Čas je priamo úmerný. Priame a nepriamo úmerné závislosti

Príklad

Pomer strán

Konštantný pomer úmerných veličín je tzv pomer strán... Koeficient úmernosti ukazuje, koľko jednotiek jednej veličiny pripadá na jednotku druhej.

Priama úmernosť

Priama úmernosť- funkčná závislosť, pri ktorej určitá veličina závisí od inej veličiny tak, že ich pomer zostáva konštantný. Inými slovami, tieto premenné sa menia úmerne, rovnakým dielom, to znamená, že ak sa argument zmenil dvakrát v akomkoľvek smere, potom sa funkcia tiež zmení dvakrát v rovnakom smere.

Matematicky je priama úmernosť napísaná ako vzorec:

f(X) = aX,a = const

Obrátený pomer

Inverzná úmernosť je funkčná závislosť, pri ktorej nárast nezávislej veličiny (argumentu) spôsobí úmerný pokles závislej veličiny (funkcie).

Matematicky je inverzná úmernosť napísaná ako vzorec:

Vlastnosti funkcie:

Zdroje

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite si, čo je „Priama proporcionalita“ v iných slovníkoch:

priama úmera-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Témy energia vo všeobecnosti EN priama úmera ... Technická príručka prekladateľa

priama úmera- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. priama úmernosť vok. direkte Proportionalität, f rus. priama úmernosť, f pranc. proporcionalité directe, f… Fizikos terminų žodynas

- (z lat. proporcionálny, proporcionálny). Proporcionalita. Slovník cudzích slov zahrnutých v ruskom jazyku. Chudinov AN, 1910. PROPORCIONALITA otlat. proporcionálny, proporcionálny. Proporcionalita. Vysvetlenie 25000 ...... Slovník cudzích slov ruského jazyka

PROPORCIONALITY, proporcionalita, pl. nie, manželky. (kniha). 1.Rozptýliť. podstatné meno na pomerné. Proporcionalita dielov. Proporcionalita postavy. 2. Takýto vzťah medzi množstvami, keď sú úmerné (pozri pomerné ... Slovník Ushakova

Dve vzájomne závislé veličiny sa nazývajú proporcionálne, ak pomer ich hodnôt zostane nezmenený.. Obsah 1 Príklad 2 Koeficient proporcionality ... Wikipedia

PROPORCIONALITA, a, manželky. 1. pozri pomerné. 2. V matematike: taký vzťah medzi veličinami, keď sa roj jednej z nich zvýši, druhá sa zmení o rovnakú hodnotu. Rovná str (S rojom s nárastom o jednu hodnotu ... ... Ozhegovov výkladový slovník

A; f. 1. až proporcionálne (1 číslica); proporcionality. P. diely. P. telesná stavba. P. zastúpenie v parlamente. 2. Mat. Vzťah medzi proporcionálne sa meniacimi veličinami. Pomer strán. Rovná str (v ktorej s ... ... encyklopedický slovník

Dnes zvážime, aké veličiny sa nazývajú nepriamo úmerné, ako vyzerá inverzne úmerný graf a ako sa vám to všetko môže hodiť nielen na hodinách matematiky, ale aj mimo školských múrov.

Také rozdielne proporcie

Proporcionalita volajte dve veličiny, ktoré sú na sebe navzájom závislé.

Závislosť môže byť priama a inverzná. V dôsledku toho vzťah medzi veličinami opisuje priamu a nepriamu úmernosť.

Priama úmernosť- ide o takú závislosť dvoch veličín, pri ktorej zvýšenie alebo zníženie jednej z nich vedie k zvýšeniu alebo zníženiu druhej. Tie. ich postoj sa nemení.

Napríklad, čím viac úsilia vynaložíte na prípravu na skúšky, tým vyššie bude vaše hodnotenie. Alebo čím viac vecí si so sebou na túru beriete, tým ťažšie je nosiť batoh. Tie. množstvo úsilia vynaloženého na prípravu na skúšky je priamo úmerné získaným známkam. A počet vecí zbalených v batohu je priamo úmerný jeho hmotnosti.

Obrátený pomer- ide o funkčnú závislosť, pri ktorej niekoľkonásobné zníženie alebo zvýšenie nezávislej veličiny (tzv. argument) spôsobí úmerné (t.j. rovnako dlho) zvýšenie alebo zníženie závislej veličiny (nazývanej funkcia).

Poďme na ilustráciu jednoduchý príklad... Chcete si kúpiť jablká na trhu. Jablká na pulte a množstvo peňazí vo vašej peňaženke sú v nepriamom pomere. Tie. čím viac jabĺk kúpiš, tým menej peňazí ti zostane.

Funkcia a jej graf

Funkciu inverznej úmernosti možno opísať ako y = k/x... V ktorom X≠ 0 a k≠ 0.

Táto funkcia má nasledujúce vlastnosti:

1. Jeho doménou je množina všetkých reálnych čísel okrem X = 0. D(r): (-∞; 0) U (0; + ∞).
2. Rozsah sú všetky reálne čísla okrem r= 0. E (y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nemá najvyššie a najnižšie hodnoty.
4. Je nepárny a jeho graf je symetrický podľa pôvodu.
5. Neperiodické.
6. Jeho graf nepretína súradnicové osi.
7. Nemá žiadne nuly.
8. Ak k> 0 (t. j. argument sa zvyšuje), funkcia klesá proporcionálne v každom jej intervale. Ak k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Ako argument ( k> 0) záporné hodnoty funkcie sú v intervale (-∞; 0) a kladné funkcie sú (0; + ∞). Ako argument ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graf funkcie inverznej úmernosti sa nazýva hyperbola. Znázornené takto:

Problémy s inverznou proporcionalitou

Aby to bolo jasnejšie, rozoberme si niekoľko úloh. Nie sú príliš zložité a ich riešenie vám pomôže predstaviť si, čo je to inverzná úmernosť a ako môžu byť tieto znalosti užitočné vo vašom každodennom živote.

Problém číslo 1. Auto sa pohybuje rýchlosťou 60 km/h. Do cieľa mu trvalo 6 hodín. Ako dlho bude trvať, kým prejde rovnakú vzdialenosť, ak sa bude pohybovať rýchlosťou 2-krát vyššou?

Môžeme začať napísaním vzorca, ktorý popisuje vzťah času, vzdialenosti a rýchlosti: t = S / V. Súhlasím, veľmi nám to pripomína funkciu nepriamej úmernosti. A naznačuje, že čas, ktorý auto strávi na ceste, a rýchlosť, ktorou sa pohybuje, sú v nepriamej úmere.

Aby sme si to overili, nájdime V 2, ktorý je 2-krát vyšší podľa podmienok: V 2 = 60 * 2 = 120 km/h. Potom vypočítame vzdialenosť pomocou vzorca S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Teraz je celkom jednoduché zistiť čas t 2, ktorý od nás požadujeme podľa zadania problému: t 2 = 360/120 = 3 hodiny.

Ako vidíte, čas jazdy a rýchlosť sú skutočne nepriamo úmerné: s rýchlosťou 2-krát vyššou oproti originálu auto strávi na ceste 2-krát menej času.

Riešenie tohto problému môže byť napísané aj vo forme proporcií. Prečo najprv zostavme nasledujúcu schému:

↓ 60 km/h - 6 h

↓ 120 km/h - x h

Šípky označujú nepriamo úmerné vzťahy. A tiež navrhujú, aby sa pri zostavovaní pomeru otočila pravá časť záznamu: 60/120 = x / 6. Odkiaľ dostaneme x = 60 * 6/120 = 3 hodiny.

Problém číslo 2. Dielňa zamestnáva 6 pracovníkov, ktorí zvládnu dané množstvo práce za 4 hodiny. Ak sa počet pracovníkov zníži na polovicu, ako dlho bude trvať, kým tí, ktorí zostanú, urobia rovnaké množstvo práce?

Do formulára napíšeme podmienky problému vizuálny diagram:

↓ 6 pracovníkov – 4 hodiny

↓ 3 pracovníci - x h

Zapíšme si to ako podiel: 6/3 = x / 4. A dostaneme x = 6 * 4/3 = 8 hodín Ak sa počet pracovníkov zníži 2-krát, zvyšok strávi 2-krát viac času vykonávaním všetkej práce.

Problém číslo 3. Do bazéna vedú dve potrubia. Cez jedno potrubie preteká voda rýchlosťou 2 l/sa naplní bazén za 45 minút. Ďalšie potrubie naplní bazén za 75 minút. Akou rýchlosťou vstupuje voda do bazéna cez toto potrubie?

Na začiatok nám prinesme všetky údaje podľa stavu problému hodnoty na rovnaké merné jednotky. K tomu vyjadrujeme rýchlosť plnenia bazéna v litroch za minútu: 2 l / s = 2 * 60 = 120 l / min.

Keďže z podmienky vyplýva, že bazén sa cez druhé potrubie napúšťa pomalšie, znamená to, že rýchlosť prítoku vody je nižšia. Inverzná úmernosť je evidentná. Neznámu rýchlosť vyjadríme pomocou x a zostavíme nasledujúcu schému:

↓ 120 l / min - 45 min

↓ x l / min - 75 min

A potom urobíme pomer: 120 / x = 75/45, odkiaľ x = 120 * 45/75 = 72 l / min.

V úlohe je rýchlosť napúšťania bazéna vyjadrená v litroch za sekundu, odpoveď, ktorú sme dostali, prinesieme do rovnakého tvaru: 72/60 = 1,2 l/s.

Problém číslo 4. Vizitky sa tlačia v malej súkromnej tlačiarni. Zamestnanec tlačiarne pracuje rýchlosťou 42 vizitiek za hodinu a pracuje na plný úväzok - 8 hodín. Keby pracoval rýchlejšie a za hodinu vytlačil 48 vizitiek, ako skoro by mohol ísť domov?

Postupujeme osvedčenou cestou a zostavíme diagram podľa stavu problému, pričom požadovanú hodnotu označíme ako x:

↓ 42 kariet / h - 8 h

↓ 48 kariet / h - x h

Máme pred sebou nepriamo úmerný vzťah: koľkokrát viac vizitiek vytlačí zamestnanec tlačiarne za hodinu, toľko času bude potrebovať na dokončenie tej istej úlohy. Keď to vieme, urobme pomer:

42/48 = x / 8, x = 42 * 8/48 = 7 h.

Po dokončení práce za 7 hodín by teda zamestnanec tlačiarne mohol ísť domov o hodinu skôr.

Záver

Zdá sa nám, že tieto úlohy sú obrátenej úmernosti naozaj nekomplikované. Dúfame, že ich takto teraz vidíte aj vy. A hlavné je, že poznatky o nepriamom úmernom vzťahu veličín sa vám naozaj môžu hodiť viackrát.

Nielen na hodinách matematiky a na skúškach. Ale aj vtedy, keď sa chystáte na výlet, nakupovať, rozhodnúť sa zarobiť si cez prázdniny atď.

Povedzte nám v komentároch, aké príklady inverznej a priamoúmernej závislosti si všimnete vo svojom okolí. Nech je to taká hra. Uvidíte, aké to bude vzrušujúce. Nezabudnite zdieľať tento článok v sociálnych sieťach aby sa mohli hrať aj vaši kamaráti a spolužiaci.

blog. s úplným alebo čiastočným skopírovaním materiálu, vyžaduje sa odkaz na zdroj.

I. Priamo úmerné hodnoty.

Nechajte hodnotu r závisí od hodnoty X... Ak pri zvyšovaní X niekoľkonásobne väčšie pri zvyšuje o rovnaký faktor, potom také hodnoty X a pri sa nazývajú priamo úmerné.

Príklady.

1 ... Množstvo zakúpeného tovaru a náklady na nákup (pri pevnej cene jednej jednotky tovaru - 1 kus alebo 1 kg atď.) Koľkokrát viac tovaru sa nakúpilo, koľkokrát viac zaplatilo.

2 ... Prejdená vzdialenosť a čas strávený na nej (pri konštantnej rýchlosti). Koľkokrát je cesta dlhšia, toľkokrát viac času strávite jej prechádzkou.

3 ... Objem telesa a jeho hmotnosť. ( Ak je jeden melón 2-krát väčší ako druhý, jeho hmotnosť bude 2-krát väčšia)

II. Vlastnosť priamej úmernosti hodnôt.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom sa pomer dvoch ľubovoľných hodnôt prvej veličiny rovná pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.

Cieľ 1 Na malinový džem sme vzali 12 kg maliny a 8 kg Sahara. Koľko cukru je potrebné, ak sa vezme 9 kg maliny?

Riešenie.

Uvažujeme takto: nech sa to vyžaduje x kg cukor na 9 kg maliny. Hmotnosť malín a hmotnosť cukru sú priamo úmerné hodnoty: koľkokrát menej ako maliny, toľkokrát menej cukru je potrebných. Preto pomer prijatých (hmotnostných) malín ( 12:9 ) sa bude rovnať pomeru prijatého cukru ( 8: x). Dostaneme pomer:

12: 9=8: X;

x = 9 · 8: 12;

x = 6. odpoveď: na 9 kg maliny treba brať 6 kg Sahara.

Riešenie problému mohlo to byť usporiadané takto:

Nechaj tak 9 kg maliny treba brať x kg Sahara.

(Šípky na obrázku sú nasmerované jedným smerom, ale nahor alebo nadol nezáleží. Význam: koľkokrát číslo 12 viac čísel 9 , rovnaký počet krát 8 viac čísel X, t.j. existuje priamy vzťah).

odpoveď: na 9 kg maliny treba brať 6 kg Sahara.

Cieľ 2 Auto pre 3 hodiny prešiel vzdialenosť 264 km... Ako dlho to trvá 440 km ak jazdí rovnakou rýchlosťou?

Riešenie.

Nechajte pre x hodín auto prejde vzdialenosť 440 km.

odpoveď: auto prejde 440 km za 5 hodín.

Pojem priamej úmernosti

Predstavte si, že si plánujete kúpiť svoje obľúbené čokolády (alebo čokoľvek, čo máte naozaj radi). Cukrík v obchode má svoju cenu. Povedzme 300 rubľov za kilogram. Čím viac sladkostí kúpite, tým viac peňazí zaplatiť. To znamená, že ak chcete 2 kilogramy - zaplaťte 600 rubľov a ak chcete 3 kilogramy - dajte 900 rubľov. Zdá sa, že toto je všetko jasné, však?

Ak áno, tak už je vám jasné, čo je priama úmernosť – ide o pojem, ktorý popisuje pomer dvoch na sebe závislých veličín. A pomer týchto hodnôt zostáva nezmenený a konštantný: o koľko častí sa jedna z nich zvýši alebo zníži, druhá sa proporcionálne zvýši alebo zníži o rovnaký počet častí.

Priamu úmernosť možno opísať nasledujúcim vzorcom: f (x) = a * x a a v tomto vzorci je konštanta (a = const). V našom príklade o cukríkoch je cena konštantná hodnota, konštanta. Nezvyšuje sa ani neznižuje, bez ohľadu na to, koľko sladkostí sa rozhodnete kúpiť. Vysvetľujúca premenná (argument) x je koľko kilogramov cukroviniek sa chystáte kúpiť. A závislá premenná f (x) (funkcia) vyjadruje, koľko peňazí nakoniec zaplatíte za svoj nákup. Takže môžeme dosadiť čísla vo vzorci a dostať: 600 r. = 300 p. * 2 kg.

Medzizáver je tento: ak argument rastie, funkcia sa tiež zvyšuje, ak argument klesá, funkcia tiež klesá

Funkcia a jej vlastnosti

Funkcia priamej úmernosti je špeciálny prípad lineárnej funkcie. Ak je lineárna funkcia y = k * x + b, potom pre priamu úmernosť to vyzerá takto: y = k * x, kde k sa nazýva koeficient úmernosti a je to vždy nenulové číslo. Je ľahké vypočítať k - nachádza sa ako podiel funkcie a argumentu: k = y / x.

Aby to bolo jasnejšie, uveďme si ďalší príklad. Predstavte si, že sa auto pohybuje z bodu A do bodu B. Jeho rýchlosť je 60 km/h. Ak predpokladáme, že rýchlosť pohybu zostáva konštantná, potom ju možno považovať za konštantnú. A potom zapíšeme podmienky v tvare: S = 60 * t, pričom tento vzorec je podobný funkcii priamej úmernosti y = k * x. Nakreslíme paralelu ďalej: ak k = y / x, potom je možné vypočítať rýchlosť auta, pričom poznáme vzdialenosť medzi A a B a čas strávený na ceste: V = S / t.

A teraz, z aplikovanej aplikácie poznatkov o priamej úmernosti, sa vráťme späť k jej funkcii. Medzi vlastnosti ktorých patrí:

doménou jeho definície je množina všetkých reálnych čísel (ako aj jej podmnožín);

funkcia je nepárna;

zmena premenných sa uskutočňuje priamoúmerne po celej dĺžke číselného radu.

Priama úmernosť a jej graf

Graf lineárnej proporcionálnej funkcie je priamka, ktorá pretína počiatočný bod. Na jej postavenie stačí označiť už len jeden bod navyše. A spojte to a pôvod linky.

V prípade grafu je k sklon. Ak svah menej ako nula(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a úsečka ostrý roh a funkcia sa zvyšuje.

A ešte jedna vlastnosť grafu funkcie priamej úmernosti priamo súvisí so sklonom k. Predpokladajme, že máme dve neidentické funkcie a teda dva grafy. Ak sú teda koeficienty týchto funkcií rovnaké, ich grafy sú umiestnené rovnobežne na súradnicovej osi. A ak sa koeficienty k navzájom nerovnajú, grafy sa pretínajú.

Príklady úloh

Teraz poďme vyriešiť pár úlohy v priamej úmere

Začnime jednoducho.

Úloha 1: Predstavte si, že 5 sliepok znesie 5 vajec za 5 dní. A ak je kurčiat 20, koľko vajec znesú za 20 dní?

Riešenie: Označme neznámu ako x. A budeme argumentovať takto: koľkokrát viac kurčiat sa stalo? Vydeľte 20 5 a zistite, že je to 4 krát. A koľkokrát viac vajec znesie 20 kurčiat za rovnakých 5 dní? Tiež 4 krát viac. Naše nash teda nájdeme takto: 5 * 4 * 4 = 80 vajec znesie 20 kurčiat za 20 dní.

Teraz je príklad trochu komplikovanejší, parafrázujme problém z Newtonovej „Všeobecnej aritmetiky“. Problém 2: Spisovateľ dokáže napísať 14 strán novej knihy za 8 dní. Ak by mal asistentov, koľko ľudí by bolo potrebných na napísanie 420 strán za 12 dní?

Riešenie: Tvrdíme, že počet ľudí (spisovateľ + asistenti) narastá s narastajúcim množstvom práce, ak by mala byť vykonaná za rovnaký čas. Ale koľkokrát? Vydelením 420 číslom 14 zistíme, že sa zvýši 30-krát. Ale keďže podľa stavu úlohy sa na prácu dáva viac času, počet asistentov sa nezvýši 30-krát, ale takto: x = 1 (spisovateľ) * 30 (krát): 12/8 ( dni). Transformujme sa a zistíme, že x = 20 ľudí napíše 420 strán za 12 dní.

Vyriešme ďalší problém podobný tým, ktoré sme mali v príkladoch.

Úloha 3: Dve autá sa vydali na rovnakú cestu. Jeden sa pohyboval rýchlosťou 70 km/h a za 2 hodiny prekonal rovnakú dráhu ako druhý za 7 hodín. Nájdite rýchlosť druhého auta.

Riešenie: Ako si pamätáte, dráha je určená z hľadiska rýchlosti a času - S = V * t. Keďže obe autá prešli tou istou dráhou, môžeme dať tieto dva výrazy rovnítkom: 70 * 2 = V * 7. Odkiaľ zistíme, že rýchlosť druhého auta je V = 70 * 2/7 = 20 km/h.

A ešte pár príkladov úloh s funkciami priamej úmernosti. Niekedy v problémoch je potrebné nájsť koeficient k.

Úloha 4: Vzhľadom na funkcie y = - x / 16 a y = 5x / 2 určte ich koeficienty úmernosti.

Riešenie: Pamätajte, k = y / x. To znamená, že pre prvú funkciu je koeficient -1/16 a pre druhú k = 5/2.

A môžete sa stretnúť aj s úlohou ako je Úloha 5: Zapíšte si vzorec pre priamu úmernosť. Jeho graf a graf funkcie y = -5x + 3 sú umiestnené paralelne.

Riešenie: Funkcia, ktorú dostaneme v podmienke, je lineárna. Vieme, že priama úmernosť je špeciálny prípad lineárnej funkcie. A tiež vieme, že ak sú koeficienty k funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné. To znamená, že stačí vypočítať koeficient známej funkcie a nastaviť priamu úmernosť podľa známeho vzorca: y = k * x. Koeficient k = -5, priama úmernosť: y = -5 * x.

Záver

Teraz ste sa dozvedeli (alebo si zapamätali, ak ste už túto tému prešli), ako sa volá priama úmernosť a preskúmal ho príklady... Hovorili sme aj o funkcii priamej úmernosti a jej grafe, riešili niekoľko problémov napr.

Ak sa tento článok ukázal ako užitočný a pomohol pochopiť tému, povedzte nám o tom v komentároch. Aby sme vedeli, či vám môžeme pomôcť.

blog. s úplným alebo čiastočným skopírovaním materiálu, vyžaduje sa odkaz na zdroj.