Konštrukcia inverzných funkcií. Inverzná funkcia

Ciele lekcie:

Vzdelávacie:

• formovať vedomosti o novej téme v súlade s programovým materiálom;
• študovať vlastnosť invertibility funkcie a naučiť sa nájsť inverznú funkciu k danej funkcii;

vyvíja sa:

• rozvíjať schopnosti sebaovládania, reč predmetu;
• osvojiť si pojem inverznej funkcie a naučiť sa metódy hľadania inverznej funkcie;

Vzdelávacie: formovať komunikatívnu kompetenciu.

Vybavenie: počítač, projektor, plátno, interaktívna tabuľa SMART Board, písomka (samostatná práca) pre skupinovú prácu.

Počas vyučovania.

1. Organizačný moment.

Cieľ – príprava žiakov na prácu v triede:

Definícia neprítomnosti,

Postoj žiakov k práci, organizácia pozornosti;

Správa o téme a účele lekcie.

2. Aktualizácia základných vedomostí žiakov. predný prieskum.

Cieľ - na zistenie správnosti a informovanosti preberanej teoretickej látky, opakovanie preberanej látky.<Приложение 1 >

Na interaktívnej tabuli pre žiakov je zobrazený graf funkcie. Učiteľ sformuluje úlohu – zvážiť graf funkcie a uviesť preštudované vlastnosti funkcie. Študenti vymenúvajú vlastnosti funkcie podľa návrhu výskumu. Učiteľ vpravo od grafu funkcie zapíše menované vlastnosti fixkou na interaktívnu tabuľu.

Vlastnosti funkcie:

Na konci štúdia učiteľ hlási, že dnes sa na hodine zoznámi ešte s jednou vlastnosťou funkcie - reverzibilnosťou. Pre zmysluplné štúdium nového materiálu učiteľ vyzve deti, aby sa oboznámili s hlavnými otázkami, na ktoré musia študenti odpovedať na konci hodiny. Otázky sa píšu na obyčajnú tabuľu a každý študent má pracovný list (rozdaný pred hodinou)

1. Čo je to reverzibilná funkcia?
2. Je každá funkcia reverzibilná?
3. Čo je inverzne daná funkcia?
4. Ako súvisí doména definície a množina hodnôt funkcie a jej inverznej funkcie?
5. Ak je funkcia daná analyticky, ako definujete inverznú funkciu pomocou vzorca?
6. Ak je funkcia zadaná graficky, ako vykresliť jej inverznú funkciu?

3. Vysvetlenie nového materiálu.

Cieľ - formovať poznatky na novú tému v súlade s programovým materiálom; študovať vlastnosť invertibility funkcie a naučiť sa nájsť inverznú funkciu k danej funkcii; rozvíjať učivo.

Učiteľ vedie prezentáciu materiálu v súlade s materiálom odseku. Na interaktívnej tabuli učiteľ porovnáva grafy dvoch funkcií, ktorých domény definície a množiny hodnôt sú rovnaké, ale jedna z funkcií je monotónna a druhá nie, čím sa študenti dostanú pod pojem invertibilná funkcia. .

Učiteľ potom sformuluje definíciu invertibilnej funkcie a pomocou grafu monotónnej funkcie na interaktívnej tabuli dokáže vetu o invertibilnej funkcii.

Definícia 1: Volá sa funkcia y=f(x), x X reverzibilné, ak nadobudne niektorú zo svojich hodnôt iba v jednom bode množiny X.

Veta: Ak je funkcia y=f(x) monotónna na množine X , potom je invertibilná.

dôkaz:

1. Nechajte funkciu y=f(x) zvyšuje o X nechaj to tak x 1 ≠ x 2- dva body setu X.
2. Pre istotu nech x 1< x 2.
   Potom z čoho x 1< x 2 z toho vyplýva f(x 1) < f(x 2).
3. Rôzne hodnoty argumentu teda zodpovedajú rôznym hodnotám funkcie, t.j. funkcia je reverzibilná.

(Počas dokazovania vety učiteľ urobí všetky potrebné vysvetlenia na výkrese fixkou)

Pred formulovaním definície inverznej funkcie učiteľ požiada študentov, aby určili, ktorá z navrhnutých funkcií je reverzibilná? Interaktívna tabuľa zobrazuje grafy funkcií a je napísaných niekoľko analyticky definovaných funkcií:

B)

G) y = 2x + 5

D) y = -x2 + 7

Učiteľ uvedie definíciu inverznej funkcie.

Definícia 2: Nech invertibilná funkcia y=f(x) definované na súprave X a E(f)=Y. Priraďme každý r od Y potom jediný význam X, na ktorom f(x)=y. Potom dostaneme funkciu, ktorá je definovaná na Y, a X je rozsah funkcie

Táto funkcia je označená x=f -1 (y) a nazýva sa inverzná funkcia y=f(x).

Študenti sú vyzvaní, aby urobili záver o vzťahu medzi doménou definície a množinou hodnôt inverzných funkcií.

Na zváženie otázky, ako nájsť inverznú funkciu danej, učiteľ zapojil dvoch žiakov. Deň predtým dostali deti od učiteľa úlohu samostatne analyzovať analytické a grafické metódy na nájdenie inverzne danej funkcie. Učiteľ pôsobil ako konzultant pri príprave žiakov na vyučovaciu hodinu.

Správa od prvého študenta.

Poznámka: monotónnosť funkcie je dostatočné podmienkou existencie inverznej funkcie. Ale to nie je nevyhnutná podmienka.

Žiak uviedol príklady rôznych situácií, keď funkcia nie je monotónna, ale vratná, keď funkcia nie je monotónna a nevratná, keď je monotónna a vratná.

Potom študent oboznámi študentov s metódou hľadania inverznej funkcie danej analyticky.

Algoritmus hľadania

1. Uistite sa, že funkcia je monotónna.
2. Vyjadrite x pomocou y.
3. Premenovať premenné. Namiesto x \u003d f -1 (y) píšu y \u003d f -1 (x)

Potom rieši dva príklady na nájdenie funkcie inverznej k danému.

Príklad 1: Ukážte, že pre funkciu y=5x-3 existuje inverzná funkcia a nájdite jej analytické vyjadrenie.

Riešenie. Lineárna funkcia y=5x-3 je definovaná na R, rastie na R a jej rozsah je R. Inverzná funkcia teda existuje na R. Aby sme našli jej analytické vyjadrenie, riešime rovnicu y=5x-3 vzhľadom na X; dostaneme Toto je požadovaná inverzná funkcia. Je definovaný a zvyšuje sa pomocou R.

Príklad 2: Ukážte, že pre funkciu y=x 2, x≤0 existuje inverzná funkcia a nájdite jej analytické vyjadrenie.

Funkcia je spojitá, monotónna vo svojej oblasti definície, preto je invertibilná. Po analýze domén definície a množiny hodnôt funkcie sa urobí zodpovedajúci záver o analytickom výraze pre inverznú funkciu.

Druhý študent robí prezentáciu o grafický ako nájsť inverznú funkciu. Žiak pri výklade využíva možnosti interaktívnej tabule.

Na získanie grafu funkcie y=f -1 (x), inverzného k funkcii y=f(x), je potrebné graf funkcie y=f(x) transformovať symetricky vzhľadom na priamku. y=x.

Počas výkladu na interaktívnej tabuli sa vykonáva nasledujúca úloha:

Zostrojte graf funkcie a graf jej inverznej funkcie v rovnakom súradnicovom systéme. Napíšte analytický výraz pre inverznú funkciu.

4. Primárna fixácia nového materiálu.

Cieľ - zistiť správnosť a povedomie o porozumení preberanej látky, identifikovať medzery v primárnom chápaní látky, opraviť ich.

Žiaci sú rozdelení do dvojíc. Dostanú hárky s úlohami, na ktorých pracujú vo dvojiciach. Čas na dokončenie práce je obmedzený (5-7 minút). Jedna dvojica žiakov pracuje na počítači, projektor je na tento čas vypnutý a ostatné deti nevidia, ako žiaci pracujú na počítači.

Po uplynutí času (predpokladá sa, že prácu dokončila väčšina žiakov) interaktívna tabuľa (opätovne sa zapne projektor) zobrazuje prácu žiakov, kde je počas testu objasnené, že úloha bola splnená v r. párov. V prípade potreby učiteľ vedie opravné, vysvetľujúce práce.

Samostatná práca vo dvojici<Dodatok 2 >

5. Výsledok hodiny. Na otázky, ktoré boli položené pred prednáškou. Vyhlásenie známok na vyučovacej hodine.

Domáca úloha §10. №№ 10,6(а,c) 10,8-10,9(b) 10,12(b)

Algebra a začiatky analýzy. 10. stupeň V 2 častiach pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu) / A.G. Mordkovich, L.O. Denishcheva, T.A. Koreshkova a ďalší; vyd. A.G. Mordkovich, M: Mnemosyne, 2007

2.Teória inverzných funkcií

Inverzné goniometrické funkcie

Definícia inverznej funkcie

Definícia. Ak funkcia f(x) špecifikuje korešpondenciu jedna ku jednej medzi jej doménou X a doménou Y (inými slovami, ak rôzne hodnoty argumentu zodpovedajú rôznym hodnotám funkcie), potom funkcia f(x) vraj má inverzná funkcia alebo čo funkciuf(X) je reverzibilná.

Definícia. Inverzná funkcia je pravidlo, že každé číslo priє O sa zhoduje s číslom Xє X a y=f(x). Inverzná definícia oblasti

funkcia má nastavené Y, rozsah - X.

Koreňová veta. Nech sa funkcia f zvýši (alebo zníži) na intervale I, číslo a - ľubovoľná z hodnôt, ktoré v tomto intervale naberie f. Potom rovnica f(x)=a má jedinečný koreň v intervale I.

Dôkaz. Uvažujme rastúcu funkciu f (v prípade klesajúcej funkcie je uvažovanie podobné). Predpokladom je, že v intervale I existuje číslo b také, že f(b)=a. Ukážme, že b je jediným koreňom rovnice f(x)=a.

Predpokladajme, že na intervale I je tiež číslo c≠ b, takže f(c)=a. Potom alebo s b. Ale funkcia f rastie na intervale I, takže buď f(c) f(b). To je v rozpore s rovnosťou f(c)= f(b)=a. Preto je urobený predpoklad nesprávny a v intervale I okrem čísla b nie sú žiadne ďalšie korene rovnice f(x)=a.

Veta o inverznej funkcii. Ak funkcia f rastie (alebo klesá) na intervale I, potom je invertibilná. Funkcia g inverzná k f, definovaná v rozsahu f, je tiež rastúca (resp. klesajúca).

Dôkaz. Pre definitívnosť predpokladajme, že funkcia f je rastúca. Invertibilita funkcie f je zrejmým dôsledkom koreňovej vety. Zostáva teda dokázať, že funkcia g, inverzná k f, je rastúca na množine E(f).

Nech x 1 a x 2 sú ľubovoľné hodnoty z E(f), také, že x 2 > x 1 a nech y 1 = g (x 1), y 2 = g ( x 2 ). Podľa definície inverzná funkcia x 1 = f (y 1) a x 2 = f (y 2).

Pomocou podmienky, že f je rastúca funkcia, zistíme, že predpoklad y 1≥ y 2 vedie k záveru f (y 1) > f (y 2), teda x 1 > x 2. to

odporuje predpokladu x 2 > x 1 Preto y 1 > y 2, teda z podmienky x 2 > x 1 vyplýva, že g (x 2)> g (x 1). Q.E.D.

Pôvodná funkcia a jej inverzná funkcia sú vzájomne obrátene.

Grafy vzájomne inverzných funkcií

Veta. Grafy vzájomne inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku y=x.

Dôkaz. Všimnite si, že z grafu funkcie f možno nájsť číselnú hodnotu funkcie g inverznú k f v ľubovoľnom bode a. Aby ste to dosiahli, musíte zobrať bod so súradnicou nie na horizontálnej osi (ako sa zvyčajne robí), ale na vertikálnej osi. Z definície inverznej funkcie vyplýva, že hodnota g(a) sa rovná b.

Aby bolo možné zobraziť graf g v obvyklom súradnicovom systéme, je potrebné zobraziť graf f vzhľadom na priamku y \u003d x.

Algoritmus na zostavenie inverznej funkcie pre funkciu y=f(x), X X.

1. Uistite sa, že funkcia y=f(x) je na X invertovateľná.

2. Z rovnice y \u003d f (x) x vyjadrite pomocou y, berúc do úvahy, že x є X .

Z. Vo výslednej rovnosti zameňte x a y.

2.2 Definícia, vlastnosti a grafy inverznej goniometrie

funkcie

Arcsine

Funkcia sínus rastie na intervale a nadobúda všetky hodnoty od -1 do 1. Preto podľa koreňovej vety pre ľubovoľné číslo a, také, že
, v intervale je jediný koreň rovnice sin x = a. Toto číslo sa nazýva arcsínus čísla a a označuje sa arcsínus a.

Definícia. Arkussínus čísla a, kde , je také číslo z úsečky, ktorého sínus je rovný a.

Vlastnosti.

D(y) = [-1;1]

E (y) \u003d [-π / 2; π / 2]

y (-x) \u003d arcsin (-x) \u003d - arcsin x - nepárna funkcia, graf je symetrický okolo bodu O (0; 0).

arcsin x = 0 pri x = 0.

arcsin x > 0 na x є (0; 1]

arcsin x< 0 при х є [-1;0)

y \u003d arcsin x sa zvyšuje pre ľubovoľné x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1< arcsin х 2 – функция возрастающая.

Oblúkový kosínus

Funkcia kosínus klesá na segmente a nadobúda všetky hodnoty od -1 do 1. Preto pre akékoľvek číslo také, že |a|1, existuje jeden koreň v rovnici cosx=a na segmente. Toto číslo v sa nazýva arkozínus čísla a a označuje sa arcos a.

Definícia . Oblúkový kosínus čísla a, kde -1 a 1, je číslo zo segmentu, ktorého kosínus sa rovná a.

Vlastnosti.

1. E(y) =

   y (-x) \u003d arccos (-x) \u003d π - arccos x - funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

   arccos x = 0 pri x = 1

   arccos x > 0 pri x є [-1; 1)

arccos x< 0 – нет решений

y \u003d arccos x klesá pre ľubovoľné x є [-1; 1]

1 ≤ x 1< х 2 ≤ 1 <=>arcsin x 1 ≥ arcsin x 2 - klesajúci.

Arktangens

Funkcia dotyčnice sa zvyšuje na segmente -
, preto podľa koreňovej vety má rovnica tgx \u003d a, kde a je akékoľvek reálne číslo, jedinečný koreň x na intervale -. Tento koreň sa nazýva arkus tangens čísla a a označuje sa arctga.

Definícia. Arkustangens čísla aR toto číslo sa nazýva x , ktorého dotyčnica je a.

Vlastnosti.

E (y) \u003d (-π / 2; π / 2)

y(-x) \u003d y \u003d arctg (-x) \u003d - arctg x - funkcia je nepárna, graf je symetrický okolo bodu O (0; 0).

arctg x = 0 pri x = 0

Funkcia sa zvýši pre ľubovoľné x є R

-∞ < х 1 < х 2 < +∞ <=>arctg x 1< arctg х 2

Oblúková dotyčnica

Funkcia kotangens na intervale (0;) klesá a nadobúda všetky hodnoty od R. Preto pre akékoľvek číslo a v intervale (0;) existuje jeden koreň rovnice ctg x \u003d a. Toto číslo a sa nazýva arkustangens čísla a a označuje sa arcctg a.

Definícia. Arkustangens čísla a, kde a R je také číslo z intervalu (0;) , ktorého kotangens je a.

Vlastnosti.

E(y) = (0; π)

y (-x) \u003d arcctg (-x) \u003d π - arcctg x - funkcia nie je ani párna, ani nepárna.

arcctg x = 0- neexistuje.

Funkcia y = arcctg x klesá pre akékoľvek х є R

-∞ < х 1 < х 2 < + ∞ <=>arcctg x 1 > arcctg x 2

Funkcia je spojitá pre ľubovoľné x є R.

2.3 Identitné transformácie výrazov obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie

Príklad 1. Zjednodušte výraz:

a)
kde

Riešenie. Položme
. Potom
a
Nájsť
, používame vzťah
Dostaneme
Ale . V tomto segmente nadobúda kosínus iba kladné hodnoty. Touto cestou,
, teda
kde
.

b)

Riešenie.

v)

Riešenie. Položme
. Potom
a
Najprv nájdime, na čo použijeme vzorec
, kde
Pretože kosínus nadobúda v tomto intervale iba kladné hodnoty
.

Predpokladajme, že máme nejakú funkciu y = f (x), ktorá je striktne monotónna (klesajúca alebo rastúca) a spojitá na obore x ∈ a ; b; jeho rozsah hodnôt je y ∈ c ; d a na intervale c; d zároveň budeme mať funkciu x = g (y) s rozsahom hodnôt a ; b. Druhá funkcia bude tiež kontinuálna a prísne monotónna. Vzhľadom na y = f (x) to bude inverzná funkcia. To znamená, že môžeme hovoriť o inverznej funkcii x = g (y), keď y = f (x) bude v danom intervale buď klesať, alebo rásť.

Tieto dve funkcie, f a g , budú vzájomne inverzné.

Prečo vôbec potrebujeme koncept inverzných funkcií?

Potrebujeme to na riešenie rovníc y = f (x) , ktoré sú napísané práve pomocou týchto výrazov.

Povedzme, že potrebujeme nájsť riešenie rovnice cos (x) = 1 3 . Všetky body budú jeho riešeniami: x = ± a rc c o s 1 3 + 2 π k , k ∈ Z

Inverzné voči sebe budú napríklad funkcie arkkozín a kosínus.

Analyzujme niekoľko problémov na nájdenie funkcií inverzných k daným.

Príklad 1

podmienka: aká je inverzná funkcia pre y = 3 x + 2?

Riešenie

Oblasť definícií a oblasť hodnôt funkcie špecifikovaná v podmienke je množina všetkých reálnych čísel. Skúsme túto rovnicu vyriešiť cez x, teda vyjadrením x cez y.

Dostaneme x = 1 3 y - 2 3 . Toto je inverzná funkcia, ktorú potrebujeme, ale tu y bude argument a x bude funkcia. Usporiadajme ich, aby sme získali známejší zápis:

odpoveď: funkcia y = 1 3 x - 2 3 bude inverzná pre y = 3 x + 2 .

Obe vzájomne inverzné funkcie je možné vykresliť takto:

Vidíme symetriu oboch grafov vzhľadom na y = x . Táto čiara je osou prvého a tretieho kvadrantu. Získali sme dôkaz jednej z vlastností vzájomne inverzných funkcií, o ktorej budeme diskutovať neskôr.

Zoberme si príklad, v ktorom musíte nájsť logaritmickú funkciu, inverznú hodnotu danej exponenciály.

Príklad 2

podmienka: určite, ktorá funkcia bude inverzná pre y = 2 x .

Riešenie

Pre danú funkciu sú definičným oborom všetky reálne čísla. Rozsah hodnôt leží v intervale 0; +∞ . Teraz potrebujeme vyjadriť x cez y, to znamená vyriešiť naznačenú rovnicu cez x. Dostaneme x = log 2 y . Zmeňte usporiadanie premenných a získajte y = log 2 x .

Výsledkom je, že sme získali exponenciálne a logaritmické funkcie, ktoré budú vzájomne inverzné v celej oblasti definície.

odpoveď: y = log 2 x.

Na grafe budú obe funkcie vyzerať takto:

Základné vlastnosti vzájomne inverzných funkcií

V tejto podkapitole uvádzame hlavné vlastnosti funkcií y = f (x) a x = g (y), ktoré sú vzájomne inverzné.

Definícia 1

1. Prvú vlastnosť sme odvodili už skôr: y = f (g (y)) a x = g (f (x)) .
2. Druhá vlastnosť vyplýva z prvej: definičný obor y = f (x) sa bude zhodovať s definičným oborom inverznej funkcie x = g (y) a naopak.
3. Grafy funkcií, ktoré sú inverzné, budú symetrické vzhľadom na y = x .
4. Ak y = f (x) rastie, potom sa zväčší aj x = g (y) a ak y = f (x) klesá, potom sa zníži aj x = g (y).

Odporúčame vám, aby ste dôkladne zvážili pojmy domény definície a rozsahu funkcií a nikdy si ich nezamieňali. Povedzme, že máme dve vzájomne inverzné funkcie y = f (x) = a x a x = g (y) = log a y . Podľa prvej vlastnosti y = f (g (y)) = a log a y . Táto rovnosť bude platiť iba v prípade kladných hodnôt y a pre záporné hodnoty nie je logaritmus definovaný, takže sa neponáhľajte zapísať, že log a y = y . Nezabudnite skontrolovať a dodať, že to platí len pre kladné y .

Ale rovnosť x \u003d f (g (x)) \u003d log a a x \u003d x bude platiť pre všetky skutočné hodnoty x.

Nezabudnite na tento bod, najmä ak musíte pracovať s goniometrickými a inverznými goniometrickými funkciami. Takže a rc sin sin 7 π 3 ≠ 7 π 3, pretože rozsah arcsínusu je π 2 ; π 2 a 7 π 3 nie sú v ňom zahrnuté. Správny záznam bude

a r c sin sin 7 π 3 \u003d a r c sin sin 2 π + π 3 \u003d \u003d \u003d vo forme s u l p r i o n i o n \u003d a r c sin \u 03 3

Ale sin a r c sin 1 3 \u003d 1 3 je správna rovnosť, t.j. sin (a rc sin x) = x pre x ∈ - 1 ; 1 a a rc sin (sin x) = x pre x ∈ - π2; π 2. Vždy buďte opatrní s rozsahom a rozsahom inverzných funkcií!

• Základné vzájomne inverzné funkcie: moc

Ak máme mocninnú funkciu y = x a , potom pre x > 0 bude aj mocninná funkcia x = y 1 a inverzná k nej. Nahradíme písmená a získame y = x a a x = y 1 a.

Na grafe budú vyzerať takto (prípady s kladným a záporným koeficientom a):

• Základné vzájomne inverzné funkcie: exponenciálne a logaritmické

Zoberme si a, ktoré bude kladné číslo, ktoré sa nebude rovnať 1.

Grafy pre funkcie s a > 1 a a< 1 будут выглядеть так:

• Základné vzájomne inverzné funkcie: goniometrické a inverzné goniometrické

Ak potrebujeme vykresliť hlavnú vetvu sínusu a arksínusu, bude to vyzerať takto (zobrazené vo zvýraznenej svetlej oblasti).

Vzájomne inverzné funkcie.

Nech je funkcia striktne monotónna (rastúca alebo klesajúca) a spojitá na doméne definície, rozsahu tejto funkcie, potom na intervale je definovaná súvislá prísne monotónna funkcia s rozsahom hodnôt, ktoré je inverzný pre .

Inými slovami, má zmysel hovoriť o inverznej funkcii pre funkciu na konkrétnom intervale, ak sa v tomto intervale zvyšuje alebo znižuje.

Funkcie f a g sa nazývajú recipročné.

Prečo vôbec uvažovať o koncepte inverzných funkcií?

Je to spôsobené problémom riešenia rovníc. Riešenia sú napísané len z hľadiska inverzných funkcií.

Zvážte niekoľko príkladov hľadania inverzných funkcií .

Začnime lineárnymi vzájomne inverznými funkciami.

Nájdite inverznú funkciu pre.

Táto funkcia je lineárna, jej graf je priamka. Preto je funkcia monotónna v celej oblasti definície. Preto budeme hľadať inverznú funkciu k nej na celom definičnom obore.

.

expresné X cez r (inými slovami, vyriešte rovnicu pre X ).

- toto je inverzná funkcia, pravda je tu r je argument, a X je funkcia tohto argumentu. Aby sa neporušili zvyky v zápise (to nemá zásadný význam), preskupovanie písmen X a r , napíše .

Teda a sú vzájomne inverzné funkcie.

Uveďme si grafické znázornenie vzájomne inverzných lineárnych funkcií.

Je zrejmé, že grafy sú symetrické vzhľadom na priamku. (osiektory prvého a tretieho štvrťroka). Toto je jedna z vlastností vzájomne inverzných funkcií, o ktorej bude reč nižšie.

Nájdite inverznú funkciu.

Táto funkcia je štvorcová, graf je parabola s vrcholom v bode.

.

Funkcia sa zvyšuje a znižuje ako . To znamená, že je možné vyhľadať inverznú funkciu pre danú funkciu na jednom z dvoch intervalov.

Nech teda a pri výmene x a y dostaneme inverznú funkciu na danom intervale: .

Nájdite inverznú funkciu.

Táto funkcia je kubická, graf je kubická parabola s vrcholom v bode.

.

Funkcia sa zvyšuje pri. To znamená, že je možné hľadať inverznú funkciu pre danú funkciu na celom definičnom obore.

a zámenou x a y dostaneme inverznú funkciu.

Znázornime to na grafe.

Uveďme zoznam vlastnosti vzájomne inverzných funkcií a.

a.

Z prvej vlastnosti je vidieť, že rozsah funkcie sa zhoduje s rozsahom funkcie a naopak.

Grafy vzájomne inverzných funkcií sú symetrické vzhľadom na priamku.

Ak sa zvýši, potom sa zvýši, ak sa zníži, potom sa zníži.

Pre danú funkciu nájdite inverznú funkciu:

Pre danú funkciu nájdite inverznú a nakreslite danú a inverznú funkciu: Zistite, či pre danú funkciu existuje inverzná funkcia. Ak áno, definujte inverznú funkciu analyticky, vykreslite danú a inverznú funkciu: Nájdite doménu a rozsah funkcie inverznú k funkcii, ak:

1. Nájdite rozsah každej zo vzájomne inverzných funkcií a ak sú dané ich rozsahy:

Sú funkcie vzájomne inverzné, ak:

1. Nájdite inverznú funkciu k danej funkcii. Nakreslite do rovnakého súradnicového systému grafy týchto vzájomne inverzných funkcií:

   Je táto funkcia inverzná k sebe samej: Definujte inverznú funkciu k danej a nakreslite jej graf:
   

Už sme narazili na problém, keď pri danej funkcii f a danej hodnote jej argumentu bolo potrebné v tomto bode vypočítať hodnotu funkcie. Niekedy však musíme čeliť inverznému problému: nájsť pri známej funkcii f a jej určitej hodnote y hodnotu argumentu, v ktorom má funkcia danú hodnotu y.

Funkcia, ktorá preberá každú zo svojich hodnôt v jedinom bode vo svojej doméne definície, sa nazýva invertibilná funkcia. Napríklad lineárna funkcia by bola reverzibilná funkcia. Kvadratická funkcia alebo sínusová funkcia nebudú invertovateľnými funkciami. Pretože funkcia môže mať rovnakú hodnotu s rôznymi argumentmi.

Inverzná funkcia

Predpokladajme, že f je ľubovoľná invertibilná funkcia. Každé číslo z jeho rozsahu y0 zodpovedá iba jednému číslu z domény x0, teda f(x0) = y0.

Ak teraz každej hodnote x0 priradíme hodnotu y0, dostaneme novú funkciu. Napríklad pre lineárnu funkciu f(x) = k * x + b bude funkcia g(x) = (x - b)/k inverzná.

Ak nejaká funkcia g v každom bode X rozsah invertibilnej funkcie f nadobúda hodnotu y takú, že f(y) = x, potom hovoríme, že funkcia g- existuje inverzná funkcia k f.

Ak máme graf nejakej reverzibilnej funkcie f, potom na vykreslenie grafu inverznej funkcie môžeme použiť nasledujúce tvrdenie: graf funkcie f a k nej inverznej funkcie g bude symetrický vzhľadom na priamka daná rovnicou y = x.

Ak je funkcia g inverzná funkcia k funkcii f, potom funkcia g bude invertovateľnou funkciou. A funkcia f bude inverzná k funkcii g. Zvyčajne sa hovorí, že dve funkcie f a g sú navzájom inverzné.

Nasledujúci obrázok ukazuje grafy funkcií f a g navzájom inverzných.

Odvoďme teorému: ak funkcia f rastie (alebo klesá) na nejakom intervale A, potom je invertibilná. Funkcia g inverzná k a, definovaná v rozsahu funkcie f, je tiež rastúcou (resp. klesajúcou) funkciou. Táto veta sa nazýva veta o inverznej funkcii.