Proporcionalita je vzťah medzi dvoma množstvami, v ktorých zmena jednej z nich má za následok zmenu tej druhej.

Proporcionalita je priama a opačná. V tejto lekcii zvážime každú z nich.

Priama proporcionalita

Predpokladajme, že sa auto pohybuje rýchlosťou 50 km / h. Pamätáme si, že rýchlosť je vzdialenosť ubehnutá za jednotku času (1 hodina, 1 minúta alebo 1 sekunda). V našom príklade sa automobil pohybuje rýchlosťou 50 km / h, to znamená, že za hodinu prejde vzdialenosť rovnajúcu sa päťdesiat kilometrov.

Predstavme si vzdialenosť ubehnutú autom za 1 hodinu

Nechajte auto jazdiť ďalšiu hodinu rovnakou rýchlosťou päťdesiat kilometrov za hodinu. Potom sa ukáže, že auto prejde 100 km

Ako je možné vidieť z príkladu, zdvojnásobenie času viedlo k zväčšeniu prejdenej vzdialenosti o rovnaké množstvo, to znamená o dvojnásobok.

Hodnoty ako čas a vzdialenosť sa nazývajú priamo úmerné. A nazýva sa vzťah medzi takýmito množstvami priama proporcionalita.

Priama proporcionalita sa vzťahuje na vzťah medzi týmito dvoma množstvami, pri ktorých zvýšenie jedného z nich znamená toľkokrát zvýšenie druhého.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet, potom sa druhá hodnota zníži o rovnakú hodnotu.

Predpokladajme, že sa pôvodne plánovalo riadiť auto 100 km za 2 hodiny, ale po prejdení 50 km sa vodič rozhodol odpočívať. Potom sa ukáže, že znížením vzdialenosti o polovicu sa čas zníži o rovnaké množstvo. Inými slovami, zníženie prejdenej vzdialenosti skráti čas o rovnaké množstvo.

Zaujímavou črtou priamo úmerných množstiev je to, že ich pomer je vždy konštantný. To znamená, že keď sa hodnoty priamo úmerných hodnôt zmenia, zostane ich pomer nezmenený.

V uváženom príklade bola prvá vzdialenosť 50 km a čas bol 1 hodina. Pomer vzdialenosti k času je číslo 50.

Ale čas pohybu sme zvýšili dvakrát, čo sa rovnalo dvom hodinám. V dôsledku toho sa prejdená vzdialenosť zvýšila o rovnaké množstvo, to znamená, že sa rovnala 100 km. Pomer sto kilometrov k dvom hodinám je opäť číslo 50

Volá sa číslo 50 koeficient priamej proporcionality, Ukazuje, koľko vzdialenosti za hodinu pohybu. V tomto prípade koeficient hrá úlohu rýchlosti pohybu, pretože rýchlosť predstavuje pomer prejdenej vzdialenosti k času.

Z priamo úmerných množstiev je možné urobiť proporcie. Napríklad vzťahy sú v pomere:

Päťdesiat kilometrov sa týka jednej hodiny, sto kilometrov sa týka dvoch hodín.

Príklad 2, Cena a množstvo nakúpeného tovaru sú priamo úmerné. Ak 1 kg sladkostí stojí 30 rubľov, potom 2 kg tých istých sladkostí bude stáť 60 rubľov, 3 kg 90 rubľov. S nárastom hodnoty nakupovaného tovaru sa jeho množstvo zvyšuje o rovnaké množstvo.

Pretože hodnota tovaru a jeho množstvo sú priamo úmerné, ich pomer je vždy konštantný.

Napíšeme si, aký je pomer tridsiatich rubľov k jednému kilogramu

Teraz si zapíšeme, aký je pomer šesťdesiat rubľov k dvom kilogramom. Tento pomer bude opäť tridsať:

V tomto prípade je koeficientom priamej proporcionality číslo 30. Tento koeficient ukazuje, koľko rubľov na kilogram sladkostí. V tomto príklade zohráva koeficient úlohu ceny jedného kilogramu tovaru, pretože cena predstavuje pomer ceny tovaru k jeho množstvu.

Opačná proporcionalita

Zvážte nasledujúci príklad. Vzdialenosť medzi oboma mestami je 80 km. Motocyklista opustil prvé mesto a rýchlosťou 20 km / h dosiahol druhé mesto za 4 hodiny.

Ak bola rýchlosť motocyklista 20 km / h, znamená to, že každú hodinu cestoval na vzdialenosť rovnajúcu sa dvadsiatim kilometrom. Predstavme si vzdialenosť, ktorú prešiel motocyklista, a čas jeho pohybu:

Na ceste späť bola rýchlosť motocyklista 40 km / h a na tej istej ceste strávil 2 hodiny.

Je ľahké vidieť, že keď sa zmení rýchlosť, čas pohybu sa toľkokrát zmenil. Okrem toho sa zmenila v opačnom smere - to znamená, že rýchlosť sa zvýšila, a naopak, čas sa naopak znížil.

Hodnoty ako rýchlosť a čas sa nazývajú nepriamo úmerné. A nazýva sa vzťah medzi takýmito množstvami inverzná proporcionalita.

Inverzná proporcionalita sa vzťahuje na vzťah medzi dvoma množstvami, pri ktorých zvýšenie jednej z nich má za následok zníženie tej druhej.

a naopak, ak sa jedna hodnota zníži o určitý počet, potom sa druhá hodnota zvýši o rovnakú hodnotu.

Napríklad, ak by na ceste späť bola rýchlosť motocyklista 10 km / h, potom by za tých 8 hodín prekonal tých istých 80 km:

Ako je možné vidieť z príkladu, zníženie rýchlosti viedlo k zvýšeniu cestovného času o rovnaké množstvo.

Zvláštnosťou nepriamo úmerných množstiev je to, že ich produkt je vždy konštantný. To znamená, že pri zmene hodnôt nepriamo úmerných množstiev zostáva ich produkt nezmenený.

V uvažovanom príklade bola vzdialenosť medzi mestami rovná 80 km. Pri zmene rýchlosti a času pohybu motocyklista zostala táto vzdialenosť vždy nezmenená

Motocyklista mohol prejsť túto vzdialenosť rýchlosťou 20 km / h za 4 hodiny a rýchlosťou 40 km / h za 2 hodiny a rýchlosťou 10 km / h za 8 hodín. Vo všetkých prípadoch bol súčin rýchlosti a času rovný 80 km

Máte radi lekciu?
Pripojte sa k našej novej skupine VKontakte a začnite dostávať oznámenia o nových lekciách

Trichleb Daniel študent 7. ročníka

zoznámenie sa s priamou proporcionalitou a koeficientom priamej proporcionality (zavedenie konceptu uhlového koeficientu “);

vytvorenie grafu priamej proporcionality;

posúdenie vzájomného usporiadania grafov priamej proporcionality a lineárnych funkcií s rovnakými uhlovými koeficientmi.

k stiahnutiu:

preview:

Ak chcete použiť ukážku prezentácií, vytvorte si účet Google (účet) a prihláste sa: https://accounts.google.com

Popisky snímok:

Priama proporcionalita a jej graf

Aký je argument a hodnota funkcie? Ktorá premenná sa nazýva nezávislá, závislá? Čo je to funkcia? OPAKOVAŤ Aký je rozsah funkcie?

Spôsoby nastavenia funkcie. Analytické (pomocou vzorca) Grafické (pomocou grafu) Tabelárne (pomocou tabuľky)

Graf funkcie je množina všetkých bodov súradnicovej roviny, ktorej súradnice sa rovnajú hodnotám argumentu a súradnice sú zodpovedajúcimi hodnotami funkcie. PLÁN FUNKCIÍ

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

VYKONAJTE ÚLOH Zostrojte graf funkcie y \u003d 2 x +1, kde 0 ≤ x ≤ 4. Vytvorte stôl. Podľa grafu nájdite hodnotu funkcie na x \u003d 2,5. Pri akej hodnote argumentu sa hodnota funkcie rovná 8?

Definícia Priama proporcionalita je funkcia, ktorú je možné definovať pomocou vzorca vo formáte y \u003d k x, kde x je nezávislá premenná, k je nenulové číslo. (k je koeficient priamej proporcionality) Priama pomerná závislosť

8 Graf priamej proporcionality je priamka prechádzajúca počiatkom (bod O (0,0)) Na vykreslenie funkcie y \u003d kx stačí dva body, z ktorých jeden je O (0,0) Pre k\u003e 0 je graf umiestnený v I a III koordinujú štvrťroky. V k

Grafy funkcií priamej proporcionality y x k\u003e 0 k\u003e 0 k

Úloha Určite, ktorý z grafov zobrazuje funkciu priamej proporcionality.

Úloha Určte, ktorý funkčný graf je na obrázku. Vyberte si vzorec z troch ponúkaných.

Ústna práca. Môže graf funkcie daný vzorcom y \u003d k x, kde k

Určte, ktorý z bodov A (6, -2), B (-2, -10), C (1, -1), E (0,0) patrí do grafu priamej proporcionality podľa vzorca y \u003d 5x 1) A ( 6; -2) -2 \u003d 5 \u003d 6 - 2 \u003d 30 - nesprávne. Bod A nepatrí do grafu funkcie y \u003d 5x. 2) B (-2; -10) -10 \u003d 5 * (-2) -10 \u003d -10 - pravda. Bod B patrí do grafu funkcie y \u003d 5x. 3) C (1; -1) -1 \u003d 5  1 -1 \u003d 5 - nesprávny Bod C nepatrí do grafu funkcie y \u003d 5x. 4) E (0; 0) 0 \u003d 5 \u003d 0 \u003d 0 - pravda. Bod E patrí do grafu funkcie y \u003d 5x

TEST 1 možnosť 2 možnosť číslo 1. Ktoré z funkcií definovaných vzorcom sú priamo úmerné? A. y \u003d 5x B. y \u003d x 2/8 C. y \u003d 7x (x-1) D. y \u003d x + 1 A. y \u003d 3x 2 + 5 B. y \u003d 8 / x C. y \u003d 7 (x + 9) D. y \u003d 10x

Č. 2. Napíšte čísla riadkov y \u003d kx, kde k\u003e 0 1 možnosť k

Číslo 3. Určte, ktoré body patria do priameho grafu proporcionality podľa vzorca Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-2 -10) 1 možnosť C (1, -1), E (0,0 ) 2 možnosť

y \u003d 5x y \u003d 10x III A VI a IV E 1 2 3 1 2 3 Nie. Správna odpoveď Správna odpoveď č.

Dokončite úlohu: Schematicky ukážte, ako sa nachádza graf funkcie definovanej vzorcom: y \u003d 1,7 x y \u003d -3, 1 x y \u003d 0,9 x y \u003d -2,3 x

ÚLOHA Z nasledujúcich grafov vyberte iba priame proporcionálne grafy.

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

Funkcie y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4 y \u003d - 1,5 x 5 y \u003d - 5 / x 6 y \u003d 5 x 7 y \u003d 2x - 5 8 y \u003d - 0,3 x 9 y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 Vyberte funkcie formulára y \u003d k x (priama proporcionalita) a zapíšte ich

Funkcie priamej proporcionality Y \u003d 2x Y \u003d -1,5 x Y \u003d 5 x Y \u003d -0,3 x y x

lineárne funkcie, ktoré nie sú funkciami priamej proporcionality 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \u003d 2x - 5

Domáca úloha: str. 15, 65 až 67, č. 307; Č. 308

Zopakujme to znova. Čo ste sa naučili nové? Čo ste sa naučili? Čo sa zdalo obzvlášť ťažké?

Lekcia sa mi páčila a téma bola pochopená: lekciu sa mi páčil, ale stále to nie je jasné: lekciu sa mi nepáčila a téma nie je jasná.

Dnes v lekcii budeme aj naďalej pracovať s rozmermi, alebo sa skôr zoznámiť rovno   a inverzné pomerné závislosti .

úloha

Koľko cukru je potrebné na výrobu džemu z 5 kg čerešní, ak sú na predpis na 2 kg bobule potrebné 3 kg cukru?

rozhodnutie:

Riešenie ukazuje, že koľkokrát je čerešní, mnohokrát viac cukru.

Rovnaký problém sa dá vyriešiť rozmery , Stručne popíšeme stav problému vo forme tabuľky, v ktorej uvedieme neznáme množstvo cukru ako list x , Pozrite, máme stĺpec, v ktorom zaznamenáme hmotnosť bobúľ, a stĺpec, v ktorom uvedieme zodpovedajúcu hmotnosť cukru na hmotnosti bobúľ. Takže podľa podmienok problému je známe, že podľa receptu na 2 kg plodov potrebujete 3 kg cukru. Musíme zistiť, koľko kg cukru je potrebné na 5 kg plodov.

Tento vzťah medzi hmotnosťou bobúľ a hmotnosťou cukru sa zvyčajne uvádza v tabuľke rovnako nasmerované šípky, Ich smer naznačuje, že ak sa zvýši prvá hodnota (šípka nahor), potom sa zvýši aj druhá (šípka nahor).

úloha

Cyklista sa pohyboval konštantnou rýchlosťou a za 20 minút cestoval 10 km. Akou cestou sa cyklista vydá za 50 minút?

rozhodnutie: kvôli prehľadnosti stručne píšeme stav problému vo forme tabuľky.

Je jasné, že cesta sa toľkokrát zväčší, koľkokrát sa čas zvýši, Dajte šípky v jednom smere.

Hodnoty, ako je hmotnosť bobúľ na džem a hmotnosť cukru, čas a vzdialenosť ubehnutá počas tohto času konštantnou rýchlosťou atď. sa volajú priamo úmerné .

definícia

Dve množstvá sa nazývajú priamo úmerné, ak, ak sa jedno z nich niekoľkokrát zvýši (zníži), ostatné sa zvýši (zníži) o rovnaké množstvo .

úloha

Automobil jazdil 3 hodiny rýchlosťou 60 km / h. Ako dlho trvá prejsť rovnakou vzdialenosťou, ak ide o rýchlosť 90 km / h?

rozhodnutie:

Riešenie ukazuje, že koľkokrát je rýchlosť vozidla vyššia, mnohokrát menej času stráveného na tej istej ceste.

Rovnaký problém vyriešime pomocou proporcie. V tabuľke stručne napíšeme stav problému. pre x   označujú čas, ktorý je nám neznámy.

Je jasné, že čím vyššia je rýchlosť vozidla, čím menej času bude musieť prekonať tú istú cestu, Takýto vzťah medzi rýchlosťou a časom stráveným na prekonanej ceste je zvyčajne uvedený v tabuľke opačne smerované šípky, Ich smer naznačuje, že ak sa prvá hodnota zvýši (šípka hore), druhá klesá (šípka nadol). Urobme pomer. pretože šípky smerujú rôznymi smermi, potom obrátime druhý vzťah.

úloha

Objednávku dokončilo 5 pracovníkov za 132 hodín. Ako dlho bude môcť 12 pracovníkov dokončiť rovnakú objednávku?

rozhodnutie:

Je jasné, že čím viac zapojených pracovníkov, čím rýchlejšie je objednávka dokončená, Dajte šípky opačným smerom. Zostavujeme pomer:

Množstvá, ako je rýchlosť vozidla a čas, počas ktorého prejde určitú trasu, počet zamestnancov a čas, počas ktorého plnia objednávku atď. sa volajú nepriamo úmerný .

definícia

Dve množstvá sa nazývajú nepriamo úmerné, ak, ak sa jedno z nich niekoľkokrát zvýši (zníži), ďalšie sa zníži (zvýši) o rovnaké množstvo .

Nie všetky dve množstvá sú priamo úmerné alebo nepriamo úmerné.

Napríklad , vek osoby a veľkosť obuvi nie je pripojený  pomerná závislosť. Medzi množstvami existuje vzťah. Veľkosť obuvi sa zvyšuje s vekom, ale nie o rovnaké množstvo.

Vek stromu a jeho výška nie je pripojený  pomerná závislosť. V tomto prípade existuje vzťah medzi množstvami. Výška stromu sa síce s vekom zvyšuje, ale nie o rovnaké množstvo.

Nazývajú sa dve množstvá priamo úmernéak sa síce jeden z nich niekoľkokrát zvýši, ale rovnaký sa zvýši. Podobne, keď jeden z nich klesá niekoľkokrát, druhý klesá o rovnakú sumu.

Vzťah medzi takýmito množstvami je priamym pomerným vzťahom. Príklady priamej proporcionálnej závislosti:

1) pri konštantnej rýchlosti je ubehnutá vzdialenosť priamo úmerná času;

2) obvod štvorca a jeho strany sú priamo úmerné;

3) cena tovaru nakúpeného za jednu cenu priamo závisí od jeho množstva.

Na rozlíšenie priamej proporcionálnej závislosti od inverznej možno použiť príslovie: „Čím ďalej do lesa, tým viac palivového dreva.“

Je vhodné riešiť problémy s priamo úmernými množstvami pomocou pomeru.

1) Na výrobu 10 dielov potrebujete 3,5 kg kovu. Koľko kovu sa použije na výrobu 12 takýchto súčiastok?

(Dôvodom je toto:

1. Do vyplneného stĺpca posuňte šípku v smere z väčšej na menšiu.

2. Čím viac detailov, tým viac kovu je potrebných na ich výrobu. Toto je priamo úmerný vzťah.

Na výrobu 12 dielov je potrebných x kg kovu. Zostavíme pomer (v smere od začiatku šípky po jej koniec):

12: 10 \u003d x: 3,5

Na zistenie je potrebné rozdeliť produkt extrémnych členov do známeho strednodobého hľadiska:

Potrebujete 4,2 kg kovu.

Odpoveď: 4,2 kg.

2) Za 15 metrov látky sa zaplatilo 1680 rubľov. Koľko je 12 metrov takejto látky?

(1) V stĺpci so šípkou dajte šípku v smere z väčšej na menšiu.

2. Čím menej látky kupujete, tým menej za ňu musíte platiť. Toto je priamo úmerný vzťah.

3. Druhá šípka je preto nasmerovaná rovnako ako prvá šípka).

Nechajte x rubľov stáť 12 metrov látky. Zostavujeme pomer (od začiatku šípky po jej koniec):

15: 12 \u003d 1680: x

Ak chcete nájsť neznámeho extrémneho člena proporcie, vydelte súčin stredných termínov známym extrémnym členom proporcie:

Takže, 12 metrov stojí 1344 rubľov.

Odpoveď: 1344 rubľov.

Dopredná a spätná proporcionalita

Ak t je čas, v ktorom sa chodec pohybuje (v hodinách), s je prejdená vzdialenosť (v kilometroch) a pohybuje sa rovnomerne rýchlosťou 4 km / h, potom vzťah medzi týmito hodnotami možno vyjadriť pomocou vzorca s \u003d 4t. Pretože každá hodnota t zodpovedá jedinečnej hodnote s, môžeme povedať, že pomocou vzorca s \u003d 4t je daná funkcia. Nazýva sa to priama proporcionalita a určuje sa takto.

Definícia. Priama proporcionalita je funkcia, ktorú je možné definovať pomocou vzorca y \u003d kx, kde k je nenulové reálne číslo.

Názov funkcie y \u003d kx je spôsobený skutočnosťou, že vo vzorci y \u003d kx sú premenné xay, ktoré môžu byť hodnotami veličín. A ak sa pomer dvoch veličín rovná niektorému inému číslu ako nula, volajú sa priamo úmerné , V našom prípade \u003d k (k ≠ 0). Toto číslo sa volá koeficient proporcionality.

Funkcia y \u003d k x je matematický model mnohých reálnych situácií uvažovaných už v elementárnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný vyššie. Ďalší príklad: ak sú 2 kg múky v jednom vreci múky a x sa tieto vrecká kúpia, potom celá hmotnosť kúpenej múky (označíme ju y) možno vyjadriť ako vzorec y \u003d 2x, t.j. vzťah medzi počtom paketov a celkovou hmotnosťou zakúpenej múky je v priamom pomere k koeficientu k \u003d 2.

Pripomeňme si niektoré vlastnosti priamej proporcionality, ktoré sa študujú v školskom kurze matematiky.

1. Doménou funkcie y \u003d k x a doménou jej hodnôt je množina reálnych čísel.

2. Graf priamej proporcionality je čiarou prechádzajúcou cez pôvod. Preto na vytvorenie grafu priamej proporcionality stačí nájsť iba jeden bod, ktorý k nemu patrí a nezhoduje sa s pôvodom, a potom nakresliť priamku cez tento bod a pôvod.

Napríklad na vykreslenie funkcie y \u003d 2x stačí mať bod so súradnicami (1, 2), a potom nakresliť priamku cez ňu a počiatok (obr. 7).

3. Pre k\u003e 0 sa funkcia y \u003d kx zvyšuje v celej definičnej doméne; v k< 0 - убывает на всей области определения.

4. Ak je funkcia f priama proporcionalita a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú páry zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, potom x 2 ≠ 0.

Ak je funkcia f priama proporcionalita, potom ju možno dať vzorcom y \u003d kx, a potom y1 \u003d kx 1, y2 \u003d kx2. Pretože pre x 2 ≠ 0 a k ≠ 0, potom 2 ≠ 0. teda   a to znamená.

Ak sú hodnoty premenných x a y kladné reálne čísla, preukázaná vlastnosť priamej proporcionality môže byť formulovaná takto: pri niekoľkonásobnom zvýšení (poklese) hodnoty premennej x sa zodpovedajúca hodnota premennej y zvýši (zníži) o rovnakú hodnotu.

Táto vlastnosť je inherentná iba v priamej proporcionalite a môže sa použiť na riešenie textových problémov, pri ktorých sa berú do úvahy priamo proporcionálne množstvá.

Úloha 1. Na 8 hodín vyrobil soustruh 16 častí. Koľko hodín zaberie sústružníkovi výroba 48 dielov, ak pracuje s rovnakou kapacitou?

Rozhodnutie. V tomto probléme sa berú do úvahy hodnoty - prevádzkový čas obracača, počet ním vyrobených častí a produktivita (t. J. Počet dielov vyrobených obracačom za 1 h), pričom posledná hodnota je konštantná a ďalšie dve majú odlišné hodnoty. Okrem toho počet vyrobených dielov a prevádzková doba sú priamo úmerné, pretože ich pomer je určité číslo, ktoré sa nerovná nule, a to počet dielov vyrobených sústružníkom za 1 hodinu. Ak je počet vyrobených dielov označený písmenom y, prevádzková doba je xa výkon je k, potom dostaneme, že \u003d k alebo y \u003d kx, t. Matematickým modelom situácie prezentovanej v probléme je priama proporcionalita.

Tento problém môžete vyriešiť dvoma aritmetickými spôsobmi:

1 smer: 2 smer:

1) 16: 8 \u003d 2 (det.) 1) 48:16 \u003d 3 (krát)

2) 48: 2 \u003d 24 (h) 2) 8-3 \u003d 24 (h)

Pri prvom riešení problému sme najprv našli koeficient proporcionality k, je to 2 a potom, keď sme vedeli, že y \u003d 2x, našli sme hodnotu x, za predpokladu, že y \u003d 48.

Pri riešení problému druhým spôsobom sme použili vlastnosť priamej proporcionality: koľkokrát sa zvyšuje počet súčastí vyrobených sústružníkom, rovnako sa zvyšuje aj čas potrebný na ich výrobu.

Teraz sa zameriame na funkciu nazývanú inverzná proporcionalita.

Ak t je cestovný čas chodca (v hodinách), v je jeho rýchlosť (v km / h) a ubehol 12 km, potom vzťah medzi týmito hodnotami možno vyjadriť pomocou vzorca v ∙ t \u003d 20 alebo v \u003d.

Pretože každá hodnota t (t ≠ 0) zodpovedá jedinečnej hodnote rýchlosti v, môžeme povedať, že pomocou vzorca v \u003d je daná funkcia. Nazýva sa inverzná proporcionalita a určuje sa takto.

Definícia. Inverzná proporcionalita je funkcia, ktorú je možné definovať pomocou vzorca y \u003d, kde k je nenulové reálne číslo.

Názov tejto funkcie je spôsobený skutočnosťou, že v y \u003d existujú premenné xay, ktoré môžu byť hodnotami veličín. Ak je súčin dvoch množstiev rovný nejakému inému číslu ako nula, potom sa nazývajú nepriamo úmerné. V našom prípade xy \u003d k (k ≠ 0). Toto číslo k sa nazýva koeficient proporcionality.

funkcie y \u003d je matematický model mnohých skutočných situácií, o ktorých sa už uvažovalo na základnom kurze matematiky. Jeden z nich je opísaný pred určením nepriamej proporcionality. Ďalší príklad: ak ste kúpili 12 kg múky a rozložili ju do l: plechoviek s hmotnosťou y \u200b\u200bkg v každom, potom vzťah medzi týmito hodnotami možno vyjadriť ako xy \u003d 12, t. je to inverzná proporcionalita s koeficientom k \u003d 12.

Spomeňte si na niektoré vlastnosti nepriamej proporcionality známe zo školského kurzu matematiky.

1. Rozsah definície funkcie y \u003d a jeho rozsah x je množina nenulových reálnych čísel.

2. Graf inverznej proporcionality je nadsázka.

3. Pre k\u003e 0 sú vetvy hyperboly umiestnené v 1. a 3. štvrťroku a ich funkcia y \u003d sa znižuje v celej doméne definície x (obr. 8).

Obr. 8 Obr

V k< 0 ветви гиперболы расположены во 2-й и 4-й четвертях и функция y \u003d sa zvyšuje v celom rozsahu x (obr. 9).

4. Ak je funkcia f inverzná proporcionalita a (x 1, y 1), (x 2, y 2) sú páry zodpovedajúcich hodnôt premenných x a y, potom.

Ak je funkcia f inverzná proporcionalita, potom ju možno odvodiť z vzorca y \u003d a potom   , Pretože x 1 ≠ 0, x 2 ≠ 0, x 3 ≠ 0, potom

Ak kladné reálne čísla slúžia ako hodnoty premenných x a y, potom sa táto vlastnosť inverznej proporcionality dá formulovať takto: s rastom (poklesom) hodnoty premennej x niekoľkokrát sa zodpovedajúca hodnota premennej y znižuje (zvyšuje) o rovnakú hodnotu.

Táto vlastnosť je inherentná iba v inverznej proporcionalite a môže sa použiť na riešenie textových problémov, pri ktorých sa zvažuje nepriamo úmerné množstvo.

Úloha 2. Cyklista, cestujúci rýchlosťou 10 km / h, prekonal vzdialenosť od A do B za 6 hodín. Koľko času strávi cyklista na spiatočnej ceste, ak cestuje rýchlosťou 20 km / h?

Rozhodnutie. V probléme sa berú do úvahy veličiny: rýchlosť cyklistu, čas pohybu a vzdialenosť od A do B, pričom posledný je konštantný a ďalšie dve majú rôzne hodnoty. Okrem toho sú rýchlosť a čas pohybu nepriamo úmerné, pretože ich produkt sa rovná určitému počtu, konkrétne prejdenej vzdialenosti. Ak je cestovný čas cyklistu označený písmenom y, rýchlosť je xa vzdialenosť AB je k, dostaneme túto xy \u003d k alebo y \u003d, t. matematickým modelom situácie prezentovanej v probléme je inverzná proporcionalita.

Existujú dva spôsoby riešenia problému:

1 smer: 2 smer:

1) 10-6 \u003d 60 (km) 1) 20:10 \u003d 2 (krát)

2) 60:20 \u003d 3 (4) 2) 6: 2 \u003d 3 (h)

Pri prvom riešení problému sme najprv našli koeficient proporcionality k, je to 60, a potom, keď sme vedeli, že y \u003d, našli sme hodnotu y, za predpokladu, že x \u003d 20.

Pri riešení problému druhým spôsobom sme použili vlastnosť inverznej proporcionality: koľkokrát sa rýchlosť zvyšuje, čas strávený na prejdení tej istej vzdialenosti sa znižuje o rovnaké množstvo.

Všimnite si, že pri riešení konkrétnych problémov s nepriamo úmernými alebo priamo úmernými množstvami sa na x a y ukladajú určité obmedzenia, predovšetkým sa na ne nemôžu vzťahovať celé množiny reálnych čísel, ale ich podmnožiny.

Úloha 3. Lena kúpila x ceruzky a Katya ešte dvakrát. Uveďte počet ceruziek, ktoré Katya kúpila prostredníctvom y, vyjadrte y až x a zakreslite preukázanú korešpondenciu, ak x≤5. Je to zodpovedajúca funkcia? Aký je jeho rozsah a rozsah?

Rozhodnutie. Katya kúpila y \u003d 2 ceruzky. Pri vykresľovaní funkcie y \u003d 2x je potrebné vziať do úvahy, že premenná x označuje počet ceruziek a x≤5, čo znamená, že môže brať iba hodnoty 0, 1, 2, 3, 4, 5. Toto bude doménou tejto funkcie. Ak chcete získať rozsah hodnôt tejto funkcie, musíte vynásobiť každú hodnotu x z definičnej domény číslom 2, t. bude to množina (0, 2, 4, 6, 8, 10). Preto graf funkcie y \u003d 2x s definičnou doménou (0, 1, 2, 3, 4, 5) bude množina bodov znázornená na obrázku 10. Všetky tieto body patria do línie y \u003d 2x.