त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात करने की विधियाँ। समान भुजाओं वाला त्रिकोण

एक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी भुजाएँ समान होती हैं। इसलिए, यह समांतर चतुर्भुज के सभी गुणों को प्राप्त करता है। अर्थात्:

• समचतुर्भुज के विकर्ण परस्पर लंबवत होते हैं।
• एक समचतुर्भुज के विकर्ण उसके आंतरिक कोणों के समद्विभाजक होते हैं।

एक वृत्त को एक चतुर्भुज में अंकित किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब विपरीत भुजाओं का योग बराबर हो।
इसलिए, किसी भी समचतुर्भुज में एक वृत्त अंकित किया जा सकता है। उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन के केंद्र के साथ मेल खाता है।
एक समचतुर्भुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या को कई तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है

1 रास्ता। ऊंचाई के माध्यम से समचतुर्भुज में खुदा वृत्त त्रिज्या

समचतुर्भुज की ऊंचाई खुदे हुए वृत्त के व्यास के बराबर होती है। यह आयत के गुण से होता है, जो खुदा हुआ वृत्त के व्यास और समचतुर्भुज की ऊँचाई से बनता है - आयत की विपरीत भुजाएँ बराबर होती हैं।

इसलिए, ऊंचाई के माध्यम से एक समचतुर्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या का सूत्र:

विधि २। विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या के पदों में व्यक्त किया जा सकता है
, कहां आरसमचतुर्भुज की परिधि है। यह जानते हुए कि परिमाप चतुर्भुज की सभी भुजाओं का योग है, हमारे पास है पी = 4× ए.फिर
लेकिन समचतुर्भुज का क्षेत्रफल भी उसके विकर्णों के गुणनफल का आधा होता है
क्षेत्र सूत्रों के दाहिने हाथ की बराबरी करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित समानता है
नतीजतन, हमें एक सूत्र मिलता है जो आपको विकर्णों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या की गणना करने की अनुमति देता है

एक समचतुर्भुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या की गणना का एक उदाहरण, यदि विकर्ण ज्ञात हैं
एक समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए यदि यह ज्ञात है कि विकर्णों की लंबाई 30 सेमी और 40 सेमी है
रहने दो ऐ बी सी डी-रोम्बस तो एसीतथा बीडीइसके विकर्ण। एसी = 30 सेमी , बीडी= 40 सेमी
बात करने दो हेसमचतुर्भुज में उत्कीर्ण का केंद्र है ऐ बी सी डीवृत्त, तो यह इसके विकर्णों के प्रतिच्छेदन का बिंदु भी होगा, जो उन्हें आधे में विभाजित करेगा।


क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो त्रिभुज एओबीआयताकार। फिर पाइथागोरस प्रमेय द्वारा
, हम पहले प्राप्त मूल्यों को सूत्र में प्रतिस्थापित करते हैं

अब= 25 सेमी
एक समचतुर्भुज में परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या के लिए पहले से व्युत्पन्न सूत्र को लागू करने पर, हम प्राप्त करते हैं

विधि 3. खंडों m और n . के माध्यम से एक समचतुर्भुज में खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या

बिंदु एफ- समचतुर्भुज की भुजा के साथ वृत्त की स्पर्शरेखा का बिंदु, जो इसे खंडों में विभाजित करता है ए एफतथा BF के... रहने दो वायुसेना =एम, बीएफ = एन।
बिंदु हे- समचतुर्भुज के विकर्णों के प्रतिच्छेदन का केंद्र और उत्कीर्ण वृत्त का केंद्र।
त्रिकोण एओबी- आयताकार, क्योंकि समचतुर्भुज के विकर्ण समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं।
जबसे वृत्त के स्पर्शरेखा बिंदु तक खींची गई त्रिज्या है। अत का- त्रिभुज की ऊँचाई एओबीकर्ण को। फिर ए एफतथा बीएफ -कर्ण को पैरों का प्रक्षेपण।
एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई, कर्ण तक कम, पैरों के अनुमानों और कर्ण के बीच आनुपातिक औसत है।

खंडों के माध्यम से एक समचतुर्भुज में एक उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या का सूत्र इन खंडों के गुणनफल के वर्गमूल के बराबर होता है, जिसमें वृत्त का स्पर्शरेखा बिंदु समचतुर्भुज की भुजा को विभाजित करता है

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एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त पर विचार करें (चित्र 302)। याद कीजिए कि इसका केंद्र O त्रिभुज के आंतरिक कोणों के समद्विभाजक के प्रतिच्छेदन पर स्थित है। खंड OA, OB, OS, O को त्रिभुज ABC के शीर्षों से जोड़ते हुए, त्रिभुज को तीन त्रिभुजों में विभाजित करेगा:

एओवी, वीओएस, एसओए। इन त्रिभुजों में से प्रत्येक की ऊंचाई त्रिज्या के बराबर है, और इसलिए उनके क्षेत्रों को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

संपूर्ण त्रिभुज S का क्षेत्रफल इन तीन क्षेत्रों के योग के बराबर है:

त्रिभुज का अर्धपरिधि कहाँ है। यहाँ से

खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज के क्षेत्रफल और उसके अर्ध-परिधि के अनुपात के बराबर होती है।

किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या का सूत्र प्राप्त करने के लिए, हम निम्नलिखित कथन को सिद्ध करते हैं।

प्रमेय a: किसी भी त्रिभुज में, भुजा परिवृत्त के व्यास के बराबर होती है, जो विपरीत कोण की ज्या से गुणा होती है।

सबूत। एक मनमाना त्रिभुज ABC और उसके चारों ओर परिचालित एक वृत्त पर विचार करें, जिसकी त्रिज्या R (चित्र 303) द्वारा दर्शाई जाएगी। माना A एक त्रिभुज का न्यून कोण है। आइए वृत्त की त्रिज्या OB, OS खींचते हैं और लंब OK को इसके केंद्र O से त्रिभुज की BC भुजा पर छोड़ते हैं। ध्यान दें कि त्रिभुज के कोण a को चाप BC के आधे से मापा जाता है, जिसके लिए कोण BOC केंद्रीय कोण होता है। यह दर्शाता है कि। इसलिए, समकोण त्रिभुज आरएनएस से हम पाते हैं, या, जैसा कि सिद्ध करने के लिए आवश्यक है।

दी गई अंजीर। 303 और तर्क एक त्रिभुज के न्यून कोण के मामले को संदर्भित करता है; समकोण और अधिक कोणों के मामलों के लिए प्रमाण करना आसान होगा (पाठक इसे स्वयं करेगा), लेकिन कोई भी साइन के प्रमेय (218.3) का उपयोग कर सकता है। चूँकि यह कहाँ से होना चाहिए

साइन प्रमेय भी में लिखा है। फार्म

और नोटेशन फॉर्म (218.3) के साथ तुलना के लिए देता है

परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या त्रिभुज की तीनों भुजाओं के गुणनफल और उसके चौगुने क्षेत्रफल के अनुपात के बराबर होती है।

कार्य। एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ ज्ञात कीजिए यदि उसके उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों में क्रमशः त्रिज्याएँ हों

समाधान। आइए एक त्रिभुज के उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याओं को व्यक्त करने वाले सूत्र लिखें:

भुजा और आधार वाले समद्विबाहु त्रिभुज के लिए क्षेत्रफल सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है

या, शून्य के अलावा किसी अन्य कारक द्वारा भिन्न को रद्द करने पर, हमारे पास होगा

जो के लिए द्विघात समीकरण की ओर ले जाता है

इसके दो समाधान हैं:

या R के किसी भी समीकरण में इसके व्यंजक के स्थान पर प्रतिस्थापित करने पर, हमें अंततः अपनी समस्या के दो उत्तर मिलते हैं:

अभ्यास

1. एक समकोण त्रिभुज की ऊँचाई, जो समकोण के शीर्ष से खींची गई है, कर्ण को कर्ण से प्रत्येक टाँगों का अनुपात ज्ञात करने के संबंध में विलम्बित करती है।

2. एक वृत्त के चारों ओर परिबद्ध समद्विबाहु समलंब चतुर्भुज के आधार a और b के बराबर होते हैं। वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

3. दो वृत्त बाह्य रूप से स्पर्श रेखा हैं। इनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखाएँ 30° के कोण पर केंद्र रेखा की ओर झुकी होती हैं। स्पर्शरेखा बिंदुओं के बीच स्पर्शरेखा खंड की लंबाई 108 सेमी है। वृत्तों की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

4. एक समकोण त्रिभुज की टाँगें a और b के बराबर होती हैं। एक त्रिभुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसकी भुजाएँ इस त्रिभुज की ऊँचाई और माध्यिका हैं, जो समकोण के शीर्ष से खींची गई हैं, और कर्ण के साथ उनके प्रतिच्छेदन के बिंदुओं के बीच कर्ण का खंड है।

5. त्रिभुज की भुजाएँ 13, 14, 15 हैं। उनमें से प्रत्येक का अन्य दो पर प्रक्षेपण ज्ञात कीजिए।

6. त्रिभुज की भुजाएँ और ऊँचाई ज्ञात हैं। भुजाएँ b और c ज्ञात कीजिए।

7. त्रिभुज की दो भुजाएँ और माध्यिका ज्ञात हैं त्रिभुज की तीसरी भुजा ज्ञात कीजिए।

8. त्रिभुज की दो भुजाएँ और उनके बीच के कोण को देखते हुए: उत्कीर्ण और परिबद्ध वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए।

9. त्रिभुज a, b, c की भुजाएँ ज्ञात हैं। वे कौन-से खंड हैं जिनमें उन्हें त्रिभुज की भुजाओं के साथ उत्कीर्ण वृत्त की स्पर्शरेखा के बिंदुओं से विभाजित किया जाता है?

एक त्रिभुज में अंकित वृत्त

एक त्रिभुज में उत्कीर्ण एक वृत्त का अस्तित्व

परिभाषा को याद करें कोण समद्विभाजक .

परिभाषा 1 .कोण द्विभाजक कोण को दो बराबर भागों में विभाजित करने वाली किरण कहलाती है।

प्रमेय 1 (कोण समद्विभाजक का मूल गुण) ... कोण के समद्विभाजक का प्रत्येक बिंदु कोण की भुजाओं से समान दूरी पर है (चित्र 1)।

चावल। 1

सबूत डी कोण के द्विभाजक पर झूठ बोलनाबीएसी , तथा डे तथा डीएफ कोने के किनारों पर (चित्र 1)।आयताकार त्रिभुज एडीएफ तथा एडीई बराबर हैं चूँकि उनके समान न्यून कोण होते हैंडीएएफ तथा डीएई , और कर्ण विज्ञापन - आम। अत,

डीएफ = डीई,

क्यू.ई.डी.

प्रमेय 2 (प्रमेय 1 के विपरीत प्रमेय) ... यदि कुछ है, तो यह कोण के समद्विभाजक पर स्थित है (चित्र 2)।

चावल। 2

सबूत ... एक मनमाना बिंदु पर विचार करेंडी कोने के अंदर पड़ा हुआबीएसी और कोने के किनारों से समान दूरी पर स्थित है। आइए बिंदु से हटेंडी लंबवत डे तथा डीएफ कोने के किनारों पर (चित्र 2)।आयताकार त्रिभुज एडीएफ तथा एडीई बराबर हैं , क्योंकि उनके समान पैर हैंडीएफ तथा डे , और कर्ण विज्ञापन - आम। अत,

क्यू.ई.डी.

परिभाषा 2 ... सर्कल कहा जाता है एक कोने में खुदा हुआ घेरा अगर यह इस कोने के किनारे है।

प्रमेय 3 ... यदि वृत्त को कोने में अंकित किया गया है, तो कोने के शीर्ष से कोने के किनारों के साथ वृत्त के संपर्क बिंदुओं तक की दूरी समान है।

सबूत ... बात करने दो डी - एक कोने में खुदे हुए वृत्त का केंद्रबीएसी और अंक इ तथा एफ - कोने के किनारों के साथ सर्कल के संपर्क के बिंदु (चित्र 3)।

अंजीर। 3

ए , बी , सी - एक त्रिभुज की भुजाएँ,
 एस -वर्ग,

आर – उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या,
 पी - अर्ध-परिधि

.

सूत्र आउटपुट देखें

ए – एक समद्विबाहु त्रिभुज की पार्श्व भुजा , 
 बी - आधार, आर – खुदा हुआ वृत्त त्रिज्या

ए आर – खुदा हुआ वृत्त त्रिज्या

फॉर्मूला आउटपुट देखें

,

कहां

,

तब, एक समद्विबाहु त्रिभुज की स्थिति में, जब

हम पाते हैं

जैसी ज़रूरत।

प्रमेय 7 ... समानता के लिए

कहां ए - एक समबाहु त्रिभुज की भुजा,आर – उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या (चित्र 8)।

चावल। आठ

सबूत .

,

तब, एक समबाहु त्रिभुज की दशा में, जब

बी = ए,

हम पाते हैं

जैसी ज़रूरत।

टिप्पणी ... मैं एक अभ्यास के रूप में एक समबाहु त्रिभुज में सीधे खुदे हुए वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र प्राप्त करने की सलाह देता हूं, अर्थात। एक मनमाना त्रिभुज या एक समद्विबाहु त्रिभुज में उत्कीर्ण वृत्तों की त्रिज्या के लिए सामान्य सूत्रों का उपयोग किए बिना।

प्रमेय 8 ... समकोण त्रिभुज के लिए, समानता

कहां ए , बी - एक समकोण त्रिभुज के पैर, सी – कर्ण , आर – उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या।

सबूत ... चित्र 9 पर विचार करें।

चावल। नौ

चतुर्भुज के बाद सेसीडीओएफ एक आसन्न पक्षों के साथकरना तथा का बराबर हैं, तो यह आयत - . अत,

सीबी = सीएफ = आर,

प्रमेय 3 के आधार पर, समानताएं

इसलिए, खाते में भी, हम प्राप्त करते हैं

जैसी ज़रूरत।

"एक त्रिभुज में अंकित एक वृत्त" विषय पर कार्यों का चयन।

1.

एक समद्विबाहु त्रिभुज में अंकित एक वृत्त स्पर्शरेखा के बिंदु पर पार्श्व पक्षों में से एक को दो खंडों में विभाजित करता है, जिनकी लंबाई 5 और 3 है, आधार के विपरीत शीर्ष से गिना जाता है। त्रिभुज का परिमाप ज्ञात कीजिए।

2.

3

त्रिभुज ABC में AC = 4, BC = 3, कोण C 90º है। उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

4.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के पैर 2+ हैं। इस त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

5.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या 2 है। इस त्रिभुज का कर्ण c ज्ञात कीजिए। कृपया अपने उत्तर में (-1) से संकेत करें।

समाधान के साथ परीक्षा से कई समस्याएं यहां दी गई हैं।

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या किसके बराबर होती है। इस त्रिभुज का कर्ण ज्ञात कीजिए। कृपया अपने उत्तर में इंगित करें।

त्रिभुज आयताकार और समद्विबाहु है। इसका मतलब है कि उसके पैर एक जैसे हैं। प्रत्येक पैर बराबर होने दें... तब कर्ण है.

हम त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल दो प्रकार से लिखते हैं:

इन व्यंजकों की बराबरी करने पर, हम पाते हैं कि... जहां तक ​​कि, हमें वह मिलता है... फिर.

जवाब में, हम लिखते हैं.

उत्तर:.

उद्देश्य २.

1. एक मनमाना में, दो भुजाएँ 10cm और 6cm (AB और BC) हैं। परिवृत्त और उत्कीर्ण वृत्तों की त्रिज्याएँ ज्ञात कीजिए
टिप्पणी करने से समस्या स्वतंत्र रूप से हल हो जाती है।

समाधान:

वी.

1) खोजें:
2) साबित करें:और SK . खोजें
3) खोजें: परिबद्ध और खुदे हुए वृत्तों की त्रिज्याएँ

समाधान:

कार्य 6.

आर वर्ग में अंकित वृत्त की त्रिज्या है... इस वर्ग के चारों ओर परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।दिया गया :

पाना: ओएस =?
समाधान: इस मामले में, समस्या को पाइथागोरस प्रमेय या आर के सूत्र का उपयोग करके हल किया जा सकता है। दूसरा मामला सरल होगा, क्योंकि आर के लिए सूत्र प्रमेय से लिया गया है।

टास्क 7.

एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या 2 है। कर्ण ज्ञात कीजिएसाथ यह त्रिकोण। कृपया अपने उत्तर में संकेत करें.

एस - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

हम त्रिभुज की न तो भुजाएँ जानते हैं और न ही उसका क्षेत्रफल। आइए पैरों को x के रूप में नामित करें, फिर कर्ण बराबर होगा:

और त्रिभुज का क्षेत्रफल 0.5x . होगा 2 .

माध्यम

इस प्रकार, कर्ण बराबर होगा:

उत्तर लिखने के लिए आवश्यक है:

उत्तर - 4

टास्क 8.

त्रिभुज ABC में AC = 4, BC = 3, कोण सी 90 0 के बराबर। उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

आइए एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

एस - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

दो पक्ष ज्ञात हैं (ये पैर हैं), हम तीसरे (कर्ण) की गणना कर सकते हैं, हम क्षेत्र की गणना भी कर सकते हैं।

पाइथागोरस प्रमेय द्वारा:

क्षेत्र खोजें:

इस प्रकार:

उत्तर 1

समस्या 9.

एक समद्विबाहु त्रिभुज की भुजाएँ 5 हैं और आधार 6 है। उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या ज्ञात कीजिए।

आइए एक त्रिभुज में अंकित वृत्त की त्रिज्या के लिए सूत्र का उपयोग करें:

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं

एस - एक त्रिभुज का क्षेत्रफल

सभी पक्ष ज्ञात हैं, और हम क्षेत्रफल की गणना करते हैं। हम इसे हेरॉन के सूत्र द्वारा पा सकते हैं:

फिर