गणना नियम का वर्गमूल। वर्गमूल निकालने की विधियाँ

वर्गमूल क्या है?

चेतावनी!
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   और जो "बहुत ..." हैं उनके लिए

यह अवधारणा बहुत सरल है। स्वाभाविक रूप से, मैं कहूंगा। प्रत्येक क्रिया के लिए गणितज्ञ एक प्रतिक्रिया खोजने की कोशिश करते हैं। जोड़ है तो घटाव भी है। गुणा है - विभाजन है। एक वर्ग है ... तो वहाँ भी है वर्गमूल निष्कर्षण!  वह सब है। यह क्रिया ( वर्गमूल निष्कर्षण) में इस चिह्न से संकेत मिलता है:

आइकन को ही सुंदर शब्द कहा जाता है " उग्र".

जड़ कैसे निकाले?  यह सबसे अच्छा देखा जाता है उदाहरण.

9 का वर्गमूल कितना होगा? और वर्ग में कौन सी संख्या हमें 9 देगी? 3 वर्ग हमें 9 देंगे! अर्थात्:

लेकिन शून्य का वर्गमूल कितना होगा? कोई सवाल नहीं! क्या चुकता संख्या शून्य देती है? हाँ, वह खुद शून्य देता है! तो:

पकड़ा, वर्गमूल क्या है?  तब हम विचार करते हैं उदाहरण:

उत्तर (झंझट में): 6; 1; 4; 9; 5।

क्या आपने तय किया है? वास्तव में, बहुत आसान है ?!

लेकिन ... जब कोई व्यक्ति किसी कार्य को जड़ों से देखता है तो वह क्या करता है?

एक व्यक्ति को तरसना शुरू होता है ... वह जड़ों की सादगी और हल्कापन में विश्वास नहीं करता है। यद्यपि, जैसे, वह जानता है वर्गमूल क्या है...

ऐसा इसलिए है क्योंकि किसी व्यक्ति ने जड़ों का अध्ययन करते समय कई महत्वपूर्ण बिंदुओं को नजरअंदाज कर दिया। फिर ये सन्यासी क्रूरता से परीक्षा और परीक्षा का बदला लेते हैं ...

पहले सनक। जड़ों को व्यक्ति में पहचाना जाना चाहिए!

49 का वर्गमूल कितना होगा? सात? यह सही है! और तुम्हें कैसे पता चला कि सात? क्या आपने एक वर्ग में सात बनाया है और 49 प्राप्त किया है? यह सही है! पर ध्यान दें जड़ निकालें  49 में से हमें विपरीत ऑपरेशन करना पड़ा - वर्ग 7 तक! और सुनिश्चित करें कि हम चूक नहीं गए हैं। और वे चूक सकते थे ...

यही कठिनाई है रूट निष्कर्षण. चौकोर  आप किसी भी समस्या के बिना किसी भी संख्या कर सकते हैं। एक कॉलम में संख्या को खुद से गुणा करें - और यह सब है। लेकिन के लिए रूट निष्कर्षण  ऐसी कोई सरल और विश्वसनीय तकनीक नहीं है। का हिसाब दिया उठा लो  जवाब दें और चुकता होने के लिए जाँच करें।

यह जटिल रचनात्मक प्रक्रिया - उत्तर का चयन - यदि आप बहुत आसान है याद लोकप्रिय संख्या के वर्ग। गुणा तालिका की तरह। यदि, कहते हैं, तो आपको 4 से 6 गुणा करने की आवश्यकता है - आप चार से 6 बार नहीं जोड़ते हैं? जवाब तुरंत 24 पॉप हो जाता है। हालांकि हर कोई इसके साथ नहीं आता है, हाँ ...

जड़ों के साथ मुफ्त और सफल काम के लिए, यह 1 से 20 तक की संख्याओं के वर्गों को जानना पर्याप्त है वहाँ  और वापस।  यानी आप आसानी से दोनों का नाम, कह सकते हैं, 11 वर्ग और 121 का वर्गमूल। इस संस्मरण को प्राप्त करने के दो तरीके हैं। सबसे पहले वर्गों की तालिका सीखना है। यह समस्याओं को हल करने में एक बड़ी मदद है। दूसरा अधिक उदाहरणों को हल करना है। यह वर्गों की तालिका को याद रखने में बहुत मदद करेगा।

और कोई कैलकुलेटर नहीं! केवल सत्यापन के लिए। अन्यथा, परीक्षा निर्दयतापूर्वक धीमी हो जाएगी ...

इस प्रकार, वर्गमूल क्या है  और कैसे जड़ें पकड़ें  - मुझे लगता है कि यह स्पष्ट है। अब पता करें कि आप उन्हें किससे निकाल सकते हैं।

सनक दूसरा। जड़, मैं तुम्हें नहीं जानता!

वर्गाकार जड़ों को किस संख्या से निकाला जा सकता है? हाँ, लगभग किसी से। यह समझना आसान है कि क्या है अनुमति नहीं है  उन्हें निकालने के लिए।

आइए इस जड़ की गणना करने का प्रयास करें:

ऐसा करने के लिए, उस संख्या को चुनें जो चुकता हमें -4 देगा। हम चयन करते हैं।

क्या मेल नहीं खाता? २ २ + ४ देता है। (-2) 2 फिर +4 देता है! यह बात है ... कोई संख्या नहीं है, जब चुकता किया जाता है, तो हमें एक नकारात्मक संख्या दी जाएगी! हालांकि मुझे ऐसे नंबर पता हैं। लेकिन मैं आपको नहीं बताऊंगा)। कॉलेज जाओ - तुम अपने लिए खोजोगे।

वही कहानी किसी भी नकारात्मक संख्या के साथ होगी। इसलिए निष्कर्ष:

एक अभिव्यक्ति जिसमें एक नकारात्मक संख्या वर्गमूल चिह्न के नीचे है - कोई मतलब नहीं है! यह एक निषिद्ध ऑपरेशन है। शून्य के रूप में विभाजन के रूप में निषिद्ध। इस तथ्य को विडंबना याद रखें!  या दूसरे शब्दों में:

वर्गमूल को ऋणात्मक संख्याओं से नहीं निकाला जा सकता है!

लेकिन अन्य सभी के लिए - यह संभव है। उदाहरण के लिए, गणना करना काफी संभव है

पहली नज़र में, यह बहुत मुश्किल है। अंशों को उठाओ और उन्हें एक वर्ग में रखो ... चिंता मत करो। जब हम जड़ों के गुणों से निपटते हैं, तो ऐसे उदाहरण वर्गों के समान तालिका में आ जाएंगे। जीवन आसान हो जाएगा!

खैर, अंश। लेकिन हम अभी भी अभिव्यक्ति की तरह आते हैं:

चिंता की कोई बात नहीं। सभी समान। दो का वर्गमूल वह संख्या है, जिसे चुकता करते समय, हमें एक ड्यूस देंगे। केवल संख्या काफी असमान है ... यहाँ यह है:

दिलचस्प है, यह अंश कभी समाप्त नहीं होता है ... ऐसी संख्या को तर्कहीन कहा जाता है। वर्गमूल में, यह सबसे आम बात है। वैसे, इसीलिए जड़ों वाले भाव को कहा जाता है तर्कहीन। यह स्पष्ट है कि हर समय इस तरह के अंतहीन अंश को लिखना असुविधाजनक है। इसलिए, एक अनंत अंश के बजाय, वे छोड़ देते हैं:

यदि, उदाहरण को हल करते समय, आपके पास कुछ अपरिवर्तनीय है, जैसे:

फिर इसे इस तरह छोड़ दें। इसका जवाब होगा।

आपको आइकनों के नीचे स्पष्ट रूप से समझने की आवश्यकता है

बेशक, यदि संख्या का मूल निकाला जाता है वास्तव मेंआपको ऐसा करना ही चाहिए। उदाहरण के लिए, फॉर्म में नौकरी की प्रतिक्रिया

एक पूर्ण जवाब।

और, ज़ाहिर है, आपको स्मृति से अनुमानित मूल्यों को जानने की आवश्यकता है:

यह ज्ञान कठिन कार्यों में स्थिति का आकलन करने में मदद करता है।

फड तीसरा। सबसे चालाक।

जड़ों के साथ काम में मुख्य भ्रम सिर्फ यह सनक बनाता है। यह वह है जो अपनी ताकत में असुरक्षा देता है ... हम इस सनक से निपटेंगे जैसा कि यह होना चाहिए!

शुरू करने के लिए, हम फिर से उनमें से चार का वर्गमूल निकालते हैं। क्या, मैं आपको पहले से ही इस जड़ के साथ मिला था?) कुछ नहीं, अब यह दिलचस्प होगा!

वर्ग 4 क्या होगा? खैर, दो, दो - मैं असंतुष्ट जवाब सुनता हूं ...

ठीक है। दो। लेकिन यह भी शून्य से दो  एक वर्ग 4 में दे देंगे ... इस बीच, जवाब

सही और जवाब

ज़बरदस्त गलती। वहां तुम जाओ।

तो क्या बात है?

दरअसल, (-2) 2 \u003d 4. और चार के वर्गमूल की परिभाषा के तहत शून्य से दो  काफी उपयुक्त ... यह भी चार का एक वर्गमूल है।

लेकिन! एक स्कूल पाठ्यक्रम में, गणित को वर्गमूल माना जाता है केवल गैर-नकारात्मक संख्या!  यानी शून्य और सभी सकारात्मक हैं। विशेष शब्द भी गढ़ा गया है:   के बीच से और  वह है गैर नकारात्मक  संख्या जिसका वर्ग है और। अंकगणित वर्गमूल निकालते समय नकारात्मक परिणाम बस त्याग दिए जाते हैं। स्कूल में, सभी वर्गमूल हैं अंक-संबंधी। हालांकि यह विशेष रूप से उल्लेखित नहीं है।

ठीक है, यह समझ में आता है। यह और भी बेहतर है - नकारात्मक परिणामों के साथ खिलवाड़ नहीं करना ... यह भ्रम नहीं है।

द्विघात समीकरणों को हल करते समय भ्रम शुरू होता है। उदाहरण के लिए, आपको इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

समीकरण सरल है, हम उत्तर लिखते हैं (जैसा कि सिखाया गया है):

इस तरह के एक उत्तर (बिल्कुल सही, वैसे) सिर्फ एक आशुलिपि अंकन है दो  जवाब:

रुक जा रुक जा! मैंने थोड़ा अधिक लिखा कि वर्गमूल एक संख्या है सदैव  गैर नकारात्मक! और यहाँ एक उत्तर है - नकारात्मक! गड़बड़। यह पहली (लेकिन अंतिम नहीं) समस्या है जो जड़ों के अविश्वास का कारण बनती है ... आइए हम इस समस्या को हल करते हैं। हम उत्तर लिखते हैं (विशुद्ध रूप से समझने के लिए!) इस तरह:

ब्रैकेट उत्तर का सार नहीं बदलते हैं। मैं सिर्फ कोष्ठक से अलग हुआ बिल्ला  से जड़। अब आप स्पष्ट रूप से देख सकते हैं कि रूट (कोष्ठक में) वैसे भी एक गैर-नकारात्मक संख्या है! और संकेत हैं समीकरण को हल करने का परिणाम। वास्तव में, किसी भी समीकरण को हल करते समय, हमें लिखना होगा सब X, जिसे मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर सही परिणाम मिलेगा। पाँच (धनात्मक!) की जड़ें और समतुल्य दोनों हमारे समीकरण में उपयुक्त हैं।

वहां तुम जाओ। अगर आप बस वर्गमूल निकालें  कुछ भी तुम से सदैव  आप मिल एक गैर-नकारात्मक  परिणाम। उदाहरण के लिए:

क्योंकि यह है - अंकगणित वर्गमूल.

लेकिन अगर आप कुछ द्विघात समीकरण को हल करते हैं, जैसे:

सदैव  यह पता चला है दो  उत्तर (प्लस और माइनस के साथ):

क्योंकि यह समीकरण का हल है।

मुझे उम्मीद है वर्गमूल क्या है  आपकी सनक से आप समझ गए। अब यह पता लगाना बाकी है कि जड़ों के साथ क्या किया जा सकता है, उनके गुण क्या हैं। और क्या सनक और पानी के नीचे बकवास कर रहे हैं ... क्षमा करें, पत्थर! '

यह सब निम्नलिखित पाठों में है।

यदि आप इस साइट को पसंद करते हैं ...

वैसे, मेरे पास आपके लिए कुछ और दिलचस्प साइटें हैं।)

आप हल करने के उदाहरणों का अभ्यास कर सकते हैं और अपने स्तर का पता लगा सकते हैं। तत्काल सत्यापन के साथ परीक्षण। सीखना - रुचि के साथ!)

  आप फ़ंक्शंस और डेरिवेटिव्स से परिचित हो सकते हैं।

तथ्य १
\\ (\\ बुलेट \\) कुछ गैर-नकारात्मक संख्या लें (a) (यानी (\\ a \\ geqllant 0 \\))। तब (अंकगणित) वर्गमूल  संख्या \\ (a \\) से nonnegative नंबर \\ (b \\) कहा जाता है, जब चुकता किया जाता है, तो हमें नंबर \\ (a \\) मिलता है: \\ [\\ sqrt a \u003d b \\ quad \\ text (समान) \\ quad \u003d a \u003d b ^ 2 \\]  यह परिभाषा से इस प्रकार है \\ _ \\ _ एक भू-खंड 0, b \\ geqslant 0 \\). ये प्रतिबंध एक वर्गमूल के अस्तित्व के लिए एक महत्वपूर्ण शर्त है और इसे याद रखा जाना चाहिए!
याद रखें कि जब कोई भी संख्या चुकता हो तो एक गैर-नकारात्मक परिणाम देता है। अर्थात्, (100 ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\) और \\ ((- 100) ^ 2 \u003d 10000 \\ geqslant 0 \\)।
\\ \\ (\\ बुलेट \\) क्या \\ _ (\\ sqrt (25) \\) के बराबर है? हम जानते हैं कि \\ (5 ^ 2 \u003d 25 \\) और \\ ((- 5) ^ 2 \u003d 25 \\)। चूंकि, परिभाषा के अनुसार, हमें एक गैर-ऋणात्मक संख्या मिलनी चाहिए, तब \\ (- 5 \\) फिट नहीं होता है, इसलिए, (\\ sqrt (25) \u003d 5 \\) (\\ 25 \u003d 5 ^ 2 \\) के बाद से)।
मान \\ _ (\\ sqrt a) को संख्या \\ _ (a) का वर्गमूल निकालने को कहा जाता है, और संख्या \\ (a \\) को मूल अभिव्यक्ति कहा जाता है।
\\ _ (\\ बुलेट \\) परिभाषा के आधार पर, अभिव्यक्ति (\\ sqrt (-25) \\), \\ (\\ sqrt (-4) \\), आदि। समझ में नहीं आता।

तथ्य २
  त्वरित गणना के लिए यह प्राकृतिक संख्याओं के वर्गों की तालिका (1 \\) से \\ (20 \\) तक सीखना उपयोगी होगा: \\ [\\ start (सरणी) (|) (| ll |) \\ hline 1 ^ 2 \u003d 1 & \\ quad11 ^ 2 \u003d 121 \\\\ 2 ^ 2 \u003d 4 & \\ quad12 ^ 2 \u003d 144 \\\\ 3 ^ 2 \u003d 9 & \\ quad13 ^ 2 \u003d 169 \\\\ 4 ^ 2 \u003d 16 और \\ quad14 ^ 2 \u003d 196 \\\\ 5 ^ 2 \u003d 25 और \\ Quad15 ^ 2 \u003d 225 \\\\ 6 ^ 2 \u003d 36 और \\ quad16 ^ 2 \u003d 256 \\\\ 7 ^ 2 \u003d 49 & \\ quad17 ^ 2 \u003d 289 \\\\ 8 ^ 2 \u003d 64 & \\ quad18 ^ 2 \u003d 324 \\\\ 9 ^ 2 \u003d 81 & \\ quad19 ^ 2 \u003d 361 \\\\ 10 ^ 2 \u003d 100 & \\ quad20 ^ 2 \u003d 400 \\\\ \\ hline \\ end (सरणी) \\]

तथ्य ३
वर्गमूलों के साथ क्या कार्रवाई की जा सकती है?
\\ _ (\\ _ बुलेट) वर्गमूलों का योग या अंतर, योग या अंतर के वर्गमूल के बराबर नहीं है, अर्थात \\ [\\ sqrt a \\ pm \\ sqrt b \\ ne \\ sqrt (a \\ pm b) \\]  इस प्रकार, यदि आपको गणना करने की आवश्यकता है, उदाहरण के लिए, \\ (\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \\), तो आपको शुरू में मान (\\ sqrt (25) \\) और \\ (\\ sqrt (49) \\ इसलिए, \\ [\\ sqrt (25) + \\ sqrt (49) \u003d 5 + 7 \u003d 12 \\] यदि \\ _ (\\ sqrt a + \\ sqrt b \\) जोड़ते समय मानों (\\ sqrt a \\) या \\ (\\ sqrt b \\) को नहीं पाया जा सकता है, तो यह अभिव्यक्ति आगे परिवर्तित नहीं होगी और जैसी है वैसी ही बनी हुई है। उदाहरण के लिए, योग (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \\) में हम \\ (\\ sqrt (49) \\) पा सकते हैं - यह \\ (7 \\) है, लेकिन \\ (\\ sqrt 2 \\) को किसी भी तरह से परिवर्तित नहीं किया जा सकता है इसलिये \\ _ (\\ sqrt 2+ \\ sqrt (49) \u003d \\ sqrt 2 + 7 \\)। इसके अलावा, यह अभिव्यक्ति, दुर्भाग्य से, किसी भी तरह से सरल नहीं की जा सकती है   \\ _ (\\ बुलेट \\) वर्ग जड़ों के उत्पाद / भागफल, उत्पाद के वर्गमूल / भागफल के बराबर है, अर्थात \\ [\\ sqrt a \\ cdot \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (ab) \\ quad \\ text (s) \\ quad \\ sqrt a: \\ sqrt b \u003d \\ sqrt (a: b) \\] (बशर्ते कि दोनों पक्षों में समानता हो)
  एक उदाहरण: \\ \\ (\\ sqrt (32) \\ cdot \\ sqrt 2 \u003d \\ sqrt (32 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (64) \u003d 8 \\); \\ \\ (\\ sqrt (768): \\ sqrt3 \u003d \\ sqrt (768: 3) \u003d \\ sqrt (256) \u003d 16%); \\ (\\ sqrt (- (25) \\ cdot (-64)) \u003d \\ sqrt (25 \\ cdot 64) \u003d \\ sqrt (25) \\ cdot \\ sqrt (64) \u003d 5 \\ cdot 8 \u003d 40 \\)। इन गुणों का उपयोग करके, उन्हें फैक्टरिंग करके बड़ी संख्या के वर्गमूलों को खोजने के लिए सुविधाजनक है।
  एक उदाहरण पर विचार करें। Find \\ (\\ sqrt (44100) \\)। चूंकि \\ _ (44100: 100 \u003d 441 \\), फिर \\ (44100 \u003d 100 \\ cdot 441 \\)। विभाज्यता मानदंड से, संख्या \\ (441 \\) विभाज्य है \\ _ (9 \\) (चूंकि इसके अंकों का योग 9 है और 9 से विभाज्य है), इसलिए, \\ (441: 9 \u003d 49 \\), यानी \\ (441 \u003d 9 \\) इस प्रकार, हमने प्राप्त किया है:
\\ [\\ sqrt (44100) \u003d \\ sqrt (9 \\ cdot 49 \\ cdot 100) \u003d \\ sqrt9 \\ cdot \\ sqrt (49) \\ cdot \\ sqrt (100) \u003d 3 \\ cdot 7 \\ cdot 7 \u003d 210 \\]   एक अन्य उदाहरण पर विचार करें: \\ [\\ sqrt (\\ dfrac (32 \\ cdot 294) (27)) \u003d \\ sqrt (\\ dfrac (16 \\ cdot 2 \\ cdot 3 \\ cdot 49 \\ cdot 2)) (9 \\ cdot 3)) \u003d \\ sqrt (\\) \u003d \\ dfrac (56) 3 \\] \\ (\\ बुलेट \\) आइए अभिव्यक्ति के उदाहरण (5 \\ sqrt2 \\) (अभिव्यक्ति से संक्षिप्त अंकन (5 \\ cdot \\ sqrt2 \\)) का उपयोग करके वर्गमूल चिह्न के तहत संख्या दर्ज करने का तरीका बताएं। तब से (5 \u003d \\ sqrt (25) \\) है
  हम यह भी ध्यान दें कि, उदाहरण के लिए, \   1) \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \u003d 4 \\ sqrt2 \\),
  2) \\ (5 \\ sqrt3- \\ sqrt3 \u003d 4 \\ sqrt3 \\)
  3) \\ (\\ sqrt a + \\ sqrt a \u003d 2 \\ sqrt a)।
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ऐसा क्यों? हम उदाहरण 1 से समझाते हैं)। जैसा कि आप पहले से ही समझ चुके हैं, हम किसी भी तरह संख्या (\\ sqrt2 \\) को परिवर्तित नहीं कर सकते हैं। कल्पना कीजिए कि \\ (\\ sqrt2 \\) कुछ संख्या \\ (एक) है। तदनुसार, एक्सप्रेशन \\ (\\ sqrt2 + 3 \\ sqrt2 \\) कुछ भी ऐसा नहीं है, जैसे कि (+ a + 3a \\) (एक नंबर \\ (a) प्लस तीन और ऐसे नंबर \\ (a (a))। और हम जानते हैं कि यह चार ऐसी संख्याओं (\\ a) के बराबर है, अर्थात, (4 \\ sqrt2 \\)।

तथ्य 4।
जब आप कुछ संख्या का मान पाते हैं तो आप (\\ sqrt () \\ n रूट (कट्टरपंथी) के चिह्न से छुटकारा नहीं पा सकते, तो अक्सर वे कहते हैं कि "आप रूट को निकाल नहीं सकते"। उदाहरण के लिए, आप रूट को संख्या \\ (16 \\) से निकाल सकते हैं, क्योंकि \\ (16 \u003d 4 ^ 2 \\), इसलिए \\ (\\ sqrt (16) \u003d 4 \\)। लेकिन संख्या को जड़ से निकालने के लिए \\ (3 \\), यानी, (\\ sqrt3 \\) को खोजने के लिए, असंभव है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है जो चुकता देता है \\ (3 \\)।
  ऐसी संख्याएँ (या ऐसी संख्याओं के साथ भाव) अपरिमेय हैं। उदाहरण के लिए, संख्या \\ \\ (sqrt3, \\ 1+ \\ sqrt2, \\ \\ sqrt (15) \\)  आदि तर्कहीन हैं।
  इसके अलावा तर्कहीन संख्याएँ (\\ pi \\) हैं (संख्या pi लगभग बराबर (3.14 \\)), \\ (e \\) है (इस संख्या को यूलर संख्या कहा जाता है, लगभग यह \\ _ (2.7 \\) है) आदि
\\ _ (\\ _ बुलेट)) हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर आकर्षित करते हैं कि कोई भी संख्या तर्कसंगत या तर्कहीन होगी। और एक साथ, सभी तर्कसंगत और सभी तर्कहीन संख्याएं एक सेट कहलाती हैं कई वास्तविक (वास्तविक) संख्या।  यह सेट अक्षर \\ (\\ mathbb (R) \\) द्वारा दर्शाया गया है।
  इसलिए, वर्तमान में हम जानते हैं कि सभी संख्याओं को वास्तविक संख्या कहा जाता है।

तथ्य 5
\\ \\ (\\ बुलेट \\) एक वास्तविक संख्या का मॉड्यूल \\ (एक) एक गैर-ऋणात्मक संख्या है! (! -! \\) वास्तविक रेखा पर बिंदु \\ (एक \\) से \\ (0 \\) के बराबर है। उदाहरण के लिए, \\ ((3 | | | \\) और \\ (! -3 | \\) 3 के बराबर हैं, क्योंकि अंक \\ (3 \\) और \\ (- 3 \\) से \\ _ (0 \\) तक की दूरी समान है और \\ (3) के बराबर है \\)।
\\ \\ (\\ बुलेट \\) अगर \\ (एक) एक गैर-नकारात्मक संख्या है, तो \\ _! (a! \u003d a a) है।
  उदाहरण: \\ (| 5 | \u003d 5 \\); \\ _ (\\ qquad | \\ sqrt2 | \u003d \\ sqrt2 \\) \\ \\ (\\ बुलेट \\) अगर \\ (एक) एक ऋणात्मक संख्या है, तो \\ (!! | a \u003d \u003d -a \\)।
  उदाहरण: \\ (; -5 | \u003d \u003d - (- ५) \u003d ५ \\); \\ _ (\\ qquad | - \\ sqrt3 | \u003d - - (- \\ sqrt3) \u003d \\ sqrt3 \\).
  वे कहते हैं कि ऋणात्मक संख्याओं के लिए मॉड्यूल "खाती है" माइनस, और सकारात्मक संख्या, साथ ही संख्या \\ (0 \\), मॉड्यूल अपरिवर्तित छोड़ देता है।
लेकिन यह नियम केवल संख्याओं के लिए उपयुक्त है। यदि आपके पास मॉड्यूल के संकेत के तहत अज्ञात \\ (x \\) (या कुछ अन्य अज्ञात) हैं, उदाहरण के लिए, \\ (| x | \\), जिसके बारे में हम नहीं जानते कि यह सकारात्मक है, शून्य या नकारात्मक, तो मॉड्यूल से छुटकारा पाएं। हम नहीं कर सकते। इस स्थिति में, यह अभिव्यक्ति समान रहती है: \\ (| x | \\) | \\ \\ (\\ बुलेट \\) निम्नलिखित सूत्र पकड़ते हैं: \\ [(\\ बड़ा (\\ sqrt (a 2 2) | a | a))]] | \\ [(\\ बड़े ((sqrt (a)) ^ 2 \u003d a)), \\ text (प्रदान) a \\ geqslant 0 \\]  बहुत बार ऐसी त्रुटि की जाती है: वे कहते हैं कि \\ (\\ sqrt (ए 2) \\) और \\ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) एक और एक ही हैं। यह केवल तभी सत्य है यदि \\ (a) एक धनात्मक संख्या या शून्य है। लेकिन अगर \\ (a) एक ऋणात्मक संख्या है, तो यह सच नहीं है। इस तरह के उदाहरण पर विचार करना पर्याप्त है। \\ ((A)) के बजाय, संख्या (- 1 \\) लें। तब \\ (\\ sqrt (- (1) ^ 2) \u003d \\ sqrt (1) \u003d 1 \\), लेकिन अभिव्यक्ति \\ ((\\ sqrt (-1)) ^ 2 \\) मौजूद नहीं है (सब के बाद, रूट साइन के तहत यह असंभव है) नकारात्मक संख्या डालें!)।
इसलिए, हम आपका ध्यान इस तथ्य की ओर दिलाते हैं कि \\ _ (\\ sqrt (^ 2) \\) \\ _ ((\\ sqrt a) ^ 2 \\) के बराबर नहीं है!   उदाहरण: 1) \\ (\\ sqrt (\\ बाएँ (- \\ sqrt2 \\ दाएँ) ^ 2) \u003d - | - \\ sqrt2 \u003d \u003d \\ sqrt2 \\)क्योंकि \\ / - \\ sqrt2<0\) ;

\\ (\\ phantom (00000) \\) 2) \\ ((\\ sqrt (2)) ^ 2 \u003d 2 \\)। \\ _ (\\ बुलेट \\) तब से \\ _ (\\ sqrt (a ^ 2) \u003d | a | \\), फिर \\ [\\ sqrt (a ^ (2n)) \u003d \u003d | a ^ n | \\] (अभिव्यक्ति \\ (2n \\) एक समान संख्या को दर्शाता है)
  यही है, एक संख्या से जड़ निकालने पर जो कुछ हद तक होती है, इस डिग्री को आधा किया जाता है।
  एक उदाहरण:
  1) \\ (\\ sqrt (4 ^ 6) \u003d | 4 ^ 3 | \u003d 4 ^ 3 \u003d 64 \\)
  2) \\ (\\ sqrt (- (25)) ^ 2) \u003d | -25 | \u003d 25 \\) (ध्यान दें कि यदि आप मॉड्यूल नहीं डालते हैं, तो यह पता चलता है कि संख्या की जड़ \\ _ (- 25 \\) है; लेकिन हमें याद है; , जो, रूट की परिभाषा से, यह नहीं हो सकता है: हमें हमेशा रूट निकालते समय एक सकारात्मक संख्या या शून्य प्राप्त करना होगा)
  3) \\ (\\ sqrt (x ^ (16)) \u003d | x ^ 8 | \u003d x ^ 8 \\) (चूंकि कोई भी संख्या समान रूप से गैर-ऋणात्मक है)

तथ्य 6
  दो वर्गमूल की तुलना कैसे करें?
\\ (\\ बुलेट \\) वर्गमूल के लिए, यह सच है: if \\ (\\ sqrt a<\sqrt b\) , то \(a  एक उदाहरण:
  1) \\ (\\ sqrt (50) \\) और \\ (6 \\ sqrt2 \\) की तुलना करें। सबसे पहले, दूसरी अभिव्यक्ति को रूपांतरित करें \\ (\\ sqrt (36) \\ cdot \\ sqrt2 \u003d \\ sqrt (36 \\ cdot 2) \u003d \\ sqrt (72) \\)। इस प्रकार, के बाद से (50)<72\) , то и \(\sqrt{50}<\sqrt{72}\) . Следовательно, \(\sqrt{50}<6\sqrt2\) .
  2) पूर्णांक क्या है (\\ sqrt (50) \\) के बीच?
  चूंकि \\ _ (\\ sqrt (49) \u003d 7 \\), \\ (\\ sqrt (64) \u003d 8 \\), और \\ (49)<50<64\) , то \(7<\sqrt{50}<8\) , то есть число \(\sqrt{50}\) находится между числами \(7\) и \(8\) .
  3) \\ (\\ sqrt 2-1 \\) और \\ (0.5 \\) की तुलना करें। मान लें कि \\ _ (\\ sqrt2-1\u003e 0.5 \\): \\ [\\ start (गठबंधन) और \\ sqrt 2-1\u003e 0.5 \\ \\ बड़ा | +1 \\ Quad \\ पाठ ((दोनों पक्षों को एक जोड़ें)) \\\\ & \\ sqrt2\u003e 0.5 + 1 \\ \\ बड़ा | \\ ^ 2 \\ quad \\ पाठ ((दोनों पक्षों को चौकोर)) \\\\ और 2\u003e 1.5 ^ 2 \\\\ & 2\u003e 2.25 \\ अंत (गठबंधन) \\] हम देखते हैं कि हमें एक असमानता मिली है। इसलिए, हमारी धारणा गलत थी और \\ (\\ sqrt 2-1)<0,5\) .
ध्यान दें कि असमानता के दोनों पक्षों के लिए एक निश्चित संख्या का जोड़ इसके संकेत को प्रभावित नहीं करता है। असमानता के दोनों हिस्सों के गुणन / विभाजन को एक सकारात्मक संख्या से प्रभावित करना भी इसके संकेत को प्रभावित नहीं करता है, और एक नकारात्मक संख्या से गुणा / भाग असमानता के संकेत को उलट देता है!
एक समीकरण / असमानता के दोनों किनारों को चुकाना केवल तभी लागू हो सकता है जब दोनों पक्ष गैर-नकारात्मक हों। उदाहरण के लिए, पिछले उदाहरण से असमानता में, असमानता में दोनों पक्षों को वर्गबद्ध करना संभव है (- 3)<\sqrt2\) нельзя (убедитесь в этом сами)!    \\ (\\ बुलेट \\) याद रखें कि \\ [\\ start (गठबंधन) और \\ sqrt 2 \\ लगभग 1,4 \\\\ & \\ sqrt 3 \\ लगभग 1,7 \\ अंत (गठबंधन) \\]  संख्याओं की तुलना करते समय इन संख्याओं के अनुमानित मूल्य को जानने से आपको मदद मिलेगी! \\ (\\ बुलेट \\) जड़ (यदि इसे निकाला जाता है) को निकालने के लिए कुछ बड़ी संख्या में जो वर्गों की तालिका में नहीं है, तो आपको पहले यह निर्धारित करना होगा कि "सैकड़ों" किसके बीच है, फिर - जिसके बीच "टेंस" है, और फिर इस संख्या का अंतिम अंक निर्धारित करें। हम एक उदाहरण का उपयोग करके यह दिखाते हैं कि यह कैसे काम करता है।
  टेक \\ (\\ sqrt (28224) \\) लें। हम जानते हैं कि \\ (100 ^ 2 \u003d 10 \\, 000 \\), \\ (200 ^ 2 \u003d 40 \\, 000 \\), आदि। ध्यान दें कि \\ (28224 \\) \\ (10 \u200b\u200b\\, 000 \\) और \\ (40 \\, 000 \\) के बीच है। इसलिए, \\ (\\ sqrt (28224) \\) \\ (100 \\) और \\ (200 \\) के बीच है।
  अब हम यह निर्धारित करते हैं कि हमारी संख्या "दसियों" के बीच है (उदाहरण के लिए, (120 \\) और \\ (130 \\) के बीच। हम वर्गों की तालिका से भी जानते हैं कि \\ (11 ^ 2 \u003d 121 \\), \\ (12 ^ 2 \u003d 144 \\), आदि, फिर \\ (110 ^ 2 \u003d 12100 \\), \\ (120 ^ 2 \u003d 14400) \\), (130 ^ 2 \u003d 16900 \\), \\ (140 ^ 2 \u003d 19600 \\), \\ (150 ^ 2 \u003d 22500 \\), \\ (160 ^ 2 \u003d 25600 \\), \\ (170 ^ 2 \u003d 28900) \\)। इस प्रकार, हम देखते हैं कि \\ (28224 \\) \\ (160 ^ 2 \\) और \\ (170 ^ 2 \\) के बीच है। इसलिए, संख्या \\ (\\ sqrt (28224) \\) \\ (160 \\) और \\ (170 \\) के बीच है।
  आइए अंतिम अंक निर्धारित करने का प्रयास करें। आइए याद रखें कि जब स्क्वेयर्ड नंबर अंत (4 \\) पर दें तो क्या होगा? यह \\ (2 ^ 2 \\) और \\ (8 ^ 2 \\) है। इसलिए, \\ (\\ sqrt (28224) \\) या तो 2 या 8 के साथ समाप्त हो जाएगा। यह जाँच करें। ढूँढें \\ (162 ^ 2 \\) और \\ (168 ^ 2 \\):
\\ (162 ^ 2 \u003d 162 \\ cdot 162 \u003d 26224 \\)
\\ (168 ^ 2 \u003d 168 \\ cdot 168 \u003d 28224 \\)।
  इसलिए, \\ (\\ sqrt (28224) \u003d 168 \\)। देखा!

गणित में एकीकृत राज्य परीक्षा को पर्याप्त रूप से हल करने के लिए, सबसे पहले, सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना आवश्यक है जो कई प्रमेयों, सूत्रों, एल्गोरिदम, आदि का परिचय देता है। पहली नज़र में, ऐसा लग सकता है कि यह काफी सरल है। हालांकि, एक स्रोत का पता लगाना जिसमें गणित में यूएसई के लिए सिद्धांत आसानी से और स्पष्ट रूप से किसी भी स्तर के प्रशिक्षण के साथ छात्रों के लिए प्रस्तुत किया गया है, वास्तव में एक जटिल काम है। स्कूल की किताबें हमेशा हाथ में नहीं रखी जा सकतीं। और गणित में परीक्षा के लिए मूल सूत्र खोजना इंटरनेट पर भी मुश्किल हो सकता है।

परीक्षा पास करने वालों के लिए ही नहीं गणित के सिद्धांत का अध्ययन करना इतना महत्वपूर्ण क्यों है?

1. क्योंकि यह मन को व्यापक करता है। गणित में सैद्धांतिक सामग्री का अध्ययन करना किसी के लिए भी उपयोगी है जो दुनिया के ज्ञान से संबंधित प्रश्नों की एक विस्तृत श्रृंखला के उत्तर प्राप्त करना चाहता है। प्रकृति में सब कुछ व्यवस्थित है और एक स्पष्ट तर्क है। यह वही है जो विज्ञान में परिलक्षित होता है, जिसके माध्यम से दुनिया को समझना संभव है।
2. क्योंकि इससे बुद्धि का विकास होता है। गणित में परीक्षा के लिए संदर्भ सामग्री का अध्ययन करने के साथ-साथ विभिन्न समस्याओं को हल करने के साथ, एक व्यक्ति तार्किक और तर्क से सोचना, सही ढंग से और स्पष्ट रूप से विचारों को तैयार करना सीखता है। वह विश्लेषण, सामान्यीकरण, निष्कर्ष निकालने की क्षमता विकसित करता है।

हम आपको प्रशिक्षण सामग्री के व्यवस्थितकरण और प्रस्तुति के लिए हमारे दृष्टिकोण के सभी लाभों का व्यक्तिगत रूप से मूल्यांकन करने के लिए आमंत्रित करते हैं।

कैलकुलेटर के बिना वर्गमूल की गणना के लिए कई तरीके हैं।

  संख्या की जड़ कैसे खोजें - 1 तरीका

• विधियों में से एक वह संख्या है जो मूल के अंतर्गत है। गुणन के परिणामस्वरूप ये घटक एक मौलिक मूल्य बनाते हैं। परिणाम की सटीकता रूट के तहत संख्या पर निर्भर करती है।
• उदाहरण के लिए, यदि आप संख्या 1,600 लेते हैं और इसे फैक्टर करना शुरू करते हैं, तो तर्क निम्नानुसार संरचित होगा: यह संख्या 100 का गुणक है, जिसका अर्थ है कि इसे 25 से विभाजित किया जा सकता है; चूंकि संख्या 25 की जड़ निकाली गई है, संख्या वर्ग और आगे की गणना के लिए उपयुक्त है; विभाजित करते समय, हमें एक और संख्या मिलती है - 64. यह संख्या भी वर्ग है, इसलिए जड़ अच्छी तरह से निकाली गई है; इन गणनाओं के बाद, रूट के तहत, आप संख्या 25 और 64 के उत्पाद के रूप में 1600 लिख सकते हैं।

• जड़ निकालने के नियमों में से एक यह है कि कारकों के उत्पाद की जड़ प्रत्येक कारक की जड़ों को गुणा करके प्राप्त की गई संख्या के बराबर है। इसका मतलब है कि: means (25 * 64) \u003d √25 * √64। यदि हम जड़ों को 25 और 64 से निकालते हैं, तो हमें अभिव्यक्ति मिलती है: 5 * 8 \u003d 40। यानी 1600 का वर्गमूल 40 है।
• लेकिन ऐसा होता है कि जड़ के नीचे की संख्या दो कारकों में विघटित नहीं होती है, जिसमें से पूरी जड़ निकाली जाती है। आमतौर पर यह केवल एक कारक के लिए किया जा सकता है। इसलिए, इस तरह के समीकरण में एक बिल्कुल सटीक उत्तर ढूंढना अक्सर असंभव होता है।
• इस मामले में, केवल एक अनुमानित मूल्य की गणना की जा सकती है। इसलिए, आपको कारक से जड़ निकालने की जरूरत है, जो एक वर्ग संख्या है। यह मान तब दूसरी संख्या की जड़ से गुणा किया जाता है, जो समीकरण का द्विघात शब्द नहीं है।
• यह इस तरह दिखता है, उदाहरण के लिए, संख्या 320 ले लो। इसे 64 में विघटित किया जा सकता है और 64 से 64, एक पूरी जड़ को निकाला जा सकता है, लेकिन 5 से नहीं। इसलिए, अभिव्यक्ति इस तरह दिखाई देगी: the320 \u003d 64 (64 * 5) \u003d expression64 * √5 \u003d 8 look5।
• यदि आवश्यक हो, तो आप गणना करके इस परिणाम का अनुमानित मूल्य पा सकते हैं
    √5 √ 2.236, इसलिए, \u003d320 \u003d 8 * 2.236 \u003d 17.88। 18।
• इसके अलावा, रूट के नीचे की संख्या को कई सरल कारकों में विघटित किया जा सकता है, और उसी को इसके नीचे से निकाला जा सकता है। उदाहरण: 375 \u003d √ (5 * 5 * 3) \u003d 5≈3 ≈ 8.66 \u003d 9।

  नंबर का रूट कैसे खोजें - 2 तरीका

• एक अन्य तरीका कॉलम द्वारा विभाजित करना है। विभाजन समान है, लेकिन केवल वर्ग संख्याओं को देखने की जरूरत है, जिसमें से फिर जड़ निकालने के लिए।
• इस स्थिति में, ऊपर वर्ग संख्या लिखें और इसे बाईं ओर घटाएँ, और नीचे की जड़ें निकालें।
• अब दूसरे मान को दोगुना करना होगा और नीचे दाईं ओर नीचे से फ़ॉर्म में लिखा जाना चाहिए: number_x_ \u003d। अंतराल को एक संख्या से भरा होना चाहिए जो बाईं ओर आवश्यक मूल्य से कम या बराबर होगा - सब कुछ सामान्य विभाजन के समान है।
• यदि आवश्यक हो, तो यह परिणाम फिर से बाईं ओर घटाया जाता है। परिणाम प्राप्त होने तक ऐसी गणना जारी रहती है। ज़ीरोस को तब तक भी जोड़ा जा सकता है जब तक कि आपको दशमलव स्थानों की वांछित संख्या न मिल जाए।

गणित और भौतिकी में एक पाठ्यक्रम से विभिन्न समस्याओं को हल करते समय, विद्यार्थियों और छात्रों को अक्सर दूसरे, तीसरे, या nth डिग्री की जड़ों को निकालने की आवश्यकता होती है। बेशक, सूचना प्रौद्योगिकी के युग में कैलकुलेटर के साथ इस तरह की समस्या को हल करना मुश्किल नहीं होगा। हालांकि, ऐसी स्थितियां हैं जब इलेक्ट्रॉनिक सहायक का उपयोग करना असंभव है।

उदाहरण के लिए, कई परीक्षाओं में इलेक्ट्रॉनिक्स लाना मना है। इसके अलावा, कैलकुलेटर हाथ में नहीं हो सकता है। ऐसे मामलों में, रेडिकल की गणना के लिए मैन्युअल रूप से कम से कम कुछ तरीकों को जानना उपयोगी है।

जड़ों की गणना करने के सबसे आसान तरीकों में से एक है एक विशेष तालिका का उपयोग कर। यह क्या है और इसे सही तरीके से कैसे उपयोग किया जाए?

तालिका का उपयोग करते हुए, आप 10 से 99 तक किसी भी संख्या का वर्ग पा सकते हैं। एक ही समय में, दसियों मूल्य तालिका की पंक्तियों में हैं, और इकाइयां कॉलम में हैं। पंक्ति और स्तंभ के चौराहे पर सेल में दो अंकों की संख्या का वर्ग होता है। वर्ग 63 की गणना करने के लिए, आपको 6 के मान के साथ एक पंक्ति और 3. के मान के साथ एक कॉलम खोजने की आवश्यकता है। चौराहे पर, हम 3969 नंबर के साथ एक सेल पाते हैं।

चूँकि रूट एक्सट्रैक्शन स्क्वेरिंग के विपरीत होता है, ऐसा करने के लिए, आपको इसके विपरीत करना होगा: पहले सेल को उस संख्या के साथ खोजें, जिसके मूल में आपको गणना करने की आवश्यकता है, फिर कॉलम और पंक्ति के मानों का उपयोग करके उत्तर निर्धारित करें। एक उदाहरण के रूप में, 169 के वर्गमूल की गणना करने पर विचार करें।

हम तालिका में इस संख्या के साथ सेल पाते हैं, दर्जनों - 1 क्षैतिज रूप से निर्धारित करते हैं, और पाते हैं - 3 लंबवत। उत्तर: .169 \u003d 13।

इसी तरह, आप संबंधित तालिकाओं का उपयोग करके क्यूबिक और एनटी डिग्री की जड़ों की गणना कर सकते हैं।

विधि का लाभ इसकी सादगी और अतिरिक्त गणना की अनुपस्थिति है। नुकसान स्पष्ट हैं: विधि का उपयोग केवल सीमित संख्या के लिए किया जा सकता है (जिस संख्या के लिए रूट स्थित है वह 100 से 9801 की सीमा में होना चाहिए)। इसके अलावा, यह निर्दिष्ट तालिका में नहीं होने पर काम नहीं करेगा।

प्रधानमंत्री गुणन

यदि वर्गों की तालिका हाथ में नहीं है या इसकी मदद से जड़ को ढूंढना असंभव था, तो आप कोशिश कर सकते हैं मुख्य कारकों में मूल के तहत संख्या कारक। साधारण कारक वे हैं जो पूरी तरह से (शेष के बिना) केवल स्वयं या एक के द्वारा विभाज्य हो सकते हैं। उदाहरण 2, 3, 5, 7, 11, 13, आदि हो सकते हैं।

.576 के उदाहरण का उपयोग करके रूट की गणना पर विचार करें। हम इसे प्रमुख कारकों में बदल देते हैं। हमें निम्नलिखित परिणाम मिलते हैं: 76576 \u003d 2 (2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3) \u003d √ (2 ∙ 2) 2): :3²। मुख्य जड़ संपत्ति √a² \u003d a का उपयोग करके, हम जड़ों और वर्गों से छुटकारा पा लेते हैं, जिसके बाद हम उत्तर की गणना करते हैं: 2: 2 ∙ 2 \u003d 3 \u003d 24।

क्या होगा अगर कारकों में से एक की अपनी जोड़ी नहीं है? उदाहरण के लिए, ,54 की गणना पर विचार करें। फैक्टरिंग के बाद, हम इस प्रकार परिणाम प्राप्त करते हैं: get54 \u003d 2 (2 ∙ 3 \u200b\u200b∙ 3 √ 3) \u003d )3 \u003d ∙ √ (2) 3) \u003d 3√6। गैर-निकालने योग्य भाग को जड़ के नीचे छोड़ा जा सकता है। ज्यामिति और बीजगणित में अधिकांश समस्याओं के लिए, इस उत्तर को अंतिम रूप में गिना जाएगा। लेकिन अगर अनुमानित मूल्यों की गणना करने की आवश्यकता है, तो आप उन तरीकों का उपयोग कर सकते हैं जो बाद में चर्चा करेंगे।

बगुला विधि

क्या करना है जब कम से कम लगभग यह जानना आवश्यक है कि निकाले गए रूट के बराबर क्या है (यदि पूर्णांक मान प्राप्त करना असंभव है)? बगुला विधि का उपयोग एक त्वरित और काफी सटीक परिणाम देता है।। इसका सार एक अनुमानित सूत्र का उपयोग करना है:

)R \u003d +a + (R - a) / 2 ,a,

जहाँ R वह संख्या है जिसकी जड़ की गणना की जानी है, एक निकटतम संख्या है जिसका मूल मान ज्ञात है।

विचार करें कि विधि व्यवहार में कैसे काम करती है, और मूल्यांकन करें कि यह कितना सही है। हम गणना करते हैं कि calculate111 किसके बराबर है। 111 की निकटतम संख्या जिसका मूल ज्ञात 121 है। इस प्रकार, R \u003d 111, a \u003d 121. हम सूत्र में मानों को प्रतिस्थापित करते हैं:

√111 = √121 + (111 - 121) / 2 ∙ √121 = 11 - 10 / 22 ≈ 10,55.

अब विधि की सटीकता की जांच करें:

10.55 10.5 \u003d 111.3025।

विधि की त्रुटि लगभग 0.3 थी। यदि विधि की सटीकता में सुधार करने की आवश्यकता है, तो आप पहले वर्णित चरणों को दोहरा सकते हैं:

√111 = √111,3025 + (111 - 111,3025) / 2 ∙ √111,3025 = 10,55 - 0,3025 / 21,1 ≈ 10,536.

गणना की सटीकता की जाँच करें:

10,536 111 \u003d 111,0073।

सूत्र के बार-बार उपयोग के बाद, त्रुटि बहुत ही महत्वहीन हो गई।

स्तंभ द्वारा विभाजन द्वारा रूट की गणना

वर्गमूल मान ज्ञात करने की यह विधि पिछले वाले की तुलना में थोड़ी अधिक जटिल है। हालांकि, यह कैलकुलेटर के बिना अन्य गणना विधियों में सबसे सटीक है।.

मान लें कि आपको 4 दशमलव स्थानों की सटीकता के साथ वर्गमूल खोजने की आवश्यकता है। आइए एक मनमाना संख्या 1308.1912 के उदाहरण का उपयोग करके गणना एल्गोरिथ्म का विश्लेषण करें।

1. एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ कागज़ की शीट को 2 भागों में विभाजित करें, और फिर इसके ऊपर से दूसरी रेखा खींचे, शीर्ष किनारे से थोड़ा नीचे। बाईं ओर संख्या लिखें, इसे 2 अंकों के समूहों में विभाजित करते हुए, अल्पविराम के दाईं और बाईं ओर स्थानांतरित करें। बाईं ओर पहला अंक बिना जोड़े के हो सकता है। यदि संख्या के दाईं ओर संकेत पर्याप्त नहीं है, तो आपको 0. जोड़ना चाहिए। हमारे मामले में, हमें 13 08.19 12 मिलता है।
2. हम सबसे बड़ी संख्या का चयन करते हैं जिसका वर्ग अंकों के पहले समूह से कम या उसके बराबर होगा। हमारे मामले में, यह 3. हम इसे ऊपरी दाएं में लिखते हैं; 3 - परिणाम का पहला अंक। नीचे से इंगित करें दाईं ओर 3 × 3 \u003d 9; बाद की गणना के लिए इसकी आवश्यकता होगी। कॉलम में 13 से 9 घटाएं, हमें शेष 4 मिलते हैं।
3. हम शेष 4 को संख्याओं की जोड़ी प्रदान करते हैं; हमें 408 मिलते हैं।
4. शीर्ष दाईं ओर संख्या 2 से गुणा करें और नीचे दाईं ओर लिखें, इसमें _ x _ \u003d जोड़ते हुए। हमें 6_ x _ \u003d मिलता है।
5. डैश के बजाय, आपको उसी संख्या को 408 से कम या इसके बराबर करने की आवश्यकता है। हमें 66 × 6 \u003d 396 मिलते हैं। शीर्ष दाईं ओर 6 लिखें, क्योंकि यह परिणाम का दूसरा अंक है। 408 से 396 घटाएं और 12 प्राप्त करें।
6. 3-6 चरणों को दोहराएं। चूँकि नंबर नीचे किए गए हैं, यह संख्या के भिन्नात्मक भाग में है, यह आवश्यक है कि दशमलव बिंदु को 6. के बाद ऊपरी हिस्से में रखा जाए। डैश के साथ दोगुना परिणाम लिखें: 72_ x _ \u003d। एक उपयुक्त आंकड़ा 1: 721 × 1 \u003d 721 होगा। हम इसे प्रतिक्रिया में लिखते हैं। घटाव 1219 - 721 \u003d 498।
7. दशमलव स्थानों की आवश्यक संख्या प्राप्त करने के लिए हम पिछले पैराग्राफ में दिए गए चरणों के अनुक्रम का तीन बार और अनुसरण करते हैं। यदि आगे की गणना के लिए पर्याप्त संकेत नहीं हैं, तो बाईं ओर वर्तमान संख्या में दो शून्य जोड़े जाने चाहिए।

परिणामस्वरूप, हमें उत्तर मिलता है: result1308.1912 6 36.1689। यदि आप कैलकुलेटर का उपयोग करके कार्रवाई की जांच करते हैं, तो आप यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि सभी संकेतों की सही पहचान की गई थी।

वर्गाकार मूल मान की बिटवाइज गणना

विधि अत्यधिक सटीक है।। इसके अलावा, यह पर्याप्त रूप से समझ में आता है और इसे याद रखने के फार्मूले या क्रियाओं के एक जटिल एल्गोरिथ्म की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि विधि का सार सही परिणाम का चयन करना है।

हम संख्या 781 से रूट निकालते हैं। हम कार्यों के अनुक्रम पर विस्तार से विचार करते हैं।

1. आइए जानें कि वर्गमूल मूल्य का कौन सा बिट उच्चतम होगा। ऐसा करने के लिए, 0, 10, 100, 1000, इत्यादि को चुकता करें और पता करें कि उनमें से किसके बीच एक मूलांक है। हमें वह 10 get मिलता है< 781 < 100², т. е. старшим разрядом будут десятки.
2. हम दसियों के मूल्य का चयन करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम 10, 20, ..., 90 की शक्ति को बढ़ाते हैं जब तक कि हमें एक संख्या प्राप्त नहीं होती है जो 781 से अधिक होती है। हमारे मामले के लिए, हमें 10, \u003d 100, 20² \u003d 400, 30² \u003d 900 मिलता है। परिणाम का मान n 20 के भीतर होगा।< n <30.
3. पिछले चरण के समान, इकाइयों के निर्वहन का मूल्य चुना जाता है। हम 21,22, ..., 29: 21 44 \u003d 441, 22 48 \u003d 484, 23² \u003d 529, 24, \u003d 576, 25² \u003d 625, 26² \u003d 676, 27² \u003d 729, 28² \u003d 744 को एक-एक करके पार करेंगे। हमें वह 27 मिलते हैं।< n < 28.
4. प्रत्येक बाद के अंक (दसवें, सौवें, आदि) की गणना उसी तरह की जाती है जैसे ऊपर दिखाया गया है। गणना तब तक की जाती है जब तक आवश्यक सटीकता प्राप्त न हो जाए।

बड़ी संख्या से एक जड़ को निकालना। प्रिय दोस्तों!इस लेख में, हम बिना कैलकुलेटर के बड़ी संख्या में रूट निकालने के बारे में चर्चा करेंगे। यह न केवल कुछ प्रकार की यूएसई समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक है (गति के लिए कुछ हैं), लेकिन सामान्य गणितीय विकास के लिए, इस विश्लेषणात्मक तकनीक को जानना वांछनीय है।

ऐसा लगता है कि सब कुछ सरल है: इसे कारक, लेकिन इसे निकालें। कोई बात नहीं। उदाहरण के लिए, नंबर 291600, जब विघटित हो जाएगा, उत्पाद देगा:

हम गणना करते हैं:

एक BUT है! विधि अच्छी है यदि डिवाइडर 2, 3, 4 और इतने पर आसानी से निर्धारित किए जाते हैं। लेकिन क्या होगा यदि जिस संख्या से हम जड़ निकालते हैं वह प्रिम्स का उत्पाद है? उदाहरण के लिए, 152881 संख्या 17, 17, 23, 23 का एक उत्पाद है। इन विभाजकों को तुरंत खोजने का प्रयास करें।

जिस विधि पर हम विचार कर रहे हैं, उसका सार-   यह विशुद्ध विश्लेषण है। अर्जित कौशल की जड़ तेज है। यदि कौशल पर काम नहीं किया जाता है, लेकिन दृष्टिकोण बस समझा जाता है, तो थोड़ा धीमा, लेकिन अभी भी निर्धारित है।

हम 190969 से रूट निकालते हैं।

पहले हम निर्धारित करते हैं - किन संख्याओं के बीच (सौ के गुणक) हमारा परिणाम निहित है।

जाहिर है, इस संख्या के मूल का परिणाम 400 से 500 तक होता है,क्योंकि

400 2 \u003d 160,000 और 500 2 \u003d 250,000

वास्तव में:

बीच में, 160,000 या 250,000 के करीब?

संख्या 190969 बीच में लगभग स्थित है, लेकिन फिर भी 160,000 के करीब है। हम निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारी जड़ का परिणाम 450 से कम होगा। आइए देखें:

वास्तव में, यह 190 969 के बाद से 450 से कम है< 202 500.

अब संख्या 440 की जाँच करें:

इसलिए हमारा रिजल्ट 440 से भी कम है190 969 < 193 600.

संख्या 430 की जाँच करें:

हमने पाया कि इस मूल का परिणाम 430 से 440 तक है।

अंत में 1 या 9 नंबर वाले उत्पाद के अंत में 1 के साथ एक संख्या दी जाती है। उदाहरण के लिए, 21 बाई 21 441 है।

अंत में 2 या 8 के साथ संख्याओं का उत्पाद अंत में 4 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 18 बाई 18 324 है।

अंत में 5 के साथ संख्याओं का उत्पाद अंत में 5 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 25 बाई 25 625 है।

अंत में 4 या 6 के साथ संख्याओं का गुणनफल अंत में 6 के साथ एक संख्या देता है। उदाहरण के लिए, 26 बाई 26 676 है।

अंत में 3 या 7 नंबर वाले उत्पाद को अंत में 9 के साथ एक संख्या दी जाती है। उदाहरण के लिए, 17 बाई 17 289 है।

चूंकि 190969 नंबर 9 नंबर के साथ समाप्त होता है, इसलिए यह उत्पाद 433 या 437 नंबर है।

* केवल वे, जब चुकता, अंत में 9 दे सकते हैं।

हम जाँच करते हैं:

तो मूल का परिणाम 437 होगा।

यही कारण है कि हम, जैसा कि यह था, "सही जवाब" मिला।

जैसा कि आप देख सकते हैं, एक कॉलम में 5 क्रियाओं को करने के लिए अधिकतम आवश्यक है। शायद आप तुरंत बिंदु पर पहुंच जाएंगे, या सिर्फ तीन क्रियाएं करेंगे। यह सब इस बात पर निर्भर करता है कि आप संख्या का प्रारंभिक अनुमान कितने सही तरीके से लगाते हैं।

रूट को 148996 से स्वयं निकालें

इस तरह के एक भेदभाव समस्या में प्राप्त होता है:

मोटर जहाज नदी के किनारे 336 किमी के गंतव्य तक जाता है और प्रस्थान के बिंदु पर पार्किंग के बाद लौटता है। अभी भी पानी में जहाज की गति का पता लगाएं, यदि गति 5 किमी / घंटा है, तो पार्किंग 10 घंटे तक रहता है, और जहाज प्रस्थान से 48 घंटे बाद प्रस्थान बिंदु पर लौटता है। उत्तर किमी / घंटा में दें।

समाधान देखें

मूल परिणाम संख्या 300 और 400 के बीच है:

300 2 =90000 400 2 =160000

वास्तव में, 90,000<148996<160000.

आगे के विचारों का सार यह निर्धारित करना है कि इन संख्याओं के सापेक्ष संख्या 148996 (स्थान) कितनी है।

हम मतभेदों की गणना करते हैं148996 - 90,000 \u003d 58996 और 160000 - 148996 \u003d 11004।

यह पता चला है कि 148996 160,000 के करीब (बहुत करीब) है। इसलिए, मूल परिणाम निश्चित रूप से 350 और 360 से अधिक होगा।

हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि हमारा परिणाम 370 से अधिक है। यह आगे स्पष्ट है: चूंकि 148996 6 नंबर के साथ समाप्त होता है, इसका मतलब है कि या तो 4 या 6 में समाप्त होने वाली संख्या को चुकता किया जाना चाहिए। * केवल ये संख्या जब चुकता करें। अंत ६।

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकी।

यदि आप सामाजिक नेटवर्क पर साइट के बारे में बात करते हैं तो मैं आपको आभारी रहूंगा।