Príklady inverznej proporcionality. Priama a inverzná proporcionalita

>> Matematika: Priama proporcionalita a jej graf

Priama úmernosť a jej graf

Medzi lineárnymi funkciami y = kx + m je prípad obzvlášť rozlíšený, keď m = 0; v tomto prípade má tvar y = kx a nazýva sa to priama úmernosť. Tento názov je vysvetlený skutočnosťou, že dve veličiny y a x sa nazývajú priamo úmerné, ak je ich pomer rovný určitému
číslo iné ako nula. Tu sa tomuto číslu k hovorí pomer strán.

Mnoho situácií zo skutočného života je modelovaných pomocou priamej proporcionality.

Napríklad dráha s a čas t pri konštantnej rýchlosti 20 km / h súvisia so vzťahom s = 20t; toto je priama úmernosť a k = 20.

Ďalší príklad:

náklady na y a počet x bochníkov chleba za cenu 5 rubľov. na bochník sú spojené závislosťou y ​​= 5x; toto je priama úmernosť, kde k = 5.

Dôkaz. Urobme to v dvoch fázach.
1. y = kx je špeciálny prípad lineárnej funkcie a graf lineárnej funkcie je priamka; označujeme I.
2. Dvojica x = 0, y = 0 vyhovuje rovnici y - kx, a preto bod (0; 0) patrí do grafu rovnice y = kx, to znamená priamka I.

V dôsledku toho čiara I prechádza počiatkom. Veta je dokázaná.

Človek musí byť schopný prejsť nielen z analytického modelu y = kx na geometrický (graf priamej úmernosti), ale aj z geometrického. Model na analytické. Uvažujme napríklad o priamke súradnicová rovinaхОу, znázornené na obrázku 50. Je to graf priamej úmernosti, stačí nájsť hodnotu koeficientu k. Pretože y, stačí vziať akýkoľvek bod na priamke a nájsť pomer súradnice tohto bodu k jeho osi x. Rovnica prechádza bodom P (3; 6) a pre tento bod máme: Preto k = 2, a preto daná priamka slúži ako graf priamej úmernosti y = 2x.

V dôsledku toho sa koeficient k pri zaznamenávaní lineárnej funkcie y = kx + m nazýva aj sklon. Ak k> 0, potom sa rovná čiara y = kx + m tvorí s kladným smerom osi x ostrý roh(Obr. 49, a), a ak k< О, - тупой угол (рис. 49, б).

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video z matematiky online, Matematika v škole sťahovanie

A. V. Pogorelov, Geometria pre ročníky 7-11, Učebnica pre vzdelávacie inštitúcie

Pojem priamej proporcionality

Predstavte si, že plánujete kúpiť svoje obľúbené čokolády (alebo čokoľvek, čo máte skutočne radi). Čokolády v obchode majú svoje vlastné ceny. Povedzme 300 rubľov za kilogram. Čím viac čokolády kúpite, tým viac peňazí zaplatiť. To znamená, že ak chcete 2 kilogramy, zaplatte 600 rubľov, a ak chcete 3 kilogramy, dajte 900 rubľov. Zdá sa, že je to všetko jasné, nie?

Ak je to tak, potom je vám teraz jasné, čo je to priama úmernosť - toto je koncept, ktorý popisuje pomer dvoch veličín v závislosti od seba. A pomer týchto veličín zostáva nezmenený a konštantný: o koľko častí sa jedna z nich zvyšuje alebo znižuje, druhá sa zvyšuje alebo znižuje proporcionálne o rovnaký počet dielov.

Priamu úmernosť je možné popísať nasledujúcim vzorcom: f (x) = a * x, a a v tomto vzorci je konštanta (a = konštanta). V našom prípade o cukríkoch je cena konštantná hodnota, konštanta. Nezvyšuje sa ani neklesá, bez ohľadu na to, koľko sladkostí sa rozhodnete kúpiť. Vysvetľujúca premenná (argument) x je, koľko kilogramov cukríkov sa chystáte kúpiť. A závislá premenná f (x) (funkcia) je, koľko peňazí nakoniec zaplatíte za nákup. Vo vzorci teda môžeme nahradiť čísla a získať: 600 p. = 300 s. * 2 kg.

Priebežný záver je nasledujúci: ak sa argument zvyšuje, funkcia sa tiež zvyšuje, ak argument klesá, funkcia tiež klesá

Funkcia a jej vlastnosti

Funkcia priamej proporcionality je špeciálny prípad lineárnej funkcie. Ak je lineárna funkcia y = k * x + b, potom to pre priamu úmernosť vyzerá takto: y = k * x, kde k sa nazýva koeficient proporcionality a vždy ide o nenulové číslo. Je ľahké vypočítať k - nachádza sa ako podiel funkcie a argumentu: k = y / x.

Aby to bolo jasnejšie, vezmime si ďalší príklad. Predstavte si, že by sa auto pohybovalo z bodu A do bodu B. Jeho rýchlosť je 60 km / h. Ak predpokladáme, že rýchlosť pohybu zostáva konštantná, potom to možno považovať za konštantu. A potom napíšeme podmienky vo forme: S = 60 * t, a tento vzorec je podobný funkcii priamej úmernosti y = k * x. Nakreslime rovnobežku ďalej: ak k = y / x, potom je možné vypočítať rýchlosť auta so znalosťou vzdialenosti medzi A a B a času stráveného na ceste: V = S / t.

A teraz, z aplikovanej aplikácie znalostí o priamej úmernosti, vráťme sa späť k jej funkcii. Medzi ich vlastnosti patrí:

doménou jeho definície je množina všetkých reálnych čísel (ako aj jej podmnožín);

funkcia je nepárna;

zmena premenných sa vykonáva priamo úmerne po celej dĺžke číselného radu.

Priama úmernosť a jej graf

Graf lineárnej proporcionálnej funkcie je rovná čiara, ktorá pretína počiatočný bod. Na jeho vybudovanie stačí označiť iba jeden ďalší bod. A spojte to a pôvod riadku.

V prípade grafu je k sklon. Ak svah menej ako nula(k< 0), то угол между графиком функции прямой пропорциональности и осью абсцисс тупой, а функция убывающая. Если угловой коэффициент больше нуля (k >0), graf a os x znázorňujú ostrý uhol a funkcia sa zvyšuje.

A ešte jedna vlastnosť grafu funkcie priamej proporcionality priamo súvisí so sklonom k. Predpokladajme, že máme dve nie identické funkcie, a teda dva grafy. Ak sú teda koeficienty týchto funkcií rovnaké, ich grafy sú umiestnené rovnobežne na súradnicovej osi. A ak koeficienty k nie sú navzájom rovnaké, grafy sa pretnú.

Príklady úloh

Teraz vyriešime pár úlohy priamo úmerne

Začnime jednoducho.

Problém 1: Predstavte si, že 5 kurčiat znáša 5 vajíčok za 5 dní. A ak je 20 kurčiat, koľko vajíčok znesú za 20 dní?

Riešenie: Označme neznáme ako. A budeme argumentovať nasledovne: koľkokrát sa stalo viac kurčiat? Rozdeľte 20 na 5 a zistíte, že je to 4 krát. A koľkokrát viac vajec znesie 20 sliepok za rovnakých 5 dní? Tiež 4 krát viac. Náš nos teda nájdeme takto: 5 * 4 * 4 = 80 vajec znesie 20 sliepok za 20 dní.

Teraz je príklad trochu komplikovanejší, parafrázujme problém na Newtonovu „všeobecnú aritmetiku“. Problém 2: Spisovateľ môže napísať 14 strán novej knihy za 8 dní. Ak by mal asistentov, koľko ľudí by trvalo napísať 420 strán za 12 dní?

Riešenie: Tvrdíme, že počet ľudí (spisovateľ + asistenti) sa zvyšuje s nárastom množstva práce, ak by sa mala vykonať v rovnakom čase. Ale koľkokrát? Rozdelením 420 na 14 zistíme, že sa zvyšuje 30 -krát. Ale pretože podľa stavu úlohy je práci venovaných viac času, počet asistentov sa nezvyšuje o 30 -krát, ale takto: x = 1 (spisovateľ) * 30 (krát): 12/8 ( dni). Transformujme sa a zistíme, že x = 20 ľudí napíše 420 strán za 12 dní.

Vyriešme ďalší problém podobný problémom, ktoré sme mali v príkladoch.

Problém 3: Dve autá vyrazili na rovnakú cestu. Jeden sa pohyboval rýchlosťou 70 km / h a za 2 hodiny urobil rovnakú cestu ako druhý za 7 hodín. Nájdite rýchlosť druhého auta.

Riešenie: Ako si pamätáte, cesta je určená z hľadiska rýchlosti a času - S = V * t. Pretože obe autá cestovali rovnakou cestou, môžeme tieto dva výrazy stotožniť: 70 * 2 = V * 7. Odtiaľ zistíme, že rýchlosť druhého auta je V = 70 * 2/7 = 20 km / h.

A ešte niekoľko príkladov úloh s funkciami priamej proporcionality. Niekedy je pri problémoch potrebné nájsť koeficient k.

Problém 4: Vzhľadom na funkcie y = - x / 16 a y = 5x / 2 určte ich koeficienty proporcionality.

Riešenie: Nezabudnite, k = y / x. To znamená, že pre prvú funkciu je koeficient -1/16 a pre druhú k = 5/2.

A tiež sa môžete stretnúť s úlohou, ako je Úloha 5: Napíšte vzorec pre priamu úmernosť. Jeho graf a graf funkcie y = -5x + 3 sú umiestnené rovnobežne.

Riešenie: Funkcia, ktorá je nám daná v stave, je lineárna. Vieme, že priama proporcionalita je špeciálnym prípadom lineárnej funkcie. A tiež vieme, že ak sú koeficienty k funkcií rovnaké, ich grafy sú rovnobežné. To znamená, že všetko, čo je potrebné, je vypočítať koeficient známej funkcie a nastaviť priamu úmernosť podľa známeho vzorca: y = k * x. Koeficient k = -5, priama úmernosť: y = -5 * x.

Výkon

Teraz ste sa naučili (alebo si pamätáte, ak ste už túto tému absolvovali), ako sa nazýva priama úmera, a preskúmal to príklady... Hovorili sme tiež o funkcii priamej proporcionality a jej grafe, vyriešili sme napríklad niekoľko problémov.

Ak sa tento článok ukázal ako užitočný a pomohol pochopiť tému, povedzte nám o tom v komentároch. Aby sme vedeli, či by sme vám mohli prospieť.

stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.

Typy závislostí

Zvážte nabíjanie batérie. Ako prvú hodnotu berieme čas potrebný na nabitie. Druhá hodnota je doba, po ktorej bude fungovať po nabití. Čím dlhšie je batéria nabitá, tým dlhšie vydrží. Proces bude pokračovať, kým sa batéria úplne nenabije.

Závislosť životnosti batérie od času jej nabitia

Poznámka 1

Táto závislosť sa nazýva rovno:

S nárastom jednej hodnoty sa zvyšuje aj druhá. Ako klesá jedna hodnota, klesá aj druhá.

Pozrime sa na ďalší príklad.

Čím viac kníh študent číta, tým viac menej chýb bude robiť v diktáte. Alebo čím vyššie stúpate do hôr, tým nižší bude atmosférický tlak.

Poznámka 2

Táto závislosť sa nazýva obrátiť:

S nárastom jednej hodnoty druhá klesá. Ako jedna hodnota klesá, druhá sa zvyšuje.

Teda v prípade priama závislosť obe veličiny sa menia rovnakým spôsobom (buď sa zvyšujú, alebo znižujú), a v prípade inverzný vzťah - opak (jeden sa zvyšuje a druhý klesá, alebo naopak).

Stanovenie závislostí medzi veličinami

Príklad 1

Čas na návštevu priateľa je 20 minút. So zvýšením rýchlosti (prvá hodnota) o 2 doláre dvakrát zistíme, ako sa zmení čas (druhá hodnota), ktorý strávite na ceste k priateľovi.

Je zrejmé, že čas sa zníži o 2 doláre $ krát.

Poznámka 3

Táto závislosť sa nazýva proporcionálne:

Koľkokrát sa zmení jedna hodnota, druhá sa zmení toľkokrát.

Príklad 2

Za 2 doláre za bochník chleba v obchode musíte zaplatiť 80 rubľov. Ak potrebujete kúpiť bochníky chleba za 4 doláre (množstvo chleba sa zvýši o 2 doláre za krát), koľkokrát budete musieť zaplatiť viac?

Očividne sa náklady zvýšia aj o 2 doláre za krát. Máme príklad proporcionálny vzťah.

V oboch prípadoch sa uvažovalo o proporcionálnych vzťahoch. Ale v príklade s bochníkmi chleba sa hodnoty menia v jednom smere, preto je závislosť rovno... A v príklade s výletom k priateľovi vzťah medzi rýchlosťou a časom - obrátiť... Takže existuje priamo úmerný vzťah a nepriamo proporcionálny vzťah.

Priama úmernosť

Zvážte proporcionálne množstvá $ 2 $: počet bochníkov chleba a ich cena. Nechajte 2 bochníky chleba stáť 80 dolárov rubľov. S nárastom počtu žemlí o 4 doláre $ (8 $ buchty) ich Celkové náklady bude 320 rubľov.

Pomer počtu žemlí: $ \ frac (8) (2) = 4 $.

Pomer hodnoty bochníka: $ \ frac (320) (80) = 4 doláre.

Ako vidíte, tieto vzťahy sú si navzájom podobné:

$ \ frac (8) (2) = \ frac (320) (80) $.

Definícia 1

Rovnosť dvoch vzťahov sa nazýva pomer.

S priamo úmerným vzťahom sa pomer získa, keď sa zmena prvého a druhého množstva zhoduje:

$ \ frac (A_2) (A_1) = \ frac (B_2) (B_1) $.

Definícia 2

Tieto dve veličiny sa nazývajú priamo úmerné ak sa pri zmene (zvýšení alebo znížení) jedného z nich zmení druhá hodnota (zvýši sa alebo zníži) o rovnakú hodnotu.

Príklad 3

Auto prešlo 180 dolárov za kilometer za 2 doláre za hodinu. Nájdite čas, počas ktorého bude cestovať 2 doláre krát vzdialenosť rovnakou rýchlosťou.

Riešenie.

Čas je priamoúmerný vzdialenosti:

$ t = \ frac (S) (v) $.

Koľkokrát sa vzdialenosť zvýši pri konštantnej rýchlosti, rovnaký čas zvýši čas:

$ \ frac (2S) (v) = 2t $;

$ \ frac (3S) (v) = 3t $.

Auto cestovalo 180 dolárov $ km - 2 doláre za hodinu

Auto prejde 180 dolárov \ cdot 2 = 360 $ km - za $ x $ hodín

Ako väčšiu vzdialenosť auto prejde, tým viac času to bude trvať. V dôsledku toho je vzťah medzi veličinami priamo úmerný.

Urobme pomer:

$ \ frac (180) (360) = \ frac (2) (x) $;

$ x = \ frac (360 \ cdot 2) (180) $;

Odpoveď: auto bude trvať 4 doláre za hodinu.

Inverzný pomer

Definícia 3

Riešenie.

Čas je nepriamo úmerný rýchlosti:

$ t = \ frac (S) (v) $.

Koľkokrát sa rýchlosť zvyšuje, s rovnakou cestou, v rovnakom čase sa znižuje čas:

$ \ frac (S) (2v) = \ frac (t) (2) $;

$ \ frac (S) (3v) = \ frac (t) (3) $.

Poznamenajme si stav problému vo forme tabuľky:

Auto cestovalo 60 dolárov km - 6 dolárov za hodiny

Auto prejde 120 dolárov $ km - za $ x $ hodín

Čím vyššia je rýchlosť auta, tým menej času zaberie. V dôsledku toho je vzťah medzi veličinami nepriamo úmerný.

Urobme pomer.

Pretože proporcionalita je inverzná, druhý pomerný pomer je obrátený:

$ \ frac (60) (120) = \ frac (x) (6) $;

$ x = \ frac (60 \ cdot 6) (120) $;

Odpoveď: Auto bude potrebovať 3 doláre na hodinu.

I. Priamo úmerné hodnoty.

Nechajte hodnotu r závisí od hodnoty NS... Ak pri zvyšovaní NS niekoľkonásobok magnitúdy o zvyšuje o rovnaký faktor, potom také hodnoty NS a o sa nazývajú priamo proporcionálne.

Príklady.

1 ... Množstvo zakúpeného tovaru a náklady na nákup (pri fixnej ​​cene jednej jednotky tovaru - 1 kus alebo 1 kg atď.) Koľkokrát sa nakúpilo viac tovaru, koľkokrát sa zaplatilo.

2 ... Prejdená vzdialenosť a čas strávený na nej (pri konštantnej rýchlosti). Koľkokrát je cesta dlhšia, toľkokrát sa jej prejde viac času.

3 ... Objem tela a jeho hmotnosť. ( Ak je jeden vodný melón dvakrát väčší ako druhý, jeho hmotnosť bude dvakrát väčšia)

II. Vlastnosť priamej úmernosti hodnôt.

Ak sú dve veličiny priamo úmerné, potom je pomer dvoch ľubovoľných hodnôt prvej veličiny rovný pomeru dvoch zodpovedajúcich hodnôt druhej veličiny.

Cieľ 1. Na malinový džem sme vzali 12 kg maliny a 8 kg Sahara. Koľko cukru je potrebné, ak je prijaté 9 kg maliny?

Riešenie.

Uvažujeme takto: nech je to požadované x kg cukor na 9 kg maliny. Hmotnosť malín a hmotnosť cukru sú priamo úmerné hodnoty: koľkokrát menej ako maliny je potrebné rovnaké množstvo cukru. Preto je pomer prijatých (hmotnostných) malín ( 12:9 ) sa bude rovnať pomeru prijatého cukru ( 8: x). Získame pomer:

12: 9=8: NS;

x = 9 · 8: 12;

x = 6. Odpoveď: na 9 kg maliny je potrebné vziať 6 kg Sahara.

Riešenie problému mohlo to byť usporiadané takto:

Pustiť 9 kg maliny je potrebné vziať x kg Sahara.

(Šípky na obrázku sú nasmerované jedným smerom, ale hore alebo dole nezáleží. Význam: koľkokrát je číslo 12 viac čísel 9 , rovnaký počet opakovaní počtu 8 viac čísel NS, t.j. existuje priamy vzťah).

Odpoveď: na 9 kg vezmite maliny 6 kg Sahara.

Cieľ 2. Auto pre 3 hodiny odjazdil vzdialenosť 264 km... Ako dlho to trvá 440 km ak jazdí rovnakou rýchlosťou?

Riešenie.

Nechaj za x hodín auto prejde vzdialenosť 440 km.

Odpoveď: auto prejde 440 km za 5 hodín.