दूसरी डिग्री का अंकगणितीय मूल

परिभाषा 1

दूसरी डिग्री की जड़ (या वर्गमूल) संख्या $a$ सेकिसी ऐसे नंबर पर कॉल करें जिसका वर्ग करने पर वह $a$ के बराबर हो जाए।

उदाहरण 1

$7^2=7 \cdot 7=49$, जिसका अर्थ है कि संख्या $7$, संख्या $49$ का दूसरा मूल है;

$0.9^2=0.9 \cdot 0.9=0.81$, जिसका अर्थ है कि संख्या $0.9$, संख्या $0.81$ का दूसरा मूल है;

$1^2=1 \cdot 1=1$, जिसका अर्थ है कि संख्या $1$, संख्या $1$ का दूसरा मूल है।

नोट 2

सीधे शब्दों में कहें तो किसी भी संख्या $a के लिए

नकारात्मक $a$ के लिए $a=b^2$ गलत है, क्योंकि $a=b^2$ $b$ के किसी भी मान के लिए ऋणात्मक नहीं हो सकता।

इससे यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है वास्तविक संख्याओं के लिए ऋणात्मक संख्या का दूसरा मूल नहीं हो सकता.

नोट 3

क्योंकि $0^2=0 \cdot 0=0$, तो परिभाषा से यह पता चलता है कि शून्य शून्य का दूसरा मूल है।

परिभाषा 2

संख्या $a$ की दूसरी डिग्री का अंकगणितीय मूल($a \ge 0$) नहीं है एक ऋणात्मक संख्या, जिसका वर्ग करने पर $a$ के बराबर होगा।

दूसरी डिग्री की जड़ें भी कहलाती हैं वर्गमूल.

संख्या $a$ की दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को $\sqrt(a)$ के रूप में दर्शाया गया है या आप अंकन $\sqrt(a)$ देख सकते हैं। लेकिन अक्सर वर्गमूल के लिए संख्या $2$ होती है मूल प्रतिपादक- निर्दिष्ट नहीं है। “$\sqrt( )$” चिन्ह दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल का चिन्ह है, जिसे "" भी कहा जाता है कट्टरपंथी संकेत" "रूट" और "रेडिकल" अवधारणाएँ एक ही वस्तु के नाम हैं।

यदि अंकगणितीय मूल चिन्ह के नीचे कोई संख्या हो तो वह कहलाती है मूल संख्या, और यदि अभिव्यक्ति, तो - उग्र अभिव्यक्ति.

प्रविष्टि $\sqrt(8)$ को "आठ की दूसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल" के रूप में पढ़ा जाता है और "अंकगणित" शब्द का उपयोग अक्सर नहीं किया जाता है।

परिभाषा 3

परिभाषा के अनुसार दूसरी डिग्री का अंकगणितीय मूललिखा जा सकता है:

किसी भी $a \ge 0$ के लिए:

$(\sqrt(a))^2=a$,

$\sqrt(a)\ge 0$.

हमने दूसरे मूल और अंकगणितीय दूसरे मूल के बीच अंतर दिखाया। इसके अलावा हम केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं और अभिव्यक्तियों की जड़ों पर विचार करेंगे, अर्थात। केवल अंकगणित.

तीसरी डिग्री का अंकगणितीय मूल

परिभाषा 4

संख्या $a$ की तीसरी डिग्री (या घनमूल) का अंकगणितीय मूल($a \ge 0$) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है, जिसे घन करने पर, $a$ के बराबर हो जाती है।

अक्सर अंकगणित शब्द को छोड़ दिया जाता है और वे कहते हैं "संख्या $a$ का तीसरा मूल"।

$a$ की तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल को $\sqrt(a)$ के रूप में दर्शाया गया है, चिह्न "$\sqrt( )$" तीसरी डिग्री के अंकगणितीय मूल का चिह्न है, और संख्या $3$ को $\sqrt( )$ के रूप में दर्शाया गया है। इस अंकन को कहा जाता है जड़ सूचकांक. मूल चिन्ह के नीचे आने वाली संख्या या अभिव्यक्ति कहलाती है मौलिक.

उदाहरण 2

$\sqrt(3,5)$ - $3.5$ की तीसरी डिग्री का अंकगणितीय मूल या $3.5$ का घनमूल;

$\sqrt(x+5)$ - $x+5$ की तीसरी डिग्री का अंकगणितीय मूल या $x+5$ का घनमूल।

अंकगणित nवाँ मूल

परिभाषा 5

अंकगणित मूल नौवीं डिग्री संख्या $a \ge 0$ से एक गैर-ऋणात्मक संख्या कहलाती है, जिसे $n$वें घात तक बढ़ाने पर, $a$ के बराबर हो जाती है।

$a \ge 0$ की घात $n$ के अंकगणितीय मूल के लिए संकेतन:

जहां $a$ एक मूल संख्या या अभिव्यक्ति है,

इस लेख में हम परिचय देंगे किसी संख्या के मूल की अवधारणा. हम क्रमिक रूप से आगे बढ़ेंगे: हम वर्गमूल से शुरू करेंगे, वहां से हम घनमूल के विवरण की ओर बढ़ेंगे, जिसके बाद हम nवें मूल को परिभाषित करते हुए मूल की अवधारणा को सामान्यीकृत करेंगे। साथ ही, हम परिभाषाएँ, संकेतन प्रस्तुत करेंगे, जड़ों के उदाहरण देंगे और आवश्यक स्पष्टीकरण और टिप्पणियाँ देंगे।

वर्गमूल, अंकगणितीय वर्गमूल

किसी संख्या के मूल और विशेष रूप से वर्गमूल की परिभाषा को समझने के लिए, आपके पास यह होना आवश्यक है। इस बिंदु पर हम अक्सर किसी संख्या की दूसरी घात - किसी संख्या का वर्ग - का सामना करेंगे।

चलो साथ - साथ शुरू करते हैं वर्गमूल परिभाषाएँ.

परिभाषा

ए का वर्गमूलएक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

लाने के लिए उदाहरण वर्गमूल , कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 5, −0.3, 0.3, 0, और उनका वर्ग करें, हमें क्रमशः 25, 0.09, 0.09 और 0 संख्याएँ मिलती हैं (5 2 =5·5=25, (−0.3) 2 =(−0.3)·(−0.3)=0.09, (0.3) 2 =0.3·0.3=0.09 और 0 2 =0·0=0 ). फिर, ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, संख्या 5 संख्या 25 का वर्गमूल है, संख्याएँ −0.3 और 0.3 0.09 का वर्गमूल हैं, और 0 शून्य का वर्गमूल है।

यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि किसी भी संख्या के लिए a मौजूद नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर है। अर्थात्, किसी भी ऋणात्मक संख्या a के लिए कोई वास्तविक संख्या b नहीं है जिसका वर्ग a के बराबर हो। वास्तव में, किसी भी ऋणात्मक a के लिए समानता a=b 2 असंभव है, क्योंकि b 2 किसी भी b के लिए एक गैर-ऋणात्मक संख्या है। इस प्रकार, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में किसी ऋणात्मक संख्या का कोई वर्गमूल नहीं होता है. दूसरे शब्दों में, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय पर ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल परिभाषित नहीं है और इसका कोई अर्थ नहीं है।

इससे एक तार्किक प्रश्न उठता है: "क्या किसी गैर-नकारात्मक a के लिए a का कोई वर्गमूल है"? उत्तर है, हाँ। इस तथ्य को वर्गमूल का मान ज्ञात करने के लिए प्रयुक्त रचनात्मक विधि द्वारा उचित ठहराया जा सकता है।

फिर अगला तार्किक प्रश्न उठता है: "किसी दी गई गैर-नकारात्मक संख्या a के सभी वर्गमूलों की संख्या क्या है - एक, दो, तीन, या इससे भी अधिक"? यहाँ उत्तर है: यदि a शून्य है, तो शून्य का एकमात्र वर्गमूल शून्य है; यदि a कोई धनात्मक संख्या है, तो संख्या a के वर्गमूलों की संख्या दो है, और मूल हैं। आइए इसे उचित ठहराएँ।

आइए मामले से शुरू करते हैं a=0 । सबसे पहले, आइए दिखाएँ कि शून्य वास्तव में शून्य का वर्गमूल है। यह स्पष्ट समानता 0 2 =0·0=0 और वर्गमूल की परिभाषा का अनुसरण करता है।

अब आइए सिद्ध करें कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है। आइए विपरीत विधि का प्रयोग करें। मान लीजिए कि कोई शून्येतर संख्या b है जो शून्य का वर्गमूल है। तब शर्त b 2 =0 को संतुष्ट किया जाना चाहिए, जो असंभव है, क्योंकि किसी भी गैर-शून्य b के लिए अभिव्यक्ति b 2 का मान सकारात्मक है। हम एक विरोधाभास पर पहुँच गये हैं। इससे सिद्ध होता है कि 0 ही शून्य का एकमात्र वर्गमूल है।

आइए उन मामलों की ओर बढ़ते हैं जहां a एक धनात्मक संख्या है। हमने ऊपर कहा कि किसी भी गैर-ऋणात्मक संख्या का हमेशा एक वर्गमूल होता है, मान लीजिए कि a का वर्गमूल संख्या b है। मान लीजिए कि एक संख्या c है, जो a का वर्गमूल भी है। फिर, वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार, समानताएँ b 2 =a और c 2 =a सत्य हैं, जिससे यह निष्कर्ष निकलता है कि b 2 −c 2 =a−a=0, लेकिन चूँकि b 2 −c 2 =( b−c)·( b+c) , फिर (b−c)·(b+c)=0 . परिणामी समानता वैध है वास्तविक संख्याओं के साथ संक्रियाओं के गुणकेवल तभी संभव है जब b−c=0 या b+c=0 . इस प्रकार, संख्याएँ b और c बराबर या विपरीत हैं।

यदि हम मान लें कि एक संख्या d है, जो संख्या a का एक और वर्गमूल है, तो पहले से दिए गए तर्क के समान तर्क से, यह सिद्ध होता है कि d संख्या b या संख्या c के बराबर है। अतः, एक धनात्मक संख्या के वर्गमूलों की संख्या दो है, और वर्गमूल विपरीत संख्याएँ हैं।

वर्गमूलों के साथ काम करने की सुविधा के लिए, ऋणात्मक मूल को धनात्मक मूल से "अलग" किया जाता है। इसी उद्देश्य से इसे पेश किया गया है अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय वर्गमूल aएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग a के बराबर है।

a के अंकगणितीय वर्गमूल के लिए संकेतन है। चिह्न को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न कहा जाता है। इसे मूलांक चिन्ह भी कहा जाता है। इसलिए, आप कभी-कभी "रूट" और "रेडिकल" दोनों सुन सकते हैं, जिसका अर्थ एक ही वस्तु है।

अंकगणितीय वर्गमूल चिन्ह के नीचे की संख्या कहलाती है मूल संख्या, और मूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति है उग्र अभिव्यक्ति, जबकि शब्द "रेडिकल नंबर" को अक्सर "रेडिकल एक्सप्रेशन" से बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, नोटेशन में संख्या 151 एक रेडिकल संख्या है, और नोटेशन में अभिव्यक्ति a एक रेडिकल अभिव्यक्ति है।

पढ़ते समय, शब्द "अंकगणित" अक्सर छोड़ दिया जाता है, उदाहरण के लिए, प्रविष्टि को "सात दशमलव उनतीस का वर्गमूल" के रूप में पढ़ा जाता है। "अंकगणित" शब्द का प्रयोग केवल तभी किया जाता है जब वे उस पर जोर देना चाहते हैं हम बात कर रहे हैंविशेष रूप से किसी संख्या के धनात्मक वर्गमूल के बारे में।

प्रस्तुत संकेतन के प्रकाश में, यह अंकगणितीय वर्गमूल की परिभाषा से निम्नानुसार है कि किसी भी गैर-नकारात्मक संख्या के लिए।

किसी धनात्मक संख्या a के वर्गमूल को अंकगणितीय वर्गमूल चिह्न का उपयोग करके और के रूप में लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, 13 का वर्गमूल और है। शून्य का अंकगणितीय वर्गमूल शून्य है, अर्थात। ऋणात्मक संख्याओं a के लिए, जब तक हम अध्ययन नहीं करेंगे तब तक हम अंकन को अर्थ नहीं देंगे जटिल आंकड़े. उदाहरण के लिए, अभिव्यक्तियाँ अर्थहीन हैं।

वर्गमूल की परिभाषा के आधार पर वर्गमूल के गुण सिद्ध होते हैं, जिनका व्यवहार में प्राय: उपयोग होता है।

इस बिंदु के निष्कर्ष में, हम देखते हैं कि संख्या a के वर्गमूल चर x के संबंध में x 2 =a के रूप के समाधान हैं।

किसी संख्या का घनमूल

घनमूल की परिभाषासंख्या a का वर्गमूल की परिभाषा के समान ही दिया गया है। केवल यह किसी संख्या के घन की अवधारणा पर आधारित है, वर्ग नहीं।

परिभाषा

ए का घनमूलएक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

चलो हम देते है घनमूल के उदाहरण. ऐसा करने के लिए, कई संख्याएँ लें, उदाहरण के लिए, 7, 0, -2/3, और उनका घन करें: 7 3 =7·7·7=343, 0 3 =0·0·0=0, . फिर, घनमूल की परिभाषा के आधार पर, हम कह सकते हैं कि संख्या 7, 343 का घनमूल है, 0 शून्य का घनमूल है, और −2/3 −8/27 का घनमूल है।

यह दिखाया जा सकता है कि किसी संख्या का घनमूल, वर्गमूल के विपरीत, हमेशा मौजूद रहता है, न केवल गैर-नकारात्मक a के लिए, बल्कि किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए भी। ऐसा करने के लिए, आप उसी विधि का उपयोग कर सकते हैं जिसका उल्लेख हमने वर्गमूलों का अध्ययन करते समय किया था।

इसके अलावा, इसका केवल एक ही घनमूल है दिया गया नंबरएक। आइए अंतिम कथन को सिद्ध करें। ऐसा करने के लिए, तीन मामलों पर अलग से विचार करें: a एक धनात्मक संख्या है, a=0 और a एक ऋणात्मक संख्या है।

यह दिखाना आसान है कि यदि a धनात्मक है, तो a का घनमूल न तो ऋणात्मक संख्या हो सकता है और न ही शून्य। दरअसल, मान लीजिए कि b, a का घनमूल है, तो परिभाषा के अनुसार हम समानता b 3 =a लिख सकते हैं। यह स्पष्ट है कि यह समानता ऋणात्मक b और b=0 के लिए सत्य नहीं हो सकती, क्योंकि इन मामलों में b 3 =b·b·b क्रमशः एक ऋणात्मक संख्या या शून्य होगी। अतः किसी धनात्मक संख्या a का घनमूल एक धनात्मक संख्या है।

अब मान लीजिए कि संख्या b के अतिरिक्त संख्या a का एक और घनमूल है, आइए इसे c से निरूपित करें। फिर सी 3 =ए. इसलिए, b 3 −c 3 =a−a=0, लेकिन बी 3 −सी 3 =(बी−सी)·(बी 2 +बी·सी+सी 2)(यह संक्षिप्त गुणन सूत्र है घनों का अंतर), जहां से (b−c)·(b 2 +b·c+c 2)=0. परिणामी समानता केवल तभी संभव है जब b−c=0 या b 2 +b·c+c 2 =0. पहली समानता से हमारे पास b=c है, और दूसरी समानता का कोई समाधान नहीं है, क्योंकि इसका बायाँ भाग किसी भी सकारात्मक संख्या b और c के लिए तीन सकारात्मक पदों b 2, b·c और c 2 के योग के रूप में एक सकारात्मक संख्या है। यह एक धनात्मक संख्या a के घनमूल की विशिष्टता सिद्ध करता है।

जब a=0, तो संख्या a का घनमूल केवल संख्या शून्य होता है। वास्तव में, यदि हम मान लें कि एक संख्या b है, जो शून्य का एक गैर-शून्य घनमूल है, तो समानता b 3 = 0 होनी चाहिए, जो केवल तभी संभव है जब b = 0 हो।

नकारात्मक a के लिए, सकारात्मक a के मामले के समान तर्क दिए जा सकते हैं। सबसे पहले, हम दिखाते हैं कि किसी ऋणात्मक संख्या का घनमूल किसी धनात्मक संख्या या शून्य के बराबर नहीं हो सकता। दूसरे, हम मानते हैं कि एक ऋणात्मक संख्या का दूसरा घनमूल है और दिखाते हैं कि यह आवश्यक रूप से पहले के साथ मेल खाएगा।

इसलिए, किसी भी वास्तविक संख्या a का हमेशा एक घनमूल और एक अद्वितीय संख्या होती है।

चलो हम देते है अंकगणितीय घनमूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-ऋणात्मक संख्या का अंकगणितीय घनमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका घन a के बराबर है।

किसी अऋणात्मक संख्या a के अंकगणितीय घनमूल को इस प्रकार दर्शाया जाता है, चिह्न को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है, इस अंकन में संख्या 3 को अंकगणितीय घनमूल का चिह्न कहा जाता है। जड़ सूचकांक. मूल चिह्न के नीचे की संख्या है मूल संख्या, मूल चिह्न के अंतर्गत अभिव्यक्ति है उग्र अभिव्यक्ति.

हालाँकि अंकगणितीय घनमूल को केवल गैर-ऋणात्मक संख्याओं a के लिए परिभाषित किया गया है, लेकिन अंकगणित का उपयोग करना भी सुविधाजनक है जिसमें ऋणात्मक संख्याएँ अंकगणितीय घनमूल चिह्न के अंतर्गत पाई जाती हैं। इन्हें हम इस प्रकार समझेंगे: , जहां a एक धनात्मक संख्या है। उदाहरण के लिए, .

हम सामान्य लेख जड़ों के गुण में घन जड़ों के गुणों के बारे में बात करेंगे।

घनमूल के मान की गणना करना घनमूल निकालना कहलाता है; इस क्रिया की चर्चा जड़ निकालने वाले लेख में की गई है: विधियाँ, उदाहरण, समाधान।

इस बिंदु को समाप्त करने के लिए, मान लें कि संख्या a का घनमूल x 3 =a के रूप का एक समाधान है।

nवाँ मूल, घात n का अंकगणितीय मूल

आइए हम किसी संख्या के मूल की अवधारणा का सामान्यीकरण करें - हम परिचय कराते हैं nवें मूल की परिभाषाएन के लिए

परिभाषा

ए का एनवाँ मूलएक संख्या है जिसकी nवीं घात a के बराबर है।

इस परिभाषा से यह स्पष्ट है कि संख्या a का प्रथम घात मूल संख्या a ही है, क्योंकि प्राकृतिक घातांक के साथ घात का अध्ययन करते समय हमने 1 =a लिया।

ऊपर हमने n=2 और n=3 - वर्गमूल और घनमूल के लिए nवें मूल के विशेष मामलों को देखा। अर्थात्, वर्गमूल दूसरी डिग्री का मूल है, और घनमूल तीसरी डिग्री का मूल है। n=4, 5, 6, ... के लिए nवीं डिग्री की जड़ों का अध्ययन करने के लिए, उन्हें दो समूहों में विभाजित करना सुविधाजनक है: पहला समूह - सम डिग्री की जड़ें (यानी, n = 4, 6, 8 के लिए) , ...), दूसरा समूह - मूल विषम डिग्री (यानी, n=5, 7, 9, ... के साथ)। यह इस तथ्य के कारण है कि सम घातों की जड़ें वर्गमूलों के समान होती हैं, और विषम घातों की जड़ें घनमूलों के समान होती हैं। आइए एक-एक करके उनसे निपटें।

आइए जड़ों से शुरू करें, जिनकी शक्तियाँ हैं सम संख्या 4, 6, 8, ... जैसा कि हमने कहा, वे संख्या a के वर्गमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a की किसी भी सम घात का मूल केवल गैर-ऋणात्मक a के लिए मौजूद होता है। इसके अलावा, यदि a=0, तो a का मूल अद्वितीय और शून्य के बराबर है, और यदि a>0, तो संख्या a की सम घात के दो मूल हैं, और वे विपरीत संख्याएँ हैं।

आइए हम अंतिम कथन की पुष्टि करें। मान लीजिए कि b सम डिग्री का मूल है (हम इसे 2 m के रूप में दर्शाते हैं, जहाँ m कुछ है प्राकृतिक संख्या) संख्या ए से . मान लीजिए कि एक संख्या c है - संख्या a से 2·m डिग्री का एक और मूल। फिर b 2·m −c 2·m =a−a=0 . लेकिन हम b 2 m −c 2 m = (b−c) (b+c) का रूप जानते हैं (बी 2 एम−2 +बी 2 एम−4 सी 2 +बी 2 एम−6 सी 4 +…+सी 2 एम−2), फिर (b−c)·(b+c)· (b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2)=0. इस समानता से यह निष्कर्ष निकलता है कि b−c=0, या b+c=0, या b 2 m−2 +b 2 m−4 c 2 +b 2 m−6 c 4 +…+c 2 m−2 =0. पहली दो समानताओं का मतलब है कि संख्याएँ b और c बराबर हैं या b और c विपरीत हैं। और अंतिम समानता केवल b=c=0 के लिए मान्य है, क्योंकि इसके बाईं ओर एक अभिव्यक्ति है जो गैर-नकारात्मक संख्याओं के योग के रूप में किसी भी b और c के लिए गैर-नकारात्मक है।

विषम n के लिए nवीं डिग्री की जड़ों के लिए, वे घनमूल के समान हैं। अर्थात्, संख्या a की किसी भी विषम डिग्री का मूल किसी भी वास्तविक संख्या a के लिए मौजूद होता है, और किसी दी गई संख्या a के लिए यह अद्वितीय होता है।

संख्या a के विषम अंश 2·m+1 के मूल की विशिष्टता, a के घनमूल की विशिष्टता के प्रमाण के साथ सादृश्य द्वारा सिद्ध होती है। समानता की जगह सिर्फ यहीं ए 3 −बी 3 =(ए−बी)·(ए 2 +ए·बी+सी 2)फॉर्म b 2 m+1 −c 2 m+1 = की समानता का उपयोग किया जाता है (बी−सी)·(बी 2·एम +बी 2·एम−1 ·सी+बी 2·एम−2 ·सी 2 +… +सी 2·एम). अंतिम कोष्ठक में अभिव्यक्ति को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है बी 2 एम +सी 2 एम +बी सी (बी 2 एम−2 +सी 2 एम−2 + बी सी (बी 2 एम−4 +सी 2 एम−4 +बी सी (…+(बी 2 +सी 2 +बी सी)))). उदाहरण के लिए, m=2 के साथ हमारे पास है बी 5 −सी 5 =(बी−सी)·(बी 4 +बी 3 ·सी+बी 2 ·सी 2 +बीसी·सी 3 +सी 4)= (बी−सी)·(बी 4 +सी 4 +बीसी·सी·(बी 2 +सी 2 +बीसी·सी)). जब a और b दोनों धनात्मक या दोनों ऋणात्मक होते हैं, तो उनका गुणनफल एक धनात्मक संख्या होता है, तब उच्चतम नेस्टेड कोष्ठकों में अभिव्यक्ति b 2 +c 2 +b·c धनात्मक संख्याओं के योग के रूप में धनात्मक होती है। अब, नेस्टिंग की पिछली डिग्री के कोष्ठक में भावों की ओर क्रमिक रूप से आगे बढ़ते हुए, हम आश्वस्त हैं कि वे सकारात्मक संख्याओं के योग के रूप में भी सकारात्मक हैं। परिणामस्वरूप, हम पाते हैं कि समानता b 2 m+1 −c 2 m+1 = (बी−सी)·(बी 2·एम +बी 2·एम−1 ·सी+बी 2·एम−2 ·सी 2 +… +सी 2·एम)=0केवल तभी संभव है जब b−c=0, अर्थात जब संख्या b संख्या c के बराबर हो।

अब nवें मूलों के अंकन को समझने का समय आ गया है। इसी उद्देश्य से यह दिया गया है nवीं डिग्री के अंकगणितीय मूल की परिभाषा.

परिभाषा

एक गैर-नकारात्मक संख्या की nवीं डिग्री का अंकगणितीय मूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसकी nवीं घात a के बराबर है।

प्रथम स्तर

जड़ और उसके गुण. उदाहरणों के साथ विस्तृत सिद्धांत (2019)

आइए यह जानने का प्रयास करें कि "जड़" की यह अवधारणा क्या है और "इसके साथ क्या खाया जाता है।" ऐसा करने के लिए, आइए उन उदाहरणों को देखें जिनका सामना आप कक्षा में पहले ही कर चुके हैं (ठीक है, या आप बस इसका सामना करने वाले हैं)।

उदाहरण के लिए, हमारे पास एक समीकरण है. इस समीकरण का हल क्या है? किन संख्याओं का वर्ग करके प्राप्त किया जा सकता है? गुणन सारणी को याद करके आप आसानी से उत्तर दे सकते हैं: और (आखिरकार, जब दो ऋणात्मक संख्याओं को गुणा किया जाता है, तो एक धनात्मक संख्या प्राप्त होती है)! सरल बनाने के लिए, गणितज्ञों ने वर्गमूल की विशेष अवधारणा पेश की और इसे एक विशेष प्रतीक दिया।

आइए हम अंकगणितीय वर्गमूल को परिभाषित करें।

संख्या को गैर-ऋणात्मक क्यों होना चाहिए? उदाहरण के लिए, यह किसके बराबर है? अच्छा, ठीक है, आइए एक को चुनने का प्रयास करें। शायद तीन? आइए जांचें: , नहीं। शायद, ? फिर से, हम जाँचते हैं: . अच्छा, यह फिट नहीं है? यह अपेक्षित है - क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग करने पर ऋणात्मक संख्या प्राप्त हो!
आपको यह याद रखने की आवश्यकता है: मूल चिन्ह के नीचे की संख्या या अभिव्यक्ति गैर-नकारात्मक होनी चाहिए!

हालाँकि, सबसे चौकस लोगों ने शायद पहले ही नोटिस कर लिया है कि परिभाषा कहती है कि "किसी संख्या के वर्गमूल के समाधान को इसे कहा जाता है" गैर नकारात्मकवह संख्या जिसका वर्ग " के बराबर है। आप में से कुछ लोग कहेंगे कि शुरुआत में ही हमने उदाहरण का विश्लेषण किया, उन संख्याओं का चयन किया जिनका वर्ग किया जा सकता है और प्राप्त किया जा सकता है, उत्तर था और, लेकिन यहां हम किसी प्रकार की "गैर-नकारात्मक संख्या" के बारे में बात कर रहे हैं! यह टिप्पणी बिल्कुल उचित है. यहां आपको बस द्विघात समीकरणों की अवधारणाओं और किसी संख्या के अंकगणितीय वर्गमूल के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति के समकक्ष नहीं है.

यह इस प्रकार है कि, वह है, या। (विषय पढ़ें "")

और यह उसी का अनुसरण करता है।

बेशक, यह बहुत भ्रमित करने वाला है, लेकिन यह याद रखना आवश्यक है कि चिह्न समीकरण को हल करने का परिणाम हैं, क्योंकि समीकरण को हल करते समय हमें सभी एक्स को लिखना होगा, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित होने पर, देगा सही परिणाम. दोनों हमारे द्विघात समीकरण में फिट बैठते हैं।

हालांकि, यदि बस वर्गमूल लेंकिसी चीज़ से, तो हमेशा हमें एक गैर-नकारात्मक परिणाम मिलता है.

अब इस समीकरण को हल करने का प्रयास करें। अब सब कुछ इतना सरल और सहज नहीं है, क्या ऐसा है? संख्याओं पर गौर करने का प्रयास करें, शायद कुछ बात बनेगी? आइए बिल्कुल शुरुआत से शुरू करें - शून्य से: - फिट नहीं है, आगे बढ़ें - तीन से कम, एक तरफ भी स्वीप करें, क्या होगा। आइए जांचें: - उपयुक्त भी नहीं, क्योंकि... यह तीन से अधिक है. नकारात्मक संख्याओं के साथ भी यही कहानी है। तो अब क्या करे? क्या सचमुच खोज से हमें कुछ नहीं मिला? बिल्कुल नहीं, अब हम निश्चित रूप से जानते हैं कि उत्तर और के बीच, साथ ही और के बीच में कुछ संख्या होगी। साथ ही, जाहिर तौर पर समाधान पूर्णांक नहीं होंगे। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं. तो, आगे क्या है? आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं और उस पर समाधान चिह्नित करें।

आइए सिस्टम को धोखा देने का प्रयास करें और कैलकुलेटर का उपयोग करके उत्तर प्राप्त करें! आइए इसकी जड़ निकालें! ओह-ओह-ओह, यह पता चला है। यह संख्या कभी ख़त्म नहीं होती. आप इसे कैसे याद रख सकते हैं, क्योंकि परीक्षा में कोई कैलकुलेटर नहीं होगा!? सब कुछ बहुत सरल है, आपको इसे याद रखने की आवश्यकता नहीं है, आपको बस अनुमानित मूल्य याद रखने (या तुरंत अनुमान लगाने में सक्षम होने) की आवश्यकता है। और उत्तर स्वयं। ऐसी संख्याओं को अपरिमेय कहा जाता है; ऐसी संख्याओं के लेखन को सरल बनाने के लिए वर्गमूल की अवधारणा पेश की गई थी।

आइए इसे सुदृढ़ करने के लिए एक और उदाहरण देखें। आइए निम्नलिखित समस्या को देखें: आपको किमी की भुजा वाले एक वर्गाकार मैदान को विकर्ण रूप से पार करना है, आपको कितने किमी जाना होगा?

यहां सबसे स्पष्ट बात यह है कि त्रिभुज पर अलग से विचार करें और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करें:। इस प्रकार, । तो यहाँ आवश्यक दूरी क्या है? जाहिर है, दूरी नकारात्मक नहीं हो सकती, हमें यह पता है। दो का मूल लगभग बराबर है, लेकिन, जैसा कि हमने पहले देखा, - पहले से ही एक पूर्ण उत्तर है।

समस्याओं को उत्पन्न किए बिना उदाहरणों को जड़ों से हल करने के लिए, आपको उन्हें देखने और पहचानने की आवश्यकता है। ऐसा करने के लिए, आपको कम से कम संख्याओं के वर्गों को जानना होगा, और उन्हें पहचानने में भी सक्षम होना होगा। उदाहरण के लिए, आपको यह जानना होगा कि वर्ग के बराबर क्या है, और इसके विपरीत, वर्ग के बराबर क्या है।

क्या आपने समझ लिया कि वर्गमूल क्या होता है? फिर कुछ उदाहरण हल करें.

उदाहरण।

अच्छा, यह कैसे हुआ? आइए अब इन उदाहरणों को देखें:

उत्तर:

क्युब जड़

खैर, ऐसा लगता है कि हमने वर्गमूल की अवधारणा को सुलझा लिया है, अब आइए यह जानने का प्रयास करें कि घनमूल क्या है और उनका अंतर क्या है।

किसी संख्या का घनमूल वह संख्या है जिसका घन बराबर होता है। क्या आपने देखा है कि यहाँ सब कुछ बहुत सरल है? घनमूल चिह्न के अंतर्गत मान और निकाली जा रही संख्या दोनों के संभावित मानों पर कोई प्रतिबंध नहीं है। अर्थात किसी भी संख्या से घनमूल निकाला जा सकता है: .

क्या आप समझते हैं कि घनमूल क्या है और इसे कैसे निकाला जाता है? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों को हल करें।

उदाहरण।

उत्तर:

जड़ - ओह डिग्री

खैर, हमने वर्ग और घनमूल की अवधारणा को समझ लिया है। आइए अब अवधारणा के साथ प्राप्त ज्ञान को संक्षेप में प्रस्तुत करें पहली जड़.

पहली जड़किसी संख्या की वह संख्या होती है जिसकी वां घात बराबर होती है, अर्थात

समकक्ष।

अगर यहाँ तक कि, वह:

• नकारात्मक के साथ, अभिव्यक्ति का कोई मतलब नहीं है (ऋणात्मक संख्याओं का समवाँ मूल)। हटाया नहीं जा सकता!);
• गैर-नकारात्मक के लिए() अभिव्यक्ति का एक गैर-नकारात्मक मूल है।

यदि - विषम है, तो अभिव्यक्ति में किसी के लिए एक अद्वितीय जड़ है।

चिंतित न हों, यहां भी वही सिद्धांत लागू होते हैं जो वर्ग और घनमूल के साथ होते हैं। अर्थात्, वर्गमूलों पर विचार करते समय हमने जो सिद्धांत लागू किए थे, वे सम डिग्री के सभी मूलों तक विस्तारित हैं।

और जो गुण घनमूल के लिए उपयोग किए गए थे वे विषम डिग्री की जड़ों पर भी लागू होते हैं।

अच्छा, क्या यह स्पष्ट हो गया है? आइए उदाहरण देखें:

यहां सब कुछ कमोबेश स्पष्ट है: पहले हम देखते हैं - हाँ, डिग्री सम है, मूल के नीचे की संख्या सकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि हमारा कार्य एक ऐसी संख्या खोजना है जिसकी चौथी शक्ति हमें देगी। अच्छा, कोई अनुमान? शायद, ? बिल्कुल!

अत: घात बराबर-विषम है, मूल के नीचे की संख्या ऋणात्मक है। हमारा कार्य एक ऐसी संख्या खोजना है, जो घात तक बढ़ाए जाने पर उत्पन्न हो। जड़ पर तुरंत ध्यान देना काफी कठिन है। हालाँकि, आप तुरंत अपनी खोज को सीमित कर सकते हैं, है ना? सबसे पहले, आवश्यक संख्या निश्चित रूप से नकारात्मक है, और दूसरी बात, कोई यह देख सकता है कि यह विषम है, और इसलिए वांछित संख्या विषम है। जड़ खोजने का प्रयास करें. बेशक, आप इसे सुरक्षित रूप से खारिज कर सकते हैं। शायद, ?

हाँ, हम यही तलाश रहे थे! ध्यान दें कि गणना को सरल बनाने के लिए हमने डिग्री के गुणों का उपयोग किया:।

जड़ों के मूल गुण

यह स्पष्ट है? यदि नहीं, तो उदाहरणों को देखने के बाद सब कुछ ठीक हो जाना चाहिए।

जड़ों का बहुगुणन

जड़ों को कैसे गुणा करें? सबसे सरल और सबसे बुनियादी संपत्ति इस प्रश्न का उत्तर देने में मदद करती है:

आइए कुछ सरल से शुरुआत करें:

क्या परिणामी संख्याओं की जड़ें ठीक-ठीक नहीं निकाली गई हैं? कोई समस्या नहीं - यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं:

यदि दो नहीं, बल्कि अधिक गुणक हों तो क्या होगा? जो उसी! जड़ों को गुणा करने का सूत्र किसी भी संख्या में कारकों के साथ काम करता है:

हम इसके साथ क्या कर सकते हैं? खैर, निःसंदेह, तीनों को मूल के नीचे छिपाएँ, याद रखें कि तीन का वर्गमूल है!

हमें इसकी ज़रूरत क्यों है? हाँ, उदाहरणों को हल करते समय हमारी क्षमताओं का विस्तार करने के लिए:

आपको जड़ों का यह गुण कैसा लगा? क्या इससे जीवन बहुत आसान हो जाता है? मेरे लिए, यह बिल्कुल सही है! बस आपको ये याद रखना है हम केवल सम डिग्री के मूल चिह्न के अंतर्गत धनात्मक संख्याएँ ही दर्ज कर सकते हैं.

आइए देखें कि यह और कहां उपयोगी हो सकता है। उदाहरण के लिए, समस्या के लिए दो संख्याओं की तुलना करने की आवश्यकता है:

की अधिक:

आप तुरंत नहीं बता सकते. ठीक है, आइए मूल चिन्ह के नीचे एक संख्या दर्ज करने की विघटित संपत्ति का उपयोग करें? तो आगे बढ़ो:

खैर, यह जानते हुए कि मूल चिन्ह के नीचे जितनी बड़ी संख्या होगी, मूल उतना ही बड़ा होगा! वे। तो अगर, । इससे हम दृढ़तापूर्वक यह निष्कर्ष निकालते हैं। और कोई भी हमें अन्यथा नहीं मनाएगा!

इससे पहले, हमने मूल के चिह्न के नीचे एक गुणक दर्ज किया था, लेकिन इसे कैसे हटाया जाए? आपको बस इसे कारकों में शामिल करना होगा और जो आप निकालते हैं उसे निकालना होगा!

एक अलग रास्ता अपनाना और अन्य कारकों में विस्तार करना संभव था:

बुरा नहीं है, है ना? इनमें से कोई भी दृष्टिकोण सही है, अपनी इच्छानुसार निर्णय लें।

उदाहरण के लिए, यहाँ एक अभिव्यक्ति है:

इस उदाहरण में, डिग्री सम है, लेकिन यदि यह विषम हो तो क्या होगा? फिर से, घातांक के गुणों को लागू करें और हर चीज़ का गुणनखंड करें:

इससे सब कुछ स्पष्ट प्रतीत होता है, लेकिन किसी संख्या का मूल किसी घात तक कैसे निकाला जाए? यहाँ, उदाहरण के लिए, यह है:

बहुत सरल, है ना? यदि डिग्री दो से अधिक हो तो क्या होगा? हम डिग्री के गुणों का उपयोग करके उसी तर्क का पालन करते हैं:

अच्छा, क्या सब कुछ स्पष्ट है? फिर यहाँ एक उदाहरण है:

ये हैं ख़तरे, उनके बारे में हमेशा याद रखने लायक. यह वास्तव में संपत्ति के उदाहरणों में परिलक्षित होता है:

यह स्पष्ट है? उदाहरणों के साथ सुदृढ़ करें:

हाँ, हम देखते हैं कि मूल एक सम घात का है, मूल के नीचे की ऋणात्मक संख्या भी एक सम घात की है। अच्छा, क्या यह वैसे ही काम करता है? यहाँ क्या है:

बस इतना ही! अब यहाँ कुछ उदाहरण हैं:

समझ गया? फिर आगे बढ़ें और उदाहरणों को हल करें।

उदाहरण।

उत्तर.

यदि आपको उत्तर मिल गए हैं, तो आप मन की शांति के साथ आगे बढ़ सकते हैं। यदि नहीं, तो आइए इन उदाहरणों को समझें:

आइए जड़ों के दो अन्य गुणों पर नजर डालें:

इन गुणों का उदाहरणों में विश्लेषण किया जाना चाहिए। अच्छा, चलो यह करें?

समझ गया? आइए इसे सुरक्षित करें.

उदाहरण।

उत्तर.

जड़ें और उनके गुण. औसत स्तर

अंकगणित वर्गमूल

समीकरण के दो समाधान हैं: और. ये वे संख्याएँ हैं जिनका वर्ग बराबर है।

समीकरण पर विचार करें. आइए इसे आलेखीय रूप से हल करें। आइए फ़ंक्शन का एक ग्राफ़ और स्तर पर एक रेखा बनाएं। इन रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु समाधान होंगे। हम देखते हैं कि इस समीकरण के भी दो समाधान हैं - एक सकारात्मक, दूसरा नकारात्मक:

लेकिन इस मामले में समाधान पूर्णांक नहीं हैं। इसके अलावा, वे तर्कसंगत नहीं हैं. इन अतार्किक निर्णयों को लिखने के लिए, हम एक विशेष वर्गमूल चिह्न प्रस्तुत करते हैं।

अंकगणित वर्गमूलएक गैर-ऋणात्मक संख्या है जिसका वर्ग बराबर होता है। जब अभिव्यक्ति परिभाषित नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जिसका वर्ग ऋणात्मक संख्या के बराबर हो।

वर्गमूल: .

उदाहरण के लिए, । और यह उसका अनुसरण करता है या।

मैं एक बार फिर आपका ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं, यह बहुत महत्वपूर्ण है: वर्गमूल हमेशा एक गैर-ऋणात्मक संख्या होती है: !

क्युब जड़किसी संख्या का वह संख्या है जिसका घन बराबर होता है। घनमूल सभी के लिए परिभाषित है। इसे किसी भी संख्या से निकाला जा सकता है: . जैसा कि आप देख सकते हैं, यह नकारात्मक मान भी ले सकता है।

किसी संख्या का वां मूल वह संख्या है जिसकी वां घात बराबर होती है, अर्थात

यदि यह सम है, तो:

• यदि, तो a का वां मूल परिभाषित नहीं है।
• यदि, तो समीकरण के गैर-नकारात्मक मूल को वें डिग्री का अंकगणितीय मूल कहा जाता है और इसे दर्शाया जाता है।

यदि - विषम है, तो समीकरण में किसी के लिए एक अद्वितीय जड़ है।

क्या आपने देखा है कि मूल के चिह्न के ऊपर बायीं ओर हम उसकी डिग्री लिखते हैं? लेकिन वर्गमूल के लिए नहीं! यदि आपको कोई मूल बिना डिग्री के दिखाई देता है, तो इसका मतलब है कि वह वर्ग (डिग्री) है।

उदाहरण।

जड़ों के मूल गुण

जड़ें और उनके गुण. संक्षेप में मुख्य बातों के बारे में

वर्गमूल (अंकगणितीय वर्गमूल)एक गैर-ऋणात्मक संख्या से इसे कहा जाता है अऋणात्मक संख्या जिसका वर्ग है

जड़ों के गुण:

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जड़ की डिग्री एनएक वास्तविक संख्या से ए, कहाँ एन- प्राकृत संख्या, ऐसी वास्तविक संख्या कहलाती है एक्स, एनजिसकी वां डिग्री बराबर है ए.

जड़ की डिग्री एनसंख्या से एचिन्ह द्वारा दर्शाया गया है। इस परिभाषा के अनुसार.

जड़ ढूँढना एन-वीं डिग्री बीच से एजड़ निष्कर्षण कहा जाता है। संख्या एमूलांक संख्या (अभिव्यक्ति) कहलाती है, एन- जड़ सूचक. विषम के लिए एनएक जड़ है एनकिसी भी वास्तविक संख्या के लिए -वीं शक्ति ए. जब भी एनएक जड़ है एन-th घात केवल गैर-नकारात्मक संख्याओं के लिए ए. जड़ को स्पष्ट करने के लिए एन-वीं डिग्री बीच से ए, एक अंकगणितीय मूल की अवधारणा पेश की गई है एन-वीं डिग्री बीच से ए.

डिग्री एन के अंकगणितीय मूल की अवधारणा

अगर एन- प्राकृतिक संख्या, अधिक 1 , तो वहाँ है, और केवल एक, गैर-नकारात्मक संख्या एक्स, जैसे कि समानता संतुष्ट हो। यह नंबर एक्सअंकगणित मूल कहा जाता है एनएक गैर-नकारात्मक संख्या की वां घात एऔर नामित किया गया है. संख्या एमूलांक संख्या कहलाती है, एन- जड़ सूचक.

तो, परिभाषा के अनुसार, संकेतन, जहां, का अर्थ है, सबसे पहले, वह और, दूसरे, वह, यानी। .

एक तर्कसंगत प्रतिपादक के साथ डिग्री की अवधारणा

प्राकृतिक घातांक के साथ डिग्री: चलो एएक वास्तविक संख्या है, और एन- एक से बड़ी प्राकृतिक संख्या, एन-संख्या की घात एकाम बुलाओ एनकारक, जिनमें से प्रत्येक बराबर है ए, अर्थात। . संख्या ए- डिग्री का आधार, एन- प्रतिपादक. शून्य घातांक वाली एक शक्ति: परिभाषा के अनुसार, यदि, तो। किसी संख्या की शून्य शक्ति 0 कोई मतलब नहीं. एक ऋणात्मक पूर्णांक घातांक वाली डिग्री: परिभाषा के अनुसार यदि और एनतो, एक प्राकृतिक संख्या है. भिन्नात्मक घातांक वाली एक डिग्री: इसे परिभाषा के अनुसार यदि और माना जाता है एन- प्राकृतिक संख्या, एमतो फिर एक पूर्णांक है.

जड़ों के साथ संचालन.

नीचे दिए गए सभी सूत्रों में, प्रतीक का अर्थ अंकगणितीय मूल है (मूल अभिव्यक्ति सकारात्मक है)।

1. कई कारकों के उत्पाद का मूल इन कारकों की जड़ों के उत्पाद के बराबर है:

2. किसी अनुपात का मूल लाभांश और भाजक के मूलों के अनुपात के बराबर होता है:

3. किसी जड़ को किसी घात तक बढ़ाते समय, मूलांक को इस घात तक बढ़ाने के लिए पर्याप्त है:

4. यदि आप मूल की डिग्री को n गुना बढ़ाते हैं और साथ ही मूलांक को nवीं घात तक बढ़ाते हैं, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

5. यदि आप मूल की डिग्री को n गुना कम कर दें और साथ ही मूल संख्या का nवाँ मूल निकाल लें, तो मूल का मान नहीं बदलेगा:

डिग्री की अवधारणा का विस्तार. अब तक हमने केवल प्राकृतिक घातांक वाली डिग्रियों पर विचार किया है; लेकिन शक्तियों और जड़ों के साथ संचालन से नकारात्मक, शून्य और भिन्नात्मक घातांक भी प्राप्त हो सकते हैं। इन सभी प्रतिपादकों को अतिरिक्त परिभाषा की आवश्यकता है।

नकारात्मक घातांक वाली डिग्री. एक ऋणात्मक (पूर्णांक) घातांक वाली एक निश्चित संख्या की घात को ऋणात्मक घातांक के निरपेक्ष मान के बराबर घातांक वाली उसी संख्या की घात से विभाजित करने के रूप में परिभाषित किया जाता है:

अब सूत्र a m: a n = a m - n का उपयोग न केवल n से अधिक m के लिए किया जा सकता है, बल्कि n से कम m के लिए भी किया जा सकता है।

उदाहरण ए 4: ए 7 = ए 4 - 7 = ए -3.

यदि हम चाहते हैं कि सूत्र a m: a n = a m - n, m = n के लिए मान्य हो, तो हमें डिग्री शून्य की परिभाषा की आवश्यकता है।

शून्य सूचकांक वाली डिग्री. घातांक शून्य वाली किसी भी गैर-शून्य संख्या की घात 1 है।

उदाहरण। 2 0 = 1, (-5) 0 = 1, (-3/5) 0 = 1।

भिन्नात्मक घातांक के साथ डिग्री. किसी वास्तविक संख्या a को घात m/n तक बढ़ाने के लिए, आपको इस संख्या a की mवें घात का nवां मूल निकालना होगा:

उन अभिव्यक्तियों के बारे में जिनका कोई अर्थ नहीं है। ऐसी अनेक अभिव्यक्तियाँ हैं।

मामला एक।

जहां ≠ 0 मौजूद नहीं है.

वास्तव में, यदि हम मान लें कि x एक निश्चित संख्या है, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: a = 0 x, अर्थात। a = 0, जो इस शर्त का खंडन करता है: a ≠ 0

केस 2.

कोई संख्या।

वास्तव में, यदि हम मान लें कि यह अभिव्यक्ति एक निश्चित संख्या x के बराबर है, तो विभाजन संक्रिया की परिभाषा के अनुसार हमारे पास है: 0 = 0 · x. लेकिन यह समानता किसी भी संख्या x के लिए लागू होती है, जिसे सिद्ध करने की आवश्यकता है।

वास्तव में,

समाधान. आइए तीन मुख्य मामलों पर विचार करें:

1) x = 0 - यह मान इस समीकरण को संतुष्ट नहीं करता है

2) x > 0 के लिए हमें मिलता है: x / x = 1, यानी। 1 = 1, जिसका अर्थ है कि x कोई संख्या है; लेकिन इस बात को ध्यान में रखते हुए कि हमारे मामले में x > 0, उत्तर x > 0 है;

3) एक्स पर< 0 получаем: – x / x = 1, т.e. –1 = 1, следовательно,

इस मामले में कोई समाधान नहीं है. इस प्रकार x > 0.