Pomocou tohto matematického programu môžete vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc s dvoma premennými pomocou substitučnej metódy a metódy sčítania.

Program poskytuje nielen odpoveď na problém, ale poskytuje aj podrobné riešenie s vysvetlením krokov riešenia dvoma spôsobmi: substitučnou metódou a metódou sčítania.

Tento program môže byť užitočný pre študentov vyšších ročníkov stredných škôl pri príprave na testy a skúšky, pri testovaní vedomostí pred skúškou, rodičia pri kontrole riešenia mnohých problémov v matematike a algebre. Alebo možno je pre vás príliš drahé najať tútora alebo kúpiť nové učebnice? Alebo si len chcete čo najrýchlejšie urobiť domácu úlohu v matematike alebo algebre? V takom prípade môžete naše programy využiť aj s detailným riešením.

Takto môžete viesť svoj vlastný výcvik a / alebo výcvik svojich mladších bratov alebo sestier, zatiaľ čo úroveň vzdelania v oblasti úloh, ktoré sa majú zlepšiť.

Pravidlá zadávania rovníc

Premennou môže byť ľubovoľné latinské písmeno.
   Napríklad: \\ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \\) atď.

Pri zadávaní rovníc môžu sa použiť zátvorky, V tomto prípade sú rovnice najskôr zjednodušené. Rovnice po zjednodušení by mali byť lineárne, t.j. tvaru ax + + + + \u003d 0 s presnosťou sledu prvkov.
   Napríklad: 6x + 1 \u003d 5 (x + y) +2

V rovniciach môžete použiť nielen celé čísla, ale aj zlomkové čísla vo forme desatinných a bežných zlomkov.

Pravidlá zadávania desatinných zlomkov.
   Celé číslo a zlomkové časti v desatinných zlomkoch môžu byť oddelené bodkou alebo čiarkou.
   Napríklad: 2,1 n + 3,5 m \u003d 55

Pravidlá zadávania bežných zlomkov.
   Ako čitateľ, menovateľ a celé číslo zlomku môže byť iba celé číslo.
   Menovateľ nemôže byť negatívny.
   Pri zadávaní číselnej zlomky je čitateľ oddelený od menovateľa znakom delenia: /
   Celá časť je oddelená od frakcie znakom ampersand: &

Príklady.
-1 & 2 / 3y + 5 / 3x \u003d 55
2,1p + 55 \u003d -2/7 (3,5p - 2 a 1 / 8q)

Zistilo sa, že niektoré skripty potrebné na vyriešenie tohto problému sa nenačítali a program nemusí fungovať.
   Možno máte povolený AdBlock.
V takom prípade ju vypnite a stránku obnovte.

pretože Existuje veľa ľudí, ktorí chcú problém vyriešiť, vaša žiadosť bola zaradená do poradia.
   Po niekoľkých sekundách sa roztok zobrazí nižšie.
Prosím, počkajte   sec ...

Ak vy všimol si chybu v riešení, môžete o tom písať vo formulári spätnej väzby.
   Nezabudni uveďte, ktorá úloha  ty sa rozhoduješ a čo zadajte do polí.

Naše hry, hádanky, emulátory:

Trocha teórie.

Riešenie systémov lineárnych rovníc. Substitučná metóda

Postupnosť krokov pri riešení systému lineárnych rovníc substitučnou metódou:
  1) Vyjadrite jednu premennú z inej rovnice systému cez inú;
  2) namiesto tejto premennej nahradiť získaný výraz do inej rovnice systému;

  $$ \\ left \\ (\\ begin (pole) (l) 3x + y \u003d 7 \\\\ -5x + 2y \u003d 3 \\ end (array) \\ right. $$

Vyjadrte z prvej rovnice y ako x: y \u003d 7-3x. Nahradením v druhej rovnici namiesto y výrazom 7-Зx získame systém:
  $$ \\ left \\ (\\ begin (array) (l) y \u003d 7-3x \\\\ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ end (array) \\ right. $$

Je ľahké ukázať, že prvý a druhý systém majú rovnaké riešenia. V druhom systéme obsahuje druhá rovnica iba jednu premennú. Riešime túto rovnicu:
  $$ -5x + 2 (7-3x) \u003d 3 \\ Rightarrow -5x + 14-6x \u003d 3 \\ Rightarrow -11x \u003d -11 \\ Rightarrow x \u003d 1 $$

Nahradením čísla 1 do rovnosti y \u003d 7-3x namiesto x nájdeme zodpovedajúcu hodnotu y:
  $$ y \u003d 7-3 \\ cdot 1 \\ Rightarrow y \u003d 4 $$

Pár (1; 4) - systémové riešenie

Nazývajú sa systémy rovníc s dvoma premennými, ktoré majú rovnaké riešenia ekvivalentná, Za rovnocenné sa považujú aj systémy bez rozhodovania.

Riešenie systémov lineárnych rovníc adičnou metódou

Zvážte iný spôsob riešenia systémov lineárnych rovníc - metóda sčítania. Pri riešení systémov týmto spôsobom, ako aj pri riešení substitučnou metódou, prechádzate z tohto systému na iný ekvivalentný systém, v ktorom jedna z rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Postupnosť krokov pri riešení sústavy lineárnych rovníc pomocou metódy sčítania:
  1) vynásobte systémové termíny výberom faktorov tak, aby sa koeficienty jednej z premenných stali opačnými číslami;
  2) doplňte po termínoch ľavú a pravú stranu rovníc systému;
  3) vyriešiť výslednú rovnicu jednou premennou;
  4) nájdite zodpovedajúcu hodnotu druhej premennej.

Príklad. Riešime systém rovníc:
$$ \\ doľava \\ (\\ begin (pole) (l) 2x + 3y \u003d -5 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (pole) \\ right. $$

V rovniciach tohto systému sú koeficienty y opačné čísla. Sčítaním ľavej a pravej strany rovníc po jednotlivých časoch dostaneme rovnicu s jednou premennou 3x \u003d 33. Nahradíme jednu z rovníc systému, napríklad prvú, rovnicou 3x \u003d 33. Získajte systém
  $$ \\ doľava \\ (\\ begin (pole) (l) 3x \u003d 33 \\\\ x-3y \u003d 38 \\ end (pole) \\ right. $$

Z rovnice 3x \u003d 33 zistíme, že x \u003d 11. Nahradením tejto hodnoty x do rovnice \\ (x-3y \u003d 38 \\) dostaneme rovnicu s premennou y: \\ (11-3y \u003d 38 \\). Riešime túto rovnicu:
  \\ (- 3y \u003d 27 \\ Rightarrow y \u003d -9 \\)

Preto sme našli riešenie pre systém rovníc pridaním metódy: \\ (x \u003d 11; y \u003d -9 \\) alebo \\ ((11; -9) \\)

Vzhľadom na to, že koeficienty y v rovniciach systému sú opačné čísla, obmedzili sme jeho riešenie na riešenie ekvivalentného systému (spočítaním oboch strán každej z rovníc pôvodného príznaku), v ktorom jedna z rovníc obsahuje iba jednu premennú.

Návod na použitie

Substitučná metóda Vyjadrite jednu premennú a nahraďte ju do inej rovnice. Ľubovoľnú premennú môžete vyjadriť podľa vlastného uváženia. Napríklad vyjadrte „y z druhej rovnice:
xy \u003d 2 \u003d\u003e y \u003d x-2 Potom nahradíme všetko v prvej rovnici:
2x + (x-2) \u003d 10 Presuňte všetko bez znaku x na pravú stranu a vypočítajte:
2x + x \u003d 10 + 2
3x \u003d 12 Ďalej, "x", delte obe strany rovnice 3:
x \u003d 4. Takže ste našli "x. Vyhľadajte „y. Nahraďte „x v rovnici, z ktorej ste vyjadrili“ y:
y \u003d x-2 \u003d 4-2 \u003d 2
y \u003d 2.

Vykonajte kontrolu. Nahraďte výsledné hodnoty v rovniciach:
2*4+2=10
4-2=2
Neznáma nájdená pravda!

Metóda pridávania alebo odčítania rovníc Zbavte sa okamžite akejkoľvek premennej. V našom prípade je to jednoduchšie robiť s výrazom „y“.
Pretože v „u so znamienkom“ + a v druhom „- môžete vykonať operáciu sčítania, t. pridajte ľavú stranu doľava a sprava doprava:
2x + y + (xy) \u003d 10 + 2
2x + y + xy \u003d 10 + 2
3x \u003d 12
x \u003d 4 Nahraďte „x v ktorejkoľvek rovnici a nájdite“ y:
2 * 4 + y \u003d 10
8 + y \u003d 10
y \u003d 10-8
y \u003d 2 Podľa prvej metódy ju nájdete správne.

Ak neexistujú žiadne jasne definované premenné, musíte rovnice mierne transformovať.
V prvej rovnici máme „2x a v druhej len“ x. Ak chcete počas sčítania alebo „x redukovať“, vynásobte druhú rovnicu číslom 2:
xy \u003d 2
2x-2y \u003d 4 Potom odpočítajte druhú z prvej rovnice:
2x + y- (2x-2y) \u003d 10-4 Všimnite si, že ak je pred konzolou mínus, potom po otvorení prejdite na druhú stranu:
2x + y-2x + 2r \u003d 6
3r \u003d 6
y \u003d 2 “x nájdite vyjadrením z ľubovoľnej rovnice, t.
x \u003d 4

Podobné videá

Tip 2: Ako vyriešiť lineárnu rovnicu s dvoma premennými

rovnicevšeobecný tvar, ax + b + c \u003d 0, sa nazýva lineárna rovnica s dvoma premenné, Takáto rovnica sama o sebe obsahuje nekonečné množstvo riešení, preto v problémoch je vždy doplnená niečím - inou rovnicou alebo obmedzujúcimi podmienkami. V závislosti od podmienok poskytnutých problémom vyriešte lineárnu rovnicu s dvoma premenné  nasleduje mnohými spôsobmi.

Budete potrebovať

• - lineárna rovnica s dvoma premennými;
• - druhá rovnica alebo ďalšie podmienky.

Návod na použitie

Ak je uvedený systém dvoch lineárnych rovníc, riešte ho nasledujúcim spôsobom. Vyberte jednu z rovníc, v ktorých sú koeficienty predtým premenné  menšie a vyjadrujú jednu z premenných, napríklad x. Potom túto hodnotu obsahujúcu y nahraďte do druhej rovnice. Vo výslednej rovnici bude iba jedna premenná y, presunúť všetky časti s y na ľavú stranu a voľné na pravú. Nájdite y a nahraďte ich v ktorejkoľvek z počiatočných rovníc, nájdite x.

Systém dvoch rovníc je možné vyriešiť iným spôsobom. Vynásobte jednu z rovníc číslom tak, aby koeficient pred jednou z premenných, napríklad pred x, bol v oboch rovniciach rovnaký. Potom odčítajte jednu z rovníc od druhej (ak pravá strana nie je rovná 0, nezabudnite rovnakým spôsobom odpočítať pravú stranu). Uvidíte, že premenná x zmizla a zostane iba jedna premenná y. Vyriešte výslednú rovnicu a nájdenú hodnotu y nahraďte ktoroukoľvek z počiatočných rovníc. Nájdite x.

Tretí spôsob, ako vyriešiť systém dvoch lineárnych rovníc, je grafický. Nakreslite súradnicový systém a nakreslite grafy dvoch čiar, ktorých rovnice sú uvedené vo vašom systéme. Za týmto účelom nahraďte v rovnici všetky dve hodnoty x a nájdite zodpovedajúce y - to budú súradnice bodov, ktoré patria k priamke. Najvýhodnejšie je nájsť priesečník s osami súradníc - stačí nahradiť hodnoty x \u003d 0 a y \u003d 0. Úlohou budú súradnice priesečníka týchto dvoch čiar.

Ak je v podmienkach problému iba jedna lineárna rovnica, dostali ste ďalšie podmienky, vďaka ktorým môžete nájsť riešenie. Pozorne si prečítajte túto úlohu, aby ste našli tieto podmienky. ak premenné xay indikujú vzdialenosť, rýchlosť, hmotnosť - pokojne stanovte limit x≥0 a y≥0. Je celkom možné, že pod x alebo y sa skryje počet jabĺk atď. - potom hodnoty môžu byť iba. Ak x je vek syna, je zrejmé, že nemôže byť starší ako otec, uveďte to v podmienkach problému.

zdroj:

• ako vyriešiť rovnicu s jednou premennou

Samostatne rovnica  s tromi nevedno  má veľa riešení, najčastejšie ho dopĺňajú ďalšie dve rovnice alebo podmienky. Priebeh rozhodnutia bude vo veľkej miere závisieť od toho, aké sú počiatočné údaje.

Budete potrebovať

• - systém troch rovníc s tromi neznámymi.

Návod na použitie

Ak majú dva z troch systémov iba dva neznáme z troch, skúste vyjadriť jednu premennú inou a nahradiť ich rovnica  s tromi nevedno, Vaším cieľom v tomto prípade je zmeniť ho na obyčajný rovnica  s neznámym. Ak je toto, ďalšie riešenie je celkom jednoduché - nájdenú hodnotu nahraďte inými rovnicami a nájdite všetky ostatné neznáme.

Niektoré systémy rovníc je možné odpočítať od jednej rovnice druhej. Uvidíme, či je možné vynásobiť jednu alebo jednu premennú, aby sa znížili dve neznáme. Ak existuje takáto príležitosť, využite ju s najväčšou pravdepodobnosťou, následné riešenie nebude ťažké. Nezabudnite, že pri vynásobení číslom musíte vynásobiť ľavú aj pravú stranu. Podobne pri odpočítaní rovníc nezabudnite, že sa musí odpočítať aj pravá strana.

Ak predchádzajúce metódy nepomohli, použite všeobecnú metódu riešenia rovníc s tromi nevedno, Za týmto účelom prepíšte rovnice vo forme a11x1 + a12x2 + a13x3 \u003d bl, a21x1 + a22x2 + a23x3 \u003d b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 \u003d b3. Teraz vytvorte maticu koeficientov na x (A), maticu neznámych (X) a maticu voľného (B). Všimnite si, že vynásobením matice koeficientov maticou neznámych získate maticu, maticu voľných výrazov, tj A * X \u003d B.

Nájdite maticu A v stupni (-1) potom, čo ste ju predtým našli, nezabudnite, že by sa nemala rovnať nule. Potom vynásobte výslednú maticu maticou B, výsledkom je požadovaná matica X, označujúca všetky hodnoty.

Môžete tiež nájsť riešenie pre systém troch rovníc pomocou Cramerovej metódy. Na tento účel nájdite determinant tretieho poriadku ∆ zodpovedajúci matici systému. Potom postupne vyhľadajte ďalšie tri determinanty ∆1, ∆2 a ∆3, namiesto hodnôt zodpovedajúcich stĺpcov nahradzujte hodnoty voľných výrazov. Teraz nájdeme x: x1 \u003d ∆1 / ∆, x2 \u003d ∆2 / ∆, x3 \u003d ∆3 / ∆.

zdroj:

• riešenie rovníc s tromi neznámymi

Riešenie systému rovníc je ťažké a zábavné. Čím zložitejší je systém, tým zaujímavejšie je vyriešiť. Najčastejšie na stredoškolskej matematike sú systémy rovníc s dvoma neznámymi, ale vo vyššej matematike môže byť viac premenných. Systémy môžete riešiť niekoľkými spôsobmi.

Návod na použitie

Najbežnejšou metódou riešenia systému rovníc je substitúcia. Na tento účel je potrebné vyjadriť jednu premennú druhou a nahradiť ju druhou rovnica  systémy tak prinášajú rovnica  na jednu premennú. Napríklad, podľa rovníc: 2x-3y-1 \u003d 0; x + y-3 \u003d 0.

Z druhého výrazu je vhodné vyjadriť jednu z premenných a všetko ostatné preniesť na pravú stranu výrazu bez toho, aby sa zabudlo zmeniť znamienko koeficientu: x \u003d 3-y.

Otvoríme zátvorky: 6-2y-3y-1 \u003d 0; -5y + 5 \u003d 0; y \u003d 1. Výsledná hodnota y sa nahradí výrazom: x \u003d 3-y; x \u003d 3-1; x \u003d 2.

V prvom výraze sú všetky výrazy 2 a 2 je možné z distribučnej vlastnosti násobenia vyňať: 2 * (2x-y-3) \u003d 0. Teraz môžu byť obidve časti vyjadrenia znížené týmto počtom a potom vyjadrené pomocou y, pretože koeficient modulo sa rovná jednote: -y \u003d 3-2x alebo y \u003d 2x-3.

Ako v prvom prípade, tento výraz nahradíme druhým rovnica  a dostaneme: 3x + 2 * (2x-3) -8 \u003d 0; 3x + 4x-6-8 \u003d 0; 7x-14 \u003d 0; 7x \u003d 14; x \u003d 2. Nahraďte výslednú hodnotu výrazom: y \u003d 2x -3; y \u003d 4-3 \u003d 1.

Vidíme, že koeficient y má rovnakú hodnotu, ale líši sa znamienkom, takže ak pridáme tieto rovnice, úplne sa zbavíme y: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 \u003d 0; 7x-14 \u003d 0; x \u003d 2. Nahraďte hodnotu x do ktorejkoľvek z dvoch rovníc systému a získajte y \u003d 1.

Podobné videá

biquadratic rovnica  predstavuje rovnica  štvrtý stupeň, ktorého všeobecná forma je vyjadrená výrazom ax ^ 4 + bx ^ 2 + c \u003d 0. Jeho riešenie je založené na aplikácii metódy substitúcie neznámych. V tomto prípade sa x ^ 2 nahradí inou premennou. Výsledkom je obvyklý štvorec rovnica, ktoré je potrebné vyriešiť.

Návod na použitie

Vyriešte štvorec rovnicav dôsledku výmeny. Najprv vypočítajte hodnotu podľa vzorca: D \u003d b ^ 2? 4ac. Okrem toho premenné a, b, c sú koeficienty našej rovnice.

Nájdite korene bikvadratickej rovnice. Ak to chcete urobiť, vezmite druhú odmocninu výsledných riešení. Ak by existovalo jedno riešenie, potom budú dve - kladné a záporné hodnoty druhej odmocniny. Ak by existovali dve riešenia, bikvadratická rovnica bude mať štyri korene.

Podobné videá

Jednou z klasických metód riešenia systémov lineárnych rovníc je Gaussova metóda. Spočíva v postupnom vylúčení premenných, keď sa systém rovníc pomocou jednoduchých transformácií prevedie na krokový systém, z ktorého sa postupne nájdu všetky premenné, počnúc posledným.

Návod na použitie

Najprv uveďte systém rovníc tak, aby všetky neznáme boli v presne definovanom poradí. Napríklad všetky neznáme X budú prvé v každom riadku, všetky Y po X, všetky Z po Y, atď. Na pravej strane každej rovnice by nemali byť žiadne neznáme. Mentálne identifikujte koeficienty, ktoré stoja pred každým neznámym, ako aj koeficienty na pravej strane každej rovnice.

Lineárna rovnica s dvoma premennými je akákoľvek rovnica, ktorá má nasledujúci tvar: a * x + b * y \u003d s.  Tu x a y sú dve premenné, a, b, c sú niektoré čísla.

Nižšie je niekoľko príklady lineárnych rovníc.

1,10 * x + 25 * y \u003d 150;

Rovnako ako rovnice s jednou neznámou, aj riešenie má lineárna rovnica s dvoma premennými (neznáme). Napríklad lineárna rovnica x-y \u003d 5, pre x \u003d 8 a y \u003d 3 sa zmení na správnu identitu 8-3 \u003d 5. V tomto prípade hovoria, že dvojica čísel x \u003d 8 a y \u003d 3 je riešením pre lineárnu rovnicu x-y \u003d 5. Môžeme tiež povedať, že dvojica čísel x \u003d 8 a y \u003d 3 spĺňa lineárnu rovnicu x-y \u003d 5.

Riešenie lineárnej rovnice

Vyriešením lineárnej rovnice a * x + b * y \u003d c sa teda nazýva akákoľvek dvojica čísel (x, y), ktorá spĺňa túto rovnicu, to znamená, že premení rovnicu s premennými xay na správnu numerickú rovnosť. Všimnite si, ako sa tu zapisuje dvojica čísel xay. Takýto záznam je kratší a pohodlnejší. Malo by sa pamätať iba na to, že na prvom mieste v takomto zázname je hodnota premennej x a na druhom mieste - hodnota premennej y.

Upozorňujeme, že čísla x \u003d 11 a y \u003d 8, x \u003d 205 a y \u003d 200 x \u003d 4,5 a y \u003d -0,5 tiež spĺňajú lineárnu rovnicu xy \u003d 5, a preto sú riešeniami tejto lineárnej rovnice.

Riešenie lineárnej rovnice s dvoma neznámymi nie je jediný.  Každá lineárna rovnica s dvoma neznámymi má nekonečne veľa rôznych riešení. To znamená, že existuje nekonečne veľa rôznych  dve čísla xay, ktoré premieňajú lineárnu rovnicu na skutočnú identitu.

Ak má niekoľko rovníc s dvoma premennými rovnaké riešenie, potom sa tieto rovnice nazývajú ekvivalentné rovnice. Malo by sa poznamenať, že ak rovnice s dvoma neznámymi riešeniami nemajú riešenie, potom sa tiež považujú za rovnocenné.

Základné vlastnosti lineárnych rovníc s dvoma neznámymi

1. Ktorýkoľvek z výrazov v rovnici sa môže prenášať z jednej časti na druhú, pričom je potrebné zmeniť jej znamienko na opačnú. Výsledná rovnica bude rovnaká ako pôvodná rovnica.

2. Obe časti rovnice je možné rozdeliť na ľubovoľné číslo, ktoré sa nerovná nule. Výsledkom je rovnica pôvodná.

V priebehu matematiky 7. ročníka sa najskôr stretnú dve variabilné rovnice, ale študujú sa iba v kontexte sústav rovníc s dvoma neznámymi. To je dôvod, prečo celý rad problémov nespadá do úvahy, v ktorých sú zavedené určité podmienky pre koeficienty rovnice, ktorá ich obmedzuje. Okrem toho sa zanedbávajú aj metódy riešenia problémov, ako napríklad „Riešenie rovnice v prirodzených alebo celých číslach“, hoci v materiáloch USE a prijímacích skúškach sa tieto problémy vyskytujú čoraz častejšie.

Ktorá rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Napríklad rovnice 5x + 2y \u003d 10, x2 + y2 \u003d 20 alebo xy \u003d 12 sú rovnice s dvoma premennými.

Zoberme si rovnicu 2x - y \u003d 1. Uskutoční sa skutočná rovnosť pre x \u003d 2 a y \u003d 3, preto je táto dvojica premenných hodnôt riešením danej rovnice.

Teda riešením akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je množina usporiadaných párov (x; y), hodnoty premenných, z ktorých sa táto rovnica stáva skutočnou numerickou rovnosťou.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

a) mať jedno riešenie.  Napríklad rovnica x 2 + 5y 2 \u003d 0 má jedinečné riešenie (0; 0);

b) mať viac riešení.  Napríklad (5 - | x |) 2 + (| y | -2) 2 \u003d 0 má 4 roztoky: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; -; 2);

c) nemajú žiadne rozhodnutia.  Napríklad rovnica x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 nemá žiadne riešenia;

g) majú nekonečne veľa rozhodnutí.  Napríklad x + y \u003d 3. Riešenia tejto rovnice sú čísla, ktorých súčet je 3. Súbor riešení tejto rovnice možno písať vo forme (k; 3 - k), kde k je akékoľvek skutočné číslo.

Hlavnými metódami na riešenie rovníc s dvoma premennými sú metódy založené na faktorizácii výrazov, extrahovaní celého štvorca, pomocou vlastností kvadratickej rovnice, ohraničenia výrazov a metód odhadu. Rovnica sa spravidla prevádza na formu, z ktorej je možné získať systém na nájdenie neznámych.

Factoring

Príklad 1

Vyriešte rovnicu: xy - 2 \u003d 2x - y.

Rozhodnutie.

Termíny zoskupujeme na účely faktoringu:

(xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. Z každej skupiny vylúčime spoločný faktor:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (y - 2) \u003d 0. Máme:

y \u003d 2, x je akékoľvek skutočné číslo alebo x \u003d -1, y je akékoľvek skutočné číslo.

Týmto spôsobom odpoveď sú všetky páry tvaru (x; 2), x € R a (-1; y), y € R.

Rovná sa nule nezáporných čísel

Príklad 2

Vyriešte rovnicu: 9x2 + 4y2 + 13 \u003d 12 (x + y).

Rozhodnutie.

Skupina up:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) \u003d 0. Teraz je možné každú zátvorku zložiť pomocou vzorca druhej mocniny rozdielu.

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0.

Súčet dvoch nezáporných výrazov je nula, iba ak 3x - 2 \u003d 0 a 2y - 3 \u003d 0.

Takže x \u003d 2/3 a y \u003d 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda hodnotenia

Príklad 3

Vyriešte rovnicu: (x 2 + 2x + 2) (y2 - 4y + 6) \u003d 2.

Rozhodnutie.

V každej zátvorke vyberte celý štvorec:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. Odhad význam výrazov v zátvorkách.

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (y - 2) 2 + 2 ≥ 2, potom ľavá strana rovnice nie je vždy menšia ako 2. Rovnosť je možná, ak:

(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 a (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, čo znamená x \u003d -1, y \u003d 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Poďme sa zoznámiť s inou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Táto metóda spočíva v skutočnosti, že rovnica sa považuje za štvorec vzhľadom na každú premennú.

Príklad 4

Vyriešte rovnicu: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Vyriešte rovnicu ako kvadratickú vzhľadom na x. Nájsť diskriminujúceho:

D \u003d 36 - 4 (y - 4 + 4 + 13) \u003d -4y + 16√y - 16 \u003d -4 (√y-2) 2. Rovnica bude mať riešenie iba pre D \u003d 0, to znamená, ak y \u003d 4. Nahradíme hodnotu y v pôvodnej rovnici a zistíme, že x \u003d 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi naznačujú variabilné obmedzenia.

Príklad 5

Vyriešte rovnicu v celých číslach: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2.

Rozhodnutie.

Rovnicu prepíšeme do tvaru x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2. Pravá strana výslednej rovnice, keď je vydelená 5, získa zvyšok 2. Z tohto dôvodu x 2 nie je deliteľné 5. Ale druhá mocnina čísla deliteľného 5 dáva zvyšok 1 alebo 4. Rovnosť teda nie je možná a neexistujú žiadne riešenia.

Odpoveď: žiadne korene.

Príklad 6

Vyriešte rovnicu: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3.

Rozhodnutie.

Vyberte celé štvorčeky v každej zátvorke:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. Ľavá strana rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možná za predpokladu | x | - 2 \u003d 0 a y + 3 \u003d 0. Takže x \u003d ± 2, y \u003d -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7

Pre každú dvojicu záporných celých čísel (x; y) vyhovujúcich rovnici
x 2 - 2 + 2 + 2 + 2 + 4 roky \u003d 33, vypočítajte súčet (x + y). V odpovedi uveďte najmenšiu zo súm.

Rozhodnutie.

Vyberte celé štvorčeky:

(x2-2xy + y2) + (y2 + 4y + 4) \u003d 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. Pretože xay sú celé čísla, ich štvorce sú tiež celé čísla. Súčet štvorcov dvoch celých čísel, rovných 37, dostaneme, ak pridáme 1 + 36. Preto:

(x - y) 2 \u003d 36 a (y + 2) 2 \u003d 1

(x - y) 2 \u003d 1 a (y + 2) 2 \u003d 36.

Riešenie týchto systémov a berúc do úvahy, že x a y sú záporné, nájdeme riešenia: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nezúfajte, ak máte problémy s riešením rovníc s dvoma neznámymi. Trochu praxe a zvládnete akékoľvek rovnice.

Stále máte otázky? Nie ste si istí, ako riešiť rovnice s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomoc učiteľa.
Prvá hodina je zadarmo!

blog.site s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.

rovnosť f (x; y) \u003d 0  predstavuje rovnicu s dvoma premennými. Riešením tejto rovnice je pár premenných hodnôt, ktoré premieňajú rovnicu s dvoma premennými na skutočnú rovnosť.

Ak máme pred sebou rovnicu s dvoma premennými, potom v jeho zázname, podľa tradície, musíme dať x na prvom mieste a na druhom y.

Zoberme si rovnicu x - 3y \u003d 10. Dvojice (10; 0), (16; 2), (-2; -4) sú riešeniami danej rovnice, zatiaľ čo pár (1; 5) nie je riešením.

Na nájdenie ďalších párov riešení tejto rovnice musí byť jedna premenná vyjadrená inou - napríklad x až y. Výsledkom je rovnica
x \u003d 10 + 3r. Hodnoty x vypočítame výberom ľubovoľnej hodnoty y.

Ak y \u003d 7, potom x \u003d 10 + 3 + 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31.

Ak y \u003d -2, potom x \u003d 10 + 3 ∙ (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4.

Preto páry (31; 7), (4; -2) sú tiež riešeniami danej rovnice.

Ak rovnice s dvoma premennými majú rovnaké korene, potom sa tieto rovnice nazývajú ekvivalentné.

Rovnice s dvoma premennými obsahujú vety o ekvivalentných transformáciách rovníc.

Zoberme si graf rovnice s dvoma premennými.

Nech je daná rovnica s dvoma premennými f (x; y) \u003d 0. Všetky jej riešenia môžu byť reprezentované bodmi na súradnicovej rovine, keď dostali nejakú množinu bodov v rovine. Táto množina bodov v rovine sa nazýva graf rovnice f (x; y) \u003d 0.

Graf rovnice y - x 2 \u003d 0 je teda parabola y \u003d x 2; graf rovnice y - x \u003d 0 je priamka; graf rovnice y - 3 \u003d 0 je priamka rovnobežná s osou x atď.

Rovnica tvaru ax + by \u003d c, kde xay sú premenné a a, bac sú čísla, sa nazýva lineárna; čísla a, b sa nazývajú koeficienty premenných s - voľným termínom.

Graf lineárnej rovnice ax + by \u003d c je:

Znázorňujeme rovnicu 2x - 3y \u003d -6.

1. Odkedy Pretože žiadny z koeficientov v premenných sa nerovná nule, graf tejto rovnice bude priamkou.

2. Na vybudovanie línie musíme poznať najmenej dva body. Nahradíme hodnoty x v rovniciach a získame hodnoty y a naopak:

ak x \u003d 0, potom y \u003d 2; (0 ∙ x - 3y \u003d -6);

ak y \u003d 0, potom x \u003d -3; (2x - 3 \u003d 0 \u003d -6).

Získali sme teda dva body grafu: (0; 2) a (-3; 0).

3. Nakreslite priamku cez získané body a získajte graf rovnice
  2x - 3y \u003d -6.

Ak má lineárna rovnica ax + by \u003d c tvar 0 ∙ x + 0 ∙ y \u003d c, musíme zvážiť dva prípady:

1. c \u003d 0. V tomto prípade rovnica vyhovuje akémukoľvek páru (x; y), a preto je graf rovnice celá súradnicová rovina;

2. с ≠ 0. V tomto prípade rovnica nemá riešenie, takže jej graf neobsahuje žiadne body.

blog.site s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu je potrebný odkaz na zdroj.