Stred kružnice opísanej okolo rovnoramenného lichobežníka. Lichobežník

Lichobežník je špeciálny prípad štvoruholníka, v ktorom je jeden pár strán rovnobežný. Pojem „lichobežník“ pochádza z gréckeho slova τράπεζα, čo znamená „stôl“, „stôl“. V tomto článku sa pozrieme na typy lichobežníka a jeho vlastnosti. Okrem toho prídeme na to, ako vypočítať jednotlivé prvky tohto Napríklad uhlopriečku rovnoramenného lichobežníka, stredovú čiaru, plochu atď. Materiál je prezentovaný v štýle elementárnej populárnej geometrie, teda v ľahko dostupnej forme .

Všeobecné informácie

Po prvé, poďme zistiť, čo je štvoruholník. Tento obrázok je špeciálny prípad mnohouholníka, ktorý obsahuje štyri strany a štyri vrcholy. Dva vrcholy štvoruholníka, ktoré nesusedia, sa nazývajú opačné. To isté možno povedať o dvoch nesusediacich stranách. Hlavné typy štvoruholníkov sú rovnobežník, obdĺžnik, kosoštvorec, štvorec, lichobežník a deltoid.

Vráťme sa teda k lichobežníkom. Ako sme už povedali, tento obrazec má dve rovnobežné strany. Nazývajú sa základne. Ďalšie dve (neparalelné) sú bočné strany. V materiáloch na skúšku a rôzne testy veľmi často môžete nájsť problémy súvisiace s lichobežníkmi, ktorých riešenie často vyžaduje, aby študent mal znalosti, ktoré nie sú uvedené v programe. Kurz školskej geometrie oboznamuje študentov s vlastnosťami uhlov a uhlopriečok, ako aj stredovej čiary rovnoramenný lichobežník. Ale okrem toho má spomínaný geometrický útvar aj iné črty. Ale o nich trochu neskôr...

Typy lichobežníka

Existuje mnoho typov tejto postavy. Najčastejšie je však zvyčajné zvážiť dva z nich - rovnoramenné a obdĺžnikové.

1. Obdĺžnikový lichobežník je obrazec, ktorého jedna zo strán je kolmá na základne. Jej dva uhly sa vždy rovnajú deväťdesiatim stupňom.

2. Rovnoramenný lichobežník je geometrický útvar, ktorého strany sú si navzájom rovné. To znamená, že uhly na základniach sú rovnaké aj v pároch.

Hlavné princípy metodiky štúdia vlastností lichobežníka

Hlavným princípom je využitie tzv. task approach. V skutočnosti nie je potrebné zavádzať nové vlastnosti tohto útvaru do teoretického kurzu geometrie. Môžu byť objavené a formulované v procese riešenia rôznych problémov (najlepšie systémových). Zároveň je veľmi dôležité, aby učiteľ vedel, aké úlohy je potrebné študentom v tom či onom čase zadať vzdelávací proces. Okrem toho môže byť každá vlastnosť lichobežníka reprezentovaná ako kľúčová úloha v systéme úloh.

Druhým princípom je takzvaná špirálová organizácia štúdia „pozoruhodných“ vlastností lichobežníka. To znamená návrat v procese učenia sa k jednotlivým znakom daného geometrického útvaru. Študenti si ich tak ľahšie zapamätajú. Napríklad vlastnosť štyroch bodov. Dá sa to dokázať tak pri štúdiu podobnosti, ako aj následným použitím vektorov. A ekvivalenciu trojuholníkov susediacich s bočnými stranami obrazca možno dokázať použitím nielen vlastností trojuholníkov s rovnakou výškou nakreslených na strany, ktoré ležia na rovnakej priamke, ale aj použitím vzorca S = 1/2( ab*sinα). Okrem toho môžete pracovať na vpísanom lichobežníku alebo pravouhlom trojuholníku na vpísanom lichobežníku atď.

Používanie „mimoškolských“ prvkov geometrického útvaru v obsahu školského kurzu je technológiou založenou na úlohách na ich výučbu. Neustále odvolávanie sa na študované vlastnosti pri preberaní iných tém umožňuje študentom získať hlbšie vedomosti o lichobežníku a zabezpečuje úspešnosť riešenia zadaných úloh. Začnime teda študovať túto nádhernú postavu.

Prvky a vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

Ako sme už uviedli, tento geometrický útvar má rovnaké strany. Je známa aj ako správny lichobežník. Prečo je taký pozoruhodný a prečo dostal také meno? Zvláštnosťou tohto obrázku je, že nielen strany a uhly na základniach sú rovnaké, ale aj uhlopriečky. Okrem toho súčet uhlov rovnoramenného lichobežníka je 360 ​​stupňov. Ale to nie je všetko! Zo všetkých známych lichobežníkov možno ako kruh označiť iba rovnoramenný. Je to spôsobené tým, že súčet opačných uhlov tohto obrázku sa rovná 180 stupňom a iba za tejto podmienky možno opísať kruh okolo štvoruholníka. Ďalšou vlastnosťou uvažovaného geometrického útvaru je, že vzdialenosť od vrcholu základne k priemetu opačného vrcholu na priamku, ktorá obsahuje túto základňu, sa bude rovnať stredovej čiare.

Teraz poďme zistiť, ako nájsť uhly rovnoramenného lichobežníka. Uvažujme o riešení tohto problému za predpokladu, že sú známe rozmery strán obrázku.

Riešenie

Typicky sa štvoruholník zvyčajne označuje písmenami A, B, C, D, kde BS a AD sú základne. V rovnoramennom lichobežníku sú strany rovnaké. Budeme predpokladať, že ich veľkosť sa rovná X a veľkosti základov sa rovnajú Y a Z (menšie a väčšie). Na vykonanie výpočtu je potrebné nakresliť výšku H z uhla B. Výsledkom je pravouhlý trojuholník ABN, kde AB je prepona a BN a AN sú nohy. Vypočítame veľkosť nohy AN: menšiu odčítame od väčšej základne a výsledok vydelíme 2. Zapíšeme ho vo forme vzorca: (Z-Y)/2 = F. Teraz vypočítame akút. uhla trojuholníka, použijeme funkciu cos. Dostaneme nasledujúci záznam: cos(β) = X/F. Teraz vypočítame uhol: β=arcos (X/F). Ďalej, keď poznáme jeden uhol, môžeme určiť druhý, preto vykonáme elementárnu aritmetickú operáciu: 180 - β. Všetky uhly sú definované.

Existuje druhé riešenie tohto problému. Najprv ju spustíme z rohu do výšky H. Vypočítame hodnotu nohy BN. Vieme, že druhá mocnina prepony pravouhlého trojuholníka sa rovná súčtu štvorcov nôh. Dostaneme: BN = √(X2-F2). Ďalej použijeme goniometrická funkcia tg. Výsledkom je: β = arctan (BN/F). Bol nájdený ostrý uhol. Ďalej ju definujeme podobne ako pri prvej metóde.

Vlastnosť uhlopriečok rovnoramenného lichobežníka

Najprv si napíšme štyri pravidlá. Ak sú uhlopriečky v rovnoramennom lichobežníku kolmé, potom:

Výška postavy sa bude rovnať súčtu základov vydelených dvoma;

Jeho výška a stredná čiara rovný;

Stred kruhu je bod, v ktorom ;

Ak je bočná strana rozdelená bodom dotyku na segmenty H a M, potom sa rovná odmocnina produkty týchto segmentov;

Štvoruholník, ktorý tvoria dotykové body, vrchol lichobežníka a stred vpísanej kružnice, je štvorec, ktorého strana sa rovná polomeru;

Plocha postavy sa rovná súčinu základov a súčinu polovice súčtu základov a jeho výšky.

Podobné lichobežníky

Táto téma je veľmi vhodná na štúdium vlastností tohto Napríklad uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky a tie, ktoré susedia so základňami, sú podobné a tie, ktoré susedia so stranami, majú rovnakú veľkosť. Toto tvrdenie možno nazvať vlastnosťou trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami. Prvá časť tohto tvrdenia je dokázaná znakom podobnosti v dvoch uhloch. Na dôkaz druhej časti je lepšie použiť metódu uvedenú nižšie.

Dôkaz vety

Akceptujeme, že obrazec ABSD (AD a BS sú základne lichobežníka) je rozdelený uhlopriečkami VD a AC. Ich priesečník je O. Získame štyri trojuholníky: AOS - na spodnej základni, BOS - na hornej základni, ABO a SOD po stranách. Trojuholníky SOD a BOS majú spoločnú výšku, ak segmenty BO a OD sú ich základňami. Zistili sme, že rozdiel medzi ich plochami (P) sa rovná rozdielu medzi týmito segmentmi: PBOS/PSOD = BO/OD = K. Preto PSOD = PBOS/K. Podobne trojuholníky BOS a AOB majú spoločnú výšku. Za ich základ berieme segmenty CO a OA. Dostaneme PBOS/PAOB = CO/OA = K a PAOB = PBOS/K. Z toho vyplýva, že PSOD = PAOB.

Na upevnenie učiva sa študentom odporúča nájsť súvislosť medzi plochami výsledných trojuholníkov, na ktoré je lichobežník rozdelený svojimi uhlopriečkami, riešením nasledujúcej úlohy. Je známe, že trojuholníky BOS a AOD majú rovnaké plochy, je potrebné nájsť oblasť lichobežníka. Keďže PSOD = PAOB, znamená to PABSD = PBOS+PAOD+2*PSOD. Z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD vyplýva, že BO/OD = √(PBOS/PAOD). Preto PBOS/PSOD = BO/OD = √(PBOS/PAOD). Dostaneme PSOD = √(PBOS*PAOD). Potom PABSD = PBOS+PAOD+2*√(PBOS*PAOD) = (√PBOS+√PAOD)2.

Vlastnosti podobnosti

Pokračovaním v rozvíjaní tejto témy je možné dokázať iné zaujímavé funkcie lichobežník. Pomocou podobnosti je teda možné dokázať vlastnosť segmentu, ktorý prechádza bodom tvoreným priesečníkom uhlopriečok tohto geometrického útvaru rovnobežne so základňami. Aby sme to urobili, vyriešme nasledujúci problém: musíme nájsť dĺžku úsečky RK, ktorá prechádza bodom O. Z podobnosti trojuholníkov AOD a BOS vyplýva, že AO/OS = AD/BS. Z podobnosti trojuholníkov AOP a ASB vyplýva, že AO/AC=RO/BS=AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=BS*BP/(BS+BP). Podobne z podobnosti trojuholníkov DOC a DBS vyplýva, že OK = BS*AD/(BS+AD). Odtiaľ dostaneme, že RO=OK a RK=2*BS*AD/(BS+AD). Segment prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok, rovnobežný so základňami a spájajúci dve bočné strany, je priesečníkom rozdelený na polovicu. Jeho dĺžka je harmonickým priemerom podstavcov postavy.

Uvažujme ďalšia kvalita lichobežník, ktorý sa nazýva štvorbodová vlastnosť. Priesečníky uhlopriečok (O), priesečník pokračovania strán (E), ako aj stredy základní (T a F) ležia vždy na tej istej priamke. To sa dá ľahko dokázať pomocou metódy podobnosti. Výsledné trojuholníky BES a AED sú podobné a v každom z nich mediány ET a EJ rozdeľujú vrcholový uhol E na rovnaké časti. Preto body E, T a F ležia na rovnakej priamke. Rovnakým spôsobom sa body T, O a Zh nachádzajú na rovnakej priamke.To všetko vyplýva z podobnosti trojuholníkov BOS a AOD. Z toho vyvodíme, že všetky štyri body - E, T, O a F - budú ležať na rovnakej priamke.

Pomocou podobných lichobežníkov môžete požiadať študentov, aby našli dĺžku segmentu (LS), ktorý rozdeľuje postavu na dve podobné. Tento segment musí byť rovnobežný so základňami. Keďže výsledné lichobežníky ALFD a LBSF sú podobné, potom BS/LF = LF/AD. Z toho vyplýva, že LF=√(BS*AD). Zistili sme, že úsečka rozdeľujúca lichobežník na dva podobné má dĺžku rovnajúcu sa geometrickému priemeru dĺžok podstav obrázku.

Zvážte nasledujúcu vlastnosť podobnosti. Je založená na segmente, ktorý rozdeľuje lichobežník na dve rovnaké postavy. Predpokladáme, že lichobežník ABSD je rozdelený segmentom EH na dva podobné. Z vrcholu B je vynechaná výška, ktorá je segmentom EN rozdelená na dve časti - B1 a B2. Získame: PABSD/2 = (BS+EN)*B1/2 = (AD+EN)*B2/2 a PABSD = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Ďalej zostavíme systém, ktorého prvá rovnica je (BS+EN)*B1 = (AD+EN)*B2 a druhá (BS+EN)*B1 = (BS+AD)*(B1+B2)/2. Z toho vyplýva, že B2/B1 = (BS+EN)/(AD+EN) a BS+EN = ((BS+AD)/2)*(1+B2/B1). Zistili sme, že dĺžka úsečky rozdeľujúcej lichobežník na dva rovnaké sa rovná strednej odmocnine dĺžok základní: √((BS2+AD2)/2).

Zistenia podobnosti

Dokázali sme teda, že:

1. Segment spájajúci stredy bočných strán lichobežníka je rovnobežný s AD a BS a rovná sa aritmetickému priemeru BS a AD (dĺžka základne lichobežníka).

2. Priamka prechádzajúca bodom O priesečníka uhlopriečok rovnobežných s AD a BS sa bude rovnať harmonickému priemeru čísel AD a BS (2*BS*AD/(BS+AD)).

3. Úsečka rozdeľujúca lichobežník na podobné má dĺžku geometrického priemeru báz BS a AD.

4. Prvok rozdeľujúci obrazec na dva rovnaké má dĺžku strednej odmocniny čísel AD a BS.

Na upevnenie materiálu a pochopenie spojenia medzi uvažovanými segmentmi ich študent potrebuje skonštruovať pre konkrétny lichobežník. Dokáže ľahko zobraziť strednú čiaru a segment, ktorý prechádza bodom O - priesečníkom uhlopriečok obrazca - rovnobežne so základňami. Kde sa však bude nachádzať tretí a štvrtý? Táto odpoveď privedie žiaka k objaveniu požadovaného vzťahu medzi priemernými hodnotami.

Segment spájajúci stredy uhlopriečok lichobežníka

Zvážte nasledujúcu vlastnosť tohto obrázku. Predpokladáme, že úsečka MH je rovnobežná so základňami a pretína uhlopriečky. Priesečníky nazvime Ш a Ш. Tento segment sa bude rovnať polovici rozdielu báz. Pozrime sa na to podrobnejšie. MS je stredná čiara trojuholníka ABS, rovná sa BS/2. MSH je stredná čiara trojuholníka ABD, rovná sa AD/2. Potom dostaneme, že ShShch = MSh-MSh, teda ShShch = AD/2-BS/2 = (AD+VS)/2.

Ťažisko

Pozrime sa, ako je tento prvok určený pre daný geometrický útvar. K tomu je potrebné predĺžiť základne v opačných smeroch. Čo to znamená? Spodnú základňu musíte pridať k hornej základni - v ľubovoľnom smere, napríklad vpravo. A spodnú predĺžime o dĺžku vrchnej doľava. Ďalej ich spojíme diagonálne. Priesečník tohto segmentu so stredovou čiarou obrázku je ťažisko lichobežníka.

Vpísané a ohraničené lichobežníky

Vymenujme vlastnosti takýchto postáv:

1. Lichobežník môže byť vpísaný do kruhu, len ak je rovnoramenný.

2. Lichobežník môže byť opísaný okolo kruhu za predpokladu, že súčet dĺžok ich základní sa rovná súčtu dĺžok strán.

Dôsledky incircle:

1. Výška opísaného lichobežníka sa vždy rovná dvom polomerom.

2. Strana opísaného lichobežníka sa pozoruje od stredu kruhu v pravom uhle.

Prvý dôsledok je zrejmý, ale na preukázanie druhého je potrebné preukázať, že uhol SOD je správny, čo v skutočnosti tiež nie je ťažké. Ale vedomosti tejto nehnuteľnosti vám umožní používať pri riešení úloh pravouhlý trojuholník.

Teraz špecifikujme tieto dôsledky pre rovnoramenný lichobežník vpísaný do kruhu. Zistili sme, že výška je geometrickým priemerom základov obrázku: H=2R=√(BS*AD). Pri nácviku základnej techniky riešenia úloh pre lichobežníky (princíp kreslenia dvoch výšok) musí žiak vyriešiť nasledujúcu úlohu. Predpokladáme, že BT je výška rovnoramennej postavy ABSD. Je potrebné nájsť segmenty AT a TD. Pomocou vyššie opísaného vzorca to nebude ťažké.

Teraz poďme zistiť, ako určiť polomer kruhu pomocou oblasti ohraničeného lichobežníka. Znížime výšku z vrcholu B na základňu AD. Keďže kruh je vpísaný do lichobežníka, potom BS+AD = 2AB alebo AB = (BS+AD)/2. Z trojuholníka ABN nájdeme sinα = BN/AB = 2*BN/(BS+AD). PABSD = (BS+BP)*BN/2, BN=2R. Dostaneme PABSD = (BS+BP)*R, z čoho vyplýva, že R = PABSD/(BS+BP).

Všetky vzorce pre stredovú čiaru lichobežníka

Teraz je čas prejsť na posledný prvok tohto geometrického útvaru. Poďme zistiť, čomu sa rovná stredná čiara lichobežníka (M):

1. Cez základy: M = (A+B)/2.

2. Cez výšku, základňu a rohy:

M = A-H*(ctga+ctgp)/2;

M = B+N*(ctga+ctgp)/2.

3. Cez výšku, uhlopriečky a uhol medzi nimi. Napríklad D1 a D2 sú uhlopriečky lichobežníka; α, β - uhly medzi nimi:

M = Dl*D2*sina/2N = Dl*D2*sinp/2N.

4. Priechodná plocha a výška: M = P/N.

Dobrý večer! Ach, tieto ohraničené alebo vpísané kruhy, geometrické obrazce. Je také ťažké nechať sa zmiasť. čo a kedy.

Skúsme na to prísť najskôr s formuláciou. Je nám daný kruh opísaný okolo . Inými slovami, tento lichobežník je vpísaný do kruhu.

Pamätajme, že môžeme opísať iba kruh okolo . Rovnoramenný lichobežník je zase lichobežník, ktorého strany sú rovnaké.

Skúsme problém vyriešiť. Vieme, že základne rovnoramenného lichobežníka ADCB sú 6 (DC) a 4 (AB). A polomer opísanej kružnice je 4. Musíte nájsť výšku lichobežníka FK.

FK je výška lichobežníka. Musíme to nájsť, ale predtým si pamätajte, že bod O je stredom kruhu. A OS, OD, OA, OB sú známe polomery.

V OFC poznáme preponu, čo je polomer kruhu, a nohu FC = polovica základne DC = 3 cm (keďže DF = FC).

Teraz nájdime OF:

A v pravouhlom trojuholníku OKB poznáme aj preponu, keďže toto je polomer kružnice. A KB sa rovná polovici AB; KB = 2 cm. A pomocou Pytagorovej vety vypočítame segment OK:

"SCHVÁLENÉ"

Vedúci samostatnej disciplíny

(matematika, informatika a IKT)

Yu. V. Krylová ______________

"___" ______________ 2015

« Trapéz a jeho vlastnosti»

Metodologický vývoj

učiteľ matematiky

Shatalina Elena Dmitrievna

Recenzované a

na zasadnutí PMO zo dňa _______________

Protokol č.______

Moskva

2015

Obsah

Úvod 2

Definície 3

Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka 4

Vpísané a opísané kruhy 7

Vlastnosti vpísaných a opísaných lichobežníkov 8

Priemerné hodnoty v lichobežníku 12

Vlastnosti ľubovoľného lichobežníka 15

Známky lichobežníka 18

Dodatočné konštrukcie v lichobežníku 20

Lichobežníková oblasť 25

10. Záver

Bibliografia

Aplikácia

Dôkazy o niektorých vlastnostiach lichobežníka 27

Úlohy na samostatnú prácu

Problémy na tému „lichobežník“ so zvýšenou zložitosťou

Skríningový test na tému „lichobežník“

Úvod

Táto práca je venovaná geometrickému útvaru nazývanému lichobežník. "Obyčajná postava," poviete, ale nie je to tak. Je opradený mnohými tajomstvami a záhadami, ak sa naň pozriete bližšie a budete ho ďalej študovať, objavíte veľa nových vecí vo svete geometrie, problémy, ktoré doteraz neboli vyriešené, sa vám budú zdať ľahké.

Lichobežník - grécke slovo trapéz - „stôl“. Požičiavanie v 18. storočí z lat. jazyk, kde trapéz je gréčtina. Je to štvoruholník, ktorého dve protiľahlé strany sú rovnobežné. S lichobežníkom sa prvýkrát stretol starogrécky vedec Posidonius (2. storočie pred Kristom). V našom živote je veľa rôznych postáv. V 7. ročníku sme sa bližšie zoznámili s trojuholníkom, v 8. ročníku sme podľa školských osnov začali študovať lichobežník. Tento údaj nás zaujal a v učebnici sa o ňom píše neprípustne málo. Preto sme sa rozhodli vziať túto záležitosť do našich rúk a nájsť informácie o lichobežníku. jeho vlastnosti.

Práca skúma vlastnosti známe žiakom z učiva preberaného v učebnici, ale väčšinou neznáme vlastnosti, ktoré sú potrebné pri riešení zložitých úloh. Ako väčšie množstvo riešených problémov, tým viac otázok vzniká pri ich riešení. Odpoveď na tieto otázky sa niekedy javí ako záhada, spoznávaním nových vlastností lichobežníka, neobvyklých metód riešenia úloh, ako aj techniky doplnkových konštrukcií postupne objavujeme tajomstvá lichobežníka. Na internete, ak to zadáte do vyhľadávača, je veľmi málo literatúry o metódach riešenia problémov na tému „lichobežník“. V procese práce na projekte sa našlo veľké množstvo informácií, ktoré študentom pomôžu pri hĺbkovom štúdiu geometrie.

Lichobežník.

Definície

Lichobežník – štvoruholník, v ktorom je len jeden pár strán rovnobežný (a druhý pár strán nie je rovnobežný).

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú dôvodov. Ďalšie dve sú strany .
Ak sú strany rovnaké, nazýva sa to lichobežník rovnoramenné

Lichobežník, ktorý má na svojich stranách pravé uhly, sa nazýva pravouhlý

Segment spájajúci stredy strán sa nazývastredová čiara lichobežníka.

Vzdialenosť medzi základňami sa nazýva výška lichobežníka.

2 . Vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

3. Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

4

1
0. Priemet bočnej strany rovnoramenného lichobežníka na väčšiu základňu sa rovná polovici rozdielu základní a priemet uhlopriečky sa rovná súčtu základní.

3. Vpísaná a opísaná kružnica

Ak sa súčet základov lichobežníka rovná súčtu strán, potom je možné do neho vpísať kruh.

E
Ak je lichobežník rovnoramenný, potom okolo neho možno opísať kruh.

4. Vlastnosti vpísaných a opísaných lichobežníkov

2.Ak je možné vpísať kruh do rovnoramenného lichobežníka, potom

súčet dĺžok podstav sa rovná súčtu dĺžok strán. Preto sa dĺžka strany rovná dĺžke stredovej čiary lichobežníka.

4 . Ak je kruh vpísaný do lichobežníka, strany od jeho stredu sú viditeľné pod uhlom 90°.

Ak je kruh vpísaný do lichobežníka a dotýka sa jednej zo strán, rozdeľuje ho na segmenty m a n , potom sa polomer vpísanej kružnice rovná geometrickému priemeru týchto segmentov.

1

0 . Ak je kruh postavený na menšej základni lichobežníka ako priemer, prechádza cez stredy uhlopriečok a dotýka sa spodnej základne, potom sú uhly lichobežníka 30°, 30°, 150°, 150°.

5. Priemerné hodnoty v lichobežníku

Geometrický priemer

V akomkoľvek lichobežníku so základňami a A b Pre a > bnerovnosť je pravdivá :

b ˂ h ˂ g ˂ m ˂ s ˂ a

6. Vlastnosti ľubovoľného lichobežníka

1
. Stredy uhlopriečok lichobežníka a stredy bočných strán ležia na rovnakej priamke.

Priesečník pokračovania strán ľubovoľného lichobežníka, priesečník jeho uhlopriečok a stredy základní ležia na tej istej priamke.

6. Súčet druhých mocnín uhlopriečok ľubovoľného lichobežníka sa rovná súčtu druhých mocnín bočných strán pripočítaných k dvojnásobku súčinu podstav.

d 1 2 + d 2 2 = c 2 + d 2 + 2 ab

7
. V pravouhlom lichobežníku sa rozdiel v štvorcoch uhlopriečok rovná rozdielu v štvorcoch základov d 1 2 - d 2 2 = a 2 – b 2

8 . Priame čiary pretínajúce strany uhla odrežú proporcionálne segmenty zo strán uhla.

9. Segment rovnobežný so základňami a prechádzajúci priesečníkom uhlopriečok je rozdelený na polovicu.

7. Známky lichobežníka

8. Dodatočné konštrukcie v lichobežníku

1. Segment spájajúci stredy strán je stredová čiara lichobežníka.

2
. Segment rovnobežný s jednou z bočných strán lichobežníka, ktorého jeden koniec sa zhoduje so stredom druhej bočnej strany, druhý patrí k priamke obsahujúcej základňu.

3
. Ak sú uvedené všetky strany lichobežníka, cez vrchol menšej základne sa nakreslí priamka rovnobežná so stranou. Výsledkom je trojuholník so stranami rovnými bočným stranám lichobežníka a rozdielom v základniach. Pomocou Heronovho vzorca nájdite plochu trojuholníka a potom výšku trojuholníka, ktorá sa rovná výške lichobežníka.

4

. Výška rovnoramenného lichobežníka, nakreslená od vrcholu menšej základne, rozdeľuje väčšiu základňu na segmenty, z ktorých jeden sa rovná polovici rozdielu základov a druhý polovici súčtu základov lichobežníka, t.j. stredová čiara lichobežníka.

5. Výšky lichobežníka, zníženého z vrcholov jednej základne, sú vyrezané na priamke obsahujúcej druhú základňu, segment rovný prvej základni.

6
. Segment rovnobežný s jednou z uhlopriečok lichobežníka je nakreslený cez vrchol - bod, ktorý je koncom druhej uhlopriečky. Výsledkom je trojuholník s dvoma stranami rovnými uhlopriečkam lichobežníka a tretí rovný súčtu základov

7
.Segment spájajúci stredy uhlopriečok sa rovná polovici rozdielu podstav lichobežníka.

8. Bisektory uhlov susediacich s jednou z bočných strán lichobežníka sú kolmé a pretínajú sa v bode ležiacom na strednej čiare lichobežníka, t.j. keď sa pretnú, vznikne pravouhlý trojuholník s preponou rovnajúcou sa bočnej prepone. strane.

9. Osa lichobežníkového uhla odreže rovnoramenný trojuholník.

1
0. Uhlopriečky ľubovoľného lichobežníka pri pretínaní tvoria dva podobné trojuholníky s koeficientom podobnosti rovným pomeru základní a dva rovnoplošný trojuholník, priliehajúce k bočným stranám.

1
1. Uhlopriečky ľubovoľného lichobežníka, keď sa pretínajú, tvoria dva podobné trojuholníky s koeficientom podobnosti rovným pomeru základní a dva rovnaké trojuholníky susediace s bočnými stranami.

1
2. Pokračovanie strán lichobežníka k priesečníku umožňuje uvažovať o podobných trojuholníkoch.

13. Ak je kružnica vpísaná do rovnoramenného lichobežníka, potom vypočítajte výšku lichobežníka - geometrický priemer súčinu základov lichobežníka alebo dvojnásobok geometrického priemeru súčinu segmentov bočnej strany, do ktorej je sa delí bodom dotyku.

9. Oblasť lichobežníka

1 . Plocha lichobežníka sa rovná súčinu polovice súčtu základov a výšky S = ½( a + b) h alebo

P

Plocha lichobežníka sa rovná súčinu stredovej čiary lichobežníka a jeho výšky S = m h .

2. Plocha lichobežníka sa rovná súčinu strany a kolmice vedenej od stredu druhej strany k čiare obsahujúcej prvú stranu.

Plocha rovnoramenného lichobežníka s polomerom vpísanej kružnice rovným ra uhol na základniα :

10. Záver

KDE, AKO A NA ČO SA TRAPEZA POUŽÍVA?

Hrazda v športe: Lichobežník je určite pokrokovým vynálezom ľudstva. Je navrhnutý tak, aby odľahčil naše ruky a urobil z windsurfingu pohodlný a ľahký odpočinok. Chôdza na krátkej doske nemá zmysel bez hrazdy, pretože bez nej nie je možné správne rozložiť trakciu medzi krok a nohy a efektívne zrýchliť.

Lichobežník v móde: Lichobežník v oblečení bol populárny už v stredoveku, v románskej ére 9.-11. storočia. Počas toho obdobia zákl dámske oblečenie Tvorili tuniky dlhé až po zem, pričom sa smerom dnu značne rozširovala, čo vytváralo lichobežníkový efekt. K oživeniu siluety došlo v roku 1961 a stala sa hymnou mladosti, nezávislosti a sofistikovanosti. Obrovskú úlohu v popularizácii hrazdy zohrala krehká modelka Leslie Hornby, známa ako Twiggy. Nízke dievča s anorektickou postavou a obrovskými očami sa stalo symbolom doby a jej obľúbené oblečenie bolo krátke šaty lichobežníky.

Lichobežník v prírode: Lichobežník sa nachádza aj v prírode. Ľudia majú trapézový sval a niektorí ľudia majú tvár lichobežníkového tvaru. Lichobežníkový tvar majú aj lupienky kvetov, súhvezdia a samozrejme hora Kilimandžáro.

Lichobežník v bežnom živote: Lichobežník sa používa aj v bežnom živote, pretože jeho tvar je praktický. Nachádza sa v takých predmetoch, ako sú: lyžica rýpadla, stôl, skrutka, stroj.

Lichobežník je symbolom architektúry Inkov. Dominantný štýlová forma v Inkoch je architektúra jednoduchá, ale elegantná - je to lichobežník. Ona nielenže má funkčná hodnota, ale aj prísne limitovaný umelecký dizajn. Lichobežníkové dvere, okná a výklenky v stenách sa nachádzajú v budovách všetkých typov, ako v chrámoch, tak aj v menších budovách hrubšej konštrukcie. Lichobežník sa nachádza aj v modernej architektúre. Táto forma budov je nezvyčajná, takže takéto budovy vždy priťahujú pohľady okoloidúcich.

Lichobežník v technológii: Lichobežník sa používa pri navrhovaní dielov v kozmickej technike a letectve. Napríklad niektoré solárne panely vesmírne stanice majú lichobežníkový tvar, pretože majú veľkú plochu, čo znamená, že akumulujú viac slnečnej energie

V 21. storočí už ľudia nad významom prakticky nepremýšľajú geometrické tvary v ich živote. Vôbec ich nezaujíma, aký tvar majú ich stôl, okuliare či telefón. Jednoducho si vyberú formu, ktorá je praktická. Ale použitie predmetu, jeho účel a výsledok práce môžu závisieť od formy tej či onej veci. Dnes sme vám predstavili jeden z najväčších výdobytkov ľudstva – hrazdu. Otvorili sme vám dvere úžasný svet postavy, povedali vám tajomstvá lichobežníka a ukázali, že geometria je všade okolo nás.

Bibliografia

Bolotov A.A., Prokhorenko V.I., Safonov V.F., Matematická teória a problémy. Kniha 1 Návod pre žiadateľov M.1998 Vydavateľstvo MPEI.

Bykov A.A., Malyshev G.Yu., Fakulta preduniverzitného vzdelávania GUVS. Matematika. Vzdelávacia a metodická príručka 4 časť M2004

Gordin R.K. Planimetrie. Kniha problémov.

Ivanov A.A. Ivanov A.P., Matematika: Návod na prípravu na Jednotnú štátnu skúšku a prijatie na vysoké školy - M: Vydavateľstvo MIPT, 2003-288s. ISBN 5-89155-188-3

Pigolkina T.S., Ministerstvo školstva a vedy Ruskej federácie, federálny štátny rozpočet vzdelávacia inštitúcia dodatočné vzdelanie deti ZFTSH Moskovského inštitútu fyziky a technológie ( štátna univerzita)". Matematika. Planimetrie. Úlohy č. 2 pre 10. ročníky (školský rok 2012-2013).

Pigolkina T.S., Planimetrie (1. časť).Matematická encyklopédia účastníka. M., Ruské vydavateľstvo otvorenej univerzity 1992.

Sharygin I.F. Vybrané problémy z geometrie pre súťažné skúšky na univerzitách (1987-1990) Ľvovský časopis „Quantor“ 1991.

Encyklopédia "Avanta Plus", Matematika M., Svet encyklopédií Avanta 2009.

Aplikácia

1. Dôkaz niektorých vlastností lichobežníka.

1. Priamka prechádzajúca priesečníkom uhlopriečok lichobežníka rovnobežná s jeho základňami pretína bočné strany lichobežníka v bodochK A L . Dokážte, že ak sú základne lichobežníka rovnaké A A b , To dĺžka segmentu KL rovná geometrickému priemeru základov lichobežníka. Dôkaz

NechajO - priesečník uhlopriečok,AD = a, slnko = b . Priamy KL rovnobežne so základňouAD , teda,K O║ AD , trojuholníkyIN K O AZLÝ sú teda podobné

(1)

(2)

Dosadíme (2) do (1), dostaneme KO =

Podobne L.O.= Potom K L = K.O. + L.O. =

IN Pre každý lichobežník ležia stred základne, priesečník uhlopriečok a priesečník pokračovania bočných strán na rovnakej priamke.

Dôkaz: Nechajte predĺženia strán pretínať v bodeTO. Cez bodTO a bodkaO diagonálne križovatkynakreslíme rovnú čiaru CO.

K

Dokážme, že táto čiara rozdeľuje základy na polovicu.

O významnýVM = x, čs = y, AN = a ND = v . Máme:

∆ VKM ~ ∆AKN →

M

X

B

C

Y

Opísaný kruh a lichobežník. Ahoj! Je tu pre vás ešte jedna publikácia, v ktorej sa pozrieme na problémy s lichobežníkmi. Úlohy sú súčasťou skúšky z matematiky. Tu sú spojené do skupiny, nie je daný len jeden lichobežník, ale kombinácia telies - lichobežník a kruh. Väčšina týchto problémov sa rieši ústne. Sú však aj také, ktoré treba riešiť. Osobitná pozornosť, napríklad úloha 27926.

Akú teóriu si treba zapamätať? toto:

Problémy s lichobežníkmi, ktoré sú dostupné na blogu, si môžete pozrieť Tu.

27924. Okolo lichobežníka je opísaný kruh. Obvod lichobežníka je 22, stredová čiara je 5. Nájdite stranu lichobežníka.

Všimnite si, že kruh možno opísať iba okolo rovnoramenného lichobežníka. Dostali sme strednú čiaru, čo znamená, že môžeme určiť súčet základov, to znamená:

To znamená, že súčet strán sa bude rovnať 22–10=12 (obvod mínus základňa). Keďže strany rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké, jedna strana sa bude rovnať šiestim.

27925. Bočná strana rovnoramenného lichobežníka sa rovná jeho menšej základni, uhol základne je 60 0, väčšia základňa je 12. Nájdite obvod tohto lichobežníka.

Ak ste vyriešili problémy s kruhom a šesťuholníkom v ňom vpísaným, potom okamžite vyslovíte odpoveď - polomer je 6. Prečo?

Pozrite sa: rovnoramenný lichobežník so základným uhlom rovným 60 0 a rovnaké strany AD, DC a CB predstavujú polovicu pravidelného šesťuholníka:

V takomto šesťuholníku segment spájajúci protiľahlé vrcholy prechádza stredom kruhu. *Stred šesťuholníka a stred kruhu sa zhodujú, ďalšie podrobnosti

To znamená, že väčšia základňa tohto lichobežníka sa zhoduje s priemerom opísanej kružnice. Polomer je teda šesť.

*Samozrejme, môžeme zvážiť rovnosť trojuholníkov ADO, DOC a OCB. Dokážte, že sú rovnostranné. Ďalej urobte záver, že uhol AOB sa rovná 180 0 a bod O je rovnako vzdialený od vrcholov A, D, C a B, a teda AO=OB=12/2=6.

27926. Základy rovnoramenného lichobežníka sú 8 a 6. Polomer kružnice opísanej je 5. Nájdite výšku lichobežníka.

Všimnite si, že stred opísanej kružnice leží na osi symetrie a ak zostrojíme výšku lichobežníka prechádzajúceho týmto stredom, tak keď sa pretne so základňami, rozdelí ich na polovicu. Ukážme to na náčrte a tiež spojme stred s vrcholmi:

Segment EF je výška lichobežníka, musíme ho nájsť.

V pravouhlom trojuholníku OFC poznáme preponu (toto je polomer kružnice), FC=3 (keďže DF=FC). Pomocou Pytagorovej vety môžeme vypočítať OF:

V pravouhlom trojuholníku OEB poznáme preponu (to je polomer kružnice), EB=4 (keďže AE=EB). Pomocou Pytagorovej vety môžeme vypočítať OE:

Teda EF=FO+OE=4+3=7.

Teraz dôležitá nuansa!

V tomto probléme obrázok jasne ukazuje, že základne ležia pozdĺž rôzne strany od stredu kruhu, takže problém je vyriešený týmto spôsobom.

Čo ak podmienky neobsahovali náčrt?

Potom by problém mal dve odpovede. prečo? Pozrite sa pozorne - dva lichobežníky s danými základňami môžu byť vpísané do ľubovoľného kruhu:

*To znamená, že vzhľadom na základne lichobežníka a polomer kruhu existujú dva lichobežníky.

A riešenie „druhej možnosti“ bude nasledovné.

Pomocou Pytagorovej vety vypočítame OF:

Poďme tiež vypočítať OE:

Teda EF=FO–OE=4–3=1.

Samozrejme, v probléme s krátkou odpoveďou na Jednotnú štátnu skúšku nemôžu byť dve odpovede a podobný problém sa nezaobíde bez náčrtu. Preto venujte osobitnú pozornosť náčrtu! Konkrétne: ako sú umiestnené základy lichobežníka. Ale v úlohách s podrobnou odpoveďou to bolo v minulých rokoch prítomné (s trochu komplikovanejšou podmienkou). Kto zvažoval iba jednu možnosť umiestnenia lichobežníka, stratil pri tejto úlohe bod.

27937. Lichobežník je opísaný okolo kruhu, ktorého obvod je 40. Nájdite jeho stredovú čiaru.

Tu by sme si mali okamžite pripomenúť vlastnosť štvoruholníka opísaného okolo kruhu:

Súčty protiľahlých strán akéhokoľvek štvoruholníka opísanom kružnici sú rovnaké.

\[(\Large(\text(Voľný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník je konvexný štvoruholník, v ktorom sú dve strany rovnobežné a ostatné dve strany nie sú rovnobežné.

Rovnobežné strany lichobežníka sa nazývajú jeho základne a ďalšie dve strany sa nazývajú jeho bočné strany.

Výška lichobežníka je kolmica vedená z akéhokoľvek bodu jednej základne k druhej základni.

Vety: vlastnosti lichobežníka

1) Súčet bočných uhlov je \(180^\circ\) .

2) Uhlopriečky rozdeľujú lichobežník na štyri trojuholníky, z ktorých dva sú podobné a ďalšie dva majú rovnakú veľkosť.

Dôkaz

1) Pretože \(AD\paralelný BC\), potom sú uhly \(\uhol BAD\) a \(\uhol ABC\) jednostranné pre tieto čiary a priečne \(AB\), preto, \(\uhol BAD +\uhol ABC=180^\circ\).

2) Pretože \(AD\paralelný BC\) a \(BD\) sú sečna, potom \(\uhol DBC=\uhol BDA\) ležia priečne.
Tiež \(\uhol BOC=\uhol AOD\) ako zvislý.
Preto v dvoch uhloch \(\trojuholník BOC \sim \trojuholník AOD\).

Dokážme to \(S_(\trojuholník AOB)=S_(\trojuholník COD)\). Nech \(h\) je výška lichobežníka. Potom \(S_(\trojuholník ABD)=\frac12\cdot h\cdot AD=S_(\trojuholník ACD)\). potom: \

Definícia

Stredová čiara lichobežníka je segment spájajúci stredné body strán.

Veta

Stredová čiara lichobežníka je rovnobežná so základňami a rovná sa ich polovičnému súčtu.

dôkaz*

1) Dokážme paralelizmus.

Narysujme bodom \(M\) priamku \(MN"\paralelná AD\) (\(N"\v CD\) ). Potom podľa Thalesovej vety (od r \(MN"\paralelný AD\paralelný BC, AM=MB\)) bod \(N"\) je stredom segmentu \(CD\). To znamená, že body \(N\) a \(N"\) sa budú zhodovať.

2) Dokážme vzorec.

Urobme \(BB"\perp AD, CC"\perp AD\) . Nechaj \(BB"\cap MN=M", CC"\cap MN=N"\).

Potom podľa Thalesovej vety sú \(M"\) a \(N"\) stredmi segmentov \(BB"\) a \(CC"\). To znamená, že \(MM"\) je stredná čiara \(\triangle ABB"\) , \(NN"\) je stredná čiara \(\trojuholník DCC"\) . Preto: \

Pretože \(MN\paralelný AD\paralelný BC\) a \(BB", CC"\perp AD\), potom \(B"M"N"C"\) a \(BM"N"C\) sú obdĺžniky. Podľa Thalesovej vety z \(MN\paralelná AD\) a \(AM=MB\) vyplýva, že \(B"M"=M"B\) . Preto \(B"M"N"C "\) a \(BM"N"C\) sú rovnaké obdĺžniky, preto \(M"N"=B"C"=BC\) .

Takto:

\ \[=\dfrac12 \left(AB"+B"C"+BC+C"D\right)=\dfrac12\left(AD+BC\right)\]

Veta: vlastnosť ľubovoľného lichobežníka

Stredy základní, priesečník uhlopriečok lichobežníka a priesečník predĺžení bočných strán ležia na tej istej priamke.

dôkaz*
Po preštudovaní témy „Podobnosť trojuholníkov“ sa odporúča oboznámiť sa s dôkazom.

1) Dokážme, že body \(P\) , \(N\) a \(M\) ležia na tej istej priamke.

Nakreslíme priamku \(PN\) (\(P\) je priesečník predĺženia bočných strán, \(N\) je stred \(BC\)). Nech pretína stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

Zvážte \(\triangle BPN\) a \(\triangle APM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol APM\) – všeobecný, \(\uhol PAM=\uhol PBN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(AB\) sečna). znamená: \[\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Zvážte \(\triangle CPN\) a \(\triangle DPM\) . Sú podobné v dvoch uhloch (\(\uhol DPM\) – všeobecný, \(\uhol PDM=\uhol PCN\) zodpovedajúci v \(AD\paralelný BC\) a \(CD\) sečna). znamená: \[\dfrac(CN)(DM)=\dfrac(PN)(PM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(AM)=\dfrac(CN)(DM)\). Ale \(BN=NC\) preto \(AM=DM\) .

2) Dokážme, že body \(N, O, M\) ležia na tej istej priamke.

Nech \(N\) je stred \(BC\) a \(O\) je priesečník uhlopriečok. Nakreslíme priamku \(NO\) , bude pretínať stranu \(AD\) v bode \(M\) . Dokážme, že \(M\) je stred \(AD\) .

\(\trojuholník BNO\sim \trojuholník DMO\) pozdĺž dvoch uhlov (\(\uhol OBN=\uhol ODM\) ležiaci priečne na \(BC\rovnobežná AD\) a \(BD\) sečna; \(\uhol BON=\uhol DOM\) ako vertikála). znamená: \[\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(ON)(OM)\]

Podobne \(\trojuholník CON\sim \trojuholník AOM\). znamená: \[\dfrac(CN)(MA)=\dfrac(ON)(OM)\]

Odtiaľ \(\dfrac(BN)(MD)=\dfrac(CN)(MA)\). Ale \(BN=CN\) teda \(AM=MD\) .

\[(\Large(\text(Rovnostranný lichobežník)))\]

Definície

Lichobežník sa nazýva obdĺžnikový, ak je jeden z jeho uhlov pravý.

Lichobežník sa nazýva rovnoramenný, ak sú jeho strany rovnaké.

Vety: vlastnosti rovnoramenného lichobežníka

1) Rovnoramenný lichobežník má rovnaké základné uhly.

2) Uhlopriečky rovnoramenného lichobežníka sú rovnaké.

3) Dva trojuholníky tvorené uhlopriečkami a základňou sú rovnoramenné.

Dôkaz

1) Uvažujme rovnoramenný lichobežník \(ABCD\) .

Z vrcholov \(B\) a \(C\) zhodíme kolmice \(BM\) a \(CN\) na stranu \(AD\). Pretože \(BM\perp AD\) a \(CN\perp AD\) , potom \(BM\paralelné CN\) ; \(AD\paralelný BC\) , potom \(MBCN\) je rovnobežník, teda \(BM = CN\) .

Uvažujme pravouhlé trojuholníky\(ABM\) a \(CDN\) . Keďže ich prepony sú rovnaké a rameno \(BM\) sa rovná ramenu \(CN\) , potom sú tieto trojuholníky rovnaké, teda \(\uhol DAB = \uhol CDA\) .

2)

Pretože \(AB=CD, \uhol A=\uhol D, AD\)- všeobecný, potom podľa prvého znaku. Preto \(AC=BD\) .

3) Pretože \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\), potom \(\uhol BDA=\uhol CAD\) . Preto je trojuholník \(\trojuholník AOD\) rovnoramenný. Podobne je dokázané, že \(\trojuholník BOC\) je rovnoramenný.

Vety: znaky rovnoramenného lichobežníka

1) Ak má lichobežník rovnaké základné uhly, potom je rovnoramenný.

2) Ak má lichobežník rovnaké uhlopriečky, potom je rovnoramenný.

Dôkaz

Uvažujme lichobežník \(ABCD\) taký, že \(\uhol A = \uhol D\) .

Dotvorme lichobežník na trojuholník \(AED\), ako je znázornené na obrázku. Pretože \(\uhol 1 = \uhol 2\) , potom trojuholník \(AED\) je rovnoramenný a \(AE = ED\) . Uhly \(1\) a \(3\) sú rovnaké ako zodpovedajúce uhly pre rovnobežné čiary \(AD\) a \(BC\) a sečnicu \(AB\). Podobne sú uhly \(2\) a \(4\) rovnaké, ale \(\uhol 1 = \uhol 2\), potom \(\uhol 3 = \uhol 1 = \uhol 2 = \uhol 4\), preto je aj trojuholník \(BEC\) rovnoramenný a \(BE = EC\) .

Nakoniec \(AB = AE - BE = DE - CE = CD\), teda \(AB = CD\), čo bolo potrebné dokázať.

2) Nechajte \(AC=BD\) . Pretože \(\trojuholník AOD\sim \trojuholník BOC\), potom ich koeficient podobnosti označíme ako \(k\) . Potom ak \(BO=x\) , potom \(OD=kx\) . Podobne ako \(CO=y \Rightarrow AO=ky\) .

Pretože \(AC=BD\) , potom \(x+kx=y+ky \šípka doprava x=y\) . To znamená, že \(\trojuholník AOD\) je rovnoramenný a \(\uhol OAD=\uhol ODA\) .

Teda podľa prvého znaku \(\trojuholník ABD=\trojuholník ACD\) (\(AC=BD, \uhol OAD=\uhol ODA, AD\)– všeobecný). Takže, \(AB=CD\) , prečo.