एक एकल सर्कल पर 3 4। संख्या वृत्त

एक त्रिकोणमितीय सर्कल पर, डिग्री में कोनों के अलावा, हम देखते हैं।

रेडियंस के बारे में और पढ़ें:

रेडिन को चाप की कोणीय परिमाण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसकी लंबाई इसके त्रिज्या के बराबर होती है। तदनुसार, चूंकि परिधि के बराबर है यह स्पष्ट है कि रेडियन एक सर्कल में ढेर है, यानी,

1 रन ≈ 57,295779513 डिग्री ≈ 57 डिग्री 17'44,806 "≈ 206265"।

हर कोई जानता है कि रेडियंस है

तो, उदाहरण के लिए, ए। इस तरह हम कोनों में रेडियंस का अनुवाद करना सीखा.

अब, इसके विपरीत, चलो रेडियंस में डिग्री का अनुवाद करते हैं.

मान लीजिए कि हमें रेडियंस में अनुवाद करने की आवश्यकता है। हम मदद करेंगे। हम निम्नानुसार करते हैं:

चूंकि, रेडियंस, फिर तालिका भरें:

हम एक सर्कल में साइनस और कोसाइन के मूल्यों को खोजने के लिए प्रशिक्षित करते हैं

आइए निम्नलिखित की जांच करें।

खैर, ठीक है, अगर हमें गणना करने के लिए कहा जाता है, तो कहें, - यहां आमतौर पर भ्रम नहीं होता है - हर कोई पहले सर्कल पर खोजना शुरू कर देता है।

और यदि वे गणना करने के लिए कहते हैं, उदाहरण के लिए, ... अचानक, अचानक, यह समझना शुरू न करें कि इस शून्य को कहां देखना है ... अक्सर निर्देशांक की शुरुआत में इसकी तलाश करें। क्यों?

1) चलो फिर से और हमेशा के लिए सहमत हैं! क्या खड़ा है या एक तर्क \u003d कोण है, और कोने स्थित हैं सर्कल पर, उन्हें धुरी पर मत देखो! (बस अलग बिंदु सर्कल पर गिरते हैं, और धुरी पर ...) और साइनस और cosiners के मूल्य स्वयं कुल्हाड़ियों को देख रहे हैं!

2) और भी!यदि हम "स्टार्ट" बिंदु से जाते हैं वकालतवार (त्रिकोणमितीय सर्कल को बाईपास करने की मुख्य दिशा), फिर हम सकारात्मक कोणों को स्थगित करते हैं, इस दिशा में ड्राइविंग करते समय कोनों के मूल्यों को बढ़ रहा है।

यदि हम "स्टार्ट" बिंदु से जाते हैं दक्षिणावर्त, हम नकारात्मक कोनों को स्थगित कर देते हैं।

उदाहरण 1।

एक मान खोजें।

फेसला:

सर्कल पर खोजें। हम साइनस की धुरी पर बिंदु को प्रोजेक्ट करते हैं (यानी, हम बिंदु से पिनस एक्सिस (ओयू)) तक लंबवत हैं)।

0. में आओ।

उदाहरण 2।

एक मान खोजें।

फेसला:

हम सर्कल पर (वामावर्त और अधिक पास) पर पाते हैं। हम साइनस कुल्हाड़ियों पर बिंदु (और वह पहले से साइनस की धुरी पर झूठ बोलती है)।

हम साइनस अक्ष के साथ -1 में आते हैं।

नोट, बिंदु इस तरह के बिंदुओं को "छुपा" है (हम चिह्नित बिंदु पर जा सकते हैं, दक्षिणावर्त, जिसका अर्थ है एक शून्य संकेत), और असीम रूप से कई अन्य।

आप इस समानता को ला सकते हैं:

एक त्रिकोणमितीय सर्कल की कल्पना करें स्टेडियम के चलने वाले ट्रैक के रूप में।

आप चेकबॉक्स "चेकबॉक्स" पर हो सकते हैं, मैं शुरुआत से ही चल रहा हूं, चल रहा हूं, चलो कहें, 300 मीटर। या चल रहा है, कहें, कहें, 100 मीटर दक्षिणावर्त (हम 400 मीटर के ट्रैक की लंबाई पर विचार करते हैं)।

और आप "चेकबॉक्स" बिंदु पर भी हो सकते हैं ("प्रारंभ" के बाद), चल रहा है, कहें, 700 मीटर, 1100 मीटर, 1500 मीटर, आदि वामावर्त। आप "चेकबॉक्स" पर हो सकते हैं, "स्टार्ट" से दक्षिणावर्त 500 मीटर या 900 मीटर इत्यादि।

एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष में मानसिक रूप से ट्रेडमिल स्टेडियम का विस्तार करें। कल्पना करें कि इस पर सीधे कहां होगा, उदाहरण के लिए, 300, 700, 1100, 1500, आदि के मूल्य हम अंकों को संख्यात्मक प्रत्यक्ष, एक दूसरे के बराबर देखेंगे। चलो सर्कल पर वापस जाएं। अंक एक में "उड़ेंगे"।

तो एक त्रिकोणमितीय सर्कल के साथ। कभी बिंदु असीम रूप से कई अन्य लोगों को छिपा हुआ है।

चलो कोण कहते हैं, इत्यादि। एक बिंदु से चित्रित। और साइन के मूल्य, उनमें कोसाइन, निश्चित रूप से, मेल खाता है। (क्या आपने देखा है कि हमने जोड़ा / कटौती या? यह साइनस और कोसाइन फ़ंक्शन की अवधि है।)

उदाहरण 3।

एक मान खोजें।

फेसला:

हम डिग्री की आसानी के लिए अनुवाद करते हैं

(बाद में, जब आप त्रिकोणमितीय सर्कल में उपयोग करते हैं, तो आपको रेडियंस को डिग्री में अनुवाद करने की आवश्यकता नहीं होगी):

हम पोल्क्रग () और अभी भी पास के बिंदु से घड़ी की दिशा में चले जाएंगे

हम समझते हैं कि साइनस का मूल्य साइनस के मूल्य के साथ मेल खाता है और बराबर है

नोट, अगर हमने लिया, उदाहरण के लिए, या इत्यादि, हम सभी को साइनस का मूल्य मिल जाएगा।

उदाहरण 4।

एक मान खोजें।

फेसला:

फिर भी, हम पिछले उदाहरण में, डिग्री में रेडियंस का अनुवाद नहीं करेंगे।

यही है, हमें आधा चौथाई और आधा चौथाई चौथाई चौथाई चौराहे पर जाने की जरूरत है और परिणामी बिंदु को कोसाइन अक्ष (क्षैतिज धुरी) पर फैलाएं।

उदाहरण 5।

एक मान खोजें।

फेसला:

त्रिकोणमितीय सर्कल पर स्थगित कैसे करें?

यदि हम पास होते हैं या, भले ही हम अभी भी उस बिंदु पर खुद को पाएंगे जिन्हें हमने "स्टार्ट" के रूप में अस्वीकार कर दिया था। इसलिए, आप तुरंत सर्कल में बिंदु पर जा सकते हैं

उदाहरण 6।

एक मान खोजें।

फेसला:

हम बिंदु पर होंगे (वैसे भी हमें शून्य पर ले जाता है)। हम कोसाइन अक्ष पर सर्कल प्वाइंट (त्रिकोणमितीय सर्कल देखें) पर प्रोजेक्ट करते हैं, हम इसमें शामिल होते हैं। अर्थात ।

त्रिकोणमितीय सर्कल - आपके हाथों में

आप पहले से ही समझ गए हैं कि मुख्य बात यह है कि पहली तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को याद रखना। अन्य तिमाहियों में, सब कुछ समान है, आपको बस संकेतों का पालन करने की आवश्यकता है। और त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की "चेन सीढ़ी", आपको उम्मीद है कि आप नहीं भूलेंगे।

कैसे ढूंढें टेंगेंट और कोटेनेस प्रमुख कोनों

उसके बाद, टेंगेंट और कोटेगेंट के मुख्य मूल्यों से परिचित होने के बाद, तुम जा सकते हो

एक खाली सर्कल पैटर्न पर। रेल गाडी!

अगर हम बस कहते हैं, तो ये सब्जियां एक विशेष नुस्खा से पानी में पके हुए हैं। मैं दो स्रोत घटकों (सब्जी सलाद और पानी) और समाप्त परिणाम - बोर्सच पर विचार करूंगा। ज्यामितीय रूप से, इसे एक आयताकार के रूप में दर्शाया जा सकता है जिसमें एक पक्ष सलाद को दर्शाता है, दूसरी तरफ पानी को दर्शाता है। इन दोनों पक्षों का योग बोर्सच को दर्शाएगा। विकर्ण और इस तरह के "विस्फोट" आयताकार का क्षेत्र पूरी तरह से गणितीय अवधारणाएं हैं और कभी भी नौकायन बोर्सच के व्यंजनों में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

गणित पाठ्यपुस्तकों में, आपको रैखिक कोणीय कार्यों के बारे में कुछ भी नहीं मिलेगा। लेकिन उनके बिना कोई गणितज्ञ नहीं हो सकता है। गणित के कानून, साथ ही प्रकृति के नियम, स्वतंत्र रूप से काम करते हैं कि हम उनके अस्तित्व के बारे में जानते हैं या नहीं।

रैखिक कोणीय कार्यों के अतिरिक्त कानून हैं। देखें कि बीजगणित ज्यामिति में कैसे बदल जाता है, और ज्यामिति त्रिकोणमिति में बदल जाता है।

क्या रैखिक कोणीय कार्यों के बिना करना संभव है? यह संभव है, क्योंकि गणित अभी भी उनके बिना करते हैं। गणितज्ञों की चाल यह है कि वे हमेशा हमें केवल उन चुनौतियों के बारे में बताते हैं जिन्हें वे स्वयं तय कर सकते हैं, और उन कार्यों के बारे में कभी नहीं बता सकते कि वे नहीं जानते कि कैसे निर्णय लेना है। ले देख। यदि हम एक और मानार्थ की खोज के लिए अतिरिक्त और एक शब्द के परिणाम को जानते हैं, तो हम घटाव का उपयोग करते हैं। हर एक चीज़। हम अन्य कार्यों को नहीं जानते हैं और नहीं जानते कि कैसे हल किया जाए। इस कार्यक्रम में क्या करना है कि केवल हम इसके परिणाम के लिए जाने जाते हैं और दोनों शर्तों को नहीं जानते हैं? इस मामले में, अतिरिक्त परिणाम रैखिक कोणीय कार्यों के साथ दो शर्तों में विघटित होना चाहिए। फिर हम पहले से ही चुनते हैं, एक शब्द कैसे हो सकता है, और रैखिक कोणीय कार्यों से पता चलता है कि दूसरा कार्यकाल क्या होना चाहिए, ताकि अतिरिक्त के परिणाम को वही किया गया था जो हमें चाहिए। शर्तों के ऐसे जोड़े एक अनंत सेट हो सकते हैं। रोजमर्रा की जिंदगी में, हम राशि के अपघटन के बिना जागते हैं, हमारे पास पर्याप्त घटाव होता है। लेकिन प्रकृति के नियमों के वैज्ञानिक अनुसंधान में, घटकों पर राशि का अपघटन बहुत उपयोगी हो सकता है।

इसके अलावा एक और कानून, जिसके बारे में गणित बोलना पसंद नहीं करता (उनकी चाल का एक और), इसके लिए आवश्यक है कि घटकों के माप की इकाइयां थीं। सलाद, पानी और बोर्सशॉर के लिए, यह माप, मात्रा, लागत या माप की इकाई की एक इकाई हो सकती है।

यह आंकड़ा गणितीय के लिए मतभेदों के दो स्तरों को दिखाता है। पहला स्तर उन संख्याओं के क्षेत्र में अंतर है जो संकेत दिए गए हैं ए।, बी, सी।। गणित क्या लगे हुए हैं। दूसरा स्तर माप की इकाइयों के क्षेत्र में अंतर है, जो वर्ग ब्रैकेट में दिखाए जाते हैं और पत्र द्वारा इंगित किया जाता है यू। भौतिकी इस में लगी हुई है। हम तीसरे स्तर को समझ सकते हैं - वर्णित वस्तुओं के क्षेत्र में मतभेद। विभिन्न वस्तुओं में माप की समान इकाइयों की समान संख्या हो सकती है। जहां तक \u200b\u200bयह महत्वपूर्ण है, हम बोर्स्च की त्रिकोणमिति का उदाहरण देख सकते हैं। यदि हम विभिन्न ऑब्जेक्ट्स के माप की इकाइयों के समान पदनाम में निम्न इंडेक्स जोड़ते हैं, तो हम सटीक रूप से कह सकते हैं कि कौन सा गणितीय मान किसी विशिष्ट वस्तु का वर्णन करता है और यह समय के साथ या हमारे कार्यों के संबंध में कैसे बदलता है। पत्र डब्ल्यू मैं पानी, पत्र का उल्लेख करूंगा एस सलाद और पत्र बी - बोर्श। इस प्रकार बोर्सश के लिए रैखिक कोणीय कार्यों की तरह दिखते हैं।

अगर हम पानी का कुछ हिस्सा और सलाद के कुछ हिस्से लेते हैं, तो वे एक साथ बोर्स्च के एक हिस्से में बदल जाएंगे। यहां मैं आपको बोर्स्च से थोड़ा विचलित करने और दूरस्थ बचपन को याद रखने का सुझाव देता हूं। याद रखें कि हमें कैसे बनीज और क्लर्क को एक साथ फोल्ड करने के लिए सिखाया गया था? यह जानना आवश्यक था कि कितने जानवर सफल होंगे। फिर उन्होंने हमें क्या सिखाया? हमें संख्याओं से माप की इकाइयों को फाड़ने और संख्याओं को जोड़ने के लिए सिखाया गया था। हां, किसी भी संख्या को किसी भी संख्या के साथ जोड़ा जा सकता है। यह आधुनिक गणित के अधिकारियों के लिए एक सीधा मार्ग है - हम यह स्पष्ट नहीं हैं कि यह स्पष्ट नहीं है कि यह स्पष्ट नहीं है कि यह वास्तविकता को संदर्भित क्यों और बहुत अच्छी तरह से समझें कि यह गणित के तीन स्तरों को केवल एक ही संदर्भित करता है। माप की एक इकाइयों से दूसरों को दूसरों के लिए स्थानांतरित करना सीखना अधिक सही होगा।

और बनीज, और क्लेरोप्स, और जानवरों की गणना टुकड़ों में की जा सकती है। विभिन्न वस्तुओं के लिए माप की एक आम इकाई हमें उन्हें एक साथ फोल्ड करने की अनुमति देती है। यह एक बच्चों का कार्य विकल्प है। चलो वयस्कों के लिए एक समान कार्य देखें। यदि आप बनीज और पैसा गुना करते हैं तो क्या होता है? यहां आप दो समाधान प्रदान कर सकते हैं।

पहला विकल्प। हम बनीज के बाजार मूल्य को परिभाषित करते हैं और इसे धन की राशि के साथ मोड़ते हैं। हमें नकद समकक्ष में हमारी संपत्ति की कुल लागत मिली।

दूसरा विकल्प। आप उपलब्ध नकद बिलों की संख्या के साथ बनीज की संख्या जोड़ सकते हैं। हमें टुकड़ों में चलने योग्य संपत्ति की संख्या प्राप्त होगी।

जैसा कि आप देख सकते हैं, वही व्यवस्था कानून आपको विभिन्न परिणाम प्राप्त करने की अनुमति देता है। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम वास्तव में क्या जानना चाहते हैं।

लेकिन वापस हमारे जूते के लिए। अब हम देख सकते हैं कि रैखिक कोणीय कार्यों के कोण के विभिन्न मूल्यों पर क्या होगा।

कोण शून्य है। हमारे पास सलाद है, लेकिन कोई पानी नहीं है। हम बोर्स नहीं पक सकते हैं। बोर्डों की मात्रा भी शून्य है। इसका मतलब यह नहीं है कि शून्य बोर्सशर शून्य पानी है। शून्य शून्य शून्य सलाद (सीधे कोण) पर हो सकता है।

मेरे लिए व्यक्तिगत रूप से, यह इस तथ्य का मुख्य गणितीय सबूत है। शून्य जोड़ते समय शून्य नहीं बदलता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि केवल एक ही शब्द है और कोई दूसरा शब्द नहीं है। आप इसे किसी भी तरह से इलाज कर सकते हैं, लेकिन याद रखें - शून्य के साथ सभी गणितीय परिचालन गणित के साथ आए, इसलिए गणितज्ञों द्वारा आविष्कार की परिभाषाएं आपके तर्क और मूर्खतापूर्ण उपकरण को फेंकने: "शून्य पर विभाजन असंभव है", "शून्य से गुणा कोई भी संख्या शून्य से गुणा है शून्य "," एक बतख बिंदु शून्य के लिए "और अन्य बकवास। यह याद रखने के लिए बस एक बार एक संख्या नहीं है, और आपके पास कभी कोई प्रश्न नहीं होगा, एक शून्य प्राकृतिक संख्या है या नहीं, क्योंकि ऐसा प्रश्न आम तौर पर किसी भी अर्थ से वंचित है: संख्या को एक संख्या क्यों माना जा सकता है जो संख्या है नहीं। यह पूछने की तरह है कि रंग अदृश्य रंग क्या है। शून्य में शून्य जोड़ें पेंटिंग पेंट के समान है, जो नहीं है। सूखी तौलिया धोया और उन सभी से बात करें जो "हमने चित्रित किया।" लेकिन मैं थोड़ा विचलित था।

कोण शून्य से अधिक है, लेकिन पचास डिग्री से कम है। हमारे पास बहुत सलाद है, लेकिन थोड़ा पानी है। नतीजतन, हमें एक मोटी बोरस मिलता है।

कोण पैंतालीस डिग्री है। हमारे पास बराबर मात्रा में पानी और सलाद है। यह एकदम सही बोरश है (और मुझे एक कुक क्षमा करें, यह सिर्फ एक गणित है)।

कोण पचास डिग्री से अधिक है, लेकिन नब्बे डिग्री से भी कम है। हमारे पास बहुत सारे पानी और छोटे सलाद हैं। यह तरल बोर्स्च को बाहर निकलता है।

समकोण। हमारे पास पानी है। केवल यादें सलाद से बनी हुईं, क्योंकि कोण हम लाइन से मापना जारी रखते हैं, जो एक बार सलाद चिह्नित करता है। हम बोर्स नहीं पक सकते हैं। बोर्स्च की मात्रा शून्य है। इस मामले में, पानी को पकड़ें और पीएं जबकि यह है))))

यहाँ। कुछ इस तरह। मैं यहां और अन्य कहानियों को बता सकता हूं जो यहां उपयुक्त से अधिक होंगे।

सामान्य व्यवसाय में दो दोस्तों के अपने शेयर थे। उनमें से एक की हत्या के बाद, सब कुछ दूसरे के पास गया।

हमारे ग्रह पर गणित की उपस्थिति।

गणित की भाषा में इन सभी कहानियों को रैखिक कोणीय कार्यों का उपयोग करके बताया जाता है। कुछ और समय मैं आपको गणित की संरचना में इन कार्यों की वास्तविक स्थान दिखाऊंगा। इस बीच, बोर्स्च की त्रिकोणमिति के लिए वापस और प्रक्षेपण पर विचार करें।

शनिवार, 26 अक्टूबर, 2019

बुधवार, 7 अगस्त, 2019

बातचीत को पूरा करने के बारे में, आपको अनंत सेट पर विचार करने की आवश्यकता है। यह दिया कि "अनंतता" की अवधारणा गणितज्ञों पर खरगोश के लिए नौकायन के रूप में कार्य करती है। इन्फिनिटी से पहले बहुत बढ़िया डरावनी सामान्य ज्ञान के गणितज्ञों को वंचित करता है। यहाँ एक उदाहरण है:

स्रोत स्थित है। अल्फा एक वैध संख्या को दर्शाता है। उपर्युक्त अभिव्यक्तियों में समानता का संकेत बताता है कि यदि कोई संख्या या अनंतता जोड़ने के लिए अनंतता है, तो कुछ भी नहीं बदलेगा, जिसके परिणामस्वरूप एक ही अनंतता हो। उदाहरण के रूप में, प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट लें, फिर विचार किए गए उदाहरणों का प्रतिनिधित्व इस फॉर्म में किया जा सकता है:

उनके गणित के दृश्य प्रमाण के लिए, कई अलग-अलग तरीके सामने आए। निजी तौर पर, मैं इन सभी तरीकों को देखता हूं, जैसे कि तांबर्न के साथ शमन के नृत्य पर। अनिवार्य रूप से, वे सभी इस तथ्य के लिए कम हो जाते हैं कि संख्याओं का हिस्सा व्यस्त नहीं है और नए मेहमान उनमें बस गए हैं, या इस तथ्य के लिए कि मेहमानों के लिए जगहों को मुक्त करने के लिए आगंतुकों का हिस्सा गलियारे में फेंक दिया जाता है (बहुत मानवीय)। मैंने गोरा के बारे में एक शानदार कहानी के रूप में ऐसे समाधानों पर मेरी राय को रेखांकित किया। मेरे तर्क के आधार पर क्या हैं? आगंतुकों की अंतहीन संख्या के पुनर्वास के लिए असीम समय की आवश्यकता होती है। अतिथि के लिए पहले कमरे को मुक्त करने के बाद, आगंतुकों में से एक हमेशा आपके कमरे से पड़ोसी शताब्दी में गलियारे का पालन करेगा। बेशक, समय कारक को मूर्खता से अनदेखा किया जा सकता है, लेकिन यह "मूर्खों" की श्रेणी से नहीं लिखा जाएगा। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि हम क्या करते हैं: गणितीय सिद्धांतों के लिए वास्तविकता को अनुकूलित करें या इसके विपरीत।

"अंतहीन होटल" क्या है? अंतहीन होटल एक होटल है जहां हमेशा किसी भी मुफ्त स्थान है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितने कमरे व्यस्त हैं। यदि अनंत गलियारे "आगंतुकों के लिए" पर सभी कमरों पर कब्जा कर लिया गया है, तो अतिथि संख्याओं के साथ एक और अंतहीन गलियारा है। ऐसे गलियारे एक अनंत सेट होंगे। इस मामले में, "अंतहीन होटल" असीमित देवताओं द्वारा असीमित सार्वभौमिक देवताओं द्वारा बनाए गए सार्वभौमिक संख्या में एक अनंत संख्या में घरों की एक अनंत संख्या में फर्श है। गणित बैलाल घरेलू समस्याओं से हटाने में सक्षम नहीं हैं: भगवान-अल्लाह-बुद्ध हमेशा एक ही होते हैं, होटल एक है, गलियारा केवल एक है। यहां गणितज्ञ हैं और होटल के कमरों की क्रमिक संख्याओं को साफ़ करने की कोशिश कर रहे हैं, इस तथ्य में हमें विश्वास दिलाते हैं कि आप "अनपेक्षित" को "दबा सकते हैं।

आपके तर्क का तर्क, मैं आपको प्राकृतिक संख्याओं के अनंत सेट के उदाहरण पर प्रदर्शित करूंगा। सबसे पहले आपको एक बहुत ही सरल प्रश्न का उत्तर देने की आवश्यकता है: प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं - एक या ज्यादा? इस प्रश्न का कोई सही जवाब नहीं है, क्योंकि संख्याएं अपने साथ आईं, प्रकृति में कोई संख्या नहीं है। हां, प्रकृति जानता है कि पूरी तरह से गिनना कैसे है, लेकिन इसके लिए यह अन्य गणितीय उपकरण का उपयोग करता है जो हमारे लिए परिचित नहीं हैं। कैसे प्रकृति का मानना \u200b\u200bहै, मैं आपको एक और समय बताऊंगा। चूंकि संख्या हमारे साथ आई, हम खुद को तय करते हैं कि प्राकृतिक संख्याओं के कितने सेट मौजूद हैं। इस वैज्ञानिक द्वारा प्रस्तुत दोनों विकल्पों पर विचार करें।

पहले विकल्प। "आइए हम" प्राकृतिक संख्याओं का एकमात्र सेट दें, जो शेल्फ पर स्थित है। इसे शेलफ से ले लो यह बहुत कुछ है। सबकुछ, शेल्फ पर अन्य प्राकृतिक संख्याएं वहां कोई बाएं नहीं हैं और उन्हें कहीं भी नहीं ले जाती हैं। हम इस सेट में एक इकाई नहीं जोड़ सकते हैं, क्योंकि हमारे पास पहले से ही है। और अगर आप वास्तव में चाहते हैं? कोई दिक्कत नहीं है। हम पहले से ही कई लोगों की एक इकाई ले सकते हैं और इसे वापस शेल्फ में ला सकते हैं। उसके बाद, हम एक इकाई को आश्रय से ले सकते हैं और जो हमने छोड़ा है उसे जोड़ सकते हैं। नतीजतन, हम फिर से प्राकृतिक संख्याओं का एक अनंत सेट प्राप्त करते हैं। इस तरह के सभी जोड़ों को लिखें:

मैंने बीजगणितीय प्रणाली में कार्यों को रिकॉर्ड किया और सेट के सेट की विस्तृत सूची के साथ, सेट के सिद्धांत में अपनाए गए पदों की प्रणाली में। निचला सूचकांक इंगित करता है कि हमारे पास कई प्राकृतिक संख्याएं हैं। यह पता चला है कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट केवल तभी अपरिवर्तित रहेगा जब इसे एक इकाई से घटाया जाए और एक ही इकाई जोड़ें।

विकल्प दूसरा। हमारे शेल्फ पर प्राकृतिक संख्याओं के कई अलग-अलग अनंत सेट हैं। मैं जोर देता हूं - इस तथ्य के बावजूद कि वे व्यावहारिक रूप से अलग नहीं हैं। इनमें से एक सेट लें। फिर, प्राकृतिक संख्याओं के एक और सेट से, हम एक इकाई लेते हैं और हमारे द्वारा पहले से ही लिया गया एक सेट जोड़ता है। हम प्राकृतिक संख्याओं के दो सेट भी फोल्ड कर सकते हैं। यही वह है जो हम करते हैं:

निचले इंडेक्स "वन" और "दो" इंगित करते हैं कि ये तत्व विभिन्न सेटों से संबंधित हैं। हां, यदि आप एक अनंत सेट में एक इकाई जोड़ते हैं, तो परिणाम भी एक अनंत सेट है, लेकिन यह प्रारंभिक सेट के समान नहीं होगा। यदि एक अनंत सेट को एक अनंत सेट में जोड़ा जाता है, तो परिणाम एक नया अनंत सेट होता है जिसमें पहले दो सेट के तत्व होते हैं।

प्राकृतिक संख्याओं का सेट खाते के लिए माप के लिए शासक के रूप में उपयोग किया जाता है। अब कल्पना करें कि आपने शासक को एक सेंटीमीटर जोड़ा। यह पहले से ही एक और पंक्ति होगी, मूल के बराबर नहीं है।

आप मेरे तर्क को स्वीकार या स्वीकार नहीं कर सकते हैं आपका व्यक्तिगत मामला है। लेकिन यदि आप कभी गणितीय समस्याओं में आते हैं, तो इस बारे में सोचें कि क्या आप झूठी तर्क के निशान के साथ चल रहे हैं, गणितज्ञों की ट्रॉटेड पीढ़ियों। आखिरकार, गणित में कक्षाएं, सबसे पहले, सोचने का एक स्थिर स्टीरियोटाइप बनाती हैं, और केवल तभी हमारे लिए मानसिक क्षमताओं को जोड़ती हैं (या इसके विपरीत, माल ढुलाई के लिए हमें वंचित)।

pozg.ru.

रविवार, 4 अगस्त, 2019

अद्यतन पोस्टस्क्रिप्ट के बारे में लेख के बारे में और Wikipedia में इस अद्भुत पाठ को देखा:

हम पढ़ते हैं: "... बाबुल के गणित के समृद्ध सैद्धांतिक आधार में समग्र प्रकृति नहीं थी और एक सामान्य प्रणाली और सबूत से रहित बिखरी हुई तकनीकों के सेट में कम हो गई थी।"

वाह! हम क्या स्मार्ट हैं और हम दूसरों की कमियों को कितनी अच्छी तरह देख सकते हैं। और हम एक ही संदर्भ में आधुनिक गणित को थोड़ा देखते हैं? दिए गए पाठ को थोड़ा सा समृद्ध, मैंने व्यक्तिगत रूप से निम्नलिखित प्रबंधित किया:

आधुनिक गणित का समृद्ध सैद्धांतिक आधार एक समग्र प्रकृति नहीं है और एक सामान्य प्रणाली और सबूत आधार से रहित बिखरे हुए वर्गों के सेट पर आता है।

आपके शब्दों की पुष्टि के लिए, मैं दूर नहीं जाऊंगा - इसमें भाषा के अलावा एक भाषा और सशर्त पदनाम और गणित के कई अन्य वर्गों के प्रतीकों हैं। गणित के विभिन्न वर्गों में समान नामों का एक अलग अर्थ हो सकता है। आधुनिक गणित के सबसे स्पष्ट गांठ, मैं प्रकाशनों के पूरे चक्र को समर्पित करना चाहता हूं। जल्द ही फिर मिलेंगे।

शनिवार, 3 अगस्त, 2019

सेट को सबसेट पर विभाजित कैसे करें? ऐसा करने के लिए, माप की एक नई इकाई दर्ज करें, जो चयनित सेट के तत्वों के हिस्से से मौजूद है। एक उदाहरण पर विचार करें।

हमें कई हैं लेकिन अचार लोगों से मिलकर। यह सेट "लोगों" के आधार पर बनाया गया है, हम पत्र के माध्यम से इस सेट के तत्वों को दर्शाते हैं लेकिन असंख्या के साथ निचला सूचकांक इस सेट में प्रत्येक व्यक्ति की अनुक्रम संख्या का संकेत देगा। हम माप "लिंग" की एक नई इकाई पेश करते हैं और इसके पत्र को दर्शाते हैं बी। चूंकि यौन संकेत सभी लोगों में निहित हैं, इसलिए सेट के हर तत्व को गुणा करें लेकिन अ यौन संकेत पर बी। कृपया ध्यान दें कि अब हमारे कई लोग कई "यौन संकेतों वाले लोग" बन गए हैं। उसके बाद, हम पुरुषों के लिए जननांग संकेतों को विभाजित कर सकते हैं बीएम। और महिलाएं बीडब्ल्यू यौन संकेत। अब हम एक गणितीय फ़िल्टर लागू कर सकते हैं: हम इन यौन संकेतों में से एक चुनते हैं, जो पुरुष या महिला के प्रति उदासीन है। यदि वह मनुष्यों में मौजूद है, तो आप इसे एक पर गुणा करते हैं, अगर ऐसा कोई संकेत नहीं है - तो आप इसे शून्य पर गुणा करते हैं। और फिर सामान्य स्कूल गणित लागू करें। देखें कि क्या हुआ।

गुणा, संक्षिप्त नाम और पुनरावर्तन के बाद, हमें दो सबसेट मिले: पुरुषों का सबसेट बीएम। और महिलाओं का सबसेट बीडब्ल्यू। लगभग उसी गणितज्ञों का कारण जब वे अभ्यास में सेट के सिद्धांत का उपयोग करते हैं। लेकिन विवरण में वे हमें हमारे पास समर्पित नहीं करते हैं, लेकिन समाप्त परिणाम देते हैं - "बहुत से लोगों में पुरुषों का एक उप-समूह होता है और महिलाओं का सबसेट होता है।" स्वाभाविक रूप से, आपके पास एक प्रश्न हो सकता है कि उपर्युक्त परिवर्तनों में गणित कितनी सही ढंग से लागू किया जाता है? मैं आपको आश्वस्त करने की हिम्मत करता हूं, अनिवार्य रूप से परिवर्तन सबकुछ सही ढंग से किया जाता है, यह अंकगणित, बूलियन बीजगणित और गणित के अन्य वर्गों के गणितीय औचित्य को जानने के लिए पर्याप्त है। यह क्या है? किसी और का समय मैं आपको इसके बारे में बताऊंगा।

उदाहरणों के लिए, दो सेटों को एक आधार पर गठबंधन करना संभव है, इन दो सेटों के तत्वों पर माप की एक इकाई उत्पन्न करें।

जैसा कि आप देख सकते हैं, माप और सामान्य गणित की इकाइयां अतीत के अवशेषों में सेट के सिद्धांत को बदल देती हैं। इस तथ्य का एक संकेत है कि सेट के सिद्धांत के साथ ठीक नहीं है, यह है कि गणित के सिद्धांत के सिद्धांत के लिए, अपनी भाषा और उनके स्वयं के पदनाम सामने आए। एक बार आते ही मैथमैटिक्स को स्वीकार किया गया। केवल शमांस जानते हैं कि "सही" अपने "ज्ञान" को कैसे लागू करता है। ये "ज्ञान" वे हमें सिखाते हैं।

अंत में, मैं आपको दिखाना चाहता हूं कि गणित कैसे साथ में हेरफेर करता है।

सोमवार, 7 जनवरी, 2019

पांचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, प्राचीन यूनानी दार्शनिक जेनॉन एलायकी ने अपने प्रसिद्ध उत्साही तैयार किए, जिनमें से सबसे प्रसिद्ध एचिल्स और कछुए एरिटिया है। इस तरह यह लगता है:

मान लीजिए कि एचिल्स कछुए की तुलना में दस गुना तेज चलता है, और यह एक हजार चरणों की दूरी पर इसके पीछे है। उस समय के लिए, जिसके लिए Achilles इस दूरी के माध्यम से चल रहा है, एक ही तरफ एक सौ कदम दुर्घटनाग्रस्त हो जाएगा। जब Achilles सौ कदम चलाता है, तो कछुए लगभग दस कदमों को क्रॉल करेगा, और इसी तरह। प्रक्रिया अनंतता जारी रहेगी, एचिल्स कभी कछुए तक नहीं पकड़ लेंगे।

यह तर्क बाद की पीढ़ियों के लिए एक तार्किक झटका बन गया है। अरिस्टोटल, डायोजेन, कांट, हेगेल, हिल्बर्ट ... उनमें से सभी ने किसी भी तरह जेनॉन की माफी विज्ञान माना। सदमे इतना मजबूत हो गया कि " ... चर्चा जारी है और वर्तमान में, वैज्ञानिक समुदाय को विरोधाभासों के सार पर सामान्य राय पर आने के लिए अभी तक संभव नहीं रहा है ... गणितीय विश्लेषण, सेट का सिद्धांत, नया भौतिक और दार्शनिक दृष्टिकोण इसमें शामिल था इस मुद्दे का अध्ययन; उनमें से कोई भी इस मुद्दे के आम तौर पर स्वीकार्य मुद्दा नहीं बन गया ..."[विकिपीडिया," येन apriya "]। हर कोई समझता है कि वे अवरुद्ध हैं, लेकिन कोई भी समझता है कि धोखाधड़ी क्या है।

गणित के दृष्टिकोण से, जेनो ने अपने एपोरिया में स्पष्ट रूप से मूल्य से संक्रमण का प्रदर्शन किया। यह संक्रमण निरंतर के बजाय आवेदन का तात्पर्य है। जहां तक \u200b\u200bमैं समझता हूं, माप की इकाइयों के चर के उपयोग का गणितीय तंत्र या तो अभी तक विकसित नहीं हुआ है, या इसे जेनॉन के अपोरिशन पर लागू नहीं किया गया था। हमारे सामान्य तर्क का उपयोग हमें एक जाल की ओर ले जाता है। हम, सोच की जड़ता से, इन्वर्टर को स्थायी समय माप इकाइयों का उपयोग करें। भौतिक दृष्टिकोण से, यह उस समय के पूर्ण स्टॉप के समय में मंदी की तरह दिखता है जब एचिल्स को कछुए के साथ भर दिया जाता है। यदि समय बंद हो जाता है, तो एचिल्स अब कछुए से आगे निकल सकता है।

यदि आप तर्क को आम तौर पर बदलते हैं, तो सब कुछ हो जाता है। Achilles निरंतर गति से चलता है। इसके पथ के प्रत्येक बाद के खंड पिछले एक की तुलना में दस गुना कम है। तदनुसार, अपने पर काबू पाने पर बिताए गए समय, पिछले एक की तुलना में दस गुना कम। यदि आप इस स्थिति में "अनंतता" की अवधारणा को लागू करते हैं, तो यह सही ढंग से कहेंगे कि "अकिलीस असीम रूप से कछुए को तुरंत पकड़ लेगा।"

इस तार्किक जाल से कैसे बचें? स्थायी समय माप इकाइयों में रहें और रिवर्स मूल्यों पर न जाएं। जेनॉन की भाषा में, ऐसा लगता है:

उस समय के लिए, जिसके लिए Achilles एक हजार कदम चलाता है, सौ कदम एक ही तरफ कछुए को तोड़ देंगे। अगली बार अंतराल के लिए, पहले के बराबर, Achilles एक और हजार कदम चलाएगा, और कछुए सौ कदम उठाएगा। अब कछुए से आठ सौ कदम पीछे है।

यह दृष्टिकोण बिना किसी तार्किक विरोधाभासों के वास्तविकता का पर्याप्त वर्णन करता है। लेकिन यह समस्या का पूरा समाधान नहीं है। Achilles और कछुए के जेनोनियन Agrac पर प्रकाश की गति की अपरिहार्यता पर आइंस्टीन के बयान के समान ही है। हमें अभी भी इस समस्या का अध्ययन करना, पुनर्विचार करना और हल करना है। और निर्णय की असीम संख्या में नहीं की जानी चाहिए, लेकिन माप की इकाइयों में।

एक और दिलचस्प येनॉन Aproria उड़ान तीरों के बारे में बताता है:

फ्लाइंग तीर अभी भी है, क्योंकि हर पल में वह आराम करती है, और चूंकि यह हर पल में रहता है, यह हमेशा रहता है।

इस मनोर में, तार्किक विरोधाभास बहुत आसान है - यह स्पष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि प्रत्येक पल में उड़ान तीर अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं पर आराम कर रहा है, जो वास्तव में आंदोलन है। यहां आपको एक और पल नोट करने की आवश्यकता है। सड़क पर कार की एक तस्वीर के अनुसार, इसके आंदोलन के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है, न ही इसकी दूरी। कार की गति के तथ्य को निर्धारित करने के लिए, आपको समय पर अलग-अलग बिंदुओं पर एक बिंदु से बनाई गई दो फ़ोटो की आवश्यकता होती है, लेकिन दूरी निर्धारित करना असंभव है। कार की दूरी निर्धारित करने के लिए, एक बिंदु पर एक बिंदु पर अंतरिक्ष के विभिन्न बिंदुओं से बने दो तस्वीरें, लेकिन आंदोलन के तथ्य को निर्धारित करना असंभव है (स्वाभाविक रूप से, गणना के लिए अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है, आपकी मदद करने के लिए त्रिकोणमिति)। मैं जो विशेष ध्यान देना चाहता हूं वह यह है कि समय में दो अंक और अंतरिक्ष में दो बिंदु अलग-अलग चीजें हैं जिन्हें भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, क्योंकि वे शोध के लिए अलग-अलग अवसर प्रदान करते हैं।
मैं उदाहरण पर प्रक्रिया दिखाऊंगा। हम "तकिया के लिए लाल ठोस" का चयन करते हैं - यह हमारा "संपूर्ण" है। साथ ही, हम देखते हैं कि ये चीजें धनुष के साथ हैं, और धनुष के बिना है। उसके बाद, हम "पूरे" का हिस्सा चुनते हैं और "धनुष के साथ" बहुत कुछ बनाते हैं। तो शामन अपनी फ़ीड बनाते हैं, अपने सिद्धांत को वास्तविकता के लिए टाई करते हैं।

अब थोड़ा गंदा बनाते हैं। एक "धनुष के साथ एक पारी में कड़ी मेहनत करें" और रंगीन संकेत में इन "पूरे" को एकजुट करें, लाल तत्वों को स्विंग करें। हमें बहुत सारे "लाल" मिले। अब सवाल रीढ़ की हड्डी पर है: प्राप्त सेट "एक धनुष के साथ" और "लाल" एक ही सेट या दो अलग-अलग सेट हैं? केवल शमांस केवल जवाब जानते हैं। अधिक सटीक, वे स्वयं कुछ भी नहीं जानते हैं, लेकिन वे कहेंगे, तो यह होगा।

यह सरल उदाहरण दिखाता है कि वास्तविकता की बात आने पर सेट का सिद्धांत पूरी तरह से बेकार है। क्या राज हे? हमने बहुत सारे "धनुष के साथ एक पारी में लाल ठोस" बनाया। गठन माप की चार अलग-अलग इकाइयों में हुआ: रंग (लाल), ताकत (ठोस), खुरदरापन (एक पुल में), सजावट (धनुष के साथ)। केवल माप की इकाइयों का सेट गणित की भाषा में वास्तविक वस्तुओं का वर्णन करने के लिए पर्याप्त रूप से अनुमति देता है। यही ऐसा लगता है।

विभिन्न सूचकांक के साथ "ए" पत्र माप की विभिन्न इकाइयों को इंगित करता है। ब्रैकेट में माप की इकाइयां आवंटित की जाती हैं जिस पर "पूरे" को प्रारंभिक चरण में हाइलाइट किया जाता है। ब्रैकेट के पीछे माप की एक इकाई बनाई, जो एक सेट द्वारा बनाई गई है। बाद की रेखा अंतिम परिणाम दिखाती है - सेट का तत्व। जैसा कि आप देख सकते हैं, यदि आप सेट बनाने के लिए माप की इकाइयों का उपयोग करते हैं, तो परिणाम हमारे कार्यों के आदेश पर निर्भर नहीं करता है। और यह पहले से ही गणित है, नंबरों के नृत्य नृत्य के साथ। शमांस इसे "स्पष्ट" बहस करके "अंतर्ज्ञानी" हो सकते हैं, क्योंकि माप की इकाइयां उनके "वैज्ञानिक" शस्त्रागार में शामिल नहीं हैं।

माप की इकाइयों का उपयोग करके, एक को विभाजित करना या कई सेटों को एक अलार्म में गठबंधन करना बहुत आसान है। आइए इस प्रक्रिया के बीजगणित को अधिक ध्यान से देखें।

आम तौर पर, यह प्रश्न विशेष ध्यान देने योग्य है, लेकिन यहां सबकुछ सरल है: डिग्री और साइनस और कोसाइन का कोण सकारात्मक (ड्राइंग देखें), फिर एक प्लस साइन लें।

अब साइनस और कोसाइन कोण खोजने के लिए पूर्वगामी के आधार पर प्रयास करें: और

आप स्नैच कर सकते हैं: विशेष रूप से डिग्री में एक कोण के लिए। चूंकि आयताकार त्रिभुज का एक कोने डिग्री के बराबर है, फिर दूसरी डिग्री। अब आपके द्वारा परिचित सूत्र लागू होते हैं:

तब से, तब। तब से। डिग्री के साथ अभी भी सरल हैं: तो यदि आयताकार त्रिभुज के कोनों में से एक डिग्री है, तो दूसरा डिग्री के बराबर है, जिसका अर्थ यह है कि इस तरह का एक त्रिभुज निःशुल्क है।

तो उसकी बिल्ली बराबर हैं। और इसलिए, इसका साइनस और कोसाइन बराबर है।

अब नई परिभाषा (एक्स और आईएक्स के माध्यम से) साइनस और कोसाइन कोनों की डिग्री और डिग्री के लिए खुद को ढूंढें। यहां कोई त्रिकोण नहीं हैं। भी, वे फ्लैट होंगे!

आपको प्राप्त करना था:

टेंगेंट और कोटेंगेन्स आप स्वयं को सूत्रों के अनुसार पा सकते हैं:

कृपया ध्यान दें कि इसे साझा करना असंभव है !!

अब प्राप्त सभी संख्याओं को तालिका में कम किया जा सकता है:

यहां साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और कैटेंजेंस कोनों के मूल्य हैं मैं तिमाही। सुविधा के लिए, कोण डिग्री और रेडियंस में दोनों को दिया जाता है (लेकिन अब आप उनके बीच संबंध जानते हैं!)। तालिका में 2 डॉकिंग पर ध्यान दें: अर्थात् kotangens खरोंच और टेंगेंट डिग्री से। यह अच्छा नहीं है!

विशेष रूप से:

अब आइए पूरी तरह से मनमानी कोण पर साइनस और कोसाइन की अवधारणा को सारांशित करें। मैं यहां दो मामलों पर विचार करूंगा:

1. कोने से डिग्री तक स्थित है
2. कॉर्नर अधिक डिग्री

आम तौर पर, मैंने एक छोटी आत्मा को घुमाया, "पूरी तरह से सभी" कोणों के बारे में बात करते हुए। वे भी नकारात्मक हैं! लेकिन इस मामले में, हम एक और लेख में विचार करेंगे। सबसे पहले, चलो पहले मामले में रुकें।

यदि कोण 1 तिमाही में स्थित है - तो सबकुछ स्पष्ट है, हमने पहले ही इस मामले पर विचार किया है और यहां तक \u200b\u200bकि टेबल भी आकर्षित हुए हैं।

अब हमारे कोण को और अधिक डिग्री दें और इससे अधिक नहीं। इसका मतलब है कि यह 2 में, या 3 या 4 तिमाहियों में स्थित है।

हम कैसे करें? हाँ, उसी तरह!

चलो गौर करते हैं इस मामले के बजाय ...

... यह है:

वह है, दूसरी तिमाही में कोण पर विचार करें। हम उसके बारे में क्या कह सकते हैं?

इस बिंदु पर, जो कि बीम के चौराहे का बिंदु है और परिधि में अभी भी 2 निर्देशांक हैं (कुछ भी अलौकिक नहीं है, है ना?)। ये निर्देशांक हैं और।

और पहला समन्वय नकारात्मक है, और दूसरा सकारात्मक है! इसका मतलब है कि दूसरी तिमाही कोसाइन के कोण नकारात्मक है, और साइनस सकारात्मक है!

आश्चर्यजनक रूप से, सही? इससे पहले, हम कभी भी नकारात्मक कोसाइन में नहीं आते हैं।

और सिद्धांत रूप में, यह तब भी नहीं हो सकता जब हमने त्रिकोणीय कार्यों के पक्षों के संबंध के रूप में त्रिकोणमितीय कार्यों को माना। वैसे, सोचो कि किसकोनस कोनों के बराबर हैं? और साइनस के बराबर क्या है?

इसी तरह, आप अन्य सभी तिमाहियों में कोणों पर विचार कर सकते हैं। मैं आपको याद दिलाया कि कोण को एक दक्षिणावर्त तीर के खिलाफ गिना जाता है! (इसलिए, जैसा कि अंतिम आंकड़े में दिखाया गया है!)।

बेशक, आप दूसरी तरफ भरोसा कर सकते हैं, लेकिन ऐसे कोनों के दृष्टिकोण पहले से ही कुछ अलग होंगे।

उपर्युक्त तर्क के आधार पर, सभी चार तिमाहियों के लिए साइनस, कोसाइन, टेंगेंट (कोसाइन द्वारा विभाजित साइन के रूप में) और कोटेनेंस (सिनस में विभाजित) से संकेतों को रखना संभव है।

लेकिन मैं एक बार फिर दोहराता हूं, इस ड्राइंग को याद रखने का कोई मतलब नहीं है। तुम्हें सिर्फ ज्ञान की आवश्यकता है:

मुझे थोड़ा सा अभ्यास करने दो। पूरी तरह से सरल कार्य:

यह पता लगाएं कि कौन से चिन्ह निम्न मान हैं:

चेक?

1. डिग्री एक कोण, अधिक से अधिक और छोटा है, और इसलिए 3 तिमाहियों में स्थित है। 3 तिमाहियों पर कोई कोण बनाएं और देखें कि वह क्या सुना है। वह नकारात्मक होगा। फिर।
   डिग्री - 2 तिमाहियों का कोण। साइनस वहां सकारात्मक है, और कोसाइन नकारात्मक है। प्लस माइनस के लिए साझा करने के लिए - यह शून्य होगा। इसलिए।
   डिग्री - कोण, अधिक से अधिक और छोटा। तो, वह 4 तिमाहियों में स्थित है। चौथी तिमाही "एक्स" का कोई भी कोण सकारात्मक होगा, इसका मतलब है
2. रेडियंस के साथ, हम उसी तरह काम करते हैं: यह दूसरी तिमाही का कोण है (तब से। दूसरी तिमाही सकारात्मक साइनस है।
   .
   यह चौथी तिमाही का कोना है। एक सकारात्मक कोसाइन है।
   - चौथी तिमाही कोण। एक सकारात्मक कोसाइन है, और साइनस नकारात्मक है। फिर टेंगेंट शून्य से कम होगा:

शायद आपके लिए रेडियंस के क्वार्टर निर्धारित करना मुश्किल है। इस मामले में, आप हमेशा डिग्री पर जा सकते हैं। जवाब, ज़ाहिर है, बिल्कुल वही होगा।

अब मैं किस क्षण पर बहुत संक्षेप में रुकना चाहूंगा। आइए मुख्य त्रिकोणमितीय पहचान को फिर से याद करें।

जैसा कि मैंने कहा, इससे हम कोसाइन या विपरीत के माध्यम से साइनस व्यक्त कर सकते हैं:

केवल तिमाही, जो हमारा कोण अल्फा है, वह संकेत की पसंद को प्रभावित करेगा। पिछले दो सूत्रों के लिए परीक्षा में बहुत सारे कार्य हैं, उदाहरण के लिए, इस तरह:

एक कार्य

अगर खोजें।

वास्तव में, यह एक चौथाई कार्य है! देखें कि यह कैसे हल किया जाता है:

फेसला

चूंकि, हम यहां एक मान को प्रतिस्थापित करेंगे। अब यह छोटा है: संकेत से निपटें। हमें इसके लिए क्या चाहिए? पता है कि हमारा कोण क्या है। कार्य की स्थिति के तहत :. क्या तिमाही? चौथा। चौथी तिमाही में कोसाइन का संकेत क्या है? चौथी तिमाही में कोसाइन सकारात्मक है। फिर हमें अभी भी पहले "प्लस" चिह्न चुनना होगा। , तब फिर।

मैं इस तरह के कार्यों पर विस्तार से विस्तार से नहीं रुकूंगा, आप लेख में उनके विस्तृत विश्लेषण पा सकते हैं। मैं सिर्फ आपको यह बताना चाहता था कि तिमाही के आधार पर एक या किसी अन्य त्रिकोणमितीय कार्य को स्वीकार करने का महत्व।

कोनों अधिक डिग्री

आखिरी बात यह है कि मैं इस लेख में नोट करना चाहूंगा कि डिग्री से बड़े कोनों के साथ कैसे रहना है?

यह क्या है और यह दबाए जाने के साथ क्या हो सकता है? मैं इसे ले जाऊंगा, मैं डिग्री (रेडियंस) में कोण कहूंगा और इसके विपरीत रूप से जाना ...

आकृति में, मैंने एक सर्पिल खींचा, लेकिन आप समझते हैं कि वास्तव में हमारे पास कोई सर्पिल नहीं है: हमारे पास केवल एक सर्कल है।

तो यदि आप एक निश्चित कोण से शुरू करते हैं और पूरे सर्कल (डिग्री या रेडियंस) पास करते हैं तो हमें कहां मिलेगा?

हम कहाँ आए हैं? और हम एक ही कोने में आएंगे!

यह, ज़ाहिर है, किसी भी अन्य कोण के लिए सच है:

एक मनमाने ढंग से कोण लेते हुए और पूरी तरह से सभी परिधि को पार करना, हम एक ही कोने में वापस आ जाएंगे।

यह हमें क्या देगा? लेकिन क्या: अगर, तो

आप आखिरकार कहां प्राप्त करते हैं:

किसी भी पूरे के लिए। इसका मतलब है कि साइन और कोसाइन एक अवधि के साथ आवधिक कार्य हैं.

इस प्रकार, एक साइन इन करने में कोई समस्या नहीं है एक मनमाने ढंग से कोण: यह हमारे कोने में फिट होने वाले सभी "पूरे मंडलियों" को त्यागने के लिए पर्याप्त है और पता लगाएं कि कौन सा चौथाई शेष कोने है।

उदाहरण के लिए, एक संकेत खोजें:

चेक:

1. डिग्री (डिग्री) पर डिग्री फिट के समय में:
   बाएं डिग्री। यह 4 तिमाहियों का कोण है। वहाँ साइनस नकारात्मक है, इसका मतलब है
2. । डिग्री। यह 3 तिमाहियों का कोण है। एक नकारात्मक कोसाइन है। फिर
3. । । तब से - पहली तिमाही का कोण। कोसाइन पॉजिटिव है। फिर कोस।
4. । । चूंकि, तब हमारा कोण दूसरी तिमाही में निहित है, जहां साइन सकारात्मक है।

इसी प्रकार, हम स्पर्शरेखा और कुंडेंट के लिए कर सकते हैं। हालांकि, वास्तव में, यह उनके साथ भी आसान है: वे आवधिक कार्य भी हैं, केवल आज वे 2 गुना कम हैं:

तो, आपको एहसास हुआ कि इस तरह के एक त्रिकोणमितीय सर्कल और इसकी आवश्यकता क्यों है।

लेकिन हमारे पास अभी भी बहुत सारे प्रश्न हैं:

1. नकारात्मक कोण क्या है?
2. इन कोनों में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना कैसे करें
3. त्रिकोणमितीय कार्यों के ज्ञात मानों के अनुसार, 1 तिमाही अन्य तिमाहियों में कार्यों के मूल्यों को देखने के लिए (इसे वास्तव में तालिका को तेज करने की आवश्यकता है?!)
4. एक सर्कल का उपयोग कर त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को सरल कैसे करें?

औसत स्तर

खैर, इस लेख में, हम त्रिकोणमितीय सर्कल का अध्ययन करना जारी रखेंगे और निम्नलिखित बिंदुओं पर चर्चा करेंगे:

1. नकारात्मक कोण क्या हैं?
2. इन कोनों में त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की गणना कैसे करें?
3. अन्य तिमाहियों में कार्यों के मूल्यों को देखने के लिए 1 तिमाही के त्रिकोणमितीय कार्यों के ज्ञात मानों के अनुसार?
4. टैंगेंट अक्ष और कोटैंगेंस की धुरी क्या है?

एक सर्कल (पिछले लेख) के साथ काम करने के बुनियादी कौशल को छोड़कर, कोई अतिरिक्त ज्ञान नहीं होगा। खैर, चलो पहले प्रश्न प्राप्त करें: नकारात्मक कोण क्या है?

नकारात्मक कोण

त्रिकोणमिति में नकारात्मक कोण शुरुआत से नीचे एक त्रिकोणमितीय सर्कल पर स्थित, दक्षिणावर्त आंदोलन की दिशा में:

आइए याद रखें कि कैसे हमें त्रिकोणमितीय सर्कल पर कोनों को स्थगित कर दिया गया था: हम सकारात्मक धुरी दिशा से चले गए वकालतवार:

फिर हमारे आंकड़े में एक कोण बराबर बनाया गया। इसी तरह, हमने सभी कोणों का निर्माण किया।

हालांकि, कुछ भी हमें धुरी की सकारात्मक दिशा से जाने के लिए फोर्बेट करता है दक्षिणावर्त.

हमें विभिन्न कोण भी मिलेंगे, लेकिन वे पहले से ही नकारात्मक होंगे:

अगली तस्वीर में, दो कोण को पूर्ण मूल्य में चित्रित किया गया है, लेकिन संकेत के विपरीत:

आम तौर पर, नियम इस तरह तैयार किया जा सकता है:

• हम वामावयी जाते हैं - हमें सकारात्मक कोण मिलते हैं
• हम घड़ी की दिशा में जाते हैं - हमें नकारात्मक कोण मिलते हैं

योजनाबद्ध रूप से, नियम इस तस्वीर में दिखाया गया है:

आप मुझसे एक पूरी तरह से उचित प्रश्न पूछ सकते हैं: ठीक है, हमें साइनस, कोसाइन, टेंगेंट और गहने के मूल्यों को मापने के लिए कोणों की आवश्यकता है।

तो क्या हमारे पास एक सकारात्मक कोने है, और नकारात्मक कब होता है? मैं आपको जवाब दूंगा: एक नियम के रूप में है।

हालांकि, आप हमेशा कोने में समारोह की गणना तक नकारात्मक कोण से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन की गणना को कम कर सकते हैंसकारात्मक।

निम्नलिखित चित्र देखें:

मैंने दो कोण बनाया, वे पूर्ण मूल्य के बराबर हैं, लेकिन विपरीत संकेत है। हम अपने साइनस के प्रत्येक कोने और कुल्हाड़ियों पर कोसाइन के लिए नोट करते हैं।

हम आपके साथ क्या देखते हैं? पर क्या:

• कोनों पर साइनस और साइन द्वारा विपरीत! तो अगर
• कोनों पर cosines और मेल खाता है! तो अगर
• तब से:
• तब से:

इस प्रकार, हम हमेशा किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के अंदर एक नकारात्मक संकेत से छुटकारा पा सकते हैं: या तो इसे नष्ट कर रहा है, एक कोसाइन की तरह, या इसे समारोह से पहले डालकर, जैसे साइनस, टेंगेंट और कोटेंगनेस।

वैसे, याद रखें कि फ़ंक्शन का नाम क्या है जो किसी भी अनुमेय के लिए किया जाता है :?

इस समारोह को विषम कहा जाता है।

और यदि किसी भी अनुमेय के लिए किया जाता है :? इस मामले में, फ़ंक्शन को भी कहा जाता है।

तो हमने अभी दिखाया है कि:

इस प्रकार, जैसा कि आप समझते हैं, कोई फर्क नहीं पड़ता है, चाहे हम एक सकारात्मक कोण या नकारात्मक से एक साइन की तलाश में हों: एक ऋण से निपटने में आसान है। इसलिए हमें नकारात्मक कोणों के लिए अलग से टेबल की आवश्यकता नहीं है।

दूसरी तरफ, सहमत हैं, शेष तिमाही के लिए समान कार्यों की गणना करने में सक्षम होने के लिए, पहली तिमाही के कोनों के केवल त्रिकोणमितीय कार्यों को जानना बहुत सुविधाजनक होगा। क्या इसे करना संभव है? यकीन है कि आप कर सकते हैं! आपके पास कम से कम 2 तरीके हैं: पहला त्रिभुज बनाने और पायथागोर के प्रमेय को लागू करना है (इसलिए हम आपके साथ हैं और पहली तिमाही के मुख्य कोनों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को पाए गए), और दूसरा पहली तिमाही में कोनों के लिए कार्यों के मूल्यों को याद रखना और कुछ सरल नियम, अन्य सभी तिमाहियों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना करने में सक्षम होना चाहिए। दूसरा तरीका आपको लंबे अंत से त्रिकोणों और पायथागोरस के साथ बचाएगा, इसलिए यह मुझे और अधिक आशाजनक लगता है:

तो, इस विधि (या नियम) को कहा जाता है - लीड का सूत्र।

कास्ट के सूत्र

लगभग बोलते हुए, ये सूत्र आपको इस तालिका को याद नहीं करने में मदद करेंगे (यह उस तरीके से है जिसमें 98 संख्याएं हैं!):

यदि आपको यह याद है (केवल 20 नंबर):

यही है, आप अपने सिर को पूरी तरह से अनावश्यक 78 नंबर नहीं बना सकते हैं! उदाहरण के लिए, हमें गणना करने की आवश्यकता है। यह स्पष्ट है कि एक छोटी सी मेज में ऐसी कोई चीज नहीं है। हम क्या करें? पर क्या:

सबसे पहले, हमें निम्नलिखित ज्ञान की आवश्यकता होगी:

1. साइनस और कोसाइन में एक अवधि (डिग्री) होती है, वह है

   टेंगेंट (कोटेंगेन्स) में एक अवधि (डिग्री) होती है

   कोई पूर्णांक

2. साइनस और स्पर्शरेखा - विषम कार्य, और कोसाइन - यहां तक \u200b\u200bकि:

पहला कथन हम पहले से ही आपके साथ साबित हुए हैं, और दूसरे के न्याय को हाल ही में स्थापित किया गया है।

सीधे इस तरह लाने का नियम:

1. यदि हम नकारात्मक कोण से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मूल्य की गणना करते हैं - हम फॉर्मूला समूह (2) के साथ इसे सकारात्मक बनाते हैं। उदाहरण के लिए:
2. हम साइनस और कोसाइन के लिए अपनी अवधि को त्याग देते हैं: (डिग्री से), और स्पर्शक के लिए - (डिग्री)। उदाहरण के लिए:
3. यदि शेष "कोने" डिग्री से कम है, तो कार्य हल हो जाता है: हम इसे "छोटी तालिका" में ढूंढ रहे हैं।
4. अन्यथा, हम देख रहे हैं कि कौन सा क्वार्टर हमारा कोण है: यह 2, 3 या 4 तिमाहियों होगा। हम देखते हैं कि एक चौथाई का वांछित कार्य किस संकेत है। मुझे यह संकेत याद है !!!
5. हम निम्नलिखित रूपों में से एक में एक कोण प्रस्तुत करते हैं:

   (यदि दूसरी तिमाही में)
   (यदि दूसरी तिमाही में)
   (यदि तीसरी तिमाही में)
   (यदि तीसरी तिमाही में)
   
   (यदि चौथी तिमाही में)

   ताकि शेष कोण अधिक शून्य और कम डिग्री है। उदाहरण के लिए:

   सिद्धांत रूप में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि प्रत्येक तिमाही के लिए दो वैकल्पिक रूपों में से कौन सा आप एक कोण पेश करेंगे। आखिरकार, यह प्रभावित नहीं होगा।

6. अब हम देखते हैं कि हमने क्या किया: यदि आपने रिकॉर्ड के माध्यम से या डिग्री प्लस एक शून्य से कुछ चुना है, तो फ़ंक्शन का संकेत नहीं बदलेगा: आप बस एक साइन, कोसाइन या टेंगेंट शेष कोण को हटा या लिखते हैं। यदि आपने एक रिकॉर्ड या डिग्री के माध्यम से एक रिकॉर्ड चुना है, तो साइनस कोसाइन में बदल जाता है, साइनस पर कोसाइन, कोटेनेस के लिए टेंगेंट, कॉटनेंट - टेंगेंट पर।
7. हमने परिणामी अभिव्यक्ति से पहले अनुच्छेद 4 का संकेत लगाया।

आइए उदाहरणों पर सभी पूर्वगामी का प्रदर्शन करें:

1. गणना
2. गणना
3. Nai di- आप में से वे-रे:

चलो क्रम में शुरू करते हैं:

1. हम अपने एल्गोरिदम के अनुसार कार्य करते हैं। हम इसके लिए मंडलियों की संख्या को हाइलाइट करते हैं:

   आम तौर पर, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि कोने पूरी तरह से 5 गुना रखा गया है, और कितना बनी हुई है? बाएं। फिर

   खैर, हमने बहुत ज्यादा गिरा दिया है। अब हम संकेत से निपटते हैं। 4 तिमाहियों पर स्थित है। सीनस चौथी तिमाही में "माइनस" संकेत है, मुझे प्रतिक्रिया में डालना नहीं चाहिए। इसके बाद, हम अग्रणी नियमों के अनुच्छेद 5 के दो सूत्रों में से एक के अनुसार प्रस्तुत करते हैं। मैं चयन करूंगा:

   अब हम देखते हैं कि क्या हुआ: हमारे पास डिग्री के साथ एक मामला है, फिर कोसाइन को बदलकर साइनस फेंकना। और उसके सामने "माइनस" साइन डालें!

   डिग्री - पहली तिमाही में कोण। हम जानते हैं (आपने एक छोटी सी मेज सीखने का वादा किया !!) इसका अर्थ:

   फिर हमें अंतिम उत्तर मिलता है:

   उत्तर:

2. सभी समान, लेकिन डिग्री के बजाय - रेडियंस। कोई खराबी नहीं। यह याद रखने के लिए मुख्य बात

   लेकिन आप रेडियंस को डिग्री के लिए प्रतिस्थापित नहीं कर सकते हैं। यह आपके स्वाद का सवाल है। मैं कुछ भी नहीं बदलेगा। मैं पूरी मंडलियों को त्यागने के साथ फिर से शुरू करूंगा:

   हम इन दो पूरी मंडलियों को त्याग देते हैं। यह गणना करने के लिए बनी हुई है। यह कोण तीसरी तिमाही में है। तीसरी तिमाही का कोसाइन नकारात्मक है। प्रतिक्रिया में "शून्य" संकेत डालना न भूलें। के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। नियम याद रखें: हमारे पास "संपूर्ण" संख्या (या) मामला है, फिर फ़ंक्शन नहीं बदलता है:

   फिर।
   उत्तर :.

3. । आपको सब कुछ करने की ज़रूरत है, लेकिन पहले से ही दो कार्यों के साथ। मैं कुछ हद तक अधिक संक्षिप्त होगा: और डिग्री - दूसरी तिमाही के कोण। दूसरी तिमाही के कोसाइन में "माइनस" संकेत है, और साइनस "प्लस" है। के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है: और कैसे, तो

   दोनों घटनाएं "पूरी तरह से हिस्सों" हैं। फिर साइनस कोसाइन में बदलता है, और कोसाइन साइनस पर है। और कोसाइन से पहले एक "माइनस" संकेत है:

उत्तर :.

अब निम्नलिखित उदाहरणों पर खुद को हटा दें:

और यहां समाधान हैं:

1. 
   सबसे पहले, मैं माइनस से छुटकारा पाऊंगा, इसे साइनस के सामने ले जाऊंगा (जैसा कि साइनस एक अजीब समारोह है !!!)। फिर कोणों पर विचार करें:

   मंडल की पूरी संख्या लौटाएं - यानी, तीन मंडलियां ()।
   यह गणना करने के लिए बनी हुई है :.
   दूसरे कोण के साथ भी कार्य करें:

   हम सर्कल की पूर्णांक संख्या को हटाते हैं - 3 सर्कल () तो:

   अब हम सोचते हैं: शेष कोने क्या तिमाही है? वह सब कुछ के लिए "नहीं पहुंचता"। फिर क्या तिमाही? चौथा। चौथी तिमाही कोसाइन का संकेत क्या है? सकारात्मक। अब कल्पना करो। चूंकि हम पूरी संख्या से कटौती करेंगे, फिर कोसाइन साइन नहीं बदलता है:

   हम सूत्र में प्राप्त सभी डेटा को प्रतिस्थापित करते हैं:

   उत्तर :.

2. 
   मानक रूप से: हम इस तथ्य का उपयोग करके, कोसाइन से माइनस निकालते हैं।
   यह कोसाइन डिग्री गिनने के लिए बनी हुई है। पूरे मंडलियों को हटा दें :. फिर

   फिर।
   उत्तर :.

3. हम पिछले उदाहरण के रूप में कार्य करते हैं।

   जैसा कि आपको याद है कि टैंगेंस की अवधि - (या), कोसाइन या साइन के विपरीत, जिसमें से यह 2 गुना अधिक है, फिर पूरी राशि को हटा दें।

   डिग्री - दूसरी तिमाही में कोण। दूसरी तिमाही का टेंगेंट नकारात्मक है, फिर "माइनस" के अंत में न भूलें! आप के रूप में लिख सकते हैं। टेंगेंट कोनेंस में बदलाव। अंत में प्राप्त करें:

   फिर।
   उत्तर :.

खैर, यह बहुत कम रहता है!

टेंगेंट एक्सिस और कोटेनेनेंट्स की धुरी

आखिरी चीज जिसे मैं यहां रोकना चाहता हूं वह दो अतिरिक्त अक्ष पर है। जैसा कि हमने पहले ही चर्चा की है, हमारे पास दो अक्ष हैं:

1. एक्सिस - कोसाइन की धुरी
2. एक्सिस - साइनस एक्सिस

वास्तव में, समन्वय कुल्हाड़ी समाप्त हो गई है, है ना? लेकिन टैंगेंट और catangents के साथ कैसे हो?

क्या उनके लिए कोई ग्राफिक व्याख्या नहीं है?

वास्तव में, वह है, आप उसे इस तस्वीर पर देख सकते हैं:

विशेष रूप से, इन तस्वीरों पर आप यह कह सकते हैं:

1. टेंगेंट और कोटेंगेन्स में वही चौथा संकेत होते हैं
2. वे 1 और 3 तिमाहियों में सकारात्मक हैं
3. वे 2 और 4 तिमाहियों में नकारात्मक हैं
4. टेंगेंट कोनों में परिभाषित नहीं किया गया है
5. कोटेगेंट कोनों में परिभाषित नहीं किया गया है

आपको अभी भी इन तस्वीरों की आवश्यकता क्यों है? हम एक उन्नत स्तर पर सीखते हैं, जहां मैं बताऊंगा, एक त्रिकोणमितीय सर्कल की मदद से, आप त्रिकोणमितीय समीकरणों के समाधान को सरल बना सकते हैं!

उन्नत स्तर, उच्च स्तर

इस लेख में मैं वर्णन करूंगा कि कैसे सिंगल सर्कल (त्रिकोणमितीय सर्कल) यह त्रिकोणमितीय समीकरणों को हल करने में उपयोगी हो सकता है।

मैं उपयोगी होने पर दो मामलों को हाइलाइट कर सकता हूं:

1. जवाब में, हम "सुंदर" कोण काम नहीं करते हैं, लेकिन फिर भी आपको जड़ों का चयन करने की आवश्यकता है
2. जवाब में, बहुत अधिक रूट श्रृंखला है

विषय के ज्ञान को छोड़कर आपको कोई विशिष्ट ज्ञान चाहिए:

विषय "त्रिकोणमितीय समीकरण" मैंने परिधि का सहारा लेने के बिना लिखने की कोशिश की। कई इस तरह के दृष्टिकोण के लिए मेरी प्रशंसा नहीं करेंगे।

लेकिन मैं एक अच्छा सूत्र हूं, बस यहाँ करने के लिए। हालांकि, कुछ मामलों में, सूत्र छोटे होने के लिए बाहर निकलते हैं। इस लेख को लिखें मुझे निम्नलिखित उदाहरण दें:

प्रश्न हल करें:

कुंआ। समीकरण को हल करना आसान है।

रिवर्स रिप्लेसमेंट:

यहां से हमारे प्रारंभिक समीकरण चार सरल समीकरणों के लिए tantamount है! क्या हमें जड़ों की 4 श्रृंखला लिखने की आवश्यकता है:

सिद्धांत रूप में, यह रोका जा सकता है। लेकिन केवल कुछ "जटिलता" के लिए आवेदन करने वाले इस आलेख के पाठक नहीं हैं!

सबसे पहले, जड़ों की पहली श्रृंखला पर विचार करें। तो, इकाई सर्कल लिया जाता है, अब आइए इन जड़ों को सर्कल (अलग से और के लिए) में लाएं:

ध्यान दें: कोनों और के बीच क्या कोण निकला? यह कोण है। अब मैं श्रृंखला के लिए भी ऐसा ही करूंगा :.

समीकरण की जड़ों के बीच फिर से कोण निकला। और अब ये दो चित्र संगत हैं:

हम क्या देखते हैं? और फिर, हमारी जड़ों के बीच सभी कोनों बराबर हैं। इसका क्या मतलब है?

अगर हम कोने से शुरू करते हैं और कोनों को बराबर (किसी भी पूरे के लिए) लेते हैं, तो हम हमेशा ऊपरी सर्कल पर चार बिंदुओं में से एक में शामिल होंगे! इस प्रकार, जड़ों की 2 श्रृंखला:

आप एक में गठबंधन कर सकते हैं:

हां, जड़ों की श्रृंखला के लिए:

तर्क निष्पक्ष नहीं होंगे। एक ड्राइंग बनाएं और समझें कि ऐसा क्यों है। हालांकि, उन्हें निम्नानुसार जोड़ा जा सकता है:

फिर प्रारंभिक समीकरण में एक रूट है:

एक बहुत छोटा और संक्षिप्त उत्तर क्या है। संक्षिप्तता और संक्षिप्त का क्या अर्थ है? अपने गणितीय डिप्लोमा के स्तर पर।

यह पहला उदाहरण था जिसमें त्रिकोणमितीय सर्कल के उपयोग ने फायदेमंद फल दिए थे।

दूसरा उदाहरण समीकरण है जिनमें "बदसूरत जड़ें" हैं।

उदाहरण के लिए:

1. समीकरण तय करें।
2. इसे अंतराल से संबंधित जड़ें खोजें।

पहला भाग कुछ भी जटिल नहीं है।

चूंकि आप पहले से ही विषय से परिचित हैं, तो मैं अपनी गणना में खुद को एक संक्षिप्त अनुमति दूंगा।

तब या

तो हमें हमारे समीकरण की जड़ें मिलीं। कुछ भी मुश्किल नहीं है।

कार्य के दूसरे भाग को हल करना अधिक कठिन होता है, यह नहीं जानता कि शून्य से एक तिमाही से अर्जित के बराबर क्या है (यह एक तालिका मूल्य नहीं है)।

हालांकि, हम एक सर्कल पर जड़ों की मिली श्रृंखला को चित्रित कर सकते हैं:

हम क्या देखते हैं? सबसे पहले, चित्र ने हमें समझने के लिए दिया, क्या सीमाएं Arkkosinus है:

यह दृश्य व्याख्या हमें सेगमेंट से संबंधित जड़ों को खोजने में मदद करेगी :.

सबसे पहले, संख्या इसमें है, फिर (देखें अंजीर)।

सेगमेंट से भी संबंधित है।

इस प्रकार, एक एकल सर्कल यह निर्धारित करने में मदद करता है कि कौन सी सीमाएं "बदसूरत" कोण गिरती हैं।

आपको कम से कम एक और सवाल रहना पड़ा: और हमें टैंगेंट और catangents के साथ कैसे होना चाहिए?

वास्तव में, उनके लिए उनके कुल्हाड़ियों भी हैं, हालांकि, उनके पास थोड़ा विशिष्ट उपस्थिति है:

अन्यथा, उन्हें संभालने का तरीका साइन और कोसाइन के समान होगा।

उदाहरण

समीकरण दिया गया है।

• इस समीकरण का फैसला करें।
• अंतराल से संबंधित इस समीकरण की जड़ों को निर्दिष्ट करें।

फेसला:

हम एक एकल सर्कल खींचते हैं और इस पर हमारे समाधान मनाते हैं:

उस आंकड़े से आप इसे समझ सकते हैं:

या इससे भी ज्यादा:

फिर हमें सेगमेंट से संबंधित जड़ें मिलती हैं।

, (जैसा)

मैं आपको यह सुनिश्चित करने के लिए खुद को देता हूं कि अंतराल से संबंधित अन्य जड़ें, हमारे समीकरण में नहीं है।

सारांश और मूल सूत्र

मुख्य उपकरण त्रिकोणमिति है त्रिकोणमितीय सर्कल,यह आपको कोणों को मापने, अपनी साइन, कोसाइन और इतने पर खोजने की अनुमति देता है।

कोणों को मापने के दो तरीके हैं।

1. डिग्री के माध्यम से
2. रेडियंस के माध्यम से

इसके विपरीत: रेडियंस से डिग्री तक:

आपको आवश्यक साइन और कोसाइन कोण खोजने के लिए:

1. एक ऐसे केंद्र के साथ एक सर्कल का संचालन करें जो कोण की चोटी के साथ मेल खाता है।
2. एक सर्कल के साथ इस कोने के चौराहे का बिंदु खोजें।
3. उसका "Iksova" समन्वय कृत्रिम कोण का एक कोसाइन है।
4. उसका "रीसाइक्लिंग" समन्वय कलात्मक कोण का एक साइनस है।

कास्ट के सूत्र

ये सूत्र हैं जो त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के जटिल अभिव्यक्तियों को सरल बनाना संभव बनाता है।

ये सूत्र आपको इस तालिका को याद रखने में मदद करेंगे:

सारांश

आपने त्रिकोणमिति में एक सार्वभौमिक स्पोर करना सीखा।

आपने कार्यों को बहुत आसान और तेज़ और सबसे महत्वपूर्ण रूप से हल करना सीखा और सबसे महत्वपूर्ण रूप से त्रुटियों के बिना।

आपको एहसास हुआ कि आपको किसी भी तालिका को तेज करने की आवश्यकता नहीं है और सामान्य रूप से आपको तेज करने की आवश्यकता है!

अब मैं तुम्हें सुनना चाहता हूँ!

क्या आपने इस जटिल विषय से निपटने का प्रबंधन किया?

तुम्हे क्या पसंद है? क्या पसंद नहीं आया?

शायद आपको कोई गलती मिली?

टिप्पणियों में लिखें!

और परीक्षा में शुभकामनाएँ!

स्कूल में त्रिकोणमिति का अध्ययन करते समय, प्रत्येक छात्र को "संख्यात्मक सर्कल" की एक बहुत ही रोचक अवधारणा का सामना करना पड़ता है। स्कूल के शिक्षक के कौशल से, यह समझाएं कि यह क्या है, और जिसके लिए इसे आवश्यकता है, निर्भर करता है कि छात्र कितनी अच्छी तरह से त्रिकोणमिति कब जाएंगे। दुर्भाग्यवश, इस सामग्री को समझाने के लिए हर शिक्षक उपलब्ध नहीं हो सकता है। नतीजतन, कई छात्र भी जश्न मनाने के साथ भ्रमित हैं न्यूमेरिक सर्कल पर डॉट्स। यदि आप इस आलेख को अंत तक पूरा करते हैं, तो समस्याओं के बिना इसे कैसे करें सीखें।

तो, आगे बढ़ें। एक सर्कल बनाएं, जिसकी त्रिज्या है 1. इस सर्कल का सबसे "सही" बिंदु पत्र द्वारा दर्शाया गया है ओ:

बधाई हो, आपने सिर्फ एक ही सर्कल खींचा। चूंकि इस सर्कल का त्रिज्या 1 है, तो इसकी लंबाई बराबर है।

प्रत्येक मान्य संख्या को बिंदु से संख्यात्मक सर्कल के साथ प्रक्षेपवक्र की लंबाई के अनुरूप रखा जा सकता है ओ। सकारात्मक दिशा के लिए, आंदोलन की दिशा विपरीत दिशा में स्वीकार की जाती है। नकारात्मक के लिए - दक्षिणावर्त:

एक संख्यात्मक सर्कल पर अंक का स्थान

जैसा कि हमने पहले ही नोट किया है, संख्यात्मक सर्कल (एकल सर्कल) की लंबाई बराबर है। इस सर्कल पर नंबर कहां स्थित होगा? जाहिर है, बिंदु से ओ वामावर्त को सर्कल की आधा लंबाई पास करने की आवश्यकता है, और हम वांछित बिंदु पर होंगे। उसके पत्र को दर्शाता है बी:

कृपया ध्यान दें कि उसी बिंदु पर नकारात्मक दिशा में अर्धवृत्त उत्तीर्ण करना संभव होगा। फिर हमें एक सर्कल नंबर पर स्थगित कर दिया गया। यही है, संख्याएं और एक ही बिंदु अनुरूप है।

और एक ही बिंदु संख्याओं से मेल खाता है, और, सामान्य रूप से, संख्याओं का एक अनंत सेट जो उस रूप में लिखा जा सकता है जहां, यह कई पूर्णांकों से संबंधित है। यह सब बिंदु से है बी आप किसी भी तरफ "राउंड-द-वर्ल्ड" यात्रा कर सकते हैं (परिधि की लंबाई जोड़ें या घटाएं) और उसी बिंदु पर जाएं। हमें एक महत्वपूर्ण निष्कर्ष मिलता है कि आपको समझने और याद रखने की आवश्यकता है।

प्रत्येक संख्या संख्यात्मक सर्कल पर एकमात्र बिंदु से मेल खाती है। लेकिन संख्यात्मक सर्कल पर हर बिंदु असीम रूप से कई संख्याओं से मेल खाता है।

अब हम बिंदु की लंबाई के बराबर चाप पर संख्यात्मक परिधि के ऊपरी अर्धवृत्त साझा करेंगे सी।। यह देखना आसान है कि चाप की लंबाई ओसी। बराबरी का। हम बिंदु से स्थगित करेंगे सी। घड़ी की दिशा की ओर एक ही लंबाई की चाप। नतीजतन, हम बिंदु पर पहुंच जाते हैं बी। परिणाम काफी उम्मीद है क्योंकि। मैं इस चाप को उसी दिशा में फिर से स्थगित कर दूंगा, लेकिन अब बिंदु से बी। नतीजतन, हम बिंदु पर पहुंच जाते हैं डीजो पहले से ही संख्या के अनुरूप होगा:

नोट फिर से यह बिंदु न केवल संख्या के अनुरूप है, बल्कि, उदाहरण के लिए, संख्या, क्योंकि इस बिंदु को आप प्वाइंट से स्थगित कर सकते हैं ओ घड़ी की दिशा (नकारात्मक दिशा में) की दिशा में सर्कल का चौथाई।

और, आम तौर पर, हम फिर से ध्यान देते हैं कि यह बिंदु असीम रूप से कई संख्याओं से मेल खाता है जिन्हें लिखा जा सकता है । लेकिन उन्हें फॉर्म में भी लिखा जा सकता है। या, यदि आप चाहते हैं, तो फॉर्म में। ये सभी रिकॉर्डिंग बिल्कुल समकक्ष हैं, और उन्हें एक दूसरे में से एक प्राप्त किया जा सकता है।

अब एक चाप है ओसी। आधे बिंदु में म।। अब इस पर विचार करें कि चाप की लंबाई क्या है ओम।? सही ढंग से चाप दो बार ओसी।। अर्थात । क्या संख्या बिंदु से मेल खाती है म। एक संख्यात्मक सर्कल पर? मुझे यकीन है कि अब आप समझते हैं कि इन संख्याओं को फॉर्म में लिखा जा सकता है।

लेकिन आप और अन्यथा कर सकते हैं। आइए इसे प्रस्तुत सूत्र में लें। फिर हमें वह मिलता है । यही है, इन नंबरों को लिखा जा सकता है । एक संख्यात्मक सर्कल का उपयोग करके एक ही परिणाम प्राप्त किया जा सकता है। जैसा कि मैंने कहा, दोनों रिकॉर्ड बराबर हैं, और उन्हें एक दूसरे में से एक प्राप्त किया जा सकता है।

अब आप आसानी से अंकों का एक उदाहरण दे सकते हैं जो अंक से मेल खाते हैं। एन, पी तथा क। एक संख्यात्मक सर्कल पर। उदाहरण के लिए, संख्या, और:

अक्सर यह न्यूनतम सकारात्मक संख्या है और संख्यात्मक सर्कल पर संबंधित बिंदुओं को नामित करने के लिए ले जाता है। हालांकि यह बिल्कुल आवश्यक नहीं है, और बिंदु एनजैसा कि आप पहले से ही जानते हैं, अनंत कई अन्य संख्याएं मेल खाती हैं। उदाहरण के लिए, संख्या सहित।

यदि आप चाप विभाजित करते हैं ओसी। तीन बराबर चाप बिंदुओं पर एस तथा एलतो बात एस डॉट्स के बीच झूठ होगा ओ तथा एलफिर चाप की लंबाई ओएस। बराबर होगा, और चाप की लंबाई होगी राजभाषा यह बराबर होगा। पाठ के पिछले हिस्से में प्राप्त ज्ञान का उपयोग करके, आप आसानी से चतुर कर रहे हैं कि संख्यात्मक सर्कल पर अन्य बिंदु कैसे निकले:

संख्या एक संख्यात्मक सर्कल पर कई π नहीं हैं

आइए अब प्रश्न पूछें, जहां एक संख्यात्मक प्रत्यक्ष नोट नंबर 1 के अनुरूप बिंदु पर ध्यान दें? ऐसा करने के लिए, आपको एक सर्कल के "दाएं" बिंदु से आवश्यकता है ओ चाप को स्थगित करने के लिए, जिसकी लंबाई 1 के बराबर होगी। वांछित बिंदु की जगह निर्दिष्ट करें हम केवल लगभग कर सकते हैं। निम्नानुसार प्राप्त करें।