Vzdialenosť medzi bodmi. Vzdialenosť z bodu do bodu: vzorce, príklady, riešenia

Riešenie matematických problémov u študentov je často sprevádzané mnohými problémami. Hlavným účelom našej stránky je pomôcť študentovi vyrovnať sa s týmito ťažkosťami a naučiť ho aplikovať svoje teoretické znalosti pri riešení konkrétnych problémov vo všetkých častiach predmetu predmetu „Matematika“.

Študenti by mali začať vytvárať body na rovine podľa svojich súradníc a nájsť súradnice daného bodu.

Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi A (x A; y A) a B (x B; y B) odobratými v rovine sa vykoná pomocou vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (v A - v B) 2), kde d je dĺžka segmentu, ktorý spája tieto body v rovine.

Ak sa jeden z koncov segmentu zhoduje so začiatkom a druhý má súradnice M (x M; y M), potom vzorec na výpočet d bude mať tvar OM \u003d √ (x M2 + y M2).

1. Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na daných súradniciach týchto bodov

Príklad 1.

Nájdite dĺžku segmentu, ktorý spája body A (2; -5) a B (-4; 3) na súradnicovej rovine (obr. 1).

Rozhodnutie.

V stave problému je uvedený: x A \u003d 2; x B \u003d -4; pri A \u003d -5 a pri B \u003d 3. Nájdite d.

Použitím vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) získame:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5-3) 2) \u003d 10.

2. Výpočet súradníc bodu, ktorý je rovnako vzdialený od troch daných bodov

Príklad 2

Nájdite súradnice bodu O1, ktorý je rovnako vzdialený od troch bodov A (7; -1) a B (-2; 2) a C (-1; -5).

Rozhodnutie.

Z vyjadrenia podmienok problému vyplýva, že O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Nechajte požadovaný bod O 1 mať súradnice (a; b). Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

01A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

01B \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

01C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Zostavujeme systém dvoch rovníc:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po zarovnaní ľavej a pravej strany rovníc píšeme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Pre zjednodušenie píšeme

(-3a + b + 7 \u003d 0,
(-2a - b + 3 \u003d 0.

Po vyriešení systému dostaneme: a \u003d 2; b \u003d -1.

Bod O 1 (2; -1) je rovnako vzdialený od troch bodov špecifikovaných v podmienke, ktoré neležia na jednej priamke. Tento bod je stredom kruhu prechádzajúceho cez tri dané body (obr. 2).

3. Výpočet súradnice (súradnice) bodu, ktorý leží na osi súradnice (súradnice) a je v danej vzdialenosti od tohto bodu

Príklad 3

Vzdialenosť od bodu B (-5; 6) k bodu A ležiacemu na osi Ox je 10. Nájdite bod A.

Rozhodnutie.

Z vyjadrenia problémovej podmienky vyplýva, že súradnica bodu A sa rovná nule a AB \u003d 10.

Ak označíme vodorovnú os bodu A a, píšeme A (a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnicu √ ((a + 5) 2 + 36) \u003d 10. Po jej zjednodušení máme

a 2 + 10a - 39 \u003d 0.

Korene tejto rovnice sú 1 \u003d -13; a 2 \u003d 3.

Získame dva body A1 (-13; 0) a A2 (3; 0).

kontrola:

A 1 B \u003d √ ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A2B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Obidva získané body sú vhodné pre stav problému. (obr. 3).

4. Výpočet úsečky (súradnice) bodu, ktorý leží na osi úsečky (súradnice) a je v rovnakej vzdialenosti od dvoch daných bodov

Príklad 4

Nájdite bod na osi Oy, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od bodov A (6; 12) a B (-8; 10).

Rozhodnutie.

Nech súradnice bodu ležiaceho na osi Oy podľa problému sú O 1 (0; b) (bod ležiaci na osi Oy bude mať nulovú os x). Z podmienky vyplýva, že O 1 A \u003d O 1 B.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

01A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

О 1 ° \u003d √ ((а + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Máme rovnicu √ (36 + (b - 12) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2) alebo 36 + (b - 12) 2 \u003d 64 + (b - 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b - 4 \u003d 0, b \u003d 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný stavom problému (obr. 4).

5. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a určitého bodu

Príklad 5

Nájdite bod M umiestnený na súradnicovej rovine v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a od bodu A (-2; 1).

Rozhodnutie.

Požadovaný bod M, podobne ako bod A (-2; 1), je umiestnený v druhom súradnicovom uhle, pretože je rovnako vzdialený od bodov A, P1 a P2. (obr. 5), Vzdialenosti bodu M od súradnicových osí sú rovnaké, preto jeho súradnice budú (-a; a), kde a\u003e 0.

Z podmienok problému vyplýva, že MA \u003d MP 1 \u003d MP 2, MP 1 \u003d a; MP 2 \u003d | -a |,

tj | -a | \u003d a.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

MA \u003d √ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Urobme rovnicu:

√ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) \u003d a.

Po zarovnaní a zjednodušení máme: a 2 - 6a + 5 \u003d 0. Vyriešime rovnicu, nájdeme 1 \u003d 1; a 2 \u003d 5.

Dostaneme dva body Mi (-1; 1) a M2 (-5; 5), ktoré spĺňajú podmienky problému.

6. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej danej vzdialenosti od osi x (súradnice) a od tohto bodu

Príklad 6

Nájdite bod M tak, aby jeho vzdialenosť od osi ya od bodu A (8; 6) bola 5.

Rozhodnutie.

Z podmienok problému vyplýva, že MA \u003d 5 a vodorovná os bodu M je 5. Nech súradnica bodu M je b, potom M (5; b) (obr. 6).

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) máme:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Urobme rovnicu:

√ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) \u003d 5. Po jeho zjednodušení dostaneme: b 2 - 12b + 20 \u003d 0. Korene tejto rovnice sú b 1 \u003d 2; b 2 \u003d 10. Preto existujú dva body, ktoré spĺňajú podmienku problému: M1 (5; 2) a M2 (5; 10).

Je známe, že mnohí študenti pri riešení problémov potrebujú neustále konzultácie o technikách a metódach ich riešenia. Pre študenta často nie je možné nájsť spôsob, ako vyriešiť problém bez pomoci učiteľa. Študent môže na našej webovej stránke získať potrebné rady na riešenie problémov.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v lietadle?
Ak chcete získať pomoc učiteľa.
Prvá hodina je zadarmo!

blog.site s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Riešenie matematických problémov u študentov je často sprevádzané mnohými problémami. Hlavným účelom našej stránky je pomôcť študentovi vyrovnať sa s týmito ťažkosťami a naučiť ho aplikovať svoje teoretické znalosti pri riešení konkrétnych problémov vo všetkých častiach predmetu predmetu „Matematika“.

Študenti by mali začať vytvárať body na rovine podľa svojich súradníc a nájsť súradnice daného bodu.

Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi A (x A; y A) a B (x B; y B) odobratými v rovine sa vykoná pomocou vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (v A - v B) 2), kde d je dĺžka segmentu, ktorý spája tieto body v rovine.

Ak sa jeden z koncov segmentu zhoduje so začiatkom a druhý má súradnice M (x M; y M), potom vzorec na výpočet d bude mať tvar OM \u003d √ (x M2 + y M2).

1. Výpočet vzdialenosti medzi dvoma bodmi na daných súradniciach týchto bodov

Príklad 1.

Nájdite dĺžku segmentu, ktorý spája body A (2; -5) a B (-4; 3) na súradnicovej rovine (obr. 1).

Rozhodnutie.

V stave problému je uvedený: x A \u003d 2; x B \u003d -4; pri A \u003d -5 a pri B \u003d 3. Nájdite d.

Použitím vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) získame:

d \u003d AB \u003d √ ((2 - (-4)) 2 + (-5-3) 2) \u003d 10.

2. Výpočet súradníc bodu, ktorý je rovnako vzdialený od troch daných bodov

Príklad 2

Nájdite súradnice bodu O1, ktorý je rovnako vzdialený od troch bodov A (7; -1) a B (-2; 2) a C (-1; -5).

Rozhodnutie.

Z vyjadrenia podmienok problému vyplýva, že O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. Nechajte požadovaný bod O 1 mať súradnice (a; b). Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

01A \u003d √ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2);

01B \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2);

01C \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Zostavujeme systém dvoch rovníc:

(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d √ ((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
(√ ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d √ ((a + 1) 2 + (b + 5) 2).

Po zarovnaní ľavej a pravej strany rovníc píšeme:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 1) 2 + (b + 5) 2.

Pre zjednodušenie píšeme

(-3a + b + 7 \u003d 0,
(-2a - b + 3 \u003d 0.

Po vyriešení systému dostaneme: a \u003d 2; b \u003d -1.

Bod O 1 (2; -1) je rovnako vzdialený od troch bodov špecifikovaných v podmienke, ktoré neležia na jednej priamke. Tento bod je stredom kruhu prechádzajúceho cez tri dané body (obr. 2).

3. Výpočet súradnice (súradnice) bodu, ktorý leží na osi súradnice (súradnice) a je v danej vzdialenosti od tohto bodu

Príklad 3

Vzdialenosť od bodu B (-5; 6) k bodu A ležiacemu na osi Ox je 10. Nájdite bod A.

Rozhodnutie.

Z vyjadrenia problémovej podmienky vyplýva, že súradnica bodu A sa rovná nule a AB \u003d 10.

Ak označíme vodorovnú os bodu A a, píšeme A (a; 0).

AB \u003d √ ((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d √ ((a + 5) 2 + 36).

Dostaneme rovnicu √ ((a + 5) 2 + 36) \u003d 10. Po jej zjednodušení máme

a 2 + 10a - 39 \u003d 0.

Korene tejto rovnice sú 1 \u003d -13; a 2 \u003d 3.

Získame dva body A1 (-13; 0) a A2 (3; 0).

kontrola:

A 1 B \u003d √ ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

A2B \u003d √ ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10.

Obidva získané body sú vhodné pre stav problému. (obr. 3).

4. Výpočet úsečky (súradnice) bodu, ktorý leží na osi úsečky (súradnice) a je v rovnakej vzdialenosti od dvoch daných bodov

Príklad 4

Nájdite bod na osi Oy, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od bodov A (6; 12) a B (-8; 10).

Rozhodnutie.

Nech súradnice bodu ležiaceho na osi Oy podľa problému sú O 1 (0; b) (bod ležiaci na osi Oy bude mať nulovú os x). Z podmienky vyplýva, že O 1 A \u003d O 1 B.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

01A \u003d √ ((0 - 6) 2 + (b - 12) 2) \u003d √ (36 + (b - 12) 2);

О 1 ° \u003d √ ((а + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2).

Máme rovnicu √ (36 + (b - 12) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2) alebo 36 + (b - 12) 2 \u003d 64 + (b - 10) 2.

Po zjednodušení dostaneme: b - 4 \u003d 0, b \u003d 4.

Bod O 1 (0; 4) vyžadovaný stavom problému (obr. 4).

5. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a určitého bodu

Príklad 5

Nájdite bod M umiestnený na súradnicovej rovine v rovnakej vzdialenosti od súradnicových osí a od bodu A (-2; 1).

Rozhodnutie.

Požadovaný bod M, podobne ako bod A (-2; 1), je umiestnený v druhom súradnicovom uhle, pretože je rovnako vzdialený od bodov A, P1 a P2. (obr. 5), Vzdialenosti bodu M od súradnicových osí sú rovnaké, preto jeho súradnice budú (-a; a), kde a\u003e 0.

Z podmienok problému vyplýva, že MA \u003d MP 1 \u003d MP 2, MP 1 \u003d a; MP 2 \u003d | -a |,

tj | -a | \u003d a.

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) nájdeme:

MA \u003d √ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2).

Urobme rovnicu:

√ ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) \u003d a.

Po zarovnaní a zjednodušení máme: a 2 - 6a + 5 \u003d 0. Vyriešime rovnicu, nájdeme 1 \u003d 1; a 2 \u003d 5.

Dostaneme dva body Mi (-1; 1) a M2 (-5; 5), ktoré spĺňajú podmienky problému.

6. Výpočet súradníc bodu, ktorý je v rovnakej danej vzdialenosti od osi x (súradnice) a od tohto bodu

Príklad 6

Nájdite bod M tak, aby jeho vzdialenosť od osi ya od bodu A (8; 6) bola 5.

Rozhodnutie.

Z podmienok problému vyplýva, že MA \u003d 5 a vodorovná os bodu M je 5. Nech súradnica bodu M je b, potom M (5; b) (obr. 6).

Podľa vzorca d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) máme:

MA \u003d √ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2).

Urobme rovnicu:

√ ((5 - 8) 2 + (b - 6) 2) \u003d 5. Po jeho zjednodušení dostaneme: b 2 - 12b + 20 \u003d 0. Korene tejto rovnice sú b 1 \u003d 2; b 2 \u003d 10. Preto existujú dva body, ktoré spĺňajú podmienku problému: M1 (5; 2) a M2 (5; 10).

Je známe, že mnohí študenti pri riešení problémov potrebujú neustále konzultácie o technikách a metódach ich riešenia. Pre študenta často nie je možné nájsť spôsob, ako vyriešiť problém bez pomoci učiteľa. Študent môže na našej webovej stránke získať potrebné rady na riešenie problémov.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako nájsť vzdialenosť medzi dvoma bodmi v lietadle?
Ak chcete získať pomoc od tútora - zaregistrujte sa.
Prvá hodina je zadarmo!

s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

Vzdialenosť medzi dvoma bodmi v rovine.
Súradnicové systémy

Každý bod A roviny je charakterizovaný svojimi súradnicami (x, y). Zhodujú sa so súradnicami vektora 0A a ponechávajú bod 0 - pôvod.

Nech A a B sú ľubovoľné body roviny so súradnicami (x 1 y 1) a (x 2, y 2).

Potom má vektor AB očividne súradnice (x 2 - x 1, y 2 - y 1). Je známe, že druhá mocnina dĺžky vektora sa rovná súčtu štvorcov jeho súradníc. Preto je vzdialenosť d medzi bodmi A a B alebo ekvivalentne dĺžka vektora AB určená zo stavu

d2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2.

d \u003d \\ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

Výsledný vzorec vám umožní nájsť vzdialenosť medzi akýmikoľvek dvoma bodmi roviny, ak sú známe iba súradnice týchto bodov

Vždy, keď hovoríme o súradniciach konkrétneho bodu roviny, máme na mysli dobre definovaný súradnicový systém x0y. Všeobecne je však možné zvoliť súradnicový systém v rovine rôznymi spôsobmi. Namiesto súradnicového systému x0y teda môžeme uvažovať o súradnicovom systéme x "0y", ktorý sa získa otočením starých súradnicových osí okolo počiatočného bodu 0 proti smeru hodinových ručičiek  šípky na rohu α .

Ak nejaký bod roviny v súradnicovom systéme x0y mal súradnice (x, y), potom v novom súradnicovom systéme x "0y" už bude mať ďalšie súradnice (x ", y").

Ako príklad uvážte bod M umiestnený na osi 0x "a vzdialený od bodu 0 vo vzdialenosti rovnej 1.

Je zrejmé, že v súradnicovom systéme x0y má tento bod súradnice (cos α , hriech α ) a v súradnicovom systéme x "0y" súradnice (1,0).

Súradnice ktoréhokoľvek z dvoch bodov roviny A a B závisia od toho, ako je v tejto rovine definovaný súradnicový systém. Vzdialenosť medzi týmito bodmi však nezávisí od spôsobu nastavenia súradnicového systému. Túto dôležitú okolnosť budeme v nasledujúcom oddiele v značnej miere využívať.

cvičenie

I. Nájdite vzdialenosť medzi bodmi roviny so súradnicami:

1) (3.5) a (3.4); 3) (0,5) a (5, 0); 5) (-3,4) a (9, -17);

2) (2, 1) a (- 5, 1); 4) (0, 7) a (3,3); 6) (8, 21) a (1, -3).

II. Nájdite obvod trojuholníka, ktorého strany sú dané rovnicami:

x + y - 1 \u003d 0, 2x - y - 2 \u003d 0 a y \u003d 1.

III. V súradnicovom systéme x0y majú body M a N súradnice (1, 0) a (0,1). Nájdite súradnice týchto bodov v novom súradnicovom systéme, ktorý sa získa otočením starých osí okolo počiatočného bodu v uhle 30 ° proti smeru hodinových ručičiek.

IV. V súradnicovom systéme x0y majú body M a N súradnice (2, 0) a (\\ /    3/2, - 1/2). Nájdite súradnice týchto bodov v novom súradnicovom systéme, ktorý sa získa otočením starých osí okolo počiatočného bodu o 30 ° v smere hodinových ručičiek.

Výpočet vzdialeností medzi bodmi podľa ich súradníc na rovine je elementárny, na zemskom povrchu - trochu komplikovanejší: zvážime zmeranie vzdialenosti a počiatočného azimutu medzi bodmi bez premietania premietania. Najprv pochopíme terminológiu.

úvod

Cez akékoľvek dva body na povrchu gule, ak nie sú priamo oproti sebe (tj nie sú antipódami), možno nakresliť jedinečný veľký kruh. Dva body rozdeľujú veľký kruh na dva oblúky. Dĺžka krátkeho oblúka je najkratšia vzdialenosť medzi dvoma bodmi. Medzi dvoma bodmi protiľahlého bodu sa dá nakresliť nekonečný počet veľkých kružníc, ale vzdialenosť medzi nimi bude rovnaká na každom kruhu a rovná sa polovici obvodu kruhu alebo π * R, kde R je polomer gule.

V rovine (v obdĺžnikovom súradnicovom systéme) sú veľké kruhy a ich fragmenty, ako je uvedené vyššie, oblúky vo všetkých projekciách okrem gnomoniky, kde sú veľké kruhy priamky. V praxi to znamená, že letúny a iná letecká doprava vždy používajú trasu minimálnej vzdialenosti medzi bodmi, aby sa ušetrilo palivo, to znamená, že let sa vykonáva pozdĺž vzdialenosti veľkého kruhu, v rovine, ktorá vyzerá ako oblúk.

Tvar Zeme sa dá opísať ako guľa, takže rovnice na výpočet vzdialeností na veľkej kružnici sú dôležité pre výpočet najkratšej vzdialenosti medzi bodmi na povrchu Zeme a často sa používajú v navigácii. Výpočet vzdialenosti touto metódou je efektívnejší a v mnohých prípadoch presnejší ako jeho výpočet pre navrhnuté súradnice (v pravouhlých súradnicových systémoch), pretože najprv nemusíte prekladať geografické súradnice do pravouhlého súradnicového systému (vykonávať premietanie premietania) a, po druhé, mnoho projekcií, pokiaľ nie sú správne vybrané, môžu viesť k výrazným skresleniam dĺžky v dôsledku povahy skreslenia projekcie. Je známe, že tvar gule namiesto elipsoidu popisuje tvar Zeme presnejšie, avšak v tomto článku sa uvažuje o výpočte vzdialeností na gule, na výpočty sa používa guľa s polomerom 6372795 metrov, čo môže viesť k chybe pri výpočte vzdialeností rádovo 0,5%.

vzorec

Moja implementácia PHP

Nech je daný obdĺžnikový súradnicový systém.

Veta 1.1.Pre akékoľvek dva body Mi (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) roviny je vzdialenosť d medzi nimi vyjadrená vzorcom

Dôkaz.Z bodov Mi a M2 vynecháme kolmice M1B a M2A

  na osi Oy a Ox a označujú pomocou K bod priesečníka priamok M 1 B a M 2 A (obrázok 1.4). Možné sú tieto prípady:

1) Body Mi, M2 a K sú rôzne. Je zrejmé, že bod K má súradnice (x 2; y 1). Je ľahké vidieť, že M 1 K \u003d fx 2 - x 1 ô, M2 K \u003d fu 2 - pri 1 ô. pretože ΔМ 1 КМ 2 je pravouhlý, potom podľa Pythagorovej vety d \u003d М 1 М 2 \u003d = .

2) Bod K sa zhoduje s bodom M2, líši sa však od bodu M1 (obr. 1.5). V tomto prípade y2 \u003d y 1

  a d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d fx 2 - x 1 0 \u003d =

3) Bod K sa zhoduje s bodom M1, ale líši sa od bodu M2. V tomto prípade x 2 \u003d x 1 ad \u003d

M 1 M 2 \u003d KM 2 \u003d fu 2 - pri 1 ° \u003d = .

4) Bod M2 sa zhoduje s bodom M1. Potom x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 a

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d.

V tomto ohľade rozdelenie segmentu.

Nech je v rovine daný ľubovoľný segment M 1 M 2 a M je ľubovoľný bod tejto roviny

  segment iný ako bod M2 (obr. 1.6). Číslo l definované rovnosťou   sa volá postoj,v tomto bode M delí segment M 1 M 2.

Veta 1.2.Ak bod M (x; y) delí segment M 1 M 2 vzhľadom na l, jeho súradnice sa určia pomocou vzorcov

x \u003d , y \u003d , (4)

kde (x 1; y 1) ─ súradnice bodu Mi, (x 2; y 2) ─ súradnice bodu M2.

Dôkaz.Ukážme prvý zo vzorcov (4). Druhý vzorec je dokázaný podobne. Možné sú dva prípady.

x \u003d x 1 \u003d = = .

2) Priamka M 1 M 2 nie je kolmá na os Ox (obr. 1.6). Vynecháme kolmice z bodov Mi, M, M2 na osi Ox a označíme body ich priesečníka s osou Ox, resp. P1, P, P2. Podľa proporcionálnej segmentovej vety   \u003d l.

pretože P 1 P \u003d fx - x 1 ô, PP 2 \u003d fx 2 - xô a čísla (x - x 1) a (x 2 - x) majú rovnaké znamienko (pre x 1< х 2 они положительны, а при х 1 >  x 2 sú záporné), potom

l \u003d \u003d ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x \u003d .

Dôsledok 1.2.1.Ak M 1 (x 1; y 1) a M 2 (x 2; y 2) ─ dva ľubovolné body a bod M (x; y) ─ stred segmentu M 1 M 2, potom

x \u003d   , y \u003d (5)

Dôkaz.  Pretože M1 M \u003d M 2 M, potom 1 \u003d 1 a vzorcami (4) dostaneme vzorce (5).

Oblasť trojuholníka.

Veta 1.3.Pre všetky body A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) a C (x 3; y 3), ktoré nie sú umiestnené na jednom

čiara, plocha S trojuholníka ABC je vyjadrená vzorcom

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

Dôkaz.Oblasť ∆ ABC znázornená na obr. 1.7, vypočítajte nasledujúcim spôsobom

  S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD.

Vypočítame plochu lichobežníka:

S ADEC \u003d
,

S BCEF \u003d

S ABFD \u003d

Teraz máme

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - y 1) (y 1 + y 2)) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + + x 2 y 3 - x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1)) \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + y 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) ( y 2 - y 1) + (x 1 - x 3) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1)).

Na inom mieste ∆ ABC sa vzorec (6) osvedčil podobne, ale môže sa ukázať znakom „-“. Preto do vzorca (6) vložte znamenie modulu.

Prednáška 2.

Rovnica priamky v rovine: rovnica priamky s hlavným koeficientom, všeobecná rovnica priamky, rovnica priamky v segmentoch, rovnica priamky prechádzajúcej dvoma bodmi. Uhol medzi čiarami, podmienky rovnobežnosti a kolmosť čiar na rovine.

2.1.   Dovoliť pravouhlý súradnicový systém a nejaký riadok L.

Definícia 2.1.Volá sa rovnica tvaru F (x; y) \u003d 0, spájajúca premenné xay rovnica priamky L(v danom súradnicovom systéme), ak súradnice ktoréhokoľvek bodu ležiaceho na priamke L spĺňajú túto rovnicu a súradnice ktoréhokoľvek bodu, ktorý sa nenachádza na tejto priamke, vyhovujú.

Príklady rovníc priamok v rovine.

1) Zvážte priamku rovnobežnú s osou Oy pravouhlého súradnicového systému (obr. 2.1). Nech A označuje priesečník tejto čiary s osou Ox, (a; o) ─ jej or-

  koordinuje. Rovnica x \u003d a je rovnica danej priamky. Súradnice ktoréhokoľvek bodu M (a; y) tejto priamky skutočne spĺňajú túto rovnicu a nespĺňajú súradnice žiadneho bodu, ktorý nie je na tejto priamke. Ak a \u003d 0, potom sa čiara zhoduje s osou Oy, ktorá má rovnicu x \u003d 0.

2) Rovnica x - y \u003d 0 definuje množinu rovinných bodov, ktoré tvoria priamky súradnicových uhlov I a III.

3) Rovnica x 2 - y 2 \u003d 0 ─ je to rovnica dvoch bisektorov súradnicových uhlov.

4) Rovnica x 2 + y 2 \u003d 0 definuje jedinečný bod O (0; 0) v rovine.

5) Rovnica x 2 + y 2 \u003d 25 ─ rovnica kružnice s polomerom 5 vystredenou na začiatku.