विमान के लंबवत डायहेड्रल कोण। डायहेड्रल कोण

अध्याय एक रेखीय और तल

V. दोहरा कोण, समतल के साथ समकोण,
दो क्रॉस्ड स्ट्रेट्स, पॉलीहेड्रल एंगल्स का कोण

डायहेड्रल कोण

38. परिभाषाएँ।इस तल में स्थित किसी भी सीधी रेखा के एक ओर स्थित तल का भाग कहलाता है आधा विमान... एक सीधी रेखा (AB) से निकलने वाले दो अर्ध-तलों (P और Q, चित्र 26) द्वारा बनाई गई आकृति कहलाती है डिहेड्रल... सीधा AB कहलाता है किनारा, और अर्ध-तल P और Q हैं दलोंया पहलुओंडायहेड्रल कोण।

इस तरह के कोण को आमतौर पर इसके किनारे पर रखे गए दो अक्षरों (डायहेड्रल कोण AB) द्वारा दर्शाया जाता है। लेकिन अगर एक किनारे पर कोई डायहेड्रल कोण नहीं हैं, तो उनमें से प्रत्येक को चार अक्षरों से दर्शाया जाता है, जिनमें से दो मध्य किनारे पर होते हैं, और दो चरम किनारों पर होते हैं (उदाहरण के लिए, एससीडीआर डायहेड्रल कोण) (चित्र। 27)।

यदि किनारे AB के एक मनमाना बिंदु D से (चित्र 28) हम प्रत्येक फलक पर लंब के किनारे पर खींचते हैं, तो उनके द्वारा बनाए गए कोण CDE को कहा जाता है रैखिक कोणडायहेड्रल कोण।

एक रेखीय कोण का मान किनारे पर इसके शीर्ष की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है। तो, रैखिक कोण सीडीई और सी 1 डी 1 ई 1 बराबर हैं, क्योंकि उनके पक्ष क्रमशः समानांतर और समान रूप से निर्देशित हैं।

रैखिक कोण तल किनारे के लंबवत होता है, क्योंकि इसमें दो रेखाएँ लंबवत होती हैं। इसलिए, एक रैखिक कोण प्राप्त करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के चेहरे को किनारे से लंबवत एक विमान द्वारा पार करना पर्याप्त है, और इस विमान में प्राप्त कोण पर विचार करें।

39. विकर्ण कोणों की समानता और असमानता।दो डायहेड्रल कोणों को समान माना जाता है यदि उन्हें एक साथ घोंसला बनाया जा सकता है; अन्यथा, डायहेड्रल कोणों में से एक को सबसे छोटा माना जाता है, जो दूसरे कोण का हिस्सा होगा।

प्लानिमेट्री में कोणों की तरह, डायहेड्रल कोण हो सकते हैं आसन्न, लंबवतआदि।

यदि दो आसन्न विकर्ण कोण एक दूसरे के बराबर हों, तो उनमें से प्रत्येक को कहा जाता है सही दिशा.

प्रमेय। 1) समान डायहेड्रल कोण समान रैखिक कोणों के अनुरूप होते हैं।

2) एक बड़ा डायहेड्रल कोण एक बड़े रैखिक कोण से मेल खाता है।

मान लीजिए PABQ, और P 1 A 1 B 1 Q 1 (चित्र 29) दो द्विफलकीय कोण हैं। हम कोण ए 1 बी 1 को कोने एबी में एम्बेड करते हैं ताकि किनारे ए 1 बी 1 किनारे एबी के साथ मेल खाता हो और चेहरा पी 1 चेहरे पी के साथ मेल खाता हो।

फिर यदि ये विकर्ण कोण बराबर हों, तो फलक Q 1, फलक Q से मेल खाता है; यदि कोण А 1 В 1 कोण AB से छोटा है, तो फलक Q 1 द्विफलकीय कोण के अंदर कुछ स्थान लेगा, उदाहरण के लिए Q 2।

इसे देखते हुए, हम उभयनिष्ठ किनारे पर कुछ बिंदु B लेते हैं और इसके माध्यम से किनारे पर लंबवत एक समतल R खींचते हैं। डायहेड्रल कोनों के चेहरों के साथ इस विमान के चौराहे से, रैखिक कोण प्राप्त होते हैं। यह स्पष्ट है कि यदि विकर्ण कोण संपाती हों, तो उनका रैखिक कोण CBD समान होगा; यदि डायहेड्रल कोण मेल नहीं खाते हैं, उदाहरण के लिए, चेहरा क्यू 1 स्थिति क्यू 2 पर कब्जा कर लेता है, तो बड़े डायहेड्रल कोण में एक बड़ा रैखिक कोण होगा (अर्थात्: / सीबीडी> / सी 2 बीडी)।

40. विलोम प्रमेय। 1) समान रैखिक कोण समान द्विफलक कोणों के संगत होते हैं।

2) एक बड़ा रैखिक कोण एक बड़े डायहेड्रल कोण से मेल खाता है .

इन प्रमेयों को विरोधाभास द्वारा आसानी से सिद्ध किया जाता है।

41. परिणाम। 1) एक समकोणीय कोण समकोण रेखीय कोण से मेल खाता है, और इसके विपरीत।

मान लीजिए (चित्र 30) विकर्ण कोण PABQ एक सीधी रेखा है। इसका मतलब है कि यह आसन्न कोने QABP 1 के बराबर है। लेकिन इस मामले में, रैखिक कोण सीडीई और सीडीई 1 भी बराबर हैं; और चूंकि वे आसन्न हैं, उनमें से प्रत्येक सीधा होना चाहिए। इसके विपरीत, यदि आसन्न रैखिक कोण सीडीई और सीडीई 1 बराबर हैं, तो आसन्न डायहेड्रल कोण भी बराबर होते हैं, यानी उनमें से प्रत्येक सीधा होना चाहिए।

2) सभी समकोण कोण समान होते हैं,क्योंकि उनके समान रैखिक कोण हैं .

इसी तरह, यह साबित करना आसान है कि:

3) ऊर्ध्वाधर डायहेड्रल कोण हैं.

4) डिहेड्रल समान रूप से समानांतर और समान रूप से (या विपरीत) निर्देशित किनारों वाले कोण बराबर होते हैं।

5) यदि द्विफलकीय कोणों के मात्रक के लिए हम ऐसा द्विफलक कोण लें जो रैखिक कोणों के मात्रक से मेल खाता हो, तो हम कह सकते हैं कि द्विफलक कोण को उसके रैखिक कोण से मापा जाता है।

पाठ का उद्देश्य: एक डायहेड्रल कोण और उसके रैखिक कोण की अवधारणा का परिचय।

कार्य:

शैक्षिक: इन अवधारणाओं के अनुप्रयोग के लिए कार्यों पर विचार करें, विमानों के बीच के कोण को खोजने का रचनात्मक कौशल बनाएं;

विकसित होना: छात्रों की रचनात्मक सोच का विकास, छात्रों का व्यक्तिगत आत्म-विकास, छात्रों के भाषण का विकास;

शैक्षिक: संस्कृति की शिक्षा मानसिक श्रमसंचार संस्कृति, चिंतनशील संस्कृति।

पाठ प्रकार: नए ज्ञान को आत्मसात करने का एक पाठ

शिक्षण विधियों: व्याख्यात्मक-चित्रणात्मक

उपकरण: कंप्यूटर, इंटरैक्टिव व्हाइटबोर्ड।

साहित्य:

ज्यामिति। 10-11 ग्रेड: पाठ्यपुस्तक। 10-11 सीएल के लिए। सामान्य शिक्षा। संस्थान: बुनियादी और प्रोफाइल। स्तर / [एल। एस। अतानासियन, वी.एफ.बुटुज़ोव, एस.बी. कदोमत्सेव और अन्य] - 18 वां संस्करण। - एम।: शिक्षा, 2009।-- 255 पी।

पाठ योजना:

संगठनात्मक क्षण (2 मिनट)

ज्ञान अद्यतन (5 मिनट)

नई सामग्री सीखना (12 मिनट)

अध्ययन सामग्री का समेकन (21 मिनट)

होमवर्क (2 मिनट)

संक्षेप (3 मिनट)

कक्षाओं के दौरान:

1. संगठनात्मक क्षण।

इसमें कक्षा का अभिवादन करने वाला शिक्षक, पाठ के लिए परिसर तैयार करना, अनुपस्थितियों की जाँच करना शामिल है।

2. बुनियादी ज्ञान को अद्यतन करना।

शिक्षक: पिछले पाठ में आपने लिखा था स्वतंत्र काम... सामान्य तौर पर, काम अच्छी तरह से लिखा गया था। अब थोड़ा दोहराते हैं। समतल पर कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: समतल पर कोण एक बिंदु से निकलने वाली दो किरणों द्वारा बनाई गई आकृति है।

शिक्षक: अंतरिक्ष में सीधी रेखाओं के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: अंतरिक्ष में दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के बीच के कोण को इन सीधी रेखाओं की किरणों द्वारा उनके चौराहे के बिंदु पर शीर्ष के साथ बनने वाले कोणों में से सबसे छोटा कोण कहा जाता है।

विद्यार्थी: सीधी रेखाओं को प्रतिच्छेद करने के बीच का कोण डेटा के समानांतर, क्रमशः, प्रतिच्छेद करने वाली सीधी रेखाओं के बीच का कोण है।

शिक्षक: रेखा और समतल के बीच के कोण को क्या कहते हैं?

विद्यार्थी: एक सीधी रेखा और एक समतल के बीच का कोणएक सीधी रेखा और इस तल पर उसके प्रक्षेपण के बीच के किसी कोण को कहा जाता है।

3. नई सामग्री सीखना।

शिक्षक: स्टीरियोमेट्री में, ऐसे कोणों के साथ, एक और प्रकार के कोण माने जाते हैं - डायहेड्रल कोण। आपने शायद पहले ही अनुमान लगा लिया था कि आज के पाठ का विषय क्या है, इसलिए अपनी नोटबुक खोलें, आज की तारीख और पाठ का विषय लिखें।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना:

10.12.14.

डायहेड्रल कोण।

शिक्षक : डायहेड्रल कोण की अवधारणा को पेश करने के लिए, यह याद रखना चाहिए कि किसी दिए गए विमान में खींची गई कोई भी सीधी रेखा इस विमान को दो अर्ध-तलों में विभाजित करती है।(चित्र 1, ए)

शिक्षक : आइए कल्पना करें कि हमने समतल को एक सीधी रेखा के अनुदिश मोड़ा ताकि सीमा वाले दो अर्ध-तल अब एक ही तल में न पड़े हों (चित्र 1, ख)। परिणामी आंकड़ा डायहेड्रल कोण है। एक डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा के साथ बनाई गई एक आकृति है जो एक ही विमान से संबंधित नहीं है। अर्ध-तल जो एक द्विफलकीय कोण बनाते हैं, इसके फलक कहलाते हैं। एक डायहेड्रल के दो चेहरे होते हैं, इसलिए नाम - डायहेड्रल। सीधी रेखा - अर्ध-तलों की उभयनिष्ठ सीमा - को द्वितल कोण का किनारा कहा जाता है। एक नोटबुक में परिभाषा लिखें।

एक डायहेड्रल कोण एक सीधी रेखा और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा के साथ बनाई गई एक आकृति है जो एक ही विमान से संबंधित नहीं है।

शिक्षक : रोजमर्रा की जिंदगी में, हम अक्सर ऐसी वस्तुओं से मिलते हैं जिनका आकार एक डायहेड्रल कोण का होता है। उदाहरण दो।

विद्यार्थी : अर्ध-खुला फ़ोल्डर।

विद्यार्थी : कमरे की दीवार फर्श के साथ साझा की गई है।

विद्यार्थी : विशाल छतइमारतें।

शिक्षक : सही। और ऐसे उदाहरणों की एक बड़ी संख्या है।

शिक्षक : जैसा कि आप जानते हैं, समतल पर कोणों को अंशों में मापा जाता है। आपके पास शायद एक प्रश्न है, डायहेड्रल कोणों को कैसे मापा जाता है? यह निम्न प्रकार से किया जाता है।हम विकर्ण कोण के किनारे पर कुछ बिंदु को चिह्नित करते हैं और इस बिंदु से किनारे के लंबवत प्रत्येक चेहरे पर एक किरण खींचते हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण को डायहेड्रल कोण का रैखिक कोण कहा जाता है। अपनी नोटबुक में एक चित्र बनाएं।

बोर्ड पर और नोटबुक में लिखना।

हे ∈ ए, एओ ⊥ ए, बीओ ⊥ ए, सीएबीडी- डायहेड्रल कोण,∠ एओबीडायहेड्रल कोण का रैखिक कोण है।

शिक्षक : एक द्विफलक के सभी रैखिक कोण बराबर होते हैं। इस तरह अपने आप को एक और ड्राइंग बनाएं।

शिक्षक : आइए इसे साबित करें। दो रैखिक कोणों पर विचार करें AOB तथापीक्यूआर... ओए बीम औरक्यूपीएक चेहरे पर झूठ बोलते हैं और लंबवत होते हैंओक्यू, जिसका अर्थ है कि वे सह-निर्देशित हैं। इसी प्रकार किरणें OB तथाक्यूआरसह-निर्देशित। माध्यम,∠ एओबी= ∠ पीक्यूआर(सह-दिशात्मक पक्षों के साथ कोनों की तरह)।

शिक्षक : खैर, अब हमारे प्रश्न का उत्तर यह है कि विकर्ण कोण को कैसे मापा जाता है।एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप इसके रैखिक कोण का डिग्री माप है। पृष्ठ ४८ पर ट्यूटोरियल से एक्यूट, राइट, और ऑब्सट्यूस डायहेड्रल्स की छवियों को फिर से बनाएं।

4. अध्ययन की गई सामग्री का समेकन।

शिक्षक : कार्यों के लिए चित्र बनाएं।

№ 1 . दिया गया:एबीसी, AC = BC, AB समतल में स्थित हैα, सीडी ⊥ α, सी∉ α. एक द्विफलकीय कोण के एक रैखिक कोण की रचना कीजिएसीएबीडी.

विद्यार्थी : समाधान:से। मी ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी.∠ अध्यक्ष एवं प्रबंध निदेशक - वांछित।

№ 2. दिया गया:एबीसी, ∠ सी= 90°, BC तल पर स्थित हैα, एओ⊥ α, ए∈ α.

एक द्विफलकीय कोण के एक रैखिक कोण की रचना कीजिएएबीसीओ।

विद्यार्थी : समाधान:अब ⊥ ईसा पूर्व, जेएससी⊥ सूर्य, फिर OS⊥ रवि।∠ एसीओ - वांछित।

№ 3 ... दिया गया:एबीसी, ∠ सी = 90 डिग्री, एबी विमान में स्थित हैα, सीडी⊥ α, सी∉ α. निर्माणरैखिक डायहेड्रल कोणडीएबीसी.

विद्यार्थी : समाधान: सी.के. ⊥ अब, डीसी ⊥ एबी,डीके ⊥ एबी का अर्थ है∠ डीकेसी - वांछित।

№ 4 ... दिया गया:डीएबीसी- चतुष्फलक,करना⊥ एबीसीएक द्विफलकीय कोण का एक रैखिक कोण बनाइएऐ बी सी डी.

विद्यार्थी : समाधान:डीएम ⊥ रवि,करना ⊥ सूर्य का अर्थ है ओम⊥ रवि;∠ ओएमडी - वांछित।

5. संक्षेप।

शिक्षक: आज के पाठ में आपने क्या नया सीखा?

छात्र : डायहेड्रल, रैखिक कोण क्या कहलाता है, डायहेड्रल कैसे मापा जाता है।

शिक्षक : आपने क्या दोहराया है?

छात्र : समतल पर कोण क्या कहलाता है; सीधी रेखाओं के बीच का कोण।

6. गृहकार्य।

बोर्ड पर और डायरी में लिखना: पृष्ठ 22, संख्या 167, संख्या 170।

पाठ का पाठ कोड:

प्लानिमेट्री में, मुख्य वस्तुएं सीधी रेखाएं, खंड, किरणें और बिंदु हैं। एक बिंदु से निकलने वाली किरणें ज्यामितीय आकृतियों-कोणों में से एक बनाती हैं।

हम जानते हैं कि रैखिक कोणों को डिग्री और रेडियन में मापा जाता है।

ठोस ज्यामिति में, वस्तुओं में एक तल जोड़ा जाता है। एक सीधी रेखा a और दो अर्ध-तलों द्वारा एक सामान्य सीमा a द्वारा बनाई गई आकृति, जो ज्यामिति में एक ही तल से संबंधित नहीं है, एक डायहेड्रल कोण कहलाती है। हाफ-प्लेन एक डायहेड्रल कोण के फलक हैं। रेखा ए डायहेड्रल कोण का किनारा है।

एक डायहेड्रल कोण, एक रैखिक कोण की तरह, कहा जा सकता है, मापा जा सकता है, बनाया जा सकता है। इस पाठ में हमें यही पता लगाना है।

आइए ABCD टेट्राहेड्रोन मॉडल पर डायहेड्रल कोण ज्ञात करें।

किनारे AB के साथ एक विकर्ण कोण को CABD कहा जाता है, जहाँ C और D कोण के विभिन्न फलकों से संबंधित बिंदु हैं और किनारे AB को बीच में कहा जाता है

हमारे चारों ओर बहुत सी वस्तुएं हैं जिनमें एक डायहेड्रल कोने के रूप में तत्व हैं।

कई शहरों में, पार्कों में सुलह के लिए विशेष बेंच हैं। बेंच को केंद्र में परिवर्तित होने वाले दो झुकाव वाले विमानों के रूप में बनाया गया है।

मकान बनाते समय, तथाकथित मकान के कोने की छत... इस घर पर छत को 90 डिग्री के डायहेड्रल एंगल के रूप में बनाया गया है।

डायहेड्रल कोण को डिग्री या रेडियन में भी मापा जाता है, लेकिन इसे कैसे मापें।

यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि घरों की छतें छत पर पड़ी हैं। और राफ्टर्स की लैथिंग एक दिए गए कोण पर छत के दो ढलान बनाती है।

आइए छवि को ड्राइंग में स्थानांतरित करें। ड्राइंग में, डायहेड्रल कोण को खोजने के लिए, बिंदु बी को इसके किनारे पर चिह्नित किया गया है। इस बिंदु से, दो बीम बीए और बीसी कोण के किनारे पर लंबवत खींचे जाते हैं। इन किरणों से बनने वाले कोण ABC को विकर्ण कोण का रैखिक कोण कहा जाता है।

एक डायहेड्रल कोण का डिग्री माप उसके रैखिक कोण के डिग्री माप के बराबर होता है।

आइए कोण AOB को मापें।

दिए गए डायहेड्रल कोण का डिग्री माप साठ डिग्री है।

डायहेड्रल कोण के लिए अनंत संख्या में रैखिक कोण होते हैं, यह जानना महत्वपूर्ण है कि वे सभी समान हैं।

दो रैखिक कोणों AOB और A1O1B1 पर विचार करें। बीम OA और O1A1 एक ही फलक पर स्थित हैं और सीधी रेखा OO1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-निर्देशित हैं। और О1В1 बीम भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, कोण AOB सह-निर्देशित पक्षों वाले कोणों के रूप में कोण A1O1B1 के बराबर है।

तो एक डायहेड्रल कोण एक रैखिक कोण की विशेषता है, और रैखिक कोण न्यून, अधिक और सीधे हैं। डायहेड्रल कोणों के मॉडल पर विचार करें।

एक अधिक कोण यदि इसका रैखिक कोण 90 और 180 डिग्री के बीच है।

एक समकोण यदि इसका रैखिक कोण 90 डिग्री है।

एक न्यून कोण, यदि इसका रैखिक कोण 0 और 90 डिग्री के बीच हो।

आइए हम एक रैखिक कोण के महत्वपूर्ण गुणों में से एक को सिद्ध करें।

रैखिक कोण का तल विकर्ण कोण के किनारे के लंबवत होता है।

मान लीजिए कोण AOB दिए गए द्विफलकीय कोण का रैखिक कोण है। रचना द्वारा, किरणें AO और OB सीधी रेखा a पर लंबवत हैं।

प्रमेय के अनुसार समतल AOB दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं AO और OB से होकर गुजरता है: एक समतल दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं से होकर गुजरता है और इसके अलावा, केवल एक।

सीधी रेखा a इस तल में पड़ी दो प्रतिच्छेदी सीधी रेखाओं के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि रेखा और तल के लंबवतता के चिह्न से, सीधी रेखा a समतल AOB के लंबवत है।

समस्याओं को हल करने के लिए, किसी दिए गए डायहेड्रल कोण के रैखिक कोण का निर्माण करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। चतुष्फलक ABCD के लिए किनारे AB के साथ द्विफलकीय कोण के रैखिक कोण की रचना कीजिए।

हम एक डायहेड्रल कोण के बारे में बात कर रहे हैं, जो सबसे पहले किनारे AB से बनता है, एक फलक ABD और दूसरा फलक ABC।

यहाँ निर्माण करने का एक तरीका है।

आइए बिंदु D से समतल ABC पर एक लंब बनाएं, लंब के आधार पर बिंदु M को चिह्नित करें। याद रखें कि एक टेट्राहेड्रोन में, लंबवत का आधार टेट्राहेड्रोन के आधार पर खुदा हुआ सर्कल के केंद्र के साथ मेल खाता है।

आइए बिंदु D से किनारे AB पर एक तिरछा बनाएं, बिंदु N को तिरछे के आधार के रूप में चिह्नित करें।

त्रिभुज DMN में, खंड NM समतल ABC पर झुके हुए DN का प्रक्षेपण होगा। तीन लंबवत प्रमेय द्वारा, किनारा AB प्रक्षेपण NM के लंबवत होगा।

इसका मतलब यह है कि डीएनएम कोण के किनारे किनारे एबी के लंबवत हैं, जिसका अर्थ है कि निर्मित कोण डीएनएम वांछित रैखिक कोण है।

डायहेड्रल कोण की गणना की समस्या को हल करने के एक उदाहरण पर विचार करें।

एक समद्विबाहु त्रिभुज ABC और एक समबाहु त्रिभुज ADB एक ही तल में नहीं हैं। खंड CD समतल ADB पर लंबवत है। विकर्ण कोण DABC ज्ञात कीजिए यदि AC = CB = 2 सेमी, AB = 4 सेमी।

विकर्ण कोण DABC इसके रैखिक कोण के बराबर होता है। आइए इस कोने का निर्माण करें।

आइए किनारे AB पर एक तिरछा CM बनाएं, क्योंकि त्रिभुज ACB समद्विबाहु है, तो बिंदु M किनारे AB के मध्य के साथ मेल खाएगा।

सीधी रेखा D शर्त के अनुसार समतल ADB के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि यह इस तल में पड़ी सीधी रेखा DM के लंबवत है। और खंड एमडी विमान एडीबी पर झुके हुए सीएम का प्रक्षेपण है।

निर्माण द्वारा सीधी रेखा AB झुके हुए CM के लंबवत है, जिसका अर्थ है कि तीन लंबों के प्रमेय द्वारा, यह प्रक्षेपण MD के लंबवत है।

तो, दो लंबवत CM और DM AB को किनारे पर पाए जाते हैं। इसका मतलब है कि वे डायहेड्रल कोण डीएबीएस के एक रैखिक कोण सीएमडी बनाते हैं। और हमें इसे से खोजना होगा सही त्रिकोणसीडीएम।

तो खंड CM माध्यिका है और समद्विबाहु त्रिभुज ACB की ऊँचाई है, तो पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, पाद CM 4 सेमी है।

एक समकोण त्रिभुज DMB से, पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, लेग DM तीन में से दो जड़ों के बराबर होता है।

एक समकोण त्रिभुज से एक कोण का कोज्या आसन्न पैर एमडी के कर्ण सीएम के अनुपात के बराबर है और तीन बटा दो के तीन मूल के बराबर है. इसका मतलब है कि सीएमडी कोण 30 डिग्री है।

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स्लाइड कैप्शन:

डबल एंगल गणित के शिक्षक GOU SOSH 10 Eremenko MA

पाठ के मुख्य उद्देश्य: एक डायहेड्रल कोण और उसके रैखिक कोण की अवधारणा का परिचय दें इन अवधारणाओं के अनुप्रयोग के लिए कार्यों पर विचार करें

परिभाषा: एक डायहेड्रल कोण एक सामान्य सीमा रेखा के साथ दो अर्ध-तलों द्वारा बनाई गई आकृति है।

डायहेड्रल कोण का परिमाण इसके रैखिक कोण का परिमाण है। AF CD BF ⊥ CD AFB - विकर्ण कोण का रैखिक कोण ACD

आइए हम सिद्ध करें कि एक विकर्ण कोण के सभी रैखिक कोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। दो रैखिक कोणों AOB और A 1 OB 1 पर विचार करें। बीम OA और OA 1 एक ही फलक पर स्थित हैं और OO 1 के लंबवत हैं, इसलिए वे सह-निर्देशित हैं। OV और OV 1 बीम भी सह-निर्देशित हैं। इसलिए, AOB = A 1 OB 1 (सह-निर्देशित भुजाओं वाले कोणों के रूप में)।

डायहेड्रल कोणों के उदाहरण:

परिभाषा: दो प्रतिच्छेदी तलों के बीच का कोण इन तलों द्वारा बनाए गए द्विफलकीय कोणों में सबसे छोटा होता है।

समस्या 1: घन A… D 1 में, समतल ABC और CDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 90 ओ।

समस्या 2: घन A… D 1 में, समतल ABC और CDA 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर: 45 ओ.

समस्या 3: घन A… D 1 में, समतल ABC और BDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर : 90 ओ.

समस्या 4: घन A… D 1 में, समतल ACC 1 और BDD 1 के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। उत्तर : 90 ओ.

समस्या 5: घन A… D 1 में समतल BC 1 D और BA 1 D के बीच का कोण ज्ञात कीजिए। हल: मान लीजिए कि O, B D का मध्यबिंदु है। A 1 OC 1 - द्विफलकीय कोण A 1 B D C 1 का रैखिक कोण।

समस्या 6: चतुष्फलक DABC में, सभी किनारे समान हैं, बिंदु M, किनारे AC का मध्यबिंदु है। सिद्ध कीजिए कि DMB BACD का रैखिक कोण है।

हल: त्रिभुज ABC और ADC नियमित हैं, इसलिए BM AC और DM ⊥ AC और इसलिए DMB विकर्ण कोण DACB का रैखिक कोण है।

समस्या 7: त्रिभुज ABC के शीर्ष B से, जिसका AC पक्ष तल α में स्थित है, इस तल पर लंबवत BB 1 खींचा गया है। बिंदु B से सीधी रेखा AC और समतल α तक की दूरी ज्ञात कीजिए, यदि AB = 2, ZBAC = 150 0 और विकर्ण कोण BACB 1 45 0 है।

हल: ABC एक अधिक कोण वाला त्रिभुज है जिसका अधिक कोण A है, इसलिए ऊँचाई VK का आधार AC भुजा की निरंतरता पर स्थित है। वीके - बिंदु बी से एसी की दूरी। BB 1 - बिंदु B से समतल α . तक की दूरी

2) चूँकि AC BK है, तो AC KV 1 (प्रमेय द्वारा तीन लंबों पर प्रमेय के विलोम से)। इसलिए, VKV 1 डायहेड्रल कोण BACV 1 और ∠VKV 1 = 45 0 का रैखिक कोण है। 3) BAC: A = 30 0, BK = VA · sin 30 0, BK = 1. ∆वीकेवी 1: बीबी 1 = वीके पाप 45 0, बीबी 1 =

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