Nájdite konkrétne riešenie pre lndu. Lineárne nehomogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi

Základy riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu (LNDE-2) s konštantnými koeficientmi (PC)

LDDE 2. rádu s konštantnými koeficientmi $p$ a $q$ má tvar $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$, kde $f\left(x \right)$ je spojitá funkcia.

Pokiaľ ide o LNDU 2 s PC, nasledujúce dve tvrdenia sú pravdivé.

Predpokladajme, že nejaká funkcia $U$ je ľubovoľným parciálnym riešením nehomogénnej diferenciálnej rovnice. Predpokladajme tiež, že nejaká funkcia $Y$ je všeobecným riešením (GS) zodpovedajúcej lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$. Potom GR z LHDE-2 sa rovná súčtu uvedených súkromných a všeobecných riešení, to znamená $y=U+Y$.

Ak je pravá strana LMDE 2. rádu súčtom funkcií, to znamená $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+ ..+f_(r) \left(x\right)$, potom najskôr nájdeme PD $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$, ktoré zodpovedajú. na každú z funkcií $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, a potom napíšte CR LNDU-2 v tvare $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $.

Riešenie LPDE 2. rádu s PC

Je zrejmé, že typ jedného alebo druhého PD $U$ daného LNDU-2 závisí od konkrétneho tvaru jeho pravej strany $f\left(x\right)$. Najjednoduchšie prípady hľadania PD LNDU-2 sú formulované vo forme nasledujúcich štyroch pravidiel.

Pravidlo č.1.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, to znamená, že sa nazýva polynóm stupňa $n$. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $, kde $Q_(n) \left(x\right)$ je iné polynóm rovnakého stupňa ako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2, ktoré sa rovnajú nule. Koeficienty polynómu $Q_(n) \left(x\right)$ sa zisťujú metódou neurčitých koeficientov (UK).

Pravidlo č.2.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$, kde $P_(n) \left( x\right)$ je polynóm stupňa $n$. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $, kde $Q_(n ) \ left(x\right)$ je ďalší polynóm rovnakého stupňa ako $P_(n) \left(x\right)$ a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2 rovná $\alpha $. Koeficienty polynómu $Q_(n) \left(x\right)$ sa zisťujú NC metódou.

Pravidlo č.3.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x \right) $, kde $a$, $b$ a $\beta$ sú známe čísla. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, kde $A$ a $B$ sú neznáme koeficienty a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2, rovný $i\cdot \beta $. Koeficienty $A$ a $B$ sa zisťujú pomocou nedeštruktívnej metódy.

Pravidlo č.4.

Pravá strana LNDU-2 má tvar $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$, kde $P_(n) \left(x\right)$ je polynóm stupňa $ n$ a $P_(m) \left(x\right)$ je polynóm stupňa $m$. Potom sa hľadá jeho PD $U$ v tvare $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $, kde $Q_(s) \left(x\right)$ a $ R_(s) \left(x\right)$ sú polynómy stupňa $s$, číslo $s$ je maximum z dvoch čísel $n$ a $m$ a $r$ je počet koreňov charakteristickej rovnice zodpovedajúcej LODE-2, ktorá sa rovná $\alpha +i\cdot \beta $. Koeficienty polynómov $Q_(s) \left(x\right)$ a $R_(s) \left(x\right)$ sa zisťujú NC metódou.

Metóda NK pozostáva z aplikácie nasledujúceho pravidla. Na nájdenie neznámych koeficientov polynómu, ktoré sú súčasťou parciálneho riešenia nehomogénnej diferenciálnej rovnice LNDU-2, je potrebné:

• nahraďte PD $U$, napísané vo všeobecnej forme, na ľavú stranu LNDU-2;
• na ľavej strane LNDU-2 vykonajte zjednodušenia a skupinové výrazy s rovnakými mocninami $x$;
• vo výslednej identite vyrovnajte koeficienty členov s rovnakými mocninami $x$ ľavej a pravej strany;
• vyriešiť výslednú sústavu lineárnych rovníc pre neznáme koeficienty.

Príklad 1

Úloha: nájdite OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Nájdite aj PD , ktoré spĺňajú počiatočné podmienky $y=6$ pre $x=0$ a $y"=1$ pre $x=0$.

Zapíšeme si zodpovedajúcu LOD-2: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

Charakteristická rovnica: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. Korene charakteristickej rovnice sú: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. Tieto korene sú platné a odlišné. ALEBO zodpovedajúcej LODE-2 má teda tvar: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

Pravá strana tohto LNDU-2 má tvar $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $. Je potrebné zvážiť koeficient exponentu $\alpha =3$. Tento koeficient sa nezhoduje so žiadnym z koreňov charakteristickej rovnice. Preto má PD tohto LNDU-2 tvar $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Koeficienty $A$, $B$ budeme hľadať pomocou NC metódy.

Nájdeme prvý derivát Česka:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \vpravo)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Nájdeme druhý derivát Česka:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

Do daného NLDE-2 $y""-3\cdot y" dosadíme funkcie $U""$, $U"$ a $U$ namiesto $y""$, $y"$ a $y$ -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x $ Navyše, keďže exponent $e^(3\cdot x) $ je zahrnutý ako faktor vo všetkých komponentoch, potom ho možno vynechať.

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\vpravo)=36\cdot x+12.$

Vykonávame akcie na ľavej strane výslednej rovnosti:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

Používame metódu NDT. Získame sústavu lineárnych rovníc s dvoma neznámymi:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12,$

Riešenie tohto systému je: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ pre náš problém vyzerá takto: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

ALEBO $y=Y+U$ pre náš problém vyzerá takto: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ left(-2\cdot x-1\right)\cdot e^(3\cdot x) $.

Aby sme našli PD, ktorá spĺňa dané počiatočné podmienky, nájdeme deriváciu $y"$ OP:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

Do $y$ a $y"$ nahradíme počiatočné podmienky $y=6$ pre $x=0$ a $y"=1$ pre $x=0$:

$6=C_(1)+C_(2)-1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5,$

Dostali sme systém rovníc:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6,$

Poďme to vyriešiť. Nájdeme $C_(1) $ pomocou Cramerovho vzorca a $C_(2) $ určíme z prvej rovnice:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(pole)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(pole)\right|)(\left|\ begin(pole)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(pole)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2)=7-C_(1)=7-4=3,$

PD tejto diferenciálnej rovnice má teda tvar: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \right )\cdot e^(3\cdot x) $.

Lineárna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru

,
kde p a q sú funkcie premennej x.

Lineárna homogénna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru

Lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica prvého rádu je rovnica tvaru

q termín (X) sa nazýva nehomogénna časť rovnice.

Uvažujme lineárnu nehomogénnu diferenciálnu rovnicu prvého rádu:
(1) .
Existujú tri spôsoby riešenia tejto rovnice:

• metóda integrujúcich faktorov;

Riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice pomocou integračného faktora

Uvažujme o metóde riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu pomocou integračný faktor.
Vynásobme obe strany pôvodnej rovnice (1) integračným faktorom
:
(2)
Ďalej si všimneme, že derivácia integrálu sa rovná integrandu:

Podľa pravidla diferenciácie komplexnej funkcie:

Podľa pravidla diferenciácie produktov:


Nahradiť v (2) :

Poďme integrovať:

Vynásobte . Dostaneme všeobecné riešenie lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu:

Príklad riešenia lineárnej diferenciálnej rovnice prvého rádu

Vyriešte rovnicu

Riešenie

Vydeľme obe strany pôvodnej rovnice x:
(i) .
Potom
;
.
Integračný faktor:

Znak modulu možno vynechať, pretože integračný faktor možno vynásobiť ľubovoľnou konštantou (vrátane ± 1).
Poďme sa množiť (i) od x 3 :
.
Vyberáme derivát.
;
.
Integrujeme pomocou tabuľky integrálov:
.
Deliť x 3 :
.

Odpoveď

Referencie:
N.M. Gunter, R.O. Kuzmin, Zbierka úloh z vyššej matematiky, „Lan“, 2003.

Nehomogénna rovnica s konštantnými koeficientmi

možno riešiť metódou neurčitých koeficientov a metódou variácie ľubovoľných konštánt.

Metóda neurčitého koeficientu

ja . Pretože rovnica (11) je nehomogénna, jej všeobecné riešenie bude pozostávať zo súčtu všeobecných homogénnych a partikulárnych nehomogénnych rovníc, t.j.

.

Zostavíme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu

Jeho charakteristická rovnica

štruktúra fundamentálnej sústavy riešení závisí od typu koreňov charakteristickej rovnice (13).

Ide o 3 prípady.

A). Všetky korene charakteristickej rovnice (13) sú rôzne a skutočné. Označme ich
. Základný systém riešení:

a všeobecné riešenie má tvar:

b). Všetky korene charakteristickej rovnice (13) sú rôzne, ale medzi nimi sú aj zložité. Nechaj
- komplexný koreň rovnice (13). Potom
- je tiež koreňom tejto rovnice. Tieto korene zodpovedajú dvom lineárne nezávislým čiastočným riešeniam:

.

Ak
A
potom budú mať konkrétne riešenia formu

Zapísaním lineárne nezávislých parciálnych riešení zodpovedajúcich iným konjugovaným párom komplexných koreňov a všetkých reálnych koreňov a vytvorením lineárnej kombinácie týchto riešení s ľubovoľnými konštantnými koeficientmi získame všeobecné riešenie rovnice (12).

V). Medzi koreňmi charakteristickej rovnice sú násobky. Nechaj k 1 reálny r- viacnásobný koreň. Potom mu zodpovedajú r

Ak
- komplexné korene násobnosti rovnice (13). r, potom zodpovedajú 2 r lineárne nezávislé čiastkové riešenia tvaru:

Zápisom lineárne nezávislých čiastkových riešení uvedeného typu, zodpovedajúcich všetkým jednoduchým a viacnásobným reálnym koreňom, ako aj združeným dvojiciam jednoduchých a viacnásobných zložitých koreňov, získame fundamentálny systém riešení.

II . Na základe tvaru pravej strany rovnice (11) sa vyberie konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice.

Môžu nastať prípady.

1).
, Kde P(X) – polynóm od X stupňa n.

A). Ak číslo 0 nie je koreňom charakteristickej rovnice (13), potom konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice (11) možno nájsť v tvare
, Kde Q(X) – polynóm od X rovnaký stupeň n, as P(X) vo všeobecnej forme (t. j. s neurčenými koeficientmi).

Napríklad,

b). Ak 0 -koreň charakteristickej rovnice násobnosti r, To

.

2).
.

A). Ak číslo α nie je koreňom charakteristickej rovnice (13), teda

.

3), kde
- polynómy stupňov m A n podľa toho (jeden z polynómov môže byť identicky rovný nule);

A keď
nie je koreňom rovnice (13).

Kde
- polynómy stupňov
.

b) ak
je koreňom charakteristickej rovnice násobnosti r, To

4) kde
- funkcie uvažovaného typu 1), 2), 3). Ak
sú konkrétne riešenia, ktoré zodpovedajú funkciám
, To

Úloha 12. nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Riešenie. Ide o nehomogénnu diferenciálnu rovnicu 3. rádu, ktorá neobsahuje požadovanú funkciu r. Túto rovnicu je možné riešiť ešte minimálne dvoma spôsobmi: metódou variácie ľubovoľných konštánt a metódou neurčitých koeficientov na určenie konkrétneho riešenia nehomogénnej lineárnej rovnice s konštantnými koeficientmi.

Uvažujme o druhej metóde.

Zostavme zodpovedajúcu homogénnu rovnicu

.

Charakteristická rovnica
má korene:
(prípad Ia). Čiastkové riešenia homogénnej rovnice:

V súlade s tým všeobecne homogénne
.

Teraz zvážte pravú stranu pôvodnej rovnice:
- polynóm druhého stupňa (prípad II1). Na základe jej tvaru zostavíme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice:
.

Faktor X sa javí na základe skutočnosti, že X=0 je koreňom charakteristickej rovnice. Hľadanie
a dosadením toho, čo sme našli, do pôvodnej rovnice, dostaneme

Porovnaním koeficientov v rovnakých stupňoch dostaneme systém

,

z ktorých A=1/3, B=1, C=1/2 . Nahradením týchto hodnôt do všeobecnej formy konkrétneho riešenia získame

.

Vzhľadom na to, že všeobecné riešenie nehomogénnej rovnice je súčtom všeobecnej homogénnej a konkrétnej nehomogénnej rovnice, máme

.

Úloha 13. nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Riešenie. Nájdite všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice. Charakteristická rovnica
má korene: (prípad Ia). Preto
.

Na základe tvaru pravej strany sformulujeme všeobecný tvar konkrétneho riešenia nehomogénnej rovnice, pričom berieme do úvahy, že =2 je koreňom charakteristickej rovnice (prípad II2b):
.

Zistíme, že derivovaním posledných 3 krát a dosadením do pôvodnej rovnice A=1, B=0 . Potom konkrétnym riešením pôvodnej rovnice bude funkcia
.

Preto je všeobecné riešenie pôvodnej diferenciálnej rovnice

Úloha 14. nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Riešenie. Nájdite všeobecné riešenie zodpovedajúcej homogénnej rovnice:

.

Charakteristická rovnica
má dvojitý koreň k=2 (Iв). Preto
.

Na základe tvaru pravej strany je ľahké formulovať vo všeobecnej forme konkrétne riešenie pôvodnej rovnice: , pretože 2-6 i nie je koreňom charakteristickej rovnice (II3a). Pre túto funkciu hľadajú r / A r // a dosaďte ho do rovnice, ktorá nám bola zadaná. Je teda určené, že B=0 A A=-1/36 .

potom
je konkrétne riešenie našej nehomogénnej rovnice a požadované riešenie má tvar:

.

Úloha 15. nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice.

Riešenie. Pretože korene charakteristickej rovnice, potom všeobecné riešenie homogénnej rovnice. Hľadáme konkrétne riešenie nehomogénnej rovnice vo forme

Funkcia sa skladá podľa tvaru pravej strany s prihliadnutím na to, že X=0 je koreňom charakteristickej rovnice a 10 i- Nie.

Dosadením tejto funkcie do pôvodnej rovnice to zistíme

Potom bude všeobecným riešením diferenciálnej rovnice funkcia.

Tento článok sa zaoberá problematikou riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Teória bude diskutovaná spolu s príkladmi daných problémov. Na dešifrovanie nejasných pojmov je potrebné odkázať na tému o základných definíciách a konceptoch teórie diferenciálnych rovníc.

Uvažujme lineárnu diferenciálnu rovnicu (LDE) druhého rádu s konštantnými koeficientmi tvaru y "" + p · y " + q · y = f (x), kde p a q sú ľubovoľné čísla a existujúca funkcia f (x) je spojitá na integračnom intervale x.

Prejdime k formulácii vety pre všeobecné riešenie LNDE.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Všeobecná teoréma riešenia pre LDNU

Všeobecné riešenie nehomogénnej diferenciálnej rovnice v tvare y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + nachádzajúce sa na intervale x. . . + f 0 (x) · y = f (x) so spojitými integračnými koeficientmi na x intervale f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) a spojitá funkcia f (x) sa rovná súčtu všeobecného riešenia y 0, čo zodpovedá LOD a nejakému partikulárnemu riešeniu y ~, kde pôvodná nehomogénna rovnica je y = y 0 + y ~.

To ukazuje, že riešenie takejto rovnice druhého rádu má tvar y = y 0 + y ~ . Algoritmus na nájdenie y 0 je diskutovaný v článku o lineárnych homogénnych diferenciálnych rovniciach druhého rádu s konštantnými koeficientmi. Potom by sme mali prejsť k definícii y ~.

Výber konkrétneho riešenia LPDE závisí od typu dostupnej funkcie f (x) umiestnenej na pravej strane rovnice. Na to je potrebné samostatne zvážiť riešenia lineárnych nehomogénnych diferenciálnych rovníc druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Keď sa f (x) považuje za polynóm n-tého stupňa f (x) = P n (x), z toho vyplýva, že konkrétne riešenie LPDE sa nájde pomocou vzorca v tvare y ~ = Q n (x ) x γ, kde Q n ( x) je polynóm stupňa n, r je počet nulových koreňov charakteristickej rovnice. Hodnota y ~ je konkrétne riešenie y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x), potom dostupné koeficienty, ktoré sú definované polynómom
Q n (x), zistíme pomocou metódy neurčitých koeficientov z rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Príklad 1

Vypočítajte pomocou Cauchyho vety y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2, y " (0) = 1 4 .

Riešenie

Inými slovami, je potrebné prejsť ku konkrétnemu riešeniu lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi y "" - 2 y " = x 2 + 1, ktoré bude spĺňať dané podmienky y (0) = 2, y" (0) = 14.

Všeobecné riešenie lineárnej nehomogénnej rovnice je súčtom všeobecného riešenia, ktoré zodpovedá rovnici y 0 alebo partikulárnemu riešeniu nehomogénnej rovnice y ~, teda y = y 0 + y ~.

Najprv nájdeme všeobecné riešenie pre LNDU a potom konkrétne.

Prejdime k hľadaniu y 0. Zapísanie charakteristickej rovnice vám pomôže nájsť korene. Chápeme to

k 2 - 2 k = 0 k (k - 2) = 0 k 1 = 0, k 2 = 2

Zistili sme, že korene sú iné a skutočné. Preto si zapíšme

yo = C1e0x + C2e2x = C1 + C2e2x.

Poďme nájsť y ~. Je vidieť, že pravá strana danej rovnice je polynóm druhého stupňa, potom sa jeden z koreňov rovná nule. Z toho dostaneme, že konkrétne riešenie pre y ~ bude

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, kde hodnoty A, B, C nadobúdajú neurčité koeficienty.

Nájdite ich z rovnosti v tvare y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 .

Potom dostaneme toto:

y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 (A x 3 + B x 2 + C x) "" - 2 (A x 3 + B x 2 + C x) " = x 2 + 1 3 A x 2 + 2 S x + C " - 6 A x 2 - 4 S x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 S x - 2 C = x 2 + 1 - 6 A x 2 + x (6 A - 4 B) + 2 B - 2 C = x 2 + 1

Rovnaním koeficientov s rovnakými exponentmi x dostaneme sústavu lineárnych výrazov - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1. Pri riešení niektorou z metód nájdeme koeficienty a zapíšeme: A = - 1 6, B = - 1 4, C = - 3 4 a y ~ = A x 3 + B x 2 + C x = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

Tento záznam sa nazýva všeobecné riešenie pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi.

Na nájdenie konkrétneho riešenia, ktoré spĺňa podmienky y (0) = 2, y "(0) = 1 4, je potrebné určiť hodnoty C 1 A C 2, na základe rovnosti tvaru y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x.

Dostávame to:

y (0) = C1 + C2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C1 + C2 y " (0) = C1 + C2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x " x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

Pracujeme s výslednou sústavou rovníc v tvare C 1 + C 2 = 2 2 C 2 - 3 4 = 1 4, kde C 1 = 3 2, C 2 = 1 2.

Aplikovaním Cauchyho vety to máme

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

odpoveď: 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x .

Keď je funkcia f (x) reprezentovaná ako súčin polynómu so stupňom n a exponentom f (x) = P n (x) · e a x , potom dostaneme, že konkrétne riešenie LPDE druhého rádu bude rovnica tvaru y ~ = e a x · Q n ( x) x γ, kde Q n (x) je polynóm n-tého stupňa a r je počet koreňov charakteristickej rovnice rovný α.

Koeficienty prislúchajúce Q n (x) nájdeme pomocou rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 2

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x .

Riešenie

Všeobecná rovnica je y = y 0 + y ~ . Uvedená rovnica zodpovedá LOD y "" - 2 y " = 0. Z predchádzajúceho príkladu je zrejmé, že jej korene sú rovnaké k1 = 0 a k2 = 2 a yo = C1 + C2e2x podľa charakteristickej rovnice.

Je vidieť, že pravá strana rovnice je x 2 + 1 · e x . Odtiaľ sa LPDE nachádza cez y ~ = e a x · Q n (x) · x γ, kde Q n (x) je polynóm druhého stupňa, kde α = 1 a r = 0, pretože charakteristická rovnica nie je mať koreň rovný 1. Odtiaľ to máme

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C .

A, B, C sú neznáme koeficienty, ktoré možno nájsť pomocou rovnosti y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x.

Mám to

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + B + C = x 2 + 1 · e x ⇔ e x · - A x 2 - B x + 2 A - C = (x 2 + 1) · e x ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = x 2 + 1 ⇔ - A x 2 - B x + 2 A - C = 1 x 2 + 0 x + 1

Ukazovatele srovnáme s rovnakými koeficientmi a získame systém lineárnych rovníc. Odtiaľ nájdeme A, B, C:

A = 1 - B = 0 2 A - C = 1 ⇔ A = - 1 B = 0 C = - 3

odpoveď: je jasné, že y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 je konkrétne riešenie LNDDE a y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - všeobecné riešenie pre nehomogénnu dif rovnicu druhého rádu.

Keď je funkcia napísaná ako f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 sin β x a A 1 A V 1 sú čísla, potom sa za čiastočné riešenie LPDE považuje rovnica v tvare y ~ = A cos β x + B sin β x · x γ, kde A a B sa považujú za neurčené koeficienty a r je počet komplexné konjugované korene súvisiace s charakteristickou rovnicou, rovné ± i β . V tomto prípade sa hľadanie koeficientov vykonáva pomocou rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x).

Príklad 3

Nájdite všeobecné riešenie diferenciálnej rovnice v tvare y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Riešenie

Pred napísaním charakteristickej rovnice nájdeme y 0. Potom

k 2 + 4 = 0 k 2 = - 4 k 1 = 2 i, k 2 = - 2 i

Máme pár komplexne konjugovaných koreňov. Poďme sa transformovať a získajme:

y 0 = e 0 (C1 cos (2 x) + C2 sin (2 x)) = C1 cos 2 x + C2 sin (2 x)

Za korene charakteristickej rovnice sa považuje konjugovaný pár ± 2 i, potom f (x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x). To ukazuje, že vyhľadávanie y ~ sa uskutoční z y ~ = (A cos (β x) + B sin (β x) x γ = (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x. Neznáme Koeficienty A a B budeme hľadať z rovnosti tvaru y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) .

Poďme previesť:

y ~ " = ((A cos (2 x) + B sin (2 x) x) " = = (- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x) y ~ "" = ((- 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x)) x + A cos (2 x) + B sin (2 x)) " = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) - - 2 A sin (2 x) + 2 B cos (2 x) = = (- 4 A čos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B čos (2 x)

Potom je to jasné

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B sin (2 x)) x - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) + + 4 (A cos (2 x) + B sin (2 x)) x = cos (2 x) + 3 sin (2 x) ⇔ - 4 A sin (2 x) + 4 B cos (2 x) = cos (2 x) + 3 sin (2 x)

Je potrebné dať rovnítko medzi koeficienty sínusov a kosínusov. Dostaneme systém tvaru:

4 A = 3 4 B = 1 ⇔ A = - 3 4 B = 1 4

Z toho vyplýva, že y ~ = (A cos (2 x) + B sin (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x.

odpoveď: uvažuje sa všeobecné riešenie pôvodného LPDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 sin (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 sin (2 x) x

Keď f (x) = e a x · P n (x) sin (β x) + Q k (x) cos (β x), potom y ~ = e a x · (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ Máme, že r je počet komplexne konjugovaných párov koreňov súvisiacich s charakteristickou rovnicou, rovný α ± i β, kde P n (x), Q k (x), L m (x) a Nm(x) sú polynómy stupňa n, k, m, m, kde m = m a x (n, k). Nálezové koeficienty Lm(x) A Nm(x) sa robí na základe rovnosti y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) .

Príklad 4

Nájdite všeobecné riešenie y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) .

Riešenie

Podľa podmienky je jasné, že

α = 3, β = 5, Pn (x) = - 38 x - 45, Q k (x) = - 8 x + 5, n = 1, k = 1

Potom m = m a x (n, k) = 1. Nájdeme y 0 tak, že najprv napíšeme charakteristickú rovnicu v tvare:

k 2 - 3 k + 2 = 0 D = 3 2 - 4 1 2 = 1 k 1 = 3 - 1 2 = 1, k 2 = 3 + 1 2 = 2

Zistili sme, že korene sú skutočné a odlišné. Preto yo = C1ex + C2e2x. Ďalej je potrebné hľadať všeobecné riešenie na základe nehomogénnej rovnice y ~ tvaru

y ~ = e α x (L m (x) sin (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x)) x 0 = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x))

Je známe, že A, B, C sú koeficienty, r = 0, pretože neexistuje žiadny pár konjugovaných koreňov súvisiacich s charakteristickou rovnicou s α ± i β = 3 ± 5 · i. Z výslednej rovnosti nájdeme tieto koeficienty:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) sin (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x))) "" - - 3 (e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) hriech (5 x))) = - e 3 x ((38 x + 45) hriech (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

Nájdenie derivátu a podobných výrazov dáva

E 3 x ((15 A + 23 C) x sin (5 x) + + (10 A + 15 B - 3 C + 23 D) sin (5 x) + + (23 A - 15 C) · x · cos (5 x) + (- 3 A + 23 B - 10 C - 15 D) · cos (5 x)) = = - e 3 x · (38 · x · sin (5 x) + 45 · sin (5 x ) + + 8 x cos (5 x) - 5 cos (5 x))

Po porovnaní koeficientov dostaneme systém formulára

15 A + 23 C = 38 10 A + 15 B - 3 C + 23 D = 45 23 A - 15 C = 8 - 3 A + 23 B - 10 C - 15 D = - 5 ⇔ A = 1 B = 1 C = 1 D = 1

Zo všetkého vyplýva, že

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) sin (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) hriech (5 x))

odpoveď: Teraz sme získali všeobecné riešenie danej lineárnej rovnice:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) hriech (5 x))

Algoritmus na riešenie LDNU

Akýkoľvek iný typ funkcie f (x) na riešenie vyžaduje súlad s algoritmom riešenia:

• nájdenie všeobecného riešenia zodpovedajúcej lineárnej homogénnej rovnice, kde y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, kde y 1 A y 2 sú lineárne nezávislé čiastkové riešenia LODE, C 1 A C 2 sú považované za ľubovoľné konštanty;
• akceptovanie ako všeobecné riešenie LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 ;
• určenie derivácií funkcie prostredníctvom systému v tvare C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) a hľadanie funkcií C 1 (x) a C2 (x) prostredníctvom integrácie.

Príklad 5

Nájdite všeobecné riešenie pre y "" + 36 y = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x.

Riešenie

Pokračujeme v písaní charakteristickej rovnice, keď sme predtým napísali y 0, y "" + 36 y = 0. Napíšeme a vyriešime:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i, k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 sin (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x), y 2 (x) = hriech (6 x)

Máme, že všeobecné riešenie danej rovnice zapíšeme ako y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · sin (6 x) . Je potrebné prejsť k definícii derivačných funkcií C 1 (x) A C2(x) podľa systému s rovnicami:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · sin (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) sin (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 sin (6 x) + C 2 "(x) (6 cos (6 x)) = = 24 sin (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x

Je potrebné prijať rozhodnutie týkajúce sa C 1" (x) A C 2" (x) pomocou akejkoľvek metódy. Potom píšeme:

C 1 " (x) = - 4 hriechy 2 (6 x) + 2 hriechy (6 x) cos (6 x) - 6 e 6 x hriech (6 x) C 2" (x) = 4 hriechy (6 x) cos (6 x) - 2 cos 2 (6 x) + 6 e 6 x cos (6 x)

Každá z rovníc musí byť integrovaná. Potom napíšeme výsledné rovnice:

C 1 (x) = 1 3 hriech (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x hriech ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4

Z toho vyplýva, že všeobecné riešenie bude mať tvar:

y = 1 3 sin (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 sin (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 x sin (6 x) + C 4 sin (6 x) = = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

odpoveď: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x sin (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 sin (6 x)

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Kde p A q- sú ľubovoľné reálne čísla a funkcia f(x)- spojité na integračnom intervale X.

Vyjadrime vetu ukazujúcu formu, v ktorej je potrebné nájsť všeobecným riešením je lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica.

Veta.

Všeobecné riešenie na intervale X lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica: so spojitými na integračnom intervale X koeficienty a spojitá funkcia f(x) rovná súčtu všeobecného riešenia y 0 vhodné lineárna nehomogénna diferenciálna rovnica a akékoľvek konkrétne riešenie pôvodnej nehomogénnej rovnice, t.j.

Takže všeobecné riešenie LNDU 2. rádu s konštantnými koeficientmi je súčet všeobecného riešenia príslušnej lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientmi a partikulárneho riešenia: .

Kalkulácia y 0 lineárne homogénne diferenciálne rovnice druhého rádu s konštantnými koeficientmi sú opísané v článku, teraz zvážime metódu hľadania.

Existujú nejaké metódy na určenie partikulárneho riešenia lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice 2. rádu s konštantnými koeficientmi. Tieto metódy sú definované s prihliadnutím na typ funkcie f(x), ktorý je na pravej strane rovnice. Poďme si ich vymenovať a v nasledujúcich článkoch zvážime riešenia každého LDDE druhého rádu s konštantnými koeficientmi:

2. Ak je funkcia f(x) je reprezentovaný súčinom polynómu stupňa n a vystavovateľov , čo znamená, že konkrétne riešenie lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice druhého rádu sa nájde ako ,

Kde Qn(x) je polynóm n- stupeň,

r- počet koreňov charakteristickej rovnice, ktorý sa rovná .

Polynomické koeficienty Qn(x) možno určiť z rovnosti .

3. Ak je funkcia f(x) vyzerá takto: kde A 1 A V 1 sa ukážu ako čísla, čo znamená, že konkrétne riešenie lineárnej neurčitej diferenciálnej rovnice je reprezentované ako,

Kde A A IN sú neurčené koeficienty,

r- je počet komplexne konjugovaných párov koreňov charakteristickej rovnice, ktoré sa rovnajú . Polynomické koeficienty A A IN sú určené na základe rovnosti.

4. Ak , potom ,

Kde r je počet komplexne konjugovaných párov koreňov charakteristickej rovnice, ktoré sa rovnajú ,

Pn(x),Qk(x), Lm(x) A Nm(x) sú polynómy stupňa n, k, m A m resp. m = max(n, k).

Nájdite koeficienty polynómov Lm(x) A Nm(x) môžete použiť rovnosť.

5. Pre všetky ostatné typy funkcií f(x) Používa sa nasledujúci postup:

• Prvým krokom je určenie všeobecného riešenia požadovanej lineárnej homogénnej rovnice ako y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, Kde y 1 A y 2 sú lineárne nezávislé parciálne riešenia lineárnej homogénnej diferenciálnej rovnice, a C 1 A C 2 sú ľubovoľné konštanty;
• Ďalej meníme ľubovoľné konštanty, t.j. ako všeobecné riešenie pôvodnej lineárnej nehomogénnej diferenciálnej rovnice akceptujeme y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• a posledným krokom je určenie derivácií funkcií C 1 (x) A C 2 (x) zo sústavy rovníc:

,

a funkcie C 1 (x) A C2(x) určí pri ďalšej integrácii.