रेखीय समीकरणदो चर के साथ - कोई भी समीकरण जो इस तरह दिखता है: ए * एक्स + बी * वाई = सी।यहाँ x और y दो चर हैं, a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

नीचे कुछ हैं रैखिक समीकरणों के उदाहरण

1.10 * x + 25 * y = 150;

एक अज्ञात वाले समीकरणों की तरह, दो चर (अज्ञात) वाले रैखिक समीकरण का भी एक हल होता है। उदाहरण के लिए, x = 8 और y = 3 के साथ रैखिक समीकरण x-y = 5, वास्तविक पहचान 8-3 = 5 में बदल जाता है। इस स्थिति में, संख्याओं x = 8 और y = 3 के युग्म को रैखिक समीकरण x-y = 5 का हल कहा जाता है। आप यह भी कह सकते हैं कि संख्याओं x = 8 और y = 3 का एक युग्म रैखिक समीकरण x-y = 5 को संतुष्ट करता है।

एक रैखिक समीकरण को हल करना

इस प्रकार, रैखिक समीकरण a * x + b * y = с का हल कहलाता है, संख्याओं का कोई भी युग्म (x, y) जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात चर x और y वाले समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक में बदल देता है। समानता। ध्यान दें कि कैसे संख्या x और y का एक युग्म यहाँ लिखा गया है। ऐसी रिकॉर्डिंग छोटी और अधिक सुविधाजनक होती है। केवल यह याद रखना चाहिए कि इस तरह के रिकॉर्ड में पहला स्थान चर x का मान है, और दूसरा चर y का मान है।

ध्यान दें कि संख्याएँ x = 11 और y = 8, x = 205 और y = 200 x = 4.5 और y = -0.5 भी रैखिक समीकरण x-y = 5 को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए इस रैखिक समीकरण के समाधान हैं।

दो अज्ञात में एक रैखिक समीकरण को हल करना इकलौता नहीं है।दो अज्ञात वाले प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से कई भिन्न हल होते हैं। यानी वहाँ है असीम रूप से कई अलगदो संख्याएँ x और y, जो रैखिक समीकरण को सही पहचान बनाती हैं।

यदि दो चरों वाले अनेक समीकरणों के हल समान हों, तो ऐसे समीकरणों को तुल्य समीकरण कहते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि दो अज्ञात वाले समीकरणों का कोई हल नहीं है, तो उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

दो अज्ञात में रैखिक समीकरणों के मूल गुण

1. समीकरण के किसी भी पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है, जबकि इसके चिह्न को विपरीत में बदलना आवश्यक है। परिणामी समीकरण मूल के बराबर होगा।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है जो शून्य नहीं है। नतीजतन, हमें मूल के बराबर एक समीकरण मिलता है।

इस गणितीय कार्यक्रम के साथ, आप दो रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को दो . के साथ हल कर सकते हैं परिवर्तनीय विधिप्रतिस्थापन और जोड़ विधि।

कार्यक्रम न केवल समस्या का उत्तर देता है, बल्कि दो तरीकों से समाधान के चरणों की व्याख्या के साथ एक विस्तृत समाधान भी देता है: प्रतिस्थापन विधि और जोड़ विधि।

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समीकरण प्रवेश नियम

किसी भी लैटिन अक्षर को एक चर के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: \ (x, y, z, a, b, c, o, p, q \) आदि।

समीकरणों में प्रवेश करते समय कोष्ठक का उपयोग किया जा सकता है... इस मामले में, समीकरणों को पहले सरलीकृत किया जाता है। सरलीकरण के बाद के समीकरण रैखिक होने चाहिए, अर्थात। तत्वों के क्रम की सटीकता के साथ ax + by + c = 0 के रूप में।
उदाहरण के लिए: 6x + 1 = 5 (x + y) +2

समीकरणों में, आप न केवल पूर्ण संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं, बल्कि दशमलव और साधारण अंशों के रूप में भिन्नात्मक संख्याओं का भी उपयोग कर सकते हैं।

दशमलव अंशों को दर्ज करने के नियम।
दशमलव भिन्नों में पूर्ण और भिन्नात्मक भागों को एक बिंदु या अल्पविराम द्वारा अलग किया जा सकता है।
उदाहरण के लिए: 2.1n + 3.5m = 55

साधारण भिन्नों को दर्ज करने के नियम।
अंश, हर और भिन्न के पूरे भाग के रूप में केवल एक पूर्णांक का उपयोग किया जा सकता है।
भाजक ऋणात्मक नहीं हो सकता।
एक संख्यात्मक अंश में प्रवेश करते समय, अंश को भाजक से हर से अलग किया जाता है: /
एम्परसेंड द्वारा पूरे भाग को भिन्न से अलग किया जाता है: &

उदाहरण।
-1 और 2/3y + 5/3x = 55
2.1p + 55 = -2/7 (3.5p - 2 और 1/8q)

यह पाया गया कि इस समस्या को हल करने के लिए आवश्यक कुछ लिपियों को लोड नहीं किया गया था, और हो सकता है कि प्रोग्राम काम न करे।
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इस मामले में, इसे अक्षम करें और पृष्ठ को ताज़ा करें।

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कुछ सेकंड के बाद, समाधान नीचे दिखाई देगा।
कृपया प्रतीक्षा करें सेकंड ...

अगर तुम समाधान में त्रुटि देखी गई, तो आप इसके बारे में फीडबैक फॉर्म में लिख सकते हैं।
मत भूलो इंगित करें कि कौन सा कार्यआप तय करें और क्या खेतों में प्रवेश करें.

हमारे खेल, पहेलियाँ, अनुकरणकर्ता:

थोड़ा सिद्धांत।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करना। प्रतिस्थापन विधि

प्रतिस्थापन विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) एक चर को सिस्टम के कुछ समीकरण से दूसरे के माध्यम से व्यक्त करें;
2) प्राप्त व्यंजक को इस चर के स्थान पर निकाय के किसी अन्य समीकरण में प्रतिस्थापित करें;

$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 3x + y = 7 \\ -5x + 2y = 3 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

आइए पहले समीकरण से y को x: y = 7-3x के रूप में व्यक्त करें। व्यंजक 7-Зx को y के स्थान पर दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें निकाय प्राप्त होता है:
$$ \ बाएँ \ (\ शुरू (सरणी) (l) y = 7-3x \\ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

यह दिखाना आसान है कि पहली और दूसरी प्रणालियों के समाधान समान हैं। दूसरी प्रणाली में, दूसरे समीकरण में केवल एक चर होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
$$ -5x + 2 (7-3x) = 3 \ दायां तीर -5x + 14-6x = 3 \ दायां तीर -11x = -11 \ दायां तीर x = 1 $$

संख्या 1 को x के बजाय समानता y = 7-3x में प्रतिस्थापित करने पर, हम y का संगत मान ज्ञात करते हैं:
$$ y = 7-3 \ cdot 1 \ दायां तीर y = 4 $$

जोड़ी (1; 4) - प्रणाली का समाधान

समान हल वाले दो चरों वाले समीकरण निकाय कहलाते हैं के समान... समाधान के बिना सिस्टम को भी समकक्ष माना जाता है।

जोड़ विधि द्वारा रैखिक समीकरणों को हल करने वाले सिस्टम

रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के दूसरे तरीके पर विचार करें - जोड़ का तरीका। इस पद्धति द्वारा प्रणालियों को हल करते समय, साथ ही प्रतिस्थापन विधि द्वारा हल करते समय, हम इस प्रणाली से इसके समकक्ष दूसरी प्रणाली में जाते हैं, जिसमें समीकरणों में से एक में केवल एक चर होता है।

जोड़ विधि द्वारा रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करते समय क्रियाओं का क्रम:
1) सिस्टम टर्म के समीकरणों को शब्द से गुणा करें, कारकों का चयन करें ताकि किसी एक चर के गुणांक विपरीत संख्या बन जाएं;
2) प्रणाली के समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों द्वारा पदों को जोड़ें;
3) परिणामी समीकरण को एक चर के साथ हल करें;
4) दूसरे चर का संगत मान ज्ञात कीजिए।

उदाहरण। आइए समीकरणों की प्रणाली को हल करें:
$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 2x + 3y = -5 \\ x-3y = 38 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

इस प्रणाली के समीकरणों में, y पर गुणांक विपरीत संख्याएं हैं। समीकरणों के पदों के बाएँ और दाएँ पक्षों को पद से जोड़ने पर, हम एक चर 3x = 33 के साथ एक समीकरण प्राप्त करते हैं। सिस्टम में समीकरणों में से एक को बदलें, उदाहरण के लिए पहला, समीकरण 3x = 33 के साथ। हमें सिस्टम मिलता है
$$ \ बाएँ \ (\ प्रारंभ (सरणी) (l) 3x = 33 \\ x-3y = 38 \ अंत (सरणी) \ दाएँ। $$

समीकरण 3x = 33 से हम पाते हैं कि x = 11. x के इस मान को समीकरण \ (x-3y = 38 \) में प्रतिस्थापित करने पर हमें चर y: \ (11-3y = 38 \) के साथ एक समीकरण प्राप्त होता है। आइए इस समीकरण को हल करें:
\ (- 3y = 27 \ दायां तीर y = -9 \)

इस प्रकार, हमें जोड़ विधि द्वारा समीकरणों की प्रणाली का हल मिला: \ (x = 11; y = -9 \) या \ ((11; -9) \)

इस तथ्य का लाभ उठाते हुए कि सिस्टम के समीकरणों में y पर गुणांक विपरीत संख्याएं हैं, हमने इसके समाधान को एक समान प्रणाली के समाधान में घटा दिया (मूल समरूपता के प्रत्येक समीकरण के दोनों पक्षों को जोड़कर), जिसमें एक समीकरणों में केवल एक चर होता है।

थीम:रैखिक प्रकार्य

सबक:दो चर और उसके ग्राफ के साथ रैखिक समीकरण

हम निर्देशांक अक्ष की अवधारणाओं से परिचित हो गए हैं और विमान का समन्वय... हम जानते हैं कि समतल का प्रत्येक बिंदु विशिष्ट रूप से संख्याओं की एक जोड़ी (x; y) को परिभाषित करता है, जिसमें पहली संख्या बिंदु का भुज और दूसरी कोटि होती है।

हम अक्सर दो चरों के साथ एक रेखीय समीकरण देखेंगे, जिसका हल संख्याओं का एक युग्म है जिसे निर्देशांक तल पर निरूपित किया जा सकता है।

फॉर्म का समीकरण:

जहां ए, बी, सी संख्याएं हैं, और

इसे दो चरों x और y के साथ एक रैखिक समीकरण कहा जाता है। इस तरह के समीकरण का हल संख्या x और y का ऐसा कोई भी युग्म होगा, इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें सही संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है।

निर्देशांक तल पर एक बिंदु के रूप में संख्याओं की एक जोड़ी प्रदर्शित की जाएगी।

हम ऐसे समीकरणों के कई हल देखेंगे, यानी संख्याओं के कई जोड़े, और सभी संबंधित बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

आइए एक उदाहरण पर विचार करें:

इस समीकरण का हल खोजने के लिए, आपको संख्या x और y के संगत युग्मों का चयन करना होगा:

चलो, फिर मूल समीकरण एक अज्ञात के साथ एक समीकरण में बदल जाता है:

,

अर्थात् संख्याओं का प्रथम युग्म, जो दिए गए समीकरण (0; 3) का हल है। बिंदु A प्राप्त किया (0; 3)

रहने दो । हमें एक चर के साथ मूल समीकरण मिलता है: , यहाँ से, बिंदु B (3; 0) प्राप्त हुआ

आइए तालिका में संख्याओं के जोड़े जोड़ें:

आइए ग्राफ़ पर बिंदुओं को प्लॉट करें और एक सीधी रेखा खींचें:

ध्यान दें कि इस रेखा का कोई भी बिंदु दिए गए समीकरण का हल होगा। आइए जाँच करें - एक निर्देशांक के साथ एक बिंदु लें और, ग्राफ़ के अनुसार, इसका दूसरा निर्देशांक खोजें। जाहिर है इस बिंदु पर। आइए संख्याओं के इस युग्म को समीकरण में जोड़ें। हमें 0 = 0 - वास्तविक संख्यात्मक समानता प्राप्त होती है, जिसका अर्थ है कि एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु एक समाधान है।

हालांकि हम यह साबित नहीं कर सकते कि निर्मित सीधी रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समीकरण का हल है, इसलिए हम इसे हल्के में लेते हैं और बाद में इसे साबित करते हैं।

उदाहरण 2 - समीकरण को प्लॉट करें:

आइए एक तालिका बनाएं, एक सीधी रेखा बनाने के लिए दो बिंदु पर्याप्त हैं, लेकिन आइए तीसरे को नियंत्रण के लिए लें:

पहले कॉलम में, हमने सुविधाजनक लिया, इसे यहां खोजें:

, ,

दूसरे कॉलम में, हमने एक सुविधाजनक लिया, x खोजें:

, , ,

आइए सत्यापन के लिए लें और इससे खोजें:

, ,

आइए एक ग्राफ बनाएं:

आइए दिए गए समीकरण को दो से गुणा करें:

इस परिवर्तन से कई निर्णय नहीं बदलेंगे और कार्यक्रम वही रहेगा।

निष्कर्ष: हमने सीखा कि दो चर वाले समीकरणों को कैसे हल किया जाता है और उनके ग्राफ कैसे बनाए जाते हैं, हमने सीखा कि इस तरह के समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा है और इस सीधी रेखा का कोई भी बिंदु समीकरण का समाधान है

1. डोरोफीव जी.वी., सुवोरोवा एस.बी., बनिमोविच ई.ए. और अन्य। बीजगणित 7. छठा संस्करण। एम।: शिक्षा। 2010 आर.

2. मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7.M।: वेंटाना-ग्राफ

3. कोल्यागिन यू.एम., तकाचेवा एम.वी., फेडोरोवा एन.ये। और अन्य। बीजगणित 7. एम।: ज्ञानोदय। 2006 वर्ष

2. परिवार को देखने के लिए पोर्टल ()।

टास्क 1: मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 960, अनुच्छेद 210;

टास्क 2: मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 961, अनुच्छेद 210;

टास्क 3: मर्ज़लीक ए.जी., पोलोन्स्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, संख्या 962, अनुच्छेद 210;

7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में पहली बार मिले दो चर में समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला दृष्टि से बाहर हो जाती है, जिसमें कुछ शर्तों को समीकरण के गुणांक पर पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करते हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्ण संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि परीक्षा की सामग्रीऔर प्रवेश परीक्षाओं में, इस तरह की समस्याएं अधिक से अधिक बार सामने आती हैं।

किस समीकरण को द्विचर समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह x = 2 और y = 3 के लिए एक वास्तविक समानता में बदल जाता है, इसलिए चर के मूल्यों की यह जोड़ी विचाराधीन समीकरण का समाधान है।

इस प्रकार, दो चरों वाले किसी भी समीकरण का हल क्रमित युग्मों (x; y) का समुच्चय है, चरों के मान जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण कर सकते हैं:

ए) एक समाधान हो।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय हल (0; 0) है;

बी) कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 = 0 के 4 हल हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

वी) कोई समाधान नहीं है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई हल नहीं है;

जी) असीम रूप से कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के हल संख्याएँ होंगी, जिनका योग 3 है। इस समीकरण के हलों के समुच्चय को (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी हो। वास्तविक संख्या।

दो चरों वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं, गुणनखंडन व्यंजकों पर आधारित विधियाँ, एक पूर्ण वर्ग को पृथक करना, द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग करना, सीमित व्यंजक और मूल्यांकन विधियाँ। समीकरण आमतौर पर एक ऐसे रूप में बदल जाता है जिससे अज्ञात खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण को हल करें: xy - 2 = 2x - y।

समाधान।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य से शर्तों को समूहबद्ध करते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड हटा दें:

वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. हमारे पास है:

y = 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x = -1, y कोई वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, उत्तर फॉर्म के सभी जोड़े हैं (x; 2), x € R और (-1; y), y € R।

शून्य की समानता नहीं है ऋणात्मक संख्या

उदाहरण 2।

समीकरण को हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y)।

समाधान।

हम समूह:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक कोष्ठक को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0।

दो गैर-ऋणात्मक व्यंजकों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

इसका मतलब है कि x = 2/3 और y = 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन पद्धति

उदाहरण 3.

समीकरण को हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2।

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में, एक पूर्ण वर्ग चुनें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. अनुमान कोष्ठक में भावों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 1 और (y - 2) 2 + 2 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y - 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2)।

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक और विधि से परिचित हों। यह विधि यह है कि समीकरण को के रूप में माना जाता है किसी भी चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4.

समीकरण को हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0।

समाधान।

x के सन्दर्भ में समीकरण को वर्ग के रूप में हल कीजिए। आइए विभेदक का पता लगाएं:

डी = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4 (√y - 2) 2. समीकरण का हल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। y के मान को मूल समीकरण में रखें और ज्ञात करें कि x = 3।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर, दो अज्ञात के साथ समीकरणों में, चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5.

पूरे समीकरण को हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2।

समाधान।

समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। परिणामी समीकरण का दाहिना भाग जब 5 से विभाजित होता है तो शेष 2 देता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन एक संख्या का वर्ग जो विभाज्य नहीं है 5 से शेषफल 1 या 4 मिलता है। इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6.

समीकरण को हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

समाधान।

प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्गों का चयन करें:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या बराबर होता है। समानता प्रदान की जा सकती है | x | - 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7.

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x; y) के प्रत्येक युग्म के लिए
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। उत्तर में, छोटी से छोटी राशि का संकेत दें।

समाधान।

आइए पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। 37 के बराबर दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 1 + 36 जोड़ने पर प्राप्त होता है। इसलिए:

(एक्स - वाई) 2 = 36 और (वाई + 2) 2 = 1

(एक्स - वाई) 2 = 1 और (वाई + 2) 2 = 36।

इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान में रखते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर:-17.

यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण से निपट सकते हैं।

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§ 1 वास्तविक स्थितियों में समीकरण के मूलों का चयन

निम्नलिखित वास्तविक स्थिति पर विचार करें:

मास्टर और प्रशिक्षु ने मिलकर ऑर्डर करने के लिए 400 पीस बनाए। इसके अलावा, मास्टर ने 3 दिन और छात्र ने 2 दिन काम किया। प्रत्येक ने कितने भाग बनाए?

आइए इस स्थिति का एक बीजीय मॉडल तैयार करें। गुरु को 1 दिन में पुर्जे बनाने दें। और छात्र विवरण पर है। फिर गुरु 3 दिन में 3 भाग करेगा, और विद्यार्थी 2 दिन में 2 भाग करेगा। वे मिलकर 3x + 2 टुकड़े कर देंगे। चूंकि, शर्त के अनुसार, कुल 400 भाग बनाए गए थे, हमें समीकरण मिलता है:

परिणामी समीकरण को एक रैखिक दो-चर समीकरण कहा जाता है। यहां हमें संख्या x और y की एक जोड़ी खोजने की जरूरत है, जिस पर समीकरण एक वास्तविक संख्यात्मक समानता का रूप ले लेगा। ध्यान दें कि यदि x = 90, y = 65, तो हमें समानता प्राप्त होती है:

3 ∙ 90 + 65 ∙ 2 = 400

चूंकि सही संख्यात्मक समानता प्राप्त की गई है, इसलिए संख्या 90 और 65 की एक जोड़ी इस समीकरण का समाधान होगी। लेकिन पाया गया समाधान केवल एक ही नहीं है। यदि x = 96 और y = 56, तो हमें समानता प्राप्त होती है:

96 ∙ 3 + 56 ∙ 2 = 400

यह भी एक वास्तविक संख्यात्मक समानता है, जिसका अर्थ है कि संख्या 96 और 56 की एक जोड़ी भी इस समीकरण का समाधान है। लेकिन संख्याओं का एक युग्म x = 73 और y = 23 इस समीकरण का हल नहीं होगा। वास्तव में, 3 73 + 2 23 = 400 हमें एक गलत संख्यात्मक समानता 265 = 400 देगा। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि हम इस वास्तविक स्थिति के संबंध में समीकरण पर विचार करते हैं, तो संख्याओं के जोड़े होंगे, एक होने के नाते इस समीकरण का समाधान समस्या का समाधान नहीं होगा। उदाहरण के लिए, कुछ संख्याएँ:

एक्स = 200 और वाई = -100

समीकरण का समाधान है, लेकिन छात्र -100 विवरण नहीं बना सकता है, और इसलिए संख्याओं की ऐसी जोड़ी समस्या के प्रश्न का उत्तर नहीं हो सकती है। इस प्रकार, प्रत्येक विशिष्ट वास्तविक स्थिति में, समीकरण की जड़ों के चयन के लिए यथोचित दृष्टिकोण करना आवश्यक है।

आइए पहले परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत करें:

ax + bу + c = 0 के रूप का एक समीकरण, जहाँ a, b, c कोई भी संख्या है, दो चरों में एक रैखिक समीकरण कहलाता है।

दो चरों वाले रैखिक समीकरण के हल को x और y के संगत संख्याओं का युग्म कहा जाता है, जिस पर समीकरण वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल जाता है।

§ 2 एक रैखिक समीकरण का ग्राफ

युग्म (x; y) का बहुत ही अंकन हमें एक समतल पर निर्देशांक x और y के साथ एक बिंदु के रूप में इसे चित्रित करने की संभावना के बारे में सोचने के लिए प्रेरित करता है। इसका मतलब है कि हम एक विशिष्ट स्थिति का एक ज्यामितीय मॉडल प्राप्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें:

2x + y - 4 = 0

आइए हम संख्याओं के कई युग्मों का चयन करें जो इस समीकरण के समाधान होंगे और पाए गए निर्देशांकों के साथ बिंदुओं का निर्माण करेंगे। इन बिंदुओं को होने दें:

ए (0; 4), बी (2; 0), सी (1; 2), डी (-2; 8), ई (- 1; 6)।

ध्यान दें कि सभी बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित हैं। ऐसी सीधी रेखा को दो चरों वाले रैखिक समीकरण का आलेख कहा जाता है। यह किसी दिए गए समीकरण का एक ग्राफिकल (या ज्यामितीय) मॉडल है।

यदि संख्याओं का एक युग्म (x; y) समीकरण का हल है

ax + vu + c = 0, तो बिंदु M (x; y) समीकरण के ग्राफ से संबंधित है। हम इसके विपरीत भी कह सकते हैं: यदि बिंदु M (x; y) समीकरण ax + wu + c = 0 के ग्राफ से संबंधित है, तो संख्याओं का एक युग्म (x; y) इस समीकरण का एक हल है।

हम ज्यामिति पाठ्यक्रम से जानते हैं:

एक सीधी रेखा को प्लॉट करने के लिए 2 बिंदुओं की आवश्यकता होती है, इसलिए दो चर वाले रैखिक समीकरण को प्लॉट करने के लिए, केवल 2 जोड़े समाधान जानना पर्याप्त है। लेकिन जड़ों का अनुमान लगाना हमेशा सुविधाजनक या तर्कसंगत प्रक्रिया नहीं होती है। आप दूसरे नियम के अनुसार कार्य कर सकते हैं। चूँकि बिंदु का भुज (चर x) एक स्वतंत्र चर है, आप इसे कोई भी सुविधाजनक मान दे सकते हैं। इस संख्या को समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम चर y का मान ज्ञात करते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण दिया गया है:

मान लीजिए x = 0 है, तो हमें 0 - y + 1 = 0 या y = 1 मिलता है। इसलिए, यदि x = 0, तो y = 1. संख्याओं का एक युग्म (0; 1) इस समीकरण का एक हल है। आइए चर x के लिए एक और मान x = 2 सेट करें। फिर हमें 2 - y + 1 = 0 या y = 3 मिलता है। संख्याओं का युग्म (2; 3) भी इस समीकरण का एक हल है। पाए गए दो बिंदुओं के लिए, समीकरण x - y + 1 = 0 का आलेख बनाना पहले से ही संभव है।

आप यह कर सकते हैं: पहले, चर y के लिए कुछ विशिष्ट मान निर्दिष्ट करें, और उसके बाद ही x के मान की गणना करें।

§ 3 समीकरणों की प्रणाली

दो खोजें प्राकृतिक संख्याएं, जिसका योग 11 है और अंतर 1 है।

इस समस्या को हल करने के लिए, हम पहले एक गणितीय मॉडल (अर्थात्, एक बीजीय मॉडल) तैयार करते हैं। माना पहली संख्या x है, और दूसरी - y है। फिर संख्याओं का योग x + y = 11 और संख्याओं का अंतर x - y = 1। चूँकि दोनों समीकरणों में हम समान संख्याओं की बात कर रहे हैं, तो इन शर्तों को एक साथ पूरा करना होगा। आमतौर पर ऐसे मामलों में एक विशेष अंकन का उपयोग किया जाता है। समीकरणों को एक के नीचे एक लिखा जाता है और एक घुंघराले ब्रेस के साथ जोड़ा जाता है।

इसे समीकरणों की एक प्रणाली कहा जाता है।

अब हम प्रत्येक समीकरण के हलों के समुच्चय की रचना करते हैं, अर्थात्। प्रत्येक समीकरण के रेखांकन। आइए पहला समीकरण लें:

यदि x = 4 है, तो y = 7. यदि x = 9 है, तो y = 2 है।

बिंदुओं (4; 7) और (9; 2) से होकर एक सीधी रेखा खींचिए।

दूसरा समीकरण x - y = 1 लें। यदि x = 5, तो y = 4। यदि x = 7, तो y = 6. बिंदुओं (5; 4) और (7; 6) के माध्यम से हम एक सीधी रेखा भी खींचते हैं। . हमें समस्या का एक ज्यामितीय मॉडल मिला है। संख्याओं का युग्म जिसमें हम रुचि रखते हैं (x; y) दोनों समीकरणों का हल होना चाहिए। आकृति में, हम केवल एक ही बिंदु देखते हैं जो दोनों रेखाओं पर स्थित है, यह रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु है।

इसके निर्देशांक हैं (6; 5)। इसलिए, समस्या का समाधान होगा: पहली आवश्यक संख्या 6 है, दूसरी 5 है।

प्रयुक्त साहित्य की सूची:

1. मोर्दकोविच ए.जी., बीजगणित ग्रेड 7, 2 भागों में, भाग 1, शैक्षिक संस्थानों के लिए पाठ्यपुस्तक / ए.जी. मोर्दकोविच। - 10 वां संस्करण।, संशोधित - मॉस्को, "मेनमोसिन", 2007
2. मोर्दकोविच एजी, बीजगणित ग्रेड 7 2 भागों में, भाग 2, शैक्षिक संस्थानों के लिए समस्या पुस्तक / [ए.जी. मोर्दकोविच और अन्य]; एजी द्वारा संपादित मोर्दकोविच - 10 वां संस्करण, संशोधित - मॉस्को, "मेनमोज़िना", 2007
3. उसके। तुलचिंस्काया, बीजगणित ग्रेड 7. ब्लिट्ज सर्वेक्षण: सामान्य शिक्षा संस्थानों के छात्रों के लिए एक मैनुअल, चौथा संस्करण, संशोधित और विस्तारित, मॉस्को, "मेनमोज़िना", 2008
4. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए., बीजगणित ग्रेड 7. विषयगत परीक्षण नए रूप मेशैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. मोर्दकोविच, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2011
5. अलेक्जेंड्रोवा एल.ए. बीजगणित ग्रेड 7. स्वतंत्र कामशैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए, ए.जी. मोर्दकोविच - 6 वां संस्करण, स्टीरियोटाइप्ड, मॉस्को, "मेनमोसिन", 2010