सूत्र सीधे आनुपातिक है। रैखिक समारोह

आज हम विचार करेंगे कि क्या मात्राओं को व्युत्क्रमानुपाती कहा जाता है, व्युत्क्रम आनुपातिकता का ग्राफ कैसा दिखता है और यह सब न केवल गणित के पाठ में, बल्कि स्कूल की दीवारों के बाहर भी उपयोगी हो सकता है।

इतना अलग अनुपात

आनुपातिक  दो मात्राओं को कॉल करें जो परस्पर एक दूसरे पर निर्भर हैं।

निर्भरता प्रत्यक्ष और विलोम हो सकती है। इसलिए, मात्राओं के बीच संबंध प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम आनुपातिकता का वर्णन करता है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता  - यह दो मात्राओं की एक ऐसी निर्भरता है, जिसमें उनमें से एक में वृद्धि या कमी दूसरे में वृद्धि या कमी की ओर ले जाती है। यानी उनका रवैया नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए, परीक्षा की तैयारी के लिए आप जितना अधिक प्रयास करेंगे, आपके ग्रेड उतने ही अधिक होंगे। या अधिक चीजों को आप अपने साथ हाइक पर ले जाते हैं, तो अपने बैग को ले जाना कठिन होता है। यानी परीक्षा के लिए तैयार किए गए प्रयास की राशि प्राप्त ग्रेड के लिए सीधे आनुपातिक है। और एक बैकपैक में पैक की गई चीजों की संख्या सीधे उसके वजन के अनुपात में होती है।

आनुपातिकता उलटा  एक कार्यात्मक निर्भरता है जिसमें एक स्वतंत्र मात्रा के कई बार कमी या वृद्धि (इसे एक तर्क कहा जाता है) एक आनुपातिक (अर्थात, एक ही राशि) एक आश्रित मात्रा में वृद्धि या कमी का कारण बनता है (इसे एक फ़ंक्शन कहा जाता है)।

हम एक सरल उदाहरण से स्पष्ट करते हैं। आप सेब बाजार में खरीदना चाहते हैं। काउंटर पर सेब और आपके बटुए में पैसे की मात्रा विपरीत रूप से आनुपातिक है। यानी जितने अधिक सेब आप खरीदेंगे, उतना कम पैसा आपके पास रहेगा।

कार्य और इसका कार्यक्रम

उलटा आनुपातिकता फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है y \u003d k / x। जिसमें एक्स≠ 0 और कश्मीर≠ 0.

इस फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं:

1. इसकी परिभाषा के दायरे को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समूह है एक्स = 0. डी(y): (-∞; 0) यू (0; + ∞).
2. दायरे को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएं हैं y= 0. ई (y): (-∞; 0) यू (0; +∞) .
3. इसमें सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्य नहीं हैं।
4. यह विषम है और इसका ग्राफ मूल के संबंध में सममित है।
5. गैर आवर्ती।
6. उसका ग्राफ समन्वय अक्ष को पार नहीं करता है।
7. इसका कोई शून्य नहीं है।
8. अगर कश्मीर\u003e 0 (यानी, तर्क बढ़ता है), फ़ंक्शन इसके प्रत्येक अंतराल पर आनुपातिक रूप से घटता है। अगर कश्मीर< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. बढ़ते तर्क के साथ ( कश्मीर\u003e 0) फ़ंक्शन के नकारात्मक मान अंतराल (-∞; 0) में हैं, और सकारात्मक वाले हैं (0; +;)। जब तर्क कम हो जाता है ( कश्मीर< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

व्युत्क्रम आनुपातिकता फ़ंक्शन के ग्राफ को हाइपरबोला कहा जाता है। निम्नानुसार दर्शाया गया है:

आनुपातिक समस्याओं का उलटा

इसे स्पष्ट करने के लिए, आइए कुछ कार्यों को देखें। वे बहुत जटिल नहीं हैं, और उनका समाधान आपको यह कल्पना करने में मदद करेगा कि व्युत्क्रम आनुपातिकता क्या है और यह ज्ञान आपके सामान्य जीवन में कैसे उपयोगी हो सकता है।

टास्क नंबर 1। कार 60 किमी / घंटा की गति से चलती है। उसे अपने गंतव्य तक पहुँचने में 6 घंटे लगे। यदि वह 2 गुना अधिक गति से चलता है तो उसे उसी दूरी को पार करने में कितना समय लगेगा?

हम एक सूत्र लिखकर शुरू कर सकते हैं जो समय, दूरी और गति के संबंध का वर्णन करता है: t \u003d S / V। सहमत हूं, यह हमें व्युत्क्रम आनुपातिकता के कार्य की बहुत याद दिलाता है। और यह इंगित करता है कि कार जिस समय सड़क पर खर्च करती है, और जिस गति से चलती है, उलटे अनुपात में होती है।

इसे सत्यापित करने के लिए, आइए V 2 को खोजें, जो स्थिति से 2 गुना अधिक है: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 किमी / घंटा। फिर हम सूत्र S \u003d V * t \u003d 60 * 6 \u003d 360 किमी द्वारा दूरी की गणना करते हैं। अब यह मुश्किल नहीं है कि समस्या की स्थिति से हमारे लिए आवश्यक समय टी 2: टी 2 \u003d 360/120/3 घंटे।

जैसा कि आप देख सकते हैं, यात्रा का समय और यात्रा की गति वास्तव में विपरीत आनुपातिक हैं: मूल कार की तुलना में 2 गुना अधिक गति सड़क पर 2 गुना कम समय बिताएगी।

इस समस्या के समाधान को एक अनुपात के रूप में भी लिखा जा सकता है। पहली बार ऐसी योजना क्यों बनाई गई:

H 60 किमी / घंटा - 6 घंटे

H 120 किमी / घंटा - x एच

तीर विपरीत आनुपातिक संबंध दर्शाता है। और वे यह भी सुझाव देते हैं कि अनुपात को संकलित करते समय, रिकॉर्ड के दाईं ओर को चालू किया जाना चाहिए: 60/120 \u003d x / 6। हमें x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 घंटे कहां मिलते हैं

टास्क नंबर 2। कार्यशाला में 6 श्रमिक काम करते हैं, जो 4 घंटे में दिए गए काम का सामना करते हैं। यदि श्रमिकों की संख्या आधी कर दी जाती है, तो बाकी काम को पूरा करने में कितना समय लगेगा?

हम दृश्य आरेख के रूप में समस्या की स्थितियों को लिखते हैं:

4 6 श्रमिक - 4 घंटे

X 3 श्रमिक - एक्स एच

हम इसे एक अनुपात के रूप में लिखते हैं: 6/3 \u003d x / 4। और हमें x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 घंटे मिलते हैं। यदि श्रमिक 2 गुना कम हो जाते हैं, तो शेष सभी काम पर 2 गुना अधिक समय खर्च करेंगे।

टास्क नंबर 3। दो पाइप पूल में जाते हैं। पानी 2 l / s की गति से एक पाइप से बहता है और पूल को 45 मिनट में भर देता है। एक अन्य पाइप के माध्यम से, पूल 75 मिनट में भर जाएगा। इस पाइप से पानी कितनी तेजी से पूल में प्रवेश करता है?

आरंभ करने के लिए, हम समस्या की स्थिति द्वारा माप के समान इकाइयों को दिए गए सभी डेटा देते हैं। ऐसा करने के लिए, हम प्रति मिनट में पूल को भरने की दर को व्यक्त करते हैं: 2 एल / एस \u003d 2 * 60 \u003d 120 एल / मिनट।

चूंकि यह इस स्थिति से चलता है कि पूल दूसरे पाइप के माध्यम से अधिक धीरे-धीरे भरता है, इसका मतलब है कि पानी के सेवन की दर कम है। आनुपातिकता उलटा। हम एक्स के माध्यम से अज्ञात गति को व्यक्त करते हैं और निम्नलिखित आरेख बनाते हैं:

Min 120 एल / मिनट - 45 मिनट

↓ एक्स एल / मिनट - 75 मिनट

और फिर हम अनुपात की रचना करते हैं: 120 / x \u003d 75/45, जहां x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / मिनट।

समस्या में, पूल को भरने की दर प्रति सेकंड लीटर में व्यक्त की जाती है, हम अपने उत्तर को उसी रूप में लाएंगे: 72/60 \u003d 1.2 l / s।

टास्क नंबर 4। बिजनेस कार्ड एक छोटे से निजी प्रिंटिंग हाउस में छापे जाते हैं। एक प्रिंटिंग कर्मचारी प्रति घंटे 42 बिजनेस कार्ड की गति से काम करता है और पूर्णकालिक - 8 घंटे काम करता है। यदि वह तेजी से काम करता है और एक घंटे में 48 व्यावसायिक कार्ड मुद्रित करता है, तो वह पहले कितना घर जा सकता था?

हम सिद्ध पथ का अनुसरण करते हैं और समस्या की स्थिति के अनुसार एक योजना बनाते हैं, वांछित मान को एक्स के रूप में नामित करते हैं:

/ 42 बिजनेस कार्ड / एच - 8 एच

↓ 48 व्यापार कार्ड / एच - एक्स एच

इससे पहले कि हम एक विपरीत आनुपातिक संबंध रखते हैं: एक प्रिंटिंग हाउस के एक कर्मचारी को प्रति घंटे कितनी बार अधिक व्यवसाय कार्ड मिलते हैं, क्योंकि उसे एक ही काम करने के लिए कई बार कम समय मिलता है। यह जानकर, हम अनुपात की रचना करते हैं:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 घंटे।

इस प्रकार, 7 घंटे में काम से निपटने के बाद, मुद्रण घर का एक कर्मचारी एक घंटे पहले घर छोड़ने में सक्षम होगा।

निष्कर्ष

यह हमें लगता है कि इन व्युत्क्रमानुपाती समस्याएं वास्तव में सरल हैं। हम आशा करते हैं कि अब आप भी उन पर विचार करेंगे। और सबसे महत्वपूर्ण बात, मात्राओं के व्युत्क्रमानुपाती निर्भरता के बारे में ज्ञान वास्तव में आपके लिए एक से अधिक बार उपयोगी साबित हो सकता है।

न केवल गणित की कक्षाओं और परीक्षाओं में। लेकिन फिर भी, जब आप यात्रा पर जाने की योजना बना रहे हों, खरीदारी करने जाएं, छुट्टी पर कुछ पैसे कमाने का फैसला करें, आदि।

टिप्पणियों में हमें बताएं कि आप अपने चारों ओर उल्टे और सीधे आनुपातिक निर्भरता के कौन से उदाहरण देखते हैं। इसे ऐसा खेल होने दो। आप देखेंगे कि यह कितना रोमांचक है। इस लेख को सोशल नेटवर्क पर "साझा" करना न भूलें ताकि आपके मित्र और सहपाठी भी खेल सकें।

साइट, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक लिंक की आवश्यकता होती है।

रैखिक समारोह

रैखिक समारोह  एक फ़ंक्शन है जिसे सूत्र y \u003d kx + b द्वारा परिभाषित किया जा सकता है,

जहाँ x एक स्वतंत्र चर है, k और b कुछ संख्याएँ हैं।

एक रैखिक फ़ंक्शन का एक ग्राफ एक सीधी रेखा है।

  नंबर k को कहा जाता है प्रत्यक्ष ढलान  - y \u003d kx + b फ़ंक्शन का ग्राफ़।

यदि k\u003e 0, तो अक्ष के लिए सीधी रेखा y \u003d kx + b का ढलान एक्स  तीव्र; अगर के< 0, то этот угол тупой.

यदि रेखाओं के कोणीय गुणांक, जो दो रेखीय कार्यों के ग्राफ हैं, अलग-अलग हैं, तो ये रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। और अगर कोणीय गुणांक समान हैं, तो लाइनें समानांतर हैं।

फंक्शन ग्राफ य \u003dkx +ख, जहां k where 0, लाइन y \u003d kx के समानांतर एक रेखा है।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता  एक फ़ंक्शन जिसे सूत्र y \u003d kx द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, k एक गैर-शून्य संख्या है। नंबर k को कहा जाता है प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक.

प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ एक सीधी रेखा है जो मूल से गुजरती है (आकृति देखें)।

प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक रैखिक कार्य का एक विशेष मामला है।

कार्य गुणय \u003dkX:

आनुपातिकता उलटा

आनुपातिकता उलटा  एक फ़ंक्शन कहा जाता है जिसे सूत्र द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है:

कश्मीर
y \u003d -
एक्स

जहाँ एक्स  एक स्वतंत्र चर है, और कश्मीर  एक गैर-शून्य संख्या है।

व्युत्क्रम आनुपातिकता ग्राफ एक वक्र है जिसे कहा जाता है अतिशयोक्ति(चित्र देखें)

एक वक्र के लिए जो इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ है, अक्ष है एक्स  और y  asymptotes के रूप में कार्य करें। अनंतस्पर्शी  वह रेखा है जिस ओर वक्र के बिंदु अनंत की ओर बढ़ते हैं।

कश्मीर
  कार्य गुणy \u003d -:
  एक्स

I. सीधे आनुपातिक मात्रा।

मात्रा दें y  मूल्य पर निर्भर करता है एक्स। अगर बढ़ रहा है एक्स  कई बार मूल्य पर  कई बार बढ़ जाती है, फिर ऐसी मात्रा एक्स  और   पर  सीधे आनुपातिक कहा जाता है।

उदाहरण।

1 । खरीदे गए सामान की मात्रा और खरीद मूल्य (माल की एक इकाई के निश्चित मूल्य के लिए - 1 इकाई या 1 किलो, आदि) कितनी बार और सामान खरीदा, तो कई गुना ज्यादा और चुकाया।

2 । की दूरी और उस पर बिताए समय (स्थिर गति से)।   पथ कितनी बार लंबा है, इसलिए इसे पारित करने के लिए कई बार अधिक समय खर्च किया जाएगा।

3 । किसी पिंड और उसके द्रव्यमान का आयतन। ( यदि एक तरबूज दूसरे से 2 गुना बड़ा है, तो उसका द्रव्यमान 2 गुना बड़ा होगा)

द्वितीय। मात्राओं के प्रत्यक्ष आनुपातिकता की संपत्ति।

यदि दो मात्राएँ सीधे आनुपातिक हैं, तो पहली मात्रा के दो मनमाने ढंग से लिए गए मानों का अनुपात दूसरी मात्रा के दो संगत मूल्यों के अनुपात के बराबर है।

टास्क 1  रास्पबेरी जाम के लिए ले लिया 12 किग्रा  रसभरी और 8 किलो चीनी। अगर लिया जाए तो कितनी चीनी चाहिए 9 किलो  रसभरी?

निर्णय।

हम इस तरह से कारण देते हैं: इसकी आवश्यकता है   एक्स किलो  चीनी पर 9 किलो  रास्पबेरी। रसभरी का द्रव्यमान और चीनी का द्रव्यमान सीधे आनुपातिक होते हैं: रास्पबेरी से कितनी बार कम, कितनी बार कम चीनी की आवश्यकता होती है। नतीजतन, लिया गया अनुपात (वजन से) रसभरी ( 12:9 ) ली गई चीनी के अनुपात के बराबर होगा ( 8: एक्स)। हमें अनुपात मिलता है:

12: 9=8: x;

x \u003d 9 · 8: 12;

x \u003d 6। उत्तर है:  पर 9 किलो  रसभरी लेने की जरूरत है 6 किलो  चीनी।

समस्या हल करना  निम्नानुसार जारी किया जा सकता है:

पर चलो 9 किलो  रसभरी लेने की जरूरत है एक्स किलो  चीनी।

(चित्रा में तीर एक दिशा में, और ऊपर या नीचे निर्देशित हैं - इससे कोई फर्क नहीं पड़ता। अर्थ: संख्या कितनी बार 12   अधिक संख्या 9 समय की एक ही संख्या 8   अधिक संख्या एक्स, यानी, एक सीधा रिश्ता है)।

उत्तर है:  पर 9 किलो  रसभरी लेनी चाहिए 6 किलो  चीनी।

टास्क २के लिए कार 3 घंटे  की दूरी तय की 264 किमी। कितना समय लगेगा 440 किमीअगर उसी गति से चलेगा?

निर्णय।

के लिए दें x घंटे  कार दूरी पर जाएगी 440 किमी।

उत्तर है:  कार गुजर जाएगी 5 घंटे में 440 किमी।

7 वीं कक्षा के छात्र त्रिचलेब डैनियल

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और प्रत्यक्ष आनुपातिकता के गुणांक (कोणीय गुणांक की अवधारणा का परिचय) के साथ परिचित;

प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ बनाना;

समान कोणीय गुणांक वाले प्रत्यक्ष आनुपातिकता और रैखिक कार्यों के रेखांकन की पारस्परिक व्यवस्था पर विचार।

डाउनलोड:

पूर्वावलोकन:

प्रस्तुतियों के पूर्वावलोकन का उपयोग करने के लिए, अपने आप को एक Google खाता (खाता) बनाएं और लॉग इन करें: https://accounts.google.com

स्लाइड कैप्शन:

प्रत्यक्ष आनुपातिकता और इसका ग्राफ

किसी फ़ंक्शन का तर्क और मूल्य क्या है? किस चर को स्वतंत्र, आश्रित कहा जाता है? एक समारोह क्या है? REPEAT फ़ंक्शन का कार्यक्षेत्र क्या है?

फ़ंक्शन सेट करने के तरीके। विश्लेषणात्मक (सूत्र का उपयोग करके) ग्राफ़िक (ग्राफ़ का उपयोग करके) सारणीबद्ध (तालिका का उपयोग करके)

एक फंक्शन ग्राफ कोऑर्डिनेट प्लेन के सभी बिंदुओं का सेट होता है, जिनमें से एब्सिस तर्क के मूल्यों के बराबर होते हैं, और निर्देशांक फ़ंक्शन के संबंधित मान होते हैं। अवसरों का अनुसूची

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

कार्य के क्रम में कार्य y \u003d 2 x +1 का ग्राफ बनाएँ, जहाँ 0 ≤ x। 4 है। एक टेबल बनाओ। ग्राफ के अनुसार, x \u003d 2.5 पर फ़ंक्शन का मान ज्ञात करें। तर्क के किस मान पर फ़ंक्शन का मान 8 के बराबर है?

परिभाषा प्रत्यक्ष आनुपातिकता एक ऐसा कार्य है जिसे y \u003d k x के सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जहां x एक स्वतंत्र चर है, k एक गैर-शून्य संख्या है। (k प्रत्यक्ष आनुपातिकता का गुणांक है) प्रत्यक्ष आनुपातिक निर्भरता

8 प्रत्यक्ष आनुपातिकता का ग्राफ मूल (बिंदु O (0,0)) के माध्यम से गुजरने वाली सीधी रेखा है। y \u003d kx को हल करने के लिए, दो बिंदु पर्याप्त हैं, जिनमें से एक O (0,0) k\u003e 0 के लिए, ग्राफ स्थित है। I और III क्वार्टर का समन्वय करते हैं। K पर

प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्यों के ग्राफ y x k\u003e 0 k\u003e 0 k

टास्क निर्धारित करते हैं कि कौन सा ग्राफ प्रत्यक्ष आनुपातिकता फ़ंक्शन दिखाता है।

टास्क निर्धारित करें कि कौन सा फ़ंक्शन ग्राफ चित्र में दिखाया गया है। तीनों में से एक सूत्र चुनें।

मौखिक काम। क्या सूत्र y \u003d k x द्वारा दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ, जहां k हो सकता है

निर्धारित करें कि A (6, -2), B (-2, -10), C (1, -1), E (0,0) में से कौन सा सूत्र y \u003d 5x 1) A द्वारा दिए गए प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ से संबंधित है (ए) 6; -2) -2 \u003d 5 - 6 - 2 \u003d 30 - गलत। बिंदु A फ़ंक्शन y \u003d 5x के ग्राफ से संबंधित नहीं है। 2) बी (-2; -10) -10 \u003d 5 -2 (-2) -10 \u003d -10 - सच। प्वाइंट बी फ़ंक्शन y \u003d 5x के ग्राफ से संबंधित है। 3) C (1; -1) -1 \u003d 5 \u003d 1 -1 \u003d 5 - गलत बिंदु C फ़ंक्शन y \u003d 5x के ग्राफ से संबंधित नहीं है। 4) ई (0; 0) 0 \u003d 5 0 0 0 \u003d 0 - सच। बिंदु E, फ़ंक्शन y \u003d 5x के ग्राफ से संबंधित है

टेस्ट 1 विकल्प 2 विकल्प नंबर 1। सूत्र द्वारा परिभाषित कौन से कार्य सीधे आनुपातिक हैं? A. y \u003d 5x B. y \u003d x 2/8 C. y \u003d 7x (x-1) D। y \u003d x + 1 A. y \u003d 3x 2 +5 B. y \u003d C. / x C. y \u003d A. (x + ९) D. y \u003d १०x

नंबर 2। लाइनों की संख्याएँ y \u003d kx, जहाँ k\u003e 0 1 विकल्प k लिखें

नंबर 3। निर्धारित करें कि सूत्र Y \u003d -1 / 3 X A (6 -2), B (-210) 1 विकल्प C (1, -1), E (0,0) द्वारा दिए गए प्रत्यक्ष आनुपातिकता ग्राफ से संबंधित हैं। ) 2 विकल्प

y \u003d 5x y \u003d 10x III A VI और IV E 1 2 3 1 2 3 No. सही उत्तर सही उत्तर नहीं।

कार्य को पूरा करें: सूत्र द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के ग्राफ को योजनाबद्ध तरीके से दिखाएं: y \u003d 1.7 x y \u003d -3, 1 x y \u003d 0.9 x y \u003d -2.3 x

JOB निम्नलिखित ग्राफ़ से, केवल प्रत्यक्ष आनुपातिक ग्राफ़ का चयन करें।

1) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) 9)

कार्य y \u003d 2x + 3 2. y \u003d 6 / x 3. y \u003d 2x 4. y \u003d - 1.5x 5. y \u003d - 5 / x 6. y \u003d 5x 7. y \u003d 2x - 5 8. y \u003d - 0.3x 9. y \u003d 3 / x 10. y \u003d - x / 3 + 1 फ़ॉर्म y \u003d k x (प्रत्यक्ष आनुपातिकता) के कार्यों का चयन करें और उन्हें लिखें

प्रत्यक्ष आनुपातिकता कार्य Y \u003d 2x Y \u003d -1.5x Y \u003d 5x Y \u003d -0.3x y x

रैखिक कार्य जो प्रत्यक्ष आनुपातिक कार्य नहीं हैं 1) y \u003d 2x + 3 2) y \u003d 2x - 5 x -6 -4 -2 0 2 4 4 6 6 3 -3 -6 y \u003d 2x + 3 y \u003d 2x - 5

होमवर्क: पी .15 पी। 65-67, नंबर 307; नंबर 308

एक बार फिर से दोहरा दूं। आपने नया क्या सीखा? आपने क्या सीखा? क्या विशेष रूप से मुश्किल लग रहा था?

मुझे पाठ पसंद आया और विषय समझ में आया: मुझे पाठ पसंद आया, लेकिन यह अभी भी स्पष्ट नहीं है: मुझे पाठ पसंद नहीं आया और विषय स्पष्ट नहीं है।

निर्भरता के प्रकार

बैटरी चार्ज करने पर विचार करें। पहली मात्रा के रूप में हम उस समय को लेते हैं जो इसे चार्ज करता है। दूसरा मूल्य वह समय है जो चार्ज करने के बाद काम करेगा। बैटरी चार्ज जितनी लंबी होगी, उतनी देर चलेगी। जब तक बैटरी पूरी तरह से चार्ज नहीं हो जाती तब तक यह प्रक्रिया जारी रहेगी।

जिस समय यह चार्ज होता है उस समय बैटरी जीवन की निर्भरता

टिप्पणी 1

यह निर्भरता कहलाती है सीधे:

एक मूल्य में वृद्धि के साथ, दूसरा भी बढ़ता है। एक मात्रा में कमी के साथ, दूसरी मात्रा भी घट जाती है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें।

एक छात्र जितनी अधिक पुस्तकें पढ़ता है, उतनी ही गलतियाँ वह एक श्रुतलेख में करता है। या आप पहाड़ों में जितना ऊपर जाएंगे, वायुमंडलीय दबाव उतना ही कम होगा।

टिप्पणी 2

यह निर्भरता कहलाती है प्रतिक्रिया:

एक मूल्य में वृद्धि के साथ, दूसरा घटता है। एक मूल्य में कमी के साथ, दूसरा मूल्य बढ़ता है।

इस प्रकार, के मामले में प्रत्यक्ष निर्भरतादोनों मात्राएँ समान (दोनों में वृद्धि या कमी), और के मामले में बदल जाती हैं उलटा संबंध  - विपरीत (एक बढ़ता है और दूसरा घटता है या इसके विपरीत)।

  मात्राओं के बीच निर्भरता का निर्धारण

उदाहरण 1

किसी मित्र से मिलने का समय $ 20 $ है। $ 2 $ की गति (पहले मूल्य) में वृद्धि के साथ, हम पाते हैं कि समय (दूसरा मूल्य) कैसे बदल जाएगा, जो एक दोस्त के मार्ग पर खर्च किया जाएगा।

जाहिर है, समय $ 2 $ घट जाएगा।

टिप्पणी 3

यह निर्भरता कहलाती है सदृश:

एक मान कितने बार बदलेगा, तो कई बार दूसरा परिवर्तन होगा।

उदाहरण 2

स्टोर में $ 2 की रोटी के रोल के लिए आपको 80 रूबल का भुगतान करने की आवश्यकता है। यदि आपको $ 4 $ ब्रेड रोल खरीदने की ज़रूरत है (ब्रेड की मात्रा $ 2 $ गुना बढ़ जाती है), तो आपको कितनी बार भुगतान करना होगा?

जाहिर है, लागत भी $ 2 $ से बढ़ जाएगी। हमारे पास आनुपातिक निर्भरता का एक उदाहरण है।

दोनों उदाहरणों में, आनुपातिक निर्भरता पर विचार किया गया था। लेकिन ब्रेड रोल के साथ उदाहरण में, मान एक दिशा में बदलते हैं, इसलिए, निर्भरता है सीधे। और दोस्त के पास जाने के उदाहरण में, गति और समय के बीच का संबंध है उलटा। तो वहाँ है प्रत्यक्ष आनुपातिक संबंध  और विपरीत आनुपातिक संबंध.

  प्रत्यक्ष आनुपातिकता

$ 2 $ आनुपातिक मूल्यों पर विचार करें: रोटी की रोटियों की संख्या और उनका मूल्य। $ 2 $ रोटियों को $ 80 $ रूबल की लागत दें। $ 4 $ बार ($ 8 $ रोल) रोल की संख्या में वृद्धि के साथ, उनकी कुल लागत $ 320 $ रूबल होगी।

बन्स की संख्या का अनुपात: $ \\ frac (8) (2) \u003d $ 4।

बन लागत अनुपात: $ \\ frac (320) (80) \u003d $ 4।

जैसा कि आप देख सकते हैं, ये संबंध एक-दूसरे के बराबर हैं:

$ \\ frac (8) (2) \u003d \\ frac (320) (80) $।

परिभाषा १

दो संबंधों की समानता को कहा जाता है अनुपात.

सीधे आनुपातिक निर्भरता के साथ, पहली और दूसरी मात्रा में परिवर्तन होने पर एक संबंध प्राप्त होता है:

$ \\ frac (A_2) (A_1) \u003d \\ frac (B_2) (B_1) $।

परिभाषा २

दो मात्राएँ कहलाती हैं सीधे आनुपातिकयदि, उनमें से किसी एक को बदलते (बढ़ते या घटते), तो दूसरी मात्रा भी बदलती है (क्रमशः बढ़ती या घटती है)।

उदाहरण 3

कार $ 2 $ एक घंटे के लिए $ 180 $ किमी चला गया। उस समय का पता लगाएं जिसमें वह समान गति $ 2 $ दूरी की यात्रा करेगा।

निर्णय.

समय सीधे दूरी के लिए आनुपातिक है:

$ t \u003d \\ frac (S) (v) $।

कितनी बार दूरी बढ़ेगी, एक स्थिर गति से, समय की संख्या बढ़ेगी:

$ \\ frac (2S) (v) \u003d 2t $;

$ \\ frac (3S) (v) \u003d 3t $।

कार $ 180 $ किमी चली - $ 2 $ एक घंटे के लिए

कार $ 180 \\ cdot 2 \u003d 360 $ किमी - $ x $ घंटे में यात्रा करेगी

कार जितनी अधिक दूरी तय करेगी, उतना ही अधिक समय लगेगा। नतीजतन, मात्राओं के बीच का संबंध सीधे आनुपातिक है।

हम अनुपात की रचना करते हैं:

$ \\ frac (180) (360) \u003d \\ frac (2) (x) $;

$ x \u003d \\ frac (360 \\ cdot 2) (180) $;

जवाब है: एक कार को $ 4 $ एक घंटे की आवश्यकता होगी।

  आनुपातिकता उलटा

परिभाषा ३

निर्णय.

समय गति के विपरीत आनुपातिक है:

$ t \u003d \\ frac (S) (v) $।

एक ही पथ के साथ गति कितनी बार बढ़ती है, समय कम हो जाता है:

$ \\ frac (S) (2v) \u003d \\ frac (t) (2) $;

$ \\ frac (S) (3v) \u003d \\ frac (t) (3) $।

हम एक तालिका के रूप में समस्या की स्थिति लिखते हैं:

कार $ 60 $ किमी - $ 6 $ घंटे के लिए चली गई

कार $ 120 $ किमी - $ x $ घंटे के लिए यात्रा करेगी

कार की गति जितनी अधिक होगी, उतना ही कम समय लगेगा। इसलिए, राशियों के बीच संबंध व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चलो एक अनुपात बनाते हैं।

क्योंकि आनुपातिकता व्युत्क्रम है, दूसरे अनुपात में उलटा है:

$ \\ frac (60) (120) \u003d \\ frac (x) (6) $;

$ x \u003d \\ frac (60 \\ cdot 6) (120) $;

जवाब है: एक कार को $ 3 $ एक घंटे की आवश्यकता होगी।