परीक्षा की समस्याओं में कार्यों के मूल्यों की सीमा। फ़ंक्शन: डोमेन और फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी फ़ंक्शन के मानों का सेट y 2 x 5

एक चर की दूसरे पर निर्भरता कहलाती है कार्यात्मक निर्भरता।परिवर्तनीय निर्भरता आपचर से एक्सबुलाया समारोहयदि प्रत्येक मान एक्सएकल मान से मेल खाता है आप.

पद:

चर एक्सस्वतंत्र चर कहा जाता है या तर्क, और चर आप- लत लग। वे कहते हैं कि आपका एक कार्य है एक्स... अर्थ आपकिसी दिए गए मान के अनुरूप एक्सकहा जाता है समारोह मूल्य.

सभी मान जो एक्स, प्रपत्र फंक्शन डोमेन; सभी मान जो आप, प्रपत्र फ़ंक्शन मानों का सेट.

दंतकथा:

डी (एफ)- तर्क के मूल्य। ई (एफ)- फ़ंक्शन मान। यदि कोई फ़ंक्शन किसी सूत्र द्वारा दिया जाता है, तो यह माना जाता है कि परिभाषा के क्षेत्र में वेरिएबल के सभी मान शामिल हैं जिनके लिए यह सूत्र समझ में आता है।

फंक्शन ग्राफकोऑर्डिनेट प्लेन पर सभी बिंदुओं के सेट को कहा जाता है, जिसके एब्सिसास तर्क के मूल्यों के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मूल्यों के बराबर होते हैं। अगर कुछ मूल्य एक्स = एक्स 0एकाधिक मान मेल खाते हैं (एक नहीं) आप, तो ऐसा मिलान एक फ़ंक्शन नहीं है। निर्देशांक तल के बिंदुओं के समुच्चय को किसी फलन का आलेख बनाने के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि O अक्ष के समानांतर कोई भी सीधी रेखा ग्राफ़ के साथ एक से अधिक बिंदु पर प्रतिच्छेद न करे।

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके

1) फ़ंक्शन सेट किया जा सकता है विश्लेषणात्मकसूत्र के रूप में। उदाहरण के लिए,

2) फ़ंक्शन को कई जोड़े की तालिका द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है (एक्स; वाई).

3) फ़ंक्शन को ग्राफिक रूप से सेट किया जा सकता है। मूल्य जोड़े (एक्स; वाई)समन्वय तल पर दर्शाया गया है।

एक समारोह की एकरसता

समारोह च (एक्स)बुलाया की बढ़तीकिसी दिए गए संख्यात्मक अंतराल पर, यदि तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के बड़े मान से मेल खाता है। कल्पना कीजिए कि कोई बिंदु ग्राफ़ के अनुदिश बाएँ से दाएँ घूम रहा है। फिर बिंदु ग्राफ पर "चढ़ाई" करेगा।

समारोह च (एक्स)बुलाया कम होनेवालाकिसी दिए गए संख्यात्मक अंतराल पर, यदि तर्क का एक बड़ा मान फ़ंक्शन के छोटे मान से मेल खाता है। कल्पना कीजिए कि कोई बिंदु ग्राफ़ के अनुदिश बाएँ से दाएँ घूम रहा है। तब बिंदु, जैसा कि वह था, चार्ट के नीचे "स्लाइड" करेगा।

एक फलन जो किसी दिए गए संख्यात्मक अंतराल में केवल बढ़ता या घटता है, कहलाता है नीरसइस अंतराल पर।

फ़ंक्शन शून्य और स्थिरता अंतराल

मूल्य एक्सजिस पर वाई = 0कहा जाता है फंक्शन जीरो... ये ऑक्स अक्ष के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदुओं के भुज हैं।

मूल्यों की ऐसी श्रेणियां एक्स, जिस पर फ़ंक्शन के मान आपया तो केवल सकारात्मक, या केवल नकारात्मक, कहलाते हैं समारोह की स्थिरता के अंतराल।

सम और विषम कार्य

यहां तक ​​कि समारोह
1) परिभाषा का क्षेत्र बिंदु (0; 0) के बारे में सममित है, अर्थात यदि बिंदु एडोमेन के अंतर्गत आता है, तो बिंदु -एपरिभाषा के क्षेत्र से भी संबंधित है।
2) किसी भी मूल्य के लिए एक्स एफ (-एक्स) = एफ (एक्स)
3) एक सम फलन का ग्राफ Oy अक्ष के परितः सममित होता है।

पुराना फंक्शननिम्नलिखित गुण हैं:
1) परिभाषा का क्षेत्र बिंदु (0; 0) के बारे में सममित है।
2) किसी भी मूल्य के लिए एक्सपरिभाषा के क्षेत्र से संबंधित, समानता एफ (-एक्स) = - एफ (एक्स)
3) एक विषम फलन का ग्राफ निर्देशांकों की उत्पत्ति (0; 0) के सापेक्ष सममित होता है।

प्रत्येक कार्य विषम या सम नहीं होता है। कार्यों सामान्य दृष्टि सेन सम हैं और न विषम हैं।

आवधिक कार्य

समारोह एफआवधिक कहा जाता है यदि कोई संख्या ऐसी है कि किसी के लिए एक्सडोमेन से, समानता एफ (एक्स) = एफ (एक्स-टी) = एफ (एक्स + टी). टीसमारोह की अवधि है।

किसी भी आवर्त फलन में आवर्त का अनंत सेट होता है। व्यवहार में, आमतौर पर सबसे छोटी सकारात्मक अवधि मानी जाती है।

आवर्त फलन के मान आवर्त के बराबर अंतराल के बाद दोहराए जाते हैं। इसका उपयोग रेखांकन बनाते समय किया जाता है।

डी (एफ)- वे मान जो तर्क ले सकते हैं, अर्थात। फंक्शन डोमेन.

ई (एफ)- वे मान जो फ़ंक्शन ले सकता है, अर्थात। फ़ंक्शन मानों का सेट.

कार्यों के मूल्यों की श्रेणियों को खोजने के तरीके।

जटिल फ़ंक्शन तर्कों के मूल्यों की अनुक्रमिक खोज;

अनुमानों / सीमाओं की विधि;

किसी फ़ंक्शन की निरंतरता और एकरसता के गुणों का उपयोग करना;

व्युत्पन्न का उपयोग;

फ़ंक्शन के उच्चतम और निम्नतम मानों का उपयोग करना;

ग्राफिक विधि;

पैरामीटर परिचय विधि;

उलटा कार्य विधि।

आइए उनमें से कुछ पर एक नजर डालते हैं।

व्युत्पन्न का उपयोग करना

सामान्य पहूंचएक सतत फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए f (x) में फ़ंक्शन f (x) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मानों को इसकी परिभाषा के क्षेत्र में खोजना शामिल है (या यह साबित करने में कि उनमें से एक या दोनों करते हैं मौजूद नहीं)।

यदि आपको फ़ंक्शन के मानों के सेट खोजने की आवश्यकता है खंड पर:

दिए गए फ़ंक्शन f "(x) के व्युत्पन्न का पता लगाएं;

फ़ंक्शन f (x) के महत्वपूर्ण बिंदु खोजें और उनमें से उन बिंदुओं को चुनें जो इस खंड से संबंधित हैं;

खंड के सिरों पर और चयनित महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मूल्यों की गणना करें;

पाए गए मूल्यों में से सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों का चयन करें;

इन मानों के बीच फ़ंक्शन के मानों के सेट को समाप्त करें।

यदि फ़ंक्शन का दायरा है मध्यान्तर, तो उसी योजना का उपयोग किया जाता है, लेकिन सिरों पर मानों के बजाय, फ़ंक्शन की सीमाओं का उपयोग तब किया जाता है जब तर्क अंतराल के अंत तक जाता है। से सीमा मान, मानों के समुच्चय में शामिल नहीं हैं।

सीमाएं / अनुमान विधि

किसी फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए, पहले तर्क के मानों का सेट ढूंढें, और फिर फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के संबंधित सबसे छोटे और सबसे बड़े मान खोजें। असमानताओं का उपयोग करते हुए, वे सीमाओं को परिभाषित करते हैं।

लब्बोलुआब यह है कि नीचे और ऊपर से एक निरंतर कार्य का अनुमान लगाना और यह साबित करना है कि फ़ंक्शन अनुमानों की निचली और ऊपरी सीमा तक पहुंचता है। इस मामले में, अनुमान की निचली सीमा से ऊपरी तक के अंतराल के साथ फ़ंक्शन के मानों के सेट का संयोग फ़ंक्शन की निरंतरता और इसके लिए अन्य मानों की अनुपस्थिति के कारण होता है।

निरंतर कार्य गुण

एक अन्य विकल्प फ़ंक्शन को एक निरंतर मोनोटोन में बदलना है, फिर असमानताओं के गुणों का उपयोग करके, नए प्राप्त फ़ंक्शन के मूल्यों के सेट का अनुमान लगाया जाता है।

जटिल कार्य तर्कों के मूल्यों की अनुक्रमिक खोज

मध्यवर्ती कार्यों के मूल्यों के एक सेट के लिए अनुक्रमिक खोज के आधार पर, जिनमें से फ़ंक्शन बना है

बुनियादी प्राथमिक कार्यों के मूल्यों की श्रेणी

इसके उदाहरण

फ़ंक्शन मानों का सेट खोजें:

व्युत्पन्न का उपयोग करना

परिभाषा का डोमेन खोजें: डी (एफ) = [- 3; 3], क्योंकि $ 9-x ^ (2) \ geq 0 $

व्युत्पन्न खोजें: $ f "(x) = - \ frac (x) (\ sqrt (9-x ^ (2))) $

f "(x) = 0 यदि x = 0. f" (x) मौजूद नहीं है यदि $ \ sqrt (9-x ^ (2)) = 0 $ अर्थात जब x = ± 3. हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिलते हैं: x 1 = -3, x 2 = 0, x 3 = 3, जिनमें से दो खंड के सिरों के साथ मेल खाते हैं। गणना करें: f (-3) = 0, f (0) = 3, f (3) = 0। इस प्रकार, f (x) का सबसे छोटा मान 0 है, सबसे बड़ा मान 3 है।

उत्तर: ई (एफ) =।

व्युत्पन्न का उपयोग नहीं करना

फ़ंक्शन के सबसे बड़े और सबसे छोटे मान खोजें:

$ . के बाद से
f (x) = 1- \ cos ^ (2) (x) + \ cos (x) - \ frac (1) (2) =
= 1- \ frac (1) (2) + \ frac (1) (4) - (\ cos ^ (2) (x) -2 \ cdot \ cos (x) \ cdot \ frac (1) (2) + (\ फ़्रेक (1) (2)) ^ 2) =
= \ frac (3) (4) - (\ cos (x) - \ frac (1) (2)) ^ (2) $, तब:

$ f (x) \ leq \ frac (3) (4) $ सभी x के लिए;

$ f (x) \ geq \ frac (3) (4) - (\ frac (3) (2)) ^ (2) = - \ frac (3) (2) $ सभी x के लिए (क्योंकि $ | \ cos (एक्स) | \ leq 1 $);

$ f (\ frac (\ pi) (3)) = \ frac (3) (4) - (\ cos (\ frac (\ pi) (3)) - \ frac (1) (2)) ^ (2 ) = \ फ़्रेक (3) (4) $;

$ f (\ pi) = \ frac (3) (4) - (\ cos (\ pi) - \ frac (1) (2)) ^ (2) = - \ frac (3) (2) $;

उत्तर: $ \ frac (3) (4) $ और $ - \ frac (3) (2) $

यदि इस समस्या को डेरिवेटिव की मदद से हल किया जाता है, तो इस तथ्य से जुड़ी बाधाओं को दूर करना आवश्यक होगा कि फ़ंक्शन f (x) को एक खंड पर नहीं, बल्कि पूर्ण संख्या रेखा पर परिभाषित किया गया है।

सीमा / अनुमान पद्धति का उपयोग करना

साइन की परिभाषा से यह निम्नानुसार है, $ -1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 $। इसके बाद, हम संख्यात्मक असमानताओं के गुणों का उपयोग करेंगे।

$ -4 \ leq - 4 \ sin (x) \ leq 4 $, (दोहरी असमानता के सभी तीन भागों को -4 से गुणा करें);

$ 1 \ leq 5 - 4 \ sin (x) \ leq 9 $ (दोहरी असमानता 5 के तीन भागों में जोड़ा गया);

चूंकि यह फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन में निरंतर है, इसके मूल्यों का सेट परिभाषा के पूरे डोमेन में इसके सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बीच संलग्न है, यदि कोई हो।

इस मामले में, फ़ंक्शन $ y = 5 - 4 \ sin (x) $ के मानों का सेट एक सेट है।

असमानताओं $$ \\ -1 \ leq \ cos (7x) \ leq 1 \\ -5 \ leq 5 \ cos (x) \ leq 5 $$ से, हम अनुमान $$ \\ -6 \ leq y प्राप्त करते हैं \ लीक 6 $ $

x = p और x = 0 के लिए, फ़ंक्शन मान -6 और 6 लेता है, अर्थात। अनुमान की निचली और ऊपरी सीमा तक पहुँचता है। निरंतर कार्यों cos (7x) और cos (x) के एक रैखिक संयोजन के रूप में, फ़ंक्शन y संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष पर निरंतर है, इसलिए, एक सतत फ़ंक्शन की संपत्ति से, यह सभी मानों को -6 से लेकर 6 समावेशी तक लेता है। , और केवल उन्हें, क्योंकि असमानताओं के कारण $ - 6 \ leq y \ leq 6 $ अन्य मूल्य इसके लिए असंभव हैं।

इसलिए, ई (वाई) = [-6; 6]।

$$ \\ -1 \ leq \ sin (x) \ leq 1 \\ 0 \ leq \ sin ^ (2) (x) \ leq 1 \\ 0 \ leq2 \ sin ^ (2) (x) \ leq 2 \\ 1 \ leq1 + 2 \ sin ^ (2) (x) \ leq 3 $$ उत्तर: ई (एफ) =।

$$ \\ - \ infty< {\rm tg}\, x < +\infty \\ 0 \leq {\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 3 \leq 3+{\rm tg}^{2}\, x < +\infty \\ 2^{3} \leq 2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} < +\infty \\ -\infty < -2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -8 \\ -\infty < 3-2^{3+{\rm tg}^{2}\, x} \leq -5 $$ Ответ: E(f) = (–∞; -5].

$$ \\ - \ infty< \lg{x} < +\infty \\ 0 \leq \lg^{2}{x} < +\infty \\ -\infty < -\lg^{2}{x} \leq 0 \\ -\infty < 16-\lg^{2}{x} \leq 16 \\ 0 \leq \sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 4 \\ 2 \leq 2+\sqrt{16-\lg^{2}{x}} \leq 6 $$ Ответ: E(f) = .

हम व्यंजक $$ \\ \ sin (x) + \ cos (x) = \ sin (x) + \ sin (\ frac (\ pi) (2) - x) = \\ 2 \ sin \ left ( (\ frac (x + \ frac (\ pi) (2) - x) (2)) \ दाएँ) \ cos \ बाएँ ((\ frac (x + \ frac (\ pi) (2) + x) (2 )) \ दाएँ) \\ = 2 \ sin (\ frac (\ pi) (4)) cos (x + \ frac (\ pi) (4)) = \ sqrt (2) cos (x + \ frac (\ पीआई) (4)) $$।

कोसाइन की परिभाषा से $$ \\ -1 \ leq \ cos (x) \ leq 1; \\ -1 \ leq \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4))) \ leq 1; \\ - \ sqrt (2) \ leq \ sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4))) \ leq \ sqrt (2); $$

चूंकि यह फ़ंक्शन परिभाषा के पूरे डोमेन पर निरंतर है, इसके मूल्यों का सेट इसके सबसे छोटे और सबसे बड़े मूल्यों के बीच संलग्न है, यदि कोई हो, फ़ंक्शन के मूल्यों का सेट $ y = \ sqrt (2) \ cos ((x + \ frac (\ pi) (4 ))) $ सेट $ है [- \ sqrt (2); \ sqrt (2)] $।

$$ \\ E (3 ^ (x)) = (0; + ∞), \\ E (3 ^ (x) + 1) = (1; + ∞), \\ E (- (3 ^ (x) ) + 1) ^ (2) = (-∞; -1), \\ ई (5 - (3 ^ (x) +1) ^ (2)) = (-∞; 4) $$

निरूपित $ t = 5 - (3 ^ (x) +1) ^ (2) $, जहां -∞≤t≤4। इस प्रकार, समस्या $ y = \ log_ (0,5) (t) $ रे (-∞; 4) पर फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए कम हो जाती है। चूंकि फ़ंक्शन $ y = \ log_ (0,5) (t) $ को केवल t> 0 के लिए परिभाषित किया गया है, तो किरण पर इसके मूल्यों का सेट (-∞; 4) के मूल्यों के सेट के साथ मेल खाता है अंतराल (0; 4) पर कार्य लॉगरिदमिक फ़ंक्शन के डोमेन (0; + ) के साथ किरण (-∞; 4) का प्रतिच्छेदन है। अंतराल (0; 4) पर, यह फलन निरंतर और घट रहा है। t> 0 पर, यह + की ओर जाता है, और t = 4 पर यह मान -2 लेता है, इसलिए E (y) = (-2, + )।

हम एक फ़ंक्शन के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व के आधार पर एक तकनीक का उपयोग करते हैं।

फ़ंक्शन को बदलने के बाद, हमारे पास है: y 2 + x 2 = 25, और y 0, | x | 5.

यह याद रखना चाहिए कि $ x ^ (2) + y ^ (2) = r ^ (2) $ त्रिज्या r के एक वृत्त का समीकरण है।

इन प्रतिबंधों के तहत, इस समीकरण का ग्राफ मूल पर केंद्र के साथ ऊपरी अर्धवृत्त है और त्रिज्या 5 के बराबर है। यह स्पष्ट है कि ई (वाई) =।

उत्तर: ई (वाई) =।

संदर्भ

परीक्षा की समस्याओं में कार्यों के मूल्यों की श्रेणी, मिन्युक इरिना बोरिसोव्ना

किसी फ़ंक्शन के मानों के सेट को खोजने के लिए युक्तियाँ, Belyaeva I., Fedorova S.

किसी फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूँढना

प्रवेश परीक्षा में गणित की समस्याओं को कैसे हल करें, I. I. Melnikov, I. N. Sergeev

आज के पाठ में हम गणित की मूल अवधारणाओं में से एक की ओर मुड़ेंगे - एक फलन की अवधारणा; आइए हम किसी फ़ंक्शन के गुणों में से एक के बारे में अधिक विस्तार से विचार करें - इसके मूल्यों का सेट।

कक्षाओं के दौरान

शिक्षक। समस्याओं को हल करते हुए, हम देखते हैं कि कभी-कभी यह किसी फ़ंक्शन के मूल्यों का सेट ढूंढ रहा होता है जो हमें कठिन परिस्थितियों में डालता है। क्यों? ऐसा लगता है कि 7 वीं कक्षा से समारोह का अध्ययन करने के बाद, हम इसके बारे में बहुत कुछ जानते हैं। इसलिए, हमारे पास पूर्व-खाली कदम उठाने का हर कारण है। आइए आज इस फंक्शन के कई मूल्यों के साथ खेलते हैं ताकि आगामी परीक्षा में इस विषय के कई प्रश्नों को हल किया जा सके।

प्राथमिक कार्यों के मूल्यों का समूह

शिक्षक। आरंभ करने के लिए, परिभाषा के पूरे क्षेत्र में बुनियादी प्राथमिक कार्यों के रेखांकन, समीकरण और मूल्यों के सेट को दोहराना आवश्यक है।

कार्यों के रेखांकन को स्क्रीन पर पेश किया जाता है: रैखिक, द्विघात, भिन्नात्मक तर्कसंगत, त्रिकोणमितीय, घातीय और लघुगणक, उनमें से प्रत्येक के लिए मूल्यों का एक सेट मौखिक रूप से निर्धारित किया जाता है। विद्यार्थियों के लिए ध्यान दें कि रैखिक फलन E (f) = आरया एक संख्या, रैखिक भिन्न के लिए

यह हमारा अक्षर है। इसे ग्राफ परिवर्तनों के हमारे ज्ञान को जोड़कर: समानांतर अनुवाद, खिंचाव, संपीड़न, प्रतिबिंब, हम पहले भाग की समस्याओं को हल कर सकते हैं यूनिफाइड स्टेट परीक्षा और उससे भी अधिक कठिन। चलो पता करते हैं।

स्वतंत्र काम

पास होना समस्या शब्द और समन्वय प्रणाली प्रत्येक छात्र के लिए मुद्रित की जाती हैं.

1. परिभाषा के पूरे डोमेन पर फ़ंक्शन के मानों का सेट खोजें:

ए) आप= 3 पाप एक्स ;
बी) आप = 7 – 2 एक्स ;
वी) आप= -आर्कोस ( एक्स + 5):
जी) आप= | आर्कटिक एक्स |;
इ)

2. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढें आप = एक्स 2 बीच में जे, अगर:

ए) जे = ;
बी) जे = [–1; 5).

3. फ़ंक्शन को विश्लेषणात्मक रूप से (एक समीकरण द्वारा) सेट करें यदि इसके मानों का सेट है:

1) इ(एफ(एक्स)) = (-∞; 2] और एफ(एक्स) - समारोह

ए) द्विघात,
बी) लॉगरिदमिक,
ग) सांकेतिक;

2) इ(एफ(एक्स)) = आर \{7}.

असाइनमेंट पर चर्चा करते समय 2स्व-अध्ययन, छात्रों का ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करें कि, एकरसता और फ़ंक्शन की निरंतरता के मामले में y=एफ(एक्स)एक निश्चित अंतराल पर[ए;बी],इसके कई अर्थ-अन्तर,जिनके सिरे f . के मान हैं(ए)और f(बी).

कार्य के लिए उत्तर विकल्प 3.

1.
ए) आप = –एक्स 2 + 2 , आप = –(एक्स + 18) 2 + 2,
आप= ए(एक्स – एक्ससी) 2 + 2 के लिए ए < 0.

बी) आप= - | लॉग 8 एक्स | + 2,

वी) आप = –| 3 एक्स – 7 | + 2, आप = –5 | एक्स | + 3.

2.
ए) बी)

वी) आप = 12 – 5एक्स, कहाँ पे एक्स ≠ 1 .

व्युत्पन्न का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूँढना

शिक्षक। 10वीं कक्षा में, हम एक खंड पर एक सतत फलन के एक्स्ट्रेमा को खोजने और फ़ंक्शन के ग्राफ पर भरोसा किए बिना, इसके मूल्यों के सेट को खोजने के लिए एल्गोरिदम से परिचित हुए। याद रखें कि हमने यह कैसे किया? ( व्युत्पन्न का उपयोग करना।) आइए इस एल्गोरिथम को याद रखें .

इस एल्गोरिथम के अनुप्रयोग के कार्य परीक्षा के संस्करणों में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, 2008 में ऐसा कार्य प्रस्तावित किया गया था। आपको इसे हल करना होगा मकानों .

कार्य C1.सबसे बड़ा फ़ंक्शन मान ज्ञात करें

एफ(एक्स) = (0,5एक्स + 1) 4 – 50(0,5एक्स + 1) 2

पर | एक्स + 1| ≤ 3.

प्रत्येक छात्र के लिए गृहकार्य की शर्तें मुद्रित की जाती हैं .

एक जटिल फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूँढना

शिक्षक। हमारे पाठ का मुख्य भाग गैर-मानक समस्याओं से बना होगा जिसमें जटिल कार्य होंगे, जिनमें से व्युत्पन्न बहुत जटिल अभिव्यक्ति हैं। और इन कार्यों के रेखांकन हमारे लिए अज्ञात हैं। इसलिए, समाधान के लिए, हम एक जटिल फ़ंक्शन की परिभाषा का उपयोग करेंगे, अर्थात, इस फ़ंक्शन में उनके घोंसले के क्रम में चर के बीच निर्भरता, और उनके मूल्यों की सीमा का आकलन (परिवर्तन का अंतराल) उनके मूल्य)। इस प्रकार की समस्याएं परीक्षा के दूसरे भाग में पाई जाती हैं। आइए कुछ उदाहरण देखें।

अभ्यास 1।कार्यों के लिए आप = एफ(एक्स) तथा आप = जी(एक्स) एक जटिल कार्य लिखें आप = एफ(जी(एक्स)) और इसके मूल्यों का सेट खोजें:

ए) एफ(एक्स) = –एक्स 2 + 2एक्स + 3, जी(एक्स) = पाप एक्स;
बी) एफ(एक्स) = –एक्स 2 + 2एक्स + 3, जी(एक्स) = लॉग 7 एक्स;
वी) जी(एक्स) = एक्स 2 + 1;
जी)

समाधान।ए) एक जटिल कार्य का रूप है: आप= -सिन 2 एक्स+ 2सिन एक्स + 3.

एक मध्यवर्ती तर्क का परिचय टी, हम इस फ़ंक्शन को इस तरह लिख सकते हैं:

आप= –टी 2 + 2टी+ 3, जहां टी= पाप एक्स.

आंतरिक कार्य टी= पाप एक्सतर्क कोई भी मान लेता है, और इसके मानों का सेट खंड है [-1; एक]।

तो बाहरी कार्य के लिए आप = –टी 2 +2टी+3 हमने इसके तर्क के मूल्यों में परिवर्तन के अंतराल का पता लगाया टी: टी[-एक; एक]। आइए फ़ंक्शन के ग्राफ़ की ओर मुड़ें आप = –टी 2 +2टी + 3.

ध्यान दें कि के लिए द्विघात फलन टी[-एक; 1] अपने सिरों पर सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान लेता है: आपनईम = आप(-1) = 0 और आपनायब = आप(1) = 4 और चूँकि यह फलन खंड [–1; 1], तो यह बीच में सभी मूल्यों को भी स्वीकार करता है।

उत्तर: आप .

बी) इन कार्यों की संरचना हमें एक जटिल कार्य की ओर ले जाती है, जिसे एक मध्यवर्ती तर्क पेश करने के बाद, निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:

आप= –टी 2 + 2टी+ 3, जहां टी= लॉग 7 एक्स,

कार्यक्रम टी= लॉग 7 एक्स

एक्स (0; +∞ ), टी (–∞ ; +∞ ).

कार्यक्रम आप = –टी 2 + 2टी+ 3 (ग्राफ देखें) तर्क टीकोई भी मान लेता है, और द्विघात फ़ंक्शन स्वयं सभी मानों को अधिकतम 4 लेता है।

उत्तर: आप (–∞ ; 4].

ग) एक जटिल कार्य इस प्रकार है:

एक मध्यवर्ती तर्क प्रस्तुत करने से, हम प्राप्त करते हैं:

कहाँ पे टी = एक्स 2 + 1.

चूंकि आंतरिक कार्य के लिए एक्स आर , ए टी .

उत्तर: आप (0; 3].

डी) इन दो कार्यों की संरचना हमें एक जटिल कार्य प्रदान करती है

जिसे के रूप में लिखा जा सकता है

नोटिस जो

इसलिए, के लिए

कहाँ पे क जेड , टी [–1; 0) (0; 1].

फलन का आलेख खींचकर हम देखते हैं कि इन मूल्यों के लिए टी

आप(-∞; -4] सी;

बी) परिभाषा के पूरे क्षेत्र में।

समाधान।सबसे पहले, आइए हम एकरसता के लिए इस फ़ंक्शन की जांच करें। समारोह टी= आर्कसीटीजी एक्स- निरंतर और घटते हुए आर और इसके मूल्यों का सेट (0; )। समारोह आप= लॉग 5 टीअंतराल पर परिभाषित किया गया है (0; ), निरंतर है और उस पर बढ़ता है। इसलिए, सेट पर यह जटिल कार्य घट जाता है आर ... और यह, दो निरंतर कार्यों की संरचना के रूप में, निरंतर रहेगा आर .

आइए समस्या "ए" को हल करें।

चूँकि फलन संपूर्ण संख्या अक्ष पर निरंतर है, यह इसके किसी भी भाग पर, विशेष रूप से, किसी दिए गए खंड पर निरंतर है। और फिर इस सेगमेंट पर इसका सबसे छोटा और सबसे बड़ा मान होता है और उनके बीच सभी मान लेता है:

एफ

प्राप्त मूल्यों में से कौन सा अधिक है? क्यों? और अर्थों का सेट क्या होगा?

उत्तर:

आइए समस्या "बी" को हल करें।

उत्तर: पर(-∞; लॉग 5 ) परिभाषा के पूरे क्षेत्र में।

पैरामीटर समस्या

अब आइए फॉर्म के पैरामीटर के साथ एक साधारण समीकरण बनाने और हल करने का प्रयास करें एफ(एक्स) = ए, कहाँ पे एफ(एक्स) - कार्य 4 के समान कार्य।

कार्य 5.समीकरण लॉग 5 के मूलों की संख्या निर्धारित करें (arcctg एक्स) = एप्रत्येक पैरामीटर मान के लिए ए.

समाधान।जैसा कि हमने टास्क 4 में दिखाया, फंक्शन पर= लॉग 5 (arcctg एक्स) - घटता है और निरंतर है आर और लॉग 5 से कम मान लेता है। यह जानकारी जवाब देने के लिए काफी है।

उत्तर:अगर ए < log 5 π, то уравнение имеет единственный корень;

अगर एलॉग 5 , फिर कोई जड़ नहीं हैं।

शिक्षक। आज हमने एक फ़ंक्शन के मूल्यों के सेट को खोजने से जुड़े कार्यों पर विचार किया है। इस रास्ते पर, हमने समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए एक नई विधि की खोज की - अनुमान विधि, इसलिए फ़ंक्शन के मूल्यों का सेट ढूंढना उच्च-स्तरीय समस्याओं को हल करने का एक साधन बन गया है। साथ ही, हमने देखा कि इस तरह की समस्याओं का निर्माण कैसे किया जाता है और कैसे एक फ़ंक्शन के एकरसता गुण उनके समाधान की सुविधा प्रदान करते हैं।

और मैं आशा करना चाहता हूं कि आज के कार्यों को जोड़ने वाले तर्क ने आपको चकित कर दिया, या कम से कम आपको आश्चर्यचकित कर दिया। यह अन्यथा नहीं हो सकता: एक नई चोटी पर चढ़ने से कोई भी उदासीन नहीं रहता है! हम सुंदर चित्रों, मूर्तियों आदि को देखते हैं और उनकी सराहना करते हैं। लेकिन गणित का भी अपना सौन्दर्य है, आकर्षक और मनमोहक - तर्क का सौन्दर्य। गणितज्ञ कहते हैं कि एक सुंदर निर्णय आमतौर पर सही निर्णय होता है, और यह केवल एक मुहावरा नहीं है। अब आपको खुद ऐसे उपाय तलाशने होंगे और उनमें से एक तरीका हमने आज बताया है. आप सौभाग्यशाली हों! और याद रखें: सड़क चलने में महारत हासिल कर लेगी!

GBOU Lyceum (आर्थिक) के साथ। इसाक्लीक

गणित के शिक्षक कुज़ेवा वी.एन.

2016 वर्ष

संदर्भ सामग्री

नमूना समाधानकार्यों के मूल्यों का सेट खोजें

फंक्शन रेंज
एक

आप - कोई संख्या

फंक्शन रेंज
एक आप - कोई संख्या

कई अर्थ

आप - कोई संख्या

उच्चतम मूल्य

सबसे छोटा मान

कार्यक्षेत्र एक्स - कोई संख्या
, कहाँ पे

, कहाँ पे

कई अर्थ
आप - कोई संख्याआप - कोई संख्या

कुछ त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए ग्राफ़ टेम्पलेट्स

त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों का सेट

विकल्प 1

वाई =पाप 3x + 2.

1) (-5;5) 2) 3) 4) (1;5)

2. फ़ंक्शन y = . के मानों की श्रेणी ज्ञात कीजिएटीजीएक्स + 1.

1) 3) (-∞;∞) 4)

1) -6 2) 6 3) -4 4) -2

4. फ़ंक्शन की श्रेणी से सबसे छोटा पूर्णांक निर्दिष्ट करें

वाई = 12.7 + 5 पाप(3x-2)।

1) -5 2) 8 3) 5 4) 17

5. फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें, जिसके मानों का सेट खंड [-2; 2] है।

1) वाई = क्योंकि 2x 2) वाई = पाप 2 एक्स 3) आप = क्योंकि 2 एक्स +2

4) आप = 2 पाप 4 एक्स

6. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढेंआप = टीजी 2 एक्सखंड पर

7. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में शामिल सभी पूर्णांकों का योग ज्ञात करेंआप = 4 क्योंकि 2 एक्स – 7.

1) -25 2) 25 3) -22 4) 0

विकल्प 2

आप = 2 क्योंकि 5 एक्स +3.

1) (2;3) 2) 3) (1;5) 4) .

2. फलन का परिसर ज्ञात कीजिए

1) 3) (-∞;∞) 4) .

3. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से सबसे छोटी संख्या निर्दिष्ट करें

1) 4 2) -3 3) 1 4) -7

4. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से सबसे बड़ा पूर्णांक निर्दिष्ट करें

1) 2 2) 13 3) 12 4) -2

5. फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें, जिसके मानों का सेट खंड [-5; 5] है।

1) y = sin 5x 2) y = 5 cos 5x 3) y = cos (-5x)

4) वाई = पाप 5x + 5

6. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढें
खंड पर

7. फ़ंक्शन y = 5 - 3 . के मानों की श्रेणी में शामिल सभी पूर्णांकों का गुणनफल ज्ञात कीजिएपाप 2 एक्स.

1) 120 2) 14 3) -15 4) 0

विकल्प 3
1. फ़ंक्शन के मानों का सेट निर्दिष्ट करेंआप = पाप 3 एक्स + 5.

1) (-4;6) 2) 3) [-1;5) 4) (0;6)

1) 2) (0;3) 3) (1;3) 4) [-1;3)

3. फ़ंक्शन y = 5 . के मानों की श्रेणी से सबसे छोटी संख्या को इंगित करेंटीजी 2 एक्स+2?

1) 5 2) 0 3) 7 4) 2

1) -1 2) -2,7 3) -2,3 4)-3

5. एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें जिसका मानों का सेट एक खंड है

[-17;-13].

1) y = 5 sin x - 8 3) y = -cos x +15

2) y = 2 cos x - 15 4) y = 3 sin x +10

6. सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या को इंगित करें जो फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल नहीं है

1) 2 2) 4 3) 15 4) 6

7. कितने पूर्णांक फ़ंक्शन के मानों के सेट से संबंधित हैं

आप = 2 क्योंकि 3 एक्स +10?

1) 2 2) 3 3) 4 5) 5

विकल्प 4

1) 2) 4) (-7;-6)

2. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

1) (1;5) 2) 3) (4;6) 4) [-6;-4]

3. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से सबसे बड़ी संख्या निर्दिष्ट करेंआप = -3 सीटीजी 2 एक्स+7.

1) 10 2) 4 3) 7 4) -3

4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल नहीं है

1) -6 2) -5 3) -10 4) -7

5. एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें जिसका मानों का सेट एक खंड है।

6. फ़ंक्शन की सीमा के बाहर सबसे बड़ा ऋणात्मक पूर्णांक निर्दिष्ट करें

1) -1 2) -25 3) -6 4) -2

7. कितने पूर्णांक फ़ंक्शन के मानों के सेट से संबंधित हैं

1) 11 2) 3 3) 5 4) 4

विकल्प 5

1. फ़ंक्शन y = 2 के मानों के सेट को इंगित करें -पाप 5 एक्स.

1) (2;5) 2) 3) (1;3) 4) [-3;7]

2. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

1) [-8;-6] 2) [-8;-6) 3) (-8;-6) 4)

3. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से सबसे छोटा पूर्णांक निर्दिष्ट करें

आप = 3 + पाप 2 2 एक्स.

1) 0 2) 1 3) 3 4) 4

4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल है

1) 128 2) 10,5 3) 3 4) -235

5. फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें, जिसके मानों का सेट खंड [-9; 15] है।

6. फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल पूर्णांकों का योग ज्ञात करें

1) 0 2) 7 3) 18 4) 22

7. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें
खंड पर

1) 0,5 2) 1,5 3) 0 4) 2

विकल्प 6

1. फ़ंक्शन के मानों के सेट के अनुरूप खंड निर्दिष्ट करें

1) 2) (-2;-1) 3) (0;1) 4) [-6;-4]

2. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

3. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से सबसे बड़ी संख्या निर्दिष्ट करें

1) 5 2) -6 3) -3 4) 4

4. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल है

1) 5 2) 0 3) -3 4) 4

5. एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें, जिसके मानों का एक खंड है।

1) पर = 15 - 7 cos 2x 3) y = 7 cos 2x + 3

2) आप = 5 क्योंकि 4 एक्स 4) आप = - टीजी 2 एक्स + 1

6. मानों के समुच्चय में शामिल पूर्णांकों का गुणनफल ज्ञात कीजिए

आप = 3,8 – 1,4 पाप 3 एक्स.

1) 17 2) 12 3) 0 4) 60

7. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढें
बीच में

1) (3;4) 2) 3)

विकल्प 7

2. फलन का सबसे छोटा पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए

1) 2 2) 0 3) -3 4) -4

1) 0 2) 2 3) 4 4) 6

4. समीकरण के किन मानों के लिएपाप(3 एक्स-4)+5= एहल करने योग्य?

1) 2) 3) (4;6) 4) (-6;4]

पाप 2 2 एक्स – 2.

1) [-3;-2] 2) [-1;0] 3) [-4;0] 4) [-3;-1]

बीच में

2) 0 3) 1

आप = 4 पाप(एक्स 4 ) -2?

1) 8 2) 9 3) 7 4) 10

विकल्प 8

1. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढेंआप = आर्कटिकएक्स- 2π.

2. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान ज्ञात करें

1) 1,75 2) 0 3) 2,25 4) -1,75

3. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फलन का मान हो सकती है

1) -4 2) -2 3) 0 4) 2

4. p के किन मानों पर समीकरण -2+ . होता हैक्योंकि(4 एक्स-1)= पीजड़ें हैं?

1) [-3;-1] 2) [-3;-1) 3) (-3;1] 4) (-3;-1)

5. फ़ंक्शन के मानों का सेट ढूंढेंआप = -2 टीजी 2 एक्स + 1.

1) [-1;3] 2) (-∞;1] 3) (-∞;∞) 4) [-1;+∞)

बीच में
.

1) 0 2) 1 3) -1 4) 3

7. कितने पूर्णांक फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी से संबंधित हैं

1) 4 2) 3 3) 5 4) 2

विकल्प 9

1. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

2. फलन का सबसे बड़ा पूर्णांक मान ज्ञात कीजिए

1) 4 2) 5 3) 6 4) 7

3. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फलन का मान हो सकती है

1) 0 2) 3 3) 6 4) 9

कसमीकरण - क + पाप(2 एक्स-1) = 2 हल करने योग्य?

1) 2) (4;6) 3) (-3;-1) 4) [-3;-1]

5. फलन y = - के मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिए।क्योंकि 2 3 एक्स + 4.

1) 2) 3) 4)

6. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान निर्दिष्ट करें
बीच में

2) -1 3) 0 4) 1

7. ज्ञात कीजिए कि फ़ंक्शन y = 12 . के मानों की श्रेणी में कितने पूर्णांक शामिल हैंक्योंकि 3 एक्स +5 पाप 3 एक्स.

1) 13 2) 27 3) 26 4) 14

विकल्प 10

1. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

2. फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें

1) 3,5 2) 0 3) 2,5 4) -3,5

3. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फलन का मान हो सकती है

1) -4 2) -1 3) 3 4) 7

4. पैरामीटर के किन मूल्यों परएमसमीकरण क्योंकि (3 एक्स + 2)- एम= 5 की जड़ें हैं?

1) [-6;-4] 2) (-6;-4) 3) (-4;3) 4) [-6;-5]

5. फलन y = -2 . के मानों का समुच्चय ज्ञात कीजिएसीटीजी 2 3 एक्स + 7.

1) (-∞;5] 2) (-∞;1] 3) (-∞;0] 4) (-∞;7]

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें
बीच में

2) 0 3) 2 4) 1

7. ज्ञात कीजिए कि फलन के परिसर में कितने पूर्णांक हैं

1) 30 2) 35 3) 17 4) 7

घातीय और लघुगणकीय कार्यों के कई मूल्य

विकल्प 1

1. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

1) 4) (-∞;3)

2. फ़ंक्शन के मानों का सेट निर्दिष्ट करें

1) (-∞;7) 2) (-∞;-7) 3)(7;∞) 4) (-∞;7]

1) 0 2) 4 3) -3 4) -4

1) 15 2) 20 3) 43 4) 28

1) (0;-2) 2) (0;2) 3) (-∞;+∞) 4) [-2;0)

6. फ़ंक्शन का सबसे छोटा पूर्णांक मान निर्दिष्ट करें

1) 1 2) -1 3) 0 4) -5

7. फ़ंक्शन को इंगित करें, जिसके मानों का सेट अंतराल (1; ) है।

विकल्प 2

1. फ़ंक्शन के मानों का सेट निर्दिष्ट करें

1) [-1;∞) 2)(-1;∞) 3) (3;∞) 4) 4) [-3;∞)

2. फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी ज्ञात करें

1) (-4;∞) 2) (4;∞) 3) (-∞;4] 4) 4) (-∞;4)

3. फ़ंक्शन का सबसे छोटा पूर्णांक मान निर्दिष्ट करें

1) -12 2) -11 3) -10 4) -15

4. एक संख्या निर्दिष्ट करें जो फ़ंक्शन के मानों के सेट से संबंधित नहीं है

1) -42 2) 3 3) 1 4) -20

5. फ़ंक्शन के मानों का सेट निर्दिष्ट करें

1) (-∞;0) 2) (0;∞) 3) (-∞;∞) 4) [-2;2]

6. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा पूर्णांक मान निर्दिष्ट करें

1) 10 2) 3 3) 9 4) 2

7. फ़ंक्शन निर्दिष्ट करें, जिसके मानों का सेट अंतराल है

(-∞;13).

विकल्प 5

1. फ़ंक्शन का सबसे छोटा पूर्णांक मान निर्दिष्ट करें

1) 0 2) -1 3) -2 4) -3

2. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में शामिल है

1) -3 2) -4 3) 5 4) 0

1) (-∞;2] 2) 2) [-1;1] 3) (-1;1) 4) (0;∞)

6. ज्ञात कीजिए कि फलन किस खंड पर है
सबसे बड़ा मान 2 और सबसे छोटा मान -3 लेता है।

1) 2) (-5;2) 3) 4) (-3;2)

बीच में

1) -1/2 2) 5 3) 2 4) 4

8. सभी प्राकृतिक संख्याओं का योग ज्ञात कीजिए जो फ़ंक्शन के मानों के सेट में शामिल नहीं हैं

1) 3 2) 6 3) 10 4) 8

विकल्प 6

1. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा पूर्णांक मान निर्दिष्ट करें

1) 2 2) 4 3) 3 4) 5

2. निम्नलिखित में से कौन सी संख्या फ़ंक्शन के मानों की श्रेणी में शामिल नहीं है

1) 35 2) 7, 28 3) 7, 85 4) 128

3. फ़ंक्शन के मानों का सेट निर्दिष्ट करें

1) [-1/3;0] 2) (-3;2/5) 3) (0;1/3) 4) (0;2/5)

4. ओयू पर सभी बिंदु खोजें, जो फ़ंक्शन के ग्राफ के बिंदुओं के अनुमान हैं

1) (0;∞) 2) 2) (-3;2) 3) [ लॉग 2 3;2] 4) (लॉग 2 3;2)

6. ज्ञात कीजिए कि फलन किस खंड पर है
सबसे छोटा मान -2 और सबसे बड़ा मान 4 लेता है।

1) [-17/9;79] 2) [-1,5;82] 3) (-11/9;79] 4) (-17/9;79)

7. फ़ंक्शन का सबसे बड़ा मान निर्दिष्ट करें
बीच में

[-0.9; 0]। 2. खंड पर फ़ंक्शन का सबसे छोटा मान ज्ञात करें।

4. फ़ंक्शन कितने पूर्णांक मान लेता है

जवाब

भाग 1

घातांक और लघुगणकीय मानों का समुच्चय

भाग 2

फ़ंक्शन मॉडल है। आइए एक्स को स्वतंत्र चर के मूल्यों के सेट के रूप में परिभाषित करें // स्वतंत्र का मतलब कोई भी है।

फलन एक नियम है जिसके द्वारा, समुच्चय X से स्वतंत्र चर के प्रत्येक मान के लिए, आप आश्रित चर का एकमात्र मान ज्ञात कर सकते हैं। // अर्थात। प्रत्येक x के लिए एक y है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि दो अवधारणाएँ हैं - एक स्वतंत्र चर (जिसे हम x द्वारा निरूपित करते हैं और यह कोई भी मान ले सकता है) और एक आश्रित चर (जिसे हम y या f (x) द्वारा निरूपित करते हैं और इसकी गणना फ़ंक्शन से की जाती है जब हम x को प्रतिस्थापित करते हैं)।

उदाहरण के लिए y = 5 + x

1. स्वतंत्र x है, इसलिए हम कोई भी मान लेते हैं, मान लीजिए x = 3

2. और अब हम y की गणना करते हैं, इसलिए y = 5 + x = 5 + 3 = 8। (y, x पर निर्भर है, क्योंकि जिसे x हम प्रतिस्थापित करते हैं, वह y है और हमें प्राप्त होता है)

चर y कहा जाता है कि कार्यात्मक रूप से चर x पर निर्भर करता है और इसे निम्नानुसार दर्शाया जाता है: y = f (x)।

उदाहरण के लिए।

1.y = 1 / एक्स। (हाइपरबोला कहा जाता है)

2.वाई = एक्स ^ 2। (परवलय कहा जाता है)

3.y = 3x + 7. (सीधी रेखा कहा जाता है)

4.y = x। (एक परवलय की एक शाखा कहा जाता है)

स्वतंत्र चर (जिसे हम x के रूप में निरूपित करते हैं) को फ़ंक्शन तर्क कहा जाता है।

फंक्शन स्कोप

सभी मानों का सेट जो एक फ़ंक्शन तर्क लेता है उसे फ़ंक्शन डोमेन कहा जाता है और इसे डी (एफ) या डी (वाई) के रूप में दर्शाया जाता है।

1., 2., 3., 4 के लिए डी (वाई) पर विचार करें।

1. डी (वाई) = (∞; 0) और (0; + ∞) // शून्य को छोड़कर वास्तविक संख्याओं के सभी सेट।

2.D (y) = (∞; + ∞) // सभी कई वास्तविक संख्याएं

3.D (y) = (∞; + ∞) // सभी कई वास्तविक संख्याएं

4.डी (वाई) =)