7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में, वे पहली बार मिलते हैं दो चर में समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला दृष्टि से बाहर हो जाती है, जिसमें कुछ शर्तों को समीकरण के गुणांक पर पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करते हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्ण संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी नजरअंदाज कर दिया जाता है, हालांकि परीक्षा की सामग्रीऔर प्रवेश परीक्षाओं में इस तरह की समस्याएं अधिक से अधिक बार सामने आती हैं।

किस समीकरण को द्विचर समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह x = 2 और y = 3 के लिए वास्तविक समानता में बदल जाता है, इसलिए चर के मूल्यों की यह जोड़ी विचाराधीन समीकरण का समाधान है।

इस प्रकार, दो चरों वाले किसी भी समीकरण का हल क्रमित युग्मों (x; y) का समुच्चय है, चरों के मान जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण कर सकते हैं:

ए) एक समाधान हो।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय हल (0; 0) है;

बी) कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 = 0 के 4 हल हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

वी) कोई समाधान नहीं है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई हल नहीं है;

जी) असीम रूप से कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के हल संख्याएँ होंगी, जिनका योग 3 है। इस समीकरण के हलों का समुच्चय (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी हो। वास्तविक संख्या।

दो चरों वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ हैं, गुणनखंडन व्यंजकों पर आधारित विधियाँ, एक पूर्ण वर्ग को पृथक करना, द्विघात समीकरण के गुणों का उपयोग करना, सीमित व्यंजक और मूल्यांकन विधियाँ। समीकरण, एक नियम के रूप में, एक ऐसे रूप में बदल जाता है जिससे अज्ञात खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण को हल करें: xy - 2 = 2x - y।

समाधान।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य से शर्तों को समूहबद्ध करते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड हटा दें:

वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. हमारे पास है:

y = 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x = -1, y कोई वास्तविक संख्या है।

इस तरह, उत्तर फॉर्म के सभी जोड़े हैं (x; 2), x € R और (-1; y), y € R।

शून्य की समानता नहीं है ऋणात्मक संख्या

उदाहरण 2।

समीकरण को हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y)।

समाधान।

हम समूह:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक कोष्ठक को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0।

दो गैर-ऋणात्मक व्यंजकों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

इसका मतलब है कि x = 2/3 और y = 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन पद्धति

उदाहरण 3.

समीकरण को हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2।

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में, एक पूर्ण वर्ग चुनें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. अनुमान कोष्ठक में भावों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 1 और (y - 2) 2 + 2 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y - 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2)।

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक और विधि से परिचित हों। यह विधि यह है कि समीकरण को के रूप में माना जाता है किसी भी चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4.

समीकरण को हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0।

समाधान।

x के सन्दर्भ में समीकरण को वर्ग के रूप में हल कीजिए। आइए विभेदक का पता लगाएं:

डी = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4 (√y - 2) 2. समीकरण का हल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। y के मान को मूल समीकरण में रखें और ज्ञात करें कि x = 3।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के साथ समीकरणों में वे इंगित करते हैं चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5.

पूरे समीकरण को हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2।

समाधान।

समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखें। परिणामी समीकरण का दाहिना भाग जब 5 से विभाजित होता है तो शेष 2 देता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन एक संख्या का वर्ग जो विभाज्य नहीं है 5 से शेषफल 1 या 4 मिलता है। इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6.

समीकरण को हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

समाधान।

प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्गों का चयन करें:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या बराबर होता है। समानता प्रदान की जा सकती है | x | - 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7.

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x; y) के प्रत्येक युग्म के लिए
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। उत्तर में, छोटी से छोटी राशि का संकेत दें।

समाधान।

आइए पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। 37 के बराबर दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 1 + 36 जोड़ने पर प्राप्त होता है। इसलिए:

(एक्स - वाई) 2 = 36 और (वाई + 2) 2 = 1

(एक्स - वाई) 2 = 1 और (वाई + 2) 2 = 36।

इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान में रखते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर:-17.

यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण से निपट सकते हैं।

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समानता एफ (एक्स; वाई) = 0दो चर में एक समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। इस तरह के समीकरण का समाधान चर के मूल्यों की एक जोड़ी है, जो समीकरण को दो चर में वास्तविक समानता में बदल देता है।

यदि हम दो चर वाले समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, तो परंपरा के अनुसार, हमें x को पहले स्थान पर रखना चाहिए, और y को दूसरे स्थान पर रखना चाहिए।

समीकरण x - 3y = 10 पर विचार करें। जोड़े (10; 0), (16; 2), (-2; -4) माना समीकरण के समाधान हैं, जबकि जोड़ी (1; 5) एक समाधान नहीं है।

इस समीकरण के समाधान के अन्य जोड़े खोजने के लिए, एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना आवश्यक है - उदाहरण के लिए, x से y तक। नतीजतन, हमें समीकरण मिलता है
एक्स = 10 + 3y। आइए y के मनमाना मान चुनकर x के मानों की गणना करें।

यदि y = 7, तो x = 10 + 3 ∙ 7 = 10 + 21 = 31.

यदि y = -2, तो x = 10 + 3 (-2) = 10 - 6 = 4।

अत: युग्म (31; 7), (4; -2) भी दिए गए समीकरण के हल हैं।

यदि दो चर वाले समीकरणों के मूल समान हों, तो ऐसे समीकरण समतुल्य कहलाते हैं।

दो चर वाले समीकरणों के लिए, समीकरणों के तुल्य परिवर्तनों पर प्रमेय मान्य हैं।

दो चर वाले समीकरण के ग्राफ पर विचार करें।

मान लीजिए कि दो चर f (x; y) = 0 वाला एक समीकरण दिया गया है। इसके सभी हलों को पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है विमान का समन्वय, विमान के कुछ अंक प्राप्त करने के बाद। समतल पर बिंदुओं के इस समूह को समीकरण f (x; y) = 0 का आलेख कहा जाता है।

तो, समीकरण y - x 2 = 0 का आलेख परवलय y = x 2 है; समीकरण y - x = 0 का आलेख एक सीधी रेखा है; समीकरण y-3 = 0 का आलेख x-अक्ष आदि के समांतर एक सरल रेखा है।

ax + by = c के रूप का एक समीकरण, जहाँ x और y चर हैं, और a, b और c संख्याएँ हैं, रैखिक कहलाते हैं; संख्या a, b को मुक्त पद के साथ चरों के गुणांक कहा जाता है।

रैखिक समीकरण ax + by = c का आलेख है:

आइए समीकरण 2x - 3y = -6 को प्लॉट करें।

1. क्योंकि चरों का कोई भी गुणांक शून्य के बराबर नहीं है, तो इस समीकरण का आलेख एक सीधी रेखा होगा।

2. एक सीधी रेखा बनाने के लिए हमें उसके कम से कम दो बिंदुओं को जानना होगा। समीकरणों में x मानों को प्रतिस्थापित करें और y मान प्राप्त करें और इसके विपरीत:

यदि x = 0, तो y = 2; (0 x - 3y = -6);

यदि y = 0, तो x = -3; (2x - 3 ∙ 0 = -6)।

तो, हमें ग्राफ के दो बिंदु मिले: (0; 2) और (-3; 0)।

3. आइए प्राप्त बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचते हैं और समीकरण का ग्राफ प्राप्त करते हैं
2x - 3y = -6।

यदि रैखिक समीकरण ax + by = c का रूप 0 + 0 y = c है, तो हमें दो स्थितियों पर विचार करना चाहिए:

1. c = 0. इस स्थिति में, कोई भी युग्म (x; y) समीकरण को संतुष्ट करता है, और इसलिए संपूर्ण निर्देशांक तल समीकरण का आलेख है;

2. 0 के साथ। इस मामले में, समीकरण का कोई हल नहीं है, जिसका अर्थ है कि इसके ग्राफ में एक भी बिंदु नहीं है।

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दो अज्ञात में अरैखिक समीकरण

परिभाषा 1. A को कुछ होने दें संख्याओं के जोड़े का सेट (एक्स; आप) वे कहते हैं कि सेट पर A दिया जाता है संख्यात्मक कार्यजेड दो चर पर x और y, यदि कोई नियम निर्दिष्ट किया जाता है जिसके द्वारा समुच्चय A से प्रत्येक जोड़ी को एक निश्चित संख्या निर्दिष्ट की जाती है।

दो चर x और y में एक संख्यात्मक फ़ंक्शन z निर्दिष्ट करना अक्सर होता है निरूपितइसलिए:

कहाँ पे एफ (एक्स , आप) - किसी फंक्शन के अलावा कोई फंक्शन

एफ (एक्स , आप) = कुल्हाड़ी + बाय + सी ,

जहां ए, बी, सी संख्याएं दी गई हैं।

परिभाषा 3. समीकरण (2) को हल करकेसंख्याओं की एक जोड़ी कॉल करें ( एक्स; आप) जिसके लिए सूत्र (2) एक सच्ची समानता है।

उदाहरण 1। प्रश्न हल करें

चूँकि किसी भी संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं होता है, इसलिए सूत्र (4) से यह पता चलता है कि अज्ञात x और y समीकरणों के निकाय को संतुष्ट करते हैं।

जिसका हल संख्याओं का एक युग्म है (6; 3)।

उत्तर: (6; 3)

उदाहरण 2। प्रश्न हल करें

इसलिए, समीकरण (6) का हल है संख्याओं के जोड़े की अनंत संख्याप्रकार का

(1 + आप ; आप) ,

जहाँ y कोई संख्या है।

रैखिक

परिभाषा 4. समीकरणों की प्रणाली को हल करके

संख्याओं की एक जोड़ी कॉल करें ( एक्स; आप), जब इस प्रणाली के प्रत्येक समीकरण में प्रतिस्थापित किया जाता है, तो सही समानता प्राप्त होती है।

दो समीकरणों के निकाय, जिनमें से एक रैखिक है, का रूप होता है

जी(एक्स , आप)

उदाहरण 4. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान । आइए हम अज्ञात y को सिस्टम के पहले समीकरण (7) से अज्ञात x के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें:

समीकरण को हल करना

एक्स 1 = - 1 , एक्स 2 = 9 .

इसलिये,

आप 1 = 8 - एक्स 1 = 9 ,
आप 2 = 8 - एक्स 2 = - 1 .

दो समीकरणों के निकाय, जिनमें से एक सजातीय है

दो समीकरणों के निकाय, जिनमें से एक सजातीय है, का रूप है

जहाँ a, b, c को संख्याएँ दी गई हैं, और जी(एक्स , आप) दो चर x और y का एक फलन है।

उदाहरण 6. समीकरणों की प्रणाली को हल करें

समाधान । सजातीय समीकरण हल करें

3एक्स 2 + 2xy - आप 2 = 0 ,

3एक्स 2 + 17xy + 10आप 2 = 0 ,

इसे अज्ञात x के संबंध में द्विघात समीकरण के रूप में मानते हुए:

.

मामले में जब एक्स = - 5आप, प्रणाली के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

5आप 2 = - 20 ,

जिसकी कोई जड़ नहीं है।

मामले में जब

सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

,

संख्याओं द्वारा निहित आप 1 = 3 , आप 2 = - 3 . इन y मानों में से प्रत्येक के लिए संगत x मान ज्ञात करने पर, हमें निकाय के दो समाधान प्राप्त होते हैं: (- 2; 3), (2; - 3)।

उत्तर: (- 2; 3), (2; - 3)

अन्य प्रकार के समीकरणों के सिस्टम को हल करने के उदाहरण

उदाहरण 8. समीकरणों की प्रणाली को हल करें (MIPT)

समाधान । हम नए अज्ञात u और v का परिचय देते हैं, जिन्हें सूत्रों द्वारा x और y के रूप में व्यक्त किया जाता है:

नए अज्ञात के संदर्भ में सिस्टम (12) को फिर से लिखने के लिए, हम पहले अज्ञात x और y को u और v के रूप में व्यक्त करते हैं। यह सिस्टम (13) से इस प्रकार है कि

आइए हम इस प्रणाली के दूसरे समीकरण से चर x को छोड़कर रैखिक प्रणाली (14) को हल करें। इस प्रयोजन के लिए, हम सिस्टम पर निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं (14):

• हम सिस्टम के पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ देंगे;
• दूसरे समीकरण से हम पहले समीकरण को घटाते हैं और सिस्टम के दूसरे समीकरण को प्राप्त अंतर से बदल देते हैं।

नतीजतन, सिस्टम (14) एक समान सिस्टम में बदल जाता है

जिससे हम पाते हैं

सूत्रों (13) और (15) का उपयोग करके, हम मूल प्रणाली (12) को फॉर्म में फिर से लिखते हैं

सिस्टम (16) के लिए, पहला समीकरण रैखिक है, इसलिए हम इससे अज्ञात u को अज्ञात v के माध्यम से व्यक्त कर सकते हैं और इस अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में बदल सकते हैं।

रेखीय समीकरणदो चर के साथ - कोई भी समीकरण जो इस तरह दिखता है: ए * एक्स + बी * वाई = सी।यहाँ x और y दो चर हैं, a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

नीचे कुछ हैं रैखिक समीकरणों के उदाहरण

1.10 * x + 25 * y = 150;

एक अज्ञात वाले समीकरणों की तरह, दो चर (अज्ञात) वाले रैखिक समीकरण का भी एक हल होता है। उदाहरण के लिए, x = 8 और y = 3 के साथ रैखिक समीकरण x-y = 5, वास्तविक पहचान 8-3 = 5 में बदल जाता है। इस स्थिति में, संख्याओं x = 8 और y = 3 के युग्म को रैखिक समीकरण x-y = 5 का हल कहा जाता है। आप यह भी कह सकते हैं कि संख्याओं x = 8 और y = 3 का एक युग्म रैखिक समीकरण x-y = 5 को संतुष्ट करता है।

एक रैखिक समीकरण को हल करना

इस प्रकार, रैखिक समीकरण a * x + b * y = c का हल कहलाता है, संख्याओं का कोई भी युग्म (x, y) जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात्, चर x और y वाले समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक में बदल देता है। समानता। ध्यान दें कि कैसे संख्या x और y का एक युग्म यहाँ लिखा गया है। यह प्रविष्टि छोटी और अधिक सुविधाजनक है। केवल यह याद रखना चाहिए कि इस तरह के रिकॉर्ड में पहला स्थान चर x का मान है, और दूसरा चर y का मान है।

ध्यान दें कि संख्याएँ x = 11 और y = 8, x = 205 और y = 200 x = 4.5 और y = -0.5 भी रैखिक समीकरण x-y = 5 को संतुष्ट करती हैं, और इसलिए इस रैखिक समीकरण के समाधान हैं।

दो अज्ञात में एक रैखिक समीकरण को हल करना इकलौता नहीं है।दो अज्ञात में प्रत्येक रैखिक समीकरण के अपरिमित रूप से कई भिन्न हल होते हैं। यानी वहाँ है असीम रूप से कई अलगदो संख्याएँ x और y जो रैखिक समीकरण को सत्य बनाती हैं।

यदि दो चरों वाले अनेक समीकरणों के हल समान हों, तो ऐसे समीकरणों को तुल्य समीकरण कहते हैं। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि दो अज्ञात वाले समीकरणों का कोई हल नहीं है, तो उन्हें भी समतुल्य माना जाता है।

दो अज्ञात में रैखिक समीकरणों के मूल गुण

1. समीकरण के किसी भी पद को एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है, जबकि इसके चिह्न को विपरीत में बदलना आवश्यक है। परिणामी समीकरण मूल के बराबर होगा।

2. समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी संख्या से विभाजित किया जा सकता है जो शून्य नहीं है। नतीजतन, हमें मूल के बराबर एक समीकरण मिलता है।

निर्देश

प्रतिस्थापन विधि एक चर को व्यक्त करें और इसे दूसरे समीकरण में प्रतिस्थापित करें। आप अपनी पसंद के किसी भी वेरिएबल को व्यक्त कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दूसरे समीकरण से "y" व्यक्त करें:
x-y = 2 => y = x-2 फिर सब कुछ पहले समीकरण में डालें:
2x + (x-2) = 10 बिना x के सब कुछ दाईं ओर ले जाएं और गणना करें:
2x + x = 10 + 2
3x = 12 अगला, “x के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करें:
x = 4. तो आपने "x. खोजें "वाई। ऐसा करने के लिए, "x को उस समीकरण में बदलें जिससे आपने व्यक्त किया था" y:
वाई = एक्स-2 = 4-2 = 2
वाई = 2.

इसकी जांच - पड़ताल करें। ऐसा करने के लिए, परिणामी मानों को समीकरणों में प्लग करें:
2*4+2=10
4-2=2
अज्ञात सही पाया!

समीकरणों को जोड़ने या घटाने की विधि एक ही बार में चर से छुटकारा पाएं। हमारे मामले में इसे "y" के साथ करना आसान है।
चूंकि "y विथ साइन" +, और दूसरे "-" में, आप अतिरिक्त ऑपरेशन कर सकते हैं, अर्थात। हम बाएँ भाग को बाईं ओर और दाएँ से दाएँ जोड़ते हैं:
2x + y + (x-y) = 10 + 2 कनवर्ट करें:
2x + y + x-y = 10 + 2
3x = 12
x = 4 किसी भी समीकरण में “x” को प्रतिस्थापित कीजिए और “y” ज्ञात कीजिए:
2 * 4 + वाई = 10
8 + वाई = 10
वाई = 10-8
y \ u003d 2 पहली विधि के अनुसार, आप यह कर सकते हैं कि आपने सही पाया है।

यदि कोई स्पष्ट रूप से परिभाषित चर नहीं हैं, तो समीकरणों को थोड़ा बदलना आवश्यक है।
पहले समीकरण में हमारे पास "2x, और दूसरे में बस" x है। जोड़ने या "x को रद्द करने के लिए, दूसरे समीकरण को 2 से गुणा करें:
एक्स-वाई = 2
2x-2y = 4 फिर पहले समीकरण से दूसरा घटाएं:
2x + y- (2x-2y) = 10-4 ध्यान दें कि यदि कोष्ठक के सामने एक ऋण है, तो इसे खोलने के बाद इसे विपरीत में बदलें:
2x + y-2x + 2y = 6
3y = 6
y = 2 «x किसी भी समीकरण से व्यक्त करके खोजें, अर्थात।
एक्स = 4

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टिप 2: दो चरों में एक रैखिक समीकरण को कैसे हल करें

समीकरण, जिसे सामान्य रूप में लिखा जाता है ax + bу + c = 0, दो . के साथ एक रैखिक समीकरण कहलाता है चर... इस तरह के समीकरण में समाधानों का एक अनंत सेट होता है, इसलिए समस्याओं में यह हमेशा किसी न किसी के साथ पूरक होता है - एक और समीकरण या सीमित स्थितियां। समस्या द्वारा प्रदान की गई शर्तों के आधार पर, दो के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करें चरचाहिए विभिन्न तरीके.

आपको चाहिये होगा

• - दो चर के साथ रैखिक समीकरण;
• - दूसरा समीकरण या अतिरिक्त शर्तों.

निर्देश

यदि आपको दो रैखिक समीकरणों का निकाय दिया गया है, तो इसे इस प्रकार हल करें। उन समीकरणों में से एक चुनें जिसमें गुणांक सामने हों चरछोटे और चरों में से एक को व्यक्त करें, उदाहरण के लिए x। फिर y वाले उस मान को दूसरे समीकरण में प्लग करें। परिणामी समीकरण में, केवल एक चर y होगा, सभी भागों को y से बाईं ओर स्थानांतरित करें, और मुक्त को दाईं ओर स्थानांतरित करें। किसी भी मूल समीकरण में y और स्थानापन्न ज्ञात कीजिए, x ज्ञात कीजिए।

दो समीकरणों की प्रणाली को दूसरे तरीके से हल किया जा सकता है। समीकरणों में से किसी एक को एक संख्या से गुणा करें ताकि किसी एक चर के सामने गुणांक, उदाहरण के लिए, x से पहले, दोनों समीकरणों में समान हो। फिर समीकरणों में से एक को दूसरे से घटाएं (यदि दाहिनी ओर 0 नहीं है, तो उसी तरह दाईं ओर घटाना न भूलें)। आप देखेंगे कि चर x गायब हो गया है और केवल एक चर बचा है। परिणामी समीकरण को हल करें, और किसी भी मूल समानता में y के लिए पाया गया मान बदलें। एक्स खोजें।

दो रैखिक समीकरणों के निकाय को हल करने का तीसरा तरीका आलेखीय है। एक समन्वय प्रणाली बनाएं और दो सीधी रेखाओं के रेखांकन बनाएं, जिनके समीकरण आपके सिस्टम में निर्दिष्ट हैं। ऐसा करने के लिए, समीकरण में x के किन्हीं दो मानों को प्रतिस्थापित करें और संबंधित y खोजें - ये सीधी रेखा से संबंधित बिंदुओं के निर्देशांक होंगे। निर्देशांक अक्षों के साथ प्रतिच्छेदन खोजने का सबसे सुविधाजनक तरीका मानों को x = 0 और y = 0 से बदलना है। इन दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक कार्य होंगे।

यदि समस्या की स्थितियों में केवल एक रैखिक समीकरण है, तो आपको अतिरिक्त शर्तें दी जाती हैं, जिससे आप समाधान ढूंढ सकते हैं। इन स्थितियों को खोजने के लिए समस्या को ध्यान से पढ़ें। अगर चर x और y दूरी, गति, वजन इंगित करते हैं - सीमा x≥0 और y≥0 निर्धारित करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें। यह बहुत संभव है कि सेब आदि की संख्या x या y के नीचे छिपी हो। - तभी मान हो सकते हैं। यदि x पुत्र की आयु है, तो यह स्पष्ट है कि वह पिता से बड़ा नहीं हो सकता है, इसलिए समस्या की स्थितियों में इसे इंगित करें।

स्रोत:

• एक चर में समीकरण को कैसे हल करें

अपने आप समीकरणतीन . के साथ अनजानकई समाधान हैं, इसलिए अक्सर इसे दो और समीकरणों या शर्तों द्वारा पूरक किया जाता है। प्रारंभिक डेटा क्या हैं, इस पर निर्भर करते हुए, निर्णय का तरीका काफी हद तक निर्भर करेगा।

आपको चाहिये होगा

• - तीन अज्ञात के साथ तीन समीकरणों की एक प्रणाली।

निर्देश

यदि तीन में से दो प्रणालियों में तीन में से केवल दो अज्ञात हैं, तो कुछ चर को दूसरों के संदर्भ में व्यक्त करने का प्रयास करें और उन्हें इसमें प्रतिस्थापित करें समीकरणतीन . के साथ अनजान... आपका लक्ष्य इसे नियमित में बदलना है। समीकरणअज्ञात के साथ। यदि ऐसा है, तो आगे का समाधान काफी सरल है - अन्य समीकरणों में पाया गया मान बदलें और अन्य सभी अज्ञात खोजें।

समीकरणों की कुछ प्रणालियों को एक समीकरण से दूसरे समीकरण में घटाया जा सकता है। देखें कि क्या किसी एक चर या एक चर को गुणा करने की संभावना है ताकि दो अज्ञात को एक साथ रद्द किया जा सके। यदि ऐसा अवसर है, तो इसका लाभ उठाएं, सबसे अधिक संभावना है, बाद का निर्णय मुश्किल नहीं होगा। यह मत भूलो कि किसी संख्या से गुणा करते समय, आपको बाईं ओर और दाईं ओर दोनों को गुणा करना होगा। इसी तरह, समीकरणों को घटाते समय, याद रखें कि दाहिनी ओर भी घटाया जाना चाहिए।

यदि पिछली विधियों ने मदद नहीं की, तो तीन . के साथ किसी भी समीकरण को हल करने के लिए सामान्य विधि का उपयोग करें अनजान... ऐसा करने के लिए, समीकरणों को a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1, a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2, a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 के रूप में फिर से लिखें। अब एक्स (ए), अज्ञात के मैट्रिक्स (एक्स) और फ्री (बी) के मैट्रिक्स पर गुणांक के मैट्रिक्स की रचना करें। ध्यान दें, गुणांक के मैट्रिक्स को अज्ञात के मैट्रिक्स से गुणा करने पर, आपको एक मैट्रिक्स, मुक्त सदस्यों का एक मैट्रिक्स, यानी A * X = B मिलता है।

मैट्रिक्स ए को घात (-1) में खोजने के बाद, ध्यान दें कि यह शून्य के बराबर नहीं होना चाहिए। उसके बाद, परिणामी मैट्रिक्स को मैट्रिक्स बी से गुणा करें, परिणामस्वरूप आपको आवश्यक मैट्रिक्स एक्स मिलता है, सभी मूल्यों के साथ।

आप क्रैमर विधि का उपयोग करके तीन समीकरणों के निकाय का हल भी खोज सकते हैं। ऐसा करने के लिए, सिस्टम के मैट्रिक्स के अनुरूप तीसरे क्रम के निर्धारक खोजें। फिर, क्रमिक रूप से तीन और निर्धारक ∆1, 2 और ∆3 खोजें, जो संबंधित कॉलम के मानों के बजाय मुक्त शर्तों के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं। अब x: x1 = ∆1 / , x2 = 2 / , x3 = ∆3 / खोजें।

स्रोत:

• तीन अज्ञात के साथ समीकरणों के समाधान

समीकरणों की एक प्रणाली को हल करना कठिन और रोमांचक है। प्रणाली जितनी जटिल है, उसे हल करना उतना ही दिलचस्प है। अक्सर, हाई स्कूल गणित में, दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली का सामना करना पड़ता है, लेकिन उच्च गणित में अधिक चर हो सकते हैं। सिस्टम को हल करने के कई तरीके हैं।

निर्देश

समीकरणों की प्रणाली को हल करने का सबसे आम तरीका प्रतिस्थापन है। ऐसा करने के लिए, आपको एक चर को दूसरे के माध्यम से व्यक्त करना होगा और इसे दूसरे में बदलना होगा समीकरणसिस्टम, इस प्रकार ला रहे हैं समीकरणएक चर के लिए। उदाहरण के लिए, दिए गए समीकरण: 2x-3y-1 = 0; x + y-3 = 0।

दूसरी अभिव्यक्ति से एक चर को व्यक्त करना सुविधाजनक है, बाकी सब कुछ अभिव्यक्ति के दाईं ओर स्थानांतरित करना, गुणांक के संकेत को बदलना नहीं भूलना: x = 3-y।

हम कोष्ठक खोलते हैं: 6-2y-3y-1 = 0; -5y + 5 = 0; y = 1. हम परिणामी मान y को व्यंजक में प्रतिस्थापित करते हैं: x = 3-y; x = 3-1; x = 2.

प्रथम व्यंजक में, सभी पद 2 हैं, आप गुणन के बंटन गुणधर्म के कोष्ठक के बाहर 2 रख सकते हैं: 2 * (2x-y-3) = 0. अब व्यंजक के दोनों भागों को इस संख्या से कम किया जा सकता है, और फिर हम y को व्यक्त कर सकते हैं, क्योंकि इसका मापांक एक के बराबर है: -y = 3-2x या y = 2x-3।

जैसे पहले मामले में, हम इस व्यंजक को दूसरे में प्रतिस्थापित करते हैं समीकरणऔर हम प्राप्त करते हैं: 3x + 2 * (2x-3) -8 = 0; 3x + 4x-6-8 = 0; 7x-14 = 0; 7x = 14; x = 2. परिणामी मान को व्यंजक में रखें: वाई = 2x -3; वाई = 4-3 = 1।

हम देखते हैं कि y पर गुणांक मान में समान है, लेकिन संकेत में भिन्न है, इसलिए, यदि हम इन समीकरणों को जोड़ते हैं, तो हम y से बिल्कुल छुटकारा पाएंगे: 4x + 3x-2y + 2y-6-8 = 0; 7x -14 = 0; x = 2 सिस्टम के दो समीकरणों में से किसी एक में x का मान रखें और y = 1 प्राप्त करें।

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द्विकद्रत समीकरणप्रतिनिधित्व करता है समीकरणचौथी डिग्री, सामान्य फ़ॉर्मजिसे व्यंजक ax ^ 4 + bx ^ 2 + c = 0 द्वारा दर्शाया जाता है। इसका समाधान अज्ञात के प्रतिस्थापन की विधि पर आधारित है। इस मामले में, x ^ 2 को दूसरे चर से बदल दिया जाता है। इस प्रकार, परिणाम सामान्य वर्ग है समीकरणहै, जिसका निराकरण आवश्यक है।

निर्देश

वर्ग हल करें समीकरणप्रतिस्थापन के परिणामस्वरूप। ऐसा करने के लिए, पहले सूत्र के अनुसार मान की गणना करें: D = b ^ 2? 4एसी इस मामले में, चर a, b, c हमारे समीकरण के गुणांक हैं।

द्विघात समीकरण के मूल ज्ञात कीजिए। ऐसा करने के लिए, प्राप्त समाधानों का वर्गमूल लें। अगर एक समाधान था, तो दो होंगे - सकारात्मक और नकारात्मक अर्थवर्गमूल। यदि दो हल होते, तो द्विघात समीकरण के चार मूल होंगे।

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में से एक क्लासिक तरीकेरैखिक समीकरणों को हल करने वाली प्रणाली गॉस विधि है। इसमें चरों का क्रमिक उन्मूलन होता है, जब सरल परिवर्तनों की मदद से समीकरणों की एक प्रणाली को एक चरण प्रणाली में अनुवादित किया जाता है, जिसमें से सभी चर क्रमिक रूप से पाए जाते हैं, जो बाद वाले से शुरू होते हैं।

निर्देश

सबसे पहले, समीकरणों की प्रणाली को ऐसे रूप में लाएं जब सभी अज्ञात एक कड़ाई से परिभाषित क्रम में हों। उदाहरण के लिए, सभी अज्ञात X प्रत्येक पंक्ति पर पहले दिखाई देंगे, X के बाद सभी Ys, Y के बाद सभी Zs, और इसी तरह आगे भी। प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर कोई अज्ञात नहीं होना चाहिए। अपने मन में प्रत्येक अज्ञात के सामने गुणांकों की पहचान करें, साथ ही प्रत्येक समीकरण के दाईं ओर गुणांकों को भी पहचानें।