पाठ "डायहेड्रल कोण। विमान के लंबवत कोण

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अध्याय एक पंक्ति और समतल

V. दोहरा कोण, समतल के साथ समकोण,
दो क्रॉस्ड स्ट्रेट्स, पॉलीहेड्रल एंगल्स का कोण

डायहेड्रल कोण

38. परिभाषाएँ।इस तल में स्थित किसी भी सीधी रेखा के एक ओर स्थित तल का भाग कहलाता है आधा विमान... एक सीधी रेखा (AB) से निकलने वाले दो अर्ध-तलों (P और Q, चित्र 26) द्वारा बनाई गई आकृति कहलाती है डिहेड्रल... सीधा AB कहलाता है किनारा, और अर्ध-तल P और Q हैं दलोंया पहलुओंडायहेड्रल कोण।

इस तरह के कोण को आमतौर पर इसके किनारे पर रखे गए दो अक्षरों (डायहेड्रल कोण AB) द्वारा दर्शाया जाता है। लेकिन अगर एक किनारे पर कोई डायहेड्रल कोण नहीं है, तो उनमें से प्रत्येक को चार अक्षरों से दर्शाया जाता है, जिनमें से दो मध्य किनारे पर होते हैं, और दो चरम किनारों पर होते हैं (उदाहरण के लिए, एससीडीआर डायहेड्रल कोण) (चित्र। 27)।

यदि किनारे AB (आकृति 28) के एक मनमाना बिंदु D से हम प्रत्येक फलक पर लंब के किनारे पर खींचते हैं, तो उनके द्वारा बनाए गए कोण CDE को कहा जाता है रैखिक कोणडायहेड्रल कोण।

एक रेखीय कोण का मान किनारे पर इसके शीर्ष की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। तो, रैखिक कोण सीडीई और सी 1 डी 1 ई 1 बराबर हैं, क्योंकि उनके पक्ष क्रमशः समानांतर और समान रूप से निर्देशित हैं।

रैखिक कोण तल किनारे के लंबवत होता है, क्योंकि इसमें दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। इसलिए, एक रैखिक कोण प्राप्त करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के चेहरे को किनारे से लंबवत एक विमान से पार करना पर्याप्त है, और इस विमान में प्राप्त कोण पर विचार करें।

39. विकर्ण कोणों की समानता और असमानता।दो डायहेड्रल कोणों को समान माना जाता है यदि उन्हें एक साथ घोंसला बनाया जा सकता है; अन्यथा, डायहेड्रल कोणों में से एक को सबसे छोटा माना जाता है, जो दूसरे कोण का हिस्सा होगा।

प्लानिमेट्री में कोणों की तरह, डायहेड्रल कोण हो सकते हैं आसन्न, लंबवतआदि।

यदि दो आसन्न विकर्ण कोण एक दूसरे के बराबर हों, तो उनमें से प्रत्येक को कहा जाता है सही दिशा.

प्रमेय। 1) समान डायहेड्रल कोण समान रैखिक कोणों के अनुरूप होते हैं।

2) एक बड़ा डायहेड्रल कोण एक बड़े रैखिक कोण से मेल खाता है।

मान लीजिए PABQ, और P 1 A 1 B 1 Q 1 (चित्र 29) दो द्विफलकीय कोण हैं। हम कोण ए 1 बी 1 को कोने एबी में एम्बेड करते हैं ताकि किनारे ए 1 बी 1 किनारे एबी के साथ मेल खाता हो और चेहरा पी 1 चेहरे पी के साथ मेल खाता हो।

फिर यदि ये विकर्ण कोण बराबर हों, तो फलक Q 1 फलक Q से मेल खाता है; यदि कोण А 1 В 1 कोण AB से छोटा है, तो फलक Q 1 द्विफलकीय कोण के अंदर कुछ स्थान लेगा, उदाहरण के लिए Q 2।

इसे देखते हुए, हम उभयनिष्ठ किनारे पर कोई बिंदु B लेते हैं और इसके माध्यम से किनारे पर लंबवत एक समतल R खींचते हैं। डायहेड्रल कोनों के चेहरों के साथ इस विमान के चौराहे से, रैखिक कोण प्राप्त होते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि विकर्ण कोण संपाती हों, तो उनका रैखिक कोण CBD समान होगा; यदि डायहेड्रल कोण मेल नहीं खाते हैं, उदाहरण के लिए, चेहरा क्यू 1 स्थिति क्यू 2 पर कब्जा कर लेता है, तो बड़े डायहेड्रल कोण में एक बड़ा रैखिक कोण होगा (अर्थात्: / सीबीडी> / सी 2 बीडी)।

40. विलोम प्रमेय। 1) समान रैखिक कोण समान द्विफलकीय कोणों के संगत होते हैं।

2) एक बड़ा रैखिक कोण एक बड़े डायहेड्रल कोण से मेल खाता है .

इन प्रमेयों को विरोधाभास द्वारा आसानी से सिद्ध किया जाता है।

41. परिणाम। 1) एक समकोणीय कोण समकोण रेखीय कोण से मेल खाता है, और इसके विपरीत।

मान लीजिए (चित्र 30) विकर्ण कोण PABQ एक सीधी रेखा है। इसका मतलब है कि यह आसन्न कोने QABP 1 के बराबर है। लेकिन इस मामले में, रैखिक कोण सीडीई और सीडीई 1 भी बराबर हैं; और चूंकि वे आसन्न हैं, उनमें से प्रत्येक सीधा होना चाहिए। इसके विपरीत, यदि आसन्न रैखिक कोण सीडीई और सीडीई 1 बराबर हैं, तो आसन्न डायहेड्रल कोण भी बराबर होते हैं, यानी उनमें से प्रत्येक सीधा होना चाहिए।

2) सभी समकोण कोण समान होते हैं,क्योंकि उनके समान रैखिक कोण हैं .

इसी तरह, यह साबित करना आसान है कि:

3) ऊर्ध्वाधर डायहेड्रल कोण हैं.

4) डिहेड्रल समान रूप से समानांतर और समान रूप से (या विपरीत) निर्देशित किनारों वाले कोण बराबर होते हैं।

5) यदि डायहेड्रल कोणों की इकाई के लिए हम ऐसा डायहेड्रल कोण लेते हैं जो रैखिक कोणों की इकाई से मेल खाता है, तो हम कह सकते हैं कि डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है।

डायहेड्रल कोण अवधारणा

डायहेड्रल कोण की अवधारणा को पेश करने के लिए, हम पहले स्टीरियोमेट्री के स्वयंसिद्धों में से एक को याद करते हैं।

किसी भी विमान को इस विमान में पड़ी सीधी रेखा $ a $ के दो अर्ध-तलों में विभाजित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक अर्ध-तल में स्थित बिंदु सीधी रेखा $ a $ के एक तरफ होते हैं, और विभिन्न अर्ध-तलों में स्थित बिंदु साथ होते हैं अलग-अलग पक्षसीधी रेखा से $ a $ (चित्र 1)।

चित्र 1।

डायहेड्रल कोण के निर्माण का सिद्धांत इस स्वयंसिद्ध पर आधारित है।

परिभाषा 1

आकृति कहलाती है डिहेड्रलयदि इसमें एक सीधी रेखा और इस सीधी रेखा के दो अर्ध-तल हों जो एक ही तल से संबंधित न हों।

इस स्थिति में, विकर्ण कोण के आधे तल कहलाते हैं पहलुओं, और अर्ध-तलों को अलग करने वाली रेखा - एक डायहेड्रल का किनारा(चित्र एक)।

चित्रा 2. डायहेड्रल कोण

डायहेड्रल कोण की डिग्री माप

परिभाषा 2

किनारे पर एक मनमाना बिंदु $ A $ चुनें। दो सीधी रेखाओं के बीच के कोण को अलग-अलग अर्ध-तलों में किनारे से लंबवत और बिंदु $ A $ पर प्रतिच्छेद करने के लिए कहा जाता है रैखिक डायहेड्रल कोण(अंजीर। 3)।

चित्र तीन।

जाहिर है, प्रत्येक डायहेड्रल में अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं।

प्रमेय 1

एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

सबूत।

दो रैखिक कोणों $ AOB $ और $ A_1 (OB) _1 $ (चित्र 4) पर विचार करें।

चित्रा 4.

चूँकि किरणें $ OA $ और $ (OA) _1 $ एक ही अर्ध-तल $ \ alpha $ में स्थित हैं और एक सीधी रेखा के लंबवत हैं, वे सह-दिशा में हैं। चूँकि किरणें $ OB $ और $ (OB) _1 $ एक ही अर्ध-तल $ \ beta $ में स्थित हैं और एक सीधी रेखा के लंबवत हैं, वे सह-दिशा में हैं। अत

\ [\ कोण एओबी = \ कोण ए_1 (ओबी) _1 \]

रैखिक कोणों की पसंद की मनमानी के कारण। एक डायहेड्रल कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

प्रमेय सिद्ध होता है।

परिभाषा 3

डायहेड्रल कोण का डिग्री माप डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का डिग्री माप है।

कार्यों के उदाहरण

उदाहरण 1

हमें दो नहीं दिया जाए लंबवत विमान$\ alpha $ और $ \ beta $ जो सीधी रेखा $m $ में प्रतिच्छेद करते हैं। प्वाइंट $ ए $ विमान $ \ बीटा $ के अंतर्गत आता है। $ AB $ - रेखा $ m $ के लंबवत। $ AC $ विमान $ \ alpha $ के लंबवत है (बिंदु $ C $ $ \ alpha $ से संबंधित है)। सिद्ध कीजिए कि कोण एबीसी $ डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है।

सबूत।

आइए समस्या की स्थिति के अनुसार एक चित्र बनाएं (चित्र 5)।

चित्रा 5.

प्रमाण के लिए, निम्नलिखित प्रमेय को याद करें

प्रमेय 2:झुकाव के आधार से गुजरने वाली एक सीधी रेखा, इसके लंबवत, इसके प्रक्षेपण के लंबवत।

चूँकि $ AC $ विमान $ \ alpha $ के लिए लंबवत है, बिंदु $ C $ विमान $ \ alpha $ पर बिंदु $ A $ का प्रक्षेपण है। अत: $BC$ तिरछी $AB$ का प्रक्षेपण है। प्रमेय 2 के अनुसार, $BC$ द्विफलक कोण के किनारे पर लंबवत है।

फिर, कोण $ ABC $ एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण को निर्धारित करने के लिए सभी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

उदाहरण 2

डायहेड्रल कोण $ 30 ^ \ circ $ है। एक फलक पर बिंदु $ A $ है, जो दूसरे फलक से $ 4 $ सेमी की दूरी पर है। बिंदु $ A $ से विकर्ण कोण के किनारे तक की दूरी ज्ञात करें।

समाधान।

हम चित्र 5 पर विचार करेंगे।

परिकल्पना से, हमारे पास $ AC = 4 \ cm $ है।

डायहेड्रल कोण के डिग्री माप की परिभाषा से, हमारे पास यह है कि कोण $ ABC $ $ 30 ^ \ circ $ के बराबर है।

त्रिभुज $ ABC $ एक समकोण त्रिभुज है। न्यून कोण की ज्या की परिभाषा के अनुसार

\ [\ फ्रैक (एसी) (एबी) = पाप (30) ^ 0 \] \ [\ फ्रैक (5) (एबी) = \ फ्रैक (1) (2) \] \

पाठ का पाठ कोड:

प्लानिमेट्री में, मुख्य वस्तुएं सीधी रेखाएं, खंड, किरणें और बिंदु हैं। एक बिंदु से निकलने वाली किरणें ज्यामितीय आकृतियों-कोणों में से एक बनाती हैं।

हम जानते हैं कि रैखिक कोणों को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

ठोस ज्यामिति में, वस्तुओं में एक तल जोड़ा जाता है। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा a द्वारा बनाई गई आकृति, जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं है, एक डायहेड्रल कोण कहलाती है। हाफ-प्लेन एक डायहेड्रल कोण के फलक हैं। रेखा ए डायहेड्रल कोण का किनारा है।

एक डायहेड्रल कोण, एक रैखिक कोण की तरह, कहा जा सकता है, मापा जा सकता है, बनाया जा सकता है। इस पाठ में हमें यही पता लगाना है।

आइए ABCD टेट्राहेड्रोन मॉडल पर डायहेड्रल कोण ज्ञात करें।

किनारे AB के साथ एक विकर्ण कोण को CABD कहा जाता है, जहाँ C और D कोण के विभिन्न फलकों से संबंधित बिंदु हैं और किनारे AB को बीच में कहा जाता है

हमारे चारों ओर बहुत सी वस्तुएं हैं जिनमें तत्व एक डायहेड्रल कोने के रूप में हैं।

कई शहरों में, पार्कों में सुलह के लिए विशेष बेंच हैं। बेंच को केंद्र में परिवर्तित होने वाले दो झुकाव वाले विमानों के रूप में बनाया गया है।

मकान बनाते समय, तथाकथित मकान के कोने की छत... इस घर पर छत को 90 डिग्री के डायहेड्रल एंगल के रूप में बनाया गया है।

डायहेड्रल कोण को डिग्री या रेडियन में भी मापा जाता है, लेकिन इसे कैसे मापें।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि घरों की छतें छत पर पड़ी हैं। और राफ्टर्स की लैथिंग एक दिए गए कोण पर छत के दो ढलान बनाती है।

आइए छवि को ड्राइंग में स्थानांतरित करें। ड्राइंग में, डायहेड्रल कोण को खोजने के लिए, बिंदु बी को इसके किनारे पर चिह्नित किया गया है। इस बिंदु से, दो बीम बीए और बीसी कोण के किनारे पर लंबवत खींचे जाते हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण ABC को विकर्ण कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप उसके रैखिक कोण के डिग्री माप के बराबर होता है।

आइए कोण AOB को मापें।

दिए गए डायहेड्रल कोण का डिग्री माप साठ डिग्री है।

डायहेड्रल कोण के लिए अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे सभी समान हैं।

दो रैखिक कोणों AOB और A1O1B1 पर विचार करें। बीम OA और O1A1 एक ही फलक पर स्थित हैं और सीधी रेखा OO1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-निर्देशित हैं। और О1В1 बीम भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, कोण AOB सह-निर्देशित पक्षों वाले कोणों के रूप में कोण A1O1B1 के बराबर है।

तो एक डायहेड्रल कोण एक रैखिक कोण की विशेषता है, और रैखिक कोण न्यून, अधिक और सीधे हैं। डायहेड्रल कोणों के मॉडल पर विचार करें।

एक अधिक कोण यदि इसका रैखिक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच है।

एक समकोण यदि इसका रैखिक कोण 90 डिग्री है।

एक न्यून कोण, यदि इसका रैखिक कोण 0 और 90 डिग्री के बीच हो।

आइए हम एक रैखिक कोण के महत्वपूर्ण गुणों में से एक को सिद्ध करें।

रैखिक कोण का तल विकर्ण कोण के किनारे के लंबवत होता है।

मान लीजिए कोण AOB दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। रचना द्वारा, किरणें AO और OB सीधी रेखा a पर लंबवत हैं।

प्रमेय के अनुसार समतल AOB दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AO और OB से होकर गुजरता है: एक समतल दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से होकर गुजरता है और इसके अलावा, केवल एक।

सीधी रेखा a इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि रेखा और तल के लंबवतता के चिह्न से, सीधी रेखा a समतल AOB के लंबवत है।

समस्याओं को हल करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। चतुष्फलक ABCD के लिए किनारे AB के साथ द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिए।

हम एक डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो सबसे पहले किनारे AB से बनता है, एक फलक ABD और दूसरा फलक ABC।

इसे बनाने का एक तरीका यहां दिया गया है।

आइए बिंदु D से समतल ABC पर एक लंब खींचते हैं, लंब के आधार पर बिंदु M को चिह्नित करते हैं। याद रखें कि एक टेट्राहेड्रोन में, लंबवत का आधार टेट्राहेड्रोन के आधार पर खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है।

आइए बिंदु D से किनारे AB पर एक तिरछा बनाएं, बिंदु N को तिरछे के आधार के रूप में चिह्नित करें।

त्रिभुज DMN में, खंड NM समतल ABC पर झुके हुए DN का प्रक्षेपण होगा। तीन लंबवत प्रमेय द्वारा, किनारा AB प्रक्षेपण NM के लंबवत होगा।

इसका मतलब है कि डीएनएम कोण के किनारे किनारे एबी के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि निर्मित कोण डीएनएम वांछित रैखिक कोण है।

विकर्ण कोण की गणना की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC और एक समबाहु त्रिभुज ADB एक ही तल में नहीं हैं। खंड CD समतल ADB पर लंबवत है। विकर्ण कोण DABC ज्ञात कीजिए यदि AC = CB = 2 सेमी, AB = 4 सेमी।

विकर्ण कोण DABC इसके रैखिक कोण के बराबर होता है। आइए इस कोने का निर्माण करें।

आइए किनारे AB पर लंबवत एक तिरछा CM बनाएं, क्योंकि त्रिभुज ACB समद्विबाहु है, तो बिंदु M किनारे AB के मध्य के साथ मेल खाएगा।

सीधी रेखा D समतल ADB के लंबवत है, इसलिए यह इस तल में पड़ी सीधी रेखा DM के लंबवत है। और खंड एमडी विमान एडीबी पर झुके हुए सीएम का प्रक्षेपण है।

निर्माण द्वारा सीधी रेखा AB झुके हुए CM के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि तीन लंबों के प्रमेय द्वारा, यह प्रक्षेपण MD के लंबवत है।

तो, दो लंबवत सीएम और डीएम किनारे एबी पर पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि वे डायहेड्रल कोण डीएबीएस के एक रैखिक कोण सीएमडी बनाते हैं। और हमें इसे से खोजना होगा सही त्रिकोणसीडीएम।

तो खंड CM माध्यिका है और समद्विबाहु त्रिभुज ACB की ऊँचाई है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पाद CM 4 सेमी है।

एक समकोण त्रिभुज DMB से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लेग DM तीन में से दो जड़ों के बराबर होता है।

एक समकोण त्रिभुज से एक कोण का कोज्या आसन्न पैर एमडी के कर्ण सीएम के अनुपात के बराबर है और तीन बटा दो के तीन मूल के बराबर है. इसका मतलब है कि सीएमडी कोण 30 डिग्री है।

यह पाठ के लिए अभिप्रेत है स्वयं अध्ययनविषय "डायहेड्रल कोण"। इस पाठ में, छात्र सबसे महत्वपूर्ण ज्यामितीय आकृतियों में से एक, डायहेड्रल कोण से परिचित हो जाएंगे। इसके अलावा पाठ में हमें सीखना होगा कि विचार किए गए रैखिक कोण का निर्धारण कैसे करें ज्यामितीय आकारऔर आकृति के आधार पर डायहेड्रल कोण क्या है।

आइए दोहराएं कि एक विमान पर कोण क्या है और इसे कैसे मापा जाता है।

चावल। 1. विमान

समतल α (चित्र 1) पर विचार करें। बिंदु से हेदो किरणें निकलती हैं - ओवीतथा ओए.

परिभाषा... एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों से बनी आकृति कोण कहलाती है।

कोण को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

आइए याद करें कि रेडियन क्या है।

चावल। 2. रेडियन

यदि हमारे पास एक केंद्रीय कोण है, जिसकी चाप की लंबाई त्रिज्या के बराबर है, तो ऐसा केंद्रीय कोण 1 रेडियन का कोण कहलाता है। , एओबी= 1 रेड (चित्र 2)।

रेडियन और डिग्री के बीच संबंध।

प्रसन्न।

हम समझ गए, मुझे खुशी है। ()। फिर,

परिभाषा. डायहेड्रल कोणएक सीधी रेखा से बनी आकृति कहलाती है एऔर एक आम सीमा के साथ दो आधे विमान एजो एक ही विमान से संबंधित नहीं हैं।

चावल। 3. अर्ध-विमान

दो अर्ध-तलों α और β पर विचार करें (चित्र 3)। उनकी साझा सीमा है ए... निर्दिष्ट आकृति को डायहेड्रल कोण कहा जाता है।

शब्दावली

अर्ध-तल α और β डायहेड्रल कोण के फलक हैं।

सीधा एडायहेड्रल कोण का किनारा है।

एक आम किनारे पर एडायहेड्रल कोण से, हम एक मनमाना बिंदु चुनते हैं हे(अंजीर। 4)। आधे तल में α बिंदु से हेलंबवत बहाल करें ओएसीधे करने के लिए ए... उसी बिंदु से हेदूसरे अर्ध-तल β में, हम लंबवत को पुनर्स्थापित करते हैं ओवीपसली को ए... एक कोना मिला एओबी, जिसे द्विफलकीय कोण का रेखीय कोण कहते हैं।

चावल। 4. डायहेड्रल कोण का मापन

आइए हम दिए गए डायहेड्रल कोण के लिए सभी रैखिक कोणों की समानता साबित करें।

मान लीजिए कि हमारे पास एक डायहेड्रल कोण है (चित्र 5)। आइए एक बिंदु चुनें हेऔर बिंदु लगभग 1एक सीधी रेखा पर ए... बिंदु . के संगत एक रैखिक कोण की रचना कीजिए हे, अर्थात्, दो लंब खींचे ओएतथा ओवीविमानों में α और β, क्रमशः, किनारे तक ए... हमें कोण मिलता है एओबीडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है।

चावल। 5. प्रमाण का चित्रण

बिंदु से लगभग 1दो लंब खींचे ओए 1तथा 1पसली को एविमानों में क्रमशः α और β, और हम दूसरा रैखिक कोण प्राप्त करते हैं ए 1 ओ 1 बी 1.

बीम १ १तथा ओएसह-दिशात्मक, क्योंकि वे एक ही अर्ध-तल में स्थित हैं और एक दूसरे के समानांतर एक ही सीधी रेखा के दो लंबवत हैं ए.

इसी प्रकार किरणें लगभग 1 इन 1तथा ओवीसह-निर्देशित, इसका अर्थ है ∠ एओबी =∠ ए 1 ओ 1 बी 1सह-निर्देशित पक्षों वाले कोणों के रूप में, आवश्यकतानुसार।

रैखिक कोण का तल विकर्ण कोण के किनारे के लंबवत होता है।

साबित करना: ए ⊥ एओबी.

चावल। 6. प्रमाण का चित्रण

सबूत:

ओए ⊥ एनिर्माण से, ओवी ⊥ एनिर्माण द्वारा (चित्र। 6)।

हम पाते हैं कि सीधी रेखा एदो प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के लंबवत ओएतथा ओवीहवाई जहाज से बाहर एओबी, तो एक सीधी रेखा एविमान के लंबवत ओएवी, जैसी ज़रूरत।

एक डायहेड्रल कोण को उसके रैखिक कोण द्वारा मापा जाता है। इसका मतलब यह है कि एक रैखिक कोण में जितने डिग्री रेडियन समाहित होते हैं, उतने ही डिग्री रेडियन इसके डायहेड्रल कोण में समाहित होते हैं। इसके अनुसार, निम्न प्रकार के डायहेड्रल कोण प्रतिष्ठित हैं।

तीव्र (अंजीर। 6)

एक द्विफलकीय कोण न्यून होता है यदि उसका रैखिक कोण न्यून हो, अर्थात्। ...

सीधा (अंजीर। 7)

एक सीधी रेखा का द्विफलकीय कोण जब उसका रैखिक कोण 90° - अधिक हो (चित्र 8)

एक डायहेड्रल कोण अधिक होता है जब इसका रैखिक कोण अधिक होता है, अर्थात। .

चावल। 7. समकोण

चावल। 8. अधिक कोण

वास्तविक आकृतियों में रैखिक कोणों के निर्माण के उदाहरण

एबीसीडीएक चतुष्फलक है।

1. एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण के एक रैखिक कोण का निर्माण करें अब.

चावल। 9. समस्या के लिए चित्रण

इमारत:

यह एक किनारे से बनने वाला एक डायहेड्रल कोण है अबऔर चेहरे अबडीतथा एबीसी(अंजीर। 9)।

आइए एक सीधी रेखा खींचते हैं डीएचविमान के लंबवत एबीसी, एच- लंबवत का आधार। आइए एक तिरछा बनाएं डीएमसीधा करने के लिए लंबवत एबी,एम- आधार झुका हुआ है। तीन लंबवत प्रमेय से, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि एक तिरछे का प्रक्षेपण समुद्री मील दूरसीधी रेखा के लंबवत भी अब.

यानी बिंदु से एमरिब के लिए दो लंबवत बहाल किया अबदो तरफ अबडीतथा एबीसी... हमें एक रैखिक कोण मिला है डीएम.एन..

नोटिस जो अब, डायहेड्रल कोण का किनारा, रैखिक कोण के तल के लंबवत, अर्थात समतल डीएम.एन.... समस्या सुलझा ली गई है।

टिप्पणी... डायहेड्रल कोण को निम्नानुसार नामित किया जा सकता है: डीएबीसी, कहां

अब- एक किनारा, और अंक डीतथा साथकोने के विभिन्न किनारों में झूठ।

2. एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण के एक रैखिक कोण का निर्माण करें जैसा.

आइए एक लंबवत ड्रा करें डीएचविमान के लिए एबीसीऔर तिरछा डीएनसीधा करने के लिए लंबवत एसी।तीन लंबवत प्रमेय से, हम प्राप्त करते हैं नहीं- तिरछा प्रक्षेपण डीएनहवाई जहाज पर एबीसी,सीधी रेखा के लंबवत भी एसी।डीनहीं- एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण जैसा.

एक चतुष्फलक में डीएबीसीसभी किनारे बराबर हैं। बिंदु एम- पसली के बीच में जैसा... सिद्ध कीजिए कि कोण डीएमवी- डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण आपडी, यानी, एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण जैसा... इसका एक पहलू- जैसाडी, दूसरा है एएसवी(अंजीर। 10)।

चावल। 10. समस्या के लिए चित्रण

समाधान:

त्रिकोण एडीसी- समबाहु, डीएम- माध्यिका, और इसलिए ऊँचाई। माध्यम, डीएम ⊥ एसी।इसी प्रकार, त्रिभुज एवीसी- समबाहु, वीएममाध्यिका है, और इसलिए ऊँचाई है। माध्यम, वीएम ⊥ एसी।

तो बिंदु से एमपसलियां जैसाडायहेड्रल कोण ने दो लंबवत बहाल किए डीएमतथा वीएमइस किनारे तक विकर्ण कोण के फलकों पर।

इसलिए, डीएमवीआवश्यकतानुसार द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है।

तो, हमने डायहेड्रल, डायहेड्रल के रैखिक कोण को परिभाषित किया है।

अगले पाठ में हम रेखाओं और तलों के लंबों पर विचार करेंगे, फिर हम सीखेंगे कि आकृतियों के आधार पर एक द्विफलक कोण क्या होता है।

"डायहेड्रल एंगल", "ज्यामितीय आकृतियों के आधार पर डायहेड्रल एंगल" विषय पर संदर्भ

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: सामान्य शिक्षा के लिए पाठ्यपुस्तक शिक्षण संस्थानों/ शैरगिन आई.एफ. - एम।: बस्टर्ड, 1999 .-- 208 पी।: बीमार।
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होम वर्क"डायहेड्रल एंगल" विषय पर, आंकड़ों के आधार पर डायहेड्रल कोण का निर्धारण

ज्यामिति। ग्रेड १०-११: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई। एम। स्मिरनोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, संशोधित और पूरक - एम।: मेनमोसिना, 2008। - 288 पी।: बीमार।

असाइनमेंट 2, 3 पी. 67.

एक द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण क्या होता है? इसका निर्माण कैसे करें?

एबीसीडीएक चतुष्फलक है। एक किनारे के साथ एक डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करें:

ए) वीडीबी) डीसाथ।

एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 - पशुशावक। एक द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण आलेखित करें ए 1 एबीसीएक पसली के साथ अब... इसकी डिग्री माप निर्धारित करें।