Lndu के लिए एक विशेष समाधान खोजें। स्थिर गुणांकों के साथ रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण

स्थिर गुणांकों (पीसी) के साथ रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों (LNDE-2) को हल करने के मूल सिद्धांत

स्थिर गुणांक $p$ और $q$ के साथ दूसरे क्रम के LDDE का रूप $y""+p\cdot y"+q\cdot y=f\left(x\right)$ है, जहां $f\left(x \right)$ एक सतत फलन है।

पीसी के साथ एलएनडीयू 2 के संबंध में, निम्नलिखित दो कथन सत्य हैं।

आइए मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $U$ एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक मनमाना आंशिक समाधान है। आइए हम यह भी मान लें कि कुछ फ़ंक्शन $Y$ संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण (HLDE) $y""+p\cdot y"+q\cdot y=0$ का सामान्य समाधान (GS) है। फिर का GR LHDE-2 संकेतित निजी और सामान्य समाधानों के योग के बराबर है, यानी $y=U+Y$।

यदि दूसरे क्रम के LMDE का दाहिना भाग कार्यों का योग है, अर्थात, $f\left(x\right)=f_(1) \left(x\right)+f_(2) \left(x \right)+. ..+f_(r) \left(x\right)$, तो पहले हम PDs $U_(1) ,U_(2) ,...,U_(r)$ ढूंढ सकते हैं जो संगत हैं प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $f_( 1) \left(x\right),f_(2) \left(x\right),...,f_(r) \left(x\right)$, और उसके बाद CR LNDU-2 को $U=U_(1) +U_(2) +...+U_(r) $ के रूप में लिखें।

पीसी के साथ दूसरे क्रम के एलपीडीई का समाधान

यह स्पष्ट है कि किसी दिए गए LNDU-2 के एक या दूसरे PD $U$ का प्रकार उसके दाएँ हाथ के $f\left(x\right)$ के विशिष्ट रूप पर निर्भर करता है। पीडी एलएनडीयू-2 की खोज के सबसे सरल मामले निम्नलिखित चार नियमों के रूप में तैयार किए गए हैं।

नियम 1।

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left(x\right)=a_(0 ) \cdot x^(n) +a_(1) \cdot x^(n-1) +...+a_(n-1) \cdot x+a_(n) $, यानी इसे a कहा जाता है घात का बहुपद $n$। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n) \left(x\right)$ दूसरा है इसका बहुपद $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है जो शून्य के बराबर है। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक अनिश्चित गुणांक (यूके) की विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 2.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot P_(n) \left(x\right)$ का रूप है, जहां $P_(n) \left( x\right)$ डिग्री $n$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=Q_(n) \left(x\right)\cdot x^(r) \cdot e^(\alpha \cdot x) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(n ) \ बाएँ(x\दाएँ)$, $P_(n) \left(x\right)$ के समान डिग्री का एक और बहुपद है, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है $\alpha $ के बराबर। बहुपद $Q_(n) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 3.

LNDU-2 के दाईं ओर $f\left(x\right)=a\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+b\cdot \sin \left(\beta \cdot x) का रूप है \दाएं) $, जहां $a$, $b$ और $\beta$ ज्ञात संख्याएं हैं। फिर इसका PD $U$ इस रूप में मांगा जाता है $U=\left(A\cdot \cos \left(\beta \cdot x\right)+B\cdot \sin \left(\beta \cdot x\right) \right )\cdot x^(r) $, जहां $A$ और $B$ अज्ञात गुणांक हैं, और $r$ संबंधित LODE-2 के विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है, जो $i\cdot के बराबर है \बीटा $. गुणांक $A$ और $B$ गैर-विनाशकारी विधि का उपयोग करके पाए जाते हैं।

नियम क्रमांक 4.

LNDU-2 के दाईं ओर का रूप $f\left(x\right)=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left$ है, जहां $P_(n) \left(x\right)$ है घात $ n$ का एक बहुपद, और $P_(m) \left(x\right)$ घात $m$ का एक बहुपद है। फिर इसका PD $U$ $U=e^(\alpha \cdot x) \cdot \left\cdot x^(r) $ के रूप में मांगा जाता है, जहां $Q_(s) \left(x\right)$ और $ R_(s) \left(x\right)$ डिग्री $s$ वाले बहुपद हैं, संख्या $s$ दो संख्याओं $n$ और $m$ में से अधिकतम है, और $r$ मूलों की संख्या है संगत LODE-2 के अभिलक्षणिक समीकरण का, $\alpha +i\cdot \beta $ के बराबर। बहुपद $Q_(s) \left(x\right)$ और $R_(s) \left(x\right)$ के गुणांक NC विधि द्वारा पाए जाते हैं।

एनके पद्धति में निम्नलिखित नियम लागू करना शामिल है। बहुपद के अज्ञात गुणांकों को खोजने के लिए जो अमानवीय अंतर समीकरण LNDU-2 के आंशिक समाधान का हिस्सा हैं, यह आवश्यक है:

• सामान्य रूप में लिखे गए PD $U$ को LNDU-2 के बाईं ओर प्रतिस्थापित करें;
• LNDU-2 के बाईं ओर, समान शक्तियों $x$ के साथ सरलीकरण और समूह शब्द निष्पादित करें;
• परिणामी पहचान में, बाएँ और दाएँ पक्ष की समान घात $x$ वाले पदों के गुणांकों को बराबर करें;
• अज्ञात गुणांकों के लिए रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें।

उदाहरण 1

कार्य: OR LNDU-2 $y""-3\cdot y"-18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ ढूंढें। PD भी खोजें , $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ को संतुष्ट करता है।

हम संबंधित LOD-2 लिखते हैं: $y""-3\cdot y"-18\cdot y=0$.

विशेषता समीकरण: $k^(2) -3\cdot k-18=0$. विशिष्ट समीकरण के मूल हैं: $k_(1) =-3$, $k_(2) =6$. ये जड़ें वैध और विशिष्ट हैं। इस प्रकार, संबंधित LODE-2 के OR का रूप है: $Y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) $.

इस LNDU-2 के दाईं ओर $\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x) $ का रूप है। घातांक $\alpha =3$ के गुणांक पर विचार करना आवश्यक है। यह गुणांक विशेषता समीकरण की किसी भी जड़ से मेल नहीं खाता है। इसलिए, इस LNDU-2 के PD का फॉर्म $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ है।

हम एनसी विधि का उपयोग करके गुणांक $A$, $B$ की खोज करेंगे।

हमें चेक गणराज्य का पहला व्युत्पन्न मिलता है:

$U"=\left(A\cdot x+B\right)^((") ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot \left( e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A\cdot x+B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(A+3\cdot A\ cdot x+3\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हमें चेक गणराज्य का दूसरा व्युत्पन्न मिलता है:

$U""=\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)^(() ) \cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot \left(e^(3\cdot x) \right)^((") ) =$

$=3\cdot A\cdot e^(3\cdot x) +\left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) =\left(6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B\right)\cdot e^(3\cdot x) .$

हम दिए गए NLDE-2 $y""-3\cdot y" में $y""$, $y"$ और $y$ के स्थान पर फ़ंक्शन $U""$, $U"$ और $U$ को प्रतिस्थापित करते हैं। -18\cdot y=\left(36\cdot x+12\right)\cdot e^(3\cdot x).$ इसके अलावा, चूंकि घातांक $e^(3\cdot x)$ को एक कारक के रूप में शामिल किया गया है सभी घटकों में, तो इसे छोड़ा जा सकता है। हमें मिलता है:

$6\cdot A+9\cdot A\cdot x+9\cdot B-3\cdot \left(A+3\cdot A\cdot x+3\cdot B\right)-18\cdot \left(A\ cdot x+B\right)=36\cdot x+12.$

हम परिणामी समानता के बाईं ओर क्रियाएँ करते हैं:

$-18\cdot A\cdot x+3\cdot A-18\cdot B=36\cdot x+12.$

हम एनडीटी पद्धति का उपयोग करते हैं। हमें दो अज्ञातों के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त होती है:

$-18\cdot A=36;$

$3\cdot A-18\cdot B=12.$

इस प्रणाली का समाधान है: $A=-2$, $B=-1$.

PD $U=\left(A\cdot x+B\right)\cdot e^(3\cdot x) $ हमारी समस्या के लिए इस तरह दिखता है: $U=\left(-2\cdot x-1\right) \cdot e^(3\cdot x) $.

हमारी समस्या के लिए OR $y=Y+U$ इस तरह दिखता है: $y=C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +C_(2) \cdot e^(6\cdot x) + \ बाएँ(-2\cdot x-1\दाएँ)\cdot e^(3\cdot x) $।

दी गई प्रारंभिक शर्तों को पूरा करने वाले पीडी की खोज करने के लिए, हम ओपी का व्युत्पन्न $y"$ पाते हैं:

$y"=-3\cdot C_(1) \cdot e^(-3\cdot x) +6\cdot C_(2) \cdot e^(6\cdot x) -2\cdot e^(3\ cdot x) +\left(-2\cdot x-1\right)\cdot 3\cdot e^(3\cdot x) .$

हम $y$ और $y"$ में $x=0$ के लिए प्रारंभिक शर्तें $y=6$ और $x=0$ के लिए $y"=1$ प्रतिस्थापित करते हैं:

$6=सी_(1) +सी_(2) -1; $

$1=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -2-3=-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) -5.$

हमें समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त हुई:

$C_(1) +C_(2) =7;$

$-3\cdot C_(1) +6\cdot C_(2) =6.$

आइए इसे सुलझाएं. हम Cramer के सूत्र का उपयोग करके $C_(1) $ पाते हैं, और $C_(2) $ हम पहले समीकरण से निर्धारित करते हैं:

$C_(1) =\frac(\left|\begin(array)(cc) (7) & (1) \\ (6) & (6) \end(array)\right|)(\left|\ begin(array)(cc) (1) & (1) \\ (-3) & (6) \end(array)\right|) =\frac(7\cdot 6-6\cdot 1)(1\ cdot 6-\left(-3\right)\cdot 1) =\frac(36)(9) =4; C_(2) =7-C_(1) =7-4=3.$

इस प्रकार, इस अंतर समीकरण के PD का रूप है: $y=4\cdot e^(-3\cdot x) +3\cdot e^(6\cdot x) +\left(-2\cdot x-1 \दाएं )\cdot e^(3\cdot x) $.

प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण रूप का एक समीकरण है

,
जहाँ p और q वेरिएबल x के फलन हैं।

प्रथम कोटि का रैखिक सजातीय अवकल समीकरण रूप का एक समीकरण है

प्रथम कोटि का रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण रूप का एक समीकरण है

क्यू अवधि (एक्स)समीकरण का अमानवीय भाग कहलाता है।

प्रथम कोटि के एक रैखिक अमानवीय अवकल समीकरण पर विचार करें:
(1) .
इस समीकरण को हल करने के तीन तरीके हैं:

• एकीकृत कारक विधि;

एक एकीकृत कारक का उपयोग करके एक रैखिक अंतर समीकरण को हल करना

आइए प्रथम-क्रम रैखिक अवकल समीकरण का उपयोग करके हल करने की एक विधि पर विचार करें एकीकृत करने वाला कारक.
आइए मूल समीकरण के दोनों पक्षों को गुणा करें (1) कारक को एकीकृत करके
:
(2)
इसके बाद, हम ध्यान दें कि अभिन्न का व्युत्पन्न समाकलन के बराबर है:

एक जटिल फलन के विभेदन के नियम के अनुसार:

उत्पाद विभेदन नियम के अनुसार:


में स्थानापन्न (2) :

आइए एकीकृत करें:

गुणा करके । हम पाते हैं प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण का सामान्य समाधान:

प्रथम कोटि रैखिक अवकल समीकरण को हल करने का एक उदाहरण

प्रश्न हल करें

समाधान

आइए मूल समीकरण के दोनों पक्षों को x से विभाजित करें:
(मैं) .
तब
;
.
एकीकृत कारक:

मापांक चिह्न को छोड़ा जा सकता है, क्योंकि समाकलन कारक को किसी भी स्थिरांक (सहित) से गुणा किया जा सकता है ± 1).
आइए गुणा करें (मैं)एक्स द्वारा 3 :
.
हम व्युत्पन्न का चयन करते हैं।
;
.
हम अभिन्नों की तालिका का उपयोग करके एकीकृत करते हैं:
.
x से विभाजित करें 3 :
.

उत्तर

सन्दर्भ:
एन.एम. गुंटर, आर.ओ. कुज़मिन, उच्च गणित में समस्याओं का संग्रह, "लैन", 2003।

स्थिर गुणांकों वाला अमानवीय समीकरण

अनिर्धारित गुणांकों की विधि और मनमाने स्थिरांकों की भिन्नता की विधि का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

अनिश्चित गुणांक विधि

मैं . क्योंकि समीकरण (11) अमानवीय है, इसके सामान्य समाधान में सामान्य सजातीय और विशेष अमानवीय समीकरणों का योग शामिल होगा, अर्थात।

.

हम संगत सजातीय समीकरण बनाते हैं

इसका अभिलक्षणिक समीकरण

समाधान की मौलिक प्रणाली की संरचना विशेषता समीकरण (13) की जड़ों के प्रकार पर निर्भर करती है।

3 मामले हैं.

ए)। विशेषता समीकरण (13) की सभी जड़ें अलग-अलग और वास्तविक हैं।आइए उन्हें निरूपित करें
. समाधान की मौलिक प्रणाली:

और सामान्य समाधान का रूप है:

बी)। विशेषता समीकरण (13) की सभी जड़ें अलग-अलग हैं, लेकिन उनमें जटिल भी हैं।होने देना
- समीकरण का जटिल मूल (13)। तब
- इस समीकरण का मूल भी है. ये जड़ें दो रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधानों से मेल खाती हैं:

.

अगर
और
तब विशेष समाधानों का स्वरूप होगा

जटिल जड़ों और सभी वास्तविक जड़ों के अन्य संयुग्मी जोड़े के अनुरूप रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान लिखकर और मनमाने ढंग से स्थिर गुणांक के साथ इन समाधानों का एक रैखिक संयोजन बनाकर, हम समीकरण (12) का एक सामान्य समाधान प्राप्त करते हैं।

वी). अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों में गुणज होते हैं. होने देना क 1 असली आर- एकाधिक जड़. फिर वे उससे पत्र-व्यवहार करते हैं आर

अगर
- समीकरण की जटिल जड़ें (13) बहुलता आर, तो वे मेल खाते हैं 2 आरप्रपत्र के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान:

संकेतित प्रकार के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान लिखकर, सभी सरल और एकाधिक वास्तविक जड़ों के साथ-साथ सरल और एकाधिक जटिल जड़ों के संयुग्मित जोड़े के अनुरूप, हम समाधान की एक मौलिक प्रणाली प्राप्त करते हैं।

द्वितीय . समीकरण (11) के दाएँ पक्ष के रूप के आधार पर, अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान चुना जाता है।

मामले हो सकते हैं.

1).
, कहाँ पी(एक्स) – बहुपद से एक्सडिग्री एन.

ए)। यदि संख्या 0 विशेषता समीकरण (13) का मूल नहीं है, तो अमानवीय समीकरण (11) का एक विशेष समाधान इस रूप में पाया जा सकता है
, कहाँ क्यू(एक्स) – बहुपद से एक्सएक ही डिग्री एन, जैसा पी(एक्स) सामान्य रूप में (अर्थात् अनिर्धारित गुणांकों के साथ)।

उदाहरण के लिए,

बी)। अगर 0 - बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण का मूल आर, वह

.

2).
.

ए)। यदि संख्या α तो फिर, विशेषता समीकरण (13) का मूल नहीं है

.

3) कहाँ
- डिग्री बहुपद एम और एनतदनुसार (बहुपदों में से एक समान रूप से शून्य के बराबर हो सकता है);

और अगर
तो फिर, समीकरण (13) का मूल नहीं है

कहाँ
- डिग्री बहुपद
.

बी) यदि
बहुलता के अभिलक्षणिक समीकरण का मूल है आर, वह

4) कहाँ
- प्रकार के कार्यों को 1), 2), 3) माना जाता है। अगर
विशेष समाधान हैं जो कार्यों के अनुरूप हैं
, वह

समस्या 12. अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें।

समाधान। यह एक तीसरे क्रम का अमानवीय अंतर समीकरण है जिसमें वांछित फ़ंक्शन शामिल नहीं है य. इस समीकरण को कम से कम दो और तरीकों से हल किया जा सकता है: मनमाना स्थिरांकों की भिन्नता की विधि और निरंतर गुणांक वाले एक अमानवीय रैखिक समीकरण का एक विशेष समाधान निर्धारित करने के लिए अनिश्चित गुणांक की विधि।

आइए दूसरी विधि पर विचार करें.

आइए हम संगत सजातीय समीकरण बनाएं

.

विशेषता समीकरण
जड़ें हैं:
(केस Ia)। सजातीय समीकरण का आंशिक समाधान:

तदनुसार, आम तौर पर सजातीय
.

अब मूल समीकरण के दाहिने पक्ष पर विचार करें:
- दूसरी डिग्री का बहुपद (केस II1)। इसके स्वरूप के आधार पर, हम अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान तैयार करेंगे:
.

कारक एक्स इस तथ्य के आधार पर प्रकट होता है एक्स=0 विशेषता समीकरण का मूल है. खोज
और जो हमने पाया उसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

समान डिग्री पर गुणांकों की तुलना करने पर, हमें सिस्टम प्राप्त होता है

,

किस से ए=1/3, बी=1, सी=1/2 . इन मानों को विशेष समाधान के सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करने पर, हम प्राप्त करते हैं

.

यह मानते हुए कि एक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान एक सामान्य सजातीय और एक विशेष अमानवीय का योग है, हमारे पास है

.

समस्या 13. अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें।

समाधान। आइए हम संगत सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजें। विशेषता समीकरण
जड़ें हैं: (केस Ia)। इसीलिए
.

दाईं ओर के रूप के आधार पर, हम अमानवीय समीकरण के एक विशेष समाधान का एक सामान्य रूप तैयार करेंगे, यह ध्यान में रखते हुए कि =2 विशेषता समीकरण की जड़ है (केस II2b):
.

पिछले 3 बार अवकलन करने और मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं ए=1, बी=0 . तब मूल समीकरण का एक विशेष समाधान फलन होगा
.

इसलिए, मूल अंतर समीकरण का सामान्य समाधान

समस्या 14. अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें।

समाधान। आइए हम संगत सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान खोजें:

.

विशेषता समीकरण
दोहरी जड़ है क=2 (मैं)। इसीलिए
.

दायीं ओर के रूप के आधार पर, मूल समीकरण का एक विशेष समाधान सामान्य रूप से तैयार करना आसान है: क्योंकि 2-6 मैंविशेषता समीकरण (II3a) का मूल नहीं है। इसी फंक्शन के लिए वे तलाश कर रहे हैं य / और य // और इसे हमें दिए गए समीकरण में प्रतिस्थापित करें। इस प्रकार, यह निर्धारित है कि बी=0 और ए=-1/36 .

तब,
हमारे अमानवीय समीकरण का एक विशेष समाधान है, और वांछित समाधान का रूप है:

.

समस्या 15. अवकल समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजें।

समाधान। क्योंकि विशेषता समीकरण की जड़ें, फिर सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है। हम प्रपत्र में अमानवीय समीकरण के लिए एक विशेष समाधान की तलाश करेंगे

इस तथ्य को ध्यान में रखते हुए, फ़ंक्शन को दाईं ओर के रूप के अनुसार बनाया गया है एक्स=0 विशेषता समीकरण की जड़ है, और 10 मैं- नहीं।

इस फ़ंक्शन को मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं

फिर, अवकल समीकरण का सामान्य समाधान एक फलन होगा।

यह आलेख निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों को हल करने के मुद्दे को संबोधित करता है। दी गई समस्याओं के उदाहरणों के साथ सिद्धांत पर चर्चा की जाएगी। अस्पष्ट शब्दों को समझने के लिए, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की मूल परिभाषाओं और अवधारणाओं के विषय को संदर्भित करना आवश्यक है।

आइए फॉर्म y "" + p · y " + q · y = f (x) के निरंतर गुणांक के साथ दूसरे क्रम के एक रैखिक अंतर समीकरण (LDE) पर विचार करें, जहां p और q मनमानी संख्याएं हैं, और मौजूदा फ़ंक्शन f (x) एकीकरण अंतराल x पर निरंतर है।

आइए हम एलएनडीई के सामान्य समाधान के लिए प्रमेय के निर्माण की ओर आगे बढ़ें।

Yandex.RTB R-A-339285-1

एलडीएनयू के लिए सामान्य समाधान प्रमेय

y (n) + f n - 1 (x) · y (n - 1) + के रूप के एक अमानवीय अंतर समीकरण का एक सामान्य समाधान, अंतराल x पर स्थित है। . . + f 0 (x) · y = f (x) x अंतराल पर निरंतर एकीकरण गुणांक के साथ f 0 (x) , f 1 (x) , . . . , f n - 1 (x) और एक सतत फलन f (x) सामान्य समाधान y 0 के योग के बराबर है, जो LOD और कुछ विशेष समाधान y ~ से मेल खाता है, जहां मूल अमानवीय समीकरण y = y 0 + है य~.

इससे पता चलता है कि ऐसे दूसरे क्रम के समीकरण के समाधान का रूप y = y 0 + y ~ है। Y 0 को खोजने के लिए एल्गोरिदम पर निरंतर गुणांक वाले रैखिक सजातीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों पर लेख में चर्चा की गई है। जिसके बाद हमें y~ की परिभाषा पर आगे बढ़ना चाहिए।

एलपीडीई के लिए किसी विशेष समाधान का चुनाव समीकरण के दाईं ओर स्थित उपलब्ध फ़ंक्शन f (x) के प्रकार पर निर्भर करता है। ऐसा करने के लिए, निरंतर गुणांक वाले रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के समाधानों पर अलग से विचार करना आवश्यक है।

जब f (x) को nवीं डिग्री f (x) = P n (x) का बहुपद माना जाता है, तो यह इस प्रकार है कि LPDE का एक विशेष समाधान फॉर्म y ~ = Q n (x) के सूत्र का उपयोग करके पाया जाता है ) x γ, जहां Q n ( x) घात n का एक बहुपद है, r विशेषता समीकरण के शून्य मूलों की संख्या है। मान y ~ एक विशेष समाधान y ~ "" + p y ~ " + q y ~ = f (x) है, फिर उपलब्ध गुणांक जो बहुपद द्वारा परिभाषित होते हैं
Q n (x), हम समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) से अनिश्चित गुणांक की विधि का उपयोग करके पाते हैं।

उदाहरण 1

कॉची के प्रमेय y "" - 2 y " = x 2 + 1 , y (0) = 2 , y " (0) = 1 4 का उपयोग करके गणना करें।

समाधान

दूसरे शब्दों में, स्थिर गुणांक y "" - 2 y " = x 2 + 1 के साथ दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान पर आगे बढ़ना आवश्यक है, जो दी गई शर्तों y (0) को पूरा करेगा। = 2, वाई " (0) = 1 4 .

एक रैखिक अमानवीय समीकरण का सामान्य समाधान सामान्य समाधान का योग है, जो समीकरण y 0 या अमानवीय समीकरण y ~ के एक विशेष समाधान से मेल खाता है, यानी, y = y 0 + y ~।

पहले, हम एलएनडीयू के लिए एक सामान्य समाधान ढूंढेंगे, और फिर एक विशेष समाधान ढूंढेंगे।

आइए y 0 खोजने की ओर आगे बढ़ें। अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से आपको मूल खोजने में मदद मिलेगी। हमें वह मिल गया

के 2 - 2 के = 0 के (के - 2) = 0 के 1 = 0 , के 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें अलग और वास्तविक हैं। तो चलिए लिखते हैं

वाई 0 = सी 1 ई 0 एक्स + सी 2 ई 2 एक्स = सी 1 + सी 2 ई 2 एक्स।

आइए आपको खोजें~। यह देखा जा सकता है कि दिए गए समीकरण का दाहिना पक्ष दूसरी डिग्री का बहुपद है, तो जड़ों में से एक शून्य के बराबर है। इससे हमें पता चलता है कि y ~ के लिए एक विशेष समाधान होगा

y ~ = Q 2 (x) x γ = (A x 2 + B x + C) x = A x 3 + B x 2 + C x, जहां A, B, C के मान अनिर्धारित गुणांक लेते हैं।

आइए उन्हें y ~ "" - 2 y ~ " = x 2 + 1 के रूप की समानता से खोजें।

तब हमें वह मिलता है:

वाई ~ "" - 2 वाई ~ " = एक्स 2 + 1 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) "" - 2 (ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स) " = एक्स 2 + 1 3 ए x 2 + 2 B x + C "- 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 6 A x + 2 B - 6 A x 2 - 4 B x - 2 C = x 2 + 1 - 6 ए एक्स 2 + एक्स (6 ए - 4 बी) + 2 बी - 2 सी = एक्स 2 + 1

गुणांकों को x के समान घातांकों के साथ बराबर करने पर, हमें रैखिक अभिव्यक्तियों की एक प्रणाली प्राप्त होती है - 6 A = 1 6 A - 4 B = 0 2 B - 2 C = 1। किसी भी विधि से हल करते समय, हम गुणांक ढूंढेंगे और लिखेंगे: ए = - 1 6, बी = - 1 4, सी = - 3 4 और वाई ~ = ए एक्स 3 + बी एक्स 2 + सी एक्स = - 1 6 x 3 - 1 4 x 2 - 3 4 x .

इस प्रविष्टि को स्थिर गुणांक वाले मूल रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान कहा जाता है।

एक विशेष समाधान खोजने के लिए जो शर्तों y (0) = 2, y "(0) = 1 4 को संतुष्ट करता है, मान निर्धारित करना आवश्यक है सी 1और सी 2, फॉर्म y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x की समानता के आधार पर।

हमें वह मिलता है:

y (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x x = 0 = C 1 + C 2 y " (0) = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x "x = 0 = = 2 C 2 e 2 x - 1 2 x 2 + 1 2 x + 3 4 x = 0 = 2 C 2 - 3 4

हम फॉर्म सी 1 + सी 2 = 2 2 सी 2 - 3 4 = 1 4 के परिणामी समीकरण प्रणाली के साथ काम करते हैं, जहां सी 1 = 3 2, सी 2 = 1 2।

कॉची के प्रमेय को लागू करने पर, हमारे पास वह है

y = C 1 + C 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x = = 3 2 + 1 2 e 2 x - 1 6 x 3 + 1 4 x 2 + 3 4 x

उत्तर: 3 2 + 1 2 ई 2 एक्स - 1 6 एक्स 3 + 1 4 एक्स 2 + 3 4 एक्स।

जब फ़ंक्शन f (x) को डिग्री n और एक घातांक f (x) = P n (x) · e a x के साथ बहुपद के उत्पाद के रूप में दर्शाया जाता है, तो हम पाते हैं कि दूसरे क्रम के LPDE का एक विशेष समाधान एक होगा फॉर्म y ~ = e a x · Q n ( x) · x γ का समीकरण, जहां Q n (x) nवीं डिग्री का एक बहुपद है, और r α के बराबर विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या है।

Q n (x) से संबंधित गुणांक समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) द्वारा पाए जाते हैं।

उदाहरण 2

y "" - 2 y " = (x 2 + 1) · e x रूप के अवकल समीकरण का सामान्य हल खोजें।

समाधान

सामान्य समीकरण y = y 0 + y ~ है। संकेतित समीकरण LOD y "" - 2 y " = 0 से मेल खाता है। पिछले उदाहरण से यह देखा जा सकता है कि इसकी जड़ें बराबर हैं के 1 = 0और विशेषता समीकरण द्वारा k 2 = 2 और y 0 = C 1 + C 2 e 2 x।

यह देखा जा सकता है कि समीकरण का दाहिना पक्ष x 2 + 1 · e x है। यहां से एलपीडीई को y ~ = e a x · Q n (x) · x γ के माध्यम से पाया जाता है, जहां Q n (x) दूसरी डिग्री का बहुपद है, जहां α = 1 और r = 0, क्योंकि विशेषता समीकरण नहीं है एक जड़ 1 के बराबर है. यहीं से हमें वह मिलता है

y ~ = e a x · Q n (x) · x γ = e x · A x 2 + B x + C · x 0 = e x · A x 2 + B x + C।

ए, बी, सी अज्ञात गुणांक हैं जिन्हें समानता y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) · e x द्वारा पाया जा सकता है।

मिला क्या

y ~ " = e x · A x 2 + B x + C " = e x · A x 2 + B x + C + e x · 2 A x + B = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C y ~ " " = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C " = = e x · A x 2 + x 2 A + B + B + C + e x · 2 A x + 2 A + B = = ई एक्स ए एक्स 2 + एक्स 4 ए + बी + 2 ए + 2 बी + सी

y ~ "" - 2 y ~ " = (x 2 + 1) e x ⇔ e x A x 2 + x 4 A + B + 2 A + 2 B + C - - 2 e x A x 2 + x 2 A + B + बी + सी = एक्स 2 + 1 · ई एक्स ⇔ ई एक्स · - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = (एक्स 2 + 1) · ई एक्स ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = एक्स 2 + 1 ⇔ - ए एक्स 2 - बी एक्स + 2 ए - सी = 1 एक्स 2 + 0 एक्स + 1

हम संकेतकों को समान गुणांकों के साथ जोड़ते हैं और रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करते हैं। यहां से हम A, B, C पाते हैं:

ए = 1 - बी = 0 2 ए - सी = 1 ⇔ ए = - 1 बी = 0 सी = - 3

उत्तर:यह स्पष्ट है कि y ~ = e x · (A x 2 + B x + C) = e x · - x 2 + 0 · x - 3 = - e x · x 2 + 3 LNDDE का एक विशेष समाधान है, और y = y 0 + y = C 1 e 2 x - e x · x 2 + 3 - दूसरे क्रम के अमानवीय अंतर समीकरण के लिए एक सामान्य समाधान।

जब फ़ंक्शन को f (x) = A 1 cos (β x) + B 1 syn β x के रूप में लिखा जाता है, और ए 1और पहले मेंसंख्याएँ हैं, तो LPDE के आंशिक समाधान को y ~ = A cos β x + B syn β x · x γ के रूप का एक समीकरण माना जाता है, जहाँ A और B को अनिर्धारित गुणांक माना जाता है, और r की संख्या है विशेषता समीकरण से संबंधित जटिल संयुग्मी जड़ें, ± i β के बराबर। इस मामले में, गुणांक की खोज समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) का उपयोग करके की जाती है।

उदाहरण 3

फॉर्म y "" + 4 y = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के अंतर समीकरण का सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

अभिलक्षणिक समीकरण लिखने से पहले, हम y 0 पाते हैं। तब

के 2 + 4 = 0 के 2 = - 4 के 1 = 2 आई, के 2 = - 2 आई

हमारे पास जटिल संयुग्म जड़ों की एक जोड़ी है। आइए रूपांतरित करें और प्राप्त करें:

वाई 0 = ई 0 (सी 1 कॉस (2 एक्स) + सी 2 सिन (2 एक्स)) = सी 1 कॉस 2 एक्स + सी 2 सिन (2 एक्स)

अभिलक्षणिक समीकरण के मूलों को संयुग्म युग्म ± 2 i माना जाता है, फिर f (x) = cos (2 x) + 3 syn (2 x)। इससे पता चलता है कि y ~ की खोज y ~ = (A cos (β x) + B syn (β x) x γ = (A cos (2 x) + B syn (2 x)) x से की जाएगी। अज्ञात हम y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 syn (2 x) के रूप की समानता से गुणांक A और B की तलाश करेंगे।

आइए परिवर्तन करें:

y ~ " = ((ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स) एक्स) " = = (- 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स) वाई ~ "" = ((- 2 ए पाप (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स)) एक्स + ए कॉस (2 एक्स) + बी पाप (2 एक्स)) " = = (- 4 ए कॉस (2 एक्स) - 4 बी साइन (2 एक्स)) एक्स - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 एक्स) - - 2 ए साइन (2 एक्स) + 2 बी कॉस (2 x) = = (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 B cos (2 x)

तो यह बात साफ़ है

y ~ "" + 4 y ~ = cos (2 x) + 3 पाप (2 x) ⇔ (- 4 A cos (2 x) - 4 B पाप (2 x)) x - 4 A पाप (2 x) + 4 बी कॉस (2 एक्स) + + 4 (ए कॉस (2 एक्स) + बी साइन (2 एक्स)) एक्स = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स) ⇔ - 4 ए साइन (2 एक्स) + 4 बी कॉस (2 एक्स) = कॉस (2 एक्स) + 3 साइन (2 एक्स)

ज्या और कोज्या के गुणांकों को बराबर करना आवश्यक है। हमें फॉर्म की एक प्रणाली मिलती है:

4 ए = 3 4 बी = 1 ⇔ ए = - 3 4 बी = 1 4

यह इस प्रकार है कि y ~ = (A cos (2 x) + B syn (2 x) x = - 3 4 cos (2 x) + 1 4 syn (2 x) x।

उत्तर:स्थिर गुणांक वाले मूल दूसरे क्रम के एलडीडीई के सामान्य समाधान पर विचार किया जाता है

y = y 0 + y ~ = = C 1 cos (2 x) + C 2 पाप (2 x) + - 3 4 cos (2 x) + 1 4 पाप (2 x) x

जब f (x) = e a x · P n (x) पाप (β x) + Q k (x) cos (β x), तो y ~ = e a x · (L m (x) पाप (β x) + N m (x) cos (β x) x γ। हमारे पास है कि r विशेषता समीकरण से संबंधित जड़ों के जटिल संयुग्मित जोड़े की संख्या है, जो α ± i β के बराबर है, जहां P n (x), Q k (x), एल एम (एक्स) और एनएम(एक्स)घात n, k, m, m, के बहुपद हैं एम = एम ए एक्स (एन, के). गुणांक ढूँढना एलएम(एक्स)और एनएम(एक्स)समानता y ~ "" + p · y ~ " + q · y ~ = f (x) के आधार पर बनाया गया है।

उदाहरण 4

सामान्य समाधान खोजें y "" + 3 y " + 2 y = - e 3 x · ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ।

समाधान

स्थिति के अनुसार यह स्पष्ट है कि

α = 3, β = 5, पी एन (एक्स) = - 38 एक्स - 45, क्यू के (एक्स) = - 8 एक्स + 5, एन = 1, के = 1

तब m = m a x (n, k) = 1. हम पहले फॉर्म का एक विशिष्ट समीकरण लिखकर y 0 पाते हैं:

के 2 - 3 के + 2 = 0 डी = 3 2 - 4 1 2 = 1 के 1 = 3 - 1 2 = 1, के 2 = 3 + 1 2 = 2

हमने पाया कि जड़ें वास्तविक और विशिष्ट हैं। अत: y 0 = C 1 e x + C 2 e 2 x। इसके बाद, फॉर्म के अमानवीय समीकरण y ~ के आधार पर एक सामान्य समाधान की तलाश करना आवश्यक है

y ~ = e α x (L m (x) syn (β x) + N m (x) cos (β x) x γ = = e 3 x ((A x + B) cos (5 x) + (C एक्स + डी) पाप (5 एक्स)) एक्स 0 = = ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) क्योंकि (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 एक्स))

यह ज्ञात है कि ए, बी, सी गुणांक हैं, आर = 0, क्योंकि α ± i β = 3 ± 5 · i के साथ विशेषता समीकरण से संबंधित संयुग्म जड़ों की कोई जोड़ी नहीं है। हम परिणामी समानता से ये गुणांक पाते हैं:

y ~ "" - 3 y ~ " + 2 y ~ = - e 3 x ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x)) ⇔ (e 3 x (( ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) साइन (5 एक्स))) "" - - 3 (ई 3 एक्स ((ए एक्स + बी) कॉस (5 एक्स) + (सी एक्स + डी) पाप (5 x))) = - ई 3 एक्स ((38 x + 45) पाप (5 x) + (8 x - 5) cos (5 x))

व्युत्पन्न और समान पद खोजने से पता चलता है

ई 3 एक्स ((15 ए + 23 सी) एक्स पाप (5 एक्स) + + (10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी) पाप (5 एक्स) + + (23 ए - 15 सी) · एक्स · कॉस (5 एक्स) + (- 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी) · कॉस (5 एक्स)) = = - ई 3 एक्स · (38 · एक्स · पाप (5 एक्स) + 45 · पाप (5 एक्स) ) + + 8 x कॉस (5 x) - 5 कॉस (5 x))

गुणांकों को बराबर करने के बाद, हमें प्रपत्र की एक प्रणाली प्राप्त होती है

15 ए + 23 सी = 38 10 ए + 15 बी - 3 सी + 23 डी = 45 23 ए - 15 सी = 8 - 3 ए + 23 बी - 10 सी - 15 डी = - 5 ⇔ ए = 1 बी = 1 सी = 1 डी = 1

हर चीज़ से यही पता चलता है

y ~ = e 3 x · ((A x + B) cos (5 x) + (C x + D) पाप (5 x)) = = e 3 x · ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

उत्तर:अब हमने दिए गए रैखिक समीकरण का एक सामान्य समाधान प्राप्त कर लिया है:

y = y 0 + y ~ = = C 1 e x + C 2 e 2 x + e 3 x ((x + 1) cos (5 x) + (x + 1) पाप (5 x))

एलडीएनयू को हल करने के लिए एल्गोरिदम

समाधान के लिए किसी अन्य प्रकार के फ़ंक्शन f (x) के लिए समाधान एल्गोरिदम के अनुपालन की आवश्यकता होती है:

• संबंधित रैखिक सजातीय समीकरण का एक सामान्य समाधान खोजना, जहां y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, जहां य 1और य 2 LODE के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं, सी 1और सी 2मनमाना स्थिरांक माने जाते हैं;
• LNDE y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2 के सामान्य समाधान के रूप में अपनाना;
• C 1 " (x) + y 1 (x) + C 2 " (x) · y 2 (x) = 0 C 1 " (x) + y 1 " ( x) + C 2 " (x) · y 2 " (x) = f (x) , और फ़ंक्शन ढूँढना सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स) एकीकरण के माध्यम से।

उदाहरण 5

y "" + 36 y = 24 syn (6 x) - 12 cos (6 x) + 36 e 6 x के लिए सामान्य समाधान खोजें।

समाधान

हम विशेषता समीकरण लिखने के लिए आगे बढ़ते हैं, पहले y 0, y "" + 36 y = 0 लिख चुके हैं। आइए लिखें और हल करें:

k 2 + 36 = 0 k 1 = 6 i , k 2 = - 6 i ⇒ y 0 = C 1 cos (6 x) + C 2 syn (6 x) ⇒ y 1 (x) = cos (6 x) , y 2 (x) = पाप (6 x)

हमारे पास है कि दिए गए समीकरण का सामान्य समाधान y = C 1 (x) · cos (6 x) + C 2 (x) · syn (6 x) के रूप में लिखा जाएगा। व्युत्पन्न कार्यों की परिभाषा पर आगे बढ़ना आवश्यक है सी 1 (एक्स)और C2(x)समीकरणों वाली एक प्रणाली के अनुसार:

C 1 " (x) · cos (6 x) + C 2 " (x) · पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) · (cos (6 x)) " + C 2 " (x) · (sin (6 x)) " = 0 ⇔ C 1 " (x) cos (6 x) + C 2 " (x) पाप (6 x) = 0 C 1 " (x) (- 6 पाप (6 x) + सी 2 "(एक्स) (6 कॉस (6 एक्स)) = = 24 साइन (6 एक्स) - 12 कॉस (6 एक्स) + 36 ई 6 एक्स

के संबंध में निर्णय लेने की आवश्यकता है सी 1" (एक्स)और सी 2" (एक्स)किसी भी विधि का उपयोग करना. फिर हम लिखते हैं:

सी 1 " (एक्स) = - 4 पाप 2 (6 एक्स) + 2 पाप (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 6 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) सी 2 " (एक्स) = 4 पाप (6 एक्स) कॉस (6 x) - 2 कॉस 2 (6 x) + 6 e 6 x कॉस (6 x)

प्रत्येक समीकरण को एकीकृत किया जाना चाहिए। फिर हम परिणामी समीकरण लिखते हैं:

सी 1 (एक्स) = 1 3 सिन (6 एक्स) कॉस (6 एक्स) - 2 एक्स - 1 6 कॉस 2 (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स कॉस (6 एक्स) - 1 2 ई 6 एक्स सिन ( 6 x) + C 3 C 2 (x) = - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 ई 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि सामान्य समाधान का स्वरूप इस प्रकार होगा:

y = 1 3 syn (6 x) cos (6 x) - 2 x - 1 6 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) - 1 2 e 6 x पाप (6 x) + C 3 cos (6 x) + + - 1 6 syn (6 x) cos (6 x) - x - 1 3 cos 2 (6 x) + + 1 2 e 6 x cos (6 x) + 1 2 e 6 एक्स पाप (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स) = = - 2 एक्स कॉस (6 एक्स) - एक्स साइन (6 एक्स) - 1 6 कॉस (6 एक्स) + + 1 2 ई 6 एक्स + सी 3 कॉस (6 एक्स) + सी 4 पाप (6 एक्स)

उत्तर: y = y 0 + y ~ = - 2 x cos (6 x) - x पाप (6 x) - 1 6 cos (6 x) + + 1 2 e 6 x + C 3 cos (6 x) + C 4 पाप (6 एक्स)

यदि आपको पाठ में कोई त्रुटि दिखाई देती है, तो कृपया उसे हाइलाइट करें और Ctrl+Enter दबाएँ

कहाँ पीऔर क्यू- मनमानी वास्तविक संख्याएं और फ़ंक्शन हैं एफ(एक्स)- एकीकरण अंतराल पर निरंतर एक्स.

आइए हम एक प्रमेय व्यक्त करें जो उस रूप को दर्शाता है जिसमें इसे खोजना आवश्यक है सामान्य समाधान एक रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण है।

प्रमेय.

अंतराल पर सामान्य समाधान एक्सरैखिक अमानवीय अंतर समीकरण: एकीकरण अंतराल पर निरंतर वाले के साथ एक्सगुणांक और निरंतर कार्य एफ(एक्स)सामान्य समाधान के योग के बराबर य 0उपयुक्त रैखिक अमानवीय अंतर समीकरणऔर मूल अमानवीय समीकरण का कोई विशेष समाधान, यानी।

तो, सामान्य समाधान एलएनडीयूस्थिर गुणांकों वाला दूसरा क्रम स्थिर गुणांकों और एक विशेष समाधान के साथ दूसरे क्रम के संबंधित रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान का योग है:।

गणना य 0लेख में स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक सजातीय अंतर समीकरणों का वर्णन किया गया है, अब हम खोजने की विधि पर विचार करेंगे।

वहाँ कुछ हैं स्थिर गुणांक वाले दूसरे क्रम के रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के एक विशेष समाधान को निर्धारित करने के तरीके. इन विधियों को फ़ंक्शन के प्रकार को ध्यान में रखते हुए परिभाषित किया गया है एफ(एक्स), जो समीकरण के दाईं ओर है। आइए उन्हें नाम दें और बाद के लेखों में हम निरंतर गुणांक वाले प्रत्येक दूसरे क्रम के एलडीडीई के समाधान पर विचार करेंगे:

2. यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)डिग्री के बहुपद के गुणनफल द्वारा दर्शाया जाता है एनऔर प्रदर्शक , जिसका अर्थ है कि एक रैखिक अमानवीय दूसरे क्रम के अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान इस प्रकार पाया जाता है ,

कहाँ Qn(x)एक बहुपद है एन-वीं डिग्री,

आर- विशेषता समीकरण की जड़ों की संख्या जो बराबर हो।

बहुपद गुणांक Qn(x)समानता से निर्धारित किया जा सकता है।

3. यदि फ़ंक्शन एफ(एक्स)इस तरह दिखता है: कहाँ ए 1और पहले मेंसंख्याएँ बन जाती हैं, जिसका अर्थ है कि एक रैखिक अनिश्चित अंतर समीकरण का एक विशेष समाधान इस प्रकार दर्शाया जाता है,

कहाँ एऔर मेंअनिर्धारित गुणांक हैं,

आर- विशेषता समीकरण की जड़ों के जटिल संयुग्मी जोड़े की संख्या है जो के बराबर हैं। बहुपद गुणांक एऔर मेंसमानता के आधार पर निर्धारित किये जाते हैं।

4. यदि , तो ,

कहाँ आरविशेषता समीकरण की जड़ों के जटिल संयुग्मी जोड़े की संख्या है, जो बराबर हैं,

पीएन(एक्स),क्यूके(x), एलएम(एक्स)और एनएम(एक्स)डिग्री के बहुपद हैं एन, क, एमऔर एमक्रमश, एम = अधिकतम(एन, के).

बहुपदों के गुणांक ज्ञात कीजिए एलएम(एक्स)और एनएम(एक्स)आप समानता का उपयोग कर सकते हैं.

5. अन्य सभी प्रकार के कार्यों के लिए एफ(एक्स)निम्नलिखित प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है:

• पहला कदम आवश्यक रैखिक सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान को निर्धारित करना है y 0 = C 1 ⋅ y 1 + C 2 ⋅ y 2, कहाँ य 1और य 2एक रैखिक सजातीय अंतर समीकरण के रैखिक रूप से स्वतंत्र आंशिक समाधान हैं, और सी 1और सी 2मनमाना स्थिरांक हैं;
• इसके बाद हम मनमाना स्थिरांक बदलते हैं, यानी, मूल रैखिक अमानवीय अंतर समीकरण के सामान्य समाधान के रूप में हम स्वीकार करते हैं y = C 1 (x) ⋅ y 1 + C 2 (x) ⋅ y 2;
• और अंतिम चरण फ़ंक्शंस के व्युत्पन्न निर्धारित करना है सी 1 (एक्स)और सी 2 (एक्स)समीकरणों की प्रणाली से:

,

और कार्य सी 1 (एक्स)और C2(x)आगे एकीकरण पर निर्णय लिया गया।