Nie odmocnina. Ako nájsť koreň čísla

Koreňové vzorce. vlastnosti odmocnin.

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

V predchádzajúcej lekcii sme zistili, čo je druhá odmocnina. Je čas zistiť, čo sú vzorce pre korene, čo sú koreňové vlastnosti a čo sa s tým všetkým dá robiť.

Koreňové vzorce, koreňové vlastnosti a pravidlá pre akcie s koreňmi- je to v podstate to isté. Vzorce pre odmocniny prekvapivo málo. Čo, samozrejme, poteší! Skôr sa dá napísať množstvo všelijakých vzorcov, no na praktickú a sebavedomú prácu s koreňmi stačia len tri. Všetko ostatné plynie z týchto troch. Hoci mnohí blúdia v troch vzorcoch koreňov, áno ...

Začnime tým najjednoduchším. Tu je:

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

Čo je druhá odmocnina?

Pozor!
Existujú ďalšie
materiál v osobitnom oddiele 555.
Pre tých, ktorí silne „nie veľmi...“
A pre tých, ktorí „veľmi...“)

Tento koncept je veľmi jednoduchý. Prirodzené, povedal by som. Matematici sa snažia nájsť reakciu na každú akciu. Existuje sčítanie a odčítanie. Existuje násobenie a delenie. Existuje kvadratúra ... Takže existuje tiež extrahovanie druhej odmocniny! To je všetko. Táto akcia ( brať druhú odmocninu) je v matematike označená touto ikonou:

Samotná ikona je tzv krásne slovo "radikálny".

Ako extrahovať koreň? Je lepšie zvážiť príklady.

Koľko bude Odmocnina z 9? A aké druhé číslo nám dá 9? 3 na druhú nám dáva 9! tieto:

Aká je druhá odmocnina nuly? Žiaden problém! Aké číslo dáva druhá mocnina nule? Áno, on sám dáva nulu! znamená:

Chytený čo je druhá odmocnina? Potom zvážime príklady:

Odpovede (v neporiadku): 6; jeden; 4; deväť; päť.

Rozhodnuté? Naozaj, je to oveľa jednoduchšie!

Ale... Čo robí človek, keď vidí nejakú úlohu s koreňmi?

Človek začne túžiť ... Neverí v jednoduchosť a ľahkosť koreňov. Aj keď sa zdá, že vie čo je druhá odmocnina...

Je to preto, že človek pri štúdiu koreňov ignoroval niekoľko dôležitých bodov. Potom sa tieto výstrelky brutálne pomstia na testoch a skúškach ...

Bod jedna. Korene treba rozpoznať zrakom!

Aká je druhá odmocnina zo 49? Sedem? Správny! Ako si vedel, že ich je sedem? Druhá mocnina sedem a 49? Správny! Vezmite prosím na vedomie, že extrahovať koreň zo 49 sme museli urobiť opačnú operáciu - štvorec 7! A uistite sa, že nezmeškáme. Alebo by mohli chýbať...

V tom spočíva obtiažnosť extrakcia koreňov. Kvadratúra akékoľvek číslo je možné bez problémov. Vynásobte číslo samo o sebe v stĺpci - a to je všetko. Ale pre extrakcia koreňov taká jednoduchá a bezproblémová technológia neexistuje. Účet pre zdvihnúť odpovedzte a skontrolujte, či nie je zasiahnutá druhou mocninou.

Tento zložitý tvorivý proces – výber odpovede – sa výrazne zjednoduší, ak vy zapamätaj sištvorce populárnych čísel. Ako násobilka. Ak, povedzme, potrebujete vynásobiť 4 x 6 - nesčítate štyri 6-krát, však? Okamžite sa objaví odpoveď 24. Aj keď, nie každý ju má, áno ...

Pre slobodnú a úspešnú prácu s odmocninami stačí poznať druhé mocniny čísel od 1 do 20. Navyše, tam A späť. Tie. mali by ste byť schopní ľahko pomenovať povedzme 11 na druhú a druhú odmocninu 121. Na dosiahnutie tohto zapamätania existujú dva spôsoby. Prvým je naučiť sa tabuľku štvorcov. Veľmi to pomôže s príkladmi. Druhým je vyriešiť viac príkladov. Je skvelé zapamätať si tabuľku štvorcov.

A žiadne kalkulačky! Len na overenie. V opačnom prípade počas skúšky nemilosrdne spomalíte ...

takze čo je druhá odmocnina A ako extrahovať korene- Myslím, že je to pochopiteľné. Teraz poďme zistiť, Z ČOHO ich môžete extrahovať.

Bod dva. Root, nepoznám ťa!

Z akých čísel môžete odvodiť odmocniny? Áno, takmer akýkoľvek. Je ľahšie pochopiť, čo je zakázané extrahovať ich.

Skúsme vypočítať tento koreň:

Aby ste to dosiahli, musíte vybrať číslo, ktorého odmocnenie nám dá -4. Vyberáme.

Čo nie je vybrané? 2 2 dáva +4. (-2) 2 dáva opäť +4! To je všetko... Neexistujú žiadne čísla, ktoré nám po odmocnení dajú záporné číslo! Aj keď čísla poznám. Ale to ti nepoviem.) Choďte na vysokú školu a zistite to sami.

Rovnaký príbeh bude s ľubovoľným záporným číslom. Preto záver:

Výraz, v ktorom je záporné číslo pod odmocninou - nedáva zmysel! Toto je zakázaná operácia. Rovnako zakázané ako delenie nulou. Majte túto skutočnosť na pamäti! Alebo inak povedané:

Druhé odmocniny z záporné čísla nie je možné extrahovať!

Ale zo všetkého ostatného - môžete. Napríklad je možné vypočítať

Na prvý pohľad je to veľmi ťažké. Zbierajte zlomky, ale umocnite ... Nebojte sa. Keď sa budeme zaoberať vlastnosťami koreňov, takéto príklady sa zredukujú na rovnakú tabuľku štvorcov. Život bude jednoduchší!

Dobre zlomky. Stále sa však stretávame s výrazmi ako:

Je to v poriadku. Všetky rovnaké. Druhá odmocnina z dvoch je číslo, ktoré nám po odmocnení dá dvojku. Len číslo je úplne nepárne ... Tu je:

Zaujímavé je, že tento zlomok nikdy nekončí... Takéto čísla sa nazývajú iracionálne. V odmocninách je to najbežnejšia vec. Mimochodom, preto sa nazývajú výrazy s koreňmi iracionálny. Je jasné, že neustále písať taký nekonečný zlomok je nepohodlné. Preto to namiesto nekonečného zlomku nechajú takto:

Ak pri riešení príkladu dostanete niečo, čo nie je extrahovateľné, ako napríklad:

potom to necháme tak. Toto bude odpoveď.

Musíte jasne pochopiť, čo je pod ikonami

Samozrejme, ak sa vezme koreň čísla hladká, musíte tak urobiť. Odpoveď na úlohu vo forme napr

celkom úplná odpoveď.

A samozrejme musíte poznať približné hodnoty z pamäte:

Tieto znalosti veľmi pomáhajú pri hodnotení situácie v zložitých úlohách.

Bod tri. Najprefíkanejší.

Hlavný zmätok v práci s korienkami prináša práve tento výstrelok. Je to on, kto dáva dôveru vlastných síl... Poďme sa s týmto výstrelkom poriadne vysporiadať!

Na začiatok opäť extrahujeme druhú odmocninu ich štyroch. Čože, už som ťa dostal s týmto koreňom?) Nič, teraz to bude zaujímavé!

Aké číslo dá štvorec 4? No, dva, dva - počujem nespokojné odpovede ...

Správny. Dva. Ale tiež mínus dva dá 4 na druhú ... Medzitým odpoveď

správne a odpoveď

najväčšia chyba. Páči sa ti to.

Tak aká je dohoda?

Skutočne, (-2) 2 = 4. A podľa definície druhej odmocniny štyroch mínus dva celkom vhodné... Toto je tiež druhá odmocnina zo štyroch.

Ale! V školskom kurze matematiky je zvykom brať do úvahy druhé odmocniny iba nezáporné čísla! Teda nula a všetko pozitívne. Bol vytvorený aj špeciálny termín: z čísla ale- toto nezápornéčíslo, ktorého štvorec je ale. Negatívne výsledky pri extrakcii aritmetickej druhej odmocniny sa jednoducho zahodia. V škole všetky odmocniny - aritmetika. Aj keď to nie je konkrétne uvedené.

Dobre, to je pochopiteľné. Ešte lepšie je nemotať sa okolo negatívnych výsledkov... To ešte nie je zmätok.

Zmätok začína pri riešení kvadratických rovníc. Napríklad musíte vyriešiť nasledujúcu rovnicu.

Rovnica je jednoduchá, napíšeme odpoveď (ako sme sa naučili):

Táto odpoveď (mimochodom celkom správna) je len skrátený zápis dva odpovede:

Stop stop! O niečo vyššie som napísal, že druhá odmocnina je číslo vždy nie negatívne! A tu je jedna z odpovedí - negatívne! Porucha. Toto je prvý (ale nie posledný) problém, ktorý spôsobuje nedôveru ku koreňom ... Poďme tento problém vyriešiť. Zapíšme si odpovede (čisto pre pochopenie!) takto:

Zátvorky nemenia podstatu odpovede. Len som to oddelil zátvorkami znamenia od koreň. Teraz je jasne vidieť, že samotný koreň (v zátvorkách) je stále nezáporné číslo! A znamenia sú výsledok riešenia rovnice. Pri riešení akejkoľvek rovnice totiž musíme písať všetky x, ktoré po dosadení do pôvodnej rovnice poskytne správny výsledok. Odmocnina z piatich (kladná!) je vhodná pre našu rovnicu s plusom aj mínusom.

Páči sa ti to. Ak ty stačí vziať druhú odmocninu z čohokoľvek ty vždy dostať jeden nezáporný výsledok. Napríklad:

Pretože to - aritmetická druhá odmocnina.

Ale ak vyriešite nejakú kvadratickú rovnicu, ako napríklad:

potom vždy ukázalo sa dva odpoveď (s plusom a mínusom):

Pretože je to riešenie rovnice.

Nádej, čo je druhá odmocnina s bodmi si to vystihol správne. Teraz zostáva zistiť, čo sa dá robiť s koreňmi, aké sú ich vlastnosti. A aké sú módne vlny a podvodné krabice ... prepáčte, kamene!)

To všetko - v ďalších lekciách.

Ak sa vám táto stránka páči...

Mimochodom, mám pre vás niekoľko ďalších zaujímavých stránok.)

Môžete si precvičiť riešenie príkladov a zistiť svoju úroveň. Testovanie s okamžitým overením. Učenie - so záujmom!)

môžete sa zoznámiť s funkciami a deriváciami.

V matematike sa otázka, ako zakoreniť, považuje za pomerne ľahkú. Ak odmocníme čísla z prirodzeného radu: 1, 2, 3, 4, 5 ... n, dostaneme nasledujúci rad štvorcov: 1, 4, 9, 16 ... n 2. Séria štvorcov je nekonečná a ak sa na ňu pozriete pozorne, uvidíte, že v nej nie je príliš veľa celých čísel. Prečo je to tak, bude vysvetlené o niečo neskôr.

Koreň čísla: pravidlá výpočtu a príklady

Číslo 2 sme teda odmocnili, to znamená, že sme ho vynásobili samo od seba a dostali sme 4. Ako však odmocniť číslo 4? Povedzme hneď, že korene môžu byť štvorcové, kubické a ľubovoľný stupeň do nekonečna.

Stupeň odmocniny je vždy prirodzené číslo, to znamená, že nie je možné vyriešiť takúto rovnicu: odmocnina k mocnine 3,6 z n.

Odmocnina

Vráťme sa k otázke, ako vytiahnuť druhú odmocninu zo 4. Keďže sme odmocnili číslo 2, vytiahneme aj druhú odmocninu. Aby ste správne vybrali odmocninu zo 4, stačí vybrať správne číslo, ktoré po odmocnení dá číslo 4. A toto je, samozrejme, 2. Pozrite si príklad:

• 2 2 =4
• Odmocnina zo 4 = 2

Tento príklad je celkom jednoduchý. Skúsme extrahovať druhú odmocninu z 64. Aké číslo, keď sa vynásobí samo sebou, dáva 64? Je jasné, že je 8.

• 8 2 =64
• Odmocnina z 64=8

koreň kocky

Ako bolo uvedené vyššie, korene nie sú iba štvorcové, na príklade sa pokúsime jasnejšie vysvetliť, ako extrahovať odmocninu kocky alebo odmocninu tretieho stupňa. Princíp extrakcie odmocniny je rovnaký ako pri druhej odmocnine, jediný rozdiel je v tom, že požadované číslo sa pôvodne vynásobilo nie raz, ale dvakrát. Povedzme teda, že si vezmeme nasledujúci príklad:

• 3x3x3=27
• Prirodzene, odmocnina čísla 27 bude tri:
• Koreň 3 z 27 = 3

Predpokladajme, že potrebujete nájsť odmocninu čísla 64. Na vyriešenie tejto rovnice stačí nájsť číslo, ktoré po umocnení na tretiu mocninu dáva 64.

• 4 3 =64
• Koreň 3 zo 64 = 4

Extrahujte koreň čísla na kalkulačke

Najlepšie je, samozrejme, naučiť sa extrahovať štvorce, kocku a iné mocniny praxou, riešením mnohých príkladov a zapamätaním si tabuľky štvorcov a kociek malých čísel. V budúcnosti to výrazne uľahčí a skráti čas na riešenie rovníc. Aj keď je potrebné poznamenať, že niekedy je potrebné extrahovať odmocninu takého veľkého čísla, že nájdenie správneho druhého čísla bude stáť veľa práce, ak vôbec. Pri extrakcii druhej odmocniny príde na pomoc obyčajná kalkulačka. Ako sa zakoreniť v kalkulačke? Je veľmi jednoduché zadať číslo, z ktorého chcete nájsť výsledok. Teraz sa bližšie pozrite na tlačidlá kalkulačky. Dokonca aj na najjednoduchšom z nich je kľúč s koreňovou ikonou. Kliknutím naň okamžite získate hotový výsledok.

Nie každé číslo možno brať ako celý koreň, zvážte nasledujúci príklad:

Odmocnina z roku 1859 = 43,116122…

Tento príklad môžete skúsiť paralelne vyriešiť na kalkulačke. Ako vidíte, výsledné číslo nie je celé číslo, navyše množina číslic za desatinnou čiarkou nie je konečná. Presnejší výsledok môžu poskytnúť špeciálne inžinierske kalkulačky, no úplný výsledok sa na displej bežných jednoducho nezmestí. A ak budete pokračovať v sérii štvorcov, ktorú ste začali skôr, nenájdete v nej číslo 1859 práve preto, že číslo, ktoré ste odmocnili, aby ste ho dostali, nie je celé číslo.

Ak potrebujete extrahovať koreň tretieho stupňa na jednoduchej kalkulačke, musíte dvakrát kliknúť na tlačidlo s koreňovým znakom. Vezmime si napríklad vyššie uvedené číslo 1859 a extrahujeme z neho odmocninu kocky:

Koreň 3 z roku 1859 = 6,5662867…

To znamená, že ak je číslo 6,5662867 ... umocnené na tretiu mocninu, potom dostaneme približne 1859. Extrahovanie koreňov z čísel teda nie je ťažké, stačí si spomenúť na vyššie uvedené algoritmy.

Študenti sa vždy pýtajú: „Prečo nemôžem pri skúške z matematiky použiť kalkulačku? Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez kalkulačky? Skúsme si na túto otázku odpovedať.

Ako extrahovať druhú odmocninu čísla bez pomoci kalkulačky?

Akcia extrakcia druhej odmocniny opak kvadratúry.

√81= 9 9 2 =81

Ak vezmeme druhú odmocninu kladného čísla a odmocníme výsledok, dostaneme rovnaké číslo.

Z malých čísel sú dokonalé štvorce prirodzené čísla, napríklad 1, 4, 9, 16, 25, ..., 100 druhých odmocnín možno získať slovne. Zvyčajne v škole učia tabuľku druhých mocnín prirodzených čísel do dvadsať. Keď poznáte túto tabuľku, je ľahké extrahovať druhé odmocniny z čísel 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361, 400. Z čísel väčších ako 400 môžete extrahovať pomocou metódy výberu pomocou niekoľkých tipov. Skúsme príklad na zváženie tejto metódy.

Príklad: Extrahujte koreň čísla 676.

Všimli sme si, že 20 2 \u003d 400 a 30 2 \u003d 900, čo znamená 20< √676 < 900.

Presné druhé mocniny prirodzených čísel končia 0; jeden; 4; päť; 6; deväť.
Číslo 6 je dané 4 2 a 6 2 .
Ak sa teda odmocnina vezme z 676, potom je to buď 24 alebo 26.

Zostáva skontrolovať: 24 2 = 576, 26 2 = 676.

odpoveď: √676 = 26 .

Ešte príklad: √6889 .

Od 80 2 \u003d 6400 a 90 2 \u003d 8100, potom 80< √6889 < 90.
Číslo 9 je dané 3 2 a 7 2, potom √6889 je buď 83 alebo 87.

Kontrola: 83 2 = 6889.

odpoveď: √6889 = 83 .

Ak zistíte, že je to ťažké vyriešiť metódou výberu, môžete koreňový výraz rozložiť na faktor.

Napríklad, nájsť √893025.

Rozložme číslo 893025, pamätajte, že ste to robili v šiestej triede.

Získame: √893025 = √3 6 ∙5 2 ∙7 2 = 3 3 ∙5 ∙7 = 945.

Ešte príklad: √20736. Rozložme číslo 20736 na faktor:

Získame √20736 = √2 8 ∙3 4 = 2 4 ∙3 2 = 144.

Faktoring si samozrejme vyžaduje znalosť kritérií deliteľnosti a faktoringových zručností.

A nakoniec, existuje pravidlo druhej odmocniny. Pozrime sa na toto pravidlo na príklade.

Vypočítajte √279841.

Aby sme extrahovali odmocninu z viacciferného celého čísla, rozdelili sme ho sprava doľava na plochy obsahujúce 2 číslice (v ľavej krajnej strane môže byť jedna číslica). Napíšte takto 27'98'41

Aby sme získali prvú číslicu odmocniny (5), extrahujeme druhú odmocninu najväčšieho presného štvorca obsiahnutého v prvej ľavej strane (27).
Potom sa druhá mocnina prvej číslice odmocniny (25) odpočíta od prvej plochy a ďalšia plocha (98) sa pripíše (zničí) rozdielu.
Naľavo od prijatého čísla 298 napíšu dvojciferné číslo odmocniny (10), vydelia ním počet všetkých desiatok predtým získaného čísla (29/2 ≈ 2), zažijú kvocient (102 ∙ 2 = 204 by nemalo byť väčšie ako 298) a napíšte (2) za prvú číslicu koreňa.
Potom sa výsledný kvocient 204 odpočíta od 298 a rozdielu (94) sa pripíše (demoluje) ďalšia fazeta (41).
Naľavo od výsledného čísla 9441 napíšu dvojitý súčin číslic odmocniny (52 ∙ 2 = 104), týmto súčinom vydelia počet všetkých desiatok čísla 9441 (944/104 ≈ 9), skúsenosť podiel (1049 ∙ 9 = 9441) by mal byť 9441 a zapísať ho (9) za druhú číslicu odmocniny.

Dostali sme odpoveď √279841 = 529.

Podobne extrahujte korene desatinných miest. Iba radikálne číslo musí byť rozdelené na tváre tak, aby bola čiarka medzi tvárami.

Príklad. Nájdite hodnotu √0,00956484.

Len si pamätajte, že ak má desatinný zlomok č párne číslo desatinné miesta, nevyťahuje sa z neho presná druhá odmocnina.

Takže teraz ste videli tri spôsoby, ako extrahovať koreň. Vyberte si ten, ktorý vám najviac vyhovuje a cvičte. Aby ste sa naučili riešiť problémy, musíte ich vyriešiť. A ak máte nejaké otázky, .

blog.site, pri úplnom alebo čiastočnom skopírovaní materiálu je potrebný odkaz na zdroj.