Začneme uvažovať o skutočnom procese výpočtu dvojitého integrálu a zoznámime sa s jeho geometrickým významom.

Dvojitý integrál sa číselne rovná ploche roviny (integračná oblasť). Toto je najjednoduchšia forma dvojitého integrálu, keď sa funkcia dvoch premenných rovná jednote :.

Najskôr sa zaoberáme problémom všeobecne. Teraz budete prekvapení, aké je to jednoduché! Vypočítame plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami. Pre úplnosť to považujeme za segment. Oblasť tohto čísla sa číselne rovná:

Nakreslíme oblasť na výkrese:

Vyberte prvý spôsob obchádzania oblasti:

Týmto spôsobom:

A okamžite dôležitý technický trik: opakované integrály je možné posudzovať individuálne, Najprv interný integrál, potom externý integrál. Táto metóda je vysoko odporúčaná pre začiatočníkov v oblasti figurín.

1) Vypočítame vnútorný integrál, zatiaľ čo integrácia sa vykonáva podľa premennej „hra“:

Neurčitý integrál je tu najjednoduchší a potom sa používa banálny Newton-Leibnizov vzorec, s jediným rozdielom limity integrácie nie sú čísla, ale funkcie, Najprv bola horná hranica nahradená „hrou“ (primitívna funkcia), potom dolná hranica

2) Výsledok získaný v prvom odseku sa musí nahradiť vonkajším integrálom:

Kompaktnejší záznam celého riešenia vyzerá takto:

Výsledný vzorec   - toto je presne pracovný vzorec na výpočet plochy bytu pomocou "obvyklého" definovaného integrálu! Sledujte lekciu Výpočet plochy pomocou určitého integrálu, tam je na každom kroku!

To znamená, problém výpočtu plochy pomocou dvojitého integrálu nie príliš odlišné  z problému nájdenia oblasti pomocou určitého integrálu!  V skutočnosti je to rovnaká vec!

Preto by nemali vzniknúť žiadne ťažkosti! Nebudem zvažovať veľa príkladov, pretože ste sa v skutočnosti opakovane stretávali s týmto problémom.

Príklad 9

riešenie:Nakreslíme oblasť na výkrese:

Vyberte nasledujúce poradie prechodu regiónu:

  Ďalej sa nebudem zaoberať tým, ako obísť túto oblasť, pretože prvý odsek poskytol veľmi podrobné vysvetlenie.

Týmto spôsobom:

Ako som už poznamenal, pre začiatočníkov je lepšie počítať opakované integrály osobitne a budem dodržiavať rovnakú metódu:

1) Najprv pomocou Newton-Leibnizovho vzorca sa zaoberáme vnútorným integrálom:

2) Výsledok získaný v prvom kroku sa nahradí vonkajším integrálom:

Bod 2 - v skutočnosti nájdenie plochy bytu pomocou určitého integrálu.

Odpoveď znie:

Tu je taká hlúpa a naivná úloha.

Zaujímavý príklad nezávislého riešenia:

Príklad 10

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami ,,

Približná vzorka konečného návrhu riešenia na konci hodiny.

V príkladoch 9 až 10 je oveľa výhodnejšie použiť prvý spôsob chôdze po oblasti, zvedaví čitatelia, mimochodom, môžu zmeniť poradie chôdze okolo a vypočítať oblasť druhým spôsobom. Ak neurobíte chybu, dostanete samozrejme rovnaké hodnoty oblasti.

Ale v mnohých prípadoch je druhý spôsob obchádzania oblasti efektívnejší a na záver kurzu pre mladých hlupákov zvážme niekoľko ďalších príkladov na túto tému:

Príklad 11

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničeného čiarami,

riešenie:  Tešíme sa na dva slnečníky s bzikom, ktoré ležia po ich stranách. Nemusíte sa usmievať, podobné veci sa často vyskytujú vo viacerých integráloch.

Aký je najjednoduchší spôsob, ako vytvoriť kresbu?

Reprezentujeme parabolu vo forme dvoch funkcií:
  - horná vetva a - dolná vetva.

Podobne si predstavte parabolu ako hornú a dolnú   vetvy.

Ďalej grafické jednotky typu point-by-point, ktorých výsledkom je bizarná postava:

Plocha obrázku sa vypočíta pomocou dvojitého integrálu podľa vzorca:

Čo sa stane, ak si vyberieme prvý spôsob obchádzania oblasti? Po prvé, táto oblasť sa bude musieť rozdeliť na dve časti. A po druhé, pozorujeme tento veľmi smutný obraz:   , Integrály, samozrejme, nie sú mimoriadne zložité, ale ... existuje staré matematické príslovie: ten, kto je priateľský ku koreňom, nepotrebuje úver.

Preto z nedorozumenia, ktoré je dané v stave, vyjadrujeme inverzné funkcie:

  Inverzné funkcie v tomto príklade majú tú výhodu, že celú parabolu sú nasadené naraz bez listov, žalúdov vetiev a koreňov.

Podľa druhej metódy bude obtoková oblasť nasledujúca:

Týmto spôsobom:

  Ako sa hovorí, cítiť rozdiel.

1) Zaoberáme sa vnútorným integrálom:

Výsledok je nahradený do externého integrálu:

Integrácia, pokiaľ ide o premennú „рек“, by nemala byť mätúca, ak by existovalo písmeno „si“, úžasne by sa do nej začlenila. Aj keď kto čítal druhý odsek lekcie Ako vypočítať rotáciu objemu tela, už necíti najmenšiu trápnosť s integráciou do „hry“.

Venujte pozornosť aj prvému kroku: integrand je párny a integračný segment je symetrický vzhľadom na nulu. Preto sa segment môže znížiť na polovicu a výsledok sa môže zdvojnásobiť. Táto technika je podrobne komentovaná v lekcii. Účinné metódy výpočtu určitého integrálu.

Čo pridať .... To je všetko!

Odpoveď znie:

Ak chcete vyskúšať svoju integračnú techniku, môžete skúsiť vypočítať   , Odpoveď by mala byť rovnaká.

Príklad 12

Pomocou dvojitého integrálu vypočítajte plochu rovinného útvaru ohraničenú čiarami

Toto je príklad nezávislého riešenia. Je zaujímavé poznamenať, že ak sa pokúsite použiť prvý spôsob prechodu cez oblasť, potom sa bude musieť číslo rozdeliť nie na dve časti, ale na tri časti! A podľa toho dostaneme tri páry opakovaných integrálov. Stáva sa to.

Majsterská trieda sa skončila a je čas postúpiť na úroveň veľmajstra - Ako vypočítať dvojitý integrál? Príklady riešenia, Budem sa snažiť v druhom článku, takže nemanic \u003d)

Prajem vám veľa úspechov!

Rozhodnutia a odpovede:

Príklad 2:riešenie: Nakreslime región   na výkrese:

Vyberte nasledujúce poradie prechodu regiónu:

Týmto spôsobom:
Prejdime k inverzným funkciám:


Týmto spôsobom:
Odpoveď znie:

Príklad 4:riešenie:   Poďme na priame funkcie:


Poďme vykonať výkres:

Zmena poradia prechodu oblasti:

Odpoveď znie:

Určitý integrál. Ako vypočítať plochu postavy

Obraciame sa na zváženie aplikácií integrálneho počtu. V tejto lekcii budeme analyzovať typický a najbežnejší problém. - ako vypočítať plochu bytu pomocou určitého integrálu, A konečne, hľadajúci význam vo vyššej matematike - nech to nájdu. Nikdy to nevieš. V živote budete musieť priblížiť chalupu základnými funkciami a nájsť ju pomocou určitého integrálu.

Pre úspešný vývoj materiálu je potrebné:

1) Pochopiť neurčitý integrál aspoň na priemernej úrovni. Figuríny by sa preto mali najprv s lekciou zoznámiť nie.

2) Byť schopný aplikovať Newton-Leibnizov vzorec a vypočítať určitý integrál. Na stránke môžete nadviazať priateľstvá s určitými integrálmi Určitý integrál. Príklady riešenia.

V skutočnosti, na nájdenie oblasti postavy, človek nepotrebuje toľko vedomostí o neurčitom a určitom integráli. Úloha „vypočítať plochu pomocou určitého integrálu“ vždy zahŕňa zostavenie výkresu, preto budú vaše vedomosti a schopnosti kreslenia oveľa dôležitejšou otázkou. V tomto ohľade je užitočné obnoviť pamäť grafov základných elementárnych funkcií a prinajmenšom byť schopný vytvoriť priamku, parabolu a hyperbolu. To je možné dosiahnuť (mnohí potrebujú) pomocou metodického materiálu a článku o geometrických transformáciách grafov.

V skutočnosti je každý oboznámený s úlohou nájsť oblasť pomocou určitého integrálu zo školy a my pôjdeme trochu ďalej do školských osnov. Tento článok sa možno vôbec nestal, ale faktom je, že problém sa vyskytuje v 99 prípadoch zo 100, keď študent trpí nenávistnou vežou s nadšením ovládajúcim kurz vo vyššej matematike.

Materiály tohto seminára sú prezentované jednoducho, podrobne as minimom teórie.

Začnime zakriveným lichobežníkom.

Zakrivený lichobežník  nazýva plochý obrázok ohraničený osou, priamkami a grafom funkcie súvislej na segmente, ktorý nezmení znamienko v tomto intervale. Nech je toto číslo umiestnené nie nižšie  os vodorovnej osi:

potom plocha zakriveného lichobežníka sa numericky rovná určitému integrálu, Každý špecifický integrál (ktorý existuje) má veľmi dobrý geometrický význam. V lekcii Určitý integrál. Príklady riešenia  Povedal som, že určitý integrál je číslo. A teraz je čas uviesť ďalší užitočný fakt. Z hľadiska geometrie je určitým integrálom AREA.

To znamená, určitý integrál (ak existuje) geometricky zodpovedá ploche nejakého útvaru, Napríklad, zvážte určitý integrál. Integrand definuje krivku v rovine, ktorá je umiestnená nad osou (tí, ktorí si želajú vykonať kresbu), a určitý integrál sa číselne rovná oblasti zodpovedajúceho zakriveného lichobežníka.

Príklad 1

Toto je typické vyhlásenie úlohy. Prvým a najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu, Okrem toho musí byť výkres postavený RIGHT.

Pri zostavovaní výkresu odporúčam nasledujúce poradie: najprv  je lepšie postaviť všetky trate (ak existujú) a iba potom  - paraboly, hyperboly, grafy ďalších funkcií. Funkčné grafy sú výhodnejšie zostaviť bodová, techniku \u200b\u200bbodovej konštrukcie možno nájsť v referenčnom materiáli Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií, Tam nájdete veľmi užitočný materiál pre našu lekciu - ako rýchlo postaviť parabolu.

V tomto probléme môže riešenie vyzerať takto.
   Poďme spustiť kreslenie (všimnite si, že rovnica definuje os):

Nebudem sa liahnúť krivočiary lichobežník, je tu zrejmé, o ktorej oblasti hovoríme. Riešenie pokračuje takto:

Na segmente sa nachádza funkčný graf nad osou, preto:

Odpoveď znie:

Kto má problémy s výpočtom určitého integrálu a použitím Newton-Leibnizovej vzorca pozri prednášku Určitý integrál. Príklady riešenia.

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či bola odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek vo výkrese - no, asi 9 bude napísaných, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali, povedzme, odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že niekde došlo k chybe - 20 buniek sa evidentne nemôže zmestiť do predmetnej postavy, existuje niekoľko síl. Ak odpoveď nie je, potom je úloha tiež vyriešená nesprávne.

Príklad 2

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a osou

Toto je príklad nezávislého riešenia. Kompletné riešenie a odpoveď na konci hodiny.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou?

Príklad 3

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami a súradnicovými osami.

rozhodnutie: Poďme vykonať kresbu:

   Ak sa nachádza zakrivený lichobežník   pod osou  (alebo aspoň nie vyššie  danú os)), potom jej plocha nájdeme pomocou vzorca:
   V tomto prípade:

Varovanie! Dva typy úloh by sa nemali zamieňať.:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, potom môže byť negatívny.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli oblasť obrázku pomocou určitého integrálu, potom je táto oblasť vždy pozitívna! To je dôvod, prečo sa mínus práve objavuje vo vzorci, ktorý sa práve zvažuje.

V praxi sa číslo najčastejšie nachádza v hornej a dolnej polovici rovín, a preto sa z najjednoduchších školských úloh obraciame na zmysluplnejšie príklady.

Príklad 4

Nájdite plochu roviny ohraničenej čiarami.

rozhodnutie: Najprv musíte dokončiť kreslenie. Všeobecne povedané, pri zostavovaní výkresu pre problémy s oblasťou nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly a priamky. Existujú dva spôsoby, ako to urobiť. Prvá metóda je analytická. Riešime rovnicu:

Preto dolná hranica integrácie, horná hranica integrácie.
Pokiaľ je to možné, je najlepšie túto metódu nepoužiť..

Je oveľa výnosnejšie a rýchlejšie vytvárať trasy bodovo, zatiaľ čo hranice integrácie sa objasňujú, akoby samy osebe. Technika bodovej konštrukcie pre rôzne grafy je podrobne opísaná v pomoci Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií , Analytická metóda na zistenie limitov sa však musí stále použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo zjednodušená konštrukcia neodhaľuje hranice integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne). A taký príklad vezmeme do úvahy.

Vraciame sa k našej úlohe: Je racionálnejšie najprv postaviť priamku a až potom parabolu. Poďme vykonať výkres:

   Opakujem, že pri konštrukcii bod po bode sa limity integrácie najčastejšie objasňujú „automaticky“.

A teraz pracovný vzorec: Ak je v segmente nejaká súvislá funkcia väčšie alebo rovnaké  nejaká spojitá funkcia, potom oblasť obrázku ohraničená grafmi týchto funkcií a čiar, možno nájsť pomocou vzorca:

Tu nemusíte premýšľať o tom, kde sa postava nachádza - nad osou alebo pod osou a zhruba povedané, je dôležité, ktorý rozvrh je VYŠŠIE(vo vzťahu k inému grafu) a ktorý z nich je NIŽŠIE.

V uvažovanom príklade je zrejmé, že v segmente je parabola umiestnená nad čiarou, a preto je potrebné odpočítať od

Dokončenie riešenia môže vyzerať takto:

Požadovaná hodnota je ohraničená parabolou zhora a čiarou zdola.
   V segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď znie:

V skutočnosti je školský vzorec pre oblasť zakriveného lichobežníka v dolnej polovici roviny (pozri jednoduchý príklad č. 3) osobitným prípadom vzorca , Pretože os je definovaná rovnicou a nachádza sa funkčný graf nie vyššie  osi

A teraz niekoľko príkladov pre nezávislé riešenie

Príklad 5

Príklad 6

Nájdite oblasť obrázku ohraničenú čiarami.

Pri riešení problémov s výpočtom oblasti pomocou určitého integrálu sa niekedy stáva vtipný incident. Výkres je správny, výpočty sú správne, ale z nedbalosti ... oblasť nesprávneho čísla bola nájdená, takto sa váš pokorný sluha niekoľkokrát pokazil. Tu je skutočný prípad zo života:

Príklad 7

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami ,,,.

rozhodnutie: Najprv vykonajte výkres:

... Eh, vyšiel hovno, ale všetko sa zdá byť čitateľné.

Obrázok, ktorého oblasť musíme nájsť, je označený modrou farbou.  (pozorne sledujte stav - aké je obmedzenie obrázku!). V praxi však neúmyselne vznikne „závada“, že musíte nájsť oblasť figúry, ktorá je v tieni zelenou farbou!

Tento príklad je tiež užitočný v tom, že v ňom je plocha obrázku vypočítaná pomocou dvoch definovaných integrálov. vskutku:

1) Čiara je vynesená na priamke nad osou;

2) Na segmente nad osou je graf hyperboly.

Je zrejmé, že štvorce sa môžu (a mali by sa) vyrovnať:

Odpoveď znie:

Prejdeme na jednu dôležitú úlohu.

Príklad 8

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami,
   Rovnice predstavíme v „školskej“ podobe a vykonáme bodový bodový nákres:

   Z výkresu je zrejmé, že naša horná hranica je „dobrá“ :.
   Ale čo je dolná hranica?! Je zrejmé, že to nie je celé číslo, ale ktoré? Možno, že? Ale tam, kde je záruka, že výkres je vyrobený s dokonalou presnosťou, môže to tak byť. Alebo koreň. A ak by sme nevykonali správny rozvrh?

V takýchto prípadoch musíte tráviť viac času a analyticky upravovať limity integrácie.

Nájdite priesečníky priamky a paraboly.
   Za týmto účelom vyriešime rovnicu:


,

V skutočnosti,.

Ďalšie riešenie je triviálne, hlavnou vecou nie je zamieňať sa s permutáciami a znakmi, výpočty tu nie sú najjednoduchšie.

Na segmente podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď znie:

Na záver tejto hodiny budeme považovať dve úlohy za zložitejšie.

Príklad 9

Vypočítajte plochu obrázku ohraničenú čiarami ,,

rozhodnutie: Túto kresbu nakreslíme na výkrese.

Sakra, zabudol som podpísať rozvrh, a znovu obrázok, je mi ľúto, nie hotman. Nie je to kresba, skrátka, dnes je deň \u003d)

Pre bodovú konštrukciu je potrebné poznať vzhľad sínusoidy (a všeobecne je užitočné vedieť) grafy všetkých základných funkcií), ako aj niektoré sínusové hodnoty, nájdete v trigonometrická tabuľka, V mnohých prípadoch (ako v tomto prípade) je možné zostaviť schematický nákres, na ktorom musia byť správne zobrazené grafy a limity integrácie.

Nie sú tu žiadne problémy s integračnými limitmi, vyplývajú priamo z podmienky: - „X“ sa zmení z nuly na „pi“. Navrhujeme ďalšie riešenie:

V segmente je funkčný graf umiestnený nad osou, a preto:

V predchádzajúcej časti venovanej analýze geometrického významu určitého integrálu sme získali niekoľko vzorcov na výpočet plochy zakriveného lichobežníka:

Yandex.RTB R-A-339285-1

S (G) \u003d ∫ a bf (x) d x pre spojitú a nezápornú funkciu y \u003d f (x) v intervale [a; b],

S (G) \u003d - ∫ a b f (x) d x pre spojitú a nepozitívnu funkciu y \u003d f (x) v intervale [a; b].

Tieto vzorce sú použiteľné na riešenie relatívne jednoduchých problémov. V skutočnosti často musíme pracovať so zložitejšími tvarmi. V tomto ohľade bude táto časť venovaná analýze algoritmov na výpočet oblasti čísiel, ktoré sú obmedzené funkciami v explicitnej forme, t.j. ako y \u003d f (x) alebo x \u003d g (y).

Nech sú funkcie y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) definované a spojité v intervale [a; b] af1 (x) ≤ f2 (x) pre ľubovoľnú hodnotu x z [a; b]. Potom vzorec na výpočet plochy obrázku G ohraničenej čiarami x \u003d a, x \u003d b, y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) bude mať tvar S (G) \u003d ∫ abf 2 (x) - f 1 (x) dx.

Podobný vzorec bude platiť pre oblasť obrázku ohraničenú čiarami y \u003d c, y \u003d d, x \u003d g 1 (y) a x \u003d g 2 (y): S (G) \u003d ∫ cd (g 2 (y) - g 1 (y) dy.

dôkaz

Preskúmajme tri prípady, pre ktoré bude vzorec platný.

V prvom prípade, vzhľadom na vlastnosť aditívnosti oblasti, súčet plôch pôvodného čísla G a zakriveného lichobežníka G1 sa rovná ploche obrázku G2. To znamená, že

Preto S (G) \u003d S (G2) - S (G1) \u003d ∫ abf2 (x) dx - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx.

Posledný prechod môžeme vykonať pomocou tretej vlastnosti určitého integrálu.

V druhom prípade platí rovnosť: S (G) \u003d S (G2) + S (G1) \u003d ∫ abf 2 (x) dx + - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - f 1 (x)) dx

Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Ak obidve funkcie nie sú pozitívne, dostaneme: S (G) \u003d S (G2) - S (G1) \u003d - ∫ abf 2 (x) dx - - ∫ abf 1 (x) dx \u003d ∫ ab (f 2 (x) - fl (x)) dx. Grafické znázornenie bude vyzerať takto:

Pokračujeme v posudzovaní všeobecného prípadu, keď y \u003d f 1 (x) a y \u003d f 2 (x) pretína os Ox.

Priesečníky označujeme ako x i, i \u003d 1, 2 ,. , , , n - 1. Tieto body rozdelia segment [a; b] na n častiach x i - 1; x i, i \u003d 1, 2 ,. , , , n, kde a \u003d x 0< x 1 < x 2 < . . . < x n - 1 < x n = b . Фигуру G можно представить объединением фигур G i , i = 1 , 2 , . . . , n . Очевидно, что на своем интервале G i попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S (G i) = ∫ x i - 1 x i (f 2 (x) - f 1 (x)) d x , i = 1 , 2 , . . . , n

preto,

S (G) \u003d ∑ i \u003d 1 n S (Gi) \u003d ∑ i \u003d 1 n ∫ xixif 2 (x) - f 1 (x)) dx \u003d \u003d ∫ x 0 xn (f 2 (x) - f ( x)) dx \u003d ∫ abf2 (x) - f1 (x) dx

Posledný prechod môžeme vykonať pomocou piatej vlastnosti určitého integrálu.

Všeobecný prípad ilustrujeme na grafe.

Vzorec S (G) \u003d ∫ a bf 2 (x) - f 1 (x) d x možno považovať za preukázaný.

Teraz prejdime k analýze príkladov výpočtu plochy čísiel, ktoré sú obmedzené čiarami y \u003d f (x) a x \u003d g (y).

Začneme uvažovaním ktoréhokoľvek z príkladov vynesením. Obrázok nám umožní reprezentovať zložité tvary ako zväzky jednoduchších tvarov. Ak máte ťažkosti s vytváraním grafov a tvarov na nich, môžete si počas výskumu funkcií preštudovať časť o základných elementárnych funkciách, geometrickej transformácii funkčných grafov a grafoch.

Príklad 1

Je potrebné určiť plochu obrázku, ktorá je ohraničená parabolou y \u003d - x 2 + 6 x - 5 a priamkami y \u003d - 1 3 x - 1 2, x \u003d 1, x \u003d 4.

rozhodnutie

Čiary kreslíme do grafu v karteziánskom súradnicovom systéme.

Na segmente [1; 4] graf paraboly y \u003d - x 2 + 6 x - 5 je umiestnený nad čiarou y \u003d - 13 x - 1 2. V tejto súvislosti na získanie odpovede používame vzorec získaný skôr, ako aj metódu výpočtu určitého integrálu podľa Newtonovho-Leibnizovho vzorca:

S (G) \u003d ∫ 14 - x 2 + 6 x - 5 - - 1 3 x - 1 2 dx \u003d \u003d \u003d 1 4 - x 2 + 19 3 x - 9 2 dx \u003d - 1 3 x 3 + 19 6 x 2 - 9 2 x 1 4 \u003d \u003d - 1 3 · 4 3 + 19 6,4 4 - 9 2 · 4 - 1 3 · 1 3 + 19 6 · 1 2 - 9 2 · 1 \u003d \u003d - 64 3 + 152 3 - 18 + 1 3 - 19 6 + 9 2 \u003d 13

Odpoveď: S (G) \u003d 13

Zoberme si zložitejší príklad.

Príklad 2

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y \u003d x + 2, y \u003d x, x \u003d 7.

rozhodnutie

V tomto prípade máme iba jednu priamku rovnobežnú s osou x. Toto je x \u003d 7. Vyžaduje si to, aby sme si sami našli druhú hranicu integrácie.

Vykresľujeme a vykresľujeme na nej čiary, údaje v stave problému.

S grafom pred našimi očami môžeme ľahko určiť, že dolnou hranicou integrácie bude súradnica priesečníka grafu priamky y \u003d x a poloparaboly y \u003d x + 2. Na nájdenie úsečiek používame rovnosti:

y \u003d x + 2 O DG: x ≥ - 2 x 2 \u003d x + 2 2 x 2 - x - 2 \u003d 0 D \u003d (- 1) 2 - 4 · 1 · (- 2) \u003d 9 x 1 \u003d 1 + 9 2 \u003d 2 ∈ О D З x 2 \u003d 1 - 9 2 \u003d - 1 ∉ О D З

Ukazuje sa, že vodorovná os priesečníka je x \u003d 2.

Upozorňujeme na skutočnosť, že vo všeobecnom príklade na výkrese sa v bode (2; 2) pretínajú čiary y \u003d x + 2, y \u003d x, takže také podrobné výpočty sa nemusia javiť ako zbytočné. Tu sme poskytli také podrobné riešenie len preto, že v zložitejších prípadoch nemusí byť riešenie také zrejmé. To znamená, že súradnice priesečníka čiar sa vždy najlepšie vypočítavajú analyticky.

V intervale [2; 7] graf funkcie y \u003d x je umiestnený nad grafom funkcie y \u003d x + 2. Pri výpočte plochy použijeme vzorec:

S (G) \u003d ∫ 2 7 (x - x + 2) dx \u003d x 2 2 - 2 3 · (x + 2) 3 2 2 7 \u003d \u003d 7 2 2 - 2 3 · (7 + 2) 3 2 - 2 2 2 - 2 3 2 2 2 3 2 \u003d \u003d 49 2 - 18 - 2 + 16 3 \u003d 59 6

Odpoveď: S (G) \u003d 59 6

Príklad 3

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená grafmi funkcií y \u003d 1 x a y \u003d - x 2 + 4 x - 2.

rozhodnutie

Nakreslite čiary do grafu.

Definujte limity integrácie. Aby sme to dosiahli, určíme súradnice priesečníkov priamok, pričom rovnice vyjadríme 1 x a - x 2 + 4 x - 2. Ak sa x nerovná nule, rovnosť 1 x \u003d - x 2 + 4 x - 2 sa stane rovnocennou rovnici tretieho stupňa - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 \u003d 0 s celočíselnými koeficientmi. Algoritmus na riešenie takýchto rovníc môžeme obnoviť odkazom na časť „Riešenie kubických rovníc“.

Koreň tejto rovnice je x \u003d 1: - 1 3 + 4 · 1,2 - 1 - 1 \u003d 0.

Rozdelením výrazu - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 na binomické x - 1 dostaneme: - x 3 + 4 x 2 - 2 x - 1 ⇔ - (x - 1) (x 2 - 3 x - 1) \u003d 0

Zostávajúce korene nájdeme z rovnice x 2 - 3 x - 1 \u003d 0:

x 2 - 3 x - 1 \u003d 0 D \u003d (- 3) 2 - 4,1 (\u003d 1) \u003d 13 x 1 \u003d 3 + 13 2 ≈ 3. 3; x 2 \u003d 3 - 13 2 ≈ - 0. 3

Našli sme interval x ∈ 1; 3 + 13 2, na ktorom je obrázok G uzavretý nad modrou a pod červenou čiarou. Toto nám pomáha určiť oblasť obrázku:

S (G) \u003d ∫ 1 3 + 13 2 - x 2 + 4 x - 2 - 1 xdx \u003d - x 3 3 + 2 x 2 - 2 x - 1 x 1 3 + 13 2 \u003d \u003d - 3 + 13 2 3 3 + 2 · 3 + 13 2 2 - 2 · 3 + 13 2 - ln 3 + 13 2 - - - 1 3 3 + 2 · 1 2 - 2 · 1 - ln 1 \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Odpoveď: S (G) \u003d 7 + 13 3 - ln 3 + 13 2

Príklad 4

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená krivkami y \u003d x 3, y \u003d - log 2 x + 1 a osou x.

rozhodnutie

Nakreslite všetky riadky do grafu. Z grafu y \u003d log 2 x môžeme získať graf funkcie y \u003d - log 2 x + 1, ak ho umiestnime symetricky vzhľadom na os vodorovnej osi a zdvihneme ho o jednu jednotku nahor. Rovnica vodorovnej osi je y \u003d 0.

Označte priesečníky čiar.

Ako je možné vidieť na obrázku, graf funkcií y \u003d x 3 a y \u003d 0 sa pretína v bode (0; 0). Je to preto, že x \u003d 0 je jediný skutočný koreň rovnice x 3 \u003d 0.

x \u003d 2 je jediný koreň rovnice - log 2 x + 1 \u003d 0, preto sa grafy funkcií y \u003d - log 2 x + 1 a y \u003d 0 pretína v bode (2; 0).

x \u003d 1 je jediný koreň rovnice x 3 \u003d - log 2 x + 1. Z tohto hľadiska sa graf funkcií y \u003d x 3 a y \u003d - log 2 x + 1 pretína v bode (1; 1). Posledný príkaz nemusí byť zrejmý, ale rovnica x 3 \u003d - log 2 x + 1 nemôže mať viac ako jeden koreň, pretože funkcia y \u003d x 3 sa prísne zvyšuje a funkcia y \u003d - log 2 x + 1 sa striktne znižuje.

Ďalšie riešenie zahŕňa niekoľko možností.

Variant číslo 1

Obrázok G môžeme predstavovať ako súčet dvoch krivočiarych lichobežníkov umiestnených nad osou x, z ktorých prvý je umiestnený pod strednou čiarou v segmente x ∈ 0; 1 a druhá je pod červenou čiarou v segmente x ∈ 1; 2. To znamená, že plocha sa bude rovnať S (G) \u003d ∫ 0 1 x 3 d x + ∫ 1 2 (- log 2 x + 1) d x.

Možnosť č. 2

Obrázok G môže byť znázornený ako rozdiel dvoch číslic, z ktorých prvé je umiestnené nad osou abscis a pod modrou čiarou v segmente x ∈ 0; 2 a druhou medzi červenou a modrou čiarou v segmente x ∈ 1; 2. To nám umožňuje nájsť oblasť nasledovne:

S (G) \u003d ∫ 0 2 x 3 d x - ∫ 1 2 x 3 - (- log 2 x + 1) d x

V tomto prípade je potrebné na nájdenie oblasti použiť vzorec S (G) \u003d ∫ c d (g 2 (y) - g 1 (y)) d y. Čiary, ktoré obmedzujú tvar, môžu byť v skutočnosti reprezentované ako funkcie argumentu y.

Riešime rovnice y \u003d x 3 a - log 2 x + 1 vzhľadom na x:

y \u003d x 3 ⇒ x \u003d y 3 y \u003d - log 2 x + 1 ⇒ log 2 x \u003d 1 - y ⇒ x \u003d 2 1 - y

Dostaneme požadovanú oblasť:

S (G) \u003d ∫ 0 1 (2 1 - y - y 3) dy \u003d - 2 1 - y 1 n 2 - y 4 4 0 1 \u003d \u003d - 2 1 - 1 1 2 2 - 1 4 4 - - 2 1 - 0 ln 2 - 0 4 4 \u003d - 1 ln 2 - 14 + 2 ln 2 \u003d 1 ln 2 - 14

Odpoveď: S (G) \u003d 1 ln 2 - 1 4

Príklad 5

Je potrebné vypočítať plochu obrázku, ktorá je ohraničená čiarami y \u003d x, y \u003d 2 3 x - 3, y \u003d - 1 2 x + 4.

rozhodnutie

Červená čiara nakreslí na graf čiaru určenú funkciou y \u003d x. Nakreslite čiaru y \u003d - 1 2 x + 4 modrou a čiaru y \u003d 2 3 x - 3 čiernou farbou.

Zaznamenajte si priesečníky.

Nájdite priesečníky grafov funkcií y \u003d x a y \u003d - 1 2 x + 4:

x \u003d - 1 2 x + 4 O D G: x ≥ 0 x \u003d - 1 2 x + 4 2 ⇒ x \u003d 1 4 x 2 - 4 x + 16 ⇔ x 2 - 20 x + 64 \u003d 0 D \u003d (- 20) 2 - 4,1 1,64 \u003d 144 x 1 \u003d 20 + 144 2 \u003d 16; x 2 \u003d 20 - 144 2 \u003d 4 poskytovateľ: x 1 \u003d 16 \u003d 4, - 1 2 x 1 + 4 \u003d - 1 2 · 16 + 4 \u003d - 4 ⇒ x 1 \u003d 16 n Som naladený na x 2 \u003d 4 \u003d 2, - 1 2 x 2 + 4 \u003d - 1 2 · 4 + 4 \u003d 2 ⇒ x 2 \u003d 4 i n g l e s u re m e nure n ⇒ (4; 2) bod prechodu i y \u003d x a y \u003d - 1 2 x + 4

Nájdite priesečník grafov funkcií y \u003d x a y \u003d 2 3 x - 3:

x \u003d 2 3 x - 3 O D G: x ≥ 0 x \u003d 2 3 x - 3 2 ⇔ x \u003d 4 9 x 2 - 4 x + 9 ⇔ 4 x 2 - 45 x + 81 \u003d 0 D \u003d (- 45 ) 2 - 4 · 81 \u003d 729 x 1 \u003d 45 + 729 8 \u003d 9, x 2 45 - 729 8 \u003d 9 4 VYJADRENIE: x 1 \u003d 9 \u003d 3, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 - 3 \u003d 3 ⇒ x 1 \u003d 9 Som pripravený na riešenie ⇒ (9; 3) Pred y \u003d x a y \u003d 2 3 x - 3 x 2 \u003d 9 4 \u003d 3 2, 2 3 x 1 - 3 \u003d 2 3 · 9 4 - 3 \u003d - 3 2 ⇒ x 2 \u003d 9 4

Nájdite priesečník čiar y \u003d - 1 2 x + 4 a y \u003d 2 3 x - 3:

1 2 x + 4 \u003d 2 3 x 3 - 3 x + 24 \u003d 4 x 18 - 7 x \u003d 42 x x \u003d 6 - 1 2 · 6 + 4 \u003d 2 3 · 6 - 3 \u003d 1 ⇒ (6 1) priečny rez y \u003d -112 x + 4 a y \u003d 233 x -3

Metóda číslo 1

Reprezentujeme oblasť želaného čísla ako súčet plôch jednotlivých čísel.

Potom sa plocha obrázku rovná:

S (G) \u003d ∫ 4 6 x - - 1 2 x + 4 dx + ∫ 6 9 x - 2 3 x - 3 dx \u003d \u003d 2 3 x 3 2 + x 2 4 - 4 x 4 6 + 2 3 x 3 2 - x 2 3 + 3 x 6 9 \u003d \u003d 2 3 · 6 3 2 + 6 2 4 - 4 · 6 - 2 3 4 4 3 2 + 4 2 4 - 4,4 + 2 3 9 9 2 2 - 9 2 3 + 3 · 9 - 2 3 · 6 3 2 - 6 2 3 + 3 · 6 \u003d \u003d - 25 3 + 4 6 + - 4 6 + 12 \u003d 11 3

Metóda číslo 2

Oblasť pôvodnej postavy môže byť vyjadrená ako súčet dvoch ďalších číslic.

Potom vyriešime rovnicu priamky vzhľadom na x a až potom použijeme vzorec na výpočet plochy obrázku.

y \u003d x ⇒ x \u003d y 2 navyše y \u003d 2 3 x - 3 ⇒ x \u003d 3 2 y + 9 2 čierne y a y \u003d - 1 2 x + 4 x x \u003d - 2 roky + 8 s

Oblasť sa teda rovná:

S (G) \u003d ∫ 1 2 3 2 y + 9 2 - - 2 y + 8 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d ∫ 1 2 7 2 y - 7 2 dy + ∫ 2 3 3 2 y + 9 2 - y 2 dy \u003d \u003d 7 4 y 2 - 7 4 y 1 2 + - y 3 3 + 3 y 2 4 + 9 2 y 2 3 \u003d 7 4 2 2 - 7 4 2 2 - 7 4 · 1 2 - 7 4 · 1 + + - 3 3 3 + 3 · 3 2 4 + 9 2 · 3 - - 2 3 3 + 3 · 2 2 4 + 9 2 · 2 \u003d \u003d 7 4 + 23 12 \u003d 11 3

Ako vidíte, hodnoty sú rovnaké.

Odpoveď: S (G) \u003d 11 3

výsledok

Aby sme našli oblasť obrázku, ktorá je ohraničená danými čiarami, musíme postaviť čiary na rovinu, nájsť body ich priesečníka, použiť vzorec na nájdenie oblasti. V tejto časti sme preskúmali najbežnejšie možnosti úloh.

Ak si všimnete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Úloha 1  (pri výpočte plochy zakriveného lichobežníka).

V karteziánskom pravouhlom súradnicovom systéme xOy je daná číslica (pozri obrázok) ohraničená osou x, priamky x \u003d a, x \u003d b (zakrivený lichobežník). Je potrebné vypočítať plochu zakriveného lichobežníka.
Rozhodnutie. Geometria nám dáva recepty na výpočet oblastí polygónov a niektorých častí kruhu (sektor, segment). Pomocou geometrických hľadísk nájdeme iba približnú hodnotu požadovanej oblasti, a to nasledovne.

Delíme segment [a; b] (základňa zakriveného lichobežníka) na n rovnakých častí; tento oddiel je možný pomocou bodov x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Tieto body prechádzajú priamkami rovnobežnými s osou y. Potom sa daný zakrivený lichobežník rozdelí na n časti, na n úzke stĺpce. Plocha celého lichobežníka sa rovná súčtu plôch stĺpcov.

Samostatne považujeme stĺpec k-t. zakrivený lichobežník, ktorého základom je segment. Vymeňte ho za obdĺžnik s rovnakou základňou a výškou rovnou f (x k) (pozri obrázok). Oblasť obdĺžnika je \\ (f (x_k) \\ cdot \\ Delta x_k \\), kde \\ (\\ Delta x_k \\) je dĺžka segmentu; je prirodzené považovať kompilovanú prácu za približnú hodnotu plochy k-tého stĺpca.

Ak teraz urobíme to isté so všetkými ostatnými stĺpcami, dospejeme k nasledujúcemu výsledku: plocha S daného zakriveného lichobežníka je približne rovnaká ako oblasť S n stupňovitého útvaru tvoreného z obdĺžnikov (pozri obrázok):
  \\ (S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + \\ dots + f (x_k) \\ Delta x_k + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) \\)
  Tu v záujme jednotnosti zápisu predpokladáme, že a \u003d x 0, b \u003d x n; \\ (\\ Delta x_0 \\) - dĺžka segmentu, \\ (\\ Delta x_1 \\) - dĺžka segmentu atď. v rovnakom čase, ako sme sa dohodli vyššie, \\ (\\ Delta x_0 \u003d \\ dots \u003d \\ Delta x_ (n-1) \\)

Takže \\ (S \\ cca S_n \\), a táto približná rovnosť je presnejšia, tým väčšia n.
  Podľa definície sa predpokladá, že požadovaná plocha zakriveného lichobežníka sa rovná limitu sekvencie (S n):
  $$ S \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

Úloha 2  (o posunutí bodu)
  Bod materiálu sa pohybuje v priamke. Závislosť rýchlosti od času sa vyjadruje vzorcom v \u003d v (t). Nájdite pohyb bodu v určitom časovom období [a; b].
Rozhodnutie.  Keby bol pohyb rovnomerný, problém by sa vyriešil veľmi jednoducho: s \u003d vt, t. s \u003d v (b-a). Pre nerovnomerný pohyb je potrebné použiť rovnaké myšlienky, na ktorých bolo založené riešenie predchádzajúceho problému.
  1) Rozdeľte časový interval [a; b] na n rovnakých častí.
  2) Zvážte časový interval a predpokladáme, že v tomto časovom úseku bola rýchlosť konštantná, napríklad v čase t k. Takže predpokladáme, že v \u003d v (t k).
3) Nájdite približnú hodnotu posunutia bodu v časovom období, túto približnú hodnotu označíme s k k
  \\ (s_k \u003d v (t_k) \\ Delta t_k \\)
  4) Nájdite približnú hodnotu posunu:
  \\ (s \\ približne S_n \\) kde
  \\ (S_n \u003d s_0 + \\ dots + s_ (n-1) \u003d v (t_0) \\ Delta t_0 + \\ dots + v (t_ (n-1)) \\ Delta t_ (n-1) \\)
  5) Požadovaný pohyb sa rovná limitu sekvencie (S n):
  $$ s \u003d \\ lim_ (n \\ to \\ infty) S_n $$

Aby som to zhrnul. Riešenia rôznych problémov boli zredukované na rovnaký matematický model. V procese riešenia toho istého modelu vedie veľa úloh z rôznych oblastí vedy a techniky. To znamená, že tento matematický model sa musí osobitne študovať.

Koncept určitého integrálu

Dajme matematický opis modelu, ktorý bol postavený na troch problémoch uvažovaných pre funkciu y \u003d f (x), spojitých (ale nie nevyhnutne nezáporných, ako sa predpokladalo v uvažovaných problémoch) v intervale [a; b]:
  1) zlomíme segment [a; b] na n rovnakých častí;
  2) urobte súčet $$ S_n \u003d f (x_0) \\ Delta x_0 + f (x_1) \\ Delta x_1 + \\ dots + f (x_ (n-1)) \\ Delta x_ (n-1) $$
  3) Vypočítajte $$ \\ lim_ (n \\ na \\ infty) S_n $$

V priebehu matematickej analýzy sa preukáže, že táto hranica existuje v prípade spojitej (alebo po čiastočnej spojitej) funkcii. Hovoria mu určitým integrálom funkcie y \u003d f (x) v intervale [a; b]  a sú označené takto:
  \\ (\\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx \\)
  Čísla aab sa nazývajú limity integrácie (dolná a horná).

Vráťme sa k vyššie uvedeným problémom. Definíciu oblasti uvedenú v úlohe 1 je teraz možné prepísať takto:
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx \\)
  tu S je oblasť zakriveného lichobežníka znázorneného na obrázku vyššie. Skladá sa geometrický význam určitého integrálu.

Určenie posunutia bodu, ktorý sa pohybuje v priamke s rýchlosťou v \u003d v (t) za časové obdobie od t \u003d a do t \u003d b, uvedené v úlohe 2, možno prepisovať takto:

Newtonov vzorec - Leibniz

Najprv odpovieme na otázku: aký je vzťah medzi určitým integrálom a primitívom?

Odpoveď možno nájsť v probléme 2. Na jednej strane sa posuny bodu pohybujúceho sa po priamke s rýchlosťou v \u003d v (t) v priebehu času od t \u003d a do t \u003d b a vypočítajú sa pomocou vzorca
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ bv (t) dt \\)

Na druhej strane súradnica bodu pohybu je antiderivátom rýchlosti - označujeme ju s (t); preto je posun s vyjadrený vzorcom s \u003d s (b) - s (a). Výsledkom je:
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ bv (t) dt \u003d s (b) -s (a) \\)
  kde s (t) je antiderivát pre v (t).

V priebehu matematickej analýzy sa preukáže nasledujúca veta.
Veta. Ak je funkcia y \u003d f (x) nepretržitá v intervale [a; b], potom vzorec
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx \u003d F (b) -F (a) \\)
  kde F (x) je antiderivát pre f (x).

Vyššie uvedený vzorec sa zvyčajne nazýva newtonov vzorec - Leibniz  na počesť anglického fyzika Isaaca Newtona (1643 - 1727) a nemeckého filozofa Gottfrieda Leibniza (1646 - 1716), ktorí ho prijali nezávisle od seba a takmer súčasne.

V praxi sa namiesto notácie F (b) - F (a) používa notácia \\ (\\ left. F (x) \\ right | _a ^ b \\) (niekedy sa volá dvojité vyhľadávanie) a podľa toho prepíšte Newton-Leibnizov vzorec v tejto podobe:
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx \u003d \\ doľava. F (x) \\ right | _a ^ b \\)

Vypočítaním určitého integrálu sa najskôr nájde antiderivát a potom sa uskutoční dvojitá substitúcia.

Na základe Newton-Leibnizovho vzorca sa dajú získať dve vlastnosti určitého integrálu.

Majetok 1.  Integrál súčtu funkcií sa rovná súčtu integrálov:
  \\ (\\ int \\ limity_a ^ b f (x) + g (x)) dx \u003d \\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx + \\ int \\ limity_a ^ b g (x) dx \\)

Nehnuteľnosť 2.  Konštantný faktor môže byť vyradený z integrálneho znaku:
  \\ (\\ int \\ limity_a ^ b kf (x) dx \u003d k \\ int \\ limity_a ^ b f (x) dx \\)

Výpočet plôch rovinných útvarov pomocou určitého integrálu

Pomocou integrálu je možné vypočítať oblasti nielen zakrivených lichobežníkov, ale aj rovinných útvarov zložitejšej formy, napríklad tej, ktorá je zobrazená na obrázku. Obrázok P je ohraničený priamkami x \u003d a, x \u003d b a grafy spojitých funkcií y \u003d f (x), y \u003d g (x), navyše v intervale [a; b] platí nerovnosť \\ (g (x) \\ leq f (x) \\). Pri výpočte oblasti S takéhoto čísla budeme postupovať takto:
  \\ (S \u003d S_ (ABCD) \u003d S_ (aDCb) - S_ (aABb) \u003d \\ int \\ limity_a ^ bf (x) dx - \\ int \\ limity_a ^ bg (x) dx \u003d \\)
  \\ (\u003d \\ int \\ limity_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Takže oblasť S obrázku ohraničená priamkami x \u003d a, x \u003d b a grafy funkcií y \u003d f (x), y \u003d g (x), spojité v intervale a také, že pre akékoľvek x z intervalu [a; b] platí nerovnosť \\ (g (x) \\ leq f (x) \\), vypočítaná podľa vzorca
  \\ (S \u003d \\ int \\ limity_a ^ b (f (x) -g (x)) dx \\)

Tabuľka neurčitých integrálov (primitívnych) niektorých funkcií

a)

Rozhodnutie.

Prvým a najdôležitejším bodom riešenia je konštrukcia výkresu.

Poďme vykonať výkres:

rovnice y \u003d 0 nastaví os x;

- x \u003d -2 a   x \u003d 1   - priama, rovnobežná os Oh;

- y \u003d x 2 + 2 - parabola, ktorej vetvy smerujú nahor, s vrcholom v bode (0; 2).

Pozn.Na zostavenie paraboly stačí nájsť body jej priesečníka s súradnicovými osami, t.j. uvedenie x \u003d 0   nájsť priesečník s osou ou a po vyriešení zodpovedajúcej kvadratickej rovnice nájdite priesečník s osou ach .

Hornú časť paraboly možno nájsť podľa vzorcov:

Môžete vytvárať línie a bodovo.

Na segmente [-2; 1] je graf funkcie y \u003d x 2 +2   umiestnený nad osou vôl , preto:

Odpoveď znie: S \u003d 9 štvorcových jednotiek

Po dokončení úlohy je vždy užitočné pozrieť sa na výkres a zistiť, či bola odpoveď skutočná. V tomto prípade „okom“ spočítame počet buniek vo výkrese - no, asi 9 bude napísaných, zdá sa, že je to pravda. Je úplne jasné, že ak by sme mali, povedzme, odpoveď: 20 štvorcových jednotiek, potom je zrejmé, že niekde došlo k chybe - 20 buniek sa evidentne nemôže zmestiť do predmetnej postavy, existuje niekoľko síl. Ak odpoveď nie je, potom je úloha tiež vyriešená nesprávne.

Čo robiť, ak sa nachádza zakrivený lichobežník pod osou Oh?

b)  Vypočítajte plochu tvaru ohraničenú čiarami y \u003d -e x , x \u003d 1   a koordinovať osi.

Rozhodnutie.

Poďme vykonať výkres.

Ak je zakrivený lichobežník úplne umiestnené pod osou ach ,   potom jeho plocha sa dá nájsť podľa vzorca:

Odpoveď znie: S \u003d (e-1) štvorcových jednotiek. “1,72 štvorcových jednotiek.

Varovanie! Dva typy úloh by sa nemali zamieňať.:

1) Ak ste požiadaní, aby ste vyriešili iba určitý integrál bez geometrického významu, potom môže byť negatívny.

2) Ak ste požiadaní, aby ste našli oblasť obrázku pomocou určitého integrálu, potom je táto oblasť vždy pozitívna! To je dôvod, prečo sa mínus práve objavuje vo vzorci, ktorý sa práve zvažuje.

V praxi sa číslo najčastejšie nachádza v hornej a dolnej polovici rovín.

c)  Nájdite oblasť plochého útvaru ohraničeného čiarami y \u003d 2x-x2, y \u003d -x.

Rozhodnutie.

Najprv musíte dokončiť výkres. Všeobecne povedané, pri zostavovaní výkresu pre problémy s oblasťou nás najviac zaujímajú priesečníky čiar. Nájdite priesečníky paraboly   a priame   Existujú dva spôsoby, ako to urobiť. Prvá metóda je analytická.

  Riešime rovnicu:

Preto je dolná hranica integrácie a \u003d 0   , horná hranica integrácie b \u003d 3 .

Je možné konštruovať čiary prerušovane, zatiaľ čo hranice integrácie sú objasnené, akoby samy osebe. Analytická metóda na zistenie limitov sa však musí stále použiť, ak je napríklad graf dostatočne veľký alebo zjednodušená konštrukcia neodhaľuje hranice integrácie (môžu byť zlomkové alebo iracionálne).

Požadovaná hodnota je ohraničená parabolou zhora a čiarou zdola.

Na segmente   podľa zodpovedajúceho vzorca:

Odpoveď znie: S \u003d 4,5 štvorcových jednotiek