दो चर के साथ रेखीय समीकरण। दो चर के साथ समीकरण

समानता f (x; y) \u003d 0  दो चर के साथ एक समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है। इस समीकरण का हल चर मानों की एक जोड़ी है, जो समीकरण को दो चर के साथ सही समानता में बदल देता है।

यदि हमारे पास दो चर के साथ एक समीकरण है, तो उसके रिकॉर्ड में, परंपरा से, हमें पहले स्थान पर x, और दूसरे में y रखना चाहिए।

समीकरण पर विचार करें x - 3y \u003d 10. जोड़े (10; 0), (16; 2), (-2; -4) प्रश्न में समीकरण के समाधान हैं, जबकि जोड़ी (1; 5) कोई हल नहीं है।

इस समीकरण के अन्य युग्मों को खोजने के लिए, एक चर को दूसरे द्वारा व्यक्त किया जाना चाहिए - उदाहरण के लिए, x y के माध्यम से। नतीजतन, हम समीकरण प्राप्त करते हैं
x \u003d 10 + 3y हम y के मनमाने मूल्यों को चुनकर x के मूल्यों की गणना करते हैं।

यदि y \u003d 7, तो x \u003d 10 + 3 10 7 \u003d 10 + 21 \u003d 31।

यदि y \u003d -2, तो x \u003d 10 + 3 -2 (-2) \u003d 10 - 6 \u003d 4।

इस प्रकार, जोड़े (31; 7), (4; -2) भी किसी दिए गए समीकरण के हल हैं।

यदि दो चर वाले समीकरणों की जड़ें समान होती हैं, तो ऐसे समीकरणों को समतुल्य कहा जाता है।

समीकरणों के समान परिवर्तनों पर दो चर वाले समीकरण प्रमेय रखते हैं।

दो चर के साथ एक समीकरण के ग्राफ पर विचार करें।

दो चर f (x; y) \u003d 0 के साथ एक समीकरण दें। इसके सभी समाधानों को समतल विमान पर बिंदुओं द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिससे विमान पर कुछ निश्चित बिंदु प्राप्त होते हैं। समतल पर बिंदुओं के इस सेट को समीकरण f (x; y) \u003d 0 का ग्राफ कहा जाता है।

तो, समीकरण y - x 2 \u003d 0 का ग्राफ parabola y \u003d x 2 है; समीकरण y - x \u003d 0 का ग्राफ एक सीधी रेखा है; समीकरण y - 3 \u003d 0 का ग्राफ x अक्ष आदि के समानांतर एक सीधी रेखा है।

एक्स + द्वारा \u003d, जहां एक्स और वाई चर हैं, और ए, बी और सी संख्या हैं, फॉर्म एक्सल का एक समीकरण रैखिक कहा जाता है; संख्याओं, बी को चर का गुणांक कहा जाता है, जिसके साथ - मुक्त शब्द।

रैखिक समीकरण ax + by \u003d c का ग्राफ है:

हम समीकरण 2x - 3y \u003d -6 को प्लॉट करते हैं।

1. चूंकि चूंकि चर में कोई भी गुणांक शून्य के बराबर नहीं है, तो इस समीकरण का ग्राफ एक सीधी रेखा होगी।

2. एक लाइन बनाने के लिए, हमें इसके कम से कम दो बिंदुओं को जानना होगा। हम समीकरणों में x के मानों को प्रतिस्थापित करते हैं और y और इसके विपरीत के मान प्राप्त करते हैं:

यदि x \u003d 0, तो y \u003d 2; (0; x - 3y \u003d -6);

यदि y \u003d 0, तो x \u003d -3; (2x - 3 ∙ 0 \u003d -6)।

तो, हमें ग्राफ के दो अंक मिले: (0; 2) और (-3; 0)।

3. प्राप्त बिंदुओं के माध्यम से एक सीधी रेखा खींचें और समीकरण का एक ग्राफ प्राप्त करें
  2x - 3y \u003d -6।

यदि रैखिक समीकरण ax + by \u003d c का रूप 0 0 x + 0 ∙ y \u003d c है, तो हमें दो मामलों पर विचार करना चाहिए:

1. सी \u003d 0. इस मामले में, समीकरण किसी भी जोड़ी (एक्स; वाई) को संतुष्ट करता है, और इसलिए समीकरण का ग्राफ पूरे समन्वय विमान है;

2. с solution 0. इस मामले में, समीकरण का कोई हल नहीं है, इसलिए इसके ग्राफ में कोई अंक नहीं है।

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दो चर के साथ एक रेखीय समीकरण कोई भी समीकरण है जिसका निम्न रूप है: एक * x + b * y \u003d s।  यहाँ x और y दो चर हैं, a, b, c कुछ संख्याएँ हैं।

नीचे कुछ हैं रैखिक समीकरणों के उदाहरण।

1.10 * x + 25 * y \u003d 150;

एक अज्ञात के साथ समीकरणों की तरह, दो चर (अज्ञात) के साथ एक रेखीय समीकरण का भी एक समाधान होता है। उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरण x-y \u003d 5, x \u003d 8 और y \u003d 3 के लिए, सही पहचान 8-3 \u003d 5 में बदल जाता है। इस मामले में, वे कहते हैं कि संख्याओं की एक जोड़ी x \u003d 8 और y \u003d 3 रैखिक समीकरण x-y \u003d 5 का हल है। हम यह भी कह सकते हैं कि संख्याओं की एक जोड़ी x \u003d 8 और y \u003d 3 रैखिक समीकरण x-y \u003d 5 को संतुष्ट करती है।

रैखिक समीकरण समाधान

इस प्रकार, रैखिक समीकरण को एक * x + b * y \u003d c हल करने से, इसे संख्याओं (x, y) की किसी भी जोड़ी कहा जाता है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, अर्थात, चर x और y के साथ समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदल देता है। ध्यान दें कि कैसे संख्या x और y की जोड़ी यहां लिखी गई है। ऐसा रिकॉर्ड छोटा और अधिक सुविधाजनक है। यह केवल याद रखना चाहिए कि इस तरह के रिकॉर्ड में पहले स्थान पर चर x का मूल्य है, और दूसरे में - चर y का मान है।

कृपया ध्यान दें कि संख्या x \u003d 11 और y \u003d 8, x \u003d 205 और y \u003d 200 x \u003d 4.5 और y \u003d -0.5 भी रैखिक समीकरण xy \u003d 5 को संतुष्ट करते हैं, और इसलिए इस रैखिक समीकरण के समाधान हैं।

दो अज्ञात के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करना केवल एक ही नहीं है।  दो अज्ञात के साथ प्रत्येक रैखिक समीकरण में असीम रूप से कई अलग-अलग समाधान होते हैं। जो है, है बहुत अलग है  दो संख्याएँ x और y, जो रैखिक समीकरण को एक सही पहचान में बदल देती हैं।

यदि दो चर वाले कई समीकरणों का एक ही हल है, तो ऐसे समीकरणों को समान समीकरण कहा जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि यदि दो अज्ञात वाले समीकरणों का कोई समाधान नहीं है, तो उन्हें भी समकक्ष माना जाता है।

दो अज्ञात के साथ रैखिक समीकरणों के मूल गुण

1. समीकरण में कोई भी शब्द एक भाग से दूसरे भाग में स्थानांतरित किया जा सकता है, जबकि इसके संकेत को विपरीत में बदलना आवश्यक है। परिणामी समीकरण मूल के बराबर होगा।

2. समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी भी संख्या में विभाजित किया जा सकता है जो शून्य के बराबर नहीं है। नतीजतन, हम मूल एक के बराबर एक समीकरण प्राप्त करते हैं।

ग्रेड 7 के गणित के दौरान, वे पहली बार मिलते हैं दो चर समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणाली के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला दृष्टि से बाहर हो जाती है, जिसमें समीकरण की गुणांक पर कुछ शर्तों को पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करता है। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्णांक संख्याओं में समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीके भी उपेक्षित हैं, हालांकि इस तरह की समस्या परीक्षा के प्रश्नपत्रों और प्रवेश परीक्षाओं में अधिक बार पाई जाती है।

किस समीकरण को दो चर के साथ एक समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20, या xy \u003d 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y \u003d 1. पर विचार करें। यह x \u003d 2 और y \u003d 3 के लिए सही समानता में बदल जाता है; इसलिए, चर मानों की यह जोड़ी प्रश्न में समीकरण का हल है।

इस प्रकार, दो चर के साथ किसी भी समीकरण का हल क्रमबद्ध जोड़े (x; y) का सेट है, चर के मान जो इस समीकरण को सही संख्यात्मक समानता में बदलते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण:

क) एक उपाय है।  उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 \u003d 0 का एक अनूठा समाधान है (0; 0);

ख) कई समाधान हैं।  उदाहरण के लिए, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 के 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), - (-5;) 2);

ग) कोई निर्णय नहीं है।  उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 का कोई समाधान नहीं है;

छ) असीम रूप से कई निर्णय लिए हैं।  उदाहरण के लिए, x + y \u003d 3. इस समीकरण के समाधान वह संख्याएँ होंगी जिनका योग 3 है। इस समीकरण के समाधानों का सेट फॉर्म (k; 3 - k) में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी वास्तविक संख्या है।

दो चरों के साथ समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ अभिव्यक्ति को गुणन करने, पूर्ण वर्ग को निकालने, द्विघात समीकरण के गुणधर्मों का उपयोग करने, अभिव्यक्ति की सीमा और आकलन के तरीकों के आधार पर विधियाँ हैं। एक नियम के रूप में, समीकरण को एक ऐसे रूप में परिवर्तित किया जाता है जिसमें से अज्ञात को खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

फैक्टरिंग

उदाहरण 1

समीकरण को हल करें: xy - 2 \u003d 2x - y।

निर्णय।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य के लिए शर्तें रखते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. प्रत्येक कोष्ठक से हम सामान्य कारक निकालते हैं:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (y - 2) \u003d 0. हमारे पास है:

y \u003d 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x \u003d -1 है, y कोई भी वास्तविक संख्या है।

इस तरह से उत्तर फॉर्म (x; 2), x € R और (-1; y), y € R के सभी जोड़े हैं।

शून्य गैर-ऋणात्मक संख्याओं के बराबर है

उदाहरण 2

समीकरण को हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 \u003d 12 (x + y)।

निर्णय।

समूह:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) \u003d 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को अंतर के वर्ग के सूत्र का उपयोग करके ढहाया जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0।

दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग केवल शून्य है यदि 3x - 2 \u003d 0 और 2y - 3 \u003d 0 हो।

तो x \u003d 2/3 और y \u003d 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन विधि

उदाहरण 3

समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) \u003d 2।

निर्णय।

प्रत्येक ब्रैकेट में, पूर्ण वर्ग का चयन करें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. अनुमान कोष्ठकों में अभिव्यक्तियों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 and 1 और (y - 2) 2 + 2 1 2, तो समीकरण के बाईं ओर हमेशा 2 से कम नहीं है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 और (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, जिसका अर्थ है x \u003d -1, y \u003d 2।

उत्तर: (-1; 2)।

आइए दूसरी डिग्री के दो चर के साथ समीकरणों को हल करने की एक और विधि से परिचित हों। इस पद्धति में इस तथ्य को समाहित किया गया है कि समीकरण को किस रूप में माना जाता है किसी भी चर के सापेक्ष वर्ग.

उदाहरण 4

समीकरण हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0।

निर्णय।

X के संबंध में द्विघात के रूप में समीकरण को हल करें। विवेचक का पता लगाएं:

D \u003d 36 - 4 (y - 4√y + 13) \u003d -4y + 16 --y - 16 \u003d -4 ()y - 2) 2। समीकरण में केवल D \u003d 0 के लिए एक समाधान होगा, यदि y \u003d 4. हम मूल समीकरण में y के मान को प्रतिस्थापित करते हैं और उस x \u003d 3 को पाते हैं।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के साथ समीकरणों में संकेत मिलता है चर प्रतिबंध.

उदाहरण 5

पूर्णांकों में समीकरण हल करें: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2।

निर्णय।

हम x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2 के रूप में समीकरण को फिर से लिखते हैं। 5 से विभाजित होने पर परिणामी समीकरण का दाईं ओर भाग शेष 2 देता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन 5 से विभाज्य नहीं संख्या का वर्ग शेष 1 देता है। 1 या 4. इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं हैं।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6

समीकरण हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3

निर्णय।

प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्ग का चयन करें:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) \u003d 3. समीकरण के बाईं ओर का भाग हमेशा 3 से अधिक या बराबर होता है। समानता प्रदान की जाती है। x | - 2 \u003d 0 और y + 3 \u003d 0. इस प्रकार, x \u003d y 2, y \u003d -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7

समीकरण को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक जोड़ी के लिए पूर्णांक ऋणात्मक (x; y)
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, योग की गणना करें (x + y)। प्रतिक्रिया में रकम का सबसे छोटा संकेत मिलता है।

निर्णय।

पूर्ण वर्ग का चयन करें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) \u003d 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. चूंकि x और y पूर्णांक हैं, इसलिए उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। दो पूर्णांकों के वर्गों का योग, 37 के बराबर है, अगर हम 1 + 36 जोड़ते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं। इसलिए:

(x - y) 2 \u003d 36 और (y + 2) 2 \u003d 1

(x - y) 2 \u003d 1 और (y + 2) 2 \u003d 36

इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान रखना कि x और y नकारात्मक हैं, हम समाधान खोजते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर: -17।

निराशा न करें यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई होती है। थोड़ा अभ्यास, और आप किसी भी समीकरण को संभाल सकते हैं।

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  Nonlinear समीकरण दो अज्ञात के साथ

परिभाषा १। A को कुछ होने दो संख्याओं के कई जोड़े (एक्स; y)। उनका कहना है कि सेट पर ए संख्यात्मक कार्य  z दो चर से  x और y, यदि एक नियम निर्दिष्ट किया जाता है जिसके द्वारा सेट A से प्रत्येक जोड़ी संख्या एक निश्चित संख्या के साथ जुड़ी होती है।

दो चर x और y का संख्यात्मक कार्य z सेट करना अक्सर होता है का प्रतिनिधित्व  इस तरह:

जहाँ च (एक्स , y)   - किसी फंक्शन के अलावा कोई फंक्शन

च (एक्स , y) = ax + by + c ,

जहाँ a, b, c को नंबर दिए गए हैं।

परिभाषा 3। समीकरण का हल (2)  संख्याओं की एक जोड़ी कहा जाता है ( एक्स; y) किस सूत्र (2) के लिए एक वैध समानता है।

उदाहरण 1 समीकरण हल करें

चूँकि किसी भी संख्या का वर्ग गैर-ऋणात्मक होता है, यह सूत्र (4) से आता है कि अज्ञात x और y समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करते हैं

जिसका समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है (6; 3)।

उत्तर: (6; 3)

उदाहरण 2 समीकरण हल करें

इसलिए, समीकरण (6) का समाधान है संख्याओं के जोड़े की एक अनंत संख्या  की तरह

(1 + y ; y) ,

जहाँ y कोई भी संख्या है

   रैखिक

परिभाषा ४। समीकरणों की एक प्रणाली को हल करके

संख्याओं की एक जोड़ी कहा जाता है ( एक्स; y), इस प्रणाली के समीकरणों में से प्रत्येक का प्रतिस्थापन सही समानता देता है।

दो समीकरणों के सिस्टम, जिनमें से एक रैखिक है, का रूप है

जी(एक्स , y)

उदाहरण 4 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

निर्णय। सिस्टम के पहले समीकरण (7) से अज्ञात y को अज्ञात x के माध्यम से व्यक्त करें और परिणामी अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में स्थान दें:

समीकरण को हल करना

एक्स 1 = - 1 , एक्स 2 = 9 .

इसलिए,

y 1 = 8 - एक्स 1 = 9 ,
y 2 = 8 - एक्स 2 = - 1 .

  दो समीकरणों के सिस्टम, जिनमें से एक सजातीय है

दो समीकरणों के सिस्टम, जिनमें से एक सजातीय है, का रूप है

जहाँ a, b, c को नंबर दिए गए हैं, और जी(एक्स , y)   दो चर x और y का एक कार्य है।

उदाहरण 6 समीकरणों की एक प्रणाली को हल करें

निर्णय। सजातीय समीकरण हल करें

3एक्स 2 + 2xy - y 2 = 0 ,

3एक्स 2 + 17xy + 10y 2 = 0 ,

इसे अज्ञात x के लिए द्विघात समीकरण के रूप में मानते हुए:

.

मामले में जब एक्स = - 5y , सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

5y 2 = - 20 ,

जिसकी कोई जड़ें नहीं हैं।

मामले में जब

सिस्टम के दूसरे समीकरण (11) से हम समीकरण प्राप्त करते हैं

,

जिनकी जड़ संख्या है y 1 = 3 , y 2 = - 3 .   इनमें से प्रत्येक y के लिए खोजने के लिए संबंधित x मान है, हम सिस्टम के दो समाधान प्राप्त करते हैं: (- 2; 3), (2; - 3)।

उत्तर: (- 2; 3), (2; - 3)

  अन्य प्रकार के समीकरणों के समाधान प्रणालियों के उदाहरण

उदाहरण 8 समीकरणों की प्रणाली को हल करें (MIPT)

निर्णय। हम नए अज्ञात यू और वी का परिचय देते हैं, जिन्हें सूत्र द्वारा x और y के रूप में व्यक्त किया जाता है:

नए अज्ञात के माध्यम से सिस्टम (12) को फिर से लिखने के लिए, हम पहले यू और वी के माध्यम से अज्ञात एक्स और वाई को व्यक्त करते हैं। यह सिस्टम (13) से निम्नानुसार है

हम इस प्रणाली के दूसरे समीकरण से चर x को समाप्त करके रैखिक प्रणाली (14) को हल करते हैं। इसके लिए, हम सिस्टम पर निम्नलिखित परिवर्तन करते हैं (14):

• सिस्टम के पहले समीकरण को अपरिवर्तित छोड़ दिया गया है;
• दूसरे समीकरण से पहले समीकरण को घटाएं और प्राप्त अंतर के साथ सिस्टम के दूसरे समीकरण को बदलें।

नतीजतन, सिस्टम (14) इसके बराबर प्रणाली में तब्दील हो जाता है

जिससे हम पाते हैं

सूत्र (13) और (15) का उपयोग करते हुए, हम फॉर्म में मूल प्रणाली (12) को फिर से लिखते हैं

सिस्टम (16) के लिए, पहला समीकरण रैखिक है, इसलिए हम अज्ञात वी के माध्यम से अज्ञात यू को व्यक्त कर सकते हैं और इस अभिव्यक्ति को सिस्टम के दूसरे समीकरण में बदल सकते हैं।

विषय:रैखिक समारोह

सबक:दो चर और इसके ग्राफ के साथ रेखीय समीकरण

हम समन्वय अक्ष और समन्वय विमान की अवधारणाओं से परिचित हुए। हम जानते हैं कि विमान का प्रत्येक बिंदु विशिष्ट रूप से संख्याओं की एक जोड़ी (x; y) को परिभाषित करता है, जिसमें पहला नंबर बिंदु का फरसीसा होता है, और दूसरा क्रमबद्ध होता है।

हम अक्सर दो चर के साथ एक रेखीय समीकरण के साथ मिलेंगे, जिसका समाधान संख्याओं की एक जोड़ी है जिसे समन्वित विमान पर दर्शाया जा सकता है।

फार्म का समीकरण:

जहां a, b, c नंबर हैं, और

इसे दो चर x और y के साथ एक रेखीय समीकरण कहा जाता है। इस समीकरण का हल x और y की कोई भी ऐसी जोड़ी है, जो यह बताती है कि किस समीकरण में हमें सही संख्यात्मक समानता मिलती है।

एक बिंदु के रूप में समन्वय विमान पर संख्याओं की एक जोड़ी प्रदर्शित की जाएगी।

ऐसे समीकरणों के लिए हम कई समाधानों को देखेंगे, अर्थात् संख्याओं के कई जोड़े, और सभी संबंधित बिंदु एक सीधी रेखा पर स्थित होंगे।

एक उदाहरण पर विचार करें:

इस समीकरण के समाधान खोजने के लिए, आपको संख्याओं के उपयुक्त युग्मों को चुनने की आवश्यकता है x और y:

फिर, मूल समीकरण एक अज्ञात के साथ समीकरण में बदल जाता है:

,

अर्थात्, संख्याओं की पहली जोड़ी जो दिए गए समीकरण का हल है (0; 3)। समझे बिंदु A (0; 3)

करते हैं। हमें एक चर के साथ मूल समीकरण मिलता है: यहाँ से, हमें बिंदु B (3; 0) मिला

तालिका में संख्याओं के जोड़े रखें:

हम ग्राफ पर अंक बनाते हैं और एक सीधी रेखा खींचते हैं:

ध्यान दें कि दी गई रेखा पर कोई भी बिंदु दिए गए समीकरण का हल होगा। जाँच करें - हम एक समन्वय के साथ एक बिंदु लेते हैं और अनुसूची के अनुसार हम इसका दूसरा समन्वय पाते हैं। जाहिर है इस बिंदु पर। समीकरण में संख्याओं के इस जोड़े को प्रतिस्थापित करें। हम 0 \u003d 0 - एक वास्तविक संख्यात्मक समानता प्राप्त करते हैं, इसलिए एक सीधी रेखा पर स्थित एक बिंदु एक समाधान है।

अब तक, हम यह साबित नहीं कर सकते हैं कि सीधी रेखा पर स्थित कोई भी बिंदु समीकरण का हल है, इसलिए हम इसे सच्चाई के लिए लेते हैं और बाद में साबित करते हैं।

उदाहरण 2 - समीकरण को प्लॉट करें:

आइए एक तालिका बनाएं, हमारे लिए दो बिंदुओं की एक सीधी रेखा बनाना पर्याप्त है, लेकिन नियंत्रण के लिए एक तिहाई लें:

पहले कॉलम में हमने एक सुविधाजनक लिया, हम इस पर पाते हैं:

, ,

दूसरे कॉलम में हमने सुविधाजनक लिया, हम पाते हैं कि x:

, , ,

सत्यापन के लिए ले लो और से मिल:

, ,

चलो साजिश करते हैं:

दिए गए समीकरण को दो से गुणा करें:

इस तरह के परिवर्तन से, कई निर्णय नहीं बदलेंगे और अनुसूची एक ही रहेगी।

निष्कर्ष: हमने समीकरणों को दो चरों के साथ हल करना सीखा और उनके ग्राफ को प्लॉट किया, यह सीखा कि इस तरह के समीकरण का ग्राफ एक रेखा है और इस रेखा का कोई भी बिंदु समीकरण का एक हल है।

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टास्क 2: मर्ज़ीलैक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, नंबर 961, कला। 210;

टास्क 3: मर्ज़ाइलक ए.जी., पोलोनस्की वी.बी., याकिर एम.एस. बीजगणित 7, नंबर 962, कला। 210;