ऑनलाइन शेड्यूल का निर्माण। समन्वय विमान पर समीकरण ग्राफ समीकरण का ग्राफ कैसे बनाएं

समीकरण का एक ग्राफ बनाएं कई लोगों की तुलना में बहुत आसान है। इस प्रक्रिया के बुनियादी सिद्धांतों को समझने के लिए, गणित में कक्षा में गणितीय प्रतिभा या पहले होना आवश्यक नहीं है। यह आलेख वर्णन करता है कि चार्ट पर रैखिक और वर्ग समीकरणों और असमानताओं को चित्रित करने के साथ-साथ मॉड्यूल के समीकरणों को कैसे चित्रित किया जाए।

कदम

ग्राफ रैखिक समीकरण

सूत्र का उपयोग करें y \u003d mx + b. एक रैखिक समीकरण के ग्राफ का निर्माण करने के लिए, मूल्यों को इस सूत्र में आसानी से प्रतिस्थापित करना आवश्यक है।

• यह सूत्र चर के बीच एक कनेक्शन स्थापित करता है एक्स। तथा वाई.
• पैरामीटर म। सीधे ढलान से मेल खाता है। दूसरे शब्दों में, म। विकास दर (या कमी) को इंगित करता है वाई परिवर्तन के साथ एक्स।.
• पैरामीटर बी इंगित करता है कि संबंधित समीकरण लाइन अक्ष को पार करती है वाई.

1. एक अनुसूची का निर्माण। रैखिक समीकरण को सबसे अधिक विशिष्ट रूप से चित्रित किया गया है, क्योंकि शेड्यूल बनाने से पहले गिनने की कोई आवश्यकता नहीं है। शुरू करने के लिए, एक आयताकार समन्वय प्रणाली का निर्माण।

   एक्सिस के साथ लाइन चौराहे का पता लगाएं वाई (यह है बी). उदाहरण के लिए, समीकरण के मामले में वाई=2एक्स।-1 पैरामीटर बी -1 के बराबर, वह है, रेखा धुरी को पार करती है वाई बिंदु -1 पर।

   • धुरी के चौराहे के बिंदु पर वाई समन्वय एक्स। हमेशा 0. का मान लेता है, इस प्रकार, हमारे उदाहरण में, चौराहे बिंदु समन्वय (0, -1) है।
   • एक्सिस के साथ लाइन पर लाइन चौराहे बिंदु को चिह्नित करें वाई.

2. लाइन की ढलान का पता लगाएं। प्रत्यक्ष ढलान के लिए पैरामीटर से मेल खाता है म।। समीकरण के मामले में वाई=2एक्स।-1 यह पैरामीटर 2. है। हालांकि, यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि ढलान एक बदलाव को इंगित करता है वाई विकास के साथ एक्स।, यानी, इसे एक अंश के रूप में प्रस्तुत किया जाना चाहिए। समन्वय के तहत एक्स। एक पूर्णांक 2 है, आप 2/1 के रूप में एक ढलान लिख सकते हैं।

   • अनुसूची पर ढलान को चित्रित करने के लिए, धुरी चौराहे बिंदु से शुरू करें वाई। इस मामले में, समन्वय का परिवर्तन वाई संख्यात्मक के अनुरूप, और समन्वय परिवर्तन एक्स। - denominator fraci।
   • हमारे उदाहरण में, आप पॉइंट -1 से शुरू कर सकते हैं और 2 और दाएं से 1 तक जा सकते हैं।
   • एक सकारात्मक ढलान का मतलब है कि विकास के साथ एक्स। आप चढ़ रहे हैं वाई, जबकि एक नकारात्मक ढलान के साथ वाई घटता है। परिवर्तनशील एक्स। यह क्षैतिज धुरी के साथ दाईं ओर बढ़ता है और बाईं ओर घटता है।
   • झुकाव का निर्धारण करते समय, आप कितने अंक का उपयोग कर सकते हैं, हालांकि केवल एक बिंदु पर्याप्त है।

3. एक सीधी रेखा बिताएं। सीधे झुकाव निर्धारित करने के बाद और कम से कम एक बिंदु लागू करने के बाद, आप इसे एक्सिस चौराहे बिंदु से जोड़ सकते हैं वाई और एक सीधी रेखा बिताएं। ग्राफ के किनारों पर लाइन जारी रखें और इसके अंत में एक तीर खींचें ताकि यह जारी रखा जा सके।

   एक चर के साथ असमानता का चार्ट

   1. एक संख्यात्मक रेखा बनाएं। चूंकि एक चर के साथ असमानता की छवि पर्याप्त एक अक्ष है, इसलिए एक आयताकार समन्वय प्रणाली तैयार करने की आवश्यकता नहीं है। इसके बजाय, बस लाइन स्वाइप करें।

      चित्र असमानता। यह काफी सरल है, क्योंकि केवल एक समन्वय होता है। मान लीजिए आपको असमानता को चित्रित करने की आवश्यकता है एक्स।<1. Для начала следует найти на оси число 1.

      एक रेखा बिताओ। संख्यात्मक अक्ष पर केवल चिह्नित बिंदु से एक रेखा खर्च करें। यदि चर इस संख्या से अधिक है, तो दाईं ओर लाइन को अलग करें। यदि चर कम है, तो बाईं ओर लाइन चलाएं। लाइन के अंत में, तीर को यह दिखाने के लिए रखें कि यह एक सीमित खंड नहीं है और आगे बढ़ता है।

      उत्तर की जाँच करें। एक चर के बजाय स्थानापन्न एक्स। कोई भी संख्या और संख्यात्मक अक्ष पर इसकी स्थिति को चिह्नित करें। यदि यह संख्या आपके द्वारा खर्च की गई रेखा पर निहित है, तो शेड्यूल वफादार है।

   ग्राफ रैखिक असमानता

   एक सीधी रेखा के सूत्र का उपयोग करें। इस तरह के सूत्र परंपरागत रैखिक समीकरणों के लिए उच्च उपयोग किया गया था, लेकिन इस मामले में, '\u003d' चिह्न के बजाय, एक असमानता चिह्न लगाया जाना चाहिए। यह निम्नलिखित संकेतों में से एक हो सकता है:<, >, ≤ (\\ Displaystyle \\ leq) या ≥ (\\ Displaystyle \\ GEQ).

   • सीधी रेखा समीकरण है y \u003d mx + bकहां है म। ढलान के अनुरूप, और बी - धुरी के साथ चौराहे वाई
   • असमानता का संकेत का अर्थ है कि इस अभिव्यक्ति में कई समाधान हैं।

   1. चित्र असमानता। धुरी के साथ सीधे बिंदु खोजें वाई और इसके झुकाव, जिसके बाद प्रासंगिक निर्देशांक नोट किए जाते हैं। उदाहरण के रूप में, असमानता पर विचार करें वाई>1/2एक्स।+1। इस मामले में, सीधी रेखा धुरी पार कर जाएगी वाई के लिये एक्स।\u003d 1, और इसकी ढलान ½ होगी, यानी, 2 इकाइयों तक पहुंचने पर, हम 1 इकाई से बढ़ेंगे।

      एक रेखा बिताओ। असमानता के संकेत पर इसे देखो। यदि यह< или >एक बिंदीदार रेखा की जानी चाहिए। यदि असमानता एक संकेत है ≤ (\\ Displaystyle \\ leq) या ≥ (\\ Displaystyle \\ GEQ)रेखा ठोस होना चाहिए।

      पट्टी ग्राफ। चूंकि असमानता में कई समाधान हैं, ग्राफ को सभी संभावित समाधान दिखाना चाहिए। इसका मतलब है कि रेखा पर या इसके तहत क्षेत्र को हिला देना आवश्यक है।

   अनुसूची वर्ग समीकरण

   सूत्र को देखो। एक वर्ग समीकरण में, कम से कम एक चर एक वर्ग में बनाया जाता है। आम तौर पर, वर्ग समीकरण निम्नलिखित रूप में लिखा गया है: y \u003d ax 2 + bx + c.

   • एक वर्ग समीकरण के चार्ट का निर्माण करते समय, आपके पास एक पैराबोला होगा, यानी, लैटिन पत्र 'यू' के रूप में वक्र।
   • एक पैराबोला बनाने के लिए, आपको पैराबोला (इसके केंद्रीय बिंदु) की चोटियों सहित कम से कम तीन अंकों के निर्देशांक को जानना होगा।

   1. निर्धारित ए, बी। तथा सी। उदाहरण के लिए, समीकरण में y \u003d x 2 + 2x + 1 ए।=1, बी\u003d 2 I. सी।\u003d 1। प्रत्येक पैरामीटर एक संख्या है जो चर के सामने उचित डिग्री के लिए खड़ी होती है। उदाहरण के लिए, यदि पहले एक्स। यह किसी भी संख्या के लायक नहीं है, फिर बी\u003d 1, चूंकि संबंधित शर्तों को 1 के रूप में लिखा जा सकता है एक्स।.

      वेरटेक्स पैराबोला खोजें। पैराबोला के मध्य बिंदु को खोजने के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग करें -बी।/2ए।। हमारे उदाहरण के लिए, हम -2/2 (1) प्राप्त करते हैं, यानी -1।

      एक मेज बनाओ। तो, हम जानते हैं कि समन्वय एक्स। शिखर -1 -1 हैं। हालांकि, यह सिर्फ एक समन्वय है। इसके अनुरूप समन्वय खोजने के लिए वाई, साथ ही दो अन्य पैराबोला अंक, आपको एक टेबल बनाने की जरूरत है।

      तीन लाइनों और दो कॉलम की एक तालिका बनाएं।

      • समन्वय लिखो एक्स। बाएं कॉलम के केंद्रीय कक्ष में पैराबोला की चोटियाँ।
      • दो और निर्देशांक चुनें एक्स। बाईं ओर और दाएं (क्षैतिज धुरी के साथ नकारात्मक और सकारात्मक पक्ष में) की दूरी पर। उदाहरण के लिए, आप वर्टेक्स से 2 इकाइयों से बाएं और दाएं पीछे हट सकते हैं, यानी, संबंधित कोशिकाओं -3 और 1 में लिखें।
      • आप किसी भी पूर्णांक चुन सकते हैं जो वर्टेक्स से अलग दूरी पर अलग हो गए हैं।
      • यदि आप एक और सटीक चार्ट बनाना चाहते हैं, तो तीन के बजाय आप पांच अंक ले सकते हैं। इस मामले में, एक ही चीज़ की जानी चाहिए, केवल तालिका में तीन से नहीं, लेकिन पांच लाइनों में शामिल होंगे।

   2. अज्ञात निर्देशांक खोजने के लिए समीकरण और तालिका का उपयोग करें वाई. तालिका से एक समन्वय एक्स लें, इसे दिए गए समीकरण में स्थानापन्न करें और इसी समन्वय वाई को ढूंढें।

      • हमारे मामले में, हम समीकरण में स्थानापन्न करते हैं वाई=एक्स। 2 +2एक्स।इसके बजाय +1 एक्स। -3। परिणामस्वरूप, पाया गया वाई\u003d -3 2 +2 (-3) +1, वह है वाई=4.
      • हम मिला समन्वय लिखते हैं वाई संबंधित निर्देशांक के पास एक सेल में एक्स।
      • सभी तीन (या पांच, यदि आप अधिक अंक का उपयोग करते हैं) निर्देशांक वाई.

   3. साजिश पर लागू करें। इसलिए, आपके पास ज्ञात निर्देशांक के साथ कम से कम तीन अंक हैं जिन्हें चार्ट पर ध्यान दिया जा सकता है। एक पैराबोला के रूप में अपने वक्र को कनेक्ट करें। तैयार!

उद्देश्य: 1) "दो चर के साथ समीकरण" की अवधारणा के साथ छात्रों को परिचित करना;

2) दो चर के साथ समीकरण की डिग्री निर्धारित करने के लिए सिखाएं;

3) किसी दिए गए फ़ंक्शन पर निर्धारित करने के लिए सिखाएं, जो आंकड़ा एक अनुसूची है

इस समीकरण का;

4) ग्राफ को दो चर के साथ परिवर्तित करने पर विचार करें;

एग्रीफ़ेर प्रोग्राम का उपयोग करके दो चर के साथ एक दिया समीकरण;

6) छात्रों की तार्किक सोच विकसित करना।

I.NEWS - साक्षात्कार तत्वों के साथ स्पष्टीकरण व्याख्यान।

(कॉपीराइट स्लाइड के उपयोग पर व्याख्यान; ग्राफ का निर्माण Agrapher प्रोग्राम में निष्पादित किया जाता है)

यू: लाइनों का अध्ययन करते समय, दो कार्य उत्पन्न होते हैं:

इस समीकरण को खोजने के लिए इस लाइन के ज्यामितीय गुणों पर;

उलटा समस्या: अपने ज्यामितीय गुणों का पता लगाने के लिए दिए गए लाइन समीकरण के अनुसार।

हमने परिधि और प्रत्यक्ष के संबंध में ज्यामिति के पाठ्यक्रम में पहला कार्य माना।

आज हम विपरीत कार्य पर विचार करेंगे।

फॉर्म के समीकरणों पर विचार करें:

लेकिन अ) x (x-y) \u003d 4; बी) 2 यू-एच। 2 =-2 ; में) x (x + y 2 ) \u003d x +1.

- ये दो चर के साथ समीकरणों के उदाहरण हैं।

दो चर के साथ समीकरण एच तथा डब्ल्यू उपस्थिति है f (x, y) \u003d (x, y)कहां है एफतथा - चर के साथ अभिव्यक्ति एच तथा y

यदि समीकरण में x (x-y) \u003d 4 एक चर के बजाय स्थानापन्न एच इसका मूल्य IS1 है, और इसके बजाय डब्ल्यू - मूल्य 3, फिर यह सच समानता: 1 * (- 1-3) \u003d 4,

युगल (-1; 3) परिवर्तनीय मूल्य एचतथा डब्ल्यू यह समीकरण का एक समाधान है x (x-y) \u003d 4.

अर्थात समीकरण को हल करके दो चर कॉल के साथ इस समीकरण को वास्तविक समानता के लिए बनाने वाले परिवर्तनीय मूल्यों के कई क्रमबद्ध चर।

दो चर के साथ समीकरण, एक नियम के रूप में, असीम रूप से कई समाधान हैं। अपवाद उदाहरण के लिए, इस तरह के समीकरण के रूप में एच 2 + (डब्ल्यू। 2 - 4) 2 = 0 या

2x 2। + डब्ल्यू 2 = 0 .

उनमें से पहले में दो समाधान हैं (0; -2) और (0; 2), दूसरा एक समाधान है (0; 0)।

4 +3 \u003d 0 में समीकरण x 4 + में समाधान नहीं है। यह ब्याज का है जब समीकरण में चर के मान पूर्णांक हैं। दो चर के साथ ऐसे समीकरणों को हल करना, पूर्णांक के जोड़े हैं। ऐसे मामलों में, ऐसा कहा जाता है कि समीकरणों को पूर्णांक में हल किया जाता है।

दो समीकरण जिनके पास समाधान के समान सेट हैं समकक्ष समीकरण। उदाहरण के लिए, समीकरण एक्स (x + में 2) \u003d x + 1 तीसरा डिग्री समीकरण है, क्योंकि इसे एचयू 2 + एक्स 2 - एक्स -1 \u003d 0 समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसका दायां पक्ष एक बहुपद है एक मानक प्रकार की तीसरी डिग्री।

दो चर के साथ समीकरण की डिग्री, एफ (एक्स, वाई) \u003d 0 के रूप में प्रतिनिधित्व किया गया, जहां एफ (एक्स, वाई) एक मानक प्रजाति है, जिसे बहुपद एफ (एक्स, वाई) की डिग्री कहा जाता है।

यदि दो चर के साथ समीकरण के सभी समाधान समन्वय विमान में बिंदुओं द्वारा चित्रित किए जाते हैं, तो दो चर के साथ समीकरण का एक ग्राफ प्राप्त किया जाएगा।

अनुसूची दो चर के समान समीकरणों को उन बिंदुओं की बहुलता कहा जाता है जिनके निर्देशांक इस समीकरण के निर्णय के रूप में कार्य करते हैं।

तो, ग्राफ समीकरण कुल्हाड़ी + + सी \u003d 0 कम से कम एक गुणांक में एक सीधा है ए। या बी शून्य के बराबर नहीं (Fig.1)। यदि एक a \u003d B \u003d C \u003d 0फिर इस समीकरण का कार्यक्रम है समन्वय विमान (Fig.2), अगर a \u003d B \u003d 0, लेकिन अ c0।फिर अनुसूची है खाली सेट (चित्र 3).

ग्राफ समीकरण y \u003d a x 2 + द्वारा + सी एक पैराबोला (चित्र 4) है, समीकरण का ग्राफ xy \u003d k (k0) – हाइपरबॉल (चित्र 5)। ग्राफ समीकरण एच 2 + यू 2 \u003d आर।जहां एक्स और वाई चर हैं, आर एक सकारात्मक संख्या है, है वृत्त समन्वय की शुरुआत में केंद्र और बराबर के त्रिज्या के साथ आर(चित्र 6)। समीकरण का ग्राफ है अंडाकारकहां है ए। तथा बी - दीर्घवृत्त (चित्र 7) की बड़ी और छोटी अर्ध-अक्ष।

कुछ समीकरणों के आलेखों का निर्माण उनके परिवर्तनों का उपयोग करके सुविधा प्रदान की जाती है। विचार करें दो चर के साथ समीकरणों के ग्राफ का परिवर्तन और हम उन नियमों को तैयार करते हैं जिन पर समीकरणों के ग्राफ के सबसे सरल परिवर्तन किए जाते हैं

1) समीकरण एफ (-x, y) \u003d 0 का ग्राफ अक्ष के सापेक्ष समरूपता का उपयोग करके समीकरण एफ (x, y) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है y

2) समीकरण एफ (x, -y) \u003d 0 का ग्राफ अक्ष के सापेक्ष समरूपता का उपयोग करके समीकरण एफ (x, y) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है एच.

3) समीकरण एफ (-X, -y) \u003d 0 का ग्राफ समन्वय की शुरुआत के सापेक्ष केंद्रीय समरूपता का उपयोग करके समीकरण एफ (एक्स, वाई) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है।

4) समीकरण एफ का ग्राफ (एक्स - वाई) \u003d 0 समीकरण एफ के ग्राफ (एक्स, वाई) \u003d 0 के ग्राफ से एक्स अक्ष के समानांतर स्थानांतरित करके प्राप्त किया जाता है इकाइयों (ठीक है अगर ए। \u003e 0, और छोड़ दिया अगर लेकिन अ < 0).

5) समीकरण एफ का ग्राफ (x, y-b) \u003d 0 समीकरण f (x, y) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त किया गया है | बी | एक्सिस के समानांतर इकाइयाँ डब्ल्यू (ऊपर, अगर बी \u003e 0, और नीचे अगर बी < 0).

6) समीकरण एफ (कुल्हाड़ी, वाई) \u003d 0 का ग्राफ समीकरण एफ (x, y) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त होता है जो वाई और और यदि के अक्ष तक संपीड़न द्वारा प्राप्त होता है लेकिन अ \u003e 1, और जब 0 पर धुरी से खींचने की मदद से 0 हो< लेकिन अ < 1.

7) समीकरण एफ (एक्स, द्वारा) \u003d 0 का ग्राफ एक्स अक्ष में संपीड़न का उपयोग करके समीकरण एफ (x, y) \u003d 0 के ग्राफ से प्राप्त किया जाता है बी एक बार बी \u003e 1, और कभी-कभी एक्स अक्ष से खींचने की मदद से, अगर 0 < b < 1.

यदि कुछ समीकरण का ग्राफ मूल के पास कुछ कोण पर घुमाया जाता है, तो नया ग्राफ दूसरे समीकरण का ग्राफ होगा। 90 0 और 45 0 के कोण पर घूर्णन के महत्वपूर्ण मामले हैं।

8) समीकरण एफ (एक्स, वाई) \u003d 0 का ग्राफ 90 0 के कोण पर मूल के नजदीक रोटेशन के परिणामस्वरूप समीकरण एफ (-Y, x) \u003d 0, और वामावर्त के ग्राफ में गुजरता है - समीकरण f (y, -x) \u003d 0 के ग्राफ में।

9) समीकरण एफ (एक्स, वाई) \u003d 0 का ग्राफ एक कोण पर घूर्णन के परिणामस्वरूप एक कोण 45 0 दक्षिणाववार स्थानान्तरण समीकरण एफ \u003d 0 के ग्राफ में स्थानांतरित होता है, और वामावर्त एफ के ग्राफ में - समीकरण एफ के ग्राफ में = 0.

दो चर के साथ समीकरणों के ग्राफ के परिवर्तन के नियमों से, कार्यों के ग्राफ को परिवर्तित करने के नियम आसानी से प्राप्त किए जाते हैं।

उदाहरण 1. हम दिखाते हैं कि समीकरण का ग्राफ एच 2 + यू 2 + 2x - 8U + 8 \u003d 0 यह एक सर्कल (FIG.17) है।

हम समीकरण को निम्नानुसार बदलते हैं:

1) एक चर युक्त शब्दों को समूहीकृत किया एच और चर युक्त डब्ल्यूऔर तीन विभाजन के पूर्ण वर्ग के रूप में शर्तों के प्रत्येक समूह की कल्पना करें: (x 2 + 2x + 1) + (2 -2 * 4 * y + 16 में) + 8 - 1 - 16 \u003d 0;

2) दो अभिव्यक्तियों के योग (अंतर) के एक वर्ग के रूप में लिखें, परिणामी threesties: (x + 1) 2 + (y - 4) 2 - 9 \u003d 0;

3) हम दो चर के साथ समीकरणों के ग्राफ के परिवर्तन के नियमों के अनुसार विश्लेषण करते हैं, समीकरण (x + 1) 2 + (वाई - 4) 2 \u003d 3 2: इस समीकरण का ग्राफ केंद्र के साथ एक सर्कल है बिंदु (-1; 4) और 3 इकाइयों का त्रिज्या।

उदाहरण 2. समीकरण का एक ग्राफ बनाएं एच 2 + 4 यू। 2 = 9 .

फॉर्म में 4 यू 2 की कल्पना करें (2) 2, हम समीकरण x 2 + (2 यू) 2 \u003d 9 प्राप्त करते हैं, जिसका ग्राफ एक्सिस एक्स 2 + में 2 \u003d 9 संपीड़न में 2 \u003d 9 संपीड़न से प्राप्त किया जा सकता है।

निर्देशांक की शुरुआत में एक केंद्र के साथ एक सर्कल बनाएं और 3 इकाइयों की त्रिज्या।

एक्स अक्ष से अपने प्रत्येक बिंदु की दूरी 2 गुना कम हो गया, हम समीकरण का एक ग्राफ प्राप्त करते हैं

x 2 + (2y) 2 \u003d 9।

हमें एक सर्कल के संपीड़न का उपयोग अपने व्यास (व्यास जो एक्सिस एक्स पर स्थित व्यास के लिए) का उपयोग करके एक आकृति मिली। इस तरह के एक आंकड़े को एक दीर्घवृत्त (चित्र .18) कहा जाता है।

उदाहरण 3. हम यह पता लगाते हैं कि समीकरण x 2 का एक ग्राफ क्या है - 2 \u003d 8 में।

हम फॉर्मूला एफ \u003d 0 का उपयोग करते हैं।

एक्स के बजाय और वाई के बजाय इस समीकरण में स्थानापन्न, हमें मिलता है:

यू: समीकरण y \u003d का ग्राफ क्या है?

डी: समीकरण y \u003d का ग्राफ एक हाइपरबोले है।

यू: हमने फॉर्म एक्स 2 के समीकरण को बदल दिया - 2 \u003d 8 में समीकरण y \u003d।

इस समीकरण का एक ग्राफ क्या रेखा होगी?

डी: इसका मतलब है कि एक्स 2 समीकरण का ग्राफ 2 \u003d 8 एक हाइपरबोले है।

यू: हाइपरबोले वाई \u003d के एसिम्पटोट्स क्या प्रत्यक्ष हैं।

डी: हाइपरबोला वाई \u003d के asymptotes सीधे y \u003d 0 और x \u003d 0 हैं।

यू: एक प्रदर्शन की बारी के साथ, ये प्रत्यक्ष सीधे लाइनों \u003d 0 और \u003d 0 में जाएंगे, जो कि प्रत्यक्ष वाई \u003d एक्स और वाई \u003d - एक्स में है। (चित्र .1 9)।

उदाहरण 4: पता लगाएं कि 90 0 दक्षिणावर्त के कोण पर मूल के पास जाने पर आप किस प्रकार के समीकरण y \u003d x 2 parabolas।

फॉर्मूला एफ (-U; x) \u003d 0 का उपयोग करके, समीकरण Y \u003d x 2 परिवर्तनीय एक्स पर बदलें - वाई, और वैरिएबल वाई एक्स द्वारा। हम समीकरण x \u003d (-u) 2 प्राप्त करते हैं, यानी x \u003d y 2 (Fig.20)।

हमने दो चर के साथ दूसरी डिग्री के समीकरणों के उदाहरणों की जांच की और पाया कि पैराबोलास, हाइपरबोले, एलिप्स (विशेष रूप से सर्कल में) ग्राफ हो सकता है। इसके अलावा, दूसरी डिग्री के समीकरण का ग्राफ प्रत्यक्ष (छेड़छाड़ या समानांतर) की एक जोड़ी हो सकती है। यह तथाकथित अपर्याप्त मामला है। तो समीकरण x 2 का एक ग्राफ - 2 \u003d 0 में सीधी रेखाओं (चित्र 21 ए) को छेड़छाड़ करने की एक जोड़ी है, और x 2 - 5x + 6 + 0u \u003d 0 - 5x + 6 + 0u \u003d 0 का ग्राफ है- समानांतर सीधी रेखाएं।

II समेकन।

(छात्रों को एग्रीफोन प्रोग्राम (परिशिष्ट 2) और कार्ड "प्रैक्टिकल टास्क" (परिशिष्ट 3) में दो चर के साथ समीकरणों के ग्राफ के निर्माण करने के लिए "कार्ड-निर्देश" जारी किए जाते हैं। कार्य 4-5 शिक्षक स्लाइड पर प्रदर्शित करता है)।

अभ्यास 1। कौन सा भाप (5; 4), (1; 0), (-5; -4) और (-1; -) समीकरण के समाधान हैं:

ए) एक्स 2 - 2 \u003d 0 में, बी) x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6u?

फेसला:

किसी दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करना, इन बिंदुओं के निर्देशांक को आश्वस्त किया जाता है कि कोई भी जोड़ी समीकरण x 2 का समाधान नहीं है - 2 \u003d 0 में, और समीकरण x 3 - 1 \u003d x 2 y + 6u के समाधान जोड़े हैं (5 ; 4), (1; 0) और (-1; -)।

125 - 1 \u003d 100 + 24 (ओं)

1 - 1 \u003d 0 + 0 (और)

125 - 1 \u003d -100 - 24 (एल)

1 - 1 \u003d - - (और)

उत्तर: लेकिन अ); बी) (5; 4), (1; 0), (-1; -)।

कार्य 2. हू 2 - x 2 y \u003d 12 के ऐसे समाधान का पता लगाएं, जिसमें मूल्य एच समान रूप से 3।

समाधान: 1) निर्दिष्ट समीकरण में एक्स के बजाय विकल्प, 3 का मूल्य।

2) हम परिवर्तनीय वाई के सापेक्ष एक वर्ग समीकरण प्राप्त करते हैं, एक दृश्य:

3ow 2 - 9 यू \u003d 12।

4) इस समीकरण को हल करना:

3Y 2 - 9U - 12 \u003d 0

डी \u003d 81 + 144 \u003d 225

उत्तर: जोड़ों (3; 4) और (3; -1) हू 2 - x 2 y \u003d 12 के निर्णय हैं

कार्य 3। समीकरण की डिग्री निर्धारित करें:

ए) 2 ए 2 - 3 x 3 + 4x \u003d 2; सी) (3 x 2 + x) (4 - 2 में) \u003d x;

बी) 5 यू 2 - 3Y 2 x 2 + 2x 3 \u003d 0; डी) (2OW x 2) 2 \u003d x (x 2 + 4h + 1)।

उत्तर: ए) 3; b) 5; 4 पर; d) 4।

कार्य 4। समीकरण का एक ग्राफ क्या है:

a) 2x \u003d 5 + 3ow; बी) 6 x 2 - 5x \u003d y - 1; c) 2 (x + 1) \u003d x 2 - y;

डी) (एक्स - 1.5) (एक्स - 4) \u003d 0; ई) एचयू - 1,2 \u003d 0; ई) x 2 + 2 \u003d 9 में।

कार्य 5। एक समीकरण लिखें जिसका ग्राफ समीकरण x 2 के ग्राफिक्स के लिए सममित है - HU + 3 \u003d 0 (Fig.24) सापेक्ष: ए) एक्सिस एच; बी) एक्सिस डब्ल्यू; ग) सीधे y \u003d x; d) सीधे y \u003d -x।

कार्य 6। एक समीकरण बनाएं जिसका ग्राफ समीकरण y \u003d x 2 -3 (Fig.25) के ग्राफ को खींचकर प्राप्त किया जाता है:

ए) एक्सिस एक्स 2 बार से; बी) अक्ष से 3 बार।

Agrapher प्रोग्राम का सही ढंग से कार्य निष्पादित करने का उपयोग करके जांचें।

उत्तर: ए) वाई - एक्स 2 + 3 \u003d 0 (FIG.25A); b) y- (x) 2 + 3 \u003d 0 (FIG.25B)।

बी) सीधे समानांतर, दाईं ओर एक्सिस एक्स प्रति इकाई के समानांतर और 3 इकाइयों में अक्ष के समानांतर और समानांतर (FIG.26B);

सी) एक्स अक्ष (FIG.26B) के सापेक्ष प्रत्यक्ष अंतर, सममित मैपिंग;

डी) डायरेक्ट इंटरसेक्ट, अक्ष के सापेक्ष सममित मैपिंग (Fig.26G);

ई) समन्वय (चित्र 26 डी) की शुरुआत के सापेक्ष सीधे समानांतर, सममित मैपिंग;

ई) सीधे छेड़छाड़, एक दक्षिणावर्त तीर द्वारा 90 द्वारा निर्देशांक की शुरुआत के आसपास और एक्स अक्ष (FIG.26E) के सापेक्ष सममित मानचित्रण।

तृतीय। प्रशिक्षण चरित्र का स्वतंत्र कार्य।

(छात्रों को "स्वतंत्र कार्य" और "स्वतंत्र काम के परिणामों की रिपोर्टिंग तालिका" जारी की जाती है, जिसमें छात्र प्रस्तावित योजना के अनुसार, अपने उत्तर और स्वयं परीक्षण के बाद, कार्य का मूल्यांकन किया जाता है) परिशिष्ट 4 ..

I.variant।

ए) 2 + 8 \u003d 0 में 5x 3 -3x 2; बी) (एक्स + वाई + 1) 2 - (एक्स - वाई) 2 \u003d 2 (एक्स + वाई)।

a) x 3 + 3 -5x 2 \u003d 0 में; बी) x 4 + 4 एक्स 3 वाई + 6 एक्स 2 2 + 4 एच 3 + वाई 4 \u003d 1 में।

x 4 + 4 -8x 2 + 16 \u003d 0 में।

ए) (एक्स + 1) 2 + (वाई -1) 2 \u003d 4;

b) x 2 -e 2 \u003d 1;

c) x - 2 \u003d 9 में।

एक्स 2 - 2 एक्स + 2 - 4 \u003d 20 में।

सर्कल और उसके त्रिज्या के केंद्र के निर्देशांक निर्दिष्ट करें।

6. समन्वय विमान के प्रकार के रूप में, हाइपरबोले वाई \u003d ले जाएं ताकि उसका समीकरण दृश्य x 2 - 2 \u003d 16 में ले जाए?

Agrapher प्रोग्राम का उपयोग करके ग्राफिक निर्माण करके अपनी प्रतिक्रिया देखें।

7. पैराबोला वाई \u003d एक्स 2 को स्थानांतरित करने के लिए समन्वय विमान के रूप में निम्नानुसार है ताकि इसका समीकरण दृश्य x \u003d y 2 - 1 लेता है

II विकल्प।

1. समीकरण की डिग्री का उपयोग करें:

a) 3hu \u003d (y, 3) (x 2 + y); बी) 2 - 3 + 5 एक्स 2 में 2 - 7 \u003d 0।

2. समीकरण को हल करके संख्या (-2; 3) की एक जोड़ी है:

a) x 2 -e 2 -3x \u003d 1; बी) 8x 3 + 12x 2 वाई + 6 एच 2 + वाई 3 \u003d -1।

3. समीकरण के विभिन्न प्रकार के समाधान खोजें:

x 2 + 2 -2x में - 8 वें + 17 \u003d 0।

4. क्या वक्र (हाइब्रोल, सर्कल, पैराबोला) अंक का एक सेट है यदि इस वक्र का समीकरण है:

a) (x - 2) 2 + (y + 2) 2 \u003d 9

बी) 2 - x 2 \u003d 1 में

सी) एक्स \u003d वाई 2 - 1।

(Agrapher प्रोग्राम के साथ सही ढंग से कार्य निष्पादित करने के लिए जांचें)

5. प्रोग्राम, ग्राफिक, ग्राफ समीकरण का उपयोग करके बनाएं:

x 2 + 2 - 6x + 10th \u003d 2 में।

6. कैक्स हाइपरबोले वाई \u003d को स्थानांतरित करने के लिए समन्वय विमान का पालन करता है ताकि इसका समीकरण दृश्य x 2 - 2 \u003d 28 में ले जाए?

7. क्लॉज को समन्वय विमान पर पैराबोला वाई \u003d एक्स 2 द्वारा स्थानांतरित किया जाना चाहिए ताकि इसका समीकरण फॉर्म x \u003d 2 + 9 में ले जाए।

एक समारोह बनाएँ

हम आपके ध्यान को ऑनलाइन कार्यों के कार्यक्रमों को छोड़ने के लिए एक सेवा लाते हैं, जिन अधिकारों के सभी अधिकार हैं Desmos।। कार्यों को दर्ज करने के लिए, बाएं कॉलम का उपयोग करें। आप खिड़की के नीचे एक वर्चुअल कीबोर्ड का उपयोग करके मैन्युअल रूप से दर्ज कर सकते हैं। एक शेड्यूल के साथ विंडो बढ़ाने के लिए, आप बाएं कॉलम और वर्चुअल कीबोर्ड दोनों को छुपा सकते हैं।

ऑनलाइन निर्माण कार्यक्रमों के लाभ

• दर्ज किए गए कार्यों का दृश्य प्रदर्शन
• बहुत जटिल ग्राफ का निर्माण
• स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट ग्राफ का निर्माण (उदाहरण के लिए, एलीप्स एक्स ^ 2/9 + वाई ^ 2/16 \u003d 1)
• ग्राफ को सहेजने और उन पर एक लिंक प्राप्त करने की क्षमता जो इंटरनेट पर उपलब्ध हो जाती है।
• स्केल प्रबंधन, लाइन रंग
• अंक द्वारा ग्राफ बनाने की क्षमता, स्थिरांक का उपयोग
• एक साथ कार्यों के कई ग्राफ बिल्डिंग
• ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में ग्राफ का निर्माण (आर और θ (\\ eta) का उपयोग करें)

हमारे साथ अलग-अलग जटिलता के ग्राफ बनाने के लिए आसान है। बिल्डिंग तुरंत बनाई गई है। इस सेवा के कार्यों के कार्यों की व्यवहारिक विशेषताओं का विश्लेषण करने के लिए, कार्यों को स्थानांतरित करने के लिए, कार्यों के चौराहे के अंकों के चौराहे के अंक खोजने की मांग की मांग में है। इस पृष्ठ पर शेड्यूल के साथ काम करने के लिए इष्टतम ब्राउज़र Google क्रोम है। अन्य ब्राउज़रों का उपयोग करते समय, काम की शुद्धता की गारंटी नहीं है।

दो चर के साथ रैखिक समीकरण - कोई भी समीकरण जो निम्नानुसार है: एक * x + b * y \u003d के साथ। यहां एक्स और वाई में दो चर, ए, बी, सी - कुछ संख्याएं हैं।

रैखिक समीकरण ए * एक्स + बी * वाई \u003d सी का समाधान किसी भी जोड़ी संख्या (एक्स, वाई) कहा जाता है जो इस समीकरण को संतुष्ट करता है, यानी, चर के साथ समीकरण x और y सही संख्यात्मक समानता में है। रैखिक समीकरण में अनंत सेट समाधान हैं।

यदि संख्याओं की प्रत्येक जोड़ी जो दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण का समाधान करती है, तो अंक के रूप में समन्वय विमान पर चित्रित करने के लिए, ये सभी बिंदु दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण का ग्राफ बनाते हैं। अंक के निर्देशांक हमारे अर्थ एक्स और वाई की सेवा करेंगे। इस मामले में, एक्स का मान एक एब्सिसा होगा, और ऑर्डिनेट का मूल्य होगा।

दो चर के साथ ग्राफ रैखिक समीकरण

दो चर के साथ रैखिक समीकरण का ग्राफ समन्वय विमान के सभी संभावित बिंदुओं का सेट है, जिसके निर्देशांक इस रैखिक समीकरण के समाधान होंगे। यह अनुमान लगाना आसान है कि अनुसूची एक सीधी रेखा होगी। इसलिए, ऐसे समीकरणों को रैखिक कहा जाता है।

निर्माण का एल्गोरिथ्म

दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण का एक ग्राफ बनाने के लिए एल्गोरिदम।

1. समन्वय अक्ष पकड़ो, उन्हें साइन इन करें और एक पैमाने पर ध्यान दें।

2. x \u003d 0 डालने के लिए रैखिक समीकरण में, और y के लिए रिश्तेदार प्राप्त समीकरण को हल करें। ग्राफ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।

3. रैखिक समीकरण में संख्या 0 के रूप में, और एक्स के सापेक्ष प्राप्त समीकरण को हल करें। अनुसूची पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें

4. यदि आवश्यक हो, तो एक मनमानी मान लें, और प्राप्त समीकरण के सापेक्ष हल करें। ग्राफ पर परिणामी बिंदु को चिह्नित करें।

5. प्राप्त अंकों को कनेक्ट करें, उनके लिए शेड्यूल जारी रखें। परिणामस्वरूप सीधे हस्ताक्षर करें।

उदाहरण:समीकरण 3 * x - 2 * y \u003d 6 का एक ग्राफ बनाएं;

X \u003d 0, फिर - 2 * y \u003d 6; y \u003d -3;

हम y \u003d 0 डालते हैं, फिर 3 * x \u003d 6; x \u003d 2;

हम चार्ट पर प्राप्त अंक मनाते हैं, हम सीधे खर्च करते हैं और उनसे साइन इन करते हैं। नीचे दी गई ड्राइंग को देखें, शेड्यूल बिल्कुल उसी तरह से बाहर निकलना चाहिए।