Aké sú priesečníky priamok. Priesečník dvoch línií

Na riešenie geometrickej úlohy súradnicovou metódou je potrebný priesečník, ktorého súradnice sa pri riešení použijú. Nastáva situácia, keď je potrebné vyhľadať súradnice priesečníka dvoch priamok v rovine alebo určiť súradnice tých istých priamok v priestore. Tento článok skúma prípady zistenia súradníc bodov, kde sa dané čiary pretínajú.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Je potrebné definovať priesečníky dvoch priamok.

Úsek relatívnej polohy priamok v rovine ukazuje, že sa môžu zhodovať, byť rovnobežné, pretínať v jednom spoločnom bode alebo sa pretínať. Dve priame čiary v priestore sa nazývajú pretínajúce sa, ak majú jeden spoločný bod.

Definícia priesečníka priamok znie takto:

Definícia 1

Bod, v ktorom sa pretínajú dve priamky, sa nazýva ich priesečník. Inými slovami, bod pretínajúcich sa čiar je priesečníkom.

Zvážte to na obrázku nižšie.

Pred nájdením súradníc priesečníka dvoch priamok je potrebné zvážiť príklad navrhnutý nižšie.

Ak má rovina súradnicový systém O x y, sú určené dve priame čiary a a b. Riadok a zodpovedá všeobecnej rovnici tvaru A 1 x + B 1 y + C 1 = 0, pre riadok b - A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Potom M 0 (x 0, y 0) je nejaký bod roviny, je potrebné zistiť, či bod M 0 bude priesečníkom týchto čiar.

Ak chcete vyriešiť problém, musíte dodržiavať definíciu. Potom sa priamky musia pretínať v bode, ktorého súradnice sú riešením daných rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. To znamená, že súradnice priesečníka sú nahradené do všetkých uvedených rovníc. Ak pri substitúcii dajú správnu identitu, potom sa za ich priesečník považuje M 0 (x 0, y 0).

Príklad 1

Dostanete dve pretínajúce sa priamky 5 x - 2 y - 16 = 0 a 2 x - 5 y - 19 = 0. Bude bod М 0 so súradnicami (2, - 3) priesečníkom?

Rozhodnutie

Aby bol priesečník priamok skutočný, je potrebné, aby súradnice bodu М 0 vyhovovali rovniciam čiar. To sa overuje ich nahradením. Máme to

5 2 - 2 (- 3) - 16 = 0 ⇔ 0 = 0 2 2 - 5 (- 3) - 19 = 0 ⇔ 0 = 0

Obe rovnosti sú pravdivé, takže М 0 (2, - 3) je priesečníkom daných čiar.

Predstavme toto riešenie na súradnicovej čiare na obrázku nižšie.

Odpoveď: zadaný bod so súradnicami (2, - 3) bude priesečníkom určených riadkov.

Príklad 2

Pretínajú sa čiary 5 x + 3 y - 1 = 0 a 7 x - 2 y + 11 = 0 v bode M 0 (2, - 3)?

Rozhodnutie

Na vyriešenie úlohy je potrebné vo všetkých rovniciach dosadiť súradnice bodu. Máme to

5 2 + 3 (- 3) - 1 = 0 ⇔ 0 = 0 7 2 - 2 (- 3) + 11 = 0 ⇔ 31 = 0

Druhá rovnosť nie je pravdivá, čo znamená, že daný bod nepatrí do priamky 7 x - 2 y + 11 = 0. Preto máme, že bod М 0 nie je priesečníkom priamok.

Výkres jasne ukazuje, že M 0 nie je priesečníkom priamok. Majú spoločný bod so súradnicami (- 1, 2).

Odpoveď: bod so súradnicami (2, - 3) nie je priesečníkom daných čiar.

Obrátime sa na nájdenie súradníc priesečníkov dvoch priamok pomocou daných rovníc v rovine.

Dve pretínajúce sa priamky a a b sú dané rovnicami formy A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0, ktoré sa nachádzajú v O x y. Pri označovaní priesečníka M 0 získame, že v hľadaní súradníc treba pokračovať podľa rovníc A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

Z definície je zrejmé, že М 0 je spoločný priesečník priamok. V takom prípade musia jeho súradnice vyhovovať rovniciam A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 a A 2 x + B 2 y + C 2 = 0. Inými slovami, toto je riešenie výsledného systému A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 = 0.

To znamená, že na nájdenie súradníc priesečníka je potrebné pridať do systému všetky rovnice a vyriešiť ich.

Príklad 3

Sú uvedené dve priame čiary x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0 v rovine. je potrebné nájsť ich priesečník.

Rozhodnutie

Údaje o stave rovnice musia byť zhromaždené do systému, po ktorom dostaneme x - 9 y + 14 = 0 5 x - 2 y - 16 = 0. Aby sme to vyriešili, je vyriešená prvá rovnica pre x, výraz je nahradený druhou:

x - 9 rokov + 14 = 0 5 x - 2 roky - 16 = 0 ⇔ x = 9 rokov - 14 5 x - 2 roky - 16 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 rokov - 14 5 9 rokov - 14 - 2 roky - 16 = 0 ⇔ x = 9 rokov - 14 43 rokov - 86 = 0 ⇔ ⇔ x = 9 rokov - 14 rokov = 2 ⇔ x = 9 2 - 14 rokov = 2 ⇔ x = 4 roky = 2

Výsledné čísla sú súradnice, ktoré sa majú nájsť.

Odpoveď: M 0 (4, 2) je priesečník priamok x - 9 y + 14 = 0 a 5 x - 2 y - 16 = 0.

Hľadanie súradníc sa redukuje na riešenie systému lineárne rovnice... Ak je podmienkou daná iná forma rovnice, mala by sa uviesť do normálnej formy.

Príklad 4

Určte súradnice priesečníkov priamok x - 5 = y - 4 - 3 a x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R.

Rozhodnutie

Najskôr je potrebné uviesť rovnice do všeobecného tvaru. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R sa transformuje takto:

x = 4 + 9 λ y = 2 + λ ⇔ λ = x - 4 9 λ = y - 2 1 ⇔ x - 4 9 = y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 (x - 4) = 9 (y - 2) ⇔ x - 9 rokov + 14 = 0

Potom prevezmeme rovnicu kánonického tvaru x - 5 = y - 4 - 3 a transformujeme. Máme to

x - 5 = r - 4 - 3 ⇔ - 3 x = - 5 r - 4 ⇔ 3 x - 5 r + 20 = 0

Preto máme, že súradnice sú priesečníkom

x - 9 rokov + 14 = 0 3 x - 5 rokov + 20 = 0 ⇔ x - 9 rokov = - 14 3 x - 5 rokov = - 20

Použime Cramerovu metódu na nájdenie súradníc:

∆ = 1 - 9 3 - 5 = 1 (- 5) - (- 9) 3 = 22 ∆ x = - 14 - 9 - 20 - 5 = - 14 (- 5) - (- 9) - 20) = - 110 ⇒ x = ∆ x ∆ = - 110 22 = - 5 ∆ y = 1 - 14 3 - 20 = 1 (- 20) - (- 14) 3 = 22 ⇒ y = ∆ y ∆ = 22 22 = 1

Odpoveď: M 0 (- 5,1).

Existuje tiež spôsob, ako nájsť súradnice priesečníka priamok v rovine. Je použiteľné, ak je jedna z priamok daná parametrickými rovnicami tvaru x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ, λ ∈ R. Potom namiesto hodnoty x sú nahradené x = x 1 + ax λ a y = y 1 + ay λ, kde dostaneme λ = λ 0 zodpovedajúce priesečníku so súradnicami x 1 + ax λ 0, y 1 + ay λ 0.

Príklad 5

Určte súradnice priesečníka priamky x = 4 + 9 λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3.

Rozhodnutie

Je potrebné dosadiť v x - 5 = y - 4 - 3 výrazom x = 4 + 9 λ, y = 2 + λ, potom dostaneme:

4 + 9 λ - 5 = 2 + λ - 4 - 3

Pri riešení zistíme, že λ = - 1. To znamená, že medzi priamkami x = 4 + 9 · λ y = 2 + λ, λ ∈ R a x - 5 = y - 4 - 3 existuje priesečník. Pre výpočet súradníc je potrebné do parametrickej rovnice dosadiť výraz λ = - 1. Potom dostaneme, že x = 4 + 9 (- 1) y = 2 + (- 1) ⇔ x = - 5 y = 1.

Odpoveď: M 0 (- 5,1).

Aby ste tejto téme úplne porozumeli, musíte poznať niektoré nuansy.

Najprv musíte pochopiť umiestnenie priamok. Keď sa pretnú, nájdeme súradnice, v iných prípadoch nebude riešenie. Aby ste túto kontrolu neurobili, môžete vytvoriť systém v tvare A 1 x + B 1 y + C 1 = 0 A 2 x + B 2 + C 2 = 0 Ak existuje riešenie, dospejeme k záveru, že riadky pretínajú sa. Ak neexistuje riešenie, sú paralelné. Ak má systém nekonečné množstvo riešení, hovorí sa o nich, že sú rovnaké.

Príklad 6

Dostanete priame čiary x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4. Zistite, či majú spoločný bod.

Rozhodnutie

Zjednodušením daných rovníc dostaneme 1 3 x - 1 4 y - 1 = 0 a 4 3 x - y - 4 = 0.

Je potrebné zhromaždiť rovnice do systému pre následné riešenie:

1 3 x - 1 4 r - 1 = 0 1 3 x - r - 4 = 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 r = 1 4 3 x - r = 4

Preto je jasné, že rovnice sú vyjadrené navzájom, potom dostaneme nekonečnú množinu riešení. Potom rovnice x 3 + y - 4 = 1 a y = 4 3 x - 4 definujú tú istú priamku. Preto neexistujú žiadne priesečníky.

Odpoveď: dané rovnice definujú rovnakú priamku.

Príklad 7

Nájdite súradnice bodu pretínajúcich sa čiar 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0 a 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Rozhodnutie

Podmienkou je to možné, priame čiary sa nebudú pretínať. Je potrebné zostaviť sústavu rovníc a vyriešiť. Na riešenie je potrebné použiť Gaussovu metódu, pretože pomocou nej je možné skontrolovať kompatibilitu rovnice. Získame systém v tvare:

2 x + (2 - 3) r + 7 = 0 2 (3 + 2) x - 7 r - 1 = 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) r = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r = 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 r = - 7 2 (3 + 2) x - 7 r + (2 x + (2 - 3) r) (- (3 + 2)) = 1 + - 7 ( - (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y = - 7 0 = 22 - 7 2

Dostali sme nesprávnu rovnosť, čo znamená, že systém nemá žiadne riešenia. Dospeli sme k záveru, že čiary sú rovnobežné. Neexistujú žiadne priesečníky.

Druhé riešenie.

Najprv musíte určiť prítomnosť priesečníka čiar.

n 1 → = (2, 2 - 3) je normálový vektor priamky 2 x + (2 - 3) y + 7 = 0, potom vektor n 2 → = (2 (3 + 2), - 7 je normálový vektor pre priamku 2 3 + 2 x - 7 y - 1 = 0.

Je potrebné skontrolovať kolinearitu vektorov n 1 → = (2, 2 - 3) a n 2 → = (2 (3 + 2), - 7). Získame rovnosť tvaru 2 2 (3 + 2) = 2 - 3 - 7. Je to správne, pretože 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 = 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) = 7 - 7 7 (3 + 2) = 0. Z toho vyplýva, že vektory sú kolineárne. To znamená, že čiary sú rovnobežné a nemajú žiadne priesečníky.

Odpoveď: neexistujú žiadne priesečníky, čiary sú rovnobežné.

Príklad 8

Nájdite súradnice priesečníka daných čiar 2 x - 1 = 0 a y = 5 4 x - 2.

Rozhodnutie

Aby sme to vyriešili, zostavíme sústavu rovníc. Dostaneme

2 x - 1 = 0 5 4 x - y - 2 = 0 ⇔ 2 x = 1 5 4 x - y = 2

Nájdeme determinant hlavnej matice. Za týmto účelom 2 0 5 4 - 1 = 2 (- 1) - 0 5 4 = - 2. Pretože sa nerovná nule, má systém 1 riešenie. Z toho vyplýva, že čiary sa pretínajú. Vyriešme systém hľadania súradníc priesečníkov:

2 x = 1 5 4 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 4 5 x - y = 2 ⇔ x = 1 2 5 4 1 2 - y = 2 ⇔ x = 1 2 y = - 11 8

Dostali sme, že priesečník daných čiar má súradnice M 0 (1 2, - 11 8).

Odpoveď: M 0 (1 2, - 11 8) .

Nájdenie súradníc priesečníka dvoch priamok v priestore

Priesečníky vesmírnych priamok sa nachádzajú rovnakým spôsobom.

Keď sú dané riadky a a b v súradnicová rovinaО х у z pomocou rovníc pretínajúcich sa rovín, potom existuje priamka a, ktorú je možné určiť pomocou daného systému A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 1 = 0 priamka b - A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0.

Keď je bod М 0 priesečníkom priamok, potom by jeho súradnice mali byť riešením oboch rovníc. V systéme dostaneme lineárne rovnice:

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0

Zvážme podobné úlohy na príkladoch.

Príklad 9

Nájdite súradnice priesečníka daných priamok x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0

Rozhodnutie

Postavte systém x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 a vyriešte to. Na nájdenie súradníc je potrebné vyriešiť pomocou matice. Potom dostaneme hlavnú maticu tvaru A = 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 a predĺženú T = 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4. Určte Gaussovu hodnosť matice.

Máme to

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

Z toho vyplýva, že poradie rozšírenej matice je 3. Potom sústava rovníc x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 27 - 4 = 0 vo výsledku dáva iba jedno riešenie.

Bazálna minorita má determinant 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0, potom posledná rovnica nesedí. Získame x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 3 x + 2 y + 3 = 0 4 x - 2 z - 4 = 0 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y - 3. Riešenie systému x = 1 y + 2 z = - 3 3 x + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 3 1 + 2 y = - 3 ⇔ x = 1 y + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ ⇔ x = 1 - 3 + 2 z = - 3 y = - 3 ⇔ x = 1 z = 0 y = - 3.

Preto máme, že priesečník x - 1 = 0 y + 2 z + 3 = 0 a 3 x + 2 y + 3 = 04 x - 2 z - 4 = 0 má súradnice (1, - 3, 0) .

Odpoveď: (1 , - 3 , 0) .

Systém formulára A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 má iba jedno riešenie. Preto sa priamky a a b pretínajú.

V iných prípadoch nemá rovnica riešenie, to znamená, že neexistujú ani spoločné body. To znamená, že je nemožné nájsť bod so súradnicami, pretože neexistuje.

Preto systém systému A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A 3 x + B 3 y + C 3 z + D 3 = 0 A 4 x + B 4 y + C 4 z + D 4 = 0 sa rieši Gaussovou metódou. Ak je to nezlučiteľné, priame čiary sa nepretínajú. Ak existuje nekonečné množstvo riešení, potom sa zhodujú.

Môžete vytvoriť riešenie výpočtom základnej a rozšírenej pozície matice a potom použiť Kroneckerovu-Capelliho vetu. Dostaneme jedno, veľa alebo úplnú absenciu riešení.

Príklad 10

Rovnice priamok x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 a x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0 sú uvedené. Nájdite priesečník.

Rozhodnutie

Najskôr vytvorme systém rovníc. Získame x + 2 y - 3 z - 4 = 0 2 x - y + 5 = 0 x - 3 z = 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 = 0. riešime to pomocou Gaussovej metódy:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

Je zrejmé, že systém nemá žiadne riešenia, takže čiary sa nepretínajú. Neexistuje žiadny priesečník.

Odpoveď:žiadny priesečník.

Ak sú priame čiary dané pomocou kónických alebo parametrických rovníc, musíte ich zmenšiť na tvar rovníc pretínajúcich sa rovín a potom vyhľadať súradnice.

Príklad 11

Dve priame priamky x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ, λ ∈ R a x 2 = y - 3 0 = z 5 v O x y z. Nájdite priesečník.

Rozhodnutie

Priamky definujeme rovnicami dvoch pretínajúcich sa rovín. Máme to

x = - 3 - λ y = - 3 λ z = - 2 + 3 λ ⇔ λ = x + 3 - 1 λ = y - 3 λ = z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 = z + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 = y - 3 x + 3 - 1 = z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 x 2 = y - 3 0 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 x 2 = z 5 ⇔ y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0

Nájdite súradnice 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0, preto vypočítame rady matice. Poradie matice je 3 a báza minor je 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 = - 3 ≠ 0, čo znamená, že je potrebné vylúčiť poslednú rovnicu zo systému. Máme to

3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0 5 x - 2 z = 0 ⇔ 3 x - y + 9 = 0 3 x + z + 11 = 0 y - 3 = 0

Vyriešme systém pomocou Kramerovej metódy. Získame x = - 2 y = 3 z = - 5. Zistíme teda, že priesečník daných čiar dáva bod so súradnicami (- 2, 3, - 5).

Odpoveď: (- 2 , 3 , - 5) .

Ak spozorujete chybu v texte, vyberte ju a stlačte Ctrl + Enter

Ak sa čiary pretínajú v bode, riešením sú jej súradnice sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník priamok? Vyriešte systém.

Toľko k vám geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch neznámych Sú dve križujúce sa (najčastejšie) rovné čiary v rovine.

Je vhodné rozdeliť úlohu na niekoľko etáp. Analýza stavu naznačuje, čo je potrebné:
1) Vytvorte rovnicu jednej priamky.
2) Vytvorte rovnicu druhej priamky.
3) Zistite relatívnu polohu priamok.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Príklad 13.

Nájdite priesečník priamok

Rozhodnutie: Je vhodné vyhľadať priesečník pomocou analytickej metódy. Poďme vyriešiť systém:

Odpoveď:

A.6.4. Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je priamy pás rieky a našou úlohou je dosiahnuť ju najkratšou cestou. Nie sú tam žiadne prekážky a najoptimálnejšou cestou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmej čiary.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje Grécky list„Ro“, napríklad: - vzdialenosť od bodu „em“ po priamku „de“.

Vzdialenosť od bodu rovno vyjadrené vzorcom

Príklad 14.

Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Rozhodnutie: všetko, čo potrebujete, je opatrne dosadiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

A.6.5. Uhol medzi priamymi čiarami.

Príklad 15.

Nájdite uhol medzi priamkami.

1. Skontrolujte, či sú priamky kolmé:

Vypočítajme skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, takže priame čiary nie sú kolmé.
2. Uhol medzi priamkami sa zistí pomocou vzorca:

Touto cestou:

Odpoveď:

Krivky druhého rádu. Kruh

Nech je v rovine uvedený obdĺžnikový súradnicový systém 0xy.

Krivka druhého rádu sa nazýva čiara v rovine, určená rovnicou druhého stupňa vzhľadom na súčasné súradnice bodu M (x, y, z). Všeobecne má táto rovnica tvar:

kde koeficienty A, B, C, D, E, L sú akékoľvek reálne čísla a aspoň jedno z čísel A, B, C je nenulové.

1. Kruh sa nazýva množina bodov v rovine, vzdialenosť od ktorého do pevného bodu M 0 (x 0, y 0) je konštantná a rovná sa R. Bod M 0 sa nazýva stred kruhu a číslo R je jeho polomer

- rovnica kruhu sústredeného v bode M 0 (x 0, y 0) a polomeru R.

Ak sa stred kruhu zhoduje s počiatkom, máme:

- kanonická rovnica kruhu.

Elipsa.

Elipsa nazýva sa množina bodov v rovine, pre každý z ktorých je súčet vzdialeností k dvom daným bodom konštantná hodnota (navyše táto hodnota viac vzdialeností medzi týmito bodmi). Tieto body sa nazývajú ohniská elipsy.

- kanonická rovnica elipsy.

Vzťah sa nazýva výstrednosť elipsa a označená:,. Odvtedy< 1.

Preto s klesaním má pomer tendenciu k 1, t.j. b sa málo líši od a a tvar elipsy sa približuje tvaru kruhu. V limitujúcom prípade na , dostaneme kruh, ktorého rovnica je

x 2 + y 2 = a 2.

Hyperbola

Hyperbola sa nazýva množina bodov v rovine, pre každý z ktorých absolútna hodnota rozdielu medzi vzdialenosťami k dvom daným bodom, tzv. triky, je konštantná hodnota (za predpokladu, že táto hodnota je menšia ako vzdialenosť medzi ohniskami a nerovná sa 0).

Nech F 1, F 2 sú ohniská, vzdialenosť medzi nimi bude označená 2c, parametrom paraboly).

- kanonická rovnica paraboly.

Všimnite si, že rovnica pre záporné p tiež definuje parabolu, ktorá bude umiestnená naľavo od osi 0y. Rovnica popisuje parabolu symetrickú okolo osi 0y, ktorá leží nad osou 0x pre p> 0 a leží pod osou 0x pre p< 0.

Oooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooooo Preto prejdeme k prvej časti, dúfam, že na konci článku si uchovám veselú náladu.

Relatívna poloha dvoch priamok

Prípad, keď publikum spieva spolu s refrénom. Dve priame čiary môžu:

1) zápas;

2) byť paralelný :;

3) alebo sa pretínajú v jednom bode :.

Pomoc pre figuríny : pamätajte, prosím, na matematický znak križovatky, bude to veľmi bežné. Záznam naznačuje, že čiara sa pretína s čiarou v bode.

Ako určiť vzájomnú polohu dvoch priamok?

Začnime prvým prípadom:

Dve priamky sa zhodujú, len ak sú ich zodpovedajúce koeficienty proporcionálne, to znamená, že existuje taký počet „lambdas“, že rovnosti

Zvážte priame čiary a zo zodpovedajúcich koeficientov zostavte tri rovnice :. Z každej rovnice vyplýva, že sa preto tieto priamky zhodujú.

Skutočne, ak sú všetky koeficienty rovnice vynásobte -1 (znamienka zmeny) a všetky koeficienty rovnice znížené o 2, dostanete rovnakú rovnicu :.

Druhý prípad, keď sú čiary rovnobežné:

Dve priame čiary sú rovnobežné práve vtedy, ak sú ich koeficienty pre premenné proporcionálne: ale.

Ako príklad uveďme dva riadky. Kontrolujeme proporcionalitu zodpovedajúcich koeficientov pre premenné:

Je však úplne zrejmé, že.

A tretí prípad, keď sa čiary pretínajú:

Dve priamky sa pretínajú práve vtedy, ak ich koeficienty pre premenné NIE sú proporcionálne, to znamená, že NIE JE taká lambda hodnota, aby sa rovnosti naplnili

Takže pre priame čiary zostavíme systém:

Z prvej rovnice vyplýva, že az druhej rovnice :, teda systém je nekonzistentný(žiadne riešenia). Koeficienty premenných teda nie sú proporcionálne.

Záver: čiary sa pretínajú

V praktických úlohách môžete použiť práve zvažovanú schému riešenia. Mimochodom, je to veľmi podobné algoritmu na kontrolu kolinearity vektorov, ktorý sme uvažovali v lekcii Koncept lineárnej (ne) závislosti vektorov. Základ vektorov... Existuje však civilizovanejší obal:

Príklad 1

Zistite relatívnu polohu priamok:

Rozhodnutie na základe štúdia smerových vektorov priamok:

a) Z rovníc nájdeme smerové vektory priamok: .

, takže vektory nie sú kolineárne a čiary sa pretínajú.

Pre prípad, že na križovatku položím kameň s ukazovateľmi:

Zvyšok preskočte cez kameň a pokračujte priamo k Nesmrteľnému Kashcheimu =)

b) Nájdite smerové vektory priamok:

Čiary majú rovnaký smerový vektor, čo znamená, že sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú. Ani tu nie je potrebné počítať determinant.

Je zrejmé, že koeficienty pre neznáme sú pomerné, zatiaľ čo.

Poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá:

Touto cestou,

c) Nájdite smerové vektory priamok:

Vypočítajme determinant zložený zo súradníc týchto vektorov:
teda smerové vektory sú kolineárne. Čiary sú buď rovnobežné, alebo sa zhodujú.

Koeficient proporcionality „lambda“ je ľahko viditeľný priamo z pomeru vektorov kolineárneho smeru. Možno to však nájsť aj prostredníctvom koeficientov samotných rovníc: .

Teraz poďme zistiť, či je rovnosť pravdivá. Obidve bezplatné podmienky sú nulové, takže:

Výsledná hodnota spĺňa túto rovnicu (všeobecne ju spĺňa akékoľvek číslo).

Čiary sa teda zhodujú.

Odpoveď:

Veľmi skoro sa naučíte (alebo ste sa už naučili), ako vyriešiť uvažovaný problém ústne doslova v priebehu niekoľkých sekúnd. V tejto súvislosti nevidím dôvod za čo niečo ponúkať nezávislé rozhodnutie, je lepšie položiť ďalšiu dôležitú tehlu do geometrického základu:

Ako postaviť priamku rovnobežnú s danou priamkou?

Za ignorovanie tejto jednoduchej úlohy je Slávik lupič prísne trestaný.

Príklad 2

Priamka je daná rovnicou. Vyrovnajte rovnobežnú priamku, ktorá prechádza bodom.

Rozhodnutie: Označme neznáme priame písmeno. Čo o nej hovorí stav? Priamka prechádza bodom. A ak sú priamky rovnobežné, potom je zrejmé, že smerovací vektor priamky „tse“ je vhodný na vytvorenie priamky „de“.

Vyradíme smerový vektor z rovnice:

Odpoveď:

Geometria príkladu vyzerá priamo:

Analytické overenie pozostáva z nasledujúcich krokov:

1) Skontrolujeme, či čiary majú rovnaký smerový vektor (ak nie je rovnica čiary správne zjednodušená, potom budú vektory kolineárne).

2) Skontrolujte, či bod zodpovedá získanej rovnici.

Analytické preskúmanie je vo väčšine prípadov ľahké urobiť ústne. Pozrite sa na dve rovnice a mnohí z vás rýchlo prídu na rovnobežnosť priamych čiar bez toho, aby ste kreslili.

Príklady riešení pre domácich majstrov dnes budú kreatívne. Pretože stále musíte súťažiť s Baba Yaga a ona, ako viete, je milovníčkou všetkých druhov hádaniek.

Príklad 3

Vytvorte rovnicu priamky prechádzajúcej bodom rovnobežným s priamkou, ak

Je to racionálne a nie je to tak racionálnym spôsobom riešenia. Najkratšia cesta je na konci hodiny.

Trochu sme pracovali s paralelnými líniami a vrátime sa k nim neskôr. Prípad zhody priamych čiar je málo zaujímavý, zvážte preto problém, ktorý je vám dobre známy zo školských osnov:

Ako nájsť priesečník dvoch priamok?

Ak rovno pretínajú sa v bode, potom sú jeho súradnice riešením sústavy lineárnych rovníc

Ako nájsť priesečník priamok? Vyriešte systém.

Toľko k vám geometrický význam sústavy dvoch lineárnych rovníc v dvoch neznámych Sú dve križujúce sa (najčastejšie) rovné čiary v rovine.

Príklad 4

Nájdite priesečník priamok

Rozhodnutie: Existujú dva spôsoby riešenia - grafický a analytický.

Grafickým spôsobom je jednoducho nakresliť údajové čiary a zistiť priesečník priamo z výkresu:

Tu je náš bod :. Ak to chcete skontrolovať, mali by ste dosadiť jeho súradnice do každej rovnice priamky, mali by sa tam hodiť. Inými slovami, súradnice bodu sú riešením systému. V zásade sme sa pozreli na grafický spôsob riešenia sústavy lineárnych rovníc s dvoma rovnicami, dvoma neznámymi.

Grafická metóda samozrejme nie je zlá, sú tu však badateľné nevýhody. Nie, nejde o to, že sa tak rozhodnú siedmaci, ide o to, že správne a PRESNÁ kresbačas prejde. Niektoré priame čiary sa navyše nedajú tak ľahko skonštruovať a samotný priesečník sa môže nachádzať niekde v tridsiatich kráľovstvách mimo listu poznámkového bloku.

Preto je účelnejšie vyhľadať priesečník pomocou analytickej metódy. Poďme vyriešiť systém:

Na riešenie systému bola použitá metóda postupného sčítania rovníc. Ak si chcete vybudovať príslušné zručnosti, navštívte lekciu Ako vyriešiť sústavu rovníc?

Odpoveď:

Kontrola je triviálna - súradnice priesečníka musia vyhovovať všetkým rovniciam v systéme.

Príklad 5

Nájdite priesečník čiar, ak sa pretínajú.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. Je vhodné rozdeliť úlohu na niekoľko etáp. Analýza stavu naznačuje, čo je potrebné:
1) Vytvorte rovnicu priamky.
2) Vytvorte rovnicu priamky.
3) Zistite relatívnu polohu priamok.
4) Ak sa čiary pretínajú, nájdite priesečník.

Vývoj algoritmu akcií je typický pre mnoho geometrických problémov a tomuto sa budem opakovane venovať.

Kompletné riešenie a odpoveď na konci tutoriálu:

Keď sme sa dostali k druhej časti hodiny, topánky ešte neboli obuté.

Kolmé priame čiary. Vzdialenosť od bodu k čiare.
Uhol medzi priamymi čiarami

Začnime s typickým a veľmi dôležitá úloha... V prvej časti sme sa naučili, ako postaviť priamku rovnobežnú s touto, a teraz sa chata na kuracích stehnách otočí o 90 stupňov:

Ako postaviť priamku kolmú na danú?

Príklad 6

Priamka je daná rovnicou. Vyrovnajte kolmú čiaru prechádzajúcu bodom.

Rozhodnutie: Podmienkou je známe, že. Bolo by pekné nájsť smerový vektor priamky. Pretože čiary sú kolmé, trik je jednoduchý:

Z rovnice „odstráňte“ normálový vektor :, ktorý bude smerovým vektorom priamky.

Zložme rovnicu priamky bodom a smerovým vektorom:

Odpoveď:

Poďme rozšíriť geometrický náčrt:

Hmmm ... Oranžová obloha, oranžové more, oranžová ťava.

Analytické overenie riešenia:

1) Z rovníc vyberte smerové vektory a s pomocou bodový produkt vektorov dospejeme k záveru, že priamky sú skutočne kolmé :.

Mimochodom, môžete použiť bežné vektory, je to ešte jednoduchšie.

2) Skontrolujte, či bod zodpovedá získanej rovnici .

Kontrola je opäť ľahká, urobiť sa dá ústne.

Príklad 7

Nájdite priesečník kolmých čiar, ak je známa rovnica a bod.

Toto je príklad riešenia pre domácich majstrov. V úlohe je niekoľko akcií, takže je vhodné vypracovať riešenie bod po bode.

Naša vzrušujúca cesta pokračuje:

Vzdialenosť od bodu k čiare

Pred nami je priamy pás rieky a našou úlohou je dosiahnuť ju najkratšou cestou. Nie sú tam žiadne prekážky a najoptimálnejšou cestou bude pohyb po kolmici. To znamená, že vzdialenosť od bodu k priamke je dĺžka kolmej čiary.

Vzdialenosť v geometrii sa tradične označuje gréckym písmenom „ro“, napríklad: - vzdialenosť od bodu „em“ po priamku „de“.

Vzdialenosť od bodu k čiare vyjadrené vzorcom

Príklad 8

Nájdite vzdialenosť od bodu k priamke

Rozhodnutie: všetko, čo je potrebné, je opatrne dosadiť čísla do vzorca a vykonať výpočty:

Odpoveď:

Poďme vykonať výkres:

Vzdialenosť od bodu k nájdenej čiare je presne dĺžka červenej čiary. Ak nakreslíte výkres na kockovaný papier v mierke 1 jednotka. = 1 cm (2 bunky), potom je možné vzdialenosť zmerať bežným pravítkom.

Zvážte inú úlohu pre rovnaký plán:

Úlohou je nájsť súradnice bodu, ktorý je symetrický k bodu vzhľadom na priamku ... Navrhujem vykonať tieto činnosti sami, ale načrtnem algoritmus riešenia s medzivýsledkami:

1) Nájdite priamku, ktorá je kolmá na čiaru.

2) Nájdite priesečník priamok: .

Obom akciám sa podrobne venujeme v tejto lekcii.

3) Bod je stredom úsečky. Poznáme súradnice stredu a jedného z koncov. Autor: vzorce pre súradnice stredového bodu segmentu nájdeme.

Nebude nadbytočné kontrolovať, či je vzdialenosť aj 2,2 jednotky.

Tu môžu nastať ťažkosti pri výpočtoch, ale vo veži veľmi pomáha mikrokalkulačka, ktorá umožňuje počítať bežné zlomky. Opakovane radené, poradia a ešte raz.

Ako zistiť vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami?

Príklad 9

Nájdite vzdialenosť medzi dvoma rovnobežnými čiarami

Toto je ďalší príklad nezávislého riešenia. Dovoľte mi malú nápovedu: existuje nekonečne veľa spôsobov, ako to vyriešiť. Stručný prehľad na konci hodiny, ale skúste si to hádať sami. Myslím, že sa vám podarilo celkom dobre rozptýliť svoju vynaliezavosť.

Uhol medzi dvoma priamkami

Každý uhol je obruba:


V geometrii sa uhol medzi dvoma priamymi čiarami považuje za najmenší uhol, z ktorého automaticky vyplýva, že nemôže byť tupý. Na obrázku sa uhol označený červeným oblúkom nepočíta ako uhol medzi pretínajúcimi sa priamkami. A jeho „zelený“ sused sa za takého považuje, príp opačne orientovaný„Karmínový“ roh.

Ak sú priame čiary kolmé, potom ktorýkoľvek zo 4 uhlov možno považovať za uhol medzi nimi.

Ako sa líšia uhly? Orientácia. Po prvé, smer rolovania „rolovania“ je zásadne dôležitý. Po druhé, záporne orientovaný uhol sa napíše so znamienkom mínus, napríklad ak.

Prečo som to povedal? Zdá sa, že od zvyčajného konceptu uhla je možné upustiť. Faktom je, že vo vzorcoch, pomocou ktorých nájdeme uhly, môžete ľahko získať negatívny výsledok, a to by vás nemalo prekvapiť. Uhol so znamienkom mínus nie je o nič horší a má veľmi konkrétny geometrický význam. Pre negatívny uhol na výkrese označte jeho orientáciu šípkou (v smere hodinových ručičiek).

Ako zistiť uhol medzi dvoma priamkami? Existujú dva pracovné vzorce:

Príklad 10

Nájdite uhol medzi priamkami

Rozhodnutie a Metóda jedna

Zvážte dve priame čiary dané rovnicami v všeobecný pohľad:

Ak rovno nie kolmo potom orientovaný uhol medzi nimi možno vypočítať pomocou vzorca:

Venujme osobitnú pozornosť menovateľovi - je to presne tak skalárny súčin smerové vektory priamok:

Ak, potom menovateľ vzorca zmizne a vektory budú ortogonálne a priame čiary sú kolmé. Z tohto dôvodu bola urobená výhrada k kolmosti priamok vo formulácii.

Na základe vyššie uvedeného je vhodné navrhnúť riešenie v dvoch krokoch:

1) Vypočítajte skalárny súčin smerových vektorov priamok:
, takže priame čiary nie sú kolmé.

2) Uhol medzi priamymi čiarami nájdeme podľa vzorca:

Cez inverzná funkcia samotný roh je ľahké nájsť. V tomto prípade použijeme zvláštnosť arkustangensu (pozri. Grafy a vlastnosti elementárnych funkcií):

Odpoveď:

V odpovedi označíme presnú hodnotu, ako aj približnú hodnotu (najlepšie v stupňoch aj v radiánoch) vypočítanú pomocou kalkulačky.

No, mínus, tak mínus, to je v poriadku. Tu je geometrické znázornenie:

Nie je prekvapením, že sa ukázalo, že uhol má negatívnu orientáciu, pretože vo výroku o probléme je prvé číslo priamkou a s ním sa začalo „krútenie“ uhla.

Ak chcete skutočne získať kladný uhol, musíte vymeniť rovné čiary, to znamená vziať koeficienty z druhej rovnice a koeficienty sa berú z prvej rovnice. Skrátka, treba začať rovnou čiarou .

Poučenie zo série „Geometrické algoritmy“

Ahoj drahý čitateľ!

Poďme sa naďalej zoznamovať s geometrickými algoritmami. Na poslednej lekcii sme pomocou súradníc dvoch bodov našli rovnicu priamky. Dostali sme rovnicu tvaru:

Dnes napíšeme funkciu, ktorá pomocou rovníc dvoch priamok vyhľadá súradnice ich priesečníka (ak existujú). Na kontrolu rovnosti reálnych čísel použijeme špeciálnu funkciu RealEq ().

Body v rovine sú opísané dvojicou reálnych čísel. Pri použití reálneho typu je lepšie vytvoriť porovnávacie operácie so špeciálnymi funkciami.

Dôvod je známy: v programovacom systéme Pascal neexistuje rádový vzťah na type Real; preto je lepšie nepoužívať zápisy tvaru a = b, kde a a b sú reálne čísla.
Dnes si predstavíme funkciu RealEq () na implementáciu operácie „=“ (striktne rovnaká):

Funkcia RealEq (Const a, b: Real): Boolean; (úplne rovnaké) začať RealEq: = Abs (a-b)<=_Eps End; {RealEq}

Úloha. Rovnice dvoch priamok sú uvedené: a. Nájdite bod ich priesečníka.

Rozhodnutie. Zjavným riešením je vyriešiť sústavu rovníc pre priame čiary: Prepíšeme tento systém trochu iným spôsobom:
(1)

Dovoľte nám zaviesť notáciu :, , ... Tu D je determinant systému a sú to determinanty získané v dôsledku nahradenia stĺpca koeficientov zodpovedajúcim neznámym stĺpcom voľných výrazov. Ak je potom systém (1) jednoznačný, to znamená, že má jedinečné riešenie. Toto riešenie možno nájsť v nasledujúcich vzorcoch :, ktoré sa nazývajú Cramerove vzorce... Pripomeniem, ako sa počíta determinant druhého rádu. Determinant rozlišuje medzi dvoma uhlopriečkami: hlavnou a bočnou. Hlavná uhlopriečka pozostáva z prvkov prevzatých z ľavého horného rohu identifikátora do pravého dolného rohu. Bočná uhlopriečka je zprava hore doľava. Determinant druhého rádu sa rovná súčinu prvkov hlavnej diagonály mínus súčin prvkov sekundárnej uhlopriečky.

V programovom kóde sa na kontrolu rovnosti používa funkcia RealEq (). Výpočty s reálnymi číslami sa vykonávajú s presnosťou _Eps = 1e-7.

Program geom2; Const _Eps: Real = 1e-7; (presnosť výpočtu) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: real; Funkcia RealEq (Const a, b: Real): Boolean; (úplne rovnaké) začať RealEq: = Abs (a-b)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

Zostavili sme program, pomocou ktorého môžete, keď poznáte rovnice priamok, nájsť súradnice ich priesečníka.

1. Ak chcete zistiť súradnice priesečníka grafov funkcií, musíte obe funkcie navzájom prirovnať, presunúť všetky výrazy obsahujúce $ x $ na ľavú stranu a zvyšok na pravú stranu a nájsť korene výsledného rovnica.
2. Druhým spôsobom je, že musíte zostaviť systém rovníc a vyriešiť ho nahradením jednej funkcie druhou
3. Tretia metóda spočíva v grafickej konštrukcii funkcií a vizuálnom určení priesečníka.

Prípad dvoch lineárnych funkcií

Uvažujme o dvoch lineárnych funkciách $ f (x) = k_1 x + m_1 $ a $ g (x) = k_2 x + m_2 $. Tieto funkcie sa nazývajú priame. Je celkom ľahké ich zostrojiť, musíte vziať ľubovoľné dve hodnoty $ x_1 $ a $ x_2 $ a nájsť $ f (x_1) $ a $ (x_2) $. Potom to isté zopakujte s funkciou $ g (x) $. Ďalej vizuálne nájdite súradnicu priesečníka funkčných grafov.

Mali by ste vedieť, že lineárne funkcie majú iba jeden priesečník a iba ak $ k_1 \ neq k_2 $. V opačnom prípade sú v prípade $ k_1 = k_2 $ funkcie navzájom rovnobežné, pretože $ k $ je koeficient sklonu. Ak $ k_1 \ neq k_2 $, ale $ m_1 = m_2 $, potom bude priesečník $ M (0; m) $. Toto pravidlo je vhodné pamätať pre urýchlené riešenie problémov.

Prípad dvoch nelineárnych funkcií