कंप्यूटर मेमोरी में नेगेटिव नंबर स्टोर करें। कंप्यूटर में संख्याओं का प्रतिनिधित्व

इंटीजर सबसे सरल संख्यात्मक डेटा हैं जिसके साथ कंप्यूटर संचालित होता है। पूर्णांक के लिए, दो प्रतिनिधित्व हैं: अहस्ताक्षरित (केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए) और हस्ताक्षरित। यह स्पष्ट है कि नकारात्मक संख्याओं को केवल एक प्रतीकात्मक रूप में दर्शाया जा सकता है। इंटीजर कंप्यूटर में संगृहीत होते हैं निश्चित बिंदु प्रारूप.

• अहस्ताक्षरित पूर्णांक प्रकारों में पूर्णांक का प्रतिनिधित्व।

  एक अहस्ताक्षरित प्रतिनिधित्व के लिए, सेल के सभी अंकों को संख्या के प्रतिनिधित्व को सौंपा गया है। उदाहरण के लिए, एक बाइट (8 बिट्स) में, 0 से 255 तक के अहस्ताक्षरित संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। इसलिए, यदि यह ज्ञात है कि संख्यात्मक मान गैर-ऋणात्मक है, तो इसे अहस्ताक्षरित मान लेना बेहतर है।

  हस्ताक्षरित पूर्णांक प्रकारों में पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व।  एक हस्ताक्षरित प्रतिनिधित्व के लिए, सबसे महत्वपूर्ण (बाएं) बिट को नंबर के चिह्न को सौंपा गया है, शेष बिट्स को संख्या को ही। यदि संख्या सकारात्मक है, तो 0 को साइन बिट में रखा गया है, यदि नकारात्मक - 1. उदाहरण के लिए, बाइट में, आप -128 से 127 तक हस्ताक्षरित संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं।

  प्रत्यक्ष कोड संख्या।  सामान्य रूप में एक नंबर का प्रतिनिधित्व "साइन" - "मूल्य", जिसमें सेल के उच्च-क्रम सेल को साइन को सौंपा गया है, और बाकी - बाइनरी सिस्टम में नंबर लिखने के लिए; प्रत्यक्ष कोड बाइनरी नंबर। उदाहरण के लिए, 8-बिट सेल के लिए बाइनरी संख्या 1001 और -1001 का प्रत्यक्ष कोड क्रमशः 00001001 और 10001001 है। एक कंप्यूटर में सकारात्मक संख्याओं को हमेशा एक प्रत्यक्ष कोड का उपयोग करके दर्शाया जाता है। संख्या का प्रत्यक्ष कोड पूरी तरह से मशीन के सेल में संख्या के रिकॉर्ड के साथ मेल खाता है। एक ऋणात्मक संख्या का प्रत्यक्ष कोड केवल साइन बिट की सामग्री द्वारा संबंधित सकारात्मक संख्या के प्रत्यक्ष कोड से भिन्न होता है। लेकिन एक प्रत्यक्ष कोड के माध्यम से नकारात्मक पूर्णांक कंप्यूटर में प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, तथाकथित अतिरिक्त कोड. अतिरिक्त कोड सकारात्मक संख्या इस संख्या के प्रत्यक्ष कोड के बराबर है। ऋणात्मक संख्या m का अतिरिक्त कोड 2 k - | m | |, जहाँ k सेल में अंकों की संख्या है। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, जब अहस्ताक्षरित प्रारूप में गैर-नकारात्मक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो सेल के सभी अंक संख्या को ही सौंपे जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक निरूपित प्रतिनिधित्व के साथ एक बाइट में संख्या 243 = 11110011 लिखना इस तरह दिखेगा:

जब एक चिह्न के साथ पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो अग्रणी (बाएं) अंक को संख्या के संकेत को सौंपा जाता है, और वास्तविक संख्या एक अंक कम रहती है। इसलिए, यदि उपरोक्त सेल राज्य को एक पूर्णांक संख्या के रूप में माना जाता है, तो इस सेल में कंप्यूटर के लिए संख्या -13 (243 + 13 = 256 = 28) दर्ज की जाती है। लेकिन अगर एक ही ऋणात्मक संख्या 16 बिट्स की सेल में लिखी जाती है, तो सेल की सामग्री इस प्रकार होगी:

संख्याओं का प्रतिनिधित्व

गणित में नंबर

संख्या गणित की सबसे महत्वपूर्ण अवधारणा है, जो मानव इतिहास की लंबी अवधि में विकसित और विकसित हुई है। लोगों ने आदिम काल से संख्याओं के साथ काम करना शुरू किया। प्रारंभ में, एक व्यक्ति केवल सकारात्मक पूर्णांक पर संचालित होता था, जिसे प्राकृतिक संख्या कहा जाता है: 1, 2, 3, 4, ... लंबे समय से एक राय थी कि एक बहुत बड़ी संख्या है, "मानव मन को सहन करने के लिए अधिक कारण" (जैसा कि पुराने स्लाव गणितीय ग्रंथों में लिखा गया है) ।

गणितीय विज्ञान के विकास ने निष्कर्ष निकाला है कि सबसे बड़ी संख्या नहीं है। गणितीय दृष्टिकोण से, प्राकृतिक संख्याओं की श्रृंखला अनंत है, अर्थात। असीमित। गणित में एक ऋणात्मक संख्या (आर। डेसकार्टेस, यूरोप में XVII सदी में भारत में बहुत पहले) की धारणा के उद्भव के साथ, यह पता चला कि पूर्णांकों का सेट "बाएं" और "दाएं" दोनों में असीमित है। पूर्णांक का गणितीय सेट असतत और असीमित (अनंत) है।

एक वास्तविक (या वास्तविक) संख्या की अवधारणा को 18 वीं शताब्दी में आइजैक न्यूटन द्वारा गणित में पेश किया गया था। गणितीय दृष्टिकोण से वास्तविक संख्याओं का सेट अनंत और निरंतर है। इसमें कई पूर्णांक और गैर-पूर्णांक की अनंत संख्या शामिल है। संख्या अक्ष पर किसी भी दो बिंदुओं के बीच वास्तविक संख्याओं का एक अनंत सेट है। एक वास्तविक संख्या की अवधारणा एक निरंतर संख्यात्मक अक्ष के विचार से जुड़ी होती है, जो किसी भी बिंदु पर एक वास्तविक संख्या से मेल खाती है।

पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व

कंप्यूटर मेमोरी में बाइनरी अंकन में संख्याएँ संग्रहीत होती हैं  (देखें) संख्या प्रणाली"2)। कंप्यूटर में पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो रूप हैं: अहस्ताक्षरित पूर्णांक और हस्ताक्षरित पूर्णांक।

निरुपित पूर्णांक - यह है रेंज में कई सकारात्मक संख्या  जहाँ कश्मीर- यह संख्या के लिए आवंटित मेमोरी सेल की चौड़ाई है। उदाहरण के लिए, यदि 16 बिट (2 बाइट) के आकार वाली मेमोरी सेल को पूर्णांक के लिए आवंटित किया जाता है, तो उच्चतम संख्या होगी:

दशमलव संकेतन में, यह मेल खाता है: 2 16 - 1 = 65 535

यदि सेल के सभी अंक शून्य हैं, तो यह शून्य होगा। इस प्रकार, 2 16 = 65 536 पूर्णांक 16-बिट सेल में रखे जाते हैं।

पूर्णांक पर हस्ताक्षर किए  सीमा में धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का समूह है[–2  कश्मीर –1 , 2  कश्मीर  —१ - १]। उदाहरण के लिए, जब कश्मीर  = पूर्णांकों की 16 श्रेणी: [–32 768, 32 767]। मेमोरी सेल का उच्चतम बिट संख्या का चिह्न संग्रहीत करता है: 0 एक सकारात्मक संख्या है, 1 एक नकारात्मक संख्या है। सबसे बड़ी सकारात्मक संख्या 32,767 में निम्नलिखित प्रतिनिधित्व है:

उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या 255, बाइनरी नंबर सिस्टम में स्थानांतरित होने और 16-बिट मेमोरी सेल में अंकित होने के बाद, निम्नलिखित आंतरिक प्रतिनिधित्व होगा:

नकारात्मक पूर्णांक अतिरिक्त कोड में दर्शाए गए हैं। अतिरिक्त कोड  सकारात्मक संख्या एन  - यह है ऐसा इसका बाइनरी प्रतिनिधित्व है, जिसे जब संख्या एन के कोड के साथ जोड़ा जाता है, तो मूल्य देता है 2  कश्मीर। यहां कश्मीर  - मेमोरी सेल में अंकों की संख्या। उदाहरण के लिए अतिरिक्त कोड  255 नंबर इस प्रकार होंगे:

यह एक ऋणात्मक संख्या -255 का प्रतिनिधित्व है। 255 और -255 संख्याओं के कोड जोड़ें:

सेल के उच्च-क्रम "ड्रॉप आउट" में इकाई, इसलिए राशि शून्य के बराबर हो गई। लेकिन यह होना चाहिए: एन + (–एन) = 0. कंप्यूटर प्रोसेसर घटाव संख्या के अतिरिक्त कोड के साथ जोड़ के रूप में घटाव संचालन करता है। उसी समय, सेल अतिप्रवाह (सीमा मूल्यों से परे जा रहा है) कार्यक्रम के निष्पादन में रुकावट का कारण नहीं बनता है। यह परिस्थिति है प्रोग्रामर को पता होना चाहिए और इसे ध्यान में रखना चाहिए!

कंप्यूटर में वास्तविक संख्याओं के प्रतिनिधित्व का प्रारूप  यह कहा जाता है फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्मेट। वास्तविक संख्या आर  मंटिसा के रूप में प्रस्तुत किया गया मीटर  संख्या प्रणाली के आधार पर n  कुछ हद तक पीजिसे आदेश कहा जाता है: आर= मीटर * एन पी.

एक फ्लोटिंग पॉइंट संख्या का प्रतिनिधित्व अस्पष्ट है। उदाहरण के लिए, दशमलव संख्या 25,324 के लिए, निम्नलिखित समीकरण सत्य हैं:

25.324 = 2.5324 * 10 1 = 0.0025324 * 10 4 = 2532.4 * 10 –2, आदि।

अस्पष्टता से बचने के लिए, हम कंप्यूटर का उपयोग करने के लिए सहमत हुए एक अस्थायी बिंदु संख्या का सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व। अपूर्णांश  सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व में शर्त को पूरा करना चाहिए: 0,1   n मीटर < 1  n। दूसरे शब्दों में, मंटिसा एक से कम है और पहला महत्वपूर्ण आंकड़ा शून्य नहीं है। कुछ मामलों में, सामान्यीकरण की स्थिति निम्नानुसार ली जाती है: 1   n मीटर < 10  n.

कंप्यूटर मेमोरी अपूर्णांश एक पूर्णांक के रूप में प्रतिनिधित्व किया जिसमें केवल महत्वपूर्ण अंक हैं  (0 पूर्णांक और अल्पविराम संग्रहीत नहीं हैं)। इसलिए, पूर्णांक की एक जोड़ी के प्रतिनिधित्व के लिए एक वास्तविक संख्या का आंतरिक प्रतिनिधित्व कम हो जाता है: मंटिसा और ऑर्डर।

विभिन्न प्रकार के कंप्यूटर संख्याओं के विभिन्न फ़्लोटिंग पॉइंट प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं। चार-बाइट मेमोरी सेल में एक वास्तविक संख्या के आंतरिक प्रतिनिधित्व के वेरिएंट में से एक पर विचार करें।

सेल में संख्या के बारे में निम्नलिखित जानकारी होनी चाहिए: संख्या का संकेत, मंटिसा का क्रम और महत्वपूर्ण अंक।

1 बाइट के सबसे महत्वपूर्ण बिट में संख्या का संकेत होता है: 0 का मतलब प्लस, 1 - माइनस। पहले बाइट के शेष 7 बिट्स होते हैं मशीन क्रम। अगले तीन बाइट्स मंटिसा (24 बिट्स) के महत्वपूर्ण अंकों को संग्रहीत करते हैं।

सात बाइनरी अंकों में 0000000 से 1111111 तक की सीमा में बाइनरी नंबर रखे गए। इसका मतलब है कि मशीन क्रम 0 से 127 (दशमलव संख्या प्रणाली में) की सीमा में भिन्न होता है। केवल 128 मान। आदेश स्पष्ट रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकता है। आदेश के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के बीच इन 128 मूल्यों को समान रूप से विभाजित करना उचित है: -64 से 63 तक।

मशीन क्रम  गणितीय के सापेक्ष स्थानांतरित और केवल सकारात्मक मूल्य हैं। ऑफसेट को चुना जाता है ताकि ऑर्डर का न्यूनतम गणितीय मूल्य शून्य से मेल खाता हो।

इस मामले में मशीन ऑर्डर (एमपी) और गणितीय (पी) के बीच संबंध सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है: एमपी = पी + 64।

परिणामी सूत्र दशमलव में लिखा गया है। बाइनरी सिस्टम में, सूत्र का रूप है: Mp 2 = p 2 + 100 0000 2।

एक वास्तविक संख्या के आंतरिक प्रतिनिधित्व को रिकॉर्ड करने के लिए, आपको यह करना होगा:

1) अनुवाद मॉड्यूल नंबर दिया गया  24 महत्वपूर्ण अंकों के साथ द्विआधारी संकेतन में,

2) बाइनरी नंबर को सामान्य करें,

3) मशीन क्रम को बाइनरी नंबर सिस्टम में खोजें,

4) एक संख्या के संकेत को ध्यान में रखते हुए, चार-बाइट मशीन शब्द में इसके प्रतिनिधित्व को लिखें।

एक उदाहरण है।250.1875 नंबर का आंतरिक प्रतिनिधित्व फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्म में लिखें।

  निर्णय

1. 24 महत्वपूर्ण अंकों के साथ बाइनरी नंबर सिस्टम में इसका अनुवाद करें:

250,1875 10 = 11111010,0011000000000000 2 .

2. एक सामान्यीकृत बाइनरी फ्लोटिंग पॉइंट संख्या के रूप में लिखें:

0.111110100011000000000000 एच 10 2 1000।

यहां मंटिसा, संख्या प्रणाली का आधार है
  (2 10 = 10 2) और क्रम (8 10 = 1000 2) बाइनरी सिस्टम में लिखे गए हैं।

3. बाइनरी नंबर सिस्टम में मशीन ऑर्डर की गणना करें:

Mp 2 = 1000 + 100 0000 = 100 1000।

4. हम संख्या के संकेत को ध्यान में रखते हुए एक चार-बाइट मेमोरी सेल में एक संख्या का प्रतिनिधित्व लिखते हैं

हेक्साडेसिमल रूप: 48FA3000।

वास्तविक संख्याओं की सीमा पूर्णांकों की सीमा की तुलना में बहुत व्यापक है। सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं को सममित रूप से शून्य के बारे में व्यवस्थित किया जाता है। नतीजतन, मापांक में अधिकतम और न्यूनतम संख्या एक दूसरे के बराबर होती हैं।

निरपेक्ष मान में सबसे छोटा शून्य है। निरपेक्ष मान फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्म में सबसे बड़ी संख्या सबसे बड़े मंटिसा और सबसे बड़े ऑर्डर के साथ है।

चार-बाइट मशीन शब्द के लिए, ऐसी संख्या होगी:

0.11111111111111111111111111 · 10 21111111।

दशमलव संख्या प्रणाली में स्थानांतरण के बाद हमें मिलता है:

मैक्स = (१ - २-२४) · २ ६३ १० १ ९।

यदि, वास्तविक संख्याओं के साथ गणना में, परिणाम स्वीकार्य सीमा से बाहर है, तो कार्यक्रम का निष्पादन बाधित होता है।  यह तब होता है, उदाहरण के लिए, जब शून्य से विभाजित, या बहुत कम संख्या से, शून्य के करीब।

वास्तविक संख्याएं जिनकी मंटिसा की थोड़ी गहराई मेमोरी सेल में मंटिसा के लिए आवंटित अंकों की संख्या से अधिक है, लगभग कंप्यूटर में ("क्रॉप्ड" मंटिसा के साथ) प्रतिनिधित्व करते हैं। उदाहरण के लिए, एक कंप्यूटर में 0.1 के एक तर्कसंगत दशमलव संख्या को लगभग (गोल) का प्रतिनिधित्व किया जाएगा, क्योंकि बाइनरी नंबर सिस्टम में इसके मंटिसा में अनंत संख्या में अंक होते हैं। इस निकटता का परिणाम वास्तविक संख्याओं के साथ मशीन गणना की त्रुटि है।

वास्तविक संख्या कंप्यूटर के साथ गणना लगभग प्रदर्शन करती है। ऐसी गणनाओं की त्रुटि को कहा जाता हैमशीन गोलाई त्रुटि.

फ्लोटिंग पॉइंट के रूप में कंप्यूटर मेमोरी में वास्तव में प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक संख्याओं का सेट सीमित और असतत है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, भंगुरता सीमित संख्या में मंटिसा का परिणाम है।

कंप्यूटर की मेमोरी में वास्तव में प्रतिनिधित्व करने वाली वास्तविक संख्याओं की संख्या की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है: एन = 2  टी · ( यू – एल  + 1) + 1. यहाँ टी  - मंटिसा के द्विआधारी अंकों की संख्या; यू  - गणितीय क्रम का अधिकतम मूल्य; एल  - आदेश का न्यूनतम मूल्य। उपरोक्त प्रस्तुति विकल्प के लिए ( टी = 24, यू = 63,
  एल  = -64) प्राप्त किया जाता है: एन = 2 146 683 548.

उदाहरण 1दो-बाइट मेमोरी सेल में पूर्णांक 1607 के "हस्ताक्षरित" प्रारूप में आंतरिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करें।

निर्णय

1) संख्या को द्विआधारी संख्या प्रणाली में स्थानांतरित करें: 1607 10 = 11001000111 2।

2) बाईं ओर 16 अंक तक शून्य लिखना, हमें सेल में इस संख्या का आंतरिक प्रतिनिधित्व मिलता है:

यह दिखाना वांछनीय है कि इस कोड को लिखने के संकुचित रूप के लिए हेक्साडेसिमल फॉर्म का उपयोग कैसे किया जाता है, जो कि एक हेक्साडेसिमल संख्या के साथ प्रत्येक चार बाइनरी संख्याओं को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जाता है: 0647 (देखें) संख्या प्रणाली” 2).

एक नकारात्मक पूर्णांक के आंतरिक प्रतिनिधित्व को प्राप्त करने का कार्य अधिक कठिन है (- एन) - अतिरिक्त कोड। हमें छात्रों को इस प्रक्रिया का एल्गोरिदम दिखाने की आवश्यकता है:

1) एक सकारात्मक संख्या का आंतरिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करें एन;

2) 0 के साथ 1 और 1 को 0 से बदलकर इस नंबर का रिवर्स कोड प्राप्त करें;

3) परिणामी संख्या में 1 जोड़ें।

उदाहरण 2दो-बाइट मेमोरी सेल में संपूर्ण नकारात्मक संख्या -1607 का आंतरिक प्रतिनिधित्व प्राप्त करें।

निर्णय

छात्रों को यह दिखाना उपयोगी है कि सबसे छोटी ऋणात्मक संख्या का आंतरिक प्रतिनिधित्व कैसा दिखता है। एक डबल-बाइट सेल में, यह –32,768 है।

1) 32 768 = 2 15 के बाद से बाइनरी नंबर सिस्टम में नंबर 32 768 का अनुवाद करना आसान है। इसलिए, बाइनरी सिस्टम में यह है:

2) हम रिवर्स कोड लिखते हैं:

3) इस बाइनरी नंबर में एक जोड़ें, हमें मिलता है

पहले बिट में से एक शून्य से संकेत करता है। यह सोचने की ज़रूरत नहीं है कि परिणामी कोड एक शून्य शून्य है। यह एक अतिरिक्त कोड के रूप में –32,768 है। ये पूर्णांकों के मशीन प्रतिनिधित्व के नियम हैं।

इस उदाहरण को दिखाने के बाद, छात्रों ने स्वतंत्र रूप से साबित कर दिया है कि 32 767 + (-32 768) संख्याओं के कोड जोड़ने से संख्या -1 का एक कोड होगा।

कंप्यूटर विज्ञान की बुनियादी बातों पर विचार किया जाता है और आधुनिक पीसी हार्डवेयर का वर्णन किया जाता है। सूचना विज्ञान के क्षेत्र में बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा के दृष्टिकोण तैयार किए जाते हैं और उनकी सामग्री का खुलासा किया जाता है। आधुनिक पीसी हार्डवेयर का वर्गीकरण दिया गया है और उनकी मुख्य विशेषताएं दी गई हैं। सभी मुख्य प्रावधानों को उदाहरणों द्वारा चित्रित किया जाता है जिसमें विशिष्ट समस्याओं को हल करने के लिए उपयुक्त सॉफ़्टवेयर का उपयोग किया जाता है।

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संख्यात्मक डेटा को बाइनरी नंबर सिस्टम में एक कंप्यूटर में संसाधित किया जाता है। में कंप्यूटर मेमोरी में नंबर स्टोर किए जाते हैं बाइनरी कोड, अर्थात्, शून्य और लोगों के अनुक्रम के रूप में, और एक निश्चित या अस्थायी बिंदु के साथ प्रारूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

इंटेगर को फिक्स्ड पॉइंट फॉर्मेट में स्टोर किया जाता है। भंडारण के लिए इस संख्या प्रारूप के साथ पूरे गैर-नकारात्मक संख्याआवंटित स्मृति रजिस्टर, आठ मेमोरी कोशिकाओं (8 बिट्स) से मिलकर। मेमोरी सेल का प्रत्येक अंक हमेशा संख्या के एक ही अंक से मेल खाता है, और अल्पविराम अंक के बाद दाईं ओर स्थित है और बिट ग्रिड के बाहर है। उदाहरण के लिए, संख्या 11001101 2 को मेमोरी रजिस्टर में निम्नानुसार संग्रहीत किया जाएगा:

एक निश्चित बिंदु प्रारूप में एक रजिस्टर में संग्रहीत किया जा सकता है जो एक nonnegative पूर्णांक का अधिकतम मूल्य सूत्र से निर्धारित किया जा सकता है: 2n -1 कहाँ n -संख्या के अंकों की संख्या। अधिकतम संख्या 2 8 - 1 = 255 10 = 11111111 2 और न्यूनतम 0 10 = 00000000 2 होगी। इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के परिवर्तन की सीमा 0 से 255 10 तक होगी।

द्विआधारी संख्या प्रणाली में दशमलव प्रणाली के विपरीत, जब एक द्विआधारी संख्या कम्प्यूटरीकृत होती है, तो संख्या के संकेत को दर्शाते हुए कोई प्रतीक नहीं होते हैं: सकारात्मक (+) या नकारात्मक (-), इसलिए पूर्णांक पर हस्ताक्षर किएबाइनरी सिस्टम संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो प्रारूपों का उपयोग करता है: हस्ताक्षरित मूल्य का प्रारूप और अतिरिक्त कोड का प्रारूप। पहले मामले में, दो मेमोरी रजिस्टरों (16 बिट्स) को हस्ताक्षरित पूर्णांक के भंडारण के लिए आवंटित किया जाता है, जिसके साथ अंक के सबसे बड़े (सबसे बाएं) का उपयोग किया जाता है: यदि संख्या सकारात्मक है, तो साइन बिट में 0 लिखा है, यदि नकारात्मक है, तो 1. उदाहरण के लिए। संख्या 536 10 = 0000001000011000 2 को मेमोरी रजिस्टर में निम्नानुसार दर्शाया जाएगा:

और ऋणात्मक संख्या -536 10 = 1000001000011000 2 रूप में है:

किसी संकेत के साथ किसी संख्या के मूल्य के प्रारूप में अधिकतम सकारात्मक संख्या या न्यूनतम नकारात्मक (संकेत के तहत एक अंक के प्रतिनिधित्व को ध्यान में रखते हुए) बराबर है 2 एन -1  - 1 = 2 16-1 - 1 = 2 15 - 1 = 32767 10 = 111111111111111 2 और संख्याओं की सीमा -32767 10 से 32767 तक होगी।

सबसे अधिक बार, द्विआधारी कोड प्रारूप का उपयोग हस्ताक्षरित पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो एक अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ कंप्यूटर में एक अंकगणितीय घटाव ऑपरेशन को बदलने की अनुमति देता है, जो माइक्रोप्रोसेसर की संरचना को सरल करता है और इसकी गति बढ़ाता है।

इस प्रारूप में नकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक अतिरिक्त कोड का उपयोग किया जाता है, जो कि ऋणात्मक संख्या मापांक के शून्य के अतिरिक्त होता है। एक अतिरिक्त कोड में एक पूरी नकारात्मक संख्या का अनुवाद निम्नलिखित कार्यों का उपयोग करके किया जाता है:

1) में प्रत्यक्ष कोड की संख्या का मॉड्यूल लिखें n (n =)16) बाइनरी अंक;

2) संख्या का व्युत्क्रम कोड प्राप्त करें (संख्या के सभी अंकों को उल्टा करें, यानी, सभी इकाइयों को शून्य के साथ बदलें, और इकाइयों के साथ शून्य);

3) इकाई को निचले क्रम में प्राप्त रिवर्स कोड में जोड़ें।

उदाहरण के लिए, इस प्रारूप में संख्या -536 10 के लिए, मॉड्यूल 0000001000011000 2 होगा, रिटर्न कोड 111111011111100111 होगा, और अतिरिक्त कोड 111111011110101000 होगा। हम कैलकुलेटर का उपयोग करके अतिरिक्त कोड के प्राप्त मूल्य की जांच करेंगे। ऐसा करने के लिए, संख्या -536 10 के मापांक का मान दर्ज करें, अर्थात, संख्या 536 10 और वैकल्पिक बटन का उपयोग करके बिन  इस संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में बाइनरी सिस्टम में दर्शाया गया है, पहले वैकल्पिक बटन स्थापित किया है 2 बाइट्स  बटन दबाना नहीं  कैलकुलेटर, हमें नंबर का उलटा कोड मिलता है, और एक बाइनरी को रिटर्न कोड में जोड़कर - एक अतिरिक्त कोड। अंतिम परिणाम कार्यक्रम की कैलकुलेटर विंडो (छवि 2.6) में प्राप्त किया जाएगा। आप और भी सरल कर सकते हैं: कैलकुलेटर पर -536 10 नंबर डायल करके और बटन को सक्रिय करके बिन, बाइनरी नंबर सिस्टम में इस नंबर का अतिरिक्त कोड प्राप्त करें।

अंजीर। 2.6। अतिरिक्त कोड प्राप्त करने का परिणाम है

यह याद रखना चाहिए कि एक सकारात्मक संख्या का अतिरिक्त कोड संख्या ही है।

16-बिट कंप्यूटर प्रतिनिधित्व के अलावा हस्ताक्षरित पूर्णांक को संग्रहीत करने के लिए, जब दो मेमोरी रजिस्टरों का उपयोग किया जाता है (इस संख्या प्रारूप को हस्ताक्षरित लघु पूर्णांक प्रारूप भी कहा जाता है), मतलब और लंबे हस्ताक्षर किए पूर्णांक प्रारूप का उपयोग किया जाता है। चार रजिस्टर (4 x 8 = 32 बिट्स) का उपयोग औसत प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, और आठ रजिस्टर (8 x 8 = 64 बिट्स) का उपयोग लंबी संख्या के प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। मध्यम और लंबी संख्या के प्रारूप के लिए मानों की श्रेणी क्रमशः बराबर होगी: - (२१ ३१ - १) ... + २ ३१ - १ और - (२ ६३ -१) ... + २ ६३ - १।

निश्चित-बिंदु प्रारूप में संख्याओं के कंप्यूटर प्रतिनिधित्व के अपने फायदे और नुकसान हैं। फायदे में अंकगणितीय ऑपरेशन के कार्यान्वयन के लिए संख्याओं और एल्गोरिदम के प्रतिनिधित्व की सादगी शामिल है, नुकसान संख्याओं के प्रतिनिधित्व की परिमित सीमा है, जो कई व्यावहारिक समस्याओं (गणितीय, आर्थिक, भौतिक, आदि) को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता है।

वास्तविक संख्या (परिमित और अनंत दशमलव अंश) को संसाधित किया जाता है और कंप्यूटर में फ्लोटिंग पॉइंट प्रारूप में संग्रहीत किया जाता है। इस प्रारूप के साथ, रिकॉर्ड में अल्पविराम की स्थिति भिन्न हो सकती है। कोई वास्तविक संख्या आरफ्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ ए -मेंटिसा संख्या; ज -आधार संख्या प्रणाली; पी -संख्या का क्रम।

दशमलव संख्या प्रणाली के लिए अभिव्यक्ति (2.7) फॉर्म लेता है:

बाइनरी के लिए -

अष्टक के लिए -

हेक्साडेसिमल के लिए -

किसी संख्या के प्रतिनिधित्व के इस रूप को सामान्य भी कहा जाता है। क्रम में बदलाव के साथ, संख्याओं में अल्पविराम, यानी, यह बाईं ओर या दाईं ओर उड़ता है। इसलिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले सामान्य रूप को फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्म कहा जाता है। 15.5 की एक दशमलव संख्या, उदाहरण के लिए, फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप में निम्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: 0.155 · 10 2; 1.55 · 10 1; 15.5 · 10 0; 155.0 · 10 -1; 1550.0 · 10 -2, आदि 15.5 फ़्लोटिंग पॉइंट के इस दशमलव संकेतन का उपयोग कंप्यूटर प्रोग्राम लिखने और उन्हें कंप्यूटर में दर्ज करने के लिए नहीं किया जाता है (कंप्यूटर इनपुट डिवाइस केवल रैखिक डेटा रिकॉर्डिंग का अनुभव करते हैं)। इसके आधार पर, दशमलव संख्या का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें कंप्यूटर में दर्ज करने के लिए अभिव्यक्ति (2.7) को रूप में परिवर्तित किया जाता है

जहाँ आर -संख्या का क्रम

वह संख्या प्रणाली 10 के आधार के बजाय, वे पत्र लिखते हैं ई,अल्पविराम के बजाय - एक बिंदु, और गुणन चिह्न नहीं लगाया जाता है। इस प्रकार, फ़्लोटिंग पॉइंट और एक रेखीय रिकॉर्ड (कंप्यूटर प्रतिनिधित्व) के साथ प्रारूप में संख्या 15.5 फॉर्म में लिखा जाएगा: 0.155.22; 1.55E1; 15.5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2, आदि।

संख्या प्रणाली के बावजूद, फ़्लोटिंग-पॉइंट फॉर्म में किसी भी संख्या को संख्याओं के अनंत सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है। रिकॉर्डिंग के इस रूप को गैर-सामान्यीकृत कहा जाता है। फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व के लिए, एक नंबर लिखने के सामान्यीकृत रूप का उपयोग करें, जिसमें नंबर के मंटिसा को शर्त को पूरा करना होगा

जहाँ | ए | -  मोंटिसा संख्या का निरपेक्ष मूल्य।

स्थिति (2.9) का अर्थ है कि मंटिसा सही अंश होना चाहिए और दशमलव बिंदु के बाद एक गैर-शून्य नंबर होना चाहिए, या, दूसरे शब्दों में, यदि मंटिसा में दशमलव बिंदु गैर-शून्य है, तो संख्या को सामान्यीकृत कहा जाता है। तो, फ्लोटिंग पॉइंट के रूप में सामान्यीकृत रूप (सामान्यीकृत मंटिसा) में संख्या 15.5 इस तरह दिखाई देगी: 0.155 · 10 2, यानी सामान्यीकृत मंटिसा होगी एक  = 0.155 और आदेश पी  = 2, या 0.155E2 संख्या के कंप्यूटर प्रतिनिधित्व में।

फ्लोटिंग कॉमा के रूप में संख्याओं का एक निश्चित प्रारूप होता है और कंप्यूटर की मेमोरी में चार (32 बिट्स) या आठ बाइट्स (64 बिट्स) पर कब्जा कर लेता है। यदि कंप्यूटर की मेमोरी में संख्या 32 अंकों की है, तो यह सामान्य सटीक संख्या है, यदि यह 64 अंकों की है, तो यह एक डबल सटीक संख्या है। फ्लोटिंग पॉइंट नंबर लिखते समय, बिट्स को मंटिसा साइन, ऑर्डर साइन, मंटिसा साइन और ऑर्डर स्टोर करने के लिए आवंटित किया जाता है। अंकों की संख्या, जो संख्या के क्रम को सौंपी जाती है, संख्याओं की भिन्नता की सीमा निर्धारित करती है, और संख्याओं की संख्या मंटिसा को संग्रहीत करने के लिए अलग सेट की जाती है, वह सटीकता निर्धारित करती है जिसके साथ संख्या निर्धारित की जाती है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट में दर्शाए गए नंबरों पर अंकगणितीय ऑपरेशन (जोड़ और घटाव) करते समय, निम्नलिखित प्रक्रिया (एल्गोरिथम) प्रदान की जाती है:

1) संख्याओं के आदेशों का संरेखण, जो प्रतिबद्ध हैं अंकगणित संचालन  (मापांक में छोटे की संख्या के क्रम को मापांक में बड़े संख्या के क्रम के मान तक बढ़ाया जाता है, समान समय तक मंटिसा घट जाती है);

2) संख्याओं के मंटिसा पर अंकगणितीय संचालन किए जाते हैं;

3) प्राप्त परिणाम सामान्यीकृत है।

आइए उपरोक्त उदाहरणों के साथ समझाते हैं।

चल बिन्दु स्वरूप में दो संख्याएँ ०.५ · १० २ और ०. 3 · १० ३ जोड़ दें।

निर्णय।

हम आदेशों के संरेखण को आगे बढ़ाएंगे और मेंटिस 0.05 · 10 3 + 0.8 · 10 3 = 0.85 · 10 3 को जोड़ेंगे। प्राप्त मंटिसा 0.85 सामान्यीकृत है, क्योंकि यह स्थिति (2.9) को संतुष्ट करता है।

आइए एक फ्लोटिंग अल्पविराम के साथ एक प्रारूप में दो संख्याएँ 0,1 · 2 2 और 0,1 · 2 3 को जोड़ते हैं।

निर्णय।

हम आदेशों और संरेखण के जोड़ को आगे बढ़ाएंगे: 0.01 · 2 3 + 0.1 · 2 3 = 0.11 · 2 3। परिणामस्वरूप 0.11 मंटिसा को सामान्यीकृत किया जाता है, क्योंकि यह स्थिति (2.9) को संतुष्ट करता है।

संख्यात्मक डेटा को बाइनरी नंबर सिस्टम में एक कंप्यूटर में संसाधित किया जाता है। संख्याओं को कंप्यूटर की मेमोरी में बाइनरी कोड में संग्रहित किया जाता है, अर्थात्, शून्य और लोगों के अनुक्रम के रूप में, और एक निश्चित या अस्थायी बिंदु के साथ प्रारूप में दर्शाया जा सकता है।

इंटेगर को फिक्स्ड पॉइंट फॉर्मेट में स्टोर किया जाता है। भंडारण के लिए इस संख्या प्रारूप के साथ पूरे गैर-नकारात्मक संख्याआवंटित स्मृति रजिस्टर, आठ मेमोरी कोशिकाओं (8 बिट्स) से मिलकर। मेमोरी सेल का प्रत्येक अंक हमेशा संख्या के एक ही अंक से मेल खाता है, और अल्पविराम अंक के बाद दाईं ओर स्थित है और बिट ग्रिड के बाहर है। उदाहरण के लिए, संख्या 11001101 को मेमोरी रजिस्टर में निम्नानुसार संग्रहीत किया जाएगा:

एक निश्चित बिंदु प्रारूप में एक रजिस्टर में संग्रहीत किया जा सकता है जो एक nonnegative पूर्णांक का अधिकतम मूल्य सूत्र से निर्धारित किया जा सकता है: 2 – 1 कहाँ n -संख्या के अंकों की संख्या। इस मामले में अधिकतम संख्या 2 - 1 = 255 = 11111111 और न्यूनतम 0 = 00000000 होगी। इस प्रकार, गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के परिवर्तन की सीमा 0 से 255 तक होगी।

द्विआधारी संख्या प्रणाली में दशमलव प्रणाली के विपरीत, जब एक द्विआधारी संख्या कम्प्यूटरीकृत होती है, तो संख्या के संकेत को दर्शाते हुए कोई प्रतीक नहीं होते हैं: सकारात्मक (+) या नकारात्मक (-), इसलिए पूर्णांक पर हस्ताक्षर किएबाइनरी सिस्टम संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो प्रारूपों का उपयोग करता है: हस्ताक्षरित मूल्य का प्रारूप और अतिरिक्त कोड का प्रारूप। पहले मामले में, दो मेमोरी रजिस्टरों (16 बिट्स) को हस्ताक्षरित पूर्णांक के भंडारण के लिए आवंटित किया जाता है, जिसके साथ अंक के सबसे बड़े (सबसे बाएं) का उपयोग किया जाता है: यदि संख्या सकारात्मक है, तो साइन बिट में 0 लिखा है, यदि नकारात्मक है, तो 1. उदाहरण के लिए संख्या 536 = 0000001000011000 को मेमोरी रजिस्टर में निम्नानुसार दर्शाया जाएगा:

और एक नकारात्मक संख्या -536 = 1000001000011000 रूप में:

किसी संकेत के साथ किसी संख्या के मूल्य के प्रारूप में अधिकतम सकारात्मक संख्या या न्यूनतम नकारात्मक (संकेत के तहत एक अंक के प्रतिनिधित्व को ध्यान में रखते हुए) बराबर है 2 - 1 = 2 - 1 = 2 - 1 = 32767 = 111111111111111 और संख्या की सीमा -32,767 से 32767 तक होगी।

सबसे अधिक बार, द्विआधारी कोड प्रारूप का उपयोग हस्ताक्षरित पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो एक अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ कंप्यूटर में एक अंकगणितीय घटाव ऑपरेशन को बदलने की अनुमति देता है, जो माइक्रोप्रोसेसर की संरचना को सरल करता है और इसकी गति बढ़ाता है।

इस प्रारूप में नकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए, एक अतिरिक्त कोड का उपयोग किया जाता है, जो कि ऋणात्मक संख्या मापांक के शून्य के अतिरिक्त होता है। एक अतिरिक्त कोड में एक पूरी नकारात्मक संख्या का अनुवाद निम्नलिखित कार्यों का उपयोग करके किया जाता है:

1) में प्रत्यक्ष कोड की संख्या का मॉड्यूल लिखें n (n =)16) बाइनरी अंक;

2) संख्या का व्युत्क्रम कोड प्राप्त करें (संख्या के सभी अंकों को उल्टा करें, यानी, सभी इकाइयों को शून्य के साथ बदलें, और इकाइयों के साथ शून्य);

3) इकाई को निचले क्रम में प्राप्त रिवर्स कोड में जोड़ें।

उदाहरण के लिए, इस प्रारूप में संख्या -536 के लिए, मॉड्यूल 0000001000011000 होगा, रिवर्स कोड 1111110111100111 होगा, और अतिरिक्त कोड 1111110111101000 होगा। कैलकुलेटर का उपयोग करके अतिरिक्त मूल्य के प्राप्त मूल्य की जांच करें। ऐसा करने के लिए, संख्या -536 के मापांक का मान दर्ज करें, अर्थात, संख्या 536, और वैकल्पिक बटन का उपयोग करके बिन  इस संख्या को दशमलव संख्या प्रणाली में बाइनरी सिस्टम में दर्शाया गया है, पहले वैकल्पिक बटन स्थापित किया है 2 बाइट्स  बटन दबाना नहीं  कैलकुलेटर, हमें नंबर का उलटा कोड मिलता है, और एक बाइनरी को रिटर्न कोड में जोड़कर - एक अतिरिक्त कोड। अंतिम परिणाम कार्यक्रम की कैलकुलेटर विंडो (छवि 2.6) में प्राप्त किया जाएगा। आप और भी सरल कर सकते हैं: कैलकुलेटर पर -536 नंबर डायल करके और बटन को सक्रिय करके बिन, बाइनरी नंबर सिस्टम में इस नंबर का अतिरिक्त कोड प्राप्त करें।

अंजीर। 2.6। अतिरिक्त कोड प्राप्त करने का परिणाम है

यह याद रखना चाहिए कि एक सकारात्मक संख्या का अतिरिक्त कोड संख्या ही है।

16-बिट कंप्यूटर प्रतिनिधित्व के अलावा हस्ताक्षरित पूर्णांक को संग्रहीत करने के लिए, जब दो मेमोरी रजिस्टरों का उपयोग किया जाता है (इस संख्या प्रारूप को हस्ताक्षरित लघु पूर्णांक प्रारूप भी कहा जाता है), मतलब और लंबे हस्ताक्षर किए पूर्णांक प्रारूप का उपयोग किया जाता है। चार रजिस्टर (4 x 8 = 32 बिट्स) का उपयोग औसत प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, और आठ रजिस्टर (8 x 8 = 64 बिट्स) का उपयोग लंबी संख्या के प्रारूप में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। मध्यम और लंबी संख्या के प्रारूप के लिए मानों की सीमाएँ क्रमशः इस प्रकार होंगी: - (2 - 1) ... + 2 - 1 और - (2-1) ... + 2 - 1।

निश्चित-बिंदु प्रारूप में संख्याओं के कंप्यूटर प्रतिनिधित्व के अपने फायदे और नुकसान हैं। फायदे में अंकगणितीय ऑपरेशन के कार्यान्वयन के लिए संख्याओं और एल्गोरिदम के प्रतिनिधित्व की सादगी शामिल है, नुकसान संख्याओं के प्रतिनिधित्व की परिमित सीमा है, जो कई व्यावहारिक समस्याओं (गणितीय, आर्थिक, भौतिक, आदि) को हल करने के लिए पर्याप्त नहीं हो सकता है।

वास्तविक संख्या (परिमित और अनंत दशमलव अंश) को संसाधित किया जाता है और कंप्यूटर में फ्लोटिंग पॉइंट प्रारूप में संग्रहीत किया जाता है। इस प्रारूप के साथ, रिकॉर्ड में अल्पविराम की स्थिति भिन्न हो सकती है। कोई वास्तविक संख्या आरफ्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

जहाँ ए -मेंटिसा संख्या; ज -आधार संख्या प्रणाली; पी -संख्या का क्रम।

दशमलव संख्या प्रणाली के लिए अभिव्यक्ति (2.7) फॉर्म लेता है:

बाइनरी के लिए -

अष्टक के लिए -

हेक्साडेसिमल के लिए -

संख्या निरूपण के इस रूप को सामान्य भी कहा जाता है। क्रम में बदलाव के साथ, संख्याओं में अल्पविराम, यानी, यह बाईं ओर या दाईं ओर उड़ता है। इसलिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने वाले सामान्य रूप को फ्लोटिंग पॉइंट फॉर्म कहा जाता है। 15.5 की दशमलव संख्या, उदाहरण के लिए, फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप में निम्न के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: 0.155 · 10; 1.55 · 10; 15.5 · 10; 155.0 · 10; 1550.0 · 10, आदि 15.5 फ़्लोटिंग पॉइंट के इस दशमलव संकेतन का उपयोग कंप्यूटर प्रोग्राम लिखने और उन्हें कंप्यूटर में दर्ज करने के लिए नहीं किया जाता है (कंप्यूटर इनपुट डिवाइस केवल रैखिक डेटा रिकॉर्डिंग का अनुभव करते हैं)। इसके आधार पर, दशमलव संख्या का प्रतिनिधित्व करने और उन्हें कंप्यूटर में दर्ज करने के लिए अभिव्यक्ति (2.7) को रूप में परिवर्तित किया जाता है

जहाँ आर -संख्या का क्रम

वह संख्या प्रणाली 10 के आधार के बजाय, वे पत्र लिखते हैं ई,अल्पविराम के बजाय - एक बिंदु, और गुणन चिह्न नहीं लगाया जाता है। इस प्रकार, फ़्लोटिंग पॉइंट और एक रेखीय रिकॉर्ड (कंप्यूटर प्रतिनिधित्व) के साथ प्रारूप में संख्या 15.5 फॉर्म में लिखा जाएगा: 0.155.22; 1.55E1; 15.5E0; 155.0E-1; 1550.0E-2, आदि।

संख्या प्रणाली के बावजूद, फ़्लोटिंग-पॉइंट फॉर्म में किसी भी संख्या को संख्याओं के अनंत सेट द्वारा दर्शाया जा सकता है। रिकॉर्डिंग के इस रूप को गैर-सामान्यीकृत कहा जाता है। फ्लोटिंग-पॉइंट नंबरों के एक अस्पष्ट प्रतिनिधित्व के लिए, एक नंबर लिखने के सामान्यीकृत रूप का उपयोग करें, जिसमें नंबर के मंटिसा को शर्त को पूरा करना होगा

जहाँ | ए | -  मोंटिसा संख्या का निरपेक्ष मूल्य।

स्थिति (2.9) का अर्थ है कि मंटिसा सही अंश होना चाहिए और दशमलव बिंदु के बाद एक गैर-शून्य नंबर होना चाहिए, या, दूसरे शब्दों में, यदि मंटिसा में दशमलव बिंदु गैर-शून्य है, तो संख्या को सामान्यीकृत कहा जाता है। तो, फ्लोटिंग पॉइंट के रूप में सामान्यीकृत रूप (सामान्यीकृत मंटिसा) में संख्या 15.5 इस तरह दिखाई देगी: 0.155 · 10, यानी सामान्यीकृत मंटिसा होगी एक  = 0.155 और आदेश पी  = 2, या 0.155E2 संख्या के कंप्यूटर प्रतिनिधित्व में।

फ्लोटिंग कॉमा के रूप में संख्याओं का एक निश्चित प्रारूप होता है और कंप्यूटर की मेमोरी में चार (32 बिट्स) या आठ बाइट्स (64 बिट्स) पर कब्जा कर लेता है। यदि कंप्यूटर की मेमोरी में संख्या 32 अंकों की है, तो यह सामान्य सटीक संख्या है, यदि यह 64 अंकों की है, तो यह एक डबल सटीक संख्या है। फ्लोटिंग पॉइंट नंबर लिखते समय, बिट्स को मंटिसा साइन, ऑर्डर साइन, मंटिसा साइन और ऑर्डर स्टोर करने के लिए आवंटित किया जाता है। अंकों की संख्या, जो संख्या के क्रम को सौंपी जाती है, संख्याओं की भिन्नता की सीमा निर्धारित करती है, और संख्याओं की संख्या मंटिसा को संग्रहीत करने के लिए अलग सेट की जाती है, वह सटीकता निर्धारित करती है जिसके साथ संख्या निर्धारित की जाती है।

फ़्लोटिंग-पॉइंट फॉर्मेट में दर्शाए गए नंबरों पर अंकगणितीय ऑपरेशन (जोड़ और घटाव) करते समय, निम्नलिखित प्रक्रिया (एल्गोरिथम) प्रदान की जाती है:

1) उन संख्याओं के क्रम जिन पर अंकगणितीय संक्रियाएँ की जाती हैं, संरेखित की जाती हैं (निरपेक्ष मान में किसी संख्या का क्रम बड़ी संख्या के क्रम के मान तक बढ़ जाता है, मंटिसा उसी समय तक घट जाती है);

2) संख्याओं के मंटिसा पर अंकगणितीय संचालन किए जाते हैं;

3) प्राप्त परिणाम सामान्यीकृत है।

आइए उपरोक्त उदाहरणों के साथ समझाते हैं।

उदाहरण 1

आइए फ़्लोटिंग पॉइंट के साथ प्रारूप में दो नंबर 0.5 · 10 और 0.8 · 10 जोड़ते हैं।

निर्णय।

आइए हम आदेशों के संरेखण को अंजाम दें और mantis 0.05 · 10 + 0.8 · 10 = 0.85 · 10. 10. प्राप्त mantissa 0.85 सामान्यीकृत है, क्योंकि यह स्थिति (2.9) को संतुष्ट करता है।

उदाहरण 2

फ्लोटिंग अल्पविराम के साथ एक प्रारूप में दो संख्याओं 0,1 · 2 और 0,1 · 2 को जोड़ते हैं।

निर्णय।

आइए हम आदेशों के संरेखण और मन्तीस के जोड़ को आगे बढ़ाएँ: 0.01 · 2 + 0.1 · 2 = 0.11 · 2. परिणामी मन्तिसा 0.11 को सामान्यीकृत किया जाता है, क्योंकि यह स्थिति (2.9) को संतुष्ट करता है।

आमतौर पर, नकारात्मक दशमलव संख्या स्वचालित रूप से एक रिवर्स या अतिरिक्त बाइनरी कोड में बदल जाती है जब मशीन में प्रवेश किया जाता है और इस रूप में संचालन में संग्रहीत, स्थानांतरित और शामिल होता है। कार से ऐसे नंबर लाने पर, नकारात्मक दशमलव संख्याओं के लिए रिवर्स रूपांतरण।अधिकांश कंप्यूटरों में, घटाव ऑपरेशन का उपयोग नहीं किया जाता है। इसके बजाय, उलटा या अतिरिक्त कोड का जोड़ घटाया और घटाया जाता है। यह आपको ALU के डिजाइन को सरल बनाने की अनुमति देता है।

4.2। पूर्णांकों पर अंकगणित संचालन

आइए हम संक्षेप में पूर्णांक पर अंकगणितीय संचालन करने के प्रश्न पर विचार करें। संख्या ए और बी जोड़ते समय चार मुख्य मामले होते हैं:

1. A और B सकारात्मक हैं। संक्षेप में, सभी अंक जोड़े जाते हैं, जिसमें हस्ताक्षर का अंक भी शामिल है। चूंकि सकारात्मक शब्दों के संकेत अंक शून्य हैं, इसलिए राशि चिन्ह का अंक भी शून्य है। उदाहरण के लिए: 0 0000011 (ए = 3) + 0 0000111 (बी = 7) = 0 0001010 (10) 10

सही परिणाम प्राप्त हुआ

2.    A पॉजिटिव है, B, A की तुलना में अधिक परिमाण में ऋणात्मक और निरपेक्ष है। उदाहरण के लिए: 3 + (- 10) = - 7 (0 0000011 (डायरेक्ट कोड) + 1 1110101 (उलटा संख्या कोड)

10) = 1 1111000 (संख्या -7 का व्युत्क्रम कोड) व्युत्क्रम कोड में सही परिणाम प्राप्त हुआ। प्रत्यक्ष कोड में अनुवाद करते समय, परिणाम के डिजिटल भाग के बिट्स उल्टे हो जाते हैं: 1 0000111 = –7 10।

3.   A पॉजिटिव है, B, नकारात्मक है और परिमाण में A की तुलना में कम है। उदाहरण के लिए: 10 + (- 3) = 7 (0 0001010 (डायरेक्ट कोड) + 1 1111100 (उलटा संख्या कोड)

3) = 1 0000110 कंप्यूटर प्रारंभ में प्राप्त गलत परिणाम (7 के बजाय 6) को सही करता है। इकाई को साइन बिट से राशि के निचले अंक में स्थानांतरित करना और सही परिणाम 7 देता है।

4. ए और बी नकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए: (-3) + (- =) = - १० 11 १ १११११०० (पारस्परिक कोड -3) + १ ११११००० (संख्या -7 का पारस्परिक कोड) = १ १११०१००। प्रारंभ में गलत परिणाम प्राप्त हुआ (संख्या -११ १० के बदले पारस्परिक कोड) वापसी कोड  संख्या -10 10) इकाई को साइन बिट से राशि के निचले अंक में स्थानांतरित करके कंप्यूटर सही करता है। परिणाम को सीधा कोड में तब्दील करते समय, संख्या के डिजिटल भाग के बिट्स उल्टे हो जाते हैं: 1 0001010 = –10 10।

पूर्णांकों को जोड़ने का उपयोग करके आयोजित किया जा सकता है अतिरिक्त कोड। यहाँ ऊपर वर्णित मामलों की भी जानकारी दी गई है:

1.   A और B सकारात्मक हैं। केस 1 से कोई अंतर नहीं हैं, रिवर्स कोड के लिए विचार किया जाता है।

2.   A सकारात्मक है, B नकारात्मक है और ए की तुलना में अधिक परिमाण में निरपेक्ष है। उदाहरण के लिए: 3 + (- 10) = - 7 (0 0000011 (प्रत्यक्ष कोड) + 1 1110110 (संख्या -10 का अतिरिक्त कोड) = 1 1111001 (संख्या का अतिरिक्त कोड - 7) अतिरिक्त कोड में सही परिणाम प्राप्त होता है। प्रत्यक्ष कोड में अनुवाद करते समय, परिणाम के डिजिटल हिस्से के बिट्स उल्टे होते हैं और एक इकाई को निचले क्रम में जोड़ा जाता है: 1 0000110 + 1 = 1 0000111 = –7 10।

3.   A सकारात्मक है, B, A की तुलना में कम परिमाण में ऋणात्मक और निरपेक्ष है। उदाहरण के लिए: 10 + (- 3) = 7 (0 0001010 (प्रत्यक्ष कोड) + 1 1111101 (संख्या -3 का अतिरिक्त कोड) = 0 0000111। सही परिणाम प्राप्त हुआ था। साइन बिट कंप्यूटर डिस्क से स्थानांतरण इकाई।

4.   ए और बी नकारात्मक हैं। उदाहरण के लिए :: (-3) + (- 7) = - 10 11 1 1111101 (अतिरिक्त कोड -3) + 1 1111001 (संख्या -7 का अतिरिक्त कोड) = 1 1110110 अतिरिक्त कोड में सही परिणाम प्राप्त हुआ। ट्रांसफर यूनिट  साइन कंप्यूटर डिस्चार्ज से दूर फेंकता है.

हस्ताक्षरित पूर्णांक कोडिंग के विचारित रूपों की तुलना से पता चलता है:

कंप्यूटर एक नकारात्मक संख्या को रिवर्स कोड में परिवर्तित करने से कम समय खर्च करता है, इसे एक अतिरिक्त कोड में परिवर्तित करने के बाद, क्योंकि उत्तरार्द्ध में दो चरण होते हैं - एक व्युत्क्रम कोड का गठन और एक सबसे कम उम्र के वर्ग के लिए;

अतिरिक्त कोड संख्याओं के लिए निष्पादन का समय उनके रिवर्स कोड की तुलना में कम है ,    क्योंकि इस अतिरिक्त में साइन बिट के परिणाम के निचले अंक तक इकाई का कोई हस्तांतरण नहीं होता है।

जोड़ते समय, एक स्थिति उत्पन्न हो सकती है जब ऑपरेशन के परिणाम के उच्च-क्रम बिट्स इसके लिए आवंटित मेमोरी क्षेत्र में फिट नहीं होते हैं। इस स्थिति को कहा जाता है संख्या प्रारूप के अंक ग्रिड का अतिप्रवाह।  अतिप्रवाह का पता लगाने और कंप्यूटर में त्रुटि के बारे में सूचित करने के लिए विशेष उपकरणों का उपयोग किया जाता है।

कई कंप्यूटरों में गुणन परिवर्धन और पारियों के अनुक्रम के रूप में उत्पादित। इसके लिए, ALU है रजिस्टर, संचय योजक कहा जाता है, जो ऑपरेशन की शुरुआत से पहले संख्या शून्य होता है। ऑपरेशन करने की प्रक्रिया में, इसे वैकल्पिक रूप से इसमें रखा जाता है। गुण्य जिस को किसी संख्या से गुणा किया जाय  और मध्यवर्ती जोड़ परिणाम, और ऑपरेशन पूरा होने पर - अंतिम परिणाम.

इस ऑपरेशन को करने में शामिल एक अन्य ALU रजिस्टर में पहले एक गुणक होता है। फिर, जैसे-जैसे आप परिवर्धन करते हैं, इसमें शामिल संख्या घटती जाती है जब तक कि यह शून्य तक नहीं पहुंच जाती।

कंप्यूटर के लिए विभाजन एक कठिन ऑपरेशन है। आमतौर पर यह एक अतिरिक्त लाभांश कोड को बार-बार जोड़कर लागू किया जाता है।

4.3। कंप्यूटर में वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व

गणितीय गणनाओं में वास्तविक संख्याओं की प्रणाली को निरंतर और अनंत माना जाता है, अर्थात्। सीमा और संख्या की सटीकता तक सीमित नहीं है। हालांकि, कंप्यूटर में, संख्याओं को सीमित संख्या में अंकों के साथ रजिस्टरों और मेमोरी कोशिकाओं में संग्रहीत किया जाता है। नतीजतन, एक मशीन में प्रतिनिधित्व योग्य वास्तविक संख्याओं की प्रणाली असतत (बंद) और परिमित है। कार्यक्रमों में वास्तविक संख्या लिखते समय, सामान्य अल्पविराम के बजाय, एक अवधि डालने की प्रथा है।

पीसी में, संख्याओं को दो रूपों में से एक में प्रस्तुत किया जा सकता है:

1) एक निश्चित बिंदु के साथ - एक प्राकृतिक रूप में (0.00345 एक सही अंश है, 1.23456 एक अनुचित अंश है)

2) फ्लोटिंग पॉइंट के साथ (अल्पविराम) (555.55 = 55555 10 -2 = 0.55555 10 3)

वास्तविक संख्याओं को प्रदर्शित करने के लिए, जो बहुत छोटे और बहुत बड़े दोनों हो सकते हैं, संख्या प्रणाली के आधार के क्रम के साथ रिकॉर्डिंग संख्याओं के रूप का उपयोग करें। किसी भी संख्या A को घातांक रूप में दर्शाया जा सकता है:

जहाँ m संख्या का mantissa है, q संख्या प्रणाली का आधार है। n, संख्या का क्रम है।