हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस पर संदर्भ डेटा - गुण, ग्राफ़, सूत्र। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलनों की परिभाषाएँ और उनके ग्राफ़ दिए गए हैं। और व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को जोड़ने वाले सूत्र भी - योग और अंतर के सूत्र। त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ. व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलनों की परिभाषाएँ, उनकी परिभाषा के क्षेत्र और मान

अर्श x - व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण ज्या (क्षेत्रफल), अतिपरवलयिक ज्या का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = शर्मीला) , परिभाषा का एक डोमेन -∞ होना< x < +∞ и множество значений -∞ < y < +∞ .

संपूर्ण संख्यात्मक अक्ष के साथ क्षेत्र साइन सख्ती से बढ़ता है।

आर्क एक्स - व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन (एरियाकोसाइन), हाइपरबोलिक कोसाइन का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = च य) , परिभाषा का एक क्षेत्र होना 1 ≤ एक्स< +∞ और कई अर्थ 0 ≤ य< +∞ .

एरियाकोसाइन अपनी परिभाषा के क्षेत्र में सख्ती से बढ़ता है।

एरियाकोसाइन की दूसरी शाखा को x ≥ के लिए भी परिभाषित किया गया है 1 और भुज अक्ष के सममित रूप से सापेक्ष स्थित है, - ∞< y ≤ 0 :
. यह परिभाषा के क्षेत्र में सख्ती से घटता है।

अर्थ x - व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा (क्षेत्रस्पर्शरेखा), अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = वें आप) , परिभाषा का एक क्षेत्र होना - 1 < x < 1 और मानों का समुच्चय -∞< y < +∞ .

एरियाटेंजेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में सख्ती से बढ़ता है।

आर्कथ एक्स - व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोटैंजेंट (क्षेत्रकोटैंजेन्ट), अतिपरवलयिक कोटैंजेंट का व्युत्क्रम फलन है ( एक्स = सीटीएच वाई) , डोमेन |x| वाला > 1 और मानों का समुच्चय y ≠ 0 .

क्षेत्रफलकोटैंजेंट अपनी परिभाषा के क्षेत्र में सख्ती से घटता है।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक ज्या (क्षेत्रफल) y = का ग्राफ अर्श एक्स

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोज्या (एरियाकोसाइन) का ग्राफ y = आर्च एक्स , एक्स ≥ 1
बिंदीदार रेखा एरेकोसाइन की दूसरी शाखा को दर्शाती है।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या (क्षेत्रस्पर्शरेखा) का ग्राफ़ y = अर्थ x , |x|< 1

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोटैंजेंट (क्षेत्रकोटैंजेंट) का ग्राफ y = आर्कथ x , |x| > 1

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों वाले सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंध

अर्श इज़ = आई आर्क्सिन ज़ेड; आर्क जेड = आई आर्ककोस जेड;
आर्क्सिन इज़ = आई अर्श ज़ेड; आर्ककोस जेड = - आई आर्क जेड;
अर्थ इज़ = आई आर्कटग ज़ेड; आर्कथ इज़ = - आई आर्कक्टग ज़ेड;
आर्कटग इज़ = आई अर्थ ज़ेड; Arcctg iz = - i Arcth z;
यहाँ i काल्पनिक इकाई है, i 2 = - 1 .

समानता

अर्श(-x) = - अर्श x; आर्च(-x) ≠ आर्च x;
अर्थ(-x) = - अर्थ x; आर्कथ(-x) = - आर्कथ x.

कार्य अर्श(x), अर्थ(x), आर्कथ(x)- विषम। समारोह आर्क(x)- सम या विषम नहीं है.

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक ज्याओं को स्पर्शरेखाओं के माध्यम से और कोज्याओं को कोटैंजेंटों के माध्यम से जोड़ने के सूत्र

;
;
;
.

योग और अंतर सूत्र

;
;
;
.

व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के व्युत्पन्न

;
.

अर्श x, आर्च x, आर्थ x, आर्च x से समाकलन

अर्श एक्स

अतिपरवलयिक आर्क्साइन के समाकलन की गणना करने के लिए, हम प्रतिस्थापन x = करते हैं श टीऔर भागों द्वारा एकीकृत करें:
.

आर्क एक्स

इसी प्रकार, हाइपरबोलिक आर्क कोसाइन के लिए। हम प्रतिस्थापन x = करते हैं सीएच टीऔर टी ≥ को ध्यान में रखते हुए, भागों द्वारा एकीकृत करें 0 :
.

अर्थ एक्स

हम प्रतिस्थापन x = करते हैं वें टीऔर भागों द्वारा एकीकृत करें:
;
;
;
.

आर्कथ एक्स

इसी प्रकार हमें मिलता है:
.

शृंखला विस्तार

अर्श एक्स

कब |x|< 1

अर्थ एक्स

कब |x|< 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

आर्कथ एक्स

कब |x| > 1 निम्नलिखित अपघटन होता है:

उलटा कार्य

अतिपरवलयिक ज्या

पर - ∞< y < ∞ и - ∞ < x < ∞ имеют место формулы:
,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन

पर 1 ≤ य< ∞ और 0 ≤ एक्स< ∞ निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा

पर - 1 < y < 1 और - ∞< x < ∞ имеют место формулы:
,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

पर - ∞< y < - 1 या 1 < y < ∞ और एक्स ≠ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
,
.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य यांत्रिकी, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग और अन्य तकनीकी विषयों में पाए जाते हैं। सीमाबद्धता के गुण को छोड़कर, अतिपरवलयिक फलनों के कई सूत्र त्रिकोणमितीय फलनों के सूत्रों के समान हैं।

№	समारोह	नाम	यौगिक
1.		अतिपरवलयिक ज्या
2.		अतिशयोक्तिपूर्ण कोज्या
3.		अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा
4.		अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के लिए सूत्र

1. .

सबूत। आइए आवश्यक अंतर पर विचार करें

. .

सबूत। चलिए काम पर नजर डालते हैं

.

चलिए काम पर नजर डालते हैं
.

आइए दो उत्पाद जोड़ें और समान उत्पाद दें:

आरंभ और अंत को जोड़ने पर, हमें सिद्ध की जाने वाली समानता प्राप्त होती है:।

त्रिकोणमितीय फलनों के गुणों के समान अतिपरवलयिक फलनों के कई अन्य गुण भी हैं, जो इसी प्रकार सिद्ध होते हैं।

आइए हम अतिपरवलयिक फलनों के अवकलजों के सूत्र सिद्ध करें।

1. अतिपरवलयिक ज्या पर विचार करें .

व्युत्पन्न ज्ञात करते समय, हम व्युत्पन्न चिन्ह से अचर को हटा देते हैं। इसके बाद, हम दो कार्यों और के बीच अंतर के व्युत्पन्न की संपत्ति को लागू करते हैं। डेरिवेटिव की तालिका का उपयोग करके किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न खोजें: . हम किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में देखते हैं
.

इसलिए, व्युत्पन्न
.

आरंभ और अंत को जोड़ने पर, हमें सिद्ध की जाने वाली समानता प्राप्त होती है: .

2. अतिपरवलयिक कोज्या पर विचार करें .

हम पिछले एल्गोरिदम को पूरी तरह से लागू करते हैं, केवल दो कार्यों के अंतर के व्युत्पन्न के बारे में संपत्ति के बजाय, हम इन दो कार्यों के योग के व्युत्पन्न के बारे में संपत्ति को लागू करते हैं।
.

आरंभ और अंत को जोड़ने पर, हमें सिद्ध की जाने वाली समानता प्राप्त होती है: .

3. अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा पर विचार करें
.

हम भिन्न का अवकलज ज्ञात करने के नियम का उपयोग करके अवकलज ज्ञात करते हैं।

4. हाइपरबोलिक कोटैंजेंट का व्युत्पन्न

एक जटिल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के रूप में पाया जा सकता है
.

आरंभ और अंत को जोड़ने पर, हमें सिद्ध की जाने वाली समानता प्राप्त होती है: .

फ़ंक्शन अंतर

कार्य करने दो - बिंदु पर भिन्न है, तो तर्क की वृद्धि के अनुरूप बिंदु पर इस फ़ंक्शन की वृद्धि को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है

एक निश्चित संख्या कहां से स्वतंत्र है, और तर्क का एक कार्य है, जो कि असीम रूप से छोटा है .

इस प्रकार, फ़ंक्शन की वृद्धि दो अतिसूक्ष्म पदों का योग है और . यह दिखाया गया कि दूसरा कार्यकाल अनंत है छोटा सा कार्ययानी से उच्चतर क्रम (देखें 8.1). इसलिए पहला पद फ़ंक्शन की वृद्धि का प्रमुख रैखिक भाग है . टिप्पणी 8.1 में. फ़ंक्शन की वृद्धि के लिए एक अन्य सूत्र (8.1.1) प्राप्त किया गया था , अर्थात्: . (8.1.1)

परिभाषा 8.3.विभेदककार्य किसी बिंदु पर इसकी वृद्धि का मुख्य रैखिक भाग व्युत्पन्न के उत्पाद के बराबर होता है इस बिंदु पर तर्क की मनमानी वृद्धि द्वारा, और (या) को दर्शाया जाता है ):

(8.4)

फ़ंक्शन अंतर यह भी कहा जाता है प्रथम क्रम का अंतर.

एक स्वतंत्र चर के अंतर को किसी भी स्वतंत्र संख्या के रूप में समझा जाता है। अक्सर, इस संख्या को चर की वृद्धि के रूप में लिया जाता है, अर्थात। . यह फ़ंक्शन का अंतर ज्ञात करने के लिए नियम (8.4) के अनुरूप है

फ़ंक्शन पर विचार करें और इसका अंतर ज्ञात कीजिए।

क्योंकि यौगिक . इस प्रकार, हमें मिला: और विभेदक कार्य सूत्र का उपयोग करके पाया जा सकता है

. (8.4.1)

टिप्पणी 8.7.सूत्र (8.4.1) से यह इस प्रकार है।

इस प्रकार, अंकन को न केवल व्युत्पन्न के लिए एक अंकन के रूप में समझा जा सकता है , लेकिन आश्रित और स्वतंत्र चर के अंतर के अनुपात के रूप में भी।

8.7. विभेदक फलन का ज्यामितीय अर्थ

आइए फ़ंक्शन का ग्राफ़ बनाएं एक स्पर्शरेखा खींची गई है (चित्र 8.1 देखें)। डॉट फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर है और एक भुज है - . हम मनमाना वेतन वृद्धि देते हैं जैसे कि बात समारोह का दायरा नहीं छोड़ा .

चित्र 8.1 किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ का चित्रण

बिंदु में निर्देशांक हैं . रेखा खंड . बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा पर स्थित है और इसमें एक भुज है - . आयताकार से यह इस प्रकार है कि, जहां कोण अक्ष की सकारात्मक दिशा और फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर खींची गई स्पर्शरेखा के बीच का कोण है बिंदु पर. फ़ंक्शन के अंतर की परिभाषा के अनुसार और व्युत्पन्न फ़ंक्शन का ज्यामितीय अर्थ बिंदु पर, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं . इस प्रकार, फ़ंक्शन के अंतर का ज्यामितीय अर्थ यह है कि अंतर फ़ंक्शन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा की कोटि की वृद्धि को दर्शाता है बिंदु पर.

टिप्पणी 8.8.एक मनमाना कार्य के लिए विभेदक और वेतन वृद्धि आम तौर पर बोलते हुए, एक दूसरे के बराबर नहीं होते हैं। सामान्य मामले में, किसी फ़ंक्शन की वृद्धि और अंतर के बीच का अंतर तर्क की वृद्धि की तुलना में छोटेपन के उच्च क्रम का असीम रूप से छोटा होता है। परिभाषा 8.1 से यह इस प्रकार है
, अर्थात। .

चित्र 8.1 में, बिंदु फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्थित है और उसके पास निर्देशांक हैं
. रेखा खंड ।

चित्र 8.1 में असमानता संतुष्ट है , अर्थात। . लेकिन ऐसे मामले भी हो सकते हैं जब विपरीत असमानता सत्य हो . के लिए ऐसा किया जाता है रैखिक प्रकार्यऔर एक उर्ध्व उत्तल फ़ंक्शन के लिए।

उत्तर: अतिपरवलयिक फलन, घातांक के माध्यम से व्यक्त किए गए प्राथमिक फलनों का एक परिवार है और त्रिकोणमितीय फलन से निकटता से संबंधित है। हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस 1757 में विन्सेन्ज़ो रिकाटी द्वारा पेश किए गए थे (ओपुस्कुलोरम, वॉल्यूम I)। उन्होंने उन्हें इकाई हाइपरबोला के विचार से प्राप्त किया।

हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के गुणों पर आगे का शोध लैंबर्ट द्वारा किया गया था। विभिन्न अभिन्नों की गणना करते समय अक्सर अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का सामना करना पड़ता है। तर्कसंगत कार्यों के कुछ अभिन्न अंग और मूलांक वाले कार्यों को अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का उपयोग करके चर के परिवर्तनों का उपयोग करके काफी सरलता से निष्पादित किया जाता है। अतिपरवलयिक फलनों के व्युत्पन्न खोजना आसान है क्योंकि अतिपरवलयिक फलन संयोजन होते हैं। उदाहरण के लिए, अतिपरवलयिक ज्या और कोज्या को इस प्रकार परिभाषित किया गया है इन कार्यों के व्युत्पन्नों का रूप होता है अतिपरवलयिक फलन निम्नलिखित सूत्रों द्वारा दिए गए हैं: 1) अतिपरवलयिक ज्या: (विदेशी साहित्य में इसे सिनक्स कहा गया है); 2) हाइपरबोलिक कोसाइन: (विदेशी साहित्य में इसे cosx निर्दिष्ट किया गया है); 3) अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा: (विदेशी साहित्य में इसे टैंक्स कहा गया है); 4) अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट: ; 5) हाइपरबोलिक सेकेंट और कोसेकेंट: ज्यामितीय परिभाषा: संबंध के कारण, हाइपरबोलिक फ़ंक्शन हाइपरबोला का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व देते हैं। इस मामले में, तर्क t = 2S है, जहां S वक्ररेखीय त्रिभुज OQR का क्षेत्र है, जिसे "+" चिह्न के साथ लिया गया है। सेक्टर OX अक्ष के ऊपर स्थित है, और विपरीत स्थिति में "-"। यह परिभाषा त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा के समान है इकाई चक्र, जिसका निर्माण भी इसी प्रकार किया जा सकता है। त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ संबंध: अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को एक काल्पनिक तर्क के त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। विश्लेषणात्मक गुण: अनंत पर अनिवार्य रूप से एकवचन बिंदु को छोड़कर, हाइपरबोलिक साइन और हाइपरबोलिक कोसाइन पूरे जटिल विमान में विश्लेषणात्मक हैं।

व्युत्पन्न तालिका.

उत्तर: डेरिवेटिव की तालिका (जिसकी हमें मुख्य रूप से आवश्यकता है):

46) किसी फ़ंक्शन का व्युत्पन्न - पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट।

उत्तर: मान लें कि पैरामीटर t पर दो चर x और y की निर्भरता दी गई है, मान लें कि फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है: तब हम कार्यों की संरचना ले सकते हैं x पर y की निर्भरता प्राप्त करें: मान x पर मान y की निर्भरता, पैरामीट्रिक रूप से निर्दिष्ट, फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के माध्यम से व्यक्त की जा सकती है और, व्युत्क्रम फ़ंक्शन के व्युत्पन्न के सूत्र के अनुसार, उस पैरामीटर का मान कहां है जिस पर व्युत्पन्न की गणना करते समय वह मान x प्राप्त होता है जिसमें हम रुचि रखते हैं। ध्यान दें कि सूत्र को लागू करने से हमें बीच के संबंध की ओर ले जाता है, जिसे फिर से एक पैरामीट्रिक संबंध के रूप में व्यक्त किया जाता है: इनमें से दूसरा संबंध वही है जो फ़ंक्शन y(x) के पैरामीट्रिक विनिर्देश में भाग लेता है। इस तथ्य के बावजूद कि व्युत्पन्न स्पष्ट रूप से व्यक्त नहीं किया गया है, यह हमें पैरामीटर टी के संबंधित मान को ढूंढकर व्युत्पन्न खोजने से संबंधित समस्याओं को हल करने से नहीं रोकता है। आइए इसे निम्नलिखित उदाहरण से दिखाते हैं। उदाहरण 4.22: मान लें कि x और y के बीच निर्भरता निम्नलिखित सूत्रों द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दी गई है: बिंदु पर निर्भरता y(x) के ग्राफ के स्पर्शरेखा का समीकरण खोजें यदि हम t=1 लेते हैं तो मान प्राप्त होते हैं। आइए पैरामीटर t के संबंध में x और y के व्युत्पन्न खोजें: इसलिए जब t=1 हम अवकलज का मान प्राप्त करते हैं; यह मान वांछित स्पर्शरेखा के कोणीय गुणांक k को निर्दिष्ट करता है। COORDINATES स्पर्श बिंदु समस्या विवरण में निर्दिष्ट हैं। इसका मतलब है कि स्पर्शरेखा समीकरण इस प्रकार है: ध्यान दें कि प्राप्त पैरामीट्रिक निर्भरता के आधार पर, हम चर x के संबंध में फ़ंक्शन y का दूसरा व्युत्पन्न पा सकते हैं:

हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस पर संदर्भ डेटा। हाइपरबोलिक साइन, कोसाइन, स्पर्शज्या और कोटैंजेंट की परिभाषाएँ, ग्राफ़ और गुण। योग, अंतर और उत्पाद के लिए सूत्र. व्युत्पन्न, अभिन्न, श्रृंखला विस्तार। त्रिकोणमितीय कार्यों के माध्यम से अभिव्यक्तियाँ.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की परिभाषाएँ, परिभाषाओं और मूल्यों के उनके क्षेत्र

श एक्स - हाइपरबोलिक साइन

, -∞ < x < +∞; -∞ < y < +∞ .

सीएच एक्स - हाइपरबॉलिक कोसाइन

, -∞ < x < +∞; 1 ≤ य< +∞ .

वें एक्स - अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या

, -∞ < x < +∞; - 1 < y < +1 .

सीटीएच एक्स - अतिशयोक्तिपूर्ण कोटैंजेंट

एक्स ≠ 0 ; य< -1 или y > +1 .

अतिपरवलयिक कार्यों के ग्राफ़

हाइपरबोलिक साइन ग्राफ़ y = श एक्स

हाइपरबोलिक कोसाइन y का ग्राफ़ = च एक्स

अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा y का ग्राफ़ = धन्यवाद

अतिपरवलयिक कोटैंजेंट y = का ग्राफ सीटीएच एक्स

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों वाले सूत्र

त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंध

पाप इज़ = आई श ज़ ; क्योंकि iz = ch z
श इज़ = मैं पाप ज़; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; cot iz = - i cth z
वें इज़ = आई टीजी जेड ; cth iz = - मैं ctg z
यहाँ i काल्पनिक इकाई है, i 2 = - 1 .

इन सूत्रों को लागू करने पर त्रिकोणमितीय कार्य, हम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को जोड़ने वाले सूत्र प्राप्त करते हैं।

समानता

श(-x) = - श एक्स; सीएच(-एक्स) = सीएच एक्स.
वें(-एक्स) = - वें एक्स; cth(-x) = - cth x.

समारोह सीएच(एक्स)- यहां तक ​​की। कार्य श(x), धन्यवाद), सीटीएच(एक्स)- विषम।

वर्गों का अंतर

सीएच 2 एक्स - श 2 एक्स = 1.

तर्कों के योग और अंतर के सूत्र

श(x y) = sh x ch y ch x sh y,
सीएच(एक्स वाई) = सीएच एक्स सीएच वाई श एक्स श वाई,
,
,

श 2 एक्स = 2 श x च x,
सीएच 2 एक्स = सीएच 2 एक्स + श 2 एक्स = 2 सीएच 2 एक्स - 1 = 1 + 2 श 2 एक्स,
.

हाइपरबोलिक साइन और कोसाइन के उत्पादों के लिए सूत्र

,
,
,

,
,
.

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के योग और अंतर के लिए सूत्र

,
,
,
,
.

हाइपरबोलिक साइन और कोसाइन का स्पर्शज्या और कोटैंजेंट के साथ संबंध

, ,
, .

संजात

,

श x, ch x, th x, cth x का समाकलन

,
,
.

शृंखला विस्तार

श एक्स

च एक्स

धन्यवाद

सीटीएच एक्स

उलटा कार्य

एरियासिनस

पर - ∞< x < ∞ и - ∞ < y < ∞ имеют место формулы:
,
.

एरियाकोसाइन

पर 1 ≤ एक्स< ∞ और 0 ≤ य< ∞ निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
,
.

एरियाकोसाइन की दूसरी शाखा स्थित है 1 ≤ एक्स< ∞ और - ∞< y ≤ 0 :
.

एरियाटेंजेंट

पर - 1 < x < 1 और - ∞< y < ∞ имеют место формулы:
,
.

एरियाकोटैंजेन्ट

पर - ∞< x < - 1 या 1 < x < ∞ और y ≠ 0 निम्नलिखित सूत्र लागू होते हैं:
,
.

सन्दर्भ:
में। ब्रोंस्टीन, के.ए. सेमेन्डयेव, इंजीनियरों और कॉलेज के छात्रों के लिए गणित की पुस्तिका, "लैन", 2009।