Rovnice

Ako riešiť rovnice?

V tejto časti sa pripomíname (alebo študujeme - komu ako) najzákladnejšie rovnice. Aká je teda rovnica? Ľudský jazyk je to nejaký matematický výraz, kde existuje znak rovnosti a neznámeho. Ktorý je zvyčajne označený listom "X". Riešiť rovnicu - Je to nájsť také hodnoty ICA, ktoré pri nahradení zdroj Výraz nám dá vernú identitu. Dovoľte mi pripomenúť, že identity je výraz, ktorý nespôsobuje pochybnosti aj v osobe, ktorá nie je úplne zaťažená matematickými poznatkami. Typ 2 \u003d 2, 0 \u003d 0, AB \u003d AB atď. Tak ako vyriešiť rovnice? Poďme zistiť.

Rovnice sú všetky druhy (som prekvapený, áno?). Ale všetky ich nekonečné rozmanitosť možno rozdeliť na štyri typy.

4. Iné.)

Všetky ostatné, samozrejme, najviac áno ...) zahŕňajú kubické a demonštračné a logaritmické a trigonometrické a všetky druhy druhých. S nimi budeme pevne pracovať v príslušných sekciách.

Okamžite poviem, že niekedy rovnice prvých troch typov budú skončiť tak, aby ste ich nerozoznal ... nič. Naučíme sa ich oddýchnuť.

A prečo potrebujeme tieto štyri typy? A potom to lineárne rovnice Riešené jedným spôsobom námestie iný frakčná racionálna - tretina,ale spočívať Nie je vôbec vyriešený! No, nie, že to nie je vôbec v žiadnom prípade, že nie sú vyriešené, je to zbytočné matematické urazené.) Práve existujú naše špeciálne techniky a metódy.

Ale pre každého (opakujem - pre každý!) Rovosti sú spoľahlivé a bezproblémové základy pre riešenie. Pracuje všade a vždy. Táto základňa znie desivé, ale vec je veľmi jednoduchá. A veľmi (vysoko!) Dôležité.

V skutočnosti, riešenie rovnice a pozostáva z týchto väčšiny transformácií. O 99%. Odpoveď na otázku: " Ako riešiť rovnice?"Lži, práve v týchto transformáciách. Tips je jasný?)

Identické transformácie rovníc.

V akékoľvek rovnice Ak chcete nájsť neznáme, musíte konvertovať a zjednodušiť pôvodný príklad. A tak, že pri zmene vzhľadu podstata rovnice sa nezmenil. Takéto transformácie sa nazývajú identický alebo ekvivalent.

Všimnem si, že tieto transformácie zahŕňajú je to rovnica. Stále existuje identická konverzia v matematike výrazy. Toto je ďalšia téma.

Teraz budeme opakovať všetky-all-všetky základné identické transformácie rovníc.

Základné, pretože môžu byť aplikované na ktokoľvek Rovnice - lineárne, štvorcové, frakčné, trigonometrické, orientačné, logaritmické, atď. atď.

Prvá konverzia identity: K oboch častí akejkoľvek rovnice možno pridať (odniesť) ktokoľvek (Ale to isté!) Číslo alebo výraz (vrátane výrazu s neznámym!). Podstatou rovnice sa z toho nezmení.

Touto transformáciou ste sa neustále používali, len to, že toleruje niektoré vzorky z jednej časti rovnice do druhej so zmenou znamenia. Typ:

Prípad je oboznámený, prenesieme tie dve doprava a dostaneme:

V skutočnosti, vy odvezený z oboch častí rovnice Deuce. Výsledok je rovnaký:

x + 2. - 2 = 3 - 2

Prenos pojmov na ľavostranné právo so zmenou označenia je jednoducho znížená verzia prvej konverzie identity. A prečo potrebujeme také hlboké vedomosti? - pýtaš sa. V rovniciach Nizach. Prevod, pre Božieho boha. Nezabudnite zmeniť iba znamenie. Ale v nerovnostiach, zvyk prevodu môže a dať do mŕtveho konca.

Druhá identická konverzia: Obe časti rovnice sa môžu vynásobiť (rozdelené) na to isté nenulový Alebo výraz. Už existuje jasné obmedzenie: na násobenie hlúpy, a nie je možné ho zdieľať. Táto konverzia používate, keď sa rozhodnete niečo cool, ako

Pochopiteľný h. \u003d 2. Ale ako ste ho našli? Výber? Alebo len osvetlené? Tak, aby sa nevyzdvihli a nečakali na prehľad, musíte pochopiť, že ste práve zdieľajú obe časti rovnice 5. Pri delení ľavej strany (5x) sa päťkrát znížilo, sieť X je ponechaná. Čo sme potrebovali. A pri rozdelení pravej strany (10) na päť, ukázalo sa, že poznanie, dva.

To je všetko.

Legrační, ale tieto dve (len dve!) Identické transformácie podkladu riešenie všetky rovnice matematiky. Ako! Má zmysel pozrieť sa na príklady, čo a ako?)

Príklady identických transformácií rovníc. Hlavné problémy.

Začnime S. najprv identická konverzia. Prenos doľava - doprava.

Príklad pre mladší.)

Predpokladajme, že je potrebné vyriešiť túto rovnicu:

3-2x \u003d 5-3x

Zapamätajte si kúzlo: "S dutinami - vľavo, bez ICS - Správne!" Toto kúzlo je pokyn o používaní prvej transformácie identity.) Aký výraz s X je naše právo? 3x? Odpoveď je nesprávna! Práve od nás - 3x! Mínus Tri x! Preto, keď sa prenesie doľava, označenie sa zmení na plus. Ukázalo sa:

3-2x + 3x \u003d 5

Takže Xersi zhromaždené v partii. Vezmite si čísla. Ľavé stojany Troika. Aké znamenie? Odpoveď "S NO" nie je akceptovaná!) Pred tromikou, naozaj nie je nič ťahanie. A to znamená, že pred vrcholmi plus. Takže matematika súhlasila. Nič nie je napísané, to znamená plus. V dôsledku toho tri časti top tri budú odložiť s mínusom Dostaneme:

-2x + 3x \u003d 5-3

Zostávajú sa milení. Vľavo - priviesť podobné, vpravo - vypočítať. Okamžite sa ukáže:

V tomto príklade bolo dostatok jednej konverzie identity. Druhá nebola potrebná. Dobre, dobre.)

Príklad pre SENAR.)

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)

Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.

Aká je rovnica?

Rovnica je jedným zo základných konceptov celej matematiky. Škola aj najvyššia. Má zmysel zistiť, že? Okrem toho je to veľmi jednoduchý koncept. Pod seba. :) Aká je rovnica?

Skutočnosť, že toto slovo je klasifikované slovami "rovné", "rovnosť", námietky, myslím si, že nikoho nespôsobuje. Rovnica je dva matematické výrazy spojené medzi znamením "\u003d" rovnosti. Ale ... nie. A taký, v ktorom (aspoň v jednom) obsahujú neznáma hodnota . Alebo inak variabilná hodnota . Alebo skrátené jednoducho "variabilné". Premenné môžu byť jedno alebo viac. V školskej matematike, rovnice s jeden premenná. Ktorý je zvyčajne označený listomx. . Alebo iné druhé písmená latinskej abecedy -y. , z. , t. atď.

Stále zvážime rovnice s jednou premennou. S dvoma premennými alebo viac - v špeciálnej lekcii.

Čo to znamená vyriešiť rovnicu?

Pokračujte. Premenná vo výrazoch uvedených v rovnici môže mať akékoľvek prípustné hodnoty. Že je premenná. :) Pre niektoré hodnoty premennej sa dosiahne verná rovnosť a na niektorých - nie. Riešiť rovnicu - To znamená nájsť všetky hodnoty premennej v substitúcii zdroj Získa sa rovnica verná rovnosť . Alebo vedecky, totožnosť. Napríklad 5 \u003d 5, 0 \u003d 0, -10 \u003d -10. Atď. :) Alebo dokázať, že nie sú takéto variabilné hodnoty.

Konkrétne sa zameriavam na slovo "zdroj". Prečo - bude jasné tesne nižšie.

Ide o väčšinu hodnôt premennej, v substitúcii, ktorej zodpovedajú rovnicu na totožnosť sa nazýva veľmi krásna - rOKOVACIA RAVÁCIA. Ak sa preukáže, že nie sú takéto hodnoty, potom v tomto prípade sa hovorí, že rovnica Žiadne korene.

Prečo potrebujete rovnice?

Prečo potrebujeme rovnice? Po prvé, rovnice sú veľmi silný a najviac univerzálny nástroj pre riešenia úloh . Rôznorodé. :) v škole, spravidla, pracovať textové úlohy. Toto sú úlohy pohybu, práce, percentá a mnohých ďalších. Používanie rovníc však nie je obmedzené na niektoré školné výzvy o bazénoch, rúrkach, vlakoch a stolici. :)

Bez schopnosti vypracovať a riešiť rovnice, aby nevyriešili žiadnu vážnu vedeckú úlohu - fyzické, inžinierske alebo ekonomické. Napríklad vypočítať, kde raketa klesla. Alebo odpovedzte na otázku, odolať alebo nebude stáť zaťaženie akéhokoľvek zodpovedného dizajnu (napríklad výťah alebo most). Alebo predpovedať počasie, rast (alebo pád) ceny alebo príjmy ...

Všeobecne platí, že rovnica je kľúčovým číslom pri riešení širokej škály výpočtových úloh.

Aké sú rovnice?

Rovnice v matematike neslušné množstvo. Seba rôzne druhy. Všetky rovnice však možno rozdeliť len na 4 gramy:

1) lineárne,

2) štvorcové,

3) frakčné (alebo frakčné racionálne),

4) iní.

Rôzne typy rovníc vyžadujú odlišný prístup k ich riešeniu: Lineárne rovnice sú riešené jedným spôsobom, štvorec - iné, frakčné - tretie, trigonometrické, logaritmické, exponenciálne a iné sú tiež riešené ich metódami.

Iné rovnice, samozrejme, väčšina. Sú to iracionálne a trigonometrické a indikatívne a logaritmické a mnohé ďalšie rovnice. A dokonca aj diferenciálne rovnice (pre študentov), \u200b\u200bkde neznáme nie je číslo, ale funkcie.Alebo dokonca celú rodinu funkcií. :) V príslušných lekciách budeme podrobne analyzovať všetky tieto typy rovníc. A tu máme základné techniky, ktoré sa vzťahujú na riešenia úplne niekto (Áno, niekto!) Rovnice. Tieto techniky sa nazývajú ekvivalentné transformácie rovníc . Existujú len dve z nich. A nikde to robiť. Takže sa zoznámiť!

Ako riešiť rovnice? Identické (ekvivalentné) transformácie rovníc.

Rozhodnutie ktokoľvek Rovnice spočíva v postupnej transformácii výrazov v ňom. Ale transformácie nie sú prebiehajú, čo, ale také podstata celej rovnice sa nezmenila. Napriek tomu, že po každej transformácii bude rovnica modifikovaná a nakoniec sa vôbec nie je podobná originálu. Takéto transformácie v matematike sa nazývajú ekvivalent alebo identický . Alokuje sa medzi rôznymi rovnakými transformáciami rovníc dva základné. O nich a bude reč. Áno, áno, len dve! A každý z nich si zaslúži samostatnú pozornosť. Použitie týchto dvoch identických transformácií v jednom poradí alebo inom zaručuje úspech pri riešení 99% všetkých rovníc.

Zoznámte sa!

Prvá konverzia identity:

Do oboch častí rovnice je možné pridať (alebo odniesť) akékoľvek (ale rovnaké!) Číslo alebo výraz (vrátane premennej).

Podstata rovnice zostane rovnaká. Táto transformácia sa aplikujete všade, naivne myslenie, ktoré nesú niektorých členov z jednej časti rovnice na druhú, zmenu označenia. :)

Napríklad takáto chladná rovnica:

Neexistuje nič, čo si tu myslíme: Nosíme trojku vpravo doprava, mení sa mínus na plus:

A čo sa deje v skutočnosti? A v skutočnosti pridajte do oboch častí trookovej rovnice! Páči sa ti to:

Podstatou celej rovnice pridania do oboch častí trojitého sa nemení. Vľavo zostáva čisto x (ktoré sme sa v skutočnosti dosiahli) a vpravo - čo sa stane.

Prenos pojmov z jednej časti do druhého je skrátená verzia Prvá konverzia identity. Môžete si tu urobiť chybu len v jednom - zabudnúť na zmenu označenia pri prevode. Napríklad takáto rovnica:

Je to jednoduchá vec. Pracujeme priamo podľa kúzla: s iquesom doľava, bez ICS - vpravo. Aký je základ s ISM na naše právo? Čo? 2x? Zle! Priamo s nami -2x (mínus dva x)! Preto v ľavej strane tento termín odloží s plus :

Polovičný, Xersi zozbieral vľavo. Zostáva preniesť jednotku doprava. Opäť otázka - s akou značkou? Vľavo pred tým, než nie je nič napísané - to znamená, že je to implicitné, že to stojí za to plus. Preto ten správny odloží s mínusom:

To je takmer všetko. Ľavý olovo podobný a doprava - zvážime. A dostaneme:

A teraz analyzujeme naše podvody s prevodom komponentov. Čo sme urobili pri prevode -2x vľavo? Áno! my do oboch častí Naša Evil Equation Express 2x. Povedal som, že máme právo pridať (na odobratie) akékoľvek číslo a dokonca aj výraz s XA! Ak len to isté. :) A kedy bol prenesený doprava doprava? Dnes večer! my odobraté z oboch častí rovnice Jeden. To je všetko.) To je celá podstata prvej rovnocennej transformácie.

Alebo taký príklad - pre študentov stredných škôl:

Logaritmická rovnica. No a čo? Aký je rozdiel? To isté, prvý krok sa uskutočňuje základnou konverziou identity - toleruje termín s premennou (to znamená, -Log 3 x) vľavo a číselné expresné log 3 je prenesené doprava. Samozrejmosťou so zmenou označenia:

To je všetko. Kto je priateľský s logaritmmi, v mysli je zachovaná rovnica a dostane:

Čo? Chcete Sines? Prosím, tu sú Sines:

Opakujte prvú identickú konverziu - prevod sIN X. Vľavo (s mínus) a -1/4 prevodom doprava (plus):

Dostali najjednoduchšiu trigonometrickú rovnicu so sínusom, vyriešiť, ktorá nie je tiež pre informovaná.

Pozrite sa, ako všeobecne prvá ekvivalentná transformácia! Nachádza sa všade a všade a nedostanú sa okolo neho. Preto musíte byť schopní to urobiť na stroji. Hlavná vec nie je zabudnúť zmeniť znak pri prevode! Obozreňujeme sa s identickými transformáciami rovníc.)

Druhá konverzia identity:

Obe časti rovnice sa môžu vynásobiť (rozdelené) na rovnaké nerovnaké nulové číslo alebo výraz.

Táto identická konverzia sa tiež neustále aplikujeme, keď nám niektoré koeficienty zabraňujú v rovnici a chceme sa ich zbaviť. Pre samotnú rovnicu. :) Napríklad taká zlá rovnica:

Tu je každý jasné x \u003d 3.. Ako si uhádol? Publikované? Alebo zovrel prst do neba a hádajte?

Tak, aby si nevyzdvihol a nehádže (sme stále matematika, a nie šťastie hovoriť :)), musíte pochopiť, že ste práve zdieľajú obe časti rovnice na štvrtom. Ktoré nás bráni.

Páči sa ti to:

Túto palicu s divíziou znamená, že štvrtina je rozdelená obidve časti Naša rovnica. Celá ľavá strana a celá pravá strana:

Na ľavej strane sa štvrté sú bezpečne znížené a IX zostáva v hrdí osamelosť. A na pravej strane v divízii 12 na 4 sa ukáže, samozrejme, najvyššie tri. :)

Alebo taká rovnica:

Čo robiť s jedným siedmym? Preniesť správne? Nie je to nemožné! Je pripojený jeden siedmy s násobením XMOM. Koeficient, rozumiete. :) Je nemožné odtrhnúť a pohybovať sa oddelene od ICA. Iba celý výraz (1/7) x je úplne. Ale - nie je potrebné. :) Zapamätajte si viac o násobení / divízii. Čo nám bráni? Frakcia 1/7, RIGHT? Tak sa z toho zbavme. Ako? A v dôsledku toho, aké opatrenia frakcia zmizne? Frakcia s nami zmizne, keď násobenie Číslom rovným jeho denominátorovi! Tu sa vynásobíte obidve časti našej rovnice pre 7:

Na ľavej strane sa sedem zníži a zostáva len osamelý x a vpravo, ak si spomínate na multiplikačnú tabuľku, ukáže sa, že bude 21:

Teraz príklad pre študentov stredných škôl:

Ak sa chcete dostať do IX, a tým vyriešiť našu zlú trigonometrickú rovnicu, musíme najprv dostať ľavý cosine, bez koeficientov. A dvakrát interferuje. :) Takže rozdelíme celú ľavú stranu:

Ale potom sa pravá strana bude musieť rozdeliť aj dvakrát: to už vyžaduje matematiku. Rozdeľujeme:

Prijaté na správnej tabuľkovej hodnote Cosine. A teraz je rovnica vyriešená pre roztomilú dušu.)

Je všetko jasné s multiplikáciou / rozdelením? Výborný! Ale… pozor! V tejto transformácii, napriek svojej svojej jednoduchosti, zdroj veľmi nepríjemných chýb lži! Zavolal O. strata koreňov a získanie zahraničných koreňov .

Vyššie, už som povedal, že obe časti rovnice možno vynásobiť (rozdeliť) na ľubovoľné číslo alebo výraz s xom. Ale s jednou dôležitou rezerváciou: vyjadrenie, na ktorom sa môžeme množiť (delim) plné od nuly . Je to táto konkrétna prepichnutie, že mnohí na prvom práve ignorujú a vedie k takýmto nepríjemným chybám. V skutočnosti je význam tohto obmedzenia jasný: Násobený je hlúpy na nulu, a nie je možné zdieľať vôbec. Povedať mi čo? Začnime s rozdelením as straty koreňov .

Predpokladajme, že tu máme takú rovnicu:

Tu, vpravo, ruky budú držať a zdieľať obe časti rovnice na General Bracket (X-1):

Predpokladajme, že v úlohe na skúške sa uvádza, že nájde množstvo koreňov tejto rovnice. Čo budeme písať v reakcii? Tri? Ak sa rozhodnete, že tri tri, potom vy hit ambuftu. "Strata koreňov". :) Aký je ten prípad?

A poďme otvorené zátvorky v počiatočnej rovnici a zbierať všetko vľavo:

Dostal klasickú štvorcovú rovnicu. Rozhodneme sa diskriminantom (alebo prostredníctvom vety VieTA) a dostaneme dva korene:

Preto je množstvo koreňov 1 + 3 \u003d 4. štyri, a nie tri! Kde "zmizol" koreň

x \u003d 1.

V prvom spôsobe riešenia? A jeden z nás zmizol len počas rozdelenia oboch častí na držiaku (X-1). Prečo sa to stalo? A všetko, pretože keď X \u003d 1, táto väčšina konzoly sa resetuje (X - 1). A máme právo zdieľať vynikajúci výraz! Ako by som sa mohol vyhnúť strate tohto koreňa? A vo všeobecnosti strata koreňov? Pre toto, po prvé, pred rozdelením nejakého výrazu s XA, vždy pridávate stav, že táto expresia sa líši od nuly. A našiel nula tohto výrazu. Takto (na príklade našej rovnice):

A po druhé, takže niektoré korene nezmiznú v procese divízie, musíme samostatne kontrolovať ako kandidátov v koreňoch všetko zeros nášho výrazu (z ktorých rozdelíme). Ako? Len ich nahradiť zdrojová rovnica A vypočítať. V našom prípade skontrolujte jednotku:

Všetko čestne. Takže, jeden je root!

Ale vo všeobecnosti, pre budúcnosť, vždy sa snažte vyhnúť divízia na výraze s XA. Strata koreňov - vec je veľmi nebezpečná a nepríjemná! Aplikovať akékoľvek iné spôsoby - zverejnenie zátvoriek a najmä faktorizácia. Zobrazí sa multiplikátorov - najjednoduchšie a bezpečná metóda Vyhnite sa strate korenia. Aby sme to urobili, zbierame všetko na ľavej strane, potom vyberáme všeobecný faktor (ktorý chceme "rezať") pre zátvorky, uložiť na multiplikátoroch a ďalej zodpovedá každý výsledný multiplikátor na nulu. Napríklad naša rovnica by mohla byť pomerne neškodná, aby sa riešila nielen prináša námestie, ale aj rozklad multiplikátorov. Pozrite sa na seba:

Nosíme úplne všetky výrazy (X-1). S mínusovým znakom:

Udržíme (X-1) pre držiak ako spoločný faktor a rozširujete na multiplikátoroch:

Práca je nula, keď aspoň jeden multiplikátor je nula. Sa rovná (v mysli!) Každý držiak na nulu a získajte naše legitímne dva korene:

A žiadny koreň stratil!

Analyzujeme opačnú situáciu - získanie zahraničných koreňov. Táto situácia nastane, keď násobenie Obe časti rovnice na výraze Xa. Kompletné a ďalšie sa vyskytuje pri riešení frakčných racionálnych rovníc. Napríklad takáto nekomplikovaná rovnica:

Priateľ je známy - viacnásobne sme obidve časti, aby sme sa zbavili frakcie a získali rovnicu Lineberk:

Vyrovnávame každý multiplikátor na nulu a získajte dva korene:

Zdá sa, že je všetko v poriadku. Poďme sa však snažme urobiť základnú kontrolu. A ak pre x \u003d 0. Všetci sme oslávili všetko, vyrazíme totožnosť 2 \u003d 2, potom x \u003d 1. Bude rozdelený na nulu. Čo sa nedá vykonávať kategoricky. Nie je vhodný ako koreň našej rovnice. V takýchto prípadoch to hovoria x \u003d 1. - tzv zahraničný koreň . Jeden je koreň našej novej rovnice bez zlomku x (x - 1) \u003d 0, ale nie je Kórejčina zdroj frakčná rovnica. Ako sa objaví tento cudzí koreň? Zdá sa, že pri násobení oboch častí pre denominátor x-1. Ktorý je x \u003d 1. Len sa zmení na nulu! A máme právo znásobiť len výraz od nuly!

Ako byť? Nenechajte sa znásobiť? Potom nemôžeme vôbec nič vyriešiť. Zakaždým, keď kontrolujete? Môcť. Ale často pracné, ak je počiatočná rovnica príliš zaskrutkovaná. V takýchto prípadoch sa uložia tri magické písmená - odz. Ovýbuch D.vynechaný Z.poznámka. A aby sa vylúčili vzhľad zahraničných koreňov, keď sa vynásobí výraz s X vždy na dodatočne nahrávanie ORP. V našom prípade:

Teraz, zatiaľ čo obmedzenie, môžete bezpečne znásobiť obe časti pre denominátor. Všetky škodlivé dôsledky z takejto násobenia (t.j. zahraničné korene) vylúčime OTZ. A naša jednotka nemilosrdne vyhodí.

Takže vznik cudzích koreňov nie je taký nebezpečný ako strata: OTZ je mocná vec. A tvrdo. Vždy nás pošle príliš veľa. :) Budeme priatelia s OWZ a zoznámiť sa v samostatnej lekcii.

To je všetko identické transformácie.) Celkom dvoch. V neskúsenom študentovi však môže mať niektoré ťažkosti spojené s sekvencia Ich použitie: V niektorých príkladoch začínajú násobkom (alebo divíziami), v niektorých - z prevodu. Napríklad taká lineárna rovnica:

Kde začať? Môžete začať s prevodom:

A môžete najprv zdieľať obe časti na vrchol päť a potom preniesť. Potom budú čísla jednoduchšie a bude jednoduchšie:

Ako vidíte, a tak, a tak namáčanie môže byť. Niektorí študenti vyplývajú niektorí študenti: "Ako to je správne?" Odpoveď: "Všetko je správne!" Komu je to pohodlnejšie. :) Ak len vaše činy neboli v rozpore s pravidlami matematiky. A postupnosť týchto samotných akcií závisí výlučne na osobných preferenciách a návykoch rozhodujúceho. Avšak, so skúsenosťami, tieto otázky zmiznú sami, a nakoniec, nie matematika vám prijme, a vy ste matematika. :)

Na záver, chcem samostatne povedať o tzv. podmienečne identické transformácie, Fér niektoré podmienky. Napríklad erekcia oboch častí rovnice v rovnakom stupni. Alebo odstránenie koreňa z oboch častí. Ak je toto číslo nepárne, potom neexistujú žiadne obmedzenia - vybudovať a odstrániť bez obáv. Ale ak viete, takáto transformácia bude identická len vtedy, ak obe časti rovnice sú negatívne. Podrobne budeme hovoriť o týchto podvodných kameňoch v téme o iracionálnych rovniciach.

V priebehu matematiky triedy 7 prvýkrát stretáva rovnice s dvoma premennýmiŠtudujú sa však len v kontexte systémov rovníc s dvoma neznámymi. To je dôvod, prečo z oblasti pohľadu, niekoľko úloh vypadáva, v ktorom sú zavedené niektoré podmienky, ktoré sú obmedzené na koeficienty rovnice. Okrem toho sú metódy riešenia problémov typu "Riešiť rovnicu v prírodných alebo celých čísliciach" ignorovať, hoci materiály EME A na prijímacích skúškach je úloha tohto druhu čoraz častejšie.

Aká rovnica sa bude nazývať rovnica s dvoma premennými?

Napríklad rovnice 5x + 2Y \u003d 10, X2 + Y2 \u003d 20 alebo XY \u003d 12 sú rovnice s dvoma premennými.

Zvážte rovnicu 2x - y \u003d 1. Vzťahuje sa na správnu rovnosť pri X \u003d 2 a Y \u003d 3, preto tento pár variabilných hodnôt je riešením posudzovanej rovnice.

Roztok akejkoľvek rovnice s dvoma premennými je teda množstvo objednaných párov (x; y), hodnoty premenných, ktoré je táto rovnica nakreslená na správnu numerickú rovnosť.

Rovnica s dvoma neznámymi môže:

ale) majú jedno riešenie. Napríklad rovnica x 2 + 5Y 2 \u003d 0 má jeden roztok (0; 0);

b) majú niekoľko riešení. Napríklad (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 má 4 roztoky: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

v) nemajú riešenia. Napríklad rovnica x 2 + y2 + 1 \u003d 0 nemá roztoky;

d) majú nekonečne veľa riešení. Napríklad x + y \u003d 3. Riešenia tejto rovnice budú číslo, ktorých súčet je 3. Súbor riešení tejto rovnice môže byť napísaný vo forme (K; 3 - K), kde K je akékoľvek platné číslo.

Hlavné spôsoby riešenia rovníc s dvoma premennými sú metódami založené na rozklade výrazov na multiplikátoroch, uvoľňovanie kompletného štvorca, použitie vlastností štvorcovej rovnice, obmedzených výrazov, hodnotiacich metód. Rovnica je spravidla konvertovaná na formu, z ktorej môžete systém získať neznámy.

Faktorizácia

Príklad 1.

Riešenie rovnice: XY - 2 \u003d 2x - y.

Rozhodnutie.

Zoskupenie podmienok, aby sa rozložili faktory:

(XY + Y) - (2x + 2) \u003d 0. Z každej konzoly budeme zhrnúť:

y (x + 1) - 2 (x + 1) \u003d 0;

(x + 1) (y - 2) \u003d 0. máme:

y \u003d 2, X je akékoľvek platné číslo alebo x \u003d -1, y - akékoľvek platné číslo.

Touto cestou, odpoveď je všetky páry formy (X; 2), X € R a (-1; Y), Y € R.

Rovnosť ZERO NE. negatívne čísla

Príklad 2.

Riešenie rovnice: 9x 2 + 4Y 2 + 13 \u003d 12 (X + Y).

Rozhodnutie.

Skupina:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12Y + 9) \u003d 0. Teraz môže byť každý držiak zrútený štvorcovým vzorcom.

(3x - 2) 2 + (2Y - 3) 2 \u003d 0.

Súčet dvoch negatívnych výrazov je nula, len ak 3x je 2 \u003d 0 a 2y - 3 \u003d 0.

Takže x \u003d 2/3 a y \u003d 3/2.

Odpoveď: (2/3; 3/2).

Metóda hodnotenia

Príklad 3.

Riešenie rovnice: (x 2 + 2X + 2) (Y2 - 4Y + 6) \u003d 2.

Rozhodnutie.

V každej konzole, zvýraznite celé námestie:

((x + 1) 2 + 1) ((Y - 2) 2 + 2) \u003d 2. Zriadiť hodnota výrazov v zátvorkách.

(X + 1) 2 + 1 ≥ 1 a (Y-2) 2 + 2 ≥ 2, potom je ľavá časť rovnice vždy aspoň 2. Rovnosť je možná, ak:

(X + 1) 2 + 1 \u003d 1 a (Y-2) 2 + 2 \u003d 2, čo znamená X \u003d -1, Y \u003d 2.

Odpoveď: (-1; 2).

Zoznámujeme sa s inou metódou riešenia rovníc s dvoma premennými druhého stupňa. Touto metódou je, že rovnica sa považuje za Štvorcové vzhľadom na akúkoľvek premennú.

Príklad 4.

Riešenie rovnice: X 2 - 6x + Y - 4√Y + 13 \u003d 0.

Rozhodnutie.

Riešim rovnicu ako štvorcový vzhľadom na X. Nájdeme diskriminant:

D \u003d 36 - 4 (Y-4√Y + 13) \u003d -4Y + 16√Y - 16 \u003d -4 (√Y - 2) 2. Rovnica bude mať riešenie len na D \u003d 0, t.j., ak y \u003d 4. nahrádzame hodnotu Y na pôvodnú rovnicu a zistíme, že X \u003d 3.

Odpoveď: (3; 4).

Často v rovniciach s dvoma neznámymi obmedzenia premenných.

Príklad 5.

Riešiť rovnicu v celoch: X 2 + 5Y 2 \u003d 20X + 2.

Rozhodnutie.

Zostavím rovnicu vo forme X 2 \u003d -5Y 2 + 20X + 2. Pravá strana výslednej rovnice počas rozdelenia 5 dáva v zvyšku 2. Preto X2 nie je rozdelený 5, ale štvorec Číslo, ktoré sa nerozdeľuje na 5, poskytuje v rezidencii 1 alebo 4. Takže rovnosť je nemožná a nie sú žiadne roztoky.

Odpoveď: Žiadne korene.

Príklad 6.

Riešenie rovnice: (x 2 - 4 | x | + 5) (Y2 + 6Y + 12) \u003d 3.

Rozhodnutie.

V každom držiaku zdôrazňujeme plné námestia:

((| x | - 2) 2 + 1) ((Y + 3) 2 + 3) \u003d 3. Ľavá časť rovnice je vždy väčšia alebo rovná 3. Rovnosť je možné za predpokladu, X | - 2 \u003d 0 a Y + 3 \u003d 0. Tak, X \u003d ± 2, Y \u003d -3.

Odpoveď: (2; -3) a (-2; -3).

Príklad 7.

Pre každý pár celých negatívnych čísel (x; y), uspokojenie rovnice
x 2 - 2xy + 2Y 2 + 4Y \u003d 33, vypočítajte množstvo (X + Y). V reakcii zadajte najmenší súhrn.

Rozhodnutie.

Zvýrazňujeme plné štvorce:

(X2 - 2xy + Y2) + (Y2 + 4Y + 4) \u003d 37;

(X-Y) 2 + (Y + 2) 2 \u003d 37. Pretože X a Y sú celé čísla, potom ich štvorce sú tiež celé čísla. Súčet štvorcov dvoch celých čísel rovných 37, získavame, ak sme zložiť 1 + 36. V dôsledku toho:

(X-Y) 2 \u003d 36 a (Y + 2) 2 \u003d 1

(X-Y) 2 \u003d 1 a (Y + 2) 2 \u003d 36.

Riešenie týchto systémov a vzhľadom na to, že X a Y sú negatívne, nájsť roztoky: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8).

Odpoveď: -17.

Nie je potrebné zúfalstvo, ak máte problémy s riešením rovníc s dvoma neznámymi. Trochu praxe a môžete sa vyrovnať s akýmikoľvek rovnicami.

Máte otázky? Neviem, ako riešiť rovnice s dvoma premennými?
Ak chcete získať pomocníka - zaregistrujte sa.
Prvá lekcia je zadarmo!

miesto, s plným alebo čiastočným kopírovaním materiálu odkazu na pôvodný zdroj.

Lineárne rovnice. Riešenie, príklady.

Pozor!
Táto téma má ďalšie
Materiály v špeciálnej časti 555.
Pre tých, ktorí sú silne "nie veľmi ..."
A pre tých, ktorí sú "veľmi ...")

Lineárne rovnice.

Lineárne rovnice nie sú najťažšou témou školskej matematiky. Ale existujú jej žetóny, ktoré môžu byť stlačené študentom. Poďme zistiť?)

Zvyčajne je lineárna rovnica definovaná ako rovnica formulára:

sekera. + b. = 0 Kde a A B. - akékoľvek čísla.

2x + 7 \u003d 0 a \u003d 2, b \u003d 7.

0.1x - 2.3 \u003d 0 a \u003d 0,1, b \u003d -2,3

12x + 1/2 \u003d 0 a \u003d 12, b \u003d 1/2

Nič ťažké, správne? Najmä ak si nevšimnite slová: "Kde A a B - akékoľvek čísla"... A ak vidíte, trvá to neopatrné?) Koniec koncov, ak a \u003d 0, b \u003d 0. (Všetky čísla môžu byť?), Ukazuje sa, že zábavný výraz:

Ale to nie je všetko! Ak, povedzme, a \u003d 0, ale b \u003d 5, Ukazuje sa na všetkom niečo urazené:

Aké kmene a podkopáva dôveru v matematiku, áno ...), najmä v skúškach. Ale z týchto zvláštnych výrazov, musím tiež nájsť! Ktoré nie sú vôbec. A, čo je prekvapujúce, toto x je veľmi jednoducho umiestnené. Naučíme sa to urobiť. V tejto lekcii.

Ako zistiť lineárnu rovnicu vo vzhľade? Pozerá sa na to, čo vzhľad,) Chip je, že lineárne rovnice sa nazývajú len rovnice formulára sekera. + b. = 0 , ale aj akékoľvek rovnice, ktoré sa znižujú transformáciami a zjednodušeniami tohto typu. A kto ho pozná, príde dole, alebo nie?)

Jasne si uvedomte, že lineárna rovnica môže byť v niektorých prípadoch. Povedzme, či existuje rovnica, v ktorej sú v prvom stupni len neznáme, a číslo. A v rovnici frakcie s rozdelením neznámy , to je dôležité! A rozdelenie číslo, Alebo frakcia numerického je prosím! Napríklad:

Toto je lineárna rovnica. Existujú tu frakcie, ale nie sú žiadne ICS na námestí, na Kube atď. A nie sú žiadne ICS v denominátoroch, t.j. nie rozhodnutia o X.. Ale rovnica

nie je možné sa nazývať lineárnym. Tu sú v prvom stupni, ale je tu rozhodnutie o výraze s X. Po zjednodušení a transformáciách, lineárnej rovnici a námestí a čokoľvek.

Ukazuje sa, že nie je možné zistiť lineárnu rovnicu v niektorom príklade migrantu, zatiaľ čo sa takmer nerozhodne. To smúti. Ale v úlohách, spravidla, nepýtajte sa na formu rovnice, správne? V úlohách, rovnice riešiť. To ma robí šťastným.)

Riešenie lineárnych rovníc. Príklady.

Všetky rozhodnutie lineárne rovnice pozostáva z rovnakých transformácií rovníc. Mimochodom, tieto transformácie (dvakrát dve!) Sú založené na riešeniach. všetky rovnice matematiky. Inými slovami, rozhodnutie ktokoľvek Rovnice začínajú týmito väčšinou transformácií. V prípade lineárnych rovníc, IT (riešenie) na týchto transformáciách a končí s plnou odozvou. To dáva zmysel na odkaz, ktorý by ste mali ísť?) Okrem toho existujú aj príklady riešenia lineárnych rovníc.

Ak chcete začať, zvážte najjednoduchší príklad. Bez akýchkoľvek nástrah. Potrebujeme vyriešiť túto rovnicu.

x - 3 \u003d 2 - 4x

Toto je lineárna rovnica. Ices sú v prvom stupni, na X. Ale v skutočnosti nie sme žiadny rozdiel, čo je rovnica. Musíme sa rozhodnúť. Schéma je tu jednoduchá. Zhromažďovať všetko, čo s dutinami v ľavej časti rovnosti, všetko, čo bez ICS (čísla) má pravdu.

Na to by malo byť prevedené - 4x na ľavej strane, so zmenou znamenia, samozrejme a - 3 - správny. Mimochodom, toto je prvá konverzia identity rovníc. Prekvapený? To znamená, že odkaz nešiel, a márne ...) dostaneme:

x + 4x \u003d 2 + 3

Predstavujeme podobné, verme:

Čo nám chýba kompletné šťastie? Takže čisté X je vľavo! Fiftry interferuje. Zbavte sa vyššie témy druhá identická konverzia rovníc. Konkrétne - rozdelíme obe časti rovnice dňa 5. Dostaneme ready-made odpoveď:

Príklad je samozrejme elementárny. To je pre cvičenie.) Nie je veľmi jasné, čo si tu pamätám na identickú konverziu? Dobre. Vezmeme býk za rohy.) Rozhodnem sa niečo viac.

Toto je napríklad rovnica:

Prečo začať? S dutinami - vľavo, bez ICS - RIGHT? By to mohlo byť. Malé kroky na dlhej ceste. A môžete okamžite, univerzálny a mocný spôsob. Ak, samozrejme, existujú identické transformácie rovníc vo vašom arzenále.

Žiadam vás o kľúčovú otázku: Čo sa vám nepáči najviac v tejto rovnici?

95 ľudí od 100 odpovie: drobi. ! Odpoveď je správna. Tak sa z nich zbaviť. Preto začneme hneď druhá identická konverzia. Čo potrebujete na násobenie frakcie vľavo, takže menovateľ sa úplne znižuje? TRUE, NA 3. A RIGHT? Na 4. Ale matematika nám umožňuje znásobiť obe časti rovnaké číslo. Ako sa dostať von? A budete znásobiť obidve časti 12! Tí. na spoločnom menovateli. Potom troika klesá a štvrtá. Nezabudnite, že potrebujete znásobiť každú časť plný. Tu vyzerá prvý krok:

Odhaliť konzoly:

Poznámka! Čitateľ (x + 2) Vzal som v zátvorkách! Je to preto, že keď sa vynásobí frakcie, číselník násobí celý, úplne! A teraz môžu byť frakcie a rezané:

Odhaliť zostávajúce zátvorky:

Nie je to príklad, ale tuhé potešenie!) Teraz si pamätám kúzlo od mladších tried: s IKS - Vľavo, bez ICA - RIGHT! A aplikovať túto konverziu:

Poskytujeme podobné:

A rozdeliť obe časti do 25, t.j. Opäť aplikujeme druhú transformáciu:

To je všetko. Odpoveď: h.=0,16

Upozornenie: Priniesť pôvodnú problematickú rovnicu pekný pohľad, Použili sme dve (len dve!) identické transformácie - Preneste do ľavého doprava so zmenou znamenia a vynásobením rozdelenia rovnice na a rovnaké číslo. Toto je všestranný spôsob! Pracovať, takže budeme s lymi Rovnice! Úplne. Preto som o týchto identických transformáciách po celú dobu, čo som opakoval.)

Ako vidíme, princíp riešenia lineárnych rovníc je jednoduchý. Berieme rovnicu a zjednodušujeme ho pomocou identických transformácií pred prijatím odpovede. Hlavné problémy tu vo výpočtoch, a nie v zásade riešenie.

Ale ... Existujú také prekvapenia v procese riešenia najzákladnejších lineárnych rovníc, ktoré môžu a v silnom zmäkovaní pohybu ...) našťastie môžu byť len dve takéto prekvapenia. Zavoláme im osobitné prípady.

Osobitné prípady pri riešení lineárnych rovníc.

Najprv prekvapenie.

Predpokladajme, že ste chytili základnú rovnicu, niečo, ako:

2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Ľahko znudený, prevedený doprava doľava, bez ICA - vpravo ... so zmenou znamenia, všetko je chin-chinar ... dostaneme:

2x-5x + 3x \u003d 5-2-3

Považujeme to ... Ohanki !!! Dostaneme:

Samotná táto rovnosť nespôsobuje námietky. Nula je naozaj nula. Ale je preč! A musíme zapísať v reakcii, Čo je X. V opačnom prípade sa rozhodnutie nepovažuje, áno ...) Deadlock?

Pokoj! V takýchto pochybných prípadoch sa najbežnejšie pravidlá šetria. Ako riešiť rovnice? Čo to znamená vyriešiť rovnicu? To znamená, nájdite všetky hodnoty ICA, ktoré, pri nahrávaní v pôvodnej rovnici, poskytne nám skutočnú rovnosť.

Ale verná rovnosť máme už Stalo! 0 \u003d 0, kde je to pravda?! Zostáva zistiť, v ktorom nápady sa ukáže. Aké dutiny môžu byť nahradené zdroj Ak tieto účely stále sa obťažujete v plnej nulovej? Poď?)

Áno!!! Icuse môžu byť zarovnané každý! Čo chceš. Aspoň 5, aspoň 0,05, hoci -220. Stále sa znížia. Ak neveríte - môžete skontrolovať.) Inzerujte všetky hodnoty ICA zdroj Rovnica a počet. Po celú dobu bude čistá pravda: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 a tak ďalej.

Tu máte odpoveď: x - akékoľvek číslo.

Odpoveď môže byť zaznamenaná s rôznymi matematickými ikonami, podstata sa nemení. To je absolútne správna a plná reakcia.

Prekvapenie.

Vezmite rovnakú elementárnu lineárnu rovnicu a zmeňte v ňom len jedno číslo. Tu sa rozhodneme:

2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

Po rovnakých identických transformáciách dostaneme niečo zaujímavé:

Páči sa ti to. Lineárna rovnica vyriešila, dostala podivnú rovnosť. Hovoríme matematický jazyk, ktorý sme dostali nesprávna rovnosť. A v jednoduchom jazyku nie je pravda. Rave. Ale nemenej, tento nezmysel je pomerne dobrý dôvod na správne riešenie rovnice.)

Vytvárame znova, založené na všeobecné pravidlá. Aké palce, pri nahrávaní v pôvodnej rovnici nám dá veriaci Rovnosť? Áno nie! Neexistujú takéto ICS. To, čo nie je odôvodnené, všetko bude zlomené, nezmysly zostane.)

Tu máte odpoveď: neexistujú žiadne riešenia.

To je tiež úplne plná odpoveď. V matematike sa často nachádzajú takéto odpovede.

Páči sa ti to. Teraz, dúfam, že zmiznutie ICS v procese riešenia akejkoľvek (nielen lineárnej) rovnice nebude v rozpakoch. Vec je už známa.)

Teraz, keď sme sa zaoberali všetkými úskaliami v lineárnych rovníc, má zmysel určiť ich.

Ak sa vám táto stránka páči ...

Mimochodom, mám pre teba ďalší pár zaujímavých miest.)

Je možné pristupovať k vyriešeniu príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitou kontrolou. Učte sa - so záujmom!)

Môžete sa zoznámiť s funkciami a derivátmi.