आनुपातिकता उदाहरण उलटा। आगे और पीछे आनुपातिकता

\u003e\u003e गणित: प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

  प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

रैखिक कार्यों के बीच y \u003d kx + m, केस जब m \u003d 0; इस मामले में फार्म y \u003d kx लेता है और इसे प्रत्यक्ष आनुपातिकता कहा जाता है। इस नाम को इस तथ्य से समझाया जाता है कि दो मात्राओं y और x को सीधे आनुपातिक कहा जाता है यदि उनका अनुपात एक विशिष्ट के बराबर है
शून्य के अलावा अन्य संख्या। यहाँ, इस संख्या k को आनुपातिक गुणांक कहा जाता है।

कई वास्तविक जीवन की स्थितियों को प्रत्यक्ष आनुपातिकता का उपयोग करके मॉडलिंग की जाती है।

उदाहरण के लिए, 20 किमी / घंटा की निरंतर गति से पथ s और समय टी निर्भरता s \u003d 20t से संबंधित हैं; यह प्रत्यक्ष आनुपातिकता है, k \u003d 20 के साथ।

एक और उदाहरण:

5 रूबल की कीमत पर y की लागत और ब्रेड के x रोटियों की संख्या। के लिए रोटी निर्भरता y \u003d 5x से संबंधित हैं; यह प्रत्यक्ष आनुपातिकता है, जहां k \u003d 5।

सबूत।   हम इसे दो चरणों में पूरा करते हैं।
1. you \u003d kx एक रैखिक कार्य का एक विशेष मामला है, और लाइन फ़ंक्शन ग्राफ एक सीधी रेखा है; हम इसे I से दर्शाते हैं।
2. युग्म x \u003d 0, y \u003d 0 समीकरण y - kx को संतुष्ट करता है, और इसलिए बिंदु (0; 0) समीकरण y \u003d kx, यानी लाइन I के ग्राफ से संबंधित है।

इसलिए, लाइन I मूल से गुजरती है। प्रमेय सिद्ध है।

हमें न केवल विश्लेषणात्मक मॉडल y \u003d kx से ज्यामितीय (प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ) पर ले जाने में सक्षम होना चाहिए, बल्कि ज्यामितीय से भी आदर्श   विश्लेषणात्मक के लिए। उदाहरण के लिए, समन्वय विमान xOy पर एक सीधी रेखा, चित्र 50 में दिखाया गया है। यह प्रत्यक्ष आनुपातिकता का एक ग्राफ है, आपको बस गुणांक k का मान ज्ञात करना होगा। Y के बाद से, यह लाइन पर किसी भी बिंदु को लेने के लिए पर्याप्त है और इस बिंदु के समन्वय के अनुपात को इसके अनुपस्थिति में ढूंढता है। बिंदु P (3; 6) से होकर गुजरती है, और इस बिंदु के लिए हमारे पास है: इसलिए, k \u003d 2, और इसलिए दी गई सीधी रेखा प्रत्यक्ष आनुपातिकता y \u003d 2x के ग्राफ के रूप में कार्य करती है।

इसके परिणामस्वरूप, रैखिक समारोह y \u003d kx + m की रिकॉर्डिंग में गुणांक k को कोणीय गुणांक भी कहा जाता है। यदि k\u003e 0 है, तो सीधी रेखा y \u003d kx + m x अक्ष की सकारात्मक दिशा के साथ एक तीव्र कोण बनाती है (चित्र 49, a), और यदि k।< О, - тупой угол (рис. 49, б).

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ए। वी। पोगोरेलोव, ग्रेड 7-11 के लिए ज्यामिति, शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक

प्रत्यक्ष आनुपातिकता की अवधारणा

कल्पना करें कि आप अपनी पसंदीदा मिठाई खरीदने के लिए योजना बना रहे हैं (या कुछ भी जो आपको वास्तव में पसंद है)। स्टोर में कैंडी की अपनी कीमत है। मान लीजिए कि प्रति किलोग्राम 300 रूबल। आप जितनी अधिक कैंडी खरीदते हैं, उतना अधिक पैसा देते हैं। यही है, यदि आप 2 किलोग्राम चाहते हैं - 600 पी का भुगतान करें, और 3 किलो चाहते हैं - 900 रूबल दें। लगता है सब कुछ इस के साथ स्पष्ट है, है ना?

यदि हां, तो अब आपके लिए यह स्पष्ट है कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक अवधारणा है जो दो मात्राओं के संबंध का वर्णन करती है जो एक दूसरे पर निर्भर करती हैं। और इन राशियों का अनुपात अपरिवर्तित और स्थिर रहता है: उनमें से एक भाग के कितने भाग बढ़ते या घटते हैं, उसी अनुपात से दूसरा अनुपात बढ़ता या घटता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता को इस सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है: f (x) \u003d a * x, और इस सूत्र में एक स्थिरांक (a \u003d a) है। मिठाई के बारे में हमारे उदाहरण में, कीमत एक स्थिर, एक स्थिर है। चाहे आप कितना कैंडी खरीदने का फैसला करें, यह बढ़े या न घटे। एक स्वतंत्र चर (तर्क) x- आप कितने किलोग्राम कैंडी खरीदने जा रहे हैं। और आश्रित चर f (x) (फ़ंक्शन) आपकी खरीद के लिए अंततः कितना पैसा है। तो हम सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं: 600 पी। \u003d 300 पी। * 2 किग्रा।

मध्यवर्ती निष्कर्ष यह है: यदि तर्क बढ़ता है, तो फ़ंक्शन होता है; यदि तर्क कम हो जाता है, तो फ़ंक्शन भी कम हो जाता है

कार्य और इसके गुण

प्रत्यक्ष आनुपातिकता कार्य एक रैखिक समारोह का एक विशेष मामला है। यदि रैखिक फ़ंक्शन y \u003d k * x + b है, तो प्रत्यक्ष आनुपातिकता के लिए यह इस तरह दिखता है: y \u003d k * x, जहां k को आनुपातिकता का गुणांक कहा जाता है, और यह हमेशा एक गैर-शून्य संख्या होती है। K की गणना करना आसान है - यह फ़ंक्शन और तर्क के भागफल के रूप में पाया जाता है: k \u003d y / x।

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए एक और उदाहरण लेते हैं। बिंदु A से बिंदु B पर जाने वाली कार की कल्पना करें। इसकी गति 60 किमी / घंटा है। यदि हम मानते हैं कि गति की गति स्थिर है, तो इसे स्थिर के रूप में लिया जा सकता है। और फिर हम फॉर्म में स्थितियां लिखते हैं: S \u003d 60 * t, और यह सूत्र प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन y \u003d * x के समान है। हम एक समानांतर आगे खींचते हैं: यदि k \u003d y / x, तो कार की गति को ए और बी के बीच की दूरी और सड़क पर बिताए समय के बारे में जानकर गणना की जा सकती है: वी \u003d एस / टी।

और अब, प्रत्यक्ष आनुपातिकता के ज्ञान के लागू किए गए आवेदन से, आइए हम इसके कार्य पर लौटते हैं। जिनमें से गुण शामिल हैं:

इसका दायरा सभी वास्तविक संख्याओं (साथ ही इसके सबसेट) का समुच्चय है;

कार्य विषम है;

चर का परिवर्तन संख्या रेखा की पूरी लंबाई के लिए सीधे आनुपातिक है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन का ग्राफ सीधी रेखा है जो मूल को अवरुद्ध करता है। इसे बनाने के लिए, बस एक और बिंदु को चिह्नित करें। और इसे और लाइन की उत्पत्ति कनेक्ट करें।

ग्राफ के मामले में, k ढलान है। यदि ढलान शून्य से कम है (के< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >   0), ग्राफ और एब्सिस्सा अक्ष एक तीव्र कोण बनाते हैं, और फ़ंक्शन बढ़ रहा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ की एक और संपत्ति सीधे कोणीय गुणांक कश्मीर से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास दो समान कार्य नहीं हैं और तदनुसार, दो रेखांकन हैं। इसलिए, यदि इन कार्यों के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ समानांतर में समन्वय अक्ष पर स्थित हैं। और अगर गुणांक k एक दूसरे के बराबर नहीं हैं, तो रेखांकन प्रतिच्छेद करते हैं।

कार्यों के उदाहरण

अब एक जोड़े का फैसला करें प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्य

चलो एक साधारण से शुरू करते हैं।

कार्य 1: कल्पना कीजिए कि 5 दिनों में 5 मुर्गियाँ 5 अंडे देती हैं। और अगर 20 मुर्गियाँ हैं, तो वे 20 दिनों में कितने अंडे देंगे?

समाधान: अज्ञात काक को अस्वीकार करें। और हम निम्नानुसार बहस करेंगे: कितनी बार अधिक मुर्गियाँ बन गई हैं? 20 को 5 से विभाजित करें और 4 बार पता करें। और कितने अंडे अधिक 5 दिनों में 20 मुर्गियाँ बिछाएंगे? साथ ही 4 गुना ज्यादा। तो, हम इस तरह से अपना पता लगाते हैं: 5 * 4 * 4 \u003d 80 अंडे 20 दिनों में 20 मुर्गियाँ बिछाएंगे।

अब उदाहरण थोड़ा और अधिक जटिल है, हम न्यूटन के यूनिवर्सल अंकगणित से समस्या को हल करते हैं। टास्क 2: एक लेखक 8 दिनों में एक नई पुस्तक के 14 पृष्ठों की रचना कर सकता है। यदि उनके पास सहायक होते, तो 12 दिनों में 420 पृष्ठों को लिखने में कितने लोग लगते?

समाधान: हम तर्क देते हैं कि लोगों की संख्या (लेखक + सहायक) काम की मात्रा में वृद्धि के साथ बढ़ती है अगर इसे उसी समय में किया जाना था। लेकिन कितनी बार? 420 को 14 से विभाजित करने पर, हमें पता चलता है कि यह 30 गुना बढ़ जाता है। लेकिन चूंकि, कार्य की स्थिति के अनुसार, काम करने के लिए अधिक समय दिया जाता है, सहायकों की संख्या में 30 गुना वृद्धि नहीं होती है, लेकिन इस तरह से: x \u003d 1 (लेखक) * 30 (बार): 12/8 (दिन)। हम रूपांतरण करते हैं और पता लगाते हैं कि x \u003d 20 लोग 12 दिनों में 420 पृष्ठ लिखेंगे।

हम उन समस्याओं के समान भी हल करेंगे जो हमारे पास उदाहरणों में थीं।

टास्क 3: दो कारें एक ही यात्रा पर गईं। एक ने 70 किमी / घंटा की गति से कदम रखा और 2 घंटे में उसी तरह यात्रा की जैसे 7 घंटे में करता है। दूसरी कार की गति ज्ञात कीजिए।

समाधान: जैसा कि आप याद करते हैं, पथ गति और समय के माध्यम से निर्धारित किया जाता है - एस \u003d वी * टी। चूंकि दोनों कारों ने एक ही किया था, हम दो भावों की बराबरी कर सकते हैं: 70 * 2 \u003d V * 7। हम कहां पाते हैं कि दूसरी कार की गति V \u003d 70 * 2/7 \u003d 20 किमी / घंटा है।

और प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यों के साथ कार्यों के कुछ और उदाहरण। कभी-कभी समस्याओं में गुणांक k खोजने की आवश्यकता होती है।

कार्य 4: कार्यों को देखते हुए y \u003d - x / 16 और y \u003d 5x / 2, उनके आनुपातिक गुणांक निर्धारित करते हैं।

समाधान: जैसा कि आप याद करते हैं, k \u003d y / x। तो, पहले फ़ंक्शन के लिए, गुणांक -1/16 है, और दूसरे के लिए, k \u003d 5/2।

और आप टास्क 5 की तरह एक कार्य भी कर सकते हैं: सीधे आनुपातिकता के लिए सूत्र लिखें। इसका ग्राफ और फ़ंक्शन y \u003d -5x + 3 का ग्राफ समानांतर में स्थित है।

समाधान: फ़ंक्शन जो हमें स्थिति में दिया गया है, रैखिक है। हम जानते हैं कि प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक कार्य का एक विशेष मामला है। और हम यह भी जानते हैं कि यदि k फ़ंक्शन के गुणांक समान हैं, तो उनके ग्राफ़ समानांतर हैं। तो, सभी आवश्यक है कि किसी ज्ञात फ़ंक्शन के गुणांक की गणना करें और परिचित सूत्र का उपयोग करके प्रत्यक्ष आनुपातिकता निर्धारित करें: y \u003d * x। गुणांक k \u003d -5, प्रत्यक्ष आनुपातिकता: y \u003d -5 * x।

निष्कर्ष

अब आपने सीखा है (या याद किया है कि क्या आपने पहले ही इस विषय को कवर किया है) क्या कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता, और इसकी समीक्षा की उदाहरण। हमने प्रत्यक्ष आनुपातिकता के कार्य और इसके ग्राफ के बारे में भी बात की, उदाहरण के लिए कई समस्याओं को हल किया।

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निर्भरता के प्रकार

बैटरी चार्ज करने पर विचार करें। पहली मात्रा के रूप में हम उस समय को लेते हैं जो इसे चार्ज करता है। दूसरा मूल्य वह समय है जो चार्ज करने के बाद काम करेगा। बैटरी चार्ज जितनी लंबी होगी, उतनी देर चलेगी। जब तक बैटरी पूरी तरह से चार्ज नहीं हो जाती तब तक यह प्रक्रिया जारी रहेगी।

जिस समय यह चार्ज होता है उस समय बैटरी जीवन की निर्भरता

टिप्पणी 1

यह निर्भरता कहलाती है सीधे:

एक मूल्य में वृद्धि के साथ, दूसरा भी बढ़ता है। एक मात्रा में कमी के साथ, दूसरी मात्रा भी घट जाती है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक छात्र जितनी अधिक पुस्तकें पढ़ता है, उतनी ही गलतियाँ वह एक श्रुतलेख में करता है। या आप पहाड़ों में जितना ऊपर जाएंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।

टिप्पणी 2

यह निर्भरता कहलाती है प्रतिक्रिया:

एक मूल्य में वृद्धि के साथ, दूसरा घटता है। एक मूल्य में कमी के साथ, दूसरा मूल्य बढ़ता है।

इस प्रकार, के मामले में प्रत्यक्ष निर्भरतादोनों मात्राएँ समान (दोनों में वृद्धि या कमी), और के मामले में बदल जाती हैं उलटा संबंध   - विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है या इसके विपरीत)।

  मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण

उदाहरण 1

किसी मित्र से मिलने का समय $ 20 $ है। $ 2 $ की गति (पहले मूल्य) में वृद्धि के साथ, हम पाते हैं कि समय (दूसरा मूल्य) कैसे बदल जाएगा, जो एक दोस्त के मार्ग पर खर्च किया जाएगा।

जाहिर है, समय $ 2 $ घट जाएगा।

टिप्पणी 3

यह निर्भरता कहलाती है सदृश:

एक मान कितने बार बदलेगा, तो कई बार दूसरा परिवर्तन होगा।

उदाहरण 2

स्टोर में $ 2 की रोटी के रोल के लिए आपको 80 रूबल का भुगतान करने की आवश्यकता है। यदि आपको $ 4 $ ब्रेड रोल खरीदने की ज़रूरत है (ब्रेड की मात्रा $ 2 $ गुना बढ़ जाती है), तो आपको कितनी बार भुगतान करना होगा?

जाहिर है, लागत भी $ 2 $ से बढ़ जाएगी। हमारे पास आनुपातिक निर्भरता का एक उदाहरण है।

दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया था। लेकिन ब्रेड रोल के साथ उदाहरण में, मान एक दिशा में बदलते हैं, इसलिए, निर्भरता है सीधे। और दोस्त के पास जाने के उदाहरण में, गति और समय के बीच का संबंध है उलटा। तो वहाँ है प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध   और विपरीत आनुपातिक संबंध.

  प्रत्यक्ष आनुपातिकता

$ 2 $ आनुपातिक मूल्यों पर विचार करें: रोटी की रोटियों की संख्या और उनका मूल्य। $ 2 $ रोटियों को $ 80 $ रूबल की लागत दें। $ 4 $ बार ($ 8 $ रोल) रोल की संख्या में वृद्धि के साथ, उनकी कुल लागत $ 320 $ रूबल होगी।

बन्स की संख्या का अनुपात: $ \\ frac (8) (2) \u003d $ 4।

बन लागत अनुपात: $ \\ frac (320) (80) \u003d $ 4।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संबंध एक-दूसरे के बराबर हैं:

$ \\ frac (8) (2) \u003d \\ frac (320) (80) $।

परिभाषा १

दो संबंधों की समानता को कहा जाता है अनुपात.

सीधे आनुपातिक निर्भरता के साथ, पहली और दूसरी मात्रा में परिवर्तन होने पर एक संबंध प्राप्त होता है:

$ \\ frac (A_2) (A_1) \u003d \\ frac (B_2) (B_1) $।

परिभाषा २

दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिकयदि, उनमें से किसी एक को बदलते (बढ़ते या घटते), तो दूसरी मात्रा भी बदलती है (क्रमशः बढ़ती या घटती है)।

उदाहरण 3

कार $ 2 $ एक घंटे के लिए $ 180 $ किमी चला गया। उस समय का पता लगाएं जिसमें वह समान गति $ 2 $ दूरी की यात्रा करेगा।

निर्णय.

समय सीधे दूरी के लिए आनुपातिक है:

$ t \u003d \\ frac (S) (v) $।

कितनी बार दूरी बढ़ेगी, एक स्थिर गति से, समय की संख्या बढ़ेगी:

$ \\ frac (2S) (v) \u003d 2t $;

$ \\ frac (3S) (v) \u003d 3t $।

कार $ 180 $ किमी चली - $ 2 $ एक घंटे के लिए

कार $ 180 \\ cdot 2 \u003d 360 $ किमी - $ x $ घंटे में यात्रा करेगी

कार जितनी अधिक दूरी तय करेगी, उतना ही अधिक समय लगेगा। नतीजतन, मात्राओं के बीच का संबंध सीधे आनुपातिक है।

हम अनुपात की रचना करते हैं:

$ \\ frac (180) (360) \u003d \\ frac (2) (x) $;

$ x \u003d \\ frac (360 \\ cdot 2) (180) $;

जवाब है: एक कार को $ 4 $ एक घंटे की आवश्यकता होगी।

  आनुपातिकता उलटा

परिभाषा ३

निर्णय.

समय गति के विपरीत आनुपातिक है:

$ t \u003d \\ frac (S) (v) $।

एक ही पथ के साथ गति कितनी बार बढ़ती है, समय कम हो जाता है:

$ \\ frac (S) (2v) \u003d \\ frac (t) (2) $;

$ \\ frac (S) (3v) \u003d \\ frac (t) (3) $।

हम एक तालिका के रूप में समस्या की स्थिति लिखते हैं:

कार $ 60 $ किमी - $ 6 $ घंटे के लिए चली गई

कार $ 120 $ किमी - $ x $ घंटे के लिए यात्रा करेगी

कार की गति जितनी अधिक होगी, उतना ही कम समय लगेगा। इसलिए, राशियों के बीच संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चलो एक अनुपात बनाते हैं।

क्योंकि आनुपातिकता व्युत्क्रम है, दूसरे अनुपात में उलटा है:

$ \\ frac (60) (120) \u003d \\ frac (x) (6) $;

$ x \u003d \\ frac (60 \\ cdot 6) (120) $;

जवाब है: एक कार को $ 3 $ एक घंटे की आवश्यकता होगी।

I. सीधे आनुपातिक मात्रा।

मात्रा दें y   मूल्य पर निर्भर करता है एक्स। अगर बढ़ रहा है एक्स   कई बार मूल्य पर   कई बार बढ़ जाती है, फिर ऐसी मात्रा एक्स   और   पर   सीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 । खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद मूल्य (माल की एक इकाई के निश्चित मूल्य के लिए - 1 इकाई या 1 किलो, आदि) कितनी बार और सामान खरीदा, तो कई गुना ज्यादा और चुकाया।

2 । की दूरी और उस पर बिताए समय (स्थिर गति से)।   पथ कितनी बार लंबा है, इसलिए इसे पारित करने के लिए कई बार अधिक समय खर्च किया जाएगा।

3 । किसी पिंड और उसके द्रव्यमान का आयतन। ( यदि एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो उसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय। मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मूल्यों के अनुपात के बराबर है।

टास्क 1   रास्पबेरी जाम के लिए ले लिया 12 किग्रा   रसभरी और 8 किलो   चीनी। अगर लिया जाए तो कितनी चीनी चाहिए 9 किलो   रसभरी?

निर्णय।

हम इस तरह से कारण देते हैं: इसकी आवश्यकता है   एक्स किलो   चीनी पर 9 किलो   रास्पबेरी। रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे आनुपातिक होते हैं: रास्पबेरी से कितनी बार कम, कितनी बार कम चीनी की आवश्यकता होती है। नतीजतन, लिया गया अनुपात (वजन से) रसभरी ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8: एक्स)। हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: x;

x \u003d 9 · 8: 12;

x \u003d 6। उत्तर है:   पर 9 किलो   रसभरी लेने की जरूरत है 6 किलो   चीनी।

समस्या हल करना   निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:

पर चलो 9 किलो   रसभरी लेने की जरूरत है एक्स किलो   चीनी।

(चित्रा में तीर एक दिशा में, और ऊपर या नीचे निर्देशित हैं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: संख्या कितनी बार 12   अधिक संख्या 9 समय की एक ही संख्या 8   अधिक संख्या एक्स, यानी, एक सीधा रिश्ता है)।

उत्तर है:   पर 9 किलो   रसभरी लेनी चाहिए 6 किलो   चीनी।

टास्क २के लिए कार 3 घंटे   की दूरी तय की 264 किमी। कितना समय लगेगा 440 किमीअगर उसी गति से चलेगा?

निर्णय।

के लिए दें x घंटे   कार दूरी पर जाएगी 440 किमी।

उत्तर है:   कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी।

आज पाठ में हम अनुपात के साथ काम करना जारी रखेंगे, या इससे परिचित होंगे सीधे   और व्युत्क्रमानुपाती निर्भरताएँ .

कार्य

5 किलो चेरी से 3 किलो चीनी की आवश्यकता होती है, तो 2 किलो जामुन के नुस्खे के लिए चीनी का कितना उपयोग करना चाहिए?

निर्णय:

समाधान से पता चलता है कि कितनी बार चेरी हैं, कई बार अधिक चीनी.

उसी समस्या से हल किया जा सकता है अनुपात । आइए संक्षेप में तालिका के रूप में समस्या की स्थिति को लिखें, अज्ञात चीनी द्रव्यमान को पत्र के रूप में नामित करें एक्स । देखिए, हमारे पास एक स्तंभ है जहाँ हम जामुन के द्रव्यमान को रिकॉर्ड करेंगे, और एक स्तंभ जहाँ हम जामुन के द्रव्यमान पर चीनी के संगत द्रव्यमान को इंगित करेंगे। तो, समस्या की स्थितियों के अनुसार, यह ज्ञात है कि 2 किलो जामुन के लिए नुस्खा के अनुसार आपको 3 किलो चीनी की आवश्यकता होती है। हमें यह पता लगाने की जरूरत है कि प्रति 5 किलो जामुन में कितने किलो चीनी की जरूरत है।

जामुन के द्रव्यमान और चीनी के द्रव्यमान के बीच यह संबंध पारंपरिक रूप से तालिका में दर्शाया गया है समान रूप से निर्देशित तीर। उनकी दिशा इंगित करती है कि यदि पहला मान बढ़ता है (ऊपर तीर), तो दूसरा भी बढ़ता है (ऊपर तीर)।

कार्य

लगातार गति से आगे बढ़ रहे साइकिल चालक ने 20 मिनट में 10 किमी की यात्रा की। 50 मिनट में साइकिल चालक को क्या रास्ता लगता है?

निर्णय: स्पष्टता के लिए, हम एक तालिका के रूप में समस्या की स्थिति को संक्षेप में लिखते हैं।

स्पष्ट है कि रास्ता कई गुना बढ़ जाएगा, समय कितनी बार बढ़ेगा। तीर लगाइए एक दिशा में.

मान जैसे जाम के लिए जामुन का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान, समय और दूरी इस समय एक निरंतर गति से यात्रा की, आदि। कहा जाता है सीधे आनुपातिक .

परिभाषा

दो मात्राओं को सीधे आनुपातिक कहा जाता है यदि, जब उनमें से एक कई बार बढ़ जाती है (घट जाती है), उसी राशि से अन्य बढ़ जाती है (घट जाती है) .

कार्य

कार ने 60 किमी / घंटा की गति से 3 घंटे चलाए। 90 किमी / घंटा की गति से यात्रा करने पर समान दूरी तय करने में कितना समय लगता है?

निर्णय:

समाधान से पता चलता है कि कार की गति कितनी बार अधिक है, कई बार एक ही रास्ते पर कम समय बिताया जाता है.

हम उसी समस्या को अनुपात की मदद से हल करेंगे। हम संक्षेप में तालिका में समस्या की स्थिति लिखते हैं। के लिए एक्स   हमारे लिए अज्ञात समय को निरूपित करें।

स्पष्ट है कि कार की गति जितनी अधिक होगी, कम समय के लिए उसे इसी रास्ते को पार करने की आवश्यकता होगी। यात्रा पथ पर बिताए गति और समय के बीच इस तरह के संबंध को पारंपरिक रूप से तालिका में दर्शाया गया है विपरीत रूप से निर्देशित तीर। उनकी दिशा इंगित करती है कि यदि पहला मान बढ़ता है (ऊपर तीर), तो दूसरा घट जाता है (नीचे तीर)। चलो एक अनुपात बनाते हैं। क्योंकि तीर विभिन्न दिशाओं में इंगित कर रहे हैं, फिर हम दूसरे संबंध को उलट देते हैं।

कार्य

5 कर्मचारियों ने 132 घंटों में आदेश पूरा किया। 12 श्रमिक एक ही आदेश को कब तक पूरा कर पाएंगे?

निर्णय:

स्पष्ट है कि अधिक कार्यकर्ता शामिल, तेजी से आदेश पूरा हो गया है। तो, विपरीत दिशा में तीर लगाओ। हम अनुपात की रचना करते हैं:

इस तरह की मात्रा कार की गति और उस समय के दौरान जब वह एक निश्चित पथ, कर्मचारियों की संख्या और उस समय के दौरान यात्रा करेगी, जिस समय वे ऑर्डर पूरा करते हैं, आदि। कहा जाता है विपरीत आनुपातिक .

परिभाषा

दो मात्राओं को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है यदि, जब उनमें से एक कई बार बढ़ जाती है (घट जाती है), तो उसी राशि से अन्य घट जाती है (बढ़ जाती है) .

सभी दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक या व्युत्क्रमानुपाती नहीं होती हैं।

उदाहरण के लिए व्यक्ति की उम्र और उसके जूते का आकार जुड़ा नहीं है आनुपातिक निर्भरता। राशियों के बीच एक रिश्ता है। जूते का आकार उम्र के साथ बढ़ता है, लेकिन उसी राशि से नहीं।

पेड़ की उम्र और उसकी ऊंचाई जुड़ा नहीं है   आनुपातिक निर्भरता। इस मामले में, मात्राओं के बीच एक संबंध है। दरअसल, पेड़ की ऊंचाई उम्र के साथ बढ़ती है, लेकिन उसी मात्रा से नहीं।