rôzne meracie jednotky. V zátvorkách pridelené jednotky merania, na ktorých je "celá" zvýraznená na predbežnom kroku. Za zátvorkami sa vytvorila jednotka merania, ktorá je tvorená množinou. Posledný riadok zobrazuje konečný výsledok - prvok setu. Ako môžete vidieť, ak používate jednotky merania, aby ste vytvorili súbor, potom výsledok nezávisí od poradia našich činností. A to je už matematika, netancuje šamanov s tamburínmi. Šamani môžu byť "intuitívne", aby prišli do rovnakého výsledku tým, že argumentuje "zrejmé", pretože jednotky merania nie sú zahrnuté do ich "vedeckého" Arsenalu.

Použitie jednotiek merania, je veľmi ľahké rozdeliť jeden alebo kombinovať niekoľko sád do jedného alarmu. Pozrime sa na algebru tohto procesu opatrnejšie.

Všeobecne platí, že táto otázka si zaslúži osobitnú pozornosť, ale všetko je tu jednoduché: uhol stupňov a sínus a kosínus sú pozitívne (pozri výkres), potom si znamenie plus.

Teraz skúste na základe vyššie uvedeného nájsť sínusy a kosínusové uhly: a

Môžete chytiť: najmä pre uhol v stupňoch. Pretože ak je jeden roh obdĺžnikového trojuholníka rovný stupňam, potom druhý stupeň. Teraz formulárne známe, že nadobudnú účinnosť:

Potom, potom. Odvtedy. S stupňami sú stále jednoduchšie: takže ak jeden z rohov obdĺžnikového trojuholníka je stupne, potom je druhý rovnaký ako stupne, čo znamená, že taký trojuholník je voľný.

Takže jeho cats sú rovnaké. A preto je jeho sínus a kosínus rovnaký.

Teraz sa ocitnete za novú definíciu (cez X a IX!) Sinus a Cosine Corners v stupňoch a stupňoch. Nie sú tu žiadne trojuholníky. Aj tiež budú ploché!

Museli ste sa dostať:

Tangent a Kotangenes sa môžete ocitnúť podľa vzorcov:

Upozorňujeme, že je nemožné zdieľať to!

Teraz sa všetky získané čísla môžu znížiť na tabuľku:

Tu sú hodnoty sínusu, Cosine, Tangent a Catangens rohy I štvrťrok. Pre pohodlie sú uhly uvedené v stupňoch aj v radiánoch (ale teraz poznáte spojenie medzi nimi!). Venujte pozornosť 2 Docking v tabuľke: konkrétne z kotangens poškriabanie a dotyčnice. Toto nie je dobré!

Najmä:

Poďme teraz zhrnúť koncepciu sínusu a cosine na úplne ľubovoľnom uhle. Domnievam sa tu dva prípady:

1. Roh lží od stupňa
2. Viac stupňov

Všeobecne povedané, skrútil som malú dušu, hovoril o "úplne všetkých" uhloch. Sú tiež negatívne! Ale tento prípad budeme zvážiť v inom článku. Po prvé, zastavme sa v prvom prípade.

Ak sa uhol leží v 1 štvrťroku - potom je všetko jasné, už sme sa zvážili tento prípad a dokonca aj tabuľky kreslili.

Teraz nechajte náš uhol viac stupňov a nie viac ako. To znamená, že sa nachádza buď v 2 alebo v 3 alebo 4 štvrťrokoch.

Ako to robíme? Áno, rovnakým spôsobom!

Poďme zvážiť Namiesto tohto prípadu ...

... Toto je:

To znamená, že uhol ležiaci v druhom štvrťroku. Čo o ňom môžeme povedať?

V bode, čo je bod priesečníka lúča a obvod má stále 2 súradnice (nič nadprirodzené, správne?). Sú to súradnice a.

A prvá súradnica je negatívna a druhá je pozitívna! Znamená to, že uhly druhého štvrťroka Cosine sú negatívne, a sínus je pozitívny!

Prekvapivo, správne? Predtým sme sa nikdy nestali negatívnym kosínom.

A v zásade by to nemohlo byť, keď sme považovali trigonometrické funkcie ako vzťah strán trojuholníka. Mimochodom, premýšľajte o tom, ktoré rohy Kosinus sú rovnaké? A čo sa rovná sínusu?

Podobne môžete zvážiť uhly vo všetkých ostatných štvrťrokoch. Pripomínam vám, že uhol sa počíta proti šípku v smere hodinových ručičiek! (Tak, ako je znázornené na poslednom obrázku!).

Samozrejme, môžete sa spoľahnúť na druhej strane, ale prístup k takýmto rohom bude už niečo iné.

Na základe vyššie uvedených úvah je možné umiestniť príznaky zo sínusov, kosínu, tangenca (ako sínus delené Cosine) a KOTANGENS (ako Cosine rozdelené na sínus) pre všetky štyri štvrťroky.

Ale opäť opakujem, nemá zmysel zapamätať si túto kresbu. Všetko, čo potrebujete vedieť:

Dovoľte mi s tebou praktizovať. Úplne jednoduché úlohy:

Zistite, ktoré znamenie sú nasledujúce hodnoty:

Skontrolujte?

1. titul je uhol, väčší a menší, a preto leží na 3 štvrťrokoch. Nakreslite akýkoľvek uhol na 3 štvrťroky a zistite, čo je počuť. Bude záporný. Potom.
   Stupeň - uhol 2 štvrtiny. Sinus je tam pozitívny a Cosine je negatívny. Plus na zdieľanie mínus - bude to mínus. So.
   Stupeň - uhol, väčšie a menšie. Takže leží na 4 štvrťrokoch. Akýkoľvek uhol štvrtého štvrťroka "X" bude pozitívny, to znamená
2. S Radiánimi pracujeme rovnako: Je to uhol druhého štvrťroka (od tej doby. Druhý štvrťrok je pozitívnym sínusom.
   .
   Toto je roh štvrtého štvrťroka. K dispozícii je kostol.
   - opäť uhol štvrtý štvrťrok. Tam je pozitívny Cosine a sínus je negatívny. Potom bude dotyčnica menšia ako nula:

Možno je pre teba ťažké určiť štvrťrok radiánov. V tomto prípade môžete vždy ísť do stupňov. Odpoveď, samozrejme, bude presne rovnaká.

Teraz by som rád veľmi krátko zastavil v akom okamihu. Poďme znova spomenúť hlavnú trigonometrickú identitu.

Ako som povedal, z toho môžeme vyjadriť sínus cez Cosine alebo opak:

Iba štvrtina, ktorá je naša uhlová alfa, ovplyvní výber znaku. Pre posledné dve vzorce je v skúške veľa úloh, napríklad:

Úloha

Nájsť, či.

V skutočnosti je to štvrtina úlohy! Pozrite sa, ako je vyriešené:

Rozhodnutie

Odvtedy tu nahrádzame hodnotu. Teraz je to malé: riešiť znamenie. Čo na to potrebujeme? Vedieť, akú štvrť je náš uhol. Pod podmienkou úlohy :. Akú štvrť? Štvrtý. Aký je znak Cosine vo štvrtom štvrťroku? Cosine vo štvrtom štvrťroku je pozitívny. Potom ešte musíme vybrať znak "plus" predtým. , potom.

Podrobne sa nepodarí podrobne o takýchto úlohách, môžete nájsť ich podrobnú analýzu v článku "". Chcel som vám povedať, že je dôležité, ktorých znamenie prijíma jednu alebo inú trigonometrickú funkciu v závislosti od štvrťroka.

Rohy viac stupňov

Posledná vec, ktorú by som chcel poznamenať v tomto článku, je, ako byť s rohmi väčšie ako stupne?

Čo je to a čo to môže byť, že nie je potlačiť? Vezmem to, poviem uhol v stupňoch (Radiáni) a choďte z neho proti smeru hodinových ručičiek ...

Na obrázku som nakreslil špirálu, ale rozumiete tomu, že v skutočnosti nemáme špirálu: Máme len kruh.

Kde sa dostaneme, ak začnete z určitého uhla a prejdite celým kruhom (stupňami alebo radiánom)?

Kde prídeme? A prídeme v rovnakom rohu!

Toto, samozrejme, platí pre akýkoľvek iný uhol:

Užívanie ľubovoľného uhla a absolvuje úplne všetok obvod, vrátime sa do toho istého rohu.

Čo nám to dá? Ale čo: ak potom

Kde sa konečne dostanete:

Pre celý celok. Znamená to, že sine a Cosine sú periodické funkcie s obdobím.

Preto nie je žiadny problém pri hľadaní označenia teraz ľubovoľný uhol: stačí zlikvidovať všetky "celé kruhy", ktoré sú vhodné v našom rohu a zistiť, ktorý štvrťrok je zostávajúci roh.

Nájsť znak:

Skontrolujte:

1. V stupňoch FIT TIMES NA TIMEUS (SICHE):
   ľavých stupňov. Toto je uhol 4 štvrtiny. Tam je sínus negatívny, to znamená
2. . Titul. Toto je uhol 3 štvrtiny. Je tu negatívna kosínutá. Potom
3. . . Odkedy - uhol prvého štvrťroka. K dispozícii je Cosine pozitívne. Potom cos.
4. . . Odkedy naše uhol leží v druhom štvrťroku, kde je sine pozitívna.

Podobne môžeme urobiť pre Tangent a Kotangent. V skutočnosti je však s nimi ešte jednoduchšie: sú tiež periodické funkcie, len dnes sú dvakrát menej:

Uvedomili ste si, že takýto trigonometrický kruh a prečo je to potrebné.

Ale stále máme veľa otázok:

1. Čo je negatívne uhly?
2. Ako vypočítať hodnoty trigonometrických funkcií v týchto rohoch
3. Ako podľa známych hodnôt trigonometrických funkcií, 1 štvrťrok, aby ste hľadali hodnoty funkcií v iných štvrťrokoch (skutočne potrebujú zosilniť stôl?!
4. Ako zjednodušiť riešenia trigonometrických rovníc pomocou kruhu?

Priemerná úroveň

V tomto článku budeme naďalej študovať Trigonometrický kruh a diskutovať o nasledujúcich bodoch:

1. Čo sú negatívne uhly?
2. Ako vypočítať hodnoty trigonometrických funkcií v týchto rohoch?
3. Ako podľa známych hodnôt trigonometrických funkcií z 1 štvrťroka hľadať hodnoty funkcií v iných štvrťrokoch?
4. Aké sú dotyčné osi a os kotangens?

Žiadne ďalšie vedomosti, okrem základných zručností práce s jedným kruhom (predchádzajúci článok) Nebudeme potrebovať. No, poďme na prvú otázku: Čo je negatívne uhly?

Negatívne uhly

Záporné uhly v trigonometria Putted na trigonometrický kruh od začiatku, v smere pohybu v smere hodinových ručičiek:

Pamätajme, ako sme odložili rohy na trigonometrickom kruhu: išli sme z smeru pozitívnej osi proti smeru:

Potom v našej postave vybudoval uhol rovnaký. Podobne sme postavili všetky uhly.

Nič nám však neohrozuje, aby sme išli z pozitívneho smeru osi v smere hodinových ručičiek.

Dostaneme aj rôzne uhly, ale budú už negatívne:

V nasledujúcom obrázku sú v absolútnej hodnote zobrazené dva uhol, ale naproti podpisom:

Vo všeobecnosti môže byť pravidlo formulované takto:

• Ideme proti smeru hodinových ručičiek - dostaneme pozitívne uhly
• Ideme v smere hodinových ručičiek - dostaneme negatívne uhly

Schematicky sa pravidlo zobrazuje na tomto obrázku:

Mohli by ste sa ma pýtať úplne rozumnú otázku: No, potrebujeme uhly, aby sme merali hodnoty sínusu, kosínu, tangenca a katastrof.

Takže je tu rozdiel, keď máme pozitívny kútik, a kedy je negatívny? Odpoviem vám: spravidla je.

Vždy však môžete znížiť výpočet trigonometrickej funkcie z negatívneho uhla k výpočtu funkcie v rohupozitívne.

Pozrite sa na nasledujúci obrázok:

Postavil som dva uhol, sú rovnaké v absolútnej hodnote, ale majú opačný znak. Poznamenávame za každý roh svojho sínusu a kosínus na osi.

Čo s tebou vidíme? Ale čo:

• Hriešky v rohoch a napr. Potom
• Cosines v rohoch a zhodujú sa! Potom
• Odvtedy:
• Odvtedy:

Takže sa môžeme vždy zbaviť negatívneho znaku vo vnútri akejkoľvek trigonometrickej funkcie: buď len ničia to, ako cosine, alebo ju uviesť pred funkciou, ako je sínus, tangent a kotangény.

Mimochodom, nezabudnite, aký je názov funkcie, že pre každú prípustnú sa vykonáva :?

Táto funkcia sa nazýva zvláštne.

A ak sa vykoná akákoľvek prípustná:? V tomto prípade sa funkcia nazýva aj.

Takže sme jednoducho ukázali, že:

Tak, ako rozumiete, neexistuje žiadny rozdiel, či hľadáme sínus z pozitívneho uhla alebo negatívneho: je ľahké vyrovnať sa s mínusom. Takže nepotrebujeme tabuľky oddelene pre záporné uhly.

Na druhej strane, súhlasím, bolo by veľmi vhodné poznať iba trigonometrické funkcie rohov prvého štvrťroka, aby ste mohli vypočítať podobné funkcie pre zvyšok štvrtiny. Je možné to urobiť? Určite môžete! Máte aspoň 2 spôsoby: Prvým je vybudovať trojuholník a aplikovať teorem Pythagore (takže sme s vami a zistili, že hodnoty trigonometrických funkcií pre hlavné rohy prvého štvrťroka) a druhým je zapamätať si hodnoty funkcií pre rohy v prvom štvrťroku a niektoré jednoduché pravidlo, byť schopný vypočítať trigonometrické funkcie pre všetky ostatné štvrtiny. Druhý spôsob vám ušetrí z dlhého konca s trojuholníkmi as pythagórami, takže mi to zdá sľubnejšie:

Túto metódu (alebo pravidlo) sa teda nazýva - vzorce olova.

Formuláry obsadenia

Zhruba povedané, tieto vzorce vám pomôžu nezabudnúť túto tabuľku (to je spôsob, akým obsahuje 98 čísel!):

ak si to pamätáte (iba 20 čísel):

To znamená, že nemôžete skórovať hlavu úplne zbytočné 78 čísel! Nechajte napríklad vypočítať. Je jasné, že v malom stole nie je taká vec. Čo urobíme? Ale čo:

Po prvé, budeme potrebovať nasledujúce vedomosti:

1. Sinus a Cosine majú obdobie (stupne), to znamená

   Tangent (Kotangenes) majú obdobie (stupne)

   Akékoľvek celé číslo

2. Sinus a Tangent - nepárne funkcie a Cosine - Dokonca:

Prvé vyhlásenie, ktoré sme už s vami dokázali, a spravodlivosť druhého inštalovaného celkom nedávno.

Priamo pravidlo prináša takéto:

1. Ak vypočítame hodnotu trigonometrickej funkcie z negatívneho uhla - robíme to pozitívne so skupinou vzorca (2). Napríklad:
2. Zlikvidujeme svoje obdobia pre sínus a Cosine: (podľa stupňov) a pre Tangent - (stupne). Napríklad:
3. Ak zostávajúci "roh" je menší ako stupne, potom je úloha vyriešená: Hľadáme to v "malom stole".
4. V opačnom prípade hľadáme, na ktorú štvrť je náš uhol: bude 2, 3 alebo 4 štvrtiny. Pozeráme sa na to, čo znamená, že znamenie je požadovaná funkcia štvrťroka. Pamätám si toto znamenie !!!
5. Predstavujeme uhol v jednej z nasledujúcich formách:

   (ak v druhom štvrťroku)
   (ak v druhom štvrťroku)
   (ak v treťom štvrťroku)
   (ak v treťom štvrťroku)
   
   (ak vo štvrtom štvrťroku)

   takže zostávajúci uhol je viac nulový a menej stupňov. Napríklad:

   V zásade nezáleží na tom, ktorá z dvoch alternatívnych foriem pre každý štvrťrok budete prezentovať uhol. V konečnom dôsledku to neovplyvní.

6. Teraz sa pozrieme na to, čo sme urobili: ak ste si vybrali rekord cez alebo stupňov plus mínus niečo, potom sa znamienko funkcie nezmení: stačí odstrániť alebo napísať so sídlom, kosínom alebo dotyčnom uhle. Ak ste si vybrali rekord cez alebo stupňov, potom Sinus sa zmení na Cosine, Cosine na Sinus, Tangent pre Kotangence, Cotyntné - na Tangent.
7. Pred výsledným výrazom sme znamenia odseku 4.

Ukážme všetky vyššie uvedené príklady:

1. Vypočítať
2. Vypočítať
3. Nai di-the you-ray:

Začnime v poriadku:

1. Konáme podľa nášho algoritmu. Zdôrazňujeme počet kruhov pre:

   Vo všeobecnosti dospejeme k záveru, že roh je umiestnený úplne 5-krát a koľko zostáva? Vľavo. Potom

   No, klesli sme príliš veľa. Teraz sa zaoberáme znamením. Leží na 4 štvrťrokoch. Sinus Štvrtý štvrťrok má znamenie "mínus", nemalo by som zabúdať na odpoveď. Ďalej sme prítomní podľa jedného z dvoch vzorcov odseku 5 pravidiel vedúceho. Vyberiem si:

   Teraz sa pozrieme na to, čo sa stalo: máme prípad s stupňami, potom vyhodíte sínus zmenou kosínu. A dať znamenie "mínus" pred ním!

   stupeň - uhol v prvom štvrťroku. Vieme (sľúbil si, že sa naučíte malý stôl!) Jeho význam:

   Potom dostaneme konečnú odpoveď:

   Odpoveď:

2. všetko rovnaké, ale namiesto stupňov - Radiáni. Nič zlé. Hlavná vec, ktorá si to pamätá

   Ale nemôžete nahradiť radiány pre stupne. Toto je otázka vášho vkusu. Nič nemením. Začnem znova s \u200b\u200bvyradením celých kruhov:

   Zlikvidujeme tieto dve celé kruhy. Zostáva vypočítať. Tento uhol je v treťom štvrťroku. Cosine z tretieho štvrťroka je negatívny. Nezabudnite na označenie "mínus". môže byť reprezentovaný ako. Pamätajte si pravidlo: Máme "celé" číslo (alebo), potom sa funkcia nezmení:

   Potom.
   Odpoveď:.

3. . Musíte urobiť všetko rovnaké, ale už s dvoma funkciami. Budem trochu viac stručný: a stupne - uhly druhého štvrťroka. Cosine z druhého štvrťroka má znamenie "mínus" a sínus je "plus". môže byť reprezentovaný ako: a ako, potom

   Obe udalosti sú "polovice z celého". Potom sa sínusové zmeny Cosine a Cosine je na sínuse. A pred Cosine je znak "mínus":

Odpoveď:.

Teraz sa sťahuje na nasledujúcich príkladoch:

A tu sú riešenia:

1. 
   Najprv sa zbavím mínus, čo je v prednej časti sínusu (ako sínus je nepárna funkcia !!!). Potom zvážte uhly:

   Vráťte celý počet kruhov - to znamená tri kruhy ().
   Zostáva vypočítať :.
   Konajte aj druhý uhol:

   Odstránime celé číslo kruhov - 3 kruhy () potom:

   Teraz si myslíme: Akú štvrť je zostávajúci roh? On "nedosahuje" na všetko. Aká štvrť? Štvrtý. Aký je znak Cosine štvrtý štvrťrok? Pozitívne. Teraz si predstavte. Vzhľadom k tomu, že odpočítame od celého čísla, potom sa Cosine sign nezmení:

   Nahrádzame všetky údaje získané vo vzorci:

   Odpoveď:.

2. 
   Štandardne: Odstránime mínus z Cosine, pomocou toho, že.
   Zostáva počítať cosine titul. Odstráňte celé kruhy :. Potom

   Potom.
   Odpoveď:.

3. Pôsobíme ako v predchádzajúcom príklade.

   Ako si uvedomíte, že obdobie od Tanges - (alebo), na rozdiel od kosínutej alebo sínusovej, z ktorej je 2 krát viac, potom odstrániť celú sumu.

   stupeň - uhol v druhom štvrťroku. Tangenta druhého štvrťroka je negatívny, potom nezabudnite na koniec "mínus"! Môžete písať ako. Tangentné zmeny v KOTNENCE. Nakoniec sa dostanete:

   Potom.
   Odpoveď:.

No, zostáva veľmi málo!

Tomentná os a os konojantov

Posledná vec, ktorú by som tu chcel zastaviť, je na dvoch ďalších osiach. Ako sme už diskutovali, máme dve osi:

1. Os - os Cosine
2. Axis - Sinus os

V skutočnosti, súradnicové osi skončili, že? Ale ako byť s dotyčnosťami a katastrofami?

Nie je pre nich žiadny grafický výklad?

V skutočnosti, ona je, môžete ju vidieť na tomto obrázku:

Najmä na týchto obrázkoch môžete povedať:

1. Tangent a kotangény majú rovnaké štvrté znamenia
2. Sú pozitívne v 1 a 3 štvrťrokoch
3. Sú negatívne v 2 a 4 štvrťrokoch
4. Tangenta nie je definovaná v rohoch
5. KOTANGENT nie je definovaný v rohoch

Prečo stále potrebujete tieto obrázky? Učíme sa na pokročilej úrovni, kde poviem, rovnako ako s pomocou trigonometrického kruhu, môžete zjednodušiť riešenia trigonometrických rovníc!

POKROČILÁ ÚROVEŇ

V tomto článku opím, ako single Circle (trigonometrický kruh) Môže byť užitočné pri riešení trigonometrických rovníc.

Môžem zvýrazniť dva prípady, keď to môže byť užitočné:

1. V reakcii, nefungujeme "krásny" uhol, ale napriek tomu potrebujete urobiť výber koreňov
2. V reakcii je príliš veľa koreňového seriálu

Žiadne špecifické znalosti, ktoré potrebujete, okrem vedomostí o téme:

Téma "trigonometrické rovnice" som sa snažil písať, bez toho, aby sa uchýlili k obvodu. Mnohí by ma nemali chváliť takýto prístup.

Ale som pekný vzorec, len tu. V niektorých prípadoch sa však vzorce ukážu byť malé. Napíšte tento článok, ktorý ma motivoval nasledujúci príklad:

Riešiť rovnicu:

Dobre. Riešenie samotnej rovnice je jednoduché.

Reverzná výmena:

Odtiaľ je naša počiatočná rovnica tantamount na štyri jednoduché rovnice! Potrebujeme písať 4 série koreňov:

V zásade by sa to mohlo zastaviť. Ale nie len čitatelia tohto článku, ktorý sa uplatňuje na niektoré "komplikácie"!

Po prvé, zvážte prvú sériu koreňov. Takže, prvok kruh je urobený, teraz poďme prinášať tieto korene do kruhu (samostatne a pre):

Venujte pozornosť: Aký uhol sa ukázali medzi rohmi a? Toto je uhol. Teraz urobím to isté pre sériu :.

Medzi koreňmi rovnice opäť ukázal uhol. A teraz sú tieto dva obrázky kompatibilné:

Čo vidíme? A potom sú všetky rohy medzi našimi koreňmi rovnaké. Čo to znamená?

Ak začneme z rohu a vezmime rohy rovné (pre všetky celé), potom sa vždy dostaneme do jedného zo štyroch bodov na hornom kruhu! Tak, 2 séria koreňov:

Môžete kombinovať do jedného:

Bohužiaľ, pre sériu koreňov:

Argumenty nebudú spravodlivé. Urobte si kresbu a pochopte, prečo je to tak. Môžu sa však kombinovať takto: \\ t

Potom má pôvodná rovnica koreň:

Čo je to dosť krátka a stručná odpoveď. Čo znamená stručnosť a stručný? Na úrovni vášho matematického diplomu.

Bol to prvý príklad, v ktorom sa používanie trigonometrického kruhu poskytlo prospešné ovocie.

Druhým príkladom sú rovnice, ktoré majú "škaredé korene".

Napríklad:

1. Rozhodovať o rovnici.
2. Nájdite si korene patriace do medzery.

Prvá časť nie je nič komplikovaná.

Vzhľadom k tomu, že ste už oboznámení s témou, potom sa mi dovolím stručne v mojich výpočtoch.

potom alebo

Tak sme našli korene našej rovnice. Nič ťažšie.

Je ťažšie riešiť druhú časť úlohy, nevedela, čo sa presne rovná arquosine z mínusovej štvrtiny (to nie je hodnota tabuľky).

Môžeme však zobrazovať nájdenú sériu koreňov na jednom kruhu:

Čo vidíme? Po prvé, kresba nám dal pochopiť, v ktorých limitoch je Arkkosinus:

Táto vizuálna interpretácia nám pomôže nájsť korene patriace do segmentu :.

Po prvé, číslo je v ňom, potom (pozri obr.).

patrí aj do segmentu.

Tak, jeden kruh pomáha určiť, ktoré limity "škaredé" uhly padnú.

Museli ste zostať aspoň inú otázku: a ako by sme mali byť s dotyčnosťami a katastrofami?

V skutočnosti existujú aj ich osi, ale majú mierne špecifický vzhľad:

V opačnom prípade, spôsob, ako ich zaobchádzať, bude rovnaký ako so sínusom a kosínom.

Príklad

Je uvedená rovnica.

• Rozhodnúť o tejto rovnici.
• Určite korene tejto rovnice patriacej do medzery.

Rozhodnutie:

Nakreslíme jeden kruh a oslavujeme naše riešenia na ňom:

Z obrázku môžete pochopiť, že:

Alebo ešte viac: Odvtedy

Potom nájdeme korene patriace do segmentu.

(AS)

Dávam vám sa, aby som sa uistil, že iné korene patriace do medzery, naša rovnica nemá.

Súhrn a základné vzorce

Hlavný trigonometry nástroj je trigonometrický kruh,to vám umožní merať uhly, nájsť ich sídy, kosínus a tak ďalej.

Existujú dva spôsoby, ako merať rohy.

1. Cez stupne
2. Prostredníctvom radiánov

Naopak: Od Radiánov do stupňov:

Ak chcete nájsť Sine a Cosine Angle, potrebujete:

1. Vykonajte jeden kruh so stredom, ktorý sa zhoduje s vrcholom uhla.
2. Nájdite bod priesečníka tohto rohu s kruhom.
3. Jej "iksova" súradnice je kosínom umelého uhla.
4. Jej "recyklácia" súradnice je sínus umeleckého uhla.

Formuláry obsadenia

Toto sú vzorce, ktoré umožňujú zjednodušiť komplexné výrazy trigonometrickej funkcie.

Tieto vzorce vám pomôžu zapamätať si túto tabuľku:

Zhrnutie

Naučili ste sa urobiť univerzálny spor v trigonometrie.

Naučili ste sa vyriešiť úlohy oveľa jednoduchšie a rýchlejšie a čo je najdôležitejšie, bez chýb.

Uvedomili ste si, že nemusíte zaostriť žiadne stoly a vo všeobecnosti musíte zaostriť!

Teraz ťa chcem počuť!

Podarilo sa vám zaoberať touto zložitou témou?

Čo si mal rád? Čo sa mi nepáčilo?

Možno ste našli chybu?

Napíšte v komentároch!

A veľa šťastia na skúške!

Pri štúdiu trigonometrie v škole, každý študent čelí veľmi zaujímavému konceptu "numerického kruhu". Od zručnosti učiteľa školy vysvetlite, čo je, a pre ktoré potrebuje, závisí, ako dobre študent pôjde potom trigonoméry. Bohužiaľ, nie každý učiteľ môže byť k dispozícii na vysvetlenie tohto materiálu. V dôsledku toho mnohí študenti sú zmätení aj s tým, ako oslavovať dots na numerickom kruhu. Ak dokončíte tento článok na koniec, dozviete sa, ako to urobiť bez problémov.

Pokračujte. Nakreslite kruh, ktorých polomer je 1. Najviac "pravý" bod tohto kruhu je označený listom O.:

Blahoželáme, že ste len nakreslili jeden kruh. Keďže polomer tohto kruhu je 1, potom je jej dĺžka rovnaká.

Každé platné číslo môže byť umiestnené v súlade s dĺžkou trajektórie pozdĺž numerického kruhu z bodu O.. Pre pozitívny smer je akceptovaný smer pohybu proti smeru hodinových ručičiek. Pre negatívne - v smere hodinových ručičiek:

Umiestnenie bodov na číselnom kruhu

Ako sme už zaznamenali, dĺžka numerického kruhu (jeden kruh) sa rovná. Kde bude číslo umiestnené na tomto kruhu? Samozrejme, z bodu O. Proti smeru hodinových ručičiek je potrebné prejsť polovicu dĺžky kruhu a my budeme v požadovanom bode. Označujú jej list B.:

Upozorňujeme, že v tom istom bode by bolo možné dostať, odovzdať polkruh v negatívnom smere. Potom sme odložili na jednom čísle kruhu. To znamená, že čísla a rovnaký bod zodpovedajú.

A rovnaký bod tiež zodpovedá číslam ,, a všeobecne nekonečný súbor čísel, ktoré môžu byť napísané vo forme, kde, to znamená, že patrí k mnohým certive. To všetko je preto, že z bodu B. Môžete urobiť "round-the-world" cesta na akúkoľvek stranu (pridať alebo odpočítať dĺžku obvodov) a dostať sa do rovnakého bodu. Dostávame dôležitý záver, že musíte pochopiť a pamätať.

Každé číslo zodpovedá jedinému bodu na číselnom kruhu. Ale každý bod na numerickom kruhu zodpovedá nekonečne mnohým číslam.

Teraz budeme zdieľať horný polkruh numerického obvodu na oblúku rovný dĺžke bodu C.. Je ľahké vidieť, že dĺžka oblúka Oc. rovná. Odložíme z bodu C. Oblúk rovnakej dĺžky smerom k smeru hodinových ručičiek. V dôsledku toho sa dostaneme do bodu B.. Výsledok je pomerne očakávaný, pretože. Tento oblúk odložím v rovnakom smere, ale teraz z bodu B.. V dôsledku toho sa dostaneme do bodu D.ktoré už zodpovedajú číslu:

Opäť poznámka, že tento bod zodpovedá nielen čísla, ale aj napríklad číslo, pretože tento bod môžete odložiť, odložiť z bodu O. Štvrtina kruhu v smere smeru hodinových ručičiek (v negatívnom smere).

A všeobecne sme si všimli, že tento bod zodpovedá nekonečne mnohým číslam, ktoré môžu byť napísané ako . Ale môžu byť tiež napísané vo forme. Alebo, ak chcete, vo forme. Všetky tieto nahrávky sú absolútne ekvivalentné a môžu sa získať jeden z druhých.

Teraz existuje oblúk Oc. v polovici bodu M.. Zvážte teraz, čo je dĺžka oblúka Om.? Správne dvojnásobok oblúka Oc.. T.j. Aké čísla zodpovedajú bodu M. Na číselnom kruhu? Som si istý, že teraz chápete, že tieto čísla môžu byť napísané vo forme.

Ale môžete a inak. Vezmime si ho do prezentovaného vzorca. Potom to dostaneme . To znamená, že tieto čísla môžu byť napísané ako . Rovnaký výsledok by sa mohol získať pomocou numerického kruhu. Ako som povedal, obe záznamy sú ekvivalentné a môžu sa získať jeden z druhých.

Teraz môžete ľahko uviesť príklad čísel, ktoré zodpovedajú bodom. N., P. \\ t a K. na číselnom kruhu. Napríklad čísla a:

Často je to minimálne kladné čísla a prijať na označenie zodpovedajúcich bodov na číselnom kruhu. Hoci to nie je vôbec potrebné, a bod N.Ako už viete, nekonečné mnohé ďalšie čísla zodpovedá. Vrátane napríklad čísla.

Ak rozdelíte oblúk Oc. Na troch rovnakých oblúkových bodoch S. a L.Takže bod S. bude ležať medzi bodkami O. a L.Potom dĺžka oblúka Operačný systém bude rovná a dĺžka oblúka Tón Bude to rovný. Pomocou poznatkov, ktoré ste dostali v predchádzajúcej časti lekcie, ste ľahko chytré, ako iné body sa ukázali na číselnom kruhu:

Čísla nie sú viacnásobné π na číselnom kruhu

Pozrime sa teraz na otázku, kde na numerickej priamej poznámke bod zodpovedá číslu 1? Ak to chcete urobiť, potrebujete z "pravého" miesta jedného kruhu O. Ak chcete odložiť oblúk, ktorých dĺžka by sa rovná 1. Zadajte miesto požadovaného bodu, ktorý môžeme len približne. Dostať nasledovné.