Aká je oblasť lichobežníkového vzorca. Plocha lichobežníka: ako vypočítať, vzorec

Existuje mnoho spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Zvyčajne učiteľ matematiky pozná niekoľko metód na jej výpočet, pozrime sa na ne podrobnejšie:
1) , kde AD a BC sú základne a BH je výška lichobežníka. Dôkaz: nakreslite uhlopriečku BD a vyjadrite obsah trojuholníkov ABD a CDB ako polovičný súčin ich základní a výšky:

, kde DP je vonkajšia výška v

Tieto rovnosti sčítame po členoch a vzhľadom na to, že výšky BH a DP sú rovnaké, dostaneme:

Vyberieme to zo zátvorky

Q.E.D.

Dôsledok zo vzorca pre oblasť lichobežníka:
Pretože polovičný súčet základov sa rovná MN - stredová čiara lichobežníka

2) Aplikácia všeobecný vzorecštvoruholníková oblasť.
Plocha štvoruholníka je polovica súčinu uhlopriečok vynásobených sínusom uhla medzi nimi
Aby sme to dokázali, stačí rozdeliť lichobežník na 4 trojuholníky, vyjadriť obsah každého z nich v zmysle „polovice súčinu uhlopriečok a sínusu uhla medzi nimi“ (berie sa ako uhol , pridajte výsledné výrazy, dajte ho von zo zátvorky a rozložte túto zátvorku na faktory pomocou metódy zoskupovania, aby ste získali jej rovnosť s výrazom.

3) Metóda diagonálneho posunu
Toto je môj titul. V školských učebniciach učiteľ matematiky takýto nadpis nenájde. Popis recepcie nájdete len v dodatočných učebné pomôcky ako príklad riešenia problému. Všimol som si, že učitelia matematiky odhaľujú väčšinu zaujímavých a užitočných faktov o planimetrie študentom v procese praktická práca. To je extrémne suboptimálne, pretože študent ich potrebuje rozdeliť do samostatných teorémov a nazývať ich „veľké mená“. Jedným z nich je „diagonálny posun“. O čom v otázke?Vedieme priamku rovnobežnú s AC cez vrchol B, až kým sa nepretne so spodnou základňou v bode E. V tomto prípade bude štvoruholník EBCA rovnobežník (podľa definície) a teda BC=EA a EB=AC. Teraz nám ide o prvú rovnosť. Máme:

Všimnite si, že trojuholník BED, ktorého plocha sa rovná ploche lichobežníka, má niekoľko ďalších pozoruhodných vlastností:
1) Jeho plocha sa rovná ploche lichobežníka
2) Jeho rovnoramenný sa vyskytuje súčasne s rovnoramennými lichobežníkmi samotného
3) Jeho horný uhol vo vrchole B sa rovná uhlu medzi uhlopriečkami lichobežníka (ktorý sa veľmi často používa pri problémoch)
4) Jeho stredná hodnota BK sa rovná vzdialenosti QS medzi stredmi základov lichobežníka. Nedávno som sa stretol s využitím tejto vlastnosti pri príprave študenta na Mekhmat Moskovskej štátnej univerzity pomocou Tkachukovej učebnice, verzia z roku 1973 (úloha je uvedená v spodnej časti stránky).

Špecializácia učiteľa matematiky.

Niekedy navrhujem úlohy veľmi zložitým spôsobom, ako nájsť druhú mocninu lichobežníka. Pripisujem to špeciálnym ťahom, pretože v praxi ich tútor používa len zriedka. Ak sa potrebujete pripraviť na skúšku z matematiky len v časti B, nemôžete si o nich prečítať. Pre ostatných vám poviem viac. Ukazuje sa, že plocha lichobežníka je dvojnásobkom plochy trojuholníka s vrcholmi na koncoch jednej strany a stredom druhej strany, to znamená trojuholník ABS na obrázku:
Dôkaz: nakreslite výšky SM a SN do trojuholníkov BCS a ADS a vyjadrite súčet obsahov týchto trojuholníkov:

Keďže bod S je stredom CD, potom (dokážte to sami). Nájdite súčet plôch trojuholníkov:

Pretože sa ukázalo, že toto množstvo sa rovná polovici plochy lichobežníka, potom - jeho druhej polovici. Ch.t.d.

Do pokladnice špeciálnych ťahov tútora by som zaradil formu výpočtu plochy rovnoramenný lichobežník na jeho stranách: kde p je semiperimeter lichobežníka. nebudem dávať dôkaz. V opačnom prípade bude váš učiteľ matematiky bez práce :). Poď do triedy!

Úlohy pre oblasť lichobežníka:

Poznámka učiteľa matematiky: Nižšie uvedený zoznam nie je metodickou podporou k téme, je to len malý výber zaujímavých úloh k vyššie uvedeným metódam.

1) Spodná základňa rovnoramenného lichobežníka je 13 a horná je 5. Nájdite plochu lichobežníka, ak je jeho uhlopriečka kolmá na stranu.
2) Nájdite plochu lichobežníka, ak jeho základne sú 2 cm a 5 cm a jeho strany sú 2 cm a 3 cm.
3) V rovnoramennom lichobežníku je väčšia základňa 11, strana 5 a uhlopriečka je Nájdite oblasť lichobežníka.
4) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka je 5 a stredová čiara je 4. Nájdite oblasť.
5) V rovnoramennom lichobežníku sú základne 12 a 20 a uhlopriečky sú navzájom kolmé. Vypočítajte plochu lichobežníka
6) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka zviera uhol so spodnou základňou. Nájdite plochu lichobežníka, ak je jeho výška 6 cm.
7) Plocha lichobežníka je 20 a jedna z jeho strán je 4 cm. Nájdite vzdialenosť k nemu od stredu protiľahlej strany.
8) Uhlopriečka rovnoramenného lichobežníka ho rozdeľuje na trojuholníky s plochami 6 a 14. Zistite výšku, ak je strana 4.
9) V lichobežníku sú uhlopriečky 3 a 5 a segment spájajúci stredy základní je 2. Nájdite oblasť lichobežníka (Mekhmat Moskovskej štátnej univerzity, 1970).

Vybral som si nie najťažšie úlohy (nebojte sa Mechmatu!) s očakávaním, že môžu nezávislé riešenie. Rozhodnite o zdraví! Ak sa potrebujete pripraviť na skúšku z matematiky, potom bez účasti na tomto procese môžu vzniknúť vzorce lichobežníkovej oblasti vážne problémy aj pri probleme B6 a este viac pri C4. Nezačínajte tému a v prípade akýchkoľvek ťažkostí požiadajte o pomoc. Doučovateľ matematiky vám vždy rád pomôže.

Kolpakov A.N.
Doučovateľ matematiky v Moskve, príprava na skúšku v Strogine.

A . Teraz môžeme začať uvažovať o otázke, ako nájsť oblasť lichobežníka. Táto úloha sa v každodennom živote vyskytuje veľmi zriedkavo, ale niekedy sa ukáže, že je potrebné napríklad nájsť oblasť miestnosti vo forme lichobežníka, ktorý sa čoraz viac používa v stavebníctve. moderné apartmány, alebo v projekčných projektoch na opravy.

Trapeze je geometrický obrazec, tvorený štyrmi pretínajúcimi sa segmentmi, z ktorých dva sú navzájom rovnobežné a nazývajú sa základne lichobežníka. Ďalšie dva segmenty sa nazývajú strany lichobežníka. Okrem toho budeme neskôr potrebovať ďalšiu definíciu. Toto je stredná čiara lichobežníka, čo je segment spájajúci stredy strán a výšku lichobežníka, ktorá sa rovná vzdialenosti medzi základňami.
Podobne ako trojuholníky, aj lichobežník má osobitné typy vo forme rovnoramenného (rovnoramenného) lichobežníka, v ktorom sú dĺžky strán rovnaké, a pravouhlého lichobežníka, v ktorom jedna zo strán zviera so základňami pravý uhol.

Lichobežníky majú niekoľko zaujímavých vlastností:

1. Stredová čiara lichobežníka je polovicou súčtu základov a je s nimi rovnobežná.
   
2. Rovnoramenné lichobežníky majú rovnaké strany a uhly, ktoré zvierajú so základňami.
   
3. Stredy uhlopriečok lichobežníka a priesečník jeho uhlopriečok sú na tej istej priamke.
   
4. Ak sa súčet strán lichobežníka rovná súčtu základov, potom do neho možno vpísať kruh
   
5. Ak je súčet uhlov vytvorených stranami lichobežníka na niektorej z jeho základov 90, potom sa dĺžka segmentu spájajúceho stredné body základne rovná ich polovičnému rozdielu.
   
6. Rovnoramenný lichobežník možno opísať kružnicou. A naopak. Ak je lichobežník vpísaný do kruhu, potom je rovnoramenný.
   
7. Úsek prechádzajúci stredmi základov rovnoramenného lichobežníka bude kolmý na jeho základne a predstavuje os symetrie.
   

Ako nájsť oblasť lichobežníka.

Plocha lichobežníka bude polovica súčtu jeho základov vynásobených jeho výškou. Vo forme vzorca je to napísané ako výraz:

kde S je plocha lichobežníka, a,b je dĺžka každej zo základov lichobežníka, h je výška lichobežníka.

Akýkoľvek lichobežník môžete tiež rozložiť na jednoduchšie tvary: obdĺžnik a jeden alebo dva trojuholníky, a ak je to pre vás jednoduchšie, nájdite plochu lichobežníka ako súčet plôch jeho základných figúrok.

Existuje ďalší jednoduchý vzorec na výpočet jeho plochy. Podľa nej sa plocha lichobežníka rovná súčinu jeho stredovej čiary a výšky lichobežníka a je napísaná ako: S \u003d m * h, kde S je plocha, m je dĺžka stredová čiara, h je výška lichobežníka. Tento vzorec je vhodnejší pre matematické úlohy ako pre každodenné úlohy, pretože v reálnych podmienkach nepoznáte dĺžku stredovej čiary bez predbežné výpočty. A poznáte len dĺžky základov a strán.

V tomto prípade možno plochu lichobežníka nájsť pomocou vzorca:

S \u003d ((a + b) / 2) * √c 2 - ((b-a) 2 + c 2 -d 2 / 2 (b-a)) 2

kde S je plocha, a,b sú základne, c,d sú strany lichobežníka.

Existuje niekoľko ďalších spôsobov, ako nájsť oblasť lichobežníka. Sú však asi také nepohodlné ako posledný vzorec, čo znamená, že nemá zmysel sa nimi zaoberať. Preto vám odporúčame použiť prvý vzorec z článku a želáme si, aby ste vždy dosiahli presné výsledky.

Aby ste sa cítili sebaisto a úspešne riešili problémy na hodinách geometrie, nestačí sa naučiť vzorce. Najprv ich treba pochopiť. Báť sa a ešte viac nenávidieť vzorce je neproduktívne. V tomto článku sa bude analyzovať dostupný jazyk rôznymi spôsobmi nájdenie oblasti lichobežníka. Pre lepšiu asimiláciu zodpovedajúcich pravidiel a teorém budeme venovať určitú pozornosť jeho vlastnostiam. To vám pomôže pochopiť, ako pravidlá fungujú a v akých prípadoch by sa mali použiť určité vzorce.

Definujte lichobežník

Aký je tento údaj vo všeobecnosti? Lichobežník je mnohouholník so štyrmi uhlami a dvoma rovnobežnými stranami. Ďalšie dve strany lichobežníka môžu byť naklonené v rôznych uhloch. Jeho rovnobežné strany sa nazývajú základne a pre nerovnobežné strany sa používa názov „boky“ alebo „boky“. Takéto postavy sú v každodennom živote celkom bežné. Obrysy lichobežníka možno vidieť v siluetách oblečenia, interiérových predmetov, nábytku, riadu a mnohých ďalších. Stáva sa hrazda odlišné typy: mnohostranné, rovnoramenné a pravouhlé. Ich typy a vlastnosti si podrobnejšie rozoberieme neskôr v článku.

Vlastnosti lichobežníka

Zastavme sa krátko pri vlastnostiach tohto obrázku. Súčet uhlov susediacich s ktoroukoľvek stranou je vždy 180°. Treba poznamenať, že súčet všetkých uhlov lichobežníka je 360°. Lichobežník má koncepciu stredovej čiary. Ak spojíte stredy strán segmentom, bude to stredná čiara. Označuje sa m. Stredná čiara má dôležité vlastnosti: je vždy rovnobežná so základňami (pamätáme si, že základne sú tiež navzájom rovnobežné) a rovná sa ich polovičnému súčtu:

Túto definíciu si treba osvojiť a pochopiť, pretože je kľúčom k riešeniu mnohých problémov!

Pri lichobežníku môžete vždy znížiť výšku k základni. Nadmorská výška je kolmica, často označovaná symbolom h, ktorá je vedená z akéhokoľvek bodu na jednej základni k inej základni alebo jej predĺženiu. Stredová čiara a výška vám pomôžu nájsť oblasť lichobežníka. Takéto úlohy sú v školskom kurze geometrie najčastejšie a pravidelne sa objavujú medzi kontrolnými a skúšobnými prácami.

Najjednoduchšie vzorce pre oblasť lichobežníka

Poďme analyzovať dva najobľúbenejšie a najjednoduchšie vzorce, pomocou ktorých nájdete oblasť lichobežníka. Stačí vynásobiť výšku polovicou súčtu základov, aby ste ľahko našli to, čo hľadáte:

S = h*(a + b)/2.

V tomto vzorci a, b označujú základy lichobežníka, h - výšku. Kvôli čitateľnosti v tomto článku sú znaky násobenia vo vzorcoch označené symbolom (*), hoci v oficiálnych referenčných knihách sa znak násobenia zvyčajne vynecháva.

Zvážte príklad.

Dané: lichobežník s dvoma základňami rovnými 10 a 14 cm, výška je 7 cm. Aká je plocha lichobežníka?

Poďme analyzovať riešenie tohto problému. Pomocou tohto vzorca musíte najskôr nájsť polovičný súčet základov: (10 + 14) / 2 \u003d 12. Polovičný súčet je teda 12 cm. Teraz polovičný súčet vynásobíme výškou: 12 * 7 \u003d 84. Požadované je nájdené. Odpoveď: Plocha lichobežníka je 84 metrov štvorcových. cm.

Druhý známy vzorec hovorí: plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary a výšky lichobežníka. To znamená, že to vlastne vyplýva z predchádzajúcej koncepcie strednej čiary: S=m*h.

Použitie uhlopriečok na výpočty

Ďalší spôsob, ako nájsť oblasť lichobežníka, nie je v skutočnosti taký ťažký. Je spojená so svojimi uhlopriečkami. Podľa tohto vzorca je na nájdenie plochy potrebné vynásobiť polovičný súčin jej uhlopriečok (d 1 d 2) sínusom uhla medzi nimi:

S = ½ d 1 d 2 sin a.

Zvážte problém, ktorý ukazuje použitie tejto metódy. Dané: lichobežník s dĺžkou uhlopriečky 8 a 13 cm, uhol a medzi uhlopriečkami je 30°. Nájdite oblasť lichobežníka.

Riešenie. Pomocou vyššie uvedeného vzorca je ľahké vypočítať, čo je potrebné. Ako viete, hriech 30 ° je 0,5. Preto S = 8*13*0,5=52. Odpoveď: Rozloha je 52 metrov štvorcových. cm.

Hľadáte oblasť rovnoramenného lichobežníka

Lichobežník môže byť rovnoramenný (rovnoramenný). Jeho strany sú rovnaké A uhly na základniach sú rovnaké, čo je dobre znázornené na obrázku. Rovnoramenný lichobežník má rovnaké vlastnosti ako bežný lichobežník, plus množstvo špeciálnych. Okolo rovnoramenného lichobežníka možno opísať kruh a do neho možno vpísať kruh.

Aké sú metódy na výpočet plochy takéhoto čísla? Nižšie uvedená metóda bude vyžadovať veľa výpočtov. Ak ho chcete použiť, musíte poznať hodnoty sínusu (sin) a kosínusu (cos) uhla na základni lichobežníka. Ich výpočty vyžadujú buď Bradisove tabuľky alebo inžiniersku kalkulačku. Tu je vzorec:

S= c*hriech a*(a - c* čos a),

kde s- bočné stehno a- uhol na spodnej základni.

Rovnoramenný lichobežník má uhlopriečky rovnakej dĺžky. Platí to aj naopak: ak sú uhlopriečky lichobežníka rovnaké, potom je rovnoramenný. Preto nasledujúci vzorec, ktorý vám pomôže nájsť plochu lichobežníka - polovičný súčin štvorca uhlopriečok a sínus uhla medzi nimi: S = ½ d 2 sin a.

Nájdenie oblasti pravouhlého lichobežníka

Známy je špeciálny prípad pravouhlého lichobežníka. Toto je lichobežník, v ktorom jedna strana (jej stehno) prilieha k základniam v pravom uhle. Má vlastnosti obyčajného lichobežníka. Okrem toho má veľmi zaujímavá vlastnosť. Rozdiel štvorcov uhlopriečok takéhoto lichobežníka sa rovná rozdielu štvorcov jeho základov. Na to sa používajú všetky predtým uvedené metódy na výpočet plochy.

Uplatnenie vynaliezavosti

Existuje jeden trik, ktorý môže pomôcť v prípade zabudnutia konkrétnych vzorcov. Pozrime sa bližšie na to, čo je lichobežník. Ak to mentálne rozdelíme na časti, získame známe a zrozumiteľné geometrické tvary: štvorec alebo obdĺžnik a trojuholník (jeden alebo dva). Ak poznáte výšku a strany lichobežníka, môžete použiť vzorce pre oblasť trojuholníka a obdĺžnika a potom sčítať všetky získané hodnoty.

Ilustrujme si to na nasledujúcom príklade. Daný obdĺžnikový lichobežník. Uhol C = 45°, uhly A, D sú 90°. Horná základňa lichobežníka je 20 cm, výška je 16 cm. Je potrebné vypočítať plochu obrázku.

Tento obrazec sa samozrejme skladá z obdĺžnika (ak sú dva uhly 90°) a trojuholníka. Keďže je lichobežník pravouhlý, jeho výška sa rovná jeho strane, teda 16 cm, máme obdĺžnik so stranami 20 a 16 cm. Uvažujme teraz trojuholník, ktorého uhol je 45°. Vieme, že jedna z jeho strán má 16 cm, keďže táto strana je zároveň výškou lichobežníka (a vieme, že výška dopadá na základňu v pravom uhle), preto je druhý uhol trojuholníka 90°. Zostávajúci uhol trojuholníka je teda 45°. V dôsledku toho dostaneme pravouhlý rovnoramenný trojuholník, v ktorom sú dve strany rovnaké. To znamená, že druhá strana trojuholníka sa rovná výške, to znamená 16 cm. Zostáva vypočítať plochu trojuholníka a obdĺžnika a pridať výsledné hodnoty.

Plocha pravouhlého trojuholníka sa rovná polovici súčinu jeho nôh: S = (16*16)/2 = 128. Plocha obdĺžnika sa rovná súčinu jeho šírky a dĺžky: S = 20 * 16 = 320. Našli sme požadovaný: plocha lichobežníka S = 128 + 320 = 448 štvorcových. Môžete si to jednoducho overiť pomocou vyššie uvedených vzorcov, odpoveď bude identická.

Používame vzorec Pick

S \u003d M / 2 + N - 1,

v tomto vzorci je M počet uzlov, t.j. priesečníky čiar obrázku s čiarami bunky na hraniciach lichobežníka (oranžové bodky na obrázku), N je počet uzlov vo vnútri obrázku (modré bodky). Najvýhodnejšie je použiť ho pri hľadaní oblasti nepravidelného mnohouholníka. Čím väčší je však arzenál použitých metód, tým menej chýb a lepšie výsledky.

Samozrejme, uvedené informácie zďaleka nevyčerpávajú typy a vlastnosti lichobežníka, ako aj metódy na zistenie jeho oblasti. Tento článok poskytuje prehľad jeho najdôležitejších charakteristík. Pri riešení geometrických úloh je dôležité postupovať postupne, začať s ľahkými vzorcami a problémami, dôsledne upevňovať porozumenie a prejsť na ďalšiu úroveň zložitosti.

Zhromaždené najbežnejšie vzorce pomôžu študentom orientovať sa v rôznych spôsoboch výpočtu plochy lichobežníka a lepšie sa pripraviť na testy a kontrolná práca na túto tému.

Prax minuloročného USE a GIA ukazuje, že problémy s geometriou spôsobujú mnohým študentom ťažkosti. Ľahko si s nimi poradíte, ak si zapamätáte všetky potrebné vzorce a precvičíte si riešenie problémov.

V tomto článku uvidíte vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka, ako aj príklady problémov s riešeniami. Tie isté na vás môžu naraziť v KIM na certifikačných skúškach alebo na olympiádach. Preto s nimi zaobchádzajte opatrne.

Čo potrebujete vedieť o lichobežníku?

Na začiatok si to pripomeňme trapéz nazýva sa štvoruholník, v ktorom sú dve protiľahlé strany, nazývané aj základne, rovnobežné a ostatné dve nie sú.

V lichobežníku možno výšku (kolmo na základňu) aj vynechať. Stredná čiara je nakreslená - je to priamka, ktorá je rovnobežná so základňami a rovná sa polovici ich súčtu. Rovnako ako uhlopriečky, ktoré sa môžu pretínať a vytvárať ostré a tupé uhly. Alebo v niektorých prípadoch v pravom uhle. Okrem toho, ak je lichobežník rovnoramenný, môže byť do neho vpísaný kruh. A opíšte okolo neho kruh.

Vzorce pre oblasť lichobežníka

Najprv zvážte štandardné vzorce na nájdenie oblasti lichobežníka. Spôsoby výpočtu plochy rovnoramenných a krivočiarych lichobežníkov budú zvážené nižšie.

Predstavte si teda, že máte lichobežník so základňami a a b, v ktorých je výška h znížená na väčšiu základňu. Výpočet plochy obrázku je v tomto prípade jednoduchý. Stačí vydeliť dvoma súčet dĺžok základne a vynásobiť to, čo sa stane, výškou: S = 1/2 (a + b) x h.

Zoberme si ďalší prípad: predpokladajme, že lichobežník má okrem výšky aj strednú čiaru m. Poznáme vzorec na zistenie dĺžky stredovej čiary: m = 1/2(a + b). Preto môžeme oprávnene zjednodušiť vzorec pre oblasť lichobežníka na nasledujúci tvar: S = m * h. Inými slovami, aby ste našli oblasť lichobežníka, musíte ho vynásobiť stredná čiara do výšky.

Uvažujme ešte jednu možnosť: uhlopriečky d 1 a d 2 sú nakreslené v lichobežníku, ktoré sa nepretínajú v pravom uhle α. Ak chcete vypočítať plochu takého lichobežníka, musíte rozdeliť súčin uhlopriečok na polovicu a vynásobiť to, čo dostanete, hriechom uhla medzi nimi: S = 1/2 d 1 d 2 *sinα.

Teraz zvážte vzorec na nájdenie oblasti lichobežníka, ak o ňom nie je známe nič okrem dĺžok všetkých jeho strán: a, b, c a d. Toto je ťažkopádny a komplikovaný vzorec, ale bude pre vás užitočné zapamätať si ho pre každý prípad: S \u003d 1/2 (a + b) * √c 2 - ((1/2 (b - a)) * ((b - a) 2 + c 2 - d 2)) 2.

Mimochodom, vyššie uvedené príklady platia aj pre prípad, keď potrebujete vzorec pre oblasť obdĺžnikového lichobežníka. Ide o lichobežník, ktorého strana prilieha k základniam v pravom uhle.

Rovnoramenný lichobežník

Lichobežník, ktorého strany sú rovnaké, sa nazýva rovnoramenný. Zvážime niekoľko variantov vzorca pre oblasť rovnoramenného lichobežníka.

Prvá možnosť: pre prípad, keď je kruh s polomerom r vpísaný do rovnoramenného lichobežníka a bočná strana a väčšia základňa tvoria ostrý roh a. Kruh môže byť vpísaný do lichobežníka za predpokladu, že súčet dĺžok jeho základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Plocha rovnoramenného lichobežníka sa vypočíta takto: vynásobte štvorec polomeru vpísanej kružnice štyrmi a všetko vydeľte sinα: S = 4r2/sinα. Ďalší plošný vzorec je špeciálny prípad pre možnosť, keď je uhol medzi veľkou základňou a stranou 30 0: S = 8r2.

Druhá možnosť: tentoraz si vezmeme rovnoramenný lichobežník, v ktorom sú navyše nakreslené uhlopriečky d 1 a d 2, ako aj výška h. Ak sú uhlopriečky lichobežníka navzájom kolmé, výška je polovica súčtu základní: h = 1/2(a + b). Keď to viete, je ľahké previesť vzorec lichobežníkovej oblasti, ktorý už poznáte, do tejto formy: S = h2.

Vzorec pre oblasť krivočiareho lichobežníka

Začnime pochopením: čo je krivočiary lichobežník. Predstavte si súradnicovú os a graf spojitej a nezápornej funkcie f, ktorá nemení znamienko v rámci daného segmentu na osi x. Krivkový lichobežník je tvorený grafom funkcie y \u003d f (x) - v hornej časti, os x - v spodnej časti (segment) a po stranách - priame čiary nakreslené medzi bodmi a a b a grafom funkcie.

Pomocou vyššie uvedených metód nie je možné vypočítať plochu takejto neštandardnej hodnoty. Tu musíte použiť matematickú analýzu a použiť integrál. Konkrétne Newtonov-Leibnizov vzorec - S = ∫ b a f(x)dx = F(x)│ b a = F(b) – F(a). V tomto vzorci je F primitívna derivácia našej funkcie na zvolenom intervale. A plocha krivočiareho lichobežníka zodpovedá prírastku primitívneho prvku na danom segmente.

Príklady úloh

Aby boli všetky tieto vzorce lepšie vo vašej hlave, tu je niekoľko príkladov problémov pri hľadaní oblasti lichobežníka. Najlepšie by bolo, keby ste sa najskôr pokúsili vyriešiť problémy sami a až potom skontrolovali odpoveď, ktorú ste dostali, s pripraveným riešením.

Úloha č. 1: Daný lichobežník. Jeho väčšia základňa má 11 cm, menšia 4 cm. Lichobežník má uhlopriečky, jedna má dĺžku 12 cm, druhá 9 cm.

Riešenie: Postavte lichobežníkový AMRS. Nakreslite čiaru RX cez vrchol P tak, aby bola rovnobežná s uhlopriečkou MC a pretínala čiaru AC v bode X. Získate trojuholník APX.

Budeme brať do úvahy dve čísla získané ako výsledok týchto manipulácií: trojuholník APX a rovnobežník CMPX.

Vďaka rovnobežníku sa dozvieme, že PX = MC = 12 cm a CX = MP = 4 cm. Kde môžeme vypočítať stranu AX trojuholníka ARCH: AX \u003d AC + CX \u003d 11 + 4 \u003d 15 cm.

Môžeme tiež dokázať, že trojuholník ARCH je pravouhlý (na tento účel použite Pytagorovu vetu - AX 2 \u003d AP 2 + PX 2). A vypočítajte jeho plochu: S APX \u003d 1/2 (AP * PX) \u003d 1/2 (9 * 12) \u003d 54 cm 2.

Ďalej musíte dokázať, že trojuholníky AMP a PCX majú rovnakú plochu. Základom bude rovnosť strán MP a CX (už overené vyššie). A tiež výšky, ktoré na týchto stranách znížite – rovnajú sa výške lichobežníka AMRS.

To všetko vám umožní tvrdiť, že S AMPC \u003d S APX \u003d 54 cm 2.

Úloha č. 2: Vzhľadom k tomu, lichobežník KRMS. Body O a E sú umiestnené na jeho bočných stranách, zatiaľ čo OE a KS sú rovnobežné. Je tiež známe, že plochy lichobežníka ORME a OXE sú v pomere 1:5. PM = a a KS = b. Musíte nájsť OE.

Riešenie: Nakreslite priamku cez bod M rovnobežnú s RK a označte jej priesečník s OE ako T. A je priesečník priamky vedenej cez bod E rovnobežnú s RK so základňou KS.

Zavedieme ešte jeden zápis - OE = x. Rovnako ako výška h 1 pre trojuholník TME a výška h 2 pre trojuholník AEC (podobnosť týchto trojuholníkov môžete nezávisle dokázať).

Budeme predpokladať, že b > a. Plochy lichobežníkov ORME a OXE súvisia ako 1:5, čo nám dáva právo zostaviť nasledujúcu rovnicu: (x + a) * h 1 \u003d 1/5 (b + x) * h 2. Transformujme a získame: h 1 / h 2 \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)).

Keďže trojuholníky TME a AEC sú podobné, máme h 1 / h 2 = (x - a) / (b - x). Skombinujte obe položky a získajte: (x - a) / (b - x) \u003d 1/5 * ((b + x) / (x + a)) ↔ 5 (x - a) (x + a) \u003d (b + x) (b - x) ↔ 5 (x 2 - a 2) \u003d (b 2 - x 2) ↔ 6x 2 \u003d b 2 + 5a 2 ↔ x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Teda OE \u003d x \u003d √ (5a 2 + b 2) / 6.

Záver

Geometria nie je najľahšia z vied, no s úlohami na skúšku si určite poradíte. Chce to len trochu trpezlivosti pri príprave. A samozrejme si zapamätajte všetky potrebné vzorce.

Snažili sme sa zhromaždiť na jednom mieste všetky vzorce na výpočet plochy lichobežníka, aby ste ich mohli použiť pri príprave na skúšky a opakovaní učiva.

Nezabudnite o tomto článku povedať svojim spolužiakom a priateľom v sociálnych sieťach. Nech je viac dobrých známok pre Jednotnú štátnu skúšku a GIA!

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Čo je rovnoramenný lichobežník? Ide o geometrický útvar, ktorého protiľahlé nerovnobežné strany sú rovnaké. Je ich viacero rôzne vzorce nájsť oblasť lichobežníka s rôzne podmienky uvedené v úlohách. To znamená, že oblasť sa dá nájsť, ak je uvedená výška, strany, uhly, uhlopriečky atď. Nemožno nespomenúť ani to, že pre rovnoramenné lichobežníky existujú určité „výnimky“, vďaka ktorým je hľadanie oblasti a samotného vzorca výrazne zjednodušené. Podrobné riešenia pre každý prípad sú popísané nižšie s príkladmi.

Potrebné vlastnosti na nájdenie oblasti rovnoramenného lichobežníka

Už sme zistili, že geometrický útvar, ktorý má protiľahlý nie rovnobežný, ale rovnaké strany- toto je lichobežník, navyše rovnoramenný. Existujú špeciálne prípady, keď sa lichobežník považuje za rovnoramenný.

• Toto sú podmienky pre rovnaké uhly. Takže povinný bod: uhly na základni (pozrite si obrázok nižšie) musia byť rovnaké. V našom prípade uhol BAD = uhol CDA a uhol ABC = uhol BCD
• Po druhé dôležité pravidlo- v takomto lichobežníku musia byť uhlopriečky rovnaké. Preto AC = BD.
• Tretí aspekt: ​​opačné uhly lichobežníka by mali byť 180 stupňov. To znamená, že uhol ABC + uhol CDA = 180 stupňov. S uhlami BCD a BAD podobne.
• Po štvrté, ak lichobežník umožňuje opísať okolo seba kruh, potom je rovnoramenný.

Ako nájsť oblasť rovnoramenného lichobežníka - vzorce a ich popis

• S = (a + b) h / 2 - toto je najbežnejší vzorec na zistenie oblasti, kde a - spodná základňa b je horná základňa a h je výška.

• Ak výška nie je známa, môžete ju vyhľadať pomocou podobného vzorca: h \u003d c * sin (x), kde c je buď AB alebo CD. sin(x) je sínus uhla na ľubovoľnej základni, t.j. uhol DAB = uhol CDA = x. Vzorec nakoniec vyzerá takto: S = (a+b)*s*sin(x)/2.
• Výška sa dá zistiť aj pomocou tohto vzorca:

• Konečný vzorec vyzerá takto:

• Oblasť rovnoramenného lichobežníka možno nájsť aj pomocou stredovej čiary a nadmorskej výšky. Vzorec je: S = mh.

Zvážte stav, keď je kruh vpísaný do lichobežníka.

V prípade znázornenom na obrázku,

QN = D = H - priemer kruhu a zároveň výška lichobežníka;

LO, ON, OQ = R sú polomery kruhu;

DC = a - horná základňa;

AB = b - spodná základňa;

DAB, ABC, BCD, CDA - alfa, beta - lichobežníkové základné uhly.

Podobný prípad umožňuje nájsť oblasť pomocou nasledujúcich vzorcov:

• Teraz sa pokúsime nájsť oblasť cez uhlopriečky a uhly medzi nimi.

Na obrázku označte AC, DB - uhlopriečky - d. Uhly COB, DOB - alfa; DOC, AOB - beta. Vzorec pre oblasť rovnoramenného lichobežníka z hľadiska uhlopriečok a uhla medzi nimi, ( S ) je: