घातीय समीकरणों का समाधान। इसके उदाहरण

7वीं कक्षा के गणित पाठ्यक्रम में पहली बार मिले दो चर में समीकरण, लेकिन उनका अध्ययन केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में किया जाता है। यही कारण है कि समस्याओं की एक पूरी श्रृंखला दृष्टि से बाहर हो जाती है, जिसमें कुछ शर्तों को समीकरण के गुणांक पर पेश किया जाता है जो उन्हें सीमित करते हैं। इसके अलावा, "प्राकृतिक या पूर्ण संख्याओं में एक समीकरण को हल करें" जैसी समस्याओं को हल करने के तरीकों को भी ध्यान के बिना छोड़ दिया जाता है, हालांकि इसमें परीक्षा की सामग्रीऔर प्रवेश परीक्षाओं में, इस तरह की समस्याएं अधिक से अधिक बार सामने आती हैं।

किस समीकरण को द्विचर समीकरण कहा जाएगा?

इसलिए, उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y = 10, x 2 + y 2 = 20, या xy = 12 दो चर वाले समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y = 1 पर विचार करें। यह x = 2 और y = 3 के लिए वास्तविक समानता में बदल जाता है, इसलिए चर के मूल्यों की यह जोड़ी विचाराधीन समीकरण का समाधान है।

इस प्रकार, दो चरों वाले किसी भी समीकरण का हल क्रमित युग्मों (x; y) का समुच्चय है, चरों के मान जो इस समीकरण को एक वास्तविक संख्यात्मक समानता में बदल देते हैं।

दो अज्ञात के साथ एक समीकरण कर सकते हैं:

लेकिन) एक समाधान हो।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 = 0 का एक अद्वितीय हल (0; 0) है;

बी) कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, (5 - | x |) 2 + (| y | - 2) 2 = 0 के 4 हल हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

में) कोई समाधान नहीं है।उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 = 0 का कोई हल नहीं है;

जी) असीम रूप से कई समाधान हैं।उदाहरण के लिए, x + y = 3. इस समीकरण के हल संख्याएँ होंगी, जिनका योग 3 है। इस समीकरण के हलों का समुच्चय (k; 3 - k) के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ k कोई भी हो। वास्तविक संख्या।

दो चरों वाले समीकरणों को हल करने की मुख्य विधियाँ गुणनखंडन व्यंजकों पर आधारित विधियाँ हैं, जो एक पूर्ण वर्ग को पृथक करती हैं, द्विघात समीकरण के गुणों, सीमित व्यंजकों और मूल्यांकन विधियों का उपयोग करती हैं। समीकरण को आमतौर पर एक ऐसे रूप में बदल दिया जाता है जिससे अज्ञात खोजने के लिए एक प्रणाली प्राप्त की जा सकती है।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण को हल करें: xy - 2 = 2x - y।

समाधान।

हम फैक्टरिंग के उद्देश्य से शर्तों को समूहीकृत करते हैं:

(xy + y) - (2x + 2) = 0. प्रत्येक कोष्ठक से उभयनिष्ठ गुणनखंड हटा दें:

वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) = 0;

(x + 1) (y - 2) = 0. हमारे पास है:

y = 2, x कोई वास्तविक संख्या है या x = -1, y कोई वास्तविक संख्या है।

इस प्रकार, उत्तर फॉर्म के सभी जोड़े हैं (x; 2), x € R और (-1; y), y € R।

शून्य की समानता नहीं है ऋणात्मक संख्या

उदाहरण २।

समीकरण को हल करें: 9x 2 + 4y 2 + 13 = 12 (x + y)।

समाधान।

हम समूह:

(9x 2 - 12x + 4) + (4y 2 - 12y + 9) = 0. अब प्रत्येक कोष्ठक को वर्ग अंतर सूत्र का उपयोग करके मोड़ा जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 = 0।

दो गैर-ऋणात्मक व्यंजकों का योग केवल तभी शून्य होता है जब 3x - 2 = 0 और 2y - 3 = 0 हो।

इसका मतलब है कि x = 2/3 और y = 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन पद्धति

उदाहरण 3.

समीकरण को हल करें: (x 2 + 2x + 2) (y 2 - 4y + 6) = 2।

समाधान।

प्रत्येक कोष्ठक में, एक पूर्ण वर्ग चुनें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) = 2. अनुमान कोष्ठक में भावों का अर्थ।

(x + 1) 2 + 1 1 और (y - 2) 2 + 2 2, तो समीकरण का बायां पक्ष हमेशा कम से कम 2 होता है। समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 = 1 और (y - 2) 2 + 2 = 2, जिसका अर्थ है x = -1, y = 2।

उत्तर: (-1; 2)।

आइए दूसरी डिग्री के दो चर वाले समीकरणों को हल करने के लिए एक और विधि से परिचित हों। यह विधि यह है कि समीकरण को के रूप में माना जाता है किसी भी चर के संबंध में वर्ग.

उदाहरण 4.

समीकरण को हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 = 0।

समाधान।

x के सन्दर्भ में समीकरण को वर्ग के रूप में हल कीजिए। आइए विभेदक का पता लगाएं:

डी = 36 - 4 (y - 4√y + 13) = -4y + 16√y - 16 = -4 (√y - 2) 2. समीकरण का हल तभी होगा जब D = 0, अर्थात यदि y = 4 हो। y के मान को मूल समीकरण में रखें और ज्ञात करें कि x = 3।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के साथ समीकरणों में वे इंगित करते हैं चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5.

पूरे समीकरण को हल करें: x 2 + 5y 2 = 20x + 2।

समाधान।

समीकरण को x 2 = -5y 2 + 20x + 2 के रूप में फिर से लिखिए। परिणामी समीकरण का दाहिना भाग जब 5 से विभाजित होता है तो शेष 2 प्राप्त होता है। इसलिए, x 2 5 से विभाज्य नहीं है। लेकिन एक संख्या का वर्ग जो विभाज्य नहीं है। 5 से शेषफल 1 या 4 मिलता है। इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6.

समीकरण को हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) = 3.

समाधान।

प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्गों का चयन करें:

((| x | - 2) 2 + 1) ((y + 3) 2 + 3) = 3. समीकरण का बायां पक्ष हमेशा 3 से बड़ा या बराबर होता है। समानता प्रदान की जा सकती है | x | - 2 = 0 और y + 3 = 0. इस प्रकार, x = ± 2, y = -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7.

समीकरण को संतुष्ट करने वाले ऋणात्मक पूर्णांकों (x; y) के प्रत्येक युग्म के लिए
x 2 - 2xy + 2y 2 + 4y = 33, योग (x + y) की गणना करें। उत्तर में, सबसे छोटी राशि का संकेत दें।

समाधान।

आइए पूर्ण वर्ग चुनें:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) = 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 = 37. चूँकि x और y पूर्णांक हैं, उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। 37 के बराबर दो पूर्णांकों के वर्गों का योग 1 + 36 जोड़ने पर प्राप्त होता है। इसलिए:

(एक्स - वाई) 2 = 36 और (वाई + 2) 2 = 1

(एक्स - वाई) 2 = 1 और (वाई + 2) 2 = 36।

इन प्रणालियों को हल करना और यह ध्यान में रखते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, हम समाधान ढूंढते हैं: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर:-17.

यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई हो तो निराश न हों। थोड़े से अभ्यास से आप किसी भी समीकरण से निपट सकते हैं।

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एक समीकरण क्या है?

समीकरण सभी गणित की आधारशिलाओं में से एक है। स्कूल और उच्चतर दोनों। इसका पता लगाना समझ में आता है, है ना? इसके अलावा, यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है। नीचे अपने लिए देखें। :) तो समीकरण क्या है?

तथ्य यह है कि यह शब्द "बराबर", "समानता" शब्दों के साथ एक ही मूल है, मुझे लगता है, कोई आपत्ति नहीं करता है। एक समीकरण दो गणितीय व्यंजक होते हैं जो एक समान चिह्न "=" से जुड़े होते हैं। लेकिन ... सिर्फ कोई नहीं। और वे जिनमें (कम से कम एक) शामिल है अज्ञात मात्रा ... या दूसरे तरीके से चर ... या संक्षेप में "चर"। एक या कई चर हो सकते हैं। स्कूली गणित में के साथ समीकरण एकचर। जिसे आमतौर पर अक्षर द्वारा दर्शाया जाता हैएक्स ... या लैटिन वर्णमाला के अन्य अंतिम अक्षर -आप , जेड , टी आदि।

अभी के लिए, हम एक चर वाले समीकरणों पर भी विचार करेंगे। दो या दो से अधिक चर के साथ - एक विशेष पाठ में।

समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?

आगे बढ़ो। समीकरण में शामिल व्यंजकों में चर कोई भी मान्य मान ले सकता है। इसलिए यह परिवर्तनशील है। :) चर के कुछ मूल्यों के लिए, सही समानता प्राप्त की जाती है, लेकिन कुछ के लिए - नहीं। प्रश्न हल करें- इसका मतलब है कि चर के ऐसे सभी मूल्यों को खोजने के लिए, जब प्रतिस्थापित किया जाता है प्रारंभिक समीकरण प्राप्त होता है सच्ची समानता ... या, अधिक वैज्ञानिक रूप से, पहचान... उदाहरण के लिए, 5 = 5, 0 = 0, -10 = -10। आदि। :) या सिद्ध करें कि ऐसा कोई परिवर्तनशील मान नहीं है।

मैं विशेष रूप से "मूल" शब्द पर ध्यान केंद्रित कर रहा हूं। क्यों - यह नीचे स्पष्ट होगा।

चर के ये ही मान, प्रतिस्थापित करने पर, समीकरण पहचान में बदल जाते हैं, बहुत अच्छे ढंग से कहलाते हैं - समीकरण की जड़ें... यदि यह साबित हो जाता है कि ऐसे कोई मान नहीं हैं, तो समीकरण को कहा जाता है कोई जड़ नहीं है.

हमें समीकरणों की आवश्यकता क्यों है?

हमें समीकरणों की आवश्यकता क्यों है? सबसे पहले और सबसे महत्वपूर्ण, समीकरण के लिए एक बहुत शक्तिशाली और सबसे बहुमुखी उपकरण हैं समस्याओं को सुलझा रहा ... सबसे अलग। :) स्कूल में, एक नियम के रूप में, वे साथ काम करते हैं शब्द की समस्याएं... ये आंदोलन के लिए, काम के लिए, रुचि के लिए और कई, कई अन्य कार्य हैं। हालाँकि, समीकरणों का उपयोग स्विमिंग पूल, पाइप, ट्रेन और स्टूल के बारे में सिर्फ एक स्कूल की समस्या तक सीमित नहीं है। :)

समीकरणों को बनाने और हल करने की क्षमता के बिना, एक भी गंभीर वैज्ञानिक समस्या - भौतिक, इंजीनियरिंग या आर्थिक - को हल नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गणना करें कि रॉकेट कहाँ मारा जाएगा। या इस सवाल का जवाब देने के लिए कि क्या कुछ जिम्मेदार संरचना (उदाहरण के लिए एक लिफ्ट या पुल) भार का सामना करेगी या नहीं करेगी। या मौसम की भविष्यवाणी करें, कीमतों या आय में वृद्धि (या गिरावट) करें ...

सामान्य तौर पर, विभिन्न प्रकार की कम्प्यूटेशनल समस्याओं को हल करने में एक समीकरण एक महत्वपूर्ण आंकड़ा है।

वहां क्या समीकरण हैं?

गणित में असंख्य समीकरण होते हैं। सबसे अधिक विभिन्न प्रकार... हालाँकि, सभी समीकरणों को सशर्त रूप से केवल 4 वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1) रैखिक,

2) स्क्वायर,

3) भिन्नात्मक (या भिन्नात्मक-तर्कसंगत),

4) अन्य।

विभिन्न प्रकार के समीकरणों को उनके समाधान के लिए एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है: रैखिक समीकरणों को एक तरह से हल किया जाता है, द्विघात - दूसरे में, भिन्नात्मक - तीसरे में, त्रिकोणमितीय, लघुगणक, घातीय और अन्य - भी अपने स्वयं के तरीकों से हल किए जाते हैं।

बेशक, अधिकांश अन्य समीकरण हैं। ये अपरिमेय, त्रिकोणमितीय, घातांक, लघुगणक और कई अन्य समीकरण हैं। और यहां तक ​​​​कि अंतर समीकरण (छात्रों के लिए), जहां अज्ञात एक संख्या नहीं है, लेकिन समारोह।या यहां तक ​​कि कार्यों का एक पूरा परिवार। :) संबंधित पाठों में, हम इन सभी प्रकार के समीकरणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे। और यहां हमारे पास बुनियादी तकनीकें हैं जो हल करने के लिए लागू होती हैं बिल्कुल कोई(हाँ, कोई!) समीकरण। इन तकनीकों को कहा जाता है समीकरणों के समतुल्य परिवर्तन ... उनमें से केवल दो हैं। और उनके आसपास कहीं नहीं जाना है। तो चलिए परिचित हो जाते हैं!

समीकरण कैसे हल करें? समीकरणों के समान (समतुल्य) परिवर्तन।

समाधान कोईसमीकरण में शामिल भावों का चरण-दर-चरण परिवर्तन होता है। लेकिन कोई रूपांतरण नहीं, बल्कि ऐसा कि पूरे समीकरण का सार नहीं बदला है... इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक परिवर्तन के बाद, समीकरण बदल जाएगा और अंततः मूल से पूरी तरह से अलग हो जाएगा। गणित में ऐसे परिवर्तन कहलाते हैं के समान या समान ... समीकरणों के समरूप परिवर्तनों की पूरी विविधता के बीच, बाहर खड़ा है दो बुनियादी... उनकी चर्चा की जाएगी। हाँ, बस दो! और उनमें से प्रत्येक विशेष ध्यान देने योग्य है। इन दो समान परिवर्तनों को एक क्रम या किसी अन्य में लागू करने से 99% सभी समीकरणों को हल करने में सफलता की गारंटी होती है।

तो, आइए परिचित हों!

पहली पहचान परिवर्तन:

आप समीकरण के दोनों पक्षों में कोई भी (लेकिन समान!) संख्या या व्यंजक (चर सहित) जोड़ सकते हैं (या घटा सकते हैं)।

इस मामले में, समीकरण का सार वही रहता है। आप इस परिवर्तन को हर जगह लागू करते हैं, भोलेपन से सोचते हैं कि आप कुछ शर्तों को समीकरण के एक तरफ से दूसरी तरफ स्थानांतरित करते हैं, संकेत बदलते हैं। :)

उदाहरण के लिए, यह शांत समीकरण:

यहां सोचने की कोई बात नहीं है: हम माइनस को तीन से दाईं ओर ले जाते हैं, माइनस को प्लस में बदलते हैं:

वास्तव में क्या हो रहा है? पर असल में तुम समीकरण के दोनों पक्षों में एक तिहाई जोड़ें! ऐशे ही:

पूरे समीकरण का सार त्रिक के दोनों पक्षों को जोड़ने से नहीं बदलता है। बाईं ओर एक शुद्ध X है (जिसे हम वास्तव में प्राप्त करने का प्रयास कर रहे हैं), और दाईं ओर - क्या होगा।

एक भाग से दूसरे भाग में पदों का स्थानांतरण है संक्षिप्त संस्करणपहला समान परिवर्तन। यहां केवल एक ही बात गलत है - स्थानांतरण के दौरान संकेत बदलना भूल जाना। उदाहरण के लिए, इस तरह एक समीकरण:

सीधी सी बात है। हम सीधे वर्तनी के अनुसार काम करते हैं: x से बाईं ओर, बिना x से दाईं ओर। हमारे दायीं ओर x वाला शब्द क्या है? क्या? 2x? गलत! दाईं ओर हमारे पास -2x (शून्य से दो x) है! इसलिए, इस पद को बाईं ओर स्थानांतरित कर दिया जाएगा एक प्लस के साथ :

आधी लड़ाई हो चुकी है, Xs बाईं ओर एकत्र किए गए हैं। यह इकाई को दाईं ओर ले जाने के लिए बनी हुई है। फिर से प्रश्न - किस चिन्ह के साथ? इकाई के सामने बाईं ओर कुछ भी नहीं लिखा है - इसका मतलब है कि यह समझा जाता है कि है एक से अधिक... इसलिए, दाईं ओर वाले को पहले ही स्थानांतरित कर दिया जाएगा माइनस के साथ:

लगभग इतना ही। बाईं ओर हम समान देते हैं, और दाईं ओर हम गिनते हैं। और हमें मिलता है:

अब आइए शर्तों के हस्तांतरण के साथ हमारे हेरफेर का विश्लेषण करें। जब हम -2x बाईं ओर चले गए तो हमने क्या किया? हाँ! हम दोनों भागों में जोड़ा गयाहमारे दुष्ट समीकरण व्यंजक 2x का। मैंने कहा कि हमें किसी भी संख्या और यहां तक ​​कि एक एक्स के साथ एक व्यंजक जोड़ने (घटाने) का अधिकार है! अगर सिर्फ एक ही बात। :) और आपने उसे कब दाईं ओर घुमाया? बिलकुल सही! हम समीकरण के दोनों पक्षों से घटाया गयाएक। बस इतना ही।) यह पहले समकक्ष परिवर्तन का पूरा बिंदु है।

या ऐसा उदाहरण - हाई स्कूल के छात्रों के लिए:

समीकरण लघुगणक है। तो क्या हुआ? किसे पड़ी है? वैसे भी, पहला कदम बुनियादी पहचान परिवर्तन करना है - हम शब्द को चर (अर्थात -लॉग 3 x) के साथ बाईं ओर ले जाते हैं, और संख्यात्मक अभिव्यक्ति लॉग 3 4 को दाईं ओर ले जाया जाता है। संकेत के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से:

बस इतना ही। जो भी लघुगणक का मित्र होता है, वह अपने मन में समीकरण हल करता है और प्राप्त करता है:

क्या? क्या आप साइनस चाहते हैं? कृपया, यहाँ साइनस हैं:

पहला पहचान परिवर्तन फिर से करें - स्थानांतरण पाप xबाईं ओर (एक माइनस के साथ), और -1/4 को दाईं ओर ले जाएँ (एक प्लस के साथ):

हमें साइन के साथ सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण मिला, जो जानने वालों के लिए भी आसान है।

देखें कि पहला समकक्ष परिवर्तन कितना सार्वभौमिक है! यह हर जगह और हर जगह पाया जाता है और इसके आसपास कोई रास्ता नहीं है। इसलिए, आपको इसे स्वचालित रूप से करने में सक्षम होने की आवश्यकता है। मुख्य बात यह है कि स्थानांतरित करते समय संकेत बदलना न भूलें! हम समीकरणों के समान परिवर्तनों से परिचित होना जारी रखते हैं।)

दूसरा पहचान परिवर्तन:

समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही गैर-शून्य संख्या या व्यंजक से गुणा (विभाजित) किया जा सकता है।

जब समीकरण में कुछ गुणांक हमारे साथ हस्तक्षेप करते हैं और हम उनसे छुटकारा पाना चाहते हैं तो हम भी इसी समान परिवर्तन को लगातार लागू करते हैं। समीकरण के लिए ही सुरक्षित। :) उदाहरण के लिए, ऐसा दुष्ट समीकरण:

यहाँ यह सभी के लिए स्पष्ट है कि एक्स = 3... तुमने कैसे अनुमान लगाया? उठाया? या आकाश में अपनी उंगली दबाई और अनुमान लगाया?

चयन न करने और अनुमान न लगाने के लिए (हम अभी भी गणितज्ञ हैं, भाग्य बताने वाले नहीं :)), आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप बस हैं समीकरण के दोनों पक्षों को विभाजित कियाएक चार के लिए। जो हमें बाधित करता है।

ऐशे ही:

इस विभाजन की छड़ी का अर्थ है कि चार विभाजित हैं दोनों भागहमारे समीकरण। सभी बाईं ओर और सभी दाईं ओर:

बाईं ओर, चौके सुरक्षित रूप से सिकुड़ते हैं और X शानदार अलगाव में रहता है। और दाईं ओर, 12 को 4 से विभाजित करने पर, स्वाभाविक रूप से, एक तीन प्राप्त होता है। :)

या इस तरह एक समीकरण:

एक सातवें के साथ क्या करना है? दाएँ चले? नहीं, आप नहीं कर सकते! एक सातवें को x से गुणा करके जोड़ा जाता है। अनुपात, तुम्हें पता है। :) आप गुणांक को फाड़ नहीं सकते और इसे एक्स-रे से अलग से स्थानांतरित नहीं कर सकते। केवल संपूर्ण व्यंजक (1/7) x अपनी संपूर्णता में। लेकिन - कोई जरूरत नहीं है। :) फिर से, गुणा/भाग के बारे में याद कर रहे हैं। हमें क्या रोक रहा है? अंश 1/7, है ना? तो चलिए इससे छुटकारा पाते हैं। कैसे? और किस क्रिया के परिणामस्वरूप हम एक अंश खो देते हैं? भिन्न हमसे गायब हो जाता है जब गुणाउसके हर के बराबर संख्या से! तो आइए हमारे समीकरण के दोनों पक्षों को 7 से गुणा करें:

बाईं ओर, सात कम हो जाएंगे और केवल एक अकेला x होगा, और दाईं ओर, यदि आप गुणन तालिका को याद करते हैं, तो आपको 21 मिलते हैं:

अब हाई स्कूल के छात्रों के लिए एक उदाहरण:

एक्स तक पहुंचने के लिए और इस तरह हमारे बुरे त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करने के लिए, हमें पहले बिना किसी गुणांक के, बाईं ओर शुद्ध कोसाइन प्राप्त करने की आवश्यकता है। और ड्यूस रास्ते में हो जाता है। :) तो हम पूरी बाईं ओर 2 से विभाजित करते हैं:

लेकिन फिर दाहिने हिस्से को भी दो में विभाजित करना होगा: यह पहले से ही MATH द्वारा आवश्यक है। हम विभाजित करते हैं:

दायीं ओर कोज्या का सारणीबद्ध मान प्राप्त होता है। और अब एक प्यारी आत्मा के लिए समीकरण हल किया जा रहा है।)

क्या गुणा/भाग से सब कुछ स्पष्ट है? उत्कृष्ट! परंतु… ध्यान!यह परिवर्तन, अपनी सभी सादगी के बावजूद, बहुत कष्टप्रद त्रुटियों का स्रोत है! यह कहा जाता है जड़ों का नुकसान तथा बाहरी जड़ों का अधिग्रहण .

मैंने पहले ही ऊपर कहा है कि समीकरण के दोनों पक्षों को किसी भी संख्या से गुणा (भाग) किया जा सकता है या x . के साथ व्यंजक... लेकिन एक महत्वपूर्ण चेतावनी के साथ: जिस अभिव्यक्ति से हम गुणा (विभाजित) करते हैं वह होना चाहिए अशून्य ... यह वह सनक है, जिसे कई लोग पहली बार में अनदेखा कर देते हैं, और इस तरह की कष्टप्रद गलतियों की ओर ले जाते हैं। दरअसल, इस प्रतिबंध का अर्थ स्पष्ट है: शून्य से गुणा करना बेवकूफी है, लेकिन विभाजित करना बिल्कुल भी असंभव है। आइए जानें क्या है? आइए विभाजन से शुरू करते हैं और के साथ जड़ों का नुकसान .

मान लें कि हमारे पास ऐसा समीकरण है:

यहां, समीकरण के दोनों पक्षों को एक सामान्य ब्रैकेट (x-1) में लेने और विभाजित करने के लिए हाथ वास्तव में खुजली कर रहे हैं:

मान लीजिए कि परीक्षा का कार्य इस समीकरण के मूलों का योग ज्ञात करना है। प्रत्युत्तर में हम क्या लिखेंगे? तीन? यदि आप तय करते हैं कि शीर्ष तीन, तो आप घात लगाए हुए थे... रूट लॉस कहा जाता है। :) क्या बात है?

आइए मूल समीकरण में कोष्ठकों का विस्तार करें और बाईं ओर सब कुछ एकत्र करें:

हमें क्लासिक द्विघात समीकरण मिला है। हम विवेचक (या विएटा के प्रमेय के माध्यम से) को हल करते हैं और हमें दो जड़ें मिलती हैं:

इसलिए, मूलों का योग 1 + 3 = 4 है। चार, तीन नहीं! जड़ हमसे "गायब" कहाँ से हुई?

एक्स = 1

पहले समाधान में? और हमने कोष्ठक (x-1) द्वारा दोनों भागों के विभाजन के दौरान एक खो दिया। यह क्यों होता है? और सभी क्योंकि x = 1 पर इसी कोष्ठक (x-1) को शून्य कर दिया गया है। और हमें केवल साझा करने का अधिकार है शून्येतर अभिव्यक्ति! आप इस जड़ को खोने से कैसे बच सकते हैं? और सामान्य तौर पर, जड़ों का नुकसान? ऐसा करने के लिए, सबसे पहले, किसी व्यंजक को x से विभाजित करने से पहले, हम हमेशा यह शर्त जोड़ते हैं कि यह व्यंजक अशून्य है। और हम पाते हैं इस अभिव्यक्ति के शून्य... इस तरह (उदाहरण के रूप में हमारे समीकरण का उपयोग करते हुए):

और दूसरी बात, ताकि विभाजन की प्रक्रिया में कुछ जड़ें गायब न हों, हमें उन्हें जड़ों के उम्मीदवार के रूप में अलग से जांचना चाहिए सब हमारी अभिव्यक्ति के शून्य (जिसे हम विभाजित कर रहे हैं)... कैसे? बस उन्हें प्रतिस्थापित करें मूल समीकरणऔर गिनती। हमारे मामले में, हम एक की जांच करते हैं:

सब कुछ जायज है। इसका मतलब है कि एकता एक जड़ है!

सामान्य तौर पर, भविष्य के लिए, हमेशा बचने की कोशिश करें विभाजन एक्स के साथ अभिव्यक्ति के लिए। जड़ों का नष्ट होना एक बहुत ही खतरनाक और कष्टप्रद बात है! किसी अन्य तरीके का उपयोग करें - कोष्ठक खोलना और विशेष रूप से गुणन... फैक्टरिंग सबसे सरल है और सुरक्षित तरीकाजड़ हानि से बचें। ऐसा करने के लिए, हम बाईं ओर सब कुछ एकत्र करते हैं, फिर हम कोष्ठक के बाहर सामान्य कारक (जिसके द्वारा हम "कम करना" चाहते हैं) निकालते हैं, इसे कारकों में विभाजित करते हैं और फिर प्रत्येक परिणामी कारक को शून्य के बराबर करते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे समीकरण को न केवल वर्ग में कमी करके, बल्कि फैक्टरिंग द्वारा भी पूरी तरह से हानिरहित रूप से हल किया जा सकता है। अपने लिए देखलो:

संपूर्ण व्यंजक (x-1) को बाईं ओर ले जाएँ। माइनस साइन के साथ:

एक सामान्य कारक के रूप में फैक्टर आउट (x-1) और इसे कारक करें:

गुणनफल शून्य होता है जब कारकों में से कम से कम एक शून्य है... अब हम (मन में!) प्रत्येक कोष्ठक को शून्य के बराबर करते हैं और हमें हमारी वैध दो जड़ें मिलती हैं:

और एक भी जड़ नहीं खोई!

आइए अब विपरीत स्थिति का विश्लेषण करें - बाहरी जड़ों का अधिग्रहण। यह स्थिति तब होती है जब गुणा एक्स के साथ व्यंजक के लिए समीकरण के दोनों पक्ष। अक्सर यह भिन्नात्मक-तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय होता है। उदाहरण के लिए, इस तरह एक साधारण समीकरण:

मामला परिचित है - हम भिन्न से छुटकारा पाने के लिए दोनों भागों को हर से गुणा करते हैं और एक रूलर में समीकरण प्राप्त करते हैं:

हम प्रत्येक कारक को शून्य के बराबर करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

सब कुछ ठीक लग रहा है। लेकिन आइए प्राथमिक जांच करने का प्रयास करें। और अगर एक्स = 0सब कुछ हमारे साथ अच्छी तरह से विलीन हो जाएगा, हमें पहचान 2 = 2 मिलती है, फिर के लिए एक्स = 1शून्य से भाग प्राप्त होता है। स्पष्ट रूप से क्या नहीं किया जा सकता है। एक हमारे समीकरण की जड़ के रूप में उपयुक्त नहीं है। ऐसे मामलों में कहा जाता है कि एक्स = 1- तथाकथित बाहरी जड़ ... एक हमारे नए अंश-मुक्त समीकरण का मूल है एक्स (एक्स -1) = 0,लेकिन क्या नहीं हैजड़ मूलभिन्नात्मक समीकरण। यह बाहरी जड़ कैसे प्रकट होती है? ऐसा प्रतीत होता है जब दोनों भागों को हर से गुणा किया जाता है एक्स-1.कौन सा एक्स = 1बस गायब हो जाता है! और हमें केवल एक शून्येतर व्यंजक से गुणा करने का अधिकार है!

कैसे बनें? बिल्कुल नहीं गुणा? तब हम कुछ भी हल नहीं कर पाएंगे। क्या आपको हर बार जांच करने की ज़रूरत है? कर सकना। लेकिन अगर मूल समीकरण बहुत अधिक मुड़ जाता है तो इसमें अक्सर समय लगता है। ऐसे मामलों में, तीन जादुई अक्षर सहेजे जाते हैं - ODZ। हेविस्फोट डीत्याग किया हुआ जेडसंकेत। और बाहरी जड़ों की उपस्थिति को बाहर करने के लिए, एक्स के साथ अभिव्यक्ति से गुणा करते समय, ओडीजेड को अतिरिक्त रूप से रिकॉर्ड करना हमेशा आवश्यक होता है। हमारे मामले में:

अब, इस प्रतिबंध के साथ, आप दोनों भागों को हर से सुरक्षित रूप से गुणा कर सकते हैं। हम ODZ के अनुसार ऐसे गुणन (यानी बाहरी जड़ें) से सभी हानिकारक परिणामों को बाहर करते हैं। और हम बेरहमी से अपने एक को बाहर निकाल देंगे।

तो, बाहरी जड़ों की उपस्थिति नुकसान के रूप में खतरनाक नहीं है: ओडीजेड एक शक्तिशाली चीज है। और कठिन। वह हमेशा हमारे लिए सभी अनावश्यक को मिटा देगी। :) हम ODZ के मित्र होंगे और एक अलग पाठ में एक दूसरे को और अधिक विस्तार से जानेंगे।

वह सभी समान परिवर्तन हैं।) केवल दो। हालाँकि, एक अनुभवहीन छात्र को इससे जुड़ी कुछ कठिनाइयाँ हो सकती हैं अनुक्रमउनका आवेदन: कुछ उदाहरणों में, वे गुणन (या भाग) से शुरू करते हैं, कुछ में - स्थानांतरण के साथ। उदाहरण के लिए, इस तरह एक रैखिक समीकरण:

कहा से शुरुवात करे? आप स्थानांतरित करके शुरू कर सकते हैं:

और आप पहले दोनों भागों को पांच में विभाजित कर सकते हैं, और फिर उन्हें स्थानांतरित कर सकते हैं। तब संख्याएँ सरल हो जाएँगी और गिनना आसान हो जाएगा:

जैसा कि आप देख सकते हैं, यह और वह संभव है। तो कुछ छात्रों का एक प्रश्न है: "यह कैसे सही है?" उत्तर: "हर तरह से यह सही है!" किसके लिए यह अधिक सुविधाजनक है। :) यदि केवल आपके कार्य गणित के नियमों का खंडन नहीं करते हैं। और इन कार्यों का क्रम पूरी तरह से व्यक्तिगत प्राथमिकताओं और निर्णायक व्यक्ति की आदतों पर निर्भर करता है। हालाँकि, अनुभव के साथ, ऐसे प्रश्न अपने आप गायब हो जाएंगे, और परिणामस्वरूप, गणित आपको आज्ञा नहीं देगा, लेकिन आप गणित को आज्ञा देंगे। :)

अंत में, मैं तथाकथित के बारे में अलग से कहना चाहता हूं सशर्त रूप से समान परिवर्तनके लिए मान्य कुछ शर्तें... उदाहरण के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को समान घात तक बढ़ाना। या फिर दोनों हिस्सों से जड़ निकालकर। यदि घातांक विषम है, तो कोई प्रतिबंध नहीं हैं - बिना किसी डर के निर्माण और निकालें। लेकिन अगर यह सम है, तो ऐसा परिवर्तन तभी समान होगा जब समीकरण के दोनों पक्ष गैर-ऋणात्मक हैं... हम अपरिमेय समीकरणों के विषय में इन नुकसानों के बारे में विस्तार से बात करेंगे।

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
अतिरिक्त हैं
विशेष धारा 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो बहुत "बहुत नहीं ..." हैं
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ज्यादा ...")

रेखीय समीकरण।

स्कूली गणित में रैखिक समीकरण सबसे कठिन विषय नहीं हैं। लेकिन कुछ तरकीबें ऐसी हैं जो एक प्रशिक्षित छात्र को भी पहेली बना सकती हैं। क्या हम इसका पता लगाएंगे?)

आमतौर पर एक रैखिक समीकरण को फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी + बी = 0 कहाँ पे ए और बी- कोई संख्या।

2x + 7 = 0. यहाँ ए = 2, बी = 7

0.1x - 2.3 = 0 यहाँ ए = 0.1, बी = -2.3

१२x + १/२ = ० यहाँ ए = 12, बी = 1/2

कुछ भी जटिल नहीं है, है ना? खासकर यदि आप शब्दों पर ध्यान नहीं देते हैं: "जहां ए और बी कोई संख्या है"... और अगर आप नोटिस करते हैं, लेकिन लापरवाही से सोचते हैं?) आखिरकार, अगर ए = 0, बी = 0(कोई संख्या संभव है?), तो हमें एक अजीब अभिव्यक्ति मिलती है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर कहें, ए = 0,लेकिन बी = 5,यह पूरी तरह से सामान्य से काफी कुछ निकलता है:

जो गणित में आत्मविश्वास को कम करता है, हां ...) खासकर परीक्षाओं में। लेकिन इन अजीबोगरीब भावों से एक्स का पता लगाना भी जरूरी है! जो वहां बिल्कुल नहीं है। और, आश्चर्यजनक रूप से, यह X खोजना बहुत आसान है। हम सीखेंगे कि यह कैसे करना है। इस ट्यूटोरियल में।

आप एक रैखिक समीकरण को उसके स्वरूप से कैसे जानते हैं? यह किस पर निर्भर करता है दिखावट।) चाल यह है कि रैखिक समीकरण केवल रूप के समीकरण नहीं हैं कुल्हाड़ी + बी = 0 , लेकिन किसी भी समीकरण को जो रूपांतरण और सरलीकरण द्वारा इस रूप में कम कर दिया गया है। और कौन जानता है कि इसे कम किया जा सकता है या नहीं?)

कुछ मामलों में एक रैखिक समीकरण को स्पष्ट रूप से पहचाना जा सकता है। मान लीजिए, यदि हमारे पास एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, और संख्याएं हैं। और समीकरण में नहीं है द्वारा विभाजित अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और विभाजन द्वारा संख्या,या एक संख्यात्मक अंश - कृपया! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहाँ भिन्न हैं, लेकिन वर्ग में, घन आदि में कोई x नहीं है, और हर में कोई x नहीं है, अर्थात। नहीं x . द्वारा विभाजन... और यहाँ समीकरण है

रैखिक नहीं कहा जा सकता। यहाँ x सभी पहली डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है x . के साथ व्यंजक द्वारा विभाजन... सरलीकरण और परिवर्तनों के बाद, आप एक रैखिक समीकरण, और एक द्विघात, और अपनी पसंद की कोई भी चीज़ प्राप्त कर सकते हैं।

यह पता चला है कि जब तक आप इसे लगभग हल नहीं कर लेते, तब तक किसी मुश्किल उदाहरण में एक रैखिक समीकरण का पता लगाना असंभव है। यह परेशान करने वाला है। लेकिन असाइनमेंट आमतौर पर समीकरण के प्रकार के बारे में नहीं पूछते हैं, है ना? असाइनमेंट में, समीकरणों का आदेश दिया जाता है हल।यह मुझे आनंद देता है।)

रैखिक समीकरणों को हल करना। उदाहरण।

रैखिक समीकरणों के संपूर्ण समाधान में समीकरणों के समान परिवर्तन होते हैं। वैसे, ये परिवर्तन (दो के रूप में कई!) समाधान के अंतर्गत आते हैं गणित के सभी समीकरण।दूसरे शब्दों में, समाधान कोईसमीकरण इन्हीं परिवर्तनों से शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, यह (समाधान) इन परिवर्तनों पर आधारित है और एक पूर्ण उत्तर के साथ समाप्त होता है। लिंक का पालन करना समझ में आता है, है ना?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के उदाहरण भी हैं।

आइए सबसे सरल उदाहरण से शुरू करें। बिना किसी झंझट के। मान लीजिए हमें इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

एक्स - 3 = 2 - 4x

यह एक रैखिक समीकरण है। एक्स सभी पहली डिग्री में है, एक्स से कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हमें परवाह नहीं है कि यह कौन सा समीकरण है। हमें इसे हल करने की जरूरत है। योजना सरल है। समानता के बाईं ओर x के साथ सब कुछ लीजिए, दाईं ओर x (संख्या) के बिना सब कुछ।

ऐसा करने के लिए, आपको स्थानांतरित करने की आवश्यकता है - ४x बाईं ओर, चिन्ह के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, लेकिन - 3 - दांई ओर। वैसे, यह है समीकरणों का पहला समान परिवर्तन।क्या आप आश्चर्यचकित हैं? इसलिए, हमने लिंक का अनुसरण नहीं किया, लेकिन व्यर्थ ...) हमें मिलता है:

एक्स + 4x = 2 + 3

हम समान देते हैं, हम मानते हैं:

पूर्ण सुख के लिए हमारे पास क्या कमी है? हाँ, ताकि बाईं ओर एक साफ़ X हो! पांच रास्ते में है। शीर्ष पांच से छुटकारा पाने के साथ समीकरणों का दूसरा समान परिवर्तन।अर्थात्, हम समीकरण के दोनों पक्षों को 5 से विभाजित करते हैं। हमें तैयार उत्तर मिलता है:

एक प्रारंभिक उदाहरण, बिल्कुल। यह वार्म-अप के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मैं यहाँ समान परिवर्तनों को क्यों याद कर रहा था? ठीक है। हम बैल को सींगों से पकड़ते हैं।) चलो कुछ और प्रभावशाली तय करते हैं।

उदाहरण के लिए, यहाँ समीकरण है:

हम कहाँ शुरू करें? x के साथ - बाईं ओर, x के बिना - दाईं ओर? ऐसा हो सकता है। लंबी सड़क के साथ छोटे कदमों में। या आप तुरंत, एक सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। यदि, निश्चित रूप से, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण प्रश्न पूछता हूं: आप इस समीकरण के बारे में सबसे ज्यादा क्या नापसंद करते हैं?

१०० में से ९५ लोग जवाब देंगे: अंशों ! उत्तर सही है। तो चलिए इनसे छुटकारा पाते हैं। इसलिए, हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरी पहचान परिवर्तन... आपको बाईं ओर के अंश को गुणा करने की क्या आवश्यकता है ताकि हर को पूरी तरह से कम किया जा सके? ठीक, 3 पर। और दाहिनी ओर? 4. लेकिन गणित हमें दोनों पक्षों को से गुणा करने की अनुमति देता है वही नंबर... हम कैसे निकलते हैं? और दोनों पक्षों को 12 से गुणा करते हैं! वे। एक आम भाजक द्वारा। फिर तीन और चार दोनों कम हो जाएंगे। यह मत भूलो कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है। पूर्ण... यह पहला कदम कैसा दिखता है:

कोष्ठक का विस्तार करें:

ध्यान दें! मीटर (एक्स + 2)मैंने ब्रैकेट किया! ऐसा इसलिए है क्योंकि भिन्नों को गुणा करते समय अंश पूरी तरह से गुणा किया जाता है! और अब भिन्नों को कम किया जा सकता है:

शेष कोष्ठक का विस्तार करें:

एक उदाहरण नहीं, बल्कि सरासर खुशी!) अब हम प्राथमिक ग्रेड से जादू को याद करते हैं: एक x के साथ - बाईं ओर, बिना x के - दाईं ओर!और इस परिवर्तन को लागू करें:

यहाँ समान हैं:

और हम दोनों भागों को 25 से विभाजित करते हैं, अर्थात्। दूसरा परिवर्तन फिर से लागू करें:

बस इतना ही। उत्तर: एन एस=0,16

नोट: मूल ट्रिकी समीकरण को में लाने के लिए सुखद दृश्य, हमने दो (केवल दो!) समान परिवर्तन- एक ही संख्या से समीकरण के चिह्न और गुणन-विभाजन के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं स्थानांतरित करें। ये है सार्वभौमिक तरीका! हम इस तरह से काम करेंगे कोई समीकरण! बिल्कुल कोई। इसलिए मैं इन समान परिवर्तनों को हर समय दोहरा रहा हूं।)

जैसा कि आप देख सकते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त होने तक समान परिवर्तनों की सहायता से इसे सरल बनाते हैं। यहां मुख्य समस्याएं गणना में हैं, समाधान के सिद्धांत में नहीं।

लेकिन ... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसे आश्चर्य हैं कि वे आपको एक मजबूत स्तब्धता में डाल सकते हैं ...) सौभाग्य से, ऐसे केवल दो आश्चर्य हो सकते हैं। आइए उन्हें विशेष मामले कहते हैं।

रैखिक समीकरणों को हल करते समय विशेष मामले।

पहला आश्चर्य।

मान लीजिए कि आप एक प्रारंभिक समीकरण में आते हैं, जैसे कुछ:

2x + 3 = 5x + 5 - 3x - 2

थोड़ा ऊब गया है, हम इसे x के साथ बाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, बिना x के दाईं ओर ... संकेत के परिवर्तन के साथ, सब कुछ चिन-चिनार है ... हमें मिलता है:

2x-5x + 3x = 5-2-3

हम विचार करते हैं, और ... ओह शिट !!! हम पाते हैं:

यह समानता अपने आप में आपत्तिजनक नहीं है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन एक्स चला गया है! और हम उत्तर में लिखने के लिए बाध्य हैं, जो x के बराबर है।अन्यथा, निर्णय मायने नहीं रखता, हाँ ...) गतिरोध?

शांत! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे सामान्य नियम बचाते हैं। समीकरण कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? इसका मतलब, उन सभी x मानों को खोजें, जिन्हें मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें सही समानता प्रदान करेगा।

लेकिन हमारे पास सच्ची समानता है पहले सेहो गई! 0 = 0, कितना अधिक सटीक?! यह पता लगाना बाकी है कि एक्स क्या निकलता है। x के किन मानों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है प्रारंभिकसमीकरण अगर ये x's वैसे भी शून्य हो जाएगा?आ भी?)

हाँ!!! Xs को प्रतिस्थापित किया जा सकता है कोई!आप क्या चाहते हैं। कम से कम 5, कम से कम 0.05, कम से कम -220। वे वैसे भी सिकुड़ जाएंगे। यदि आप मुझ पर विश्वास नहीं करते हैं, तो आप जांच सकते हैं।) किसी भी x मान को में बदलें प्रारंभिकसमीकरण और गिनती। हर समय, शुद्ध सत्य प्राप्त होगा: 0 = 0, 2 = 2, -7.1 = -7.1 और इसी तरह।

यहाँ उत्तर है: एक्स - कोई भी संख्या।

उत्तर विभिन्न गणितीय प्रतीकों में लिखा जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह बिल्कुल सही और पूरा जवाब है।

दूसरा आश्चर्य।

आइए एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और उसमें केवल एक संख्या बदलें। यही हम हल करेंगे:

2x + 1 = 5x + 5 - 3x - 2

समान परिवर्तनों के बाद, हमें कुछ दिलचस्प मिलता है:

इस प्रकार सं। एक रैखिक समीकरण हल किया, एक अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय रूप से बोलते हुए, हमें मिला गलत समानता।और सरल शब्दों में, यह सच नहीं है। बड़बड़ाना। लेकिन फिर भी, यह बकवास समीकरण को सही ढंग से हल करने का एक बहुत अच्छा कारण है।)

फिर से, हम सोचते हैं, से आगे बढ़ना सामान्य नियम... मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर x हमें क्या देगा? सचसमानता? हाँ, कोई नहीं! ऐसे कोई x नहीं हैं। जो कुछ भी तुम प्रतिस्थापित करो, सब कुछ कम हो जाएगा, प्रलाप बना रहेगा।)

यहाँ उत्तर है: कोई समाधान नहीं।

यह भी काफी पूर्ण उत्तर है। गणित में ऐसे उत्तर अक्सर मिल जाते हैं।

इस प्रकार सं। अब, मुझे आशा है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में x की हानि आपको भ्रमित नहीं करेगी। मामला पहले से ही परिचित है।)

अब जब हमने सभी नुकसानों से निपट लिया है रेखीय समीकरण, उन्हें हल करना समझ में आता है।

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कक्षा 8 में द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया जाता है, इसलिए यहाँ कुछ भी जटिल नहीं है। उन्हें हल करने की क्षमता नितांत आवश्यक है।

द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 के रूप का एक समीकरण है, जहाँ गुणांक a, b और c मनमानी संख्याएँ हैं, और a 0।

विशिष्ट समाधान विधियों का अध्ययन करने से पहले, हम ध्यान दें कि सभी द्विघात समीकरणों को सशर्त रूप से तीन वर्गों में विभाजित किया जा सकता है:

1. कोई जड़ नहीं है;
2. बिल्कुल एक जड़ है;
3. उनकी दो अलग-अलग जड़ें हैं।

यह द्विघात और रैखिक समीकरणों के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है, जहां मूल हमेशा मौजूद होता है और अद्वितीय होता है। आप कैसे निर्धारित करते हैं कि समीकरण की कितनी जड़ें हैं? इसमें एक अद्भुत बात है - विभेदक.

विभेदक

मान लीजिए कि द्विघात समीकरण ax 2 + bx + c = 0 दिया गया है। तब विवेचक केवल संख्या D = b 2 - 4ac है।

आपको इस फॉर्मूले को दिल से जानना होगा। यह कहाँ से आता है - अब कोई फर्क नहीं पड़ता। एक और बात महत्वपूर्ण है: विवेचक के चिह्न से, आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि द्विघात समीकरण की कितनी जड़ें हैं। अर्थात्:

1. अगर डी< 0, корней нет;
2. यदि D = 0 है, तो ठीक एक मूल है;
3. यदि D> 0, तो दो मूल होंगे।

कृपया ध्यान दें: विवेचक जड़ों की संख्या को इंगित करता है, न कि उनके सभी संकेतों को, जैसा कि किसी कारण से कई लोग मानते हैं। उदाहरणों पर एक नज़र डालें - और आप खुद ही सब कुछ समझ जाएंगे:

एक कार्य। द्विघात समीकरणों की कितनी जड़ें होती हैं:

1. एक्स 2 - 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. एक्स 2 - 6x + 9 = 0।

आइए पहले समीकरण के गुणांकों को लिखें और विवेचक खोजें:
ए = 1, बी = -8, सी = 12;
डी = (−8) 2 - 4 1 12 = 64 - 48 = 16

तो विवेचक सकारात्मक है, इसलिए समीकरण की दो अलग-अलग जड़ें हैं। हम इसी तरह दूसरे समीकरण का विश्लेषण करते हैं:
ए = 5; बी = 3; सी = 7;
डी = 3 2 - 4 5 7 = 9 - 140 = -131।

विभेदक नकारात्मक है, कोई जड़ नहीं है। अंतिम समीकरण रहता है:
ए = 1; बी = -6; सी = 9;
डी = (−6) 2 - 4 1 9 = 36 - 36 = 0।

विवेचक शून्य है - एक जड़ होगी।

ध्यान दें कि प्रत्येक समीकरण के लिए गुणांक लिखे गए हैं। हाँ, यह लंबा है, हाँ, यह उबाऊ है - लेकिन आपने गुणांकों को नहीं मिलाया और मूर्खतापूर्ण गलतियाँ नहीं कीं। अपने लिए चुनें: गति या गुणवत्ता।

वैसे, यदि आप "अपना हाथ भरते हैं", तो थोड़ी देर बाद आपको सभी गुणांक लिखने की आवश्यकता नहीं होगी। आप अपने सिर में ऐसे ऑपरेशन करेंगे। ज्यादातर लोग 50-70 समीकरण हल होने के बाद कहीं ऐसा करना शुरू करते हैं - सामान्य तौर पर, इतना नहीं।

द्विघात जड़ें

अब चलिए समाधान की ओर बढ़ते हैं। यदि विभेदक D> 0, जड़ों को सूत्रों द्वारा पाया जा सकता है:

द्विघात समीकरण के मूल के लिए मूल सूत्र

जब डी = 0, आप इनमें से किसी भी सूत्र का उपयोग कर सकते हैं - आपको वही संख्या मिलती है, जिसका उत्तर होगा। अंत में, यदि डी< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. एक्स 2 - 2x - 3 = 0;
2. 15 - 2x - x 2 = 0;
3. एक्स 2 + 12x + 36 = 0।

पहला समीकरण:
एक्स 2 - 2x - 3 = 0 ए = 1; बी = -2; सी = -3;
डी = (−2) 2 - 4 1 (−3) = 16।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं:

दूसरा समीकरण:
15 - 2x - x 2 = 0 a = −1; बी = -2; सी = 15;
डी = (−2) 2 - 4 (−1) 15 = 64।

D> 0 समीकरण के दो मूल हैं। आइए उन्हें ढूंढते हैं

\ [\ start (align) & ((x) _ (1)) = \ frac (2+ \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ left (-1 \ right)) = - 5; \\ & ((x) _ (2)) = \ frac (2- \ sqrt (64)) (2 \ cdot \ बाएँ (-1 \ दाएँ)) = 3. \\ \ अंत (संरेखित करें) \]

अंत में, तीसरा समीकरण:
एक्स 2 + 12x + 36 = 0 ए = 1; बी = 12; सी = 36;
डी = १२ २ - ४ · १ · ३६ = ०।

D = 0 समीकरण का एक मूल है। किसी भी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पहला वाला:

जैसा कि आप उदाहरणों से देख सकते हैं, सब कुछ बहुत सरल है। यदि आप सूत्र जानते हैं और गिनने में सक्षम हैं, तो कोई समस्या नहीं होगी। अक्सर, सूत्र में नकारात्मक गुणांक को प्रतिस्थापित करते समय त्रुटियां होती हैं। यहां, फिर से, ऊपर वर्णित तकनीक मदद करेगी: सूत्र को शाब्दिक रूप से देखें, प्रत्येक चरण का वर्णन करें - और बहुत जल्द आपको गलतियों से छुटकारा मिलेगा।

अपूर्ण द्विघात समीकरण

ऐसा होता है कि द्विघात समीकरण परिभाषा में दी गई चीज़ों से कुछ अलग है। उदाहरण के लिए:

1. एक्स 2 + 9एक्स = 0;
2. एक्स 2 - 16 = 0।

यह देखना आसान है कि इन समीकरणों में से एक पद गायब है। इस तरह के द्विघात समीकरणों को मानक समीकरणों की तुलना में हल करना और भी आसान है: उन्हें विवेचक की गणना करने की भी आवश्यकता नहीं है। तो, चलिए एक नई अवधारणा पेश करते हैं:

समीकरण ax 2 + bx + c = 0 अपूर्ण द्विघात समीकरण कहलाता है यदि b = 0 या c = 0, अर्थात्। चर x या मुक्त तत्व पर गुणांक शून्य के बराबर है।

बेशक, एक बहुत ही कठिन मामला संभव है जब ये दोनों गुणांक शून्य के बराबर हों: b = c = 0. इस मामले में, समीकरण ax 2 = 0 का रूप लेता है। जाहिर है, इस तरह के समीकरण का एक ही मूल होता है: x = 0.

आइए बाकी मामलों पर विचार करें। मान लीजिए b = 0 है, तो हमें ax 2 + c = 0 के रूप का एक अपूर्ण द्विघात समीकरण प्राप्त होता है। आइए इसे थोड़ा रूपांतरित करें:

अंकगणित के बाद से वर्गमूलकेवल एक गैर-ऋणात्मक संख्या से मौजूद है, अंतिम समानता केवल (−c / a) 0 के लिए समझ में आता है। निष्कर्ष:

1. यदि असमानता (−c / a) 0, ax 2 + c = 0 के रूप में अपूर्ण द्विघात समीकरण में है, तो दो मूल होंगे। सूत्र ऊपर दिया गया है;
2. अगर (-सी / ए)< 0, корней нет.

जैसा कि आप देख सकते हैं, विवेचक की आवश्यकता नहीं थी - अपूर्ण द्विघात समीकरणों में कोई जटिल गणना नहीं होती है। वास्तव में, असमानता (−c / a) 0 को याद रखना भी आवश्यक नहीं है। यह x 2 के मान को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त है और देखें कि समान चिह्न के दूसरी तरफ क्या है। यदि कोई धनात्मक संख्या है, तो दो मूल होंगे। यदि ऋणात्मक है, तो जड़ें बिल्कुल नहीं होंगी।

अब आइए फार्म ax 2 + bx = 0 के समीकरणों पर विचार करें, जिसमें मुक्त तत्व शून्य के बराबर है। यहां सब कुछ सरल है: हमेशा दो जड़ें होंगी। यह बहुपद का गुणनखंड करने के लिए पर्याप्त है:

उत्पाद शून्य होता है जब कम से कम एक कारक शून्य होता है। यहीं से जड़ें हैं। अंत में, हम ऐसे कई समीकरणों का विश्लेषण करेंगे:

एक कार्य। द्विघात समीकरणों को हल करें:

1. एक्स 2 - 7x = 0;
2. 5x 2 + 30 = 0;
3. 4x 2 - 9 = 0.

x 2 - 7x = 0 x (x - 7) = 0 x 1 = 0; x २ = - (- ७) / १ = ७.

5x 2 + 30 = 0 5x 2 = -30 ⇒ x 2 = -6। कोई जड़ें नहीं हैं, टीके। एक वर्ग एक ऋणात्मक संख्या के बराबर नहीं हो सकता।

4x 2 - 9 = 0 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1.5; एक्स 2 = -1.5।

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाआइए उदाहरण देखें। उदाहरण सरल और दृष्टांत हैं। उनकी मदद से, आप सबसे अधिक समझने योग्य तरीके से सीख सकेंगे।
उदाहरण के लिए, आप एक साधारण समीकरण x / b + c = d को हल करना चाहते हैं।

इस प्रकार के समीकरणों को रैखिक कहा जाता है, क्योंकि भाजक में केवल संख्याएँ होती हैं।

समीकरण के दोनों पक्षों को b से गुणा करके हल किया जाता है, फिर समीकरण x = b * (d - c) का रूप लेता है, अर्थात। बाईं ओर के अंश का हर रद्द कर दिया जाता है।

उदाहरण के लिए, भिन्नात्मक समीकरण को कैसे हल करें:
एक्स / 5 + 4 = 9
हम दोनों भागों को 5 से गुणा करते हैं।
एक्स + 20 = 45
एक्स = 45 - 20 = 25

एक और उदाहरण, जब अज्ञात हर में है:

इस प्रकार के समीकरणों को भिन्नात्मक-तर्कसंगत या केवल भिन्नात्मक कहा जाता है।

हम भिन्नों से छुटकारा पाकर एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करेंगे, जिसके बाद यह समीकरण, अक्सर, एक रैखिक या द्विघात में बदल जाता है, जिसे हल किया जाता है सामान्य तरीके से... आपको केवल निम्नलिखित बिंदुओं पर विचार करना चाहिए:

• एक चर का मान जो हर को 0 में बदल देता है वह रूट नहीं हो सकता है;
• आप किसी समीकरण को व्यंजक = 0 से विभाजित या गुणा नहीं कर सकते।

यहाँ इस तरह की अवधारणा लागू होती है जैसे कि अनुमेय मूल्यों की सीमा (ODV) - ये समीकरण की जड़ों के मान हैं जिनके लिए समीकरण समझ में आता है।

इस प्रकार, समीकरण को हल करते हुए, जड़ों को ढूंढना आवश्यक है, और फिर ओडीजेड के अनुपालन के लिए उनकी जांच करें। वे जड़ें जो हमारे ODZ के अनुरूप नहीं हैं, उन्हें उत्तर से बाहर रखा गया है।

उदाहरण के लिए, आपको एक भिन्नात्मक समीकरण को हल करने की आवश्यकता है:

उपरोक्त नियम के आधार पर, x = 0 नहीं हो सकता, अर्थात। इस मामले में ODZ: x - शून्य के अलावा कोई भी मान।

हम समीकरण के सभी पदों को x . से गुणा करके हर से छुटकारा पाते हैं

और हम सामान्य समीकरण को हल करते हैं

5x - 2x = 1
3x = 1
एक्स = 1/3

उत्तर: एक्स = 1/3

आइए अधिक जटिल समीकरण को हल करें:

ODZ भी यहाँ मौजूद है: x -2।

इस समीकरण को हल करते हुए, हम सब कुछ एक तरफ स्थानांतरित नहीं करेंगे और भिन्न को एक सामान्य हर में कम करेंगे। हम तुरंत समीकरण के दोनों पक्षों को एक ऐसे व्यंजक से गुणा करेंगे जो एक ही बार में सभी हरों को रद्द कर देगा।

हर को कम करने के लिए, आपको बाईं ओर x + 2 और दाईं ओर 2 से गुणा करना होगा। इसलिए, समीकरण के दोनों पक्षों को 2 (x + 2) से गुणा किया जाना चाहिए:

यह भिन्नों का सबसे सामान्य गुणन है, जिसकी चर्चा हम ऊपर कर चुके हैं।

आइए समान समीकरण लिखते हैं, लेकिन थोड़े अलग तरीके से

बाईं ओर (x + 2), और दाईं ओर 2 द्वारा रद्द किया जाता है। रद्द करने के बाद, हमें सामान्य रैखिक समीकरण मिलता है:

x = 4 - 2 = 2, जो हमारे ODZ . के अनुरूप है

उत्तर: एक्स = 2.

भिन्नों के साथ समीकरणों को हल करनाउतना मुश्किल नहीं जितना यह लग सकता है। इस लेख में हमने इसे उदाहरणों के साथ दिखाया है। अगर आपको इससे कोई परेशानी है, भिन्नों के साथ समीकरणों को कैसे हल करें, फिर टिप्पणियों में सदस्यता समाप्त करें।