तीव्र कोण का टेंगेंट क्या कहा जाता है। आयताकार त्रिभुज: साइनस, कोसाइन, टेंगेंट, catangent कोने

साइनस एक आयताकार त्रिभुज का तीव्र कोण α एक रिश्ता है सामने Hypotenuse के लिए केट।
के रूप में दर्शाता है: पाप α।

कोज्या आयताकार त्रिभुज का तीव्र कोण α Hypotenuse के लिए आसन्न कैटेक का अनुपात है।
निम्नानुसार दर्शाता है: कोस α।

स्पर्शरेखा तीव्र कोण α निकटतम कैथे के विपरीत कैटेक का अनुपात है।
के रूप में दर्शाता है: टीजी α।

कॉथेंटेंटेंट तीव्र कोण α निकटतम कैटेक का अनुपात विपरीत है।
के रूप में दर्शाता है: सीटीजी α।

साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेनेस कोण केवल कोण की परिमाण पर निर्भर करते हैं।

नियम:

एक आयताकार त्रिभुज में मूल त्रिकोणमितीय पहचान:

(α - तीव्र कोण, विपरीत कैथेट बी और कैथेट के समीप ए। । पक्ष से - hypotenuse। β - दूसरा तेज कोण)।

तीव्र कोण में वृद्धि के साथपाप α I.टीजी α बढ़ रहा है, औरकॉस α घटता है।

किसी भी तीव्र कोण के लिए α:

पाप (90 ° - α) \u003d cos α

कॉस (90 डिग्री - α) \u003d पाप α

उदाहरण-स्पष्टीकरण:

मान लीजिए आयताकार त्रिभुज एबीसी
एबी \u003d 6,
सूर्य \u003d 3,
कोण ए \u003d 30º।

साइन कोण ए और कोसाइन कोण वी का पता लगाएं।

फेसला ।

1) सबसे पहले हमें कोण वी की परिमाण मिलती है। सब कुछ सरल है: एक आयताकार त्रिभुज में, तेज कोनों की राशि 90º है, फिर कोण बी \u003d 60º:

बी \u003d 90º - 30º \u003d 60º।

2) पाप ए की गणना करें। हम जानते हैं कि साइनस हाइपोटेन्यूज़ के लिए विपरीत कैटेक के दृष्टिकोण के बराबर है। एक कोण और विपरीत कैथेट के लिए विमान का पक्ष है। इसलिए:

बीसी 3 1।
पाप ए \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2।

3) अब मैं सीओएस बी की गणना करता हूं हम जानते हैं कि कोसाइन हाइपोटेन्यूज़ के लिए आसन्न कैटेक के दृष्टिकोण के बराबर है। आसन्न कैथेट में एक कोण के लिए, सूर्य के समान पक्ष। इसका मतलब यह है कि हमें एवी पर विमान को फिर से विभाजित करना होगा - यानी, साइनस कोण की गणना करते समय एक ही कार्यवाही करने के लिए ए:

बीसी 3 1।
cos b \u003d - \u003d - \u003d -
एबी 6 2।

नतीजतन, यह पता चला है:
पाप A \u003d COS B \u003d 1/2।

पाप 30º \u003d cos 60º \u003d 1/2।

यह इस प्रकार है कि एक आयताकार त्रिभुज में एक तीव्र कोण के साइनस एक और तीव्र कोण के कोसाइन के बराबर है - और इसके विपरीत। यह वही है जो हमारे दो सूत्रों का मतलब है:
पाप (90 ° - α) \u003d cos α
कॉस (90 डिग्री - α) \u003d पाप α

आइए इसे फिर से सुनिश्चित करें:

1) α \u003d 60º होने दें। साइन फॉर्मूला में α के मूल्य को प्रतिस्थापित करना, हमें मिलता है:
पाप (90º - 60º) \u003d सीओएस 60º।
पाप 30º \u003d cos 60º।

2) α \u003d 30º दें। कोसाइन फॉर्मूला में α के मूल्य को प्रतिस्थापित करना, हमें मिलता है:
कॉस (90 ° - 30º) \u003d पाप 30º।
कोस 60 ° \u003d पाप 30º।

(त्रिकोणमिति के बारे में अधिक - बीजगणित का चयन देखें)

त्रिकोणमिति गणितीय विज्ञान का एक वर्ग है, जो त्रिकोणमितीय कार्यों और ज्यामिति में उनके उपयोग का अध्ययन करता है। प्राचीन ग्रीस के समय त्रिकोणमिति का विकास शुरू हुआ। मध्य युग के दौरान, मध्य पूर्व और भारत के वैज्ञानिकों को इस विज्ञान के विकास के लिए बनाया गया था।

यह आलेख त्रिकोणमिति की बुनियादी अवधारणाओं और परिभाषाओं के लिए समर्पित है। यह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं पर चर्चा करता है: साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और catangent। ज्यामिति के संदर्भ में उनके अर्थ को स्पष्ट और सचित्र।

प्रारंभ में, त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा, जिस का तर्क कोण है, आयताकार त्रिभुज की पार्टियों के अनुपात के माध्यम से व्यक्त किया गया है।

त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाएं

साइनस कोण (पाप α) - इस कोने का विरोध करने वाले हाइपोटेन्यूज के कैट का अनुपात।

कोसाइन कोण (कोस α) हाइपोटेन्यूज़ के लिए आसन्न कैटेक का अनुपात है।

टेंगेंट कोण (टी जी α) - विपरीत कैट का अनुपात आसन्न के लिए।

कॉटेंगेंट कोण (सी टी जी α) - आसन्न कैटेक का अनुपात विपरीत तक।

इन परिभाषाओं को आयताकार त्रिभुज के तीव्र कोण के लिए दिया जाता है!

आइए एक उदाहरण देखते हैं।

एक त्रिभुज एबीसी में एक सीधा कोण के साथ एक सीधा कोण के साथ ए बीसी अनुपात के अनुपात के बराबर एबी hypotenuse के बराबर है।

साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेन्स की परिभाषाएं आपको त्रिभुज के किनारों की ज्ञात लंबाई के अनुसार इन कार्यों के मूल्यों की गणना करने की अनुमति देती हैं।

याद करने के लिए महत्वपूर्ण!

साइनस और कोसाइन मूल्यों की सीमा: -1 से 1 तक, दूसरे शब्दों में, साइनस और कोसाइन -1 से 1 तक मान लेते हैं। टेंगेंट और कोटेनेनेंट के मूल्यों का क्षेत्र - पूरी संख्या सीधे है, यही है, ये कार्य किसी भी मूल्य ले सकते हैं।

परिभाषाएं, डेटा तेज कोनों से अधिक है। त्रिकोणमिति में, रोटेशन के कोण की अवधारणा पेश की जाती है, जिसका मूल्य, तीव्र कोण के विपरीत, 0 से 90 डिग्री तक ढांचे तक ही सीमित नहीं है। डिग्री या रेडियंस में घूर्णन की घोषणा किसी भी वैध संख्या से व्यक्त की जाती है से - ∞ से + ∞।

इस संदर्भ में, एक मनमानी मूल्य के साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और गंतव्य कोण को परिभाषित करना संभव है। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत में केंद्र के साथ एक एकल सर्कल की कल्पना करें।

प्रारंभिक बिंदु ए के साथ एक समन्वय (1, 0) इकाई सर्कल के केंद्र के चारों ओर कुछ कोण α तक बदल जाता है और बिंदु 1 को स्थानांतरित करता है। परिभाषा बिंदु 1 (x, y) के निर्देशांक के माध्यम से दी जाती है।

साइनस (SIN) रोटेशन का कोण

रोटेशन α के साइन कोण ordinate बिंदु a 1 (x, y) है। पाप α \u003d y

कोसिनस (कोस) रोटेशन का कोण

रोटेशन α के कोण की कोसाइन एब्सिसा पॉइंट ए 1 (एक्स, वाई) है। cos α \u003d x

टेंगेंट (TG) कोण बारी

रोटेशन α का टेंगेंट कोण ordinate अंक 1 (x, y) को अपने Abscissa के अनुपात का अनुपात है। t g α \u003d y x

Cotangent (CTG) कोण बारी

रोटेशन α के कॉटैंटेंट कोण को इस समन्वय के लिए 1 (x, y) बिंदु का एब्सिसा अनुपात है। C t g α \u003d x y

सिन और कोसाइन को रोटेशन के किसी भी कोण के लिए परिभाषित किया गया है। यह तार्किक है, क्योंकि एब्सिसा और मोड़ने के बाद बिंदु के नियम किसी भी कोयले में निर्धारित किए जा सकते हैं। अन्यथा, यह टेंगेंट और कोटेनेस के मामले में है। टेंगेंट परिभाषित नहीं किया जाता है जब मोड़ के बाद बिंदु शून्य abscissa (0, 1) और (0, 1) के साथ एक बिंदु पर जाता है। ऐसे मामलों में, टैंगेंट टी जी α \u003d वाई एक्स के लिए अभिव्यक्ति बस समझ में नहीं आता है, क्योंकि यह शून्य में मौजूद है। इसी प्रकार, पोतनेस के साथ स्थिति। अंतर यह है कि जब ऑर्डर शून्य में खींचा जाता है तो कॉटेंगेंट को उन मामलों में परिभाषित नहीं किया जाता है।

याद करने के लिए महत्वपूर्ण!

साइनस और कोसाइन किसी भी कोण α के लिए परिभाषित किया गया है।

टेंगेंट को सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, α \u003d 90 डिग्री + 180 डिग्री · के, के ∈ z (α \u003d π 2 + π · के, k ∈ z) को छोड़कर

कॉटेंगेंट को सभी कोणों के लिए परिभाषित किया गया है, α \u003d 180 डिग्री · के, के ∈ z (α \u003d π · k, k ∈ z) को छोड़कर

व्यावहारिक उदाहरणों को हल करते समय, "रोटेशन α का साइन कोण" नहीं कहता है। शब्द "रोटेशन का कोण" बस कम हो गया, जो कि संदर्भ से है और इतना स्पष्ट है कि हम किस बारे में बात कर रहे हैं।

नंबर

साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंगेंट नंबर की परिभाषा से कैसे निपटें, बारी का कोण नहीं?

साइनस, कोसाइन, टेंगेंट, catangent संख्या

साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंगेंट नंबर टी उस संख्या को बुलाया गया है जो क्रमशः साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेंट में है टीरेडियन।

उदाहरण के लिए, संख्या 10 π का \u200b\u200bसाइनस 10 π के मूल्य के घूर्णन के साइनस कोण के बराबर है।

साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंगेंट नंबर की परिभाषा के लिए एक और दृष्टिकोण है। इसे अधिक विस्तार से मानें।

कोई वैध संख्या टी इसे आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली की शुरुआत में केंद्र के साथ एक सर्कल पर बिंदु के अनुसार रखा जाता है। साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेनेस इस बिंदु के निर्देशांक के माध्यम से निर्धारित किए जाते हैं।

सर्कल पर प्रारंभिक बिंदु निर्देशांक (1, 0) के साथ बिंदु है।

सकारात्मक संख्या टी

ऋणात्मक संख्या टी यह उस बिंदु से मेल खाता है जिसमें शुरुआती बिंदु गुजर जाएगा यदि यह सर्कल के चारों ओर घूमता है और पथ टी।

अब, जब सर्कल पर संख्या और बिंदुओं का कनेक्शन स्थापित किया जाता है, तो साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेंस की परिभाषा के लिए आगे बढ़ें।

साइनस (SIN) संख्या टी

साइनस नंबर टी- संख्या के अनुरूप एक एकल सर्कल का समन्वय बिंदु टी Sin t \u003d y

कोसाइन (कोस) संख्या टी

कोसाइन नंबर टी- संख्या के अनुरूप एक एकल सर्कल का Abscissa बिंदु टी cos t \u003d x

टेंगेंट (टीजी) संख्या टी

टेंगेंट संख्या टी - संख्या के अनुरूप इकाई सर्कल के एब्सिसा बिंदु को समन्वय का अनुपात टी T g t \u003d y x \u003d sin t cos t

नवीनतम परिभाषाएं इसके अनुसार हैं और इस आइटम की शुरुआत में दी गई परिभाषा का खंडन नहीं करती हैं। संख्या के अनुरूप सर्कल पर इंगित करें टीएक बिंदु के साथ मेल खाता है जिसमें प्रारंभिक बिंदु कोण को मोड़ने के बाद जाता है टीरेडियन।

कोणीय और संख्यात्मक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों

कोण α का प्रत्येक मान साइनस और इस कोण के कोसाइन के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। साथ ही, सभी कोण α के रूप में, α \u003d 90 ° + 180 डिग्री · के, के ∈ z (α \u003d π 2 + π · k, k ∈ z) से अलग स्पर्शक के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है। ऊपर वर्णित कॉटेंगेंट, α \u003d 180 डिग्री · के, के ∈ z (α \u003d π · के, के ∈ z) को छोड़कर, सभी α के लिए परिभाषित किया गया है।

यह कहा जा सकता है कि पाप α, कोस α, टी जी α, सी टी जी α अल्फा के कोण, या कोणीय तर्क के कार्य का कार्य है।

इसी प्रकार, आप एक संख्यात्मक तर्क के कार्यों के रूप में साइन, कोसाइन, टेंगेंट और घुटने टेकन के बारे में बात कर सकते हैं। प्रत्येक वैध संख्या टीसाइन या कोसाइन नंबर के एक निश्चित मूल्य से मेल खाता है टी। Π 2 + π · k, k ∈ z के अलावा सभी नंबर टेंगेंट के मूल्य के अनुरूप हैं। Cotangenes, इसी तरह, सभी संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है, π k, k ∈ z को छोड़कर

त्रिकोणमिति के मुख्य कार्य

साइनस, कोसीनस, टेंगेंट और कोटेंगनेस मुख्य त्रिकोणमितीय कार्य हैं।

यह आमतौर पर संदर्भ से स्पष्ट होता है, जिसके साथ त्रिकोणमितीय कार्य (कोणीय तर्क या संख्यात्मक तर्क) का तर्क हम सौदा कर रहे हैं।

आइए अल्फा के परिभाषाओं और कोण की शुरुआत में डेटा पर वापस आएं, 0 से 90 डिग्री से लेकर। साइन, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेंस की त्रिकोणमितीय परिभाषाएं आयताकार त्रिभुज के पक्षों के अनुपात का उपयोग करके ज्यामितीय परिभाषा डेटा के साथ पूरी तरह से संगत हैं। इसे दिखाना।

आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में केंद्र के साथ एक एकल सर्कल लें। शुरुआती बिंदु को (1, 0) को 90 डिग्री तक के कोण तक चालू करें और परिणामी बिंदु से 1 (x, y) को एब्सिसा अक्ष के लंबवत रूप से ले जाएं। परिणामी आयताकार त्रिभुज में, कोण ए 1 ओ एच रोटेशन α के कोण के बराबर होता है, ओ एच की लंबाई बिंदु ए 1 (एक्स, वाई) के एब्सिसा के बराबर होती है। श्रेणी की लंबाई, विपरीत कोने, ordinate बिंदु ए 1 (x, y) के बराबर है, और hypotenuse लंबाई इकाई में से एक है, क्योंकि यह एक एकल सर्कल का त्रिज्या है।

ज्यामिति की परिभाषा के अनुसार, कोण α का साइनस hypotenuse के लिए विपरीत श्रेणी के दृष्टिकोण के बराबर है।

sin α \u003d a 1 h o a 1 \u003d y 1 \u003d y

इसका मतलब है कि पहलू अनुपात के माध्यम से एक आयताकार त्रिकोण में एक तीव्र कोण की साइन की परिभाषा रोटेशन α के साइन कोण को निर्धारित करने के बराबर है, जिसमें अल्फा 0 से 90 डिग्री तक लेटा हुआ है।

इसी प्रकार, परिभाषाओं की अनुरूपता कोसाइन, टेंगेंट और गंडेंट के लिए दिखाया जा सकता है।

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शुरू करने के लिए, एक त्रिज्या 1 और केंद्र के साथ (0; 0) के साथ सर्कल पर विचार करें। किसी भी αєr के लिए, 0 ए के त्रिज्या को किया जा सकता है ताकि 0 ए और एक्सिस 0x के बीच कोण का रेडिकुलर माप α के बराबर है। वामावर्त दिशा को सकारात्मक माना जाता है। त्रिज्या के अंत को समन्वय (ए, बी) है।

साइनस परिभाषा

परिभाषा: वर्णित विधि द्वारा निर्मित एक त्रिज्या के समन्वय के बराबर संख्या बी Sinα द्वारा इंगित की जाती है और इसे कोण α की साइन कहा जाता है।

उदाहरण: पाप 3π cos3π / 2 \u003d 0 0 \u003d 0

कोसीनस की परिभाषा

परिभाषा: वर्णित विधि द्वारा निर्मित एक त्रिज्या के अंत के एबीएससीआईएसए के बराबर संख्या कोओएसए द्वारा दर्शाया गया है और इसे कोण α की कोसाइन कहा जाता है।

उदाहरण: COS0 COS3π + COS3,5π \u003d 1 (-1) + 0 \u003d 2

ये उदाहरण एकल त्रिज्या और एक सर्कल के अंत के निर्देशांक के माध्यम से कोण के साइनस और कोसाइन की परिभाषा का उपयोग करते हैं। एक और दृश्य दृश्य के लिए, एक सर्कल को आकर्षित करना और उस पर संबंधित बिंदुओं को स्थगित करना आवश्यक है, और फिर साइन की गणना के लिए कोसाइन और अध्यादेश की गणना करने के लिए अपने एब्रिसा की गणना करें।

टेंगेंट की परिभाषा

परिभाषा: एक्स ≠ π / 2 + πk के साथ TGX \u003d SINX / COSX फ़ंक्शन, KєZ, KєZ, जिसे Cotangen कोण X कहा जाता है। TGX फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र x \u003d π / 2 + πn, nєz को छोड़कर सभी मान्य संख्याएं हैं।

उदाहरण: tg0 tgπ \u003d 0 0 \u003d 0

यह उदाहरण पिछले वाले के समान है। कोण के टेंगेंट की गणना करने के लिए, आपको अपने एब्रिसा पर बिंदु के क्रम को विभाजित करने की आवश्यकता है।

कोटेगेंट की परिभाषा

परिभाषा: CTGX \u003d COSX / SINX फ़ंक्शन x ≠ πk के साथ, KєZ को एक कोनेंटेंट कोण एक्स कहा जाता है। फ़ंक्शन ctgx \u003d -be का परिभाषा क्षेत्र x \u003d πk, kєz को छोड़कर मान्य संख्या है।

एक पारंपरिक आयताकार त्रिकोण पर एक उदाहरण पर विचार करें

स्पष्ट होने के लिए, कोसाइन, साइनस, स्पर्शरेखा और catangenes क्या है। Y के कोण के साथ एक पारंपरिक आयताकार त्रिकोण पर एक उदाहरण पर विचार करें और ए, बी, सी के पक्षों के साथ। Hypotenuse सी, Kartets, क्रमशः, ए और बी। हाइपोथेनस सी और कैथेट बी वाई के बीच कोण।

परिभाषा: कोण वाई Hypotenuse के लिए विपरीत श्रेणी का अनुपात है: siny \u003d a / s

परिभाषा: कोसाइन कोण वाई Hypotenuse के लिए आसन्न श्रेणी का अनुपात है: conso \u003d in / s

परिभाषा: टेंगेंट कोण यू आसन्न के लिए एक विरोधी श्रेणी का रवैया है: tgy \u003d a / in

परिभाषा: Cotangens कोण y निकटतम श्रेणी का दृष्टिकोण विपरीत है: ctgy \u003d v / a

सिनस, कोसाइन, टेंगेंट और कोटेंगेन्स को त्रिकोणमितीय कार्य भी कहा जाता है। प्रत्येक कोने का अपना साइनस और कोसाइन होता है। और लगभग हर किसी के पास अपने स्वयं के स्पर्शरेखा और कोटेंगनेस हैं।

ऐसा माना जाता है कि अगर हमें कोण दिया जाता है, तो उसके साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कोटांगनेस हम जानते हैं! और इसके विपरीत। दान साइनस, या किसी अन्य त्रिकोणमितीय समारोह, क्रमशः, हम कोण को जानते हैं। यहां तक \u200b\u200bकि विशेष टेबल भी बनाए जाते हैं, जहां प्रत्येक कोण के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों को चित्रित किया जाता है।

मुझे लगता है कि आप उससे अधिक के लायक हैं। यहां त्रिकोणमिति की मेरी कुंजी है:

• गुंबद, दीवार और छत खींचें
• त्रिकोणमितीय कार्य इन तीन रूपों के प्रतिशत से अधिक कुछ नहीं हैं।

साइनस और कोसाइन के लिए रूपक: गुंबद

बस त्रिकोणों को स्वयं को देखने के बजाय, उन्हें कल्पना में कल्पना करें, जीवन के कुछ विशेष उदाहरण ढूंढना।

कल्पना कीजिए कि आप गुंबद के बीच में हैं और फिल्म प्रोसेसर के लिए स्क्रीन लटकाना चाहते हैं। आप एक निश्चित कोण "एक्स" के तहत गुंबद के लिए एक उंगली निर्दिष्ट करते हैं, और स्क्रीन को निलंबित किया जाना चाहिए।

जिसे आप निर्दिष्ट करते हैं वह कोण निर्धारित करता है:

• साइनस (x) \u003d पाप (x) \u003d स्क्रीन ऊंचाई (गुंबद पर फर्श से लगाव बिंदु तक)
• कोसाइन (x) \u003d cos (x) \u003d स्क्रीन से आपकी दूरी (फर्श द्वारा)
• हाइपोटेन्यूज, स्क्रीन के शीर्ष तक आप से दूरी, हमेशा एक ही, गुंबद के त्रिज्या के बराबर

क्या आप स्क्रीन जितना संभव हो उतना बड़ा चाहते हैं? इसे सीधे अपने ऊपर लटकाओ।

क्या आप स्क्रीन पसंद करेंगे कि आप से उच्चतम दूरी पर लटकाएंगे? इसे सीधे लंबवत रूप से खड़े रहें। इस स्थिति में स्क्रीन में शून्य ऊंचाई होगी, और जैसा कि आपने पूछा था, यह सबसे दूरस्थ रूप से लटका होगा।

स्क्रीन से ऊंचाई और दूरी उल्टा आनुपातिक है: स्क्रीन के करीब, ऊंचाई अधिक होगी।

साइनस और कोसाइन - यह ब्याज है

मेरे अध्ययन के वर्षों में कोई भी नहीं, हां, ने मुझे यह नहीं बताया कि साइनस और कोसाइन के त्रिकोणमितीय कार्यों में रुचि से ज्यादा कुछ नहीं है। उनके मूल्य + 100% से 0 और -100% तक, या सकारात्मक अधिकतम से शून्य से अधिकतम अधिकतम तक हैं।

मान लें कि मैंने 14 रूबल का कर का भुगतान किया। आप नहीं जानते कि यह कितना है। लेकिन अगर आप कहते हैं कि मैंने कर के रूप में 95% का भुगतान किया है, तो आपको पता चलेगा कि मैं सिर्फ एक चिपचिपा के रूप में उठ गया।

पूर्ण ऊंचाई कुछ भी नहीं कहती है। लेकिन अगर साइन का मूल्य 0.95 है, तो मैं समझता हूं कि टीवी लगभग आपके गुंबद के शीर्ष पर लटका हुआ है। बहुत जल्द यह गुंबद के केंद्र में अधिकतम ऊंचाई तक पहुंच जाएगा, और फिर फिर से गिरावट शुरू कर देगा।

हम इस प्रतिशत की गणना कैसे कर सकते हैं? बहुत सरल: स्क्रीन ऊंचाई के वर्तमान मूल्य को अधिकतम संभव (गुंबद त्रिज्या, जिसे हाइपोटेन्यूज भी कहा जाता है) में विभाजित करें।

इसीलिए हमें बताया जाता है कि "कोसाइन \u003d कैटैट / हाइपोटेन्यूज के विपरीत।" प्रतिशत प्राप्त करने के लिए यह सब कुछ है! साइन को "अधिकतम संभव से वर्तमान ऊंचाई का प्रतिशत" के रूप में निर्धारित करना सबसे अच्छा है। (साइन नकारात्मक हो जाता है यदि आपका कोण "भूमिगत" इंगित करता है। कोण नकारात्मक हो जाता है यदि कोण आपके पीछे गुंबद बिंदु को इंगित करता है)।

आइए गणना को सरल बनाएं, यह सुझाव देते हुए कि हम एक सर्कल (त्रिज्या \u003d 1) के केंद्र में हैं। हम विभाजन को छोड़ सकते हैं और केवल एक सीन को ऊंचाई के बराबर ले सकते हैं।

प्रत्येक सर्कल अनिवार्य रूप से वांछित आकार के पैमाने पर एक एकल, बढ़ाया या कम होता है। इसलिए, शरारती सर्कल के कनेक्शन निर्धारित करें और परिणामों को अपने विशिष्ट परिधि में लागू करें।

प्रयोग: किसी भी कोण को लें और देखें कि चौड़ाई की चौड़ाई का प्रतिशत क्या प्रदर्शित करता है:

साइनस मान का विकास कार्यक्रम सिर्फ एक सीधी रेखा नहीं है। पहली 45 डिग्री ऊंचाई की 70%, और अंतिम 10 डिग्री (80 डिग्री से 9 0 डिग्री से) केवल 2% कवर की जाती हैं।

तो यह आपके लिए स्पष्ट हो जाता है: यदि आप एक सर्कल में जाते हैं, तो 0 डिग्री पर आप लगभग लंबवत सवारी करते हैं, लेकिन गुंबद के शीर्ष के दृष्टिकोण के रूप में, ऊंचाई कम और कम भिन्न होती है।

टेंगेंट और सत्र। दीवार

एक पड़ोसी ने एक दीवार बनाई सही सही अपने गुंबद के लिए। हमने खिड़की से आपका विचार रोया और पुनर्विक्रय के लिए अच्छी कीमत!

लेकिन क्या इस स्थिति में किसी भी तरह से जीतना संभव है?

बिलकुल हाँ। और क्या होगा यदि हम सीधे पड़ोसी की दीवार पर एक फिल्म स्क्रीन लटकाते हैं? आप कोण (x) को लक्षित करते हैं और प्राप्त करते हैं:

• टेंगेंट (x) \u003d tan (x) \u003d दीवार पर स्क्रीन की ऊंचाई
• दीवार से दूरी: 1 (यह आपके गुंबद का त्रिज्या है, दीवार आप से दूर नहीं जाती है, है ना?)
• सत्र (x) \u003d सेकंड (x) \u003d "लंबाई लंबाई" आप गुंबद के केंद्र में निलंबित स्क्रीन के शीर्ष पर खड़े हैं

आइए टेंगेंट, या स्क्रीन की ऊंचाई के संबंध में कुछ क्षणों को स्पष्ट करें।

• यह 0 से शुरू होता है, और अंतहीन ऊंचा हो सकता है। आप अपनी पसंदीदा फिल्म देखने के लिए केवल एक अनंत कैनवास प्राप्त करने के लिए दीवार पर अधिक से अधिक स्क्रीन को और अधिक बढ़ा सकते हैं! (इस तरह के एक विशाल के लिए, निश्चित रूप से, इसे शालीन रूप से खर्च करना होगा)।
• टेंगेंट सिर्फ साइनस का एक बड़ा संस्करण है! और जब साइन की वृद्धि धीमी हो जाती है क्योंकि गुंबद गुंबद के शीर्ष की तरफ बढ़ रहा है, टेंगेंट बढ़ता जा रहा है!

Seanters भी घमंड करने के लिए है:

• आसंजन 1 के साथ शुरू होता है (सीढ़ी फर्श पर, आप से दीवार तक) और वहां से उठने लगता है
• चिपकने वाला हमेशा टेंगेंट से अधिक लंबा होता है। इच्छुक सीढ़ी जिसके साथ आप अपनी स्क्रीन लटकाते हैं उसे स्क्रीन से अधिक लंबा होना चाहिए, है ना? (अवास्तविक आकार के साथ, जब स्क्रीन, बहुत लंबी हो, और सीढ़ी लगभग लंबवत रखी जानी चाहिए, उनका आकार लगभग समान है। लेकिन फिर भी सत्र लंबा होगा)।

याद रखें, मूल्य हैं प्रतिशत। यदि आप 50 डिग्री, टैन (50) \u003d 1.1 9 के कोण पर स्क्रीन लटकने का निर्णय लेते हैं। आपकी स्क्रीन दीवार (डोम त्रिज्या) की दूरी से 1 9% अधिक है।

(X \u003d 0 दर्ज करें और अपने अंतर्ज्ञान की जांच करें - तन (0) \u003d 0, और सेकंड (0) \u003d 1.)

कोटेंगनेस और सोस्कन। अधिकतम सीमा

अविश्वसनीय रूप से, लेकिन आपके पड़ोसी ने अब आपके गुंबद पर ओवरलैपिंग का फैसला किया है। (उसके साथ क्या गलत है? वह, जाहिर है, नहीं चाहता कि आप उससे जासूसी करें, जबकि वह यार्ड नग्न पर चलता है ...)

खैर, यह छत पर बाहर निकलने और पड़ोसी से बात करने का समय है। आप झुकाव का कोण चुनते हैं, और बिल्डिंग शुरू करते हैं:

• छत के आउटलेट और फर्श के बीच लंबवत दूरी हमेशा 1 (गुंबद त्रिज्या) के बराबर होती है
• cotangent (x) \u003d cot (x) \u003d गुंबद के शीर्ष और बाहर निकलने की जगह के बीच की दूरी
• कोस्नेंस (x) \u003d csc (x) \u003d आपकी छत पथ की लंबाई

टेंगेंट और सत्र दीवार का वर्णन करता है, और कोथानक्स और कोसोशान ओवरलैप का वर्णन करते हैं।

हमारे अंतर्ज्ञानी निष्कर्ष इस बार पिछले वाले के समान हैं:

• यदि आप 0 डिग्री के बराबर कोण लेते हैं, तो छत पर आपका बाहर निकलने से असीम हो जाएगा, क्योंकि यह कभी भी ओवरलैप तक नहीं पहुंच जाएगा। संकट।
• छत पर छोटी "सीढ़ी" बाहर निकल जाएगी यदि आप इसे मंजिल पर 90 डिग्री के कोण पर बनाते हैं। कोटेंगनेस 0 के बराबर होगा (हम छत के साथ नहीं जाते हैं, हम सख्ती से लंबवत छोड़ देते हैं), और मोशन 1 ("सीढ़ी की लंबाई" न्यूनतम होगा)।

कनेक्शन विज़ुअलाइज़ करें

यदि सभी तीन मामले गुंबद-दीवार ओवरलैप के संयोजन में आते हैं, तो निम्नलिखित होगा:

खैर, यह आवश्यक है, यह सभी एक ही त्रिभुज है, दीवार पर जाने के लिए और ओवरलैप से पहले आकार में वृद्धि हुई है। हमारे पास ऊर्ध्वाधर पक्ष (साइनस, टेंगेंट), क्षैतिज पक्ष (कोसाइन, कैनंगेंट) और "hypotenuses" (सत्र, sanguans) है। (तीरों द्वारा आप देख सकते हैं, दस्तावेज़ प्रत्येक तत्व के साथ आता है। Mossens आप से छत तक एक पूरी दूरी है)।

कुछ जादू। सभी त्रिकोण समान समानता को एकजुट करते हैं:

पाइथागोरियन प्रमेय (2 + बी 2 \u003d सी 2) से, हम देखते हैं कि प्रत्येक त्रिभुज के पक्ष कैसे जुड़े हुए हैं। इसके अलावा, "ऊंचाई से चौड़ाई" प्रकार का अनुपात सभी त्रिकोणों के लिए भी समान होना चाहिए। (बस सबसे बड़े त्रिभुज से एक छोटे से पीछे हटना। हां, आकार बदल गया है, लेकिन पार्टियों के अनुपात समान रहेगा)।

यह जानकर कि प्रत्येक त्रिभुज में कौन सा पक्ष 1 (गुंबद त्रिज्या) के बराबर है, हमें आसानी से गणना की जाती है कि "पाप / कॉस \u003d टैन / 1"।

मैंने हमेशा सरल दृश्यता से इन तथ्यों को याद रखने की कोशिश की है। तस्वीर में आप स्पष्ट रूप से इन निर्भरताओं को देखते हैं, और आप जानते हैं कि वे कहां से आते हैं। यह तकनीक शुष्क सूत्रों को बेहतर ढंग से याद कर रही है।

अन्य कोनों के बारे में मत भूलना

टीसीसी ... एक शेड्यूल पर रहने की कोई ज़रूरत नहीं है, यह सोचकर कि टेंगेंट हमेशा 1 से कम होता है। यदि आप कोण को बढ़ाते हैं, तो आप दीवार तक पहुंचने के बिना छत पर जा सकते हैं:

पायथागोर के कनेक्शन हमेशा काम करते हैं, लेकिन सापेक्ष आकार अलग हो सकते हैं।

(आपने शायद देखा है कि साइनस और कोसाइन का अनुपात हमेशा सबसे छोटा होता है, क्योंकि वे गुंबद के अंदर संलग्न होते हैं)।

आइए सारांशित करें: हमें क्या याद रखने की आवश्यकता है?

हम में से अधिकांश के लिए, मैं कहूंगा कि यह पर्याप्त होगा:

• त्रिकोणमिति गणितीय वस्तुओं की शारीरिक रचना को बताती है, जैसे मंडल और दोहराए गए अंतराल
• गुंबद / दीवार / छत के समानता विभिन्न त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच संबंध दिखाती है
• त्रिकोणमितीय कार्यों का नतीजा ब्याज है जो हम अपने परिदृश्य पर लागू होते हैं।

आपको सूत्रों को याद रखने की आवश्यकता नहीं है, टाइप 1 2 + सीओटी 2 \u003d सीएससी 2। वे मूर्ख परीक्षणों को छोड़कर उपयुक्त हैं, जिसमें इस तथ्य का ज्ञान उनकी समझ के लिए जारी किया जाता है। एक गुंबद, दीवार और छत के रूप में एक अर्धवृत्ताकार खींचने के लिए एक मिनट बिताएं, तत्वों पर हस्ताक्षर करें, और सभी सूत्र स्वयं आपको पेपर पर पूछेंगे।

परिशिष्ट: रिवर्स फ़ंक्शन

कोई त्रिकोणीय कार्य एक इनपुट पैरामीटर के रूप में एक कोण का उपयोग करता है और परिणाम को प्रतिशत के रूप में लौटाता है। पाप (30) \u003d 0.5। इसका मतलब है कि 30 डिग्री का कोण अधिकतम ऊंचाई का 50% लेता है।

रिवर्स त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को SIN -1 या ARCSIN ("ARXINUS") के रूप में लिखा गया है। अक्सर विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में असिन भी लिखते हैं।

यदि हमारी ऊंचाई गुंबद की ऊंचाई का 25% है, तो हमारे कोण क्या हैं?

हमारी रेटिंग प्लेट में, आप उस अनुपात को पा सकते हैं जहां सत्र 1 में विभाजित किया गया है। उदाहरण के लिए, 1 पर एक सत्र (क्षैतिज के लिए hypotenuse) कोसाइन पर 1 विभाजन के बराबर होगा:

मान लीजिए कि हमारे सत्र 3.5 हैं, यानी एक सर्कल के 350% त्रिज्या। दीवार के लिए झुकाव का क्या कोने वाला मूल्य मिलान किया गया है?

परिशिष्ट: कुछ उदाहरण

उबाऊ कार्य। आइए एक बैनल को जटिल करें "साइनस ढूंढें" "अधिकतम (hypotenuse) के प्रतिशत के रूप में ऊंचाई क्या है?"।

सबसे पहले, ध्यान दें कि त्रिभुज बदल गया है। इसमें कुछ भी भयानक नहीं है। त्रिकोण में सबकुछ भी ऊंचाई है, यह आकृति में हरा दिखाया गया है।

और hypotenuse क्या है? पाइथागोरा प्रमेय के अनुसार, हम जानते हैं कि:

3 2 + 4 2 \u003d hypotenuse 2 25 \u003d hypotenuse 2 5 \u003d hypotenuse

ठीक है! साइनस त्रिभुज के सबसे लंबे समय तक ऊंचाई का प्रतिशत है, या hypotenuses। हमारे उदाहरण में, साइनस 3/5 या 0.60 है।

बेशक, हम कुछ तरीकों से जा सकते हैं। अब हम जानते हैं कि साइन 0.60 के बराबर है, और हम सिर्फ अर्किनस ढूंढ सकते हैं:

Asin (0.6) \u003d 36.9

लेकिन एक और दृष्टिकोण। ध्यान दें कि त्रिभुज "दीवार पर आमने-सामने" है, इसलिए साइनस के बजाय हम टेंगेंट का उपयोग कर सकते हैं। ऊंचाई 3 है, दीवार की दूरी 4 है, ताकि स्पर्शक ¾ या 75% के बराबर हो। हम प्रतिशत मूल्य से कोण पर वापस लौटने के लिए आर्केंटेनेंट का उपयोग कर सकते हैं:

Tan \u003d 3/4 \u003d 0.75 Atan (0.75) \u003d 36.9 उदाहरण: क्या आप किनारे तक जागते हैं?

आप नाव में हैं, और आपके पास 2 किमी की दूरी पर पर्याप्त ईंधन है। अब आप तट से 0.25 किमी दूर हैं। किनारे पर कितना कोने में आप इसे प्राप्त कर सकते हैं ताकि ईंधन पर्याप्त हो? कार्य की शर्त के लिए पूरक: हमारे पास केवल आर्ककोस के मूल्यों की तालिका है।

हमारे पास क्या है? समुद्र तट को हमारे प्रसिद्ध त्रिभुज में "दीवार" के रूप में दर्शाया जा सकता है, और दीवार से जुड़ी "सीढ़ियों की लंबाई" नाव पर तट (2 किमी) की अधिकतम संभव दूरी है। सत्र कहा जाता है।

सबसे पहले, आपको ब्याज पर जाना होगा। हमारे पास 2 / 0.25 \u003d 8 है, यानी, हम दूरी को पार कर सकते हैं, किनारे की सीधी दूरी से 8 गुना अधिक (या दीवार)।

सवाल उठता है "सत्र 8 क्या है?" लेकिन हम इस पर प्रतिक्रिया नहीं दे सकते हैं, क्योंकि हमारे पास केवल आर्कोसाइन हैं।

हम सत्रों को सत्रों को बाध्य करने के लिए हमारी पूर्व अक्षम निर्भरताओं का उपयोग करते हैं: "SEC / 1 \u003d 1 / COS"

सत्र 8 कोसाइन ⅛ के बराबर है। कोण जिसका कोसाइन एकोस (1/8) \u003d 82.8 के बराबर है। और यह सबसे बड़ा कोण है कि हम एक निर्दिष्ट राशि के साथ एक नाव पर खर्च कर सकते हैं।

बुरा नहीं, है ना? एक छत के गुंबद के साथ एक समानता के बिना, मैं सूत्रों और गणनाओं के ढेर में उलझन में होगा। कार्य दृश्यता समाधान की खोज को बहुत सरल बनाती है, इसके अलावा, यह देखना दिलचस्प है कि कौन सा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन अंततः मदद करेगा।

प्रत्येक कार्य को हल करते समय, निम्नानुसार सोचें: मुझे गुंबद (पाप / सीओएस), दीवार (टीएएन / एसईसी) या छत (सीओटी / सीएससी) में दिलचस्पी है?

और त्रिकोणमिति अधिक सुखद हो जाएगी। आप की गणना करने के लिए फेफड़े!