Aritmetický koreň druhého stupňa

Definícia 1

Druhý koreň (resp odmocnina) z čísla $a$ pomenujte číslo, ktoré sa po druhej mocnine rovná $a$.

Príklad 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, takže $7$ je 2. koreň z $49$;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, takže $0.9$ je 2. koreň z $0.81$;

$1^2=1 \cdot 1=1$, takže $1$ je druhý koreň z $1$.

Poznámka 2

Jednoducho povedané, pre akékoľvek číslo $a

$a=b^2$ je nepravda pre záporné $a$, pretože $a=b^2$ nemôže byť záporné pre žiadnu hodnotu $b$.

Dá sa usúdiť, že pre reálne čísla nemôže existovať 2. odmocnina záporného čísla.

Poznámka 3

Pretože $0^2=0 \cdot 0=0$, potom z definície vyplýva, že nula je 2. odmocninou nuly.

Definícia 2

Aritmetický koreň 2. stupňa z čísla $a$($a \ge 0$) nie je záporné číslo, ktorá sa pri druhej mocnine bude rovnať $a$.

Korene 2. stupňa sa nazývajú aj odmocniny.

Označte aritmetický koreň 2. stupňa čísla $a$ ako $\sqrt(a)$ alebo sa môžete stretnúť s označením $\sqrt(a)$. Ale najčastejšie pre druhú odmocninu čísla $2$ - koreňový exponent- nešpecifikované. Znak „$\sqrt( )$“ je znakom aritmetického koreňa 2. stupňa, ktorý sa tiež nazýva „ radikálne znamenie". Pojmy „koreň“ a „radikál“ sú názvy toho istého objektu.

Ak je pod znamienkom aritmetického koreňa číslo, potom sa volá koreňové číslo a ak výraz, potom - radikálny prejav.

Záznam $\sqrt(8)$ sa číta ako "aritmetický koreň 2. stupňa ôsmich" a slovo "aritmetický" sa často neuvádza.

Definícia 3

Podľa definície aritmetický koreň 2. stupňa dá sa napísať:

Pre akékoľvek $a \ge 0$:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

Ukázali sme rozdiel medzi koreňom druhého stupňa a aritmetickým koreňom druhého stupňa. Ďalej budeme uvažovať len o koreňoch nezáporných čísel a výrazov, t.j. iba aritmetika.

Aritmetický koreň tretieho stupňa

Definícia 4

3. aritmetický koreň (alebo odmocnina) z $a$($a \ge 0$) je nezáporné číslo, ktoré sa pri delení na kocky rovná $a$.

Často sa vynecháva slovo aritmetika a hovorí sa „odmocnina 3. stupňa z čísla $a$“.

Označujú aritmetický koreň 3. stupňa $a$ ako $\sqrt(a)$, znak "$\sqrt( )$" je znakom aritmetického koreňa 3. stupňa a číslo $3$ v tento zápis sa nazýva koreňový indikátor. Zavolá sa číslo alebo výraz, ktorý je pod koreňovým znakom zakorenené.

Príklad 2

$\sqrt(3,5)$ je 3. odmocnina z $3.5$ alebo odmocnina z $3.5$;

$\sqrt(x+5)$ je 3. odmocnina z $x+5$ alebo odmocnina z $x+5$.

Aritmetický koreň n-tého stupňa

Definícia 5

aritmetický koreň n-tý stupeň z čísla $a \ge 0$ sa volá nezáporné číslo, ktoré sa po umocnení $n$-tej rovná $a$.

Zápis pre aritmetický koreň stupňa $n$ z $a \ge 0$:

kde $a$ je radikálne číslo alebo výraz,

V tomto článku vám predstavíme pojem koreňa čísla. Budeme postupovať postupne: začneme odmocninou, od nej prejdeme k opisu odmocniny, potom pojem odmocniny zovšeobecníme definovaním odmocniny n-tého stupňa. Zároveň uvedieme definície, zápis, uvedieme príklady koreňov a uvedieme potrebné vysvetlenia a komentáre.

Druhá odmocnina, aritmetická druhá odmocnina

Aby sme pochopili definíciu odmocniny čísla, a najmä druhej odmocniny, musíme mať . Na tomto mieste sa často stretneme s druhou mocninou čísla – druhou mocninou čísla.

Začnime s definície druhej odmocniny.

Definícia

Druhá odmocnina z a je číslo, ktorého druhá mocnina je a.

S cieľom priniesť príklady odmocniny , vezmite niekoľko čísel, napríklad 5 , −0,3 , 0,3, 0 a odmocnite ich, dostaneme čísla 25 , 0,09 , 0,09 a 0 (5 2 \u003d 5 5 \u003d 25 , (-0,3) 2 = (-0,3) (-0,3) = 0,09(0,3)2=0,3 0,3=0,09 a 02=00=0). Potom podľa vyššie uvedenej definície 5 je druhá odmocnina z 25, -0,3 a 0,3 sú druhé odmocniny z 0,09 a 0 je druhá odmocnina z nuly.

Treba poznamenať, že pre žiadne číslo neexistuje a, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Totiž, pre žiadne záporné číslo a neexistuje reálne číslo b, ktorého druhá mocnina sa rovná a. Vskutku, rovnosť a=b 2 nie je možná pre žiadne záporné a , pretože b 2 je nezáporné číslo pre ľubovoľné b . Touto cestou, na množine reálnych čísel neexistuje druhá odmocnina záporného čísla. Inými slovami, na množine reálnych čísel nie je druhá odmocnina záporného čísla definovaná a nemá žiadny význam.

To vedie k logickej otázke: „Existuje druhá odmocnina z a pre akékoľvek nezáporné a“? odpoveď je áno. Zdôvodnenie tejto skutočnosti možno považovať za konštruktívnu metódu použitú na zistenie hodnoty druhej odmocniny.

Potom vyvstáva nasledujúca logická otázka: „Aký je počet všetkých druhých odmocnín daného nezáporného čísla a – jedna, dva, tri alebo aj viac“? Tu je odpoveď: ak a je nula, potom jediná druhá odmocnina nuly je nula; ak a je nejaké kladné číslo, potom počet druhých odmocnín z čísla a je rovný dvom a odmocniny sú . Poďme to podložiť.

Začnime prípadom a=0 . Najprv ukážme, že nula je skutočne druhou odmocninou nuly. Vyplýva to zo zjavnej rovnosti 0 2 =0·0=0 a definície druhej odmocniny.

Teraz dokážme, že 0 je jediná odmocnina z nuly. Použime opačnú metódu. Predpokladajme, že existuje nejaké nenulové číslo b, ktoré je druhou odmocninou nuly. Potom musí byť splnená podmienka b 2 =0, čo je nemožné, keďže pre každé nenulové b je hodnota výrazu b 2 kladná. Dostali sme sa do rozporu. To dokazuje, že 0 je jediná druhá odmocnina nuly.

Prejdime k prípadom, kde a je kladné číslo. Vyššie sme povedali, že vždy existuje druhá odmocnina akéhokoľvek nezáporného čísla, nech b je druhá odmocnina z a. Povedzme, že existuje číslo c , ktoré je zároveň druhou odmocninou z a . Potom podľa definície druhej odmocniny platia rovnosti b 2 =a a c 2 =a, z čoho vyplýva, že b 2 −c 2 =a−a=0, ale keďže b 2 −c 2 =( b-c) (b+c), potom (b-c) (b+c)=0. Výsledná rovnosť v platnosti vlastnosti akcií s reálnymi číslami možné len vtedy, keď b−c=0 alebo b+c=0 . Čísla b a c sú teda rovnaké alebo opačné.

Ak predpokladáme, že existuje číslo d, ktoré je ďalšou odmocninou čísla a, potom podobným uvažovaním ako už bolo uvedené sa dokáže, že d sa rovná číslu b alebo číslu c. Takže počet druhých odmocnín kladného čísla je dva a odmocniny sú opačné čísla.

Pre uľahčenie práce s odmocninami je záporná odmocnina „oddelená“ od kladnej. Na tento účel zavádza definícia aritmetickej druhej odmocniny.

Definícia

Aritmetická druhá odmocnina nezáporného čísla a je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná .

Pre aritmetickú druhú odmocninu čísla a sa akceptuje zápis. Znamienko sa nazýva aritmetická odmocnina. Nazýva sa aj znakom radikála. Preto môžete čiastočne počuť aj „koreň“ aj „radikál“, čo znamená ten istý objekt.

Volá sa číslo pod aritmetickou odmocninou koreňové číslo a výraz pod koreňovým znakom - radikálny prejav, pričom výraz „radikálne číslo“ sa často nahrádza výrazom „radikálny výraz“. Napríklad v zápise je číslo 151 radikálnym číslom a v zápise je výraz a radikálnym výrazom.

Pri čítaní sa slovo „aritmetika“ často vynecháva, napríklad záznam sa číta ako „druhá odmocnina zo siedmich bodových dvadsaťdeväť stotín“. Slovo „aritmetika“ sa používa iba vtedy, keď to chcú zdôrazniť rozprávame sa o kladnej druhej odmocnine čísla.

Vo svetle zavedeného zápisu z definície aritmetickej odmocniny vyplýva, že pre ľubovoľné nezáporné číslo a .

Druhé odmocniny kladného čísla a sa zapisujú pomocou aritmetickej odmocniny ako a . Napríklad odmocniny z 13 sú a . Aritmetická druhá odmocnina nuly je nula, teda . Pre záporné čísla a nebudeme položkám pripisovať význam, kým nebudeme študovať komplexné čísla. Napríklad výrazy a sú bezvýznamné.

Na základe definície druhej odmocniny sa dokazujú vlastnosti odmocnín, ktoré sa často využívajú v praxi.

Na záver tohto pododdielu si všimneme, že druhé odmocniny čísla sú riešenia tvaru x 2 =a vzhľadom na premennú x .

kocka koreň z

Definícia odmocniny kockyčísla a sa uvádza podobným spôsobom ako definícia druhej odmocniny. Len to je založené na koncepte kocky čísla, nie štvorca.

Definícia

Kockový koreň a volá sa číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Poďme priniesť príklady kubických koreňov. Ak to chcete urobiť, vezmite niekoľko čísel, napríklad 7 , 0 , −2/3 , a rozdeľte ich na kocku: 7 3 =7 7 7=343 , 0 3 =0 0 0=0 , . Potom na základe definície odmocniny môžeme povedať, že číslo 7 je odmocnina z 343, 0 je odmocnina z nuly a −2/3 je odmocnina z −8/27.

Dá sa ukázať, že odmocnina čísla a na rozdiel od druhej odmocniny vždy existuje, a to nielen pre nezáporné a, ale aj pre akékoľvek reálne číslo a. Ak to chcete urobiť, môžete použiť rovnakú metódu, ktorú sme spomenuli pri štúdiu druhej odmocniny.

Okrem toho existuje iba jedna odmocnina z dané číslo a. Dokážme posledné tvrdenie. Ak to chcete urobiť, zvážte tri prípady oddelene: a je kladné číslo, a=0 a a je záporné číslo.

Je ľahké ukázať, že pre kladné a odmocnina z a nemôže byť ani záporná, ani nulová. Vskutku, nech b je odmocnina z a , potom podľa definície môžeme napísať rovnosť b 3 =a . Je jasné, že táto rovnosť nemôže platiť pre záporné b a pre b=0, pretože v týchto prípadoch bude b 3 =b·b·b záporné číslo alebo nula. Odmocnina z kladného čísla a je teda kladné číslo.

Teraz predpokladajme, že okrem čísla b existuje ešte jedna odmocnina z čísla a, označme ho c. Potom c 3 = a. Preto b 3 −c 3 =a−a=0 , ale b 3 −c 3 =(b−c) (b 2 +b c+c 2)(toto je skrátený vzorec násobenia rozdiel kociek), odkiaľ (b−c) (b2+bc+c2)=0. Výsledná rovnosť je možná len vtedy, keď b−c=0 alebo b 2 +b c+c 2 =0 . Z prvej rovnosti máme b=c a druhá rovnosť nemá riešenia, keďže jej ľavá strana je kladné číslo pre akékoľvek kladné čísla b a c ako súčet troch kladných členov b 2 , b c a c 2 . To dokazuje jedinečnosť tretej odmocniny kladného čísla a.

Pre a=0 je jediná odmocnina z a nula. Ak totiž predpokladáme, že existuje číslo b , ktoré je nenulovou odmocninou z nuly, potom musí platiť rovnosť b 3 =0, čo je možné len vtedy, keď b=0 .

Pre záporné a možno argumentovať podobne ako v prípade kladného a. Najprv ukážeme, že odmocnina záporného čísla sa nemôže rovnať ani kladnému číslu, ani nule. Po druhé, predpokladáme, že existuje druhá odmocnina záporného čísla a ukážeme, že sa nevyhnutne zhoduje s prvou.

Takže vždy existuje odmocnina akéhokoľvek daného reálneho čísla a a iba jedna.

Dajme si definícia aritmetickej odmocniny.

Definícia

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a volá sa nezáporné číslo, ktorého kocka sa rovná a.

Aritmetická odmocnina nezáporného čísla a sa označuje ako , znamienko sa nazýva znamienko aritmetickej odmocniny, číslo 3 v tomto zápise sa nazýva koreňový indikátor. Číslo pod koreňovým znakom je koreňové číslo, výraz pod koreňovým znakom je radikálny prejav.

Aj keď je aritmetická odmocnina definovaná len pre nezáporné čísla a, je vhodné použiť aj položky, v ktorých sú záporné čísla pod znamienkom aritmetickej kocky. Budeme ich chápať takto: , kde a je kladné číslo. Napríklad, .

O vlastnostiach kubických koreňov si povieme vo všeobecnom článku vlastnosti koreňov.

Výpočet hodnoty odmocniny kocky sa nazýva extrakcia odmocniny kocky, táto akcia je popísaná v článku extrahovanie koreňov: metódy, príklady, riešenia.

Na záver tohto pododdielu povieme, že odmocnina z a je riešením v tvare x 3 =a.

N-tý koreň, aritmetický koreň n

Zovšeobecňujeme pojem odmocnina z čísla – zavádzame určenie n-tého koreňa pre n.

Definícia

n-tý koreň a je číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Z tejto definície je zrejmé, že koreňom prvého stupňa z čísla a je samotné číslo a, keďže pri štúdiu stupňa s prirodzeným ukazovateľom sme vzali a 1 = a.

Vyššie sme uvažovali o špeciálnych prípadoch odmocniny n-tého stupňa pre n=2 a n=3 - odmocninu a odmocninu. To znamená, že druhá odmocnina je odmocninou druhého stupňa a odmocnina je odmocninou tretieho stupňa. Na štúdium koreňov n-tého stupňa pre n=4, 5, 6, ... je vhodné ich rozdeliť do dvoch skupín: prvá skupina - korene párnych stupňov (t. j. pre n=4, 6 , 8, ...), druhá skupina - odmocniny nepárne (to znamená pre n=5, 7, 9, ... ). Je to spôsobené tým, že korene párnych stupňov sú podobné druhej odmocnine a korene nepárnych stupňov sú podobné kubickej odmocnine. Poďme sa im venovať postupne.

Začneme koreňmi, ktorých právomoci sú párne čísla 4, 6, 8, ... Ako sme už povedali, sú analogické s druhou odmocninou a. To znamená, že koreň akéhokoľvek párneho stupňa z čísla a existuje len pre nezáporné a. Navyše, ak a=0, potom koreň a je jedinečný a rovný nule, a ak a>0, potom z čísla a sú dva korene párneho stupňa a sú to opačné čísla.

Zdôvodnime posledné tvrdenie. Nech b je koreň párneho stupňa (označíme ho ako 2 m, kde m je nejaké prirodzené číslo) z čísla a. Predpokladajme, že existuje číslo c - ďalšie 2 m odmocniny z a. Potom b 2 m −c 2 m =a−a=0 . Ale poznáme tvar b 2 m − c 2 m = (b − c) (b + c) (b 2 m-2 +b 2 m-4 c 2 +b 2 m-6 c 4 +…+c 2 m-2), potom (b-c) (b+c) (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. Z tejto rovnosti vyplýva, že b−c=0 , alebo b+c=0 , alebo b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. Prvé dve rovnosti znamenajú, že čísla b a c sú rovnaké alebo b a c sú opačné. A posledná rovnosť platí len pre b=c=0 , keďže jej ľavá strana obsahuje výraz, ktorý je nezáporný pre ľubovoľné b a c ako súčet nezáporných čísel.

Pokiaľ ide o korene n-tého stupňa pre nepárne n, sú podobné odmocnine. To znamená, že koreň akéhokoľvek nepárneho stupňa z čísla a existuje pre akékoľvek reálne číslo a a pre dané číslo a je jedinečný.

Jedinečnosť odmocniny nepárneho stupňa 2·m+1 z čísla a sa dokazuje analogicky s dôkazom jednoznačnosti odmocniny z a . Len tu namiesto rovnosti a 3 −b 3 = (a−b) (a 2 +a b+c 2) rovnosť tvaru b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m). Výraz v poslednej zátvorke možno prepísať ako b 2 m +c 2 m +b c (b 2 m-2 +c 2 m-2 + b c (b 2 m−4 +c 2 m−4 +b c (…+(b 2 +c 2 +b c)))). Napríklad pre m=2 máme b 5 −c 5 =(b−c) (b 4 +b 3 c+b 2 c 2 +b c 3 +c 4)= (b-c) (b 4 + c 4 + b c (b 2 + c 2 + b c)). Keď sú a aj b kladné alebo záporné, ich súčin je kladné číslo, potom výraz b 2 +c 2 +b·c , ktorý je v zátvorkách najvyššieho stupňa vnorenia, je kladný ako súčet kladných čísel. čísla. Teraz postupným prechodom k výrazom v zátvorkách predchádzajúcich stupňov vnorenia sa presvedčíme, že sú tiež kladné ako súčty kladných čísel. Výsledkom je, že rovnosť b 2 m+1 −c 2 m+1 = (b−c) (b 2 m +b 2 m−1 c+b 2 m−2 c 2 +… +c 2 m)=0 možné len vtedy, keď b−c=0 , teda keď číslo b sa rovná číslu c .

Je čas zaoberať sa zápisom koreňov n-tého stupňa. Na to je to dané určenie aritmetického koreňa n-tého stupňa.

Definícia

Aritmetický koreň n-tého stupňa nezáporného čísla a volá sa nezáporné číslo, ktorého n-tá mocnina sa rovná a.

Prvá úroveň

Koreň a jeho vlastnosti. Podrobná teória s príkladmi (2019)

Pokúsme sa zistiť, aký druh konceptu je „koreň“ a „s čím sa jedáva“. Ak to chcete urobiť, zvážte príklady, s ktorými ste sa už stretli v lekciách (dobre, alebo s tým jednoducho musíte čeliť).

Napríklad máme rovnicu. Aké je riešenie tejto rovnice? Aké čísla je možné odmocniť a dostať súčasne? Keď si pamätáte tabuľku násobenia, môžete ľahko dať odpoveď: a (pretože keď vynásobíte dve záporné čísla, dostanete kladné číslo)! Pre zjednodušenie matematici zaviedli špeciálny pojem odmocniny a priradili jej špeciálny symbol.

Definujme aritmetickú druhú odmocninu.

Prečo musí byť číslo nezáporné? Napríklad, čo sa rovná. Dobre, skúsme na to prísť. Možno tri? Skontrolujme: a nie. Možno, ? Znova skontrolujte: No nie je to vybrané? Dá sa to očakávať – pretože neexistujú žiadne čísla, ktoré po druhej mocnine dávajú záporné číslo!
Toto si treba zapamätať: číslo alebo výraz pod koreňovým znakom musí byť nezáporný!

Tí najpozornejší si však už zrejme všimli, že definícia hovorí, že riešenie odmocniny z „čísla sa nazýva napr. nezápornéčíslo, ktorého štvorec je ". Niektorí z vás si povedia, že na úplnom začiatku sme v príklade analyzovali vybrané čísla, ktoré sa dajú odmocniť a zároveň získať, odpoveď bola a, a tu ide o nejaké „nezáporné číslo“! Takáto poznámka je celkom na mieste. Tu je potrebné jednoducho rozlišovať medzi pojmami kvadratických rovníc a aritmetickou druhou odmocninou čísla. Napríklad to nie je ekvivalent výrazu.

Z toho vyplýva, že, teda, resp. (Prečítajte si tému "")

A z toho vyplýva.

Samozrejme, je to veľmi mätúce, ale treba si uvedomiť, že znamienka sú výsledkom riešenia rovnice, keďže pri riešení rovnice musíme zapísať všetky x, ktoré po dosadení do pôvodnej rovnice dajú správne výsledok. V našej kvadratickej rovnici zapadajú obe a.

Ak však stačí vziať druhú odmocninu z niečoho, potom vždy dostaneme jeden nezáporný výsledok.

Teraz skúste vyriešiť túto rovnicu. Všetko nie je také jednoduché a hladké, však? Skúste si pretriediť čísla, možno niečo vyhorí? Začnime úplne od začiatku - od nuly: - nezmestí, ideme ďalej - menej ako tri, tiež oprášte, ale čo ak. Skontrolujeme: - tiež nesedí, pretože je to viac ako tri. Pri záporných číslach sa ukáže rovnaký príbeh. A čo teraz robiť? Nedalo nám hľadanie nič? Ani nie, teraz už s istotou vieme, že odpoveďou bude nejaké číslo medzi a, ako aj medzi a. Tiež je zrejmé, že riešenia nebudú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Takže, čo bude ďalej? Zostrojme graf funkcie a označme na ňom riešenia.

Skúsme oklamať systém a získať odpoveď pomocou kalkulačky! Poďme sa zbaviť podnikania! Oh-oh-och, ukázalo sa, že. Toto číslo nikdy nekončí. Ako si to môžeš zapamätať, veď na skúške nebude kalkulačka!? Všetko je veľmi jednoduché, nemusíte si to pamätať, musíte si zapamätať (alebo vedieť rýchlo odhadnúť) približnú hodnotu. a samotné odpovede. Takéto čísla sa nazývajú iracionálne a pre zjednodušenie zápisu takýchto čísel bol zavedený pojem odmocniny.

Pozrime sa na ďalší príklad na posilnenie. Rozoberme si nasledujúci problém: potrebujete prejsť diagonálne štvorcové pole so stranou km, koľko km musíte prejsť?

Najzrejmejšou vecou je zvážiť trojuholník oddelene a použiť Pytagorovu vetu:. Touto cestou, . Aká je tu teda požadovaná vzdialenosť? Je zrejmé, že vzdialenosť nemôže byť záporná, to sme pochopili. Odmocnina dvoch je približne rovnaká, ale ako sme už uviedli, je to už úplná odpoveď.

Aby riešenie príkladov s koreňmi nespôsobovalo problémy, musíte ich vidieť a rozpoznať. K tomu potrebujete poznať aspoň druhé mocniny čísel od do, ako aj vedieť ich rozpoznať. Napríklad potrebujete vedieť, čo sa umocňuje, a tiež naopak, čo sa umocňuje.

Zistili ste, čo je druhá odmocnina? Potom vyriešte niekoľko príkladov.

Príklady.

No a ako to fungovalo? Teraz sa pozrime na tieto príklady:

odpovede:

koreň kocky

No, trochu sme prišli na koncept druhej odmocniny, teraz sa pokúsime zistiť, čo je to odmocnina a aký je ich rozdiel.

Odmocnina nejakého čísla je číslo, ktorého kocka sa rovná. Všimli ste si, ako je to jednoduchšie? Neexistujú žiadne obmedzenia týkajúce sa možných hodnôt hodnoty pod znamienkom odmocniny kocky a čísla, ktoré sa má extrahovať. To znamená, že odmocninu možno prevziať z ľubovoľného čísla:.

Chytil som, čo je to koreň kocky a ako ho extrahovať? Potom pokračujte s príkladmi.

Príklady.

odpovede:

Koreň - oh stupeň

No, prišli sme na koncepty druhej mocniny a kocky. Teraz získané poznatky zovšeobecníme pojmom tý koreň.

tý koreň z čísla je číslo, ktorého mocnina je rovnaká, t.j.

sa rovná.

Ak - dokonca, potom:

• s negatívom, výraz nedáva zmysel (korene párneho -tého stupňa záporných čísel nemožno extrahovať!);
• s nezáporným() výraz má jeden nezáporný koreň.

Ak je - nepárne, výraz má jeden koreň pre ľubovoľný.

Nezľaknite sa, platia tu rovnaké zásady ako pri štvorcových a kockových odmocninách. To znamená, že princípy, ktoré sme použili pri uvažovaní odmocnín, sú rozšírené na všetky odmocniny párneho -tého stupňa.

A tie vlastnosti, ktoré boli použité pre koreň kocky, platia pre korene nepárneho stupňa.

No, bolo to jasnejšie? Poďme to pochopiť na príkladoch:

Tu je všetko viac-menej jasné: najprv sa pozrieme - áno, stupeň je párny, číslo pod odmocninou je kladné, takže našou úlohou je nájsť číslo, ktorého štvrtý stupeň nám dá. No, nejaké dohady? Možno, ? presne tak!

Stupeň je teda rovný - nepárny, pod odmocninou je číslo záporné. Našou úlohou je nájsť také číslo, ktoré po umocnení vyjde. Je dosť ťažké okamžite si všimnúť koreň. Svoje vyhľadávanie však môžete hneď zúžiť, však? Po prvé, požadované číslo je určite záporné a po druhé, je vidieť, že je nepárne, a preto je požadované číslo nepárne. Pokúste sa vyzdvihnúť koreň. Samozrejme, a môžete pokojne kefovať nabok. Možno, ?

Áno, toto sme hľadali! Všimnite si, že na zjednodušenie výpočtu sme použili vlastnosti stupňov: .

Základné vlastnosti koreňov

Pochopiteľne? Ak nie, potom by po zvážení príkladov malo všetko zapadnúť.

Násobenie koreňov

Ako rozmnožiť korene? Najjednoduchšia a najzákladnejšia vlastnosť pomáha odpovedať na túto otázku:

Začnime s jednoduchým:

Korene výsledných čísel nie sú presne extrahované? Nebojte sa, tu je niekoľko príkladov:

Ale čo ak nie sú dva multiplikátory, ale viac? To isté! Vzorec násobenia koreňov funguje s ľubovoľným počtom faktorov:

Čo s tým môžeme robiť? No, samozrejme, schovaj trojku pod odmocninu, pričom pamätaj, že trojka je druhá odmocnina z!

Prečo to potrebujeme? Áno, len pre rozšírenie našich možností pri riešení príkladov:

Ako sa vám páči táto vlastnosť koreňov? Zjednodušuje život? Pre mňa je to tak! Len si to musíte zapamätať môžeme sčítať iba kladné čísla pod znamienkom odmocniny párneho stupňa.

Pozrime sa, kde sa ešte môže hodiť. Napríklad v úlohe musíte porovnať dve čísla:

To viac:

Nepovieš hneď. Využime vlastnosť parsovania pridania čísla pod znamienko koreňa? Potom vpred:

No s vedomím, že čím väčšie číslo pod znamienkom koreňa, tým väčší je samotný koreň! Tie. ak znamená . Z toho pevne usudzujeme A nikto nás nepresvedčí o opaku!

Predtým sme predstavili faktor v znamení koreňa, ale ako ho odstrániť? Musíte to len vyňať a extrahovať to, čo sa extrahuje!

Bolo možné ísť opačným smerom a rozložiť sa na ďalšie faktory:

Nie je to zlé, však? Ktorýkoľvek z týchto prístupov je správny, rozhodnite sa, ako sa cítite pohodlne.

Napríklad tu je výraz:

V tomto príklade je stupeň párny, ale čo ak je nepárny? Opäť použite vlastnosti výkonu a zohľadnite všetko:

Zdá sa, že s tým je všetko jasné, ale ako extrahovať odmocninu z čísla v stupňoch? Tu je napríklad toto:

Celkom jednoduché, však? Čo ak je stupeň väčší ako dva? Postupujeme podľa rovnakej logiky pomocou vlastností stupňov:

No, je všetko jasné? Potom tu je príklad:

Toto sú úskalia, o nich vždy stojí za zapamätanie. Toto je vlastne úvaha o príkladoch nehnuteľností:

Pochopiteľne? Opravte to pomocou príkladov:

Áno, vidíme koreň v párnom stupni, záporné číslo pod odmocninou je tiež v párnom stupni. No funguje to rovnako? A tu je čo:

To je všetko! Tu je niekoľko príkladov:

Mám to? Potom pokračujte s príkladmi.

Príklady.

Odpovede.

Ak ste dostali odpovede, môžete pokojne pokračovať. Ak nie, pozrime sa na tieto príklady:

Pozrime sa na dve ďalšie vlastnosti koreňov:

Tieto vlastnosti je potrebné analyzovať na príkladoch. Dobre, urobíme to?

Mám to? Poďme to napraviť.

Príklady.

Odpovede.

KORENE A ICH VLASTNOSTI. PRIEMERNÁ ÚROVEŇ

Aritmetická druhá odmocnina

Rovnica má dve riešenia: a. Sú to čísla, ktorých druhá mocnina je rovnaká.

Zvážte rovnicu. Poďme to vyriešiť graficky. Nakreslíme graf funkcie a čiaru na úrovni. Riešením budú priesečníky týchto čiar. Vidíme, že aj táto rovnica má dve riešenia – jedno kladné, druhé záporné:

Ale v tomto prípade riešenia nie sú celé čísla. Navyše nie sú racionálni. Aby sme si tieto iracionálne rozhodnutia zapísali, zavedieme špeciálny symbol druhej odmocniny.

Aritmetická druhá odmocnina je nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je . Keď výraz nie je definovaný, pretože neexistuje také číslo, ktorého druhá mocnina sa rovná zápornému číslu.

Odmocnina: .

Napríklad, . A z toho vyplýva, že resp.

Toto je opäť veľmi dôležité: Druhá odmocnina je vždy nezáporné číslo: !

koreň kocky z počtu je číslo, ktorého kocka sa rovná. Kocka je definovaná pre každého. Dá sa extrahovať z ľubovoľného čísla: . Ako vidíte, môže nadobudnúť aj záporné hodnoty.

Koreňom tého stupňa čísla je číslo, ktorého tý stupeň sa rovná, t.j.

Ak - párne, potom:

• ak, potom tý koreň a nie je definovaný.
• ak, potom nezáporný koreň rovnice sa nazýva aritmetický koreň tého stupňa a označuje sa.

Ak - je nepárne, potom rovnica má jeden koreň pre ľubovoľnú.

Všimli ste si, že jej stupeň píšeme vľavo hore od koreňového znaku? Ale nie pre druhú odmocninu! Ak vidíte koreň bez stupňa, potom je štvorcový (stupne).

Príklady.

Základné vlastnosti koreňov

KORENE A ICH VLASTNOSTI. STRUČNE O HLAVNOM

Druhá odmocnina (aritmetická druhá odmocnina) od nezáporného čísla sa nazýva napr nezáporné číslo, ktorého druhá mocnina je

Vlastnosti koreňa:

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné informácie sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Kedykoľvek nás budete kontaktovať, môžete byť požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečných ponukách, akciách a iných akciách a pripravovaných akciách.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je vykonávanie auditov, analýza údajov a rôzne výskumy, aby sme zlepšili služby, ktoré poskytujeme, a poskytli vám odporúčania týkajúce sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné na účely bezpečnosti, presadzovania práva alebo iného verejného záujmu.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Koreňový stupeň n z reálneho čísla a, kde n- prirodzené číslo, takémuto reálnemu číslu sa hovorí X, n ktorej mocnina sa rovná a.

stupňa koreňa n z čísla a označené symbolom. Podľa tejto definície.

Nájdenie koreňa n stupňa spomedzi a nazývaná extrakcia koreňov. číslo ale sa nazýva koreňové číslo (výraz), n- ukazovateľ koreňa. Pre nepárny n je tam koreň n-tá mocnina pre akékoľvek reálne číslo a. Dokonca n je tam koreň n-tý stupeň len pre nezáporné číslo a. Aby sa eliminovala nejednoznačnosť koreňa n stupňa spomedzi a, zavádza sa pojem aritmetického koreňa n stupňa spomedzi a.

Pojem aritmetického koreňa stupňa N

Ak a n- prirodzené číslo väčšie ako 1 , potom existuje len jedno nezáporné číslo X, tak, aby platila rovnosť. Toto číslo X nazývaný aritmetický koreň n mocnina nezáporného čísla ale a je označený. číslo ale volal koreňové číslo n- ukazovateľ koreňa.

Takže podľa definície zápis , kde , znamená po prvé to a po druhé, že , t.j. .

Pojem stupňa s racionálnym exponentom

Stupeň s prirodzeným exponentom: let ale je skutočné číslo a n je prirodzené číslo väčšie ako jedna n-tá mocnina čísla ale zavolajte do práce n multiplikátory, z ktorých každý sa rovná ale, t.j. . číslo ale- základ titulu, n- exponent. Exponent s nulovým exponentom: podľa definície, ak , potom . Nulová mocnina čísla 0 nedáva zmysel. Mocnina so záporným exponentom celého čísla: podľa definície, ak a n je prirodzené číslo, teda . Stupeň so zlomkovým exponentom: podľa definície, ak a n- prirodzené číslo, m je celé číslo, potom .

Operácie s koreňmi.

Vo všetkých nižšie uvedených vzorcoch symbol znamená aritmetický koreň (radikálový výraz je kladný).

1. Koreň súčinu viacerých faktorov sa rovná súčinu koreňov týchto faktorov:

2. Koreň pomeru sa rovná pomeru koreňov dividendy a deliteľa:

3. Pri zvyšovaní odmocniny na mocninu stačí zvýšiť odmocninu na túto mocninu:

4. Ak zväčšíte stupeň odmocniny n-krát a súčasne zvýšite číslo odmocniny na n-tú mocninu, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

5. Ak znížite stupeň odmocnina o n-krát a súčasne vytiahnete odmocninu n-tého stupňa z radikálneho čísla, potom sa hodnota odmocniny nezmení:

Rozšírenie pojmu titul. Doteraz sme uvažovali o stupňoch len s prirodzeným ukazovateľom; ale operácie s mocninami a odmocninami môžu viesť aj k záporným, nulovým a zlomkovým exponentom. Všetky tieto exponenty vyžadujú dodatočnú definíciu.

Stupeň so záporným exponentom. Mocnina nejakého čísla so záporným (celým) exponentom je definovaná ako mocnina rovnakého čísla s exponentom rovným absolútnej hodnote záporného exponentu:

Teraz vzorec a m: a n \u003d a m - n možno použiť nielen pre m väčšie ako n, ale aj pre m menšie ako n.

PRÍKLAD a4: a7 = a4-7 = a-3.

Ak chceme, aby vzorec a m: a n = a m - n platil pre m = n , musíme definovať nulový stupeň.

Stupeň s nulovým exponentom. Stupeň akéhokoľvek nenulového čísla s nulovým exponentom je 1.

PRÍKLADY. 2 0 = 1, (- 5) 0 = 1, (- 3 / 5) 0 = 1.

Stupeň so zlomkovým exponentom. Aby ste zvýšili skutočné číslo a na mocninu m / n, musíte extrahovať koreň n-tého stupňa z m-tej mocniny tohto čísla a:

O výrazoch, ktoré nedávajú zmysel. Existuje niekoľko takýchto výrazov.

Prípad 1

Kde a ≠ 0 neexistuje.

Ak totiž predpokladáme, že x je určité číslo, tak v súlade s definíciou operácie delenia máme: a = 0 · x, t.j. a = 0, čo je v rozpore s podmienkou: a ≠ 0

Prípad 2

Akékoľvek číslo.

Ak totiž predpokladáme, že tento výraz sa rovná nejakému číslu x, potom podľa definície operácie delenia máme: 0 = 0 · x . Ale táto rovnosť platí pre ľubovoľné číslo x, čo sa malo dokázať.

naozaj,

Riešenie. Zvážte tri hlavné prípady:

1) x = 0 - táto hodnota nespĺňa túto rovnicu

2) pre x > 0 dostaneme: x / x = 1, t.j. 1 = 1, z čoho vyplýva, že x je ľubovoľné číslo; ale vzhľadom na to, že v našom prípade x > 0 , odpoveď je x > 0 ;

3) na x< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

v tomto prípade neexistuje riešenie. Takže x > 0.