समय सीधे आनुपातिक है। प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिक निर्भरता

उदाहरण

आनुपातिकता कारक

आनुपातिक मात्राओं के अचर अनुपात को कहते हैं आनुपातिकता का गुणांक. आनुपातिकता गुणांक दर्शाता है कि एक मात्रा की कितनी इकाइयाँ दूसरी मात्रा की एक इकाई पर पड़ती हैं।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- कार्यात्मक निर्भरता, जिसमें कुछ मात्रा दूसरी मात्रा पर इस प्रकार निर्भर करती है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में, ये चर बदलते हैं अनुपात में, बराबर शेयरों में, अर्थात, यदि तर्क किसी भी दिशा में दो बार बदल गया है, तो फ़ंक्शन भी उसी दिशा में दो बार बदलता है।

गणितीय रूप से, प्रत्यक्ष आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

एफ(एक्स) = एएक्स,ए = सीहेएनएसटी

व्युत्क्रम आनुपातिकता

उलटा अनुपात- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें स्वतंत्र मूल्य (तर्क) में वृद्धि निर्भर मूल्य (फ़ंक्शन) में आनुपातिक कमी का कारण बनती है।

गणितीय रूप से, व्युत्क्रम आनुपातिकता को सूत्र के रूप में लिखा जाता है:

समारोह गुण:

सूत्रों का कहना है

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "प्रत्यक्ष आनुपातिकता" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- - [एएस गोल्डबर्ग। अंग्रेजी रूसी ऊर्जा शब्दकोश। 2006] विषय ऊर्जा सामान्य EN प्रत्यक्ष अनुपात में… तकनीकी अनुवादक की हैंडबुक

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- टाइजिओजिनिस प्रोपरसिंगुमास स्टेटस के रूप में टी sritis fizika atitikmenys: angl। प्रत्यक्ष आनुपातिकता वोक। डायरेक्ट आनुपातिकता, एफ रूस। प्रत्यक्ष आनुपातिकता, f pranc। आनुपातिक निर्देशन, f ... फ़िज़िकोस टर्मिनो odynas

- (अक्षांश से। आनुपातिक आनुपातिक, आनुपातिक)। आनुपातिकता। रूसी भाषा में शामिल विदेशी शब्दों का शब्दकोश। चुडिनोव ए.एन., 1910. आनुपातिकता otlat। आनुपातिक, आनुपातिक। आनुपातिकता। 25000 का स्पष्टीकरण …… रूसी भाषा के विदेशी शब्दों का शब्दकोश

आनुपातिकता, आनुपातिकता, pl। नहीं, महिला (पुस्तक)। 1. व्याकुलता संज्ञा आनुपातिक करने के लिए। भागों की आनुपातिकता। शरीर की आनुपातिकता। 2. मात्राओं के बीच ऐसा संबंध जब वे आनुपातिक होते हैं (आनुपातिक देखें ... शब्दकोषउशाकोव

दो परस्पर निर्भर मात्राओं को आनुपातिक कहा जाता है यदि उनके मूल्यों का अनुपात अपरिवर्तित रहता है .. सामग्री 1 उदाहरण 2 आनुपातिकता गुणांक ... विकिपीडिया

आनुपातिकता, और, पत्नियाँ। 1. आनुपातिक देखें। 2. गणित में: मात्राओं के बीच ऐसा संबंध, जब उनमें से एक में वृद्धि से दूसरे में समान मात्रा में परिवर्तन होता है। प्रत्यक्ष पी। (जब एक मूल्य में वृद्धि के साथ काटा जाता है ... ... Ozhegov . का व्याख्यात्मक शब्दकोश

और; कुंआ। 1. आनुपातिक (1 अंक); आनुपातिकता। पी भागों। पी काया। पी. संसद में प्रतिनिधित्व। 2. गणित। आनुपातिक रूप से बदलती मात्राओं के बीच निर्भरता। आनुपातिकता कारक। डायरेक्ट पी. (जिसमें ......... के साथ) विश्वकोश शब्दकोश

आज हम देखेंगे कि किन राशियों को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ कैसा दिखता है, और यह सब न केवल गणित के पाठों में, बल्कि स्कूल की दीवारों के बाहर भी आपके लिए कैसे उपयोगी हो सकता है।

ऐसे भिन्न अनुपात

समानतादो राशियों के नाम लिखिए जो परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विपरीत हो सकती है। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता का वर्णन करता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता- यह दो राशियों के बीच एक ऐसा संबंध है, जिसमें उनमें से एक में वृद्धि या कमी दूसरे में वृद्धि या कमी की ओर ले जाती है। वे। उनका रवैया नहीं बदलता।

उदाहरण के लिए, आप परीक्षा की तैयारी में जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या जितनी अधिक चीजें आप अपने साथ हाइक पर ले जाते हैं, उतना ही मुश्किल होता है कि आप अपना बैकपैक ले जाएं। वे। परीक्षा की तैयारी पर खर्च किए गए प्रयास की राशि सीधे प्राप्त ग्रेड के समानुपाती होती है। और बैकपैक में पैक की गई चीजों की संख्या सीधे उसके वजन के समानुपाती होती है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता- यह एक कार्यात्मक निर्भरता है, जिसमें एक स्वतंत्र मूल्य के कई गुना कमी या वृद्धि (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आनुपातिक (यानी, उसी राशि से) एक आश्रित मूल्य में वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे कहा जाता है a समारोह)।

उदाहरण देकर स्पष्ट करना सरल उदाहरण. आप बाजार में सेब खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत रूप से संबंधित हैं। वे। आप जितने अधिक सेब खरीदेंगे, आपके पास उतने ही कम पैसे बचे होंगे।

फलन और उसका ग्राफ

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है वाई = के / एक्स. जिसमें एक्स 0 और क≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा का क्षेत्र . को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है एक्स = 0. डी(आप): (-∞; 0) यू (0; +∞).
2. श्रेणी को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ होती हैं आप= 0. ई (वाई): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. इसका कोई अधिकतम या न्यूनतम मान नहीं है।
4. विषम है और इसका ग्राफ मूल के बारे में सममित है।
5. गैर-आवधिक।
6. इसका ग्राफ निर्देशांक अक्षों को नहीं काटता है।
7. कोई शून्य नहीं है।
8. यदि एक क> 0 (अर्थात तर्क बढ़ता है), फलन अपने प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। यदि एक क< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. जैसे-जैसे तर्क बढ़ता है ( क> 0) नकारात्मक मानफ़ंक्शन अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक - (0; +∞) हैं। जब तर्क कम हो रहा है ( क< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

प्रतिलोम आनुपातिकता फलन के ग्राफ को अतिपरवलय कहते हैं। इस प्रकार दर्शाया गया है:

व्युत्क्रम आनुपातिक समस्याएं

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ कार्यों को देखें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उनका समाधान आपको यह कल्पना करने में मदद करेगा कि उलटा अनुपात क्या है और यह ज्ञान आपके दैनिक जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

टास्क नंबर 1. कार 60 किमी/घंटा की रफ्तार से आगे बढ़ रही है। उसे अपने गंतव्य तक पहुंचने में 6 घंटे लगे। यदि वह दुगनी गति से चलता है तो उसे उतनी ही दूरी तय करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरू कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के संबंध का वर्णन करता है: टी = एस / वी। सहमत हूँ, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि कार सड़क पर जितना समय बिताती है, और जिस गति से चलती है, वह व्युत्क्रमानुपाती होती है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 खोजें, जो कि शर्त से 2 गुना अधिक है: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 किमी / घंटा। फिर हम सूत्र S = V * t = 60 * 6 = 360 किमी का उपयोग करके दूरी की गणना करते हैं। अब समस्या की स्थिति के अनुसार हमें जो समय t 2 की आवश्यकता है, उसका पता लगाना मुश्किल नहीं है: t 2 = 360/120 = 3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और गति वास्तव में व्युत्क्रमानुपाती हैं: मूल गति से 2 गुना अधिक गति के साथ, कार सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या का समाधान अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। हम इस तरह का आरेख क्यों बनाते हैं:

↓ 60 किमी/घंटा - 6 घंटे

↓120 किमी/घंटा - x घंटा

तीर एक व्युत्क्रम संबंध का संकेत देते हैं। और वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात बनाते समय, रिकॉर्ड के दाहिने हिस्से को पलटना चाहिए: 60/120 \u003d x / 6. हमें x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 घंटे कहाँ मिलते हैं।

टास्क नंबर 2. कार्यशाला में 6 कर्मचारी कार्यरत हैं जो 4 घंटे में दिए गए कार्य को पूरा करते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाए, तो शेष श्रमिकों को समान कार्य को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

हम समस्या की शर्तों को फॉर्म में लिखते हैं दृश्य योजना:

6 कर्मचारी - 4 घंटे

3 कार्यकर्ता - एक्स एच

आइए इसे अनुपात के रूप में लिखें: 6/3 = x/4। और हमें x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 घंटे मिलते हैं। यदि 2 गुना कम कर्मचारी हैं, तो बाकी सभी काम पूरा करने के लिए 2 गुना अधिक समय व्यतीत करेंगे।

टास्क नंबर 3. दो पाइप पूल की ओर ले जाते हैं। एक पाइप से पानी 2 l/s की दर से प्रवेश करता है और पूल को 45 मिनट में भर देता है। एक अन्य पाइप के माध्यम से, पूल 75 मिनट में भर जाएगा। इस पाइप से पानी कितनी तेजी से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, हम समस्या की स्थिति के अनुसार हमें दी गई सभी मात्राओं को माप की समान इकाइयों में लाएंगे। ऐसा करने के लिए, हम पूल की भरने की दर को लीटर प्रति मिनट में व्यक्त करते हैं: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / मिनट।

चूंकि यह इस शर्त से अनुसरण करता है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भर जाता है, इसका मतलब है कि पानी के प्रवाह की दर कम है। विपरीत अनुपात के चेहरे पर। आइए हम अज्ञात गति को x के रूप में व्यक्त करें और निम्नलिखित योजना बनाएं:

↓ 120 लीटर/मिनट - 45 मिनट

एक्स एल/मिनट - 75 मिनट

और फिर हम एक अनुपात बनाएंगे: 120 / x \u003d 75/45, जहां से x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / मिनट।

समस्या में, पूल की भरने की दर लीटर प्रति सेकंड में व्यक्त की जाती है, आइए अपने उत्तर को उसी रूप में लाएं: 72/60 = 1.2 l/s।

टास्क नंबर 4. बिजनेस कार्ड एक छोटे से निजी प्रिंटिंग हाउस में प्रिंट किए जाते हैं। प्रिंटिंग हाउस का एक कर्मचारी प्रति घंटे 42 बिजनेस कार्ड की गति से काम करता है और पूरे समय - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता और प्रति घंटे 48 बिजनेस कार्ड प्रिंट करता, तो वह कितनी जल्दी घर जा सकता था?

हम एक सिद्ध तरीके से जाते हैं और समस्या की स्थिति के अनुसार एक योजना तैयार करते हैं, वांछित मान को x के रूप में दर्शाते हैं:

↓ 42 बिजनेस कार्ड/एच – 8 घंटे

48 बिजनेस कार्ड/एच - xh

हमारे सामने एक व्युत्क्रमानुपाती संबंध है: एक प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी प्रति घंटे कितनी बार अधिक व्यवसाय कार्ड प्रिंट करता है, उसी कार्य को पूरा करने में उसे उतना ही समय लगेगा। यह जानने के बाद, हम अनुपात निर्धारित कर सकते हैं:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम पूरा करने के बाद, प्रिंटिंग हाउस का कर्मचारी एक घंटे पहले घर जा सकता था।

निष्कर्ष

हमें ऐसा लगता है कि ये कार्य हैं व्युत्क्रम आनुपातिकतावास्तव में जटिल। हम आशा करते हैं कि अब आप भी उन्हें ऐसा ही मानेंगे। और सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि मात्राओं की व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता का ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी हो सकता है।

सिर्फ गणित की कक्षाओं और परीक्षाओं में ही नहीं। लेकिन फिर भी, जब आप किसी यात्रा पर जाने वाले हों, खरीदारी करने जाएं, छुट्टियों के दौरान कुछ पैसे कमाने का फैसला करें, आदि।

टिप्पणियों में हमें बताएं कि आप अपने आस-पास व्युत्क्रम और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे एक खेल होने दो। आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस लेख को शेयर करना न भूलें सोशल नेटवर्कताकि आपके दोस्त और सहपाठी भी खेल सकें।

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I. सीधे आनुपातिक मूल्य।

मान दें आपआकार पर निर्भर करता है एक्स. यदि वृद्धि के साथ एक्सकई गुना आकार परएक ही कारक से बढ़ता है, तो ऐसे मूल्य एक्सऔर परसीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 . खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद की लागत (माल की एक इकाई की निश्चित कीमत पर - 1 टुकड़ा या 1 किलो, आदि) कितनी गुना ज्यादा माल खरीदा, कितनी गुना ज्यादा और भुगतान किया।

2 . तय की गई दूरी और उस पर बिताया गया समय (स्थिर गति से)। कितना गुना लंबा रास्ता हम उस पर और कितना समय बिताएंगे।

3 . एक पिंड का आयतन और उसका द्रव्यमान। ( अगर एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो इसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय. मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाना मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मानों के अनुपात के बराबर होता है।

कार्य 1।रास्पबेरी जैम के लिए 12 किलोरसभरी और 8 किलोसहारा। कितनी चीनी लेनी पड़ेगी 9 किग्रारसभरी?

फेसला।

हम इस तरह तर्क देते हैं: इसे आवश्यक होने दें एक्स किलोचीनी पर 9 किग्रारसभरी रास्पबेरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे आनुपातिक मूल्य हैं: कितनी बार कम रसभरी, उतनी ही कम चीनी की आवश्यकता होती है। इसलिए, लिया (वजन के अनुसार) रसभरी का अनुपात ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8:x) हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: एक्स;

एक्स = 9 · 8: 12;

एक्स = 6। जवाब:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

समस्या का समाधानइस तरह किया जा सकता था:

पर चलो 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए एक्स किलोसहारा।

(आकृति में तीर एक दिशा में निर्देशित हैं, और यह ऊपर या नीचे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: कितनी बार संख्या 12 अधिक संख्या 9 , वही संख्या 8 अधिक संख्या एक्स, यानी, यहाँ प्रत्यक्ष निर्भरता है)।

जवाब:पर 9 किग्रारास्पबेरी लेने के लिए 6 किलोसहारा।

कार्य 2.कार के लिए तीन घंटेयात्रा की दूरी 264 किमी. उसे कितना समय लगेगा 440 किमीअगर यह एक ही गति से यात्रा करता है?

फेसला।

चलो x घंटेकार दूरी तय करेगी 440 किमी.

जवाब:कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना कीजिए कि आप अपनी पसंदीदा कैंडी (या जो भी आपको वास्तव में पसंद है) खरीदने की सोच रहे हैं। दुकान में मिठाइयों की अपनी कीमत है। मान लीजिए 300 रूबल प्रति किलोग्राम। आप जितनी अधिक कैंडी खरीदेंगे, अधिक पैसेभुगतान करना। यही है, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं - 600 रूबल का भुगतान करें, और यदि आप 3 किलो चाहते हैं - 900 रूबल दें। इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, है ना?

यदि हाँ, तो अब आपके लिए यह स्पष्ट हो गया है कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता क्या है - यह एक अवधारणा है जो एक दूसरे पर निर्भर दो मात्राओं के अनुपात का वर्णन करती है। और इन राशियों का अनुपात अपरिवर्तित और स्थिर रहता है: उनमें से कितने भागों में से एक बढ़ता या घटता है, उसी संख्या में दूसरा भाग आनुपातिक रूप से बढ़ता या घटता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को निम्न सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है: f(x) = a*x, और इस सूत्र में a एक स्थिर मान (a = const) है। हमारे कैंडी उदाहरण में, कीमत स्थिर है, स्थिर है। यह बढ़ता या घटता नहीं है, चाहे आप कितनी भी मिठाई खरीदने का फैसला कर लें। स्वतंत्र चर (तर्क) x यह है कि आप कितने किलोग्राम मिठाई खरीदने जा रहे हैं। और आश्रित चर f(x) (फ़ंक्शन) यह है कि आप अपनी खरीदारी के लिए कितना पैसा चुकाते हैं। तो हम सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 आर। = 300 आर। * 2 किग्रा.

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो कार्य भी बढ़ता है, यदि तर्क घटता है, तो कार्य भी घटता है

कार्य और उसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यएक रैखिक कार्य का एक विशेष मामला है। यदि रैखिक फलन y = k*x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y = k*x, जहाँ k को आनुपातिकता कारक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। k की गणना करना आसान है - यह एक फ़ंक्शन और एक तर्क के भागफल के रूप में पाया जाता है: k = y/x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लेते हैं। कल्पना कीजिए कि एक कार बिंदु A से बिंदु B की ओर बढ़ रही है। इसकी गति 60 किमी/घंटा है। यदि हम यह मान लें कि गति की गति स्थिर रहती है, तो इसे अचर माना जा सकता है। और फिर हम शर्तों को फॉर्म में लिखते हैं: S \u003d 60 * t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन y \u003d k * x के समान है। आइए आगे एक समानांतर बनाएं: यदि k \u003d y / x, तो कार की गति की गणना की जा सकती है, A और B के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए गए समय को जानकर: V \u003d S / t।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के बारे में ज्ञान के लागू अनुप्रयोग से, आइए इसके कार्य पर वापस आते हैं। जिसके गुणों में शामिल हैं:

इसकी परिभाषा का क्षेत्र सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके उपसमुच्चय) का समुच्चय है;

समारोह विषम है;

चरों में परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के सीधे आनुपातिक होता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और उसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिक फलन का ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल बिंदु को काटती है। इसे बनाने के लिए, केवल एक और बिंदु को चिह्नित करना पर्याप्त है। और इसे और लाइन की उत्पत्ति को कनेक्ट करें।

ग्राफ के मामले में, k ढलान है। यदि ढाल शून्य से कम(क< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), ग्राफ और एक्स-अक्ष रूप तेज़ कोने, और समारोह बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ की एक और संपत्ति सीधे ढलान k से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो गैर-समान कार्य हैं और तदनुसार, दो ग्राफ़ हैं। इसलिए, यदि इन फलनों के गुणांक k समान हैं, तो उनके रेखांकन निर्देशांक अक्ष पर समानांतर होते हैं। और यदि गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं।

कार्य उदाहरण

आइए एक जोड़े का फैसला करें प्रत्यक्ष आनुपातिकता की समस्या

आइए सरल शुरू करें।

टास्क 1: कल्पना कीजिए कि 5 मुर्गियों ने 5 दिनों में 5 अंडे दिए। और यदि 20 मुर्गियाँ हों, तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगी?

हल: अज्ञात को x के रूप में निरूपित करें। और हम इस प्रकार तर्क देंगे: कितनी बार अधिक मुर्गियां हुई हैं? 20 को 5 से भाग दें और उसे 4 बार ज्ञात करें। और उसी 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ कितनी गुना अधिक अंडे देंगी? साथ ही 4 गुना ज्यादा। तो, हम अपना पाते हैं: 5 * 4 * 4 \u003d 20 दिनों में 20 मुर्गियों द्वारा 80 अंडे दिए जाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा और जटिल है, आइए न्यूटन के "सामान्य अंकगणित" से समस्या को दोबारा दोहराएं। टास्क 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई किताब के 14 पेज लिख सकता है। यदि उसके पास सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखने में कितने लोगों की आवश्यकता होती?

समाधान: हम तर्क देते हैं कि काम की मात्रा में वृद्धि के साथ लोगों (लेखक + सहायकों) की संख्या बढ़ जाती है यदि इसे उसी समय में किया जाना था। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से भाग देने पर हम पाते हैं कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूंकि, कार्य की स्थिति के अनुसार, कार्य के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या में 30 गुना वृद्धि नहीं होती है, लेकिन इस तरह: x \u003d 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 (दिन)। आइए रूपांतरित करें और पता करें कि x = 20 लोग 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखेंगे।

आइए एक और समस्या को हल करें जो हमारे उदाहरणों में थी।

टास्क 3: दो कारें एक ही यात्रा पर निकलीं। एक 70 किमी/घंटा की गति से आगे बढ़ रहा था और उतनी ही दूरी 2 घंटे में तय करता था, जितनी 7 घंटे में। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आपको याद है, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित होता है - एस = वी * टी। चूँकि दोनों कारों ने एक ही तरह से यात्रा की, हम दो भावों की बराबरी कर सकते हैं: 70*2 = V*7। हम कहाँ पाते हैं कि दूसरी कार की गति V = 70*2/7 = 20 किमी/घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यों के साथ कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं में गुणांक k ज्ञात करना आवश्यक होता है।

कार्य 4: कार्यों को देखते हुए y \u003d - x / 16 और y \u003d 5x / 2, उनके आनुपातिकता गुणांक निर्धारित करते हैं।

हल: जैसा कि आपको याद है, k = y/x. इसलिए, पहले फ़ंक्शन के लिए, गुणांक -1/16 है, और दूसरे के लिए, k = 5/2।

और हो सकता है कि आपको टास्क 5 जैसे कार्य का भी सामना करना पड़े: प्रत्यक्ष आनुपातिकता सूत्र लिखिए। इसका ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d -5x + 3 का ग्राफ समानांतर में स्थित हैं।

हल: शर्त में हमें जो फलन दिया गया है वह रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक फलन का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फलनों के गुणांक समान हों, तो उनके आलेख समानांतर होते हैं। इसका मतलब यह है कि एक ज्ञात फ़ंक्शन के गुणांक की गणना करना और परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करना आवश्यक है: y \u003d k * x। गुणांक k \u003d -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y \u003d -5 * x।

निष्कर्ष

अब आपने सीख लिया है (या याद किया है, यदि आप इस विषय को पहले ही कवर कर चुके हैं), जिसे कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इसे माना उदाहरण. हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन और इसके ग्राफ के बारे में भी बात की, उदाहरण के लिए कुछ समस्याओं को हल किया।

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