समीकरण

समीकरणों को कैसे हल करें?

इस खंड में, हम सबसे प्राथमिक समीकरणों को याद करेंगे (या अध्ययन - किसके लिए)। तो समीकरण क्या है? मानव भाषा द्वारा, यह किसी प्रकार की गणितीय अभिव्यक्ति है, जहां समानता और अज्ञात का संकेत है। जिसे आमतौर पर पत्र द्वारा दर्शाया जाता है "एक्स". समीकरण हल करें - इस तरह के आईसीए मूल्यों को ढूंढना है कि जब इसमें प्रतिस्थापित किया जाता है स्रोत अभिव्यक्ति हमें एक वफादार पहचान प्रदान करेगी। मुझे आपको याद दिलाने दें कि पहचान एक अभिव्यक्ति है जो किसी व्यक्ति में भी संदेह नहीं करती है, पूरी तरह से गणितीय ज्ञान से बोझ नहीं है। टाइप 2 \u003d 2, 0 \u003d 0, एबी \u003d एबी, आदि तो समीकरणों को कैसे हल करें? चलो पता लगाएं।

समीकरण सभी प्रकार हैं (मुझे आश्चर्य हुआ, हाँ?)। लेकिन उनकी सभी अनंत विविधता को चार प्रकारों में विभाजित किया जा सकता है।

4. अन्य।)

अन्य सभी, ज़ाहिर है, सबसे, हाँ ...) घन, और प्रदर्शनकारी, और लॉगरिदमिक, और त्रिकोणमितीय और सभी प्रकार के अन्य प्रकार शामिल हैं। उनके साथ हम प्रासंगिक वर्गों में कसकर काम करेंगे।

मैं तुरंत कहूंगा कि कभी-कभी पहले तीन प्रकार के समीकरण हवादार होंगे ताकि आप उन्हें पहचान न सकें ... कुछ भी नहीं। हम उन्हें खोलना सीखेंगे।

और हमें इन चार प्रकारों की आवश्यकता क्यों है? और फिर वह रेखीय समीकरण एक तरह से हल किया वर्ग अन्य फ्रैक्शनल तर्कसंगत - तीसरा,लेकिन अ आराम बिल्कुल हल नहीं हुआ! खैर, यह नहीं कि यह किसी भी तरह से हल नहीं हुआ है, यह व्यर्थ गणित में नाराज है।) बस हमारी विशेष तकनीकें और विधियां हैं।

लेकिन किसी के लिए (मैं दोहराता हूं - के लिए किसी को!) समीकरण हल करने के लिए एक विश्वसनीय और परेशानी मुक्त आधार हैं। हर जगह और हमेशा काम करता है। यह आधार डरावना लगता है, लेकिन चीज बहुत आसान है। और बहुत (बहुत!) महत्वपूर्ण।

असल में, समीकरण का समाधान और इनमें सबसे अधिक परिवर्तन शामिल हैं। 99% तक। सवाल का जवाब: " समीकरणों को कैसे हल करें?"झूठ, बस इन परिवर्तनों में। एक संकेत स्पष्ट है?)

समीकरणों के समान परिवर्तन।

पर कोई समीकरण अज्ञात खोजने के लिए, मूल उदाहरण को बदलने और सरल बनाना आवश्यक है। और इसलिए जब उपस्थिति बदलते हैं समीकरण का सार नहीं बदला है। ऐसे परिवर्तनों को बुलाया जाता है समान या उसके बराबर।

मुझे लगता है कि इन परिवर्तनों में शामिल हैं यह समीकरणों के लिए है। गणित में अभी भी समान रूपांतरण हैं अभिव्यक्ति। यह एक और विषय है।

अब हम सभी को सभी को दोहराएंगे समीकरणों के समान परिवर्तन।

बेसिक क्योंकि उन्हें लागू किया जा सकता है किसी को समीकरण - रैखिक, वर्ग, fractional, त्रिकोणमितीय, संकेतक, लघुगणक, आदि आदि।

पहली पहचान रूपांतरण: किसी भी समीकरण के दोनों हिस्सों को जोड़ा जा सकता है (ले लो) किसी को (लेकिन वही बात!) संख्या या अभिव्यक्ति (अज्ञात के साथ एक अभिव्यक्ति सहित)। समीकरण का सार इससे नहीं बदलता है।

वैसे, आप लगातार इस परिवर्तन से उपयोग किए जाते थे, केवल सोचा था कि संकेत के परिवर्तन के साथ समीकरण के एक हिस्से से कुछ नमूने को सहन करना। प्रकार:

मामला परिचित है, हम दोनों को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं, और हमें मिलता है:

वास्तव में, आप दूर ले जाया गया Deuce समीकरण के दोनों भागों से। नतीजा वही है:

x + 2। - 2 = 3 - 2

संकेत के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं तक शर्तों का हस्तांतरण पहली पहचान रूपांतरण का एक कम संस्करण है। और हमें इस तरह के गहरे ज्ञान की आवश्यकता क्यों है? - आप पूछना। समीकरणों में निजैच। हस्तांतरण, भगवान के लिए। केवल एक संकेत बदलने के लिए मत भूलना। लेकिन असमानताओं में, हस्तांतरण की आदत एक मृत अंत में डाल सकती है ....

दूसरा समान रूपांतरण: समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही चीज़ को गुणा (विभाजित) गुणा किया जा सकता है शून्य संख्या या अभिव्यक्ति। यहां पहले से ही एक स्पष्ट प्रतिबंध है: बेवकूफ गुणा करने के लिए, और इसे साझा करना असंभव है। यह रूपांतरण आप उपयोग करते हैं जब आप कुछ शांत, जैसे तय करते हैं

बोधगम्य एच \u003d 2. लेकिन आपको यह कैसे मिला? चयन? या बस प्रबुद्ध? इसलिए नहीं उठाना और अंतर्दृष्टि की प्रतीक्षा न करने के लिए, आपको यह समझने की आवश्यकता है कि आप बस हैं समीकरण के दोनों भागों को साझा किया द्वारा 5. बाईं ओर (5x) को विभाजित करते समय, पांच में कमी आई, नेट एक्स बचा है। हमें क्या चाहिए था और जब पांच के लिए दाएं तरफ (10) विभाजित करते हैं, तो यह पता चला, दो।

बस इतना ही।

मजेदार, लेकिन ये दो (केवल दो!) समान परिवर्तन समाधान को रेखांकित करता है सभी गणित समीकरण। कितने में! उदाहरणों को देखने के लिए यह समझ में आता है, क्या और कैसे, हालांकि?

समीकरणों के समान परिवर्तन के उदाहरण। मुख्य समस्याएं।

चलो एस। प्रथम समान रूपांतरण। बाएं से दाईं ओर स्थानांतरण।

छोटे के लिए उदाहरण।)

मान लीजिए कि इस समीकरण को हल करना आवश्यक है:

3-2x \u003d 5-3x

जादू को याद रखें: "गुहाओं के साथ - छोड़ दिया, आईसीएस के बिना - सही!" यह वर्तनी पहली पहचान परिवर्तन के उपयोग पर एक निर्देश है।) एक्स के साथ क्या अभिव्यक्ति हमारा अधिकार है? 3x? जवाब गलत है! हम से - 3x! ऋण तीन एक्स! इसलिए, बाईं ओर स्थानांतरित होने पर, संकेत प्लस पर बदल जाएगा। यह पता चला है:

3-2x + 3x \u003d 5

तो, Xersi एक गुच्छा में एकत्र किया। संख्याओं को ले लो। बाएं स्टैंड ट्रोका। क्या चिन्ह? जवाब "नहीं" स्वीकार नहीं किया गया है!) ट्रोका के सामने, वास्तव में, कुछ भी नहीं खींचा गया है। और इसका मतलब है कि शीर्ष तीन से पहले एक से अधिक। इसलिए गणित सहमत हुए। कुछ भी लिखा नहीं है, इसका मतलब है एक से अधिक। नतीजतन, शीर्ष तीन का तीन हिस्सा स्थगित होगा एक शून्य के साथ हमें मिला:

-2x + 3x \u003d 5-3

शेष त्रिकोण थे। बाईं ओर - समान, दाईं ओर - गणना करने के लिए। तुरंत बाहर निकलता है:

इस उदाहरण में, पर्याप्त एकल पहचान रूपांतरण था। दूसरी जरूरत नहीं है। चलो ठीक है।)

सेनर के लिए उदाहरण।)

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समीकरण क्या है?

समीकरण पूरे गणित की आधारशिला अवधारणाओं में से एक है। दोनों स्कूल और उच्चतम। यह समझने के लिए समझ में आता है, है ना? इसके अलावा, यह एक बहुत ही सरल अवधारणा है। अपने आप को सुनिश्चित करें। :) तो समीकरण क्या है?

तथ्य यह है कि इस शब्द को "समान", "समानता", आपत्तियों के साथ वर्गीकृत किया गया है, मुझे लगता है कि, किसी को भी कारण नहीं है। समीकरण "\u003d" समानता चिह्न के बीच जुड़े दो गणितीय अभिव्यक्तियां हैं। लेकिन ... कोई नहीं। और इस तरह (कम से कम एक में) में शामिल हैं अज्ञात मूल्य । या अलग तरह से परिवर्ती मूल्य । या संक्षिप्त बस "चर"। चर एक या अधिक हो सकते हैं। स्कूल गणित में, समीकरणों के साथ एक चर। जिसे आमतौर पर पत्र द्वारा इंगित किया जाता हैएक्स। । या लैटिन वर्णमाला के अन्य बाद के पत्र -वाई , जेड , टी और इसी तरह।

हम अभी भी एक चर के साथ समीकरणों पर विचार करते हैं। दो चर या अधिक के साथ - एक विशेष पाठ में।

समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है?

आगे बढ़े। समीकरण में शामिल अभिव्यक्तियों में चर किसी भी अनुमेय मान ले सकता है। वह एक चर है। :) चर के कुछ मूल्यों के लिए, वफादार समानता प्राप्त की जाती है, और कुछ पर - नहीं। समीकरण हल करें - इसका मतलब है कि जिसमें के प्रतिस्थापन में चर के सभी मूल्यों को ढूंढना स्रोत समीकरण प्राप्त किया जाता है वफादार समानता । या, अधिक वैज्ञानिक रूप से, पहचान। उदाहरण के लिए, 5 \u003d 5, 0 \u003d 0, -10 \u003d -10। और इसी तरह। :) या साबित करें कि ऐसे परिवर्तनीय मूल्य नहीं हैं।

मैं विशेष रूप से "स्रोत" शब्द पर ध्यान केंद्रित करता हूं। क्यों - यह सिर्फ नीचे स्पष्ट होगा।

ये वेरिएबल के सबसे मूल्य हैं, जिसमें प्रतिस्थापन में समीकरण की अपील को बहुत सुंदर कहा जाता है - रूट्स समीकरण। यदि यह साबित होता है कि ऐसे कोई मान नहीं हैं, तो इस मामले में यह कहा जाता है कि समीकरण कोई जड़ नहीं.

आपको समीकरणों की आवश्यकता क्यों है?

हमें समीकरणों की आवश्यकता क्यों है? सबसे पहले, समीकरण बहुत शक्तिशाली और सबसे सार्वभौमिक उपकरण के लिए हैं कार्य समाधान । विविध। :) स्कूल में, एक नियम के रूप में, काम करते हैं पाठ कार्य। ये आंदोलन, कार्य, प्रतिशत और कई, कई अन्य कार्य हैं। हालांकि, समीकरणों का उपयोग पूल, पाइप, ट्रेनों और मल के बारे में कुछ स्कूल चुनौतियों तक ही सीमित नहीं है। :)

किसी भी गंभीर वैज्ञानिक कार्य को हल करने के लिए समीकरणों को आकर्षित करने और हल करने की क्षमता के बिना - शारीरिक, इंजीनियरिंग या आर्थिक। उदाहरण के लिए, रॉकेट गिर गई जहां गणना करें। या प्रश्न का उत्तर दें, किसी भी जिम्मेदार डिजाइन (लिफ्ट या पुल, उदाहरण के लिए) लोड का सामना करें या लोड न करें। या मौसम, विकास (या गिरावट) की कीमतों या आय की भविष्यवाणी ...

आम तौर पर, समीकरण कंप्यूटेशनल कार्यों की एक विस्तृत विविधता को हल करने में एक महत्वपूर्ण व्यक्ति है।

समीकरण क्या हैं?

गणित अश्लील राशि में समीकरण। विभिन्न प्रजाति। हालांकि, सभी समीकरणों को केवल 4 ग्राम में विभाजित किया जा सकता है:

1) रैखिक,

2) स्क्वायर,

3) आंशिक (या आंशिक तर्कसंगत),

4) अन्य।

विभिन्न प्रकार के समीकरणों को उनके समाधान के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है: रैखिक समीकरण एक ही तरीके से हल किए जाते हैं, स्क्वायर - अन्य, आंशिक - तीसरा, त्रिकोणमितीय, लॉगरिदमिक, घातीय और अन्य भी उनके तरीकों से हल किए जाते हैं।

अन्य समीकरण, ज़ाहिर है, सबसे। ये तर्कहीन, और त्रिकोणमितीय, और संकेतक, और लॉगरिदमिक, और कई अन्य समीकरण हैं। और यहां तक \u200b\u200bकि अंतर समीकरण (छात्रों के लिए), जहां अज्ञात संख्या नहीं है, लेकिन समारोह।या यहां तक \u200b\u200bकि कार्यों का एक पूरा परिवार भी। :) उचित पाठों में, हम इन सभी प्रकार के समीकरणों का विस्तार से विश्लेषण करेंगे। और यहां हमारे पास बुनियादी तकनीकें हैं जो समाधान पर लागू होती हैं पूरी तरह से (हाँ, कोई भी!) समीकरण। इन तकनीकों को बुलाया जाता है समीकरणों के बराबर परिवर्तन । उनमें से केवल दो हैं। और उन्हें करने के लिए कहीं भी नहीं। तो परिचित हो जाओ!

समीकरणों को कैसे हल करें? समीकरणों के समान (समतुल्य) परिवर्तन।

फेसला किसी को समीकरण इसमें अभिव्यक्तियों के चरणबद्ध परिवर्तन में निहित हैं। लेकिन परिवर्तन abubs नहीं हैं, लेकिन इस तरह पूरे समीकरण का सार नहीं बदला है। इस तथ्य के बावजूद कि प्रत्येक परिवर्तन के बाद, समीकरण संशोधित किया जाएगा और अंततः मूल के समान ही नहीं होगा। गणित में इस तरह के परिवर्तन कहा जाता है समकक्ष या समान । समीकरणों के समान परिवर्तनों की विविधता आवंटित की जाती है दो बुनियादी। उनके बारे में और भाषण होगा। हाँ, हाँ, केवल दो! और उनमें से प्रत्येक अलग ध्यान देने योग्य है। एक आदेश में इन दो समान परिवर्तनों का उपयोग या सभी समीकरणों के 99% को हल करने में सफलता की गारंटी देता है।

तो, परिचित हो जाओ!

पहली पहचान रूपांतरण:

समीकरण के दोनों हिस्सों को जोड़ा जा सकता है (या दूर ले जाया जा सकता है) (लेकिन वही!) संख्या या अभिव्यक्ति (चर सहित)।

समीकरण का सार वही रहेगा। यह परिवर्तन आप हर जगह लागू करते हैं, जो सोचते हैं कि कुछ सदस्यों को समीकरण के एक हिस्से से दूसरे हिस्से में ले जाना, संकेत बदलना। :)

उदाहरण के लिए, इस तरह के एक शांत समीकरण:

यहां सोचने के लिए कुछ भी नहीं है: हम दाईं ओर एक त्रिगुट लेते हैं, प्लस पर कम से कम बदलते हैं:

और वास्तविकता में क्या होता है? और वास्तव में आप ट्रोका समीकरण के दोनों भागों में जोड़ें! इस कदर:

ट्रिपल के दोनों हिस्सों को जोड़ने से पूरे समीकरण का सार नहीं बदलता है। बाईं ओर शुद्ध एक्स (जिसे हम वास्तव में, हासिल किए जाते हैं), और दाईं ओर - क्या होता है।

एक भाग से दूसरे में शर्तों का हस्तांतरण है संक्षिप्त संस्करण पहली पहचान रूपांतरण। आप यहां एक गलती कर सकते हैं - स्थानांतरित होने पर चिह्न को बदलने के लिए भूलना। उदाहरण के लिए, इस तरह के एक समीकरण:

यह एक साधारण बात है। हम सीधे वर्तनी द्वारा काम करते हैं: आईसीएस के बिना, आईसीएस के बिना - सही। हमारे अधिकार पर आईएसएम के साथ नींव क्या है? क्या? 2x? गलत! हमारे साथ -2x (शून्य दो एक्स) के साथ! इसलिए, बाईं ओर, यह शब्द स्थगित होगा एक प्लस के साथ :

आधा बनाया, Xersi बाईं ओर एकत्र किया। यह इकाई को दाईं ओर स्थानांतरित करना बाकी है। फिर से सवाल - किस चाप के साथ? एक से पहले कुछ भी लिखा नहीं है - इसका मतलब है कि यह निहित है कि यह इसके लायक है एक से अधिक। इसलिए, सही एक स्थगित होगा माइनस के साथ:

यह लगभग सब कुछ है। बाएं लीड समान, और दाएं - हम मानते हैं। और हमें मिलता है:

और अब हम घटकों के हस्तांतरण के साथ हमारी धोखाधड़ी का विश्लेषण करते हैं। ट्रांसफर किए गए -2x को छोड़ने पर हमने क्या किया है? हाँ! हम दोनों भागों में जोड़ा गया हमारी बुरा समीकरण अभिव्यक्ति 2x। मैंने कहा कि हमें किसी भी संख्या और एक्सए के साथ एक अभिव्यक्ति जोड़ने का अधिकार है! अगर केवल वही बात है। :) और जब दाईं ओर दाईं ओर स्थानांतरित किया गया था? आज रात! हम समीकरण के दोनों भागों से दूर ले जाया गया एक। यह सब कुछ है।) यह पहले समकक्ष परिवर्तन का पूरा सार है।

या ऐसा उदाहरण - हाई स्कूल के छात्रों के लिए:

लॉगरिदमिक समीकरण। तो क्या? किसे पड़ी है? वही, पहला चरण मूल पहचान रूपांतरण द्वारा किया जाता है - इस शब्द को एक चर (यानी, -log 3 x) के साथ बाईं ओर सहन करता है, और संख्यात्मक अभिव्यक्ति लॉग 3 4 को दाईं ओर स्थानांतरित किया जाता है। साइन के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से:

बस इतना ही। जो लॉगरिदम के साथ दोस्ताना है, वह दिमाग में संरक्षित समीकरण है और प्राप्त करेगा:

क्या? साइन चाहते हैं? कृपया, यहां साइन्स हैं:

पहले समान रूपांतरण को दोहराएं - स्थानांतरण पाप एक्स। बाएं (शून्य के साथ), और -1/4 को दाईं ओर (प्लस):

सिने के साथ सबसे सरल त्रिकोणमितीय समीकरण प्राप्त किया, जो हल करने के लिए भी मुश्किल नहीं है।

देखें कि सार्वभौमिक रूप से पहले समकक्ष परिवर्तन! यह हर जगह और हर जगह पाया जाता है और इसके चारों ओर नहीं मिलता है। इसलिए, आपको इसे मशीन पर करने में सक्षम होना चाहिए। मुख्य बात यह नहीं है कि स्थानांतरित करते समय साइन को बदलना न भूलें! हम समीकरणों के समान परिवर्तनों से परिचित होना जारी रखते हैं।)

दूसरी पहचान रूपांतरण:

समीकरण के दोनों हिस्सों को एक ही असमान शून्य संख्या या अभिव्यक्ति में गुणा (विभाजित) गुणा किया जा सकता है।

यह समान रूपांतरण, हम लगातार तब भी लागू होते हैं जब कुछ गुणांक हमें समीकरण में रोकते हैं और हम उनसे छुटकारा पाना चाहते हैं। समीकरण के लिए सुरक्षित। :) उदाहरण के लिए, इस तरह के एक बुरा समीकरण:

यहाँ हर कोई स्पष्ट है x \u003d 3।। आपने अनुमान कैसे लगाया? की तैनाती? या आकाश में एक उंगली चुटकी और अनुमान?

इसलिए नहीं उठाना और अनुमान नहीं लगाया (हम अभी भी गणित हैं, और कोई भाग्य नहीं कर रहे हैं :)), आपको यह समझने की जरूरत है कि आप बस हैं समीकरण के दोनों भागों को साझा किया चौथे पर। जो हमें हिंडित करता है।

इस कदर:

विभाजन के साथ इस छड़ी का मतलब है कि चौथा विभाजित है दोनों भागों हमारा समीकरण। पूरी बाईं ओर और पूरी दाहिनी ओर:

बाईं तरफ, चौथे सुरक्षित रूप से कम हो जाते हैं और आईएक्स गर्व अकेलेपन में रहता है। और 4 पर डिवीजन 12 पर दाईं ओर यह निश्चित रूप से, शीर्ष तीन से बाहर निकलता है। :)

या इस तरह के एक समीकरण:

एक सातवें के साथ क्या करना है? सही स्थानांतरित करने के लिए? नहीं, यह असंभव है! Xmom गुणा के साथ एक सातवें जुड़ा हुआ है। गुणांक, आप समझते हैं। :) यह फाड़ना असंभव है और आईसीए से अलग से आगे बढ़ना असंभव है। केवल पूरी अभिव्यक्ति (1/7) x पूरी तरह से है। लेकिन - कोई ज़रूरत नहीं है। :) गुणा / विभाजन के बारे में अधिक याद रखें। हमें क्या रोकता है? अंश 1/7, है ना? तो चलो इससे छुटकारा पाएं। कैसे? और परिणामस्वरूप अंश क्या कार्रवाई गायब हो जाती है? जब हमारे साथ अंश गायब हो जाता है गुणा इसके denominator के बराबर संख्या से! यहां आप हमारे समीकरण के दोनों हिस्सों को 7 के लिए गुणा करेंगे:

बाईं तरफ, सात कम हो जाएगा और अकेला एक्स, और दाईं ओर, यदि आप गुणा तालिका को याद करते हैं, तो यह 21 हो जाएगा:

अब हाई स्कूल के छात्रों के लिए एक उदाहरण:

आईएक्स तक पहुंचने के लिए और इस प्रकार हमारे ईविल त्रिकोणमितीय समीकरण को हल करें, हमें पहले बिना किसी गुणांक के बाएं कोसाइन प्राप्त करना होगा। और दो बार हस्तक्षेप करता है। :) तो हम पूरे बाईं ओर विभाजित करते हैं:

लेकिन फिर दाएं तरफ भी दो बार विभाजित करना होगा: इसे पहले ही गणित की आवश्यकता है। हम विभाजित करते हैं:

कोसाइन के सही सारणीबद्ध मूल्य पर प्राप्त किया। और अब समीकरण सुंदर आत्मा के लिए हल किया गया है।)

क्या सबकुछ गुणा / विभाजन के साथ स्पष्ट है? अति उत्कृष्ट! परंतु… ध्यान! इस परिवर्तन में, इसकी सारी सादगी के बावजूद, बहुत परेशान त्रुटियों का स्रोत निहित है! जिसे ओ। जड़ों का नुकसान तथा विदेशी जड़ों का अधिग्रहण .

ऊपर, मैंने पहले ही कहा है कि समीकरण के दोनों हिस्सों को किसी भी संख्या में गुणा (विभाजित) किया जा सकता है xom के साथ अभिव्यक्ति। लेकिन एक महत्वपूर्ण आरक्षण के साथ: जिस अभिव्यक्ति पर हम गुणा करते हैं (delim) होना चाहिए शून्य से भरा हुआ । यह इस विशेष पंचर है कि पहले कई लोग अनदेखा करते हैं, और इस तरह के कष्टप्रद यादों की ओर जाता है। असल में, इस प्रतिबंध का अर्थ स्पष्ट है: गुणा शून्य से बेवकूफ है, और यह साझा करना असंभव है। मुझे क्या बताओ? चलो विभाजन और साथ शुरू करते हैं जड़ों की हानि .

मान लीजिए हमारे यहां एक समीकरण है:

यहां, सही, हाथों को सामान्य ब्रैकेट (एक्स -1) पर समीकरण के दोनों हिस्सों को लेने और साझा करने के लिए रखा जाएगा:

मान लीजिए, परीक्षा में कार्य में, यह इस समीकरण की जड़ों की मात्रा को खोजने के लिए कहा गया है। प्रतिक्रिया में हम क्या लिखेंगे? तीन? यदि आप तय करते हैं कि शीर्ष तीन, तो आप हमला करना। जिसे "जड़ों का नुकसान" कहा जाता है। :) मामला क्या है?

और आइए प्रारंभिक समीकरण में ब्रैकेट खोलें और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करें:

एक क्लासिक वर्ग समीकरण प्राप्त किया। हम भेदभावपूर्ण (या वियतनाम प्रमेय के माध्यम से) के माध्यम से निर्णय लेते हैं और हमें दो जड़ें मिलती हैं:

इसलिए, जड़ों की मात्रा 1 + 3 \u003d 4. चार है, और तीन नहीं! जहां हम रूट "गायब"

x \u003d 1।

हल करने के पहले तरीके से? और हम में से एक ब्रैकेट (एक्स -1) पर दोनों हिस्सों के विभाजन के दौरान गायब हो गया। यह क्यों हुआ? और सभी क्योंकि जब x \u003d 1, यह सबसे ब्रैकेट रीसेट (x - 1) है। और हमारे पास केवल साझा करने के लिए सही है उत्कृष्ट अभिव्यक्ति! मैं इस जड़ के नुकसान से कैसे बच सकता हूं? और सामान्य रूप से जड़ों की हानि? इसके लिए, सबसे पहले, एक्सए के साथ कुछ अभिव्यक्ति के लिए विभाजित करने से पहले, आप हमेशा एक शर्त जोड़ते हैं कि यह अभिव्यक्ति शून्य से अलग है। और मिल गया इस अभिव्यक्ति का शून्य। इस प्रकार (हमारे समीकरण के उदाहरण पर):

और दूसरी बात, ताकि कुछ जड़ें विभाजन प्रक्रिया में गायब न हों, हमें जड़ों में उम्मीदवारों के रूप में अलग से जांच करनी चाहिए हर एक चीज़ हमारी अभिव्यक्ति के शून्य (जिनमें से हम विभाजित करते हैं)। कैसे? बस उन्हें स्थानापन्न करें स्रोत समीकरण और गणना। हमारे मामले में, इकाई की जांच करें:

सभी ईमानदारी से। तो, एक जड़ है!

लेकिन सामान्य रूप से, भविष्य के लिए, हमेशा बचने की कोशिश करें विभाजन एक्सए के साथ एक अभिव्यक्ति पर। जड़ों का नुकसान - बात बहुत खतरनाक और परेशान है! किसी अन्य तरीके को लागू करें - कोष्ठक का प्रकटीकरण और विशेष रूप से गुणन। मल्टीप्लियर की अपघटन जड़ों के नुकसान से बचने के लिए सबसे आसान और सुरक्षित तरीका है। ऐसा करने के लिए, हम बाईं ओर सबकुछ एकत्र करते हैं, फिर हम एक सामान्य कारक लेते हैं (जिसे हम ब्रैकेट के लिए "कट") लेते हैं, गुणक पर बाहर निकलते हैं और प्रत्येक परिणामस्वरूप गुणक को शून्य से बराबर करते हैं। उदाहरण के लिए, हमारे समीकरण न केवल वर्ग को लाने के लिए, बल्कि गुणक के अपघटन से भी हल करने के लिए काफी हानिरहित हो सकता है। अपने लिए देखलो:

हम बाईं ओर सभी अभिव्यक्ति (x-1) पूरी तरह से लेते हैं। एक माइनस साइन के साथ:

हम एक सामान्य कारक के रूप में एक ब्रैकेट के लिए (x-1) सहन करते हैं और गुणक पर विस्तार करते हैं:

जब काम शून्य होता है कम से कम एक गुणक शून्य है। बराबर अब (दिमाग में!) हर ब्रैकेट शून्य पर और हमारी वैध दो जड़ें प्राप्त करें:

और कोई जड़ नहीं खोया!

हम विपरीत स्थिति का विश्लेषण करेंगे - विदेशी जड़ों का अधिग्रहण। यह स्थिति तब होती है जब गुणा एक्सए के साथ अभिव्यक्ति पर समीकरण के दोनों भागों। पूर्ण और अगला होता है जब आंशिक तर्कसंगत समीकरणों को हल करते समय होता है। उदाहरण के लिए, इस तरह के एक जटिल समीकरण:

एक दोस्त परिचित है - हम अंशों से छुटकारा पाने और लाइनबेर समीकरण प्राप्त करने के लिए दोनों हिस्सों को गुणा करते हैं:

हम हर गुणक को शून्य से बराबर करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

ऐसा लगता है, सब कुछ ठीक है। लेकिन आइए प्राथमिक जांच करने की कोशिश करें। और अगर के लिए x \u003d 0। हम सभी सब कुछ की महिमा करते हैं, यह पहचान 2 \u003d 2 को तब बदल देगा x \u003d 1। इसे शून्य में विभाजित किया जाएगा। स्पष्ट रूप से क्या नहीं किया जा सकता है। यह हमारे समीकरण की जड़ के रूप में उपयुक्त नहीं है। ऐसे मामलों में, वे कहते हैं कि x \u003d 1। - तथाकथित विदेशी जड़ । एक अंश के बिना हमारे नए समीकरण की जड़ है x (x - 1) \u003d 0, लेकिन अ नहीं है कोरियाई स्रोत आंशिक समीकरण। यह बाहरी जड़ कैसे दिखाई देता है? ऐसा प्रतीत होता है जब एक denominator के लिए दोनों भागों को गुणा करना एक्स -1। जो है x \u003d 1। बस शून्य हो जाता है! और हमें शून्य से केवल एक अभिव्यक्ति को गुणा करने का अधिकार है!

हो कैसे? बिल्कुल गुणा न करें? फिर हम कुछ भी हल नहीं कर सकते हैं। हर बार जाँच करने के लिए? कर सकते हैं। लेकिन अक्सर प्रयोगशाला यदि प्रारंभिक समीकरण बहुत खराब हो जाता है। ऐसे मामलों में, तीन जादुई पत्र सहेजे गए - ओडीजेड। के बारे मेंविस्फोट डीछोड़े गए जेडध्यान दें। और विदेशी जड़ों की उपस्थिति को बाहर करने के लिए, एक्स के साथ अभिव्यक्ति को गुणा करते समय हमेशा ओडीबी रिकॉर्ड करने के लिए हमेशा की आवश्यकता होती है। हमारे मामले में:

अब, प्रतिबंध के दौरान, आप denominator के लिए दोनों भागों को सुरक्षित रूप से गुणा कर सकते हैं। इस तरह के गुणा (यानी विदेशी जड़ों) से सभी हानिकारक परिणाम हम ओटीजेड को बाहर कर देंगे। और हमारी इकाई निर्दयतापूर्वक बाहर फेंक देती है।

तो, विदेशी जड़ों का उदय हानि के रूप में खतरनाक नहीं है: ओटीजेड एक शक्तिशाली चीज है। और कठिन। वह हमेशा हमें बहुत ज्यादा भेजती है। :) हम ओडब्ल्यूज के साथ दोस्त होंगे और एक अलग सबक में परिचित होंगे।

यह सब समान परिवर्तन है।) कुल दो। हालांकि, एक अनुभवहीन छात्र में कुछ कठिनाइयों से जुड़ी हो सकती है अनुक्रम उनके उपयोग: कुछ उदाहरणों में कुछ में गुणा (या विभाजन) के साथ शुरू होता है - स्थानांतरण से। उदाहरण के लिए, इस तरह के एक रैखिक समीकरण:

कहां से शुरू करें? आप स्थानांतरण के साथ शुरू कर सकते हैं:

और आप पहले दोनों हिस्सों को शीर्ष पांच पर साझा कर सकते हैं, और फिर स्थानांतरण कर सकते हैं। फिर संख्याएं आसान होंगी और यह आसान हो जाएगी:

जैसा कि आप देख सकते हैं, और इसलिए, और भिगो सकते हैं। कुछ छात्र कुछ छात्रों से उत्पन्न होते हैं: "यह सही कैसे है?" उत्तर: "सब कुछ सही है!" किसके लिए यह अधिक सुविधाजनक है। :) यदि केवल आपके कार्यों ने गणित के नियमों का खंडन नहीं किया है। और इन बहुत ही कार्यों का अनुक्रम पूरी तरह से व्यक्तिगत प्राथमिकताओं और निर्णायक की आदतों पर निर्भर करता है। हालांकि, अनुभव के साथ, ऐसे प्रश्न स्वयं से गायब हो जाएंगे, और अंत में, गणित नहीं आपको आदेश देंगे, और आप गणित हैं। :)

अंत में, मैं तथाकथित के बारे में अलग से कहना चाहता हूं सशर्त समान परिवर्तनमेला कुछ शर्तें। उदाहरण के लिए, समान डिग्री में समीकरण के दोनों हिस्सों का निर्माण। या दोनों भागों से जड़ को हटा रहा है। यदि आंकड़े विषम हैं, तो कोई प्रतिबंध नहीं हैं - बिना किसी डर के निर्माण और हटा दें। लेकिन अगर आपको पता है, तो ऐसा परिवर्तन केवल समान होगा समीकरण के दोनों भाग गैर-नकारात्मक हैं। हम तर्कहीन समीकरणों के विषय में इन पानी के नीचे के पत्थरों के बारे में विस्तार से बात करेंगे।

पहली बार मिलने के लिए गणित ग्रेड 7 के दौरान मिलते हैं दो चर के साथ समीकरणलेकिन वे केवल दो अज्ञात के साथ समीकरणों की प्रणालियों के संदर्भ में अध्ययन किया जाता है। यही कारण है कि, दृश्य के क्षेत्र से, कई कार्य सामने आते हैं, जिसमें समीकरण के गुणांक तक सीमित कुछ स्थितियां पेश की जाती हैं। इसके अलावा, प्रकार की समस्याओं को हल करने के तरीके "प्राकृतिक या पूर्णांक में समीकरण को हल करें" अवहेलना बने रहें, हालांकि इस तरह के कार्य ईएमई सामग्री और प्रवेश परीक्षा में तेजी से और अधिक बार हैं।

दो चर के साथ समीकरण किस समीकरण कहा जाएगा?

उदाहरण के लिए, समीकरण 5x + 2y \u003d 10, x 2 + y 2 \u003d 20 या xy \u003d 12 दो चर के समान समीकरण हैं।

समीकरण 2x - y \u003d 1. पर विचार करें, यह x \u003d 2 और y \u003d 3 पर सही समानता को संदर्भित करता है, इसलिए, परिवर्तनीय मूल्यों की यह जोड़ी समीकरण के तहत समीकरण का समाधान है।

इस प्रकार, दो चर के साथ किसी भी समीकरण का समाधान आदेशित जोड़े (x; y) की बहुलता है, चर के मूल्य, जो इस समीकरण को सही संख्यात्मक समानता के लिए तैयार किया जाता है।

दो अज्ञात के साथ समीकरण कर सकते हैं:

लेकिन अ) एक समाधान है। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + 5y 2 \u003d 0 में एक एकल समाधान है (0; 0);

बी) कई समाधान हैं। उदाहरण के लिए, (5 - | एक्स |) 2 + (| y | - 2) 2 \u003d 0 में 4 समाधान हैं: (5; 2), (-5; 2), (5; -2), (-5; - 2);

पर समाधान नहीं है। उदाहरण के लिए, समीकरण x 2 + y 2 + 1 \u003d 0 में समाधान नहीं हैं;

डी) असीम रूप से बहुत सारे समाधान हैं। उदाहरण के लिए, एक्स + वाई \u003d 3. इस समीकरण के समाधान संख्या होगी, जिसका योग है 3. इस समीकरण के समाधानों का सेट फॉर्म (के; 3 - के) में लिखा जा सकता है, जहां के है कोई वैध संख्या।

दो चर के साथ समीकरणों को हल करने के मुख्य तरीके गुणक पर अभिव्यक्तियों के अपघटन, पूर्ण वर्ग की रिहाई, एक वर्ग समीकरण, सीमित अभिव्यक्तियों, मूल्यांकन विधियों के गुणों का उपयोग के आधार पर विधियों हैं। एक नियम के रूप में समीकरण, उस फॉर्म में परिवर्तित हो जाता है जिससे आप अज्ञात खोजने के लिए सिस्टम प्राप्त कर सकते हैं।

गुणन

उदाहरण 1।

समीकरण हल करें: xy - 2 \u003d 2x - y।

फेसला।

कारकों को विघटित करने के लिए समूह की शर्तें:

(Xy + y) - (2x + 2) \u003d 0. प्रत्येक ब्रैकेट से, हम सारांशित करेंगे:

वाई (एक्स + 1) - 2 (एक्स + 1) \u003d 0;

(x + 1) (y - 2) \u003d 0. हमारे पास है:

वाई \u003d 2, एक्स कोई वैध संख्या या x \u003d -1, वाई - कोई वैध संख्या है।

इस प्रकार से, जवाब फॉर्म के सभी जोड़े (x; 2), x € r और (-1; y), y € r.

समानता शून्य गैर-नकारात्मक संख्या

उदाहरण 2।

समीकरण हल करें: 9 एक्स 2 + 4 वाई 2 + 13 \u003d 12 (एक्स + वाई)।

फेसला।

हम समूह:

(9 एक्स 2 - 12x + 4) + (4Y 2 - 12y + 9) \u003d 0. अब प्रत्येक ब्रैकेट को स्क्वायर फॉर्मूला द्वारा ध्वस्त किया जा सकता है।

(3x - 2) 2 + (2y - 3) 2 \u003d 0।

दो गैर-नकारात्मक अभिव्यक्तियों का योग शून्य है, केवल तभी 3x 2 \u003d 0 और 2y - 3 \u003d 0 है।

तो, x \u003d 2/3 और y \u003d 3/2।

उत्तर: (2/3; 3/2)।

मूल्यांकन पद्धति

उदाहरण 3।

समीकरण हल करें: (x 2 + 2x + 2) (वाई 2 - 4Y + 6) \u003d 2।

फेसला।

प्रत्येक ब्रैकेट में, पूर्ण वर्ग को हाइलाइट करें:

((x + 1) 2 + 1) ((y - 2) 2 + 2) \u003d 2. स्थापना कोष्ठक में अभिव्यक्तियों का मूल्य।

(x + 1) 2 + 1 ≥ 1 और (वाई - 2) 2 + 2 ≥ 2, फिर समीकरण का बायां हिस्सा हमेशा कम से कम 2. समानता संभव है यदि:

(x + 1) 2 + 1 \u003d 1 और (y - 2) 2 + 2 \u003d 2, जिसका अर्थ है x \u003d -1, y \u003d 2।

उत्तर: (-1; 2)।

हम दूसरी डिग्री के दो चर के साथ समीकरणों को हल करने की एक और विधि से परिचित हो जाएंगे। यह तरीका यह है कि समीकरण को माना जाता है किसी भी चर के सापेक्ष वर्ग.

उदाहरण 4।

समीकरण हल करें: x 2 - 6x + y - 4√y + 13 \u003d 0।

फेसला।

मैं एक्स के सापेक्ष एक वर्ग के रूप में समीकरण हल करता हूं। हम भेदभावपूर्ण पाते हैं:

डी \u003d 36 - 4 (वाई - 4√y + 13) \u003d -4Y + 16√Y - 16 \u003d -4 (√y - 2) 2। समीकरण में केवल डी \u003d 0 पर एक समाधान होगा, यानी, यदि वाई \u003d 4. हम वाई के मूल्य को मूल समीकरण के लिए प्रतिस्थापित करते हैं और एक्स \u003d 3 को ढूंढते हैं।

उत्तर: (3; 4)।

अक्सर दो अज्ञात के समान समीकरणों में संकेत मिलता है चर पर प्रतिबंध.

उदाहरण 5।

पूर्णांक में समीकरण हल करें: x 2 + 5y 2 \u003d 20x + 2।

फेसला।

मैं फॉर्म x 2 \u003d -5y 2 + 20x + 2 में समीकरण को फिर से लिखता हूं। 5 द्वारा विभाजन के दौरान परिणामी समीकरण का दाहिना तरफ अवशेष 2 में देता है। इसलिए, x 2 को 5 से विभाजित नहीं किया गया है। लेकिन वर्ग का वर्ग संख्या जो 5 पर विभाजित नहीं होती है वह अवशेष 1 या 4 में देता है, इस प्रकार, समानता असंभव है और कोई समाधान नहीं है।

उत्तर: कोई जड़ नहीं।

उदाहरण 6।

समीकरण हल करें: (x 2 - 4 | x | + 5) (y 2 + 6y + 12) \u003d 3।

फेसला।

हम प्रत्येक ब्रैकेट में पूर्ण वर्गों को हाइलाइट करते हैं:

((एक्स | - 2) 2 + 1) ((वाई + 3) 2 + 3) \u003d 3. समीकरण का बायां हिस्सा हमेशा से अधिक या बराबर होता है। समानता संभव है प्रदान की गई है - 2 \u003d 0 और वाई + 3 \u003d 0. इस प्रकार, x \u003d ± 2, y \u003d -3।

उत्तर: (2; -3) और (-2; -3)।

उदाहरण 7।

पूर्णांक नकारात्मक संख्या (x; y) की प्रत्येक जोड़ी के लिए, समीकरण को संतुष्ट करना
एक्स 2 - 2xy + 2y 2 + 4y \u003d 33, राशि की गणना करें (x + y)। प्रतिक्रिया में, सबसे छोटा सारांश निर्दिष्ट करें।

फेसला।

हम पूर्ण वर्गों को हाइलाइट करते हैं:

(x 2 - 2xy + y 2) + (y 2 + 4y + 4) \u003d 37;

(x - y) 2 + (y + 2) 2 \u003d 37. चूंकि x और y पूर्णांक हैं, तो उनके वर्ग भी पूर्णांक हैं। 37 के बराबर दो पूर्णांक के वर्गों का योग, हम प्राप्त करते हैं, अगर हम 1 + 36 को फोल्ड करते हैं। इसके परिणामस्वरूप:

(x - y) 2 \u003d 36 और (y + 2) 2 \u003d 1

(x - y) 2 \u003d 1 और (y + 2) 2 \u003d 36।

इन प्रणालियों को हल करना और यह मानते हुए कि एक्स और वाई नकारात्मक हैं, समाधान ढूंढें: (-7; -1), (-9; -3), (-7; -8), (-9; -8)।

उत्तर: -17।

यदि आपको दो अज्ञात के साथ समीकरणों को हल करने में कठिनाई हो तो निराशा करना आवश्यक नहीं है। थोड़ा अभ्यास, और आप किसी भी समीकरण से निपट सकते हैं।

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साइट, मूल स्रोत के लिए सामग्री संदर्भ की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ आवश्यक है।

रेखीय समीकरण। समाधान, उदाहरण।

ध्यान!
इस विषय में अतिरिक्त है
एक विशेष खंड 555 में सामग्री।
उन लोगों के लिए जो दृढ़ता से "बहुत नहीं ..."
और उन लोगों के लिए जो "बहुत ..." हैं)

रेखीय समीकरण।

रैखिक समीकरण स्कूल गणित का सबसे कठिन विषय नहीं हैं। लेकिन वहां उसके चिप्स हैं, जो छात्र द्वारा भी दबाया जा सकता है। चलो पता चलता है?)

आमतौर पर रैखिक समीकरण को फॉर्म के समीकरण के रूप में परिभाषित किया जाता है:

कुल्हाड़ी। + बी = 0 कहा पे ए और बी। - कोई संख्या।

2x + 7 \u003d 0. यहाँ ए \u003d 2, b \u003d 7।

0.1x - 2.3 \u003d 0 यहाँ ए \u003d 0.1, b \u003d -2.3

12x + 1/2 \u003d 0 यहाँ a \u003d 12, b \u003d 1/2

कुछ भी मुश्किल नहीं है, है ना? विशेष रूप से यदि शब्दों को नोटिस नहीं करना है: "जहां ए और बी - कोई भी संख्या"... और यदि आप देखते हैं, तो क्या यह लापरवाह है?) आखिरकार, अगर ए \u003d 0, b \u003d 0। (कोई भी संख्या हो सकती है?), यह एक मजेदार अभिव्यक्ति को बदल देता है:

लेकिन वह सब नहीं है! अगर, कहो, ए \u003d 0, लेकिन अ बी \u003d 5, यह सब अपमानित सभी पर पता चला है:

गणित में क्या उपभेद और कमजोर पड़ता है, हां ...) खासकर परीक्षा में। लेकिन इन अजीब अभिव्यक्तियों में से, मुझे इसे खोजने की भी आवश्यकता है! जो बिल्कुल नहीं है। और, जो आश्चर्य की बात है, यह एक्स बहुत ही स्थित है। हम इसे करना सीखेंगे। इस पाठ में।

उपस्थिति में रैखिक समीकरण कैसे पता लगाएं? यह क्या देख रहा है दिखावट।) चिप यह है कि रैखिक समीकरणों को न केवल फॉर्म के समीकरण कहा जाता है कुल्हाड़ी। + बी = 0 , लेकिन इस प्रकार के परिवर्तन और सरलीकरण द्वारा कम किए गए किसी भी समीकरण भी। और उसे कौन जानता है, यह नीचे आता है, या नहीं?)

कुछ मामलों में रैखिक समीकरण स्पष्ट रूप से पहचान सकते हैं। आइए मान लें कि क्या एक समीकरण है जिसमें पहली डिग्री में केवल अज्ञात हैं, और संख्या। और वहां समीकरण में विभाजन के साथ अंश अनजान , क्या यह महत्वपूर्ण है! और द्वारा विभाजन संख्या, या संख्यात्मक का अंश कृपया है! उदाहरण के लिए:

यह एक रैखिक समीकरण है। यहां भिन्नताएं हैं, लेकिन एक वर्ग में, क्यूबा, \u200b\u200bआदि में कोई आईसी नहीं है, और डेनोमिनेटर में कोई आईसी नहीं है, यानी। नहीं न एक्स पर निर्णय।। लेकिन समीकरण

रैखिक कहा जाना असंभव है। यहां सभी पहले डिग्री में हैं, लेकिन वहाँ है एक्स के साथ एक अभिव्यक्ति पर निर्णय। सरलीकरण और परिवर्तन के बाद, रैखिक समीकरण, और वर्ग, और कुछ भी।

यह पता चला है कि कुछ प्रवासी उदाहरण में रैखिक समीकरण को ढूंढना असंभव है, जबकि यह लगभग तय नहीं है। यह दुखी है। लेकिन कार्यों में, एक नियम के रूप में, समीकरण के रूप में नहीं पूछें, है ना? कार्यों में, समीकरण तय करो। यह मझे खुश करता है।)

रैखिक समीकरणों का समाधान। उदाहरण।

सभी हल करने वाले रैखिक समीकरणों में समीकरणों के समान परिवर्तन होते हैं। वैसे, इन परिवर्तनों (दो बार दो!) समाधान पर आधारित हैं। सभी गणित समीकरण। दूसरे शब्दों में, निर्णय किसी को समीकरण इन सबसे परिवर्तनों से शुरू होता है। रैखिक समीकरणों के मामले में, इन परिवर्तनों पर यह (समाधान) और पूर्ण प्रतिक्रिया के साथ समाप्त होता है। हालांकि, यह देखने के लिए यह समझ में आता है?) इसके अलावा, रैखिक समीकरणों को हल करने के भी उदाहरण हैं।

शुरू करने के लिए, सबसे सरल उदाहरण पर विचार करें। बिना किसी नुकसान के। आइए इस समीकरण को हल करने की आवश्यकता है।

एक्स - 3 \u003d 2 - 4 एक्स

यह एक रैखिक समीकरण है। Icuses सभी पहली डिग्री में हैं, एक्स पर कोई विभाजन नहीं है। लेकिन, वास्तव में, हम कोई फर्क नहीं पड़ता, एक समीकरण क्या है। हमें फैसला करने की जरूरत है। यह योजना यहां सरल है। समानता के बाएं हिस्से में गुहाओं के साथ सभी को इकट्ठा करें, आईसीएस (संख्या) के बिना यह सब सही है।

ऐसा करने के लिए इसे स्थानांतरित किया जाना चाहिए - बाईं ओर 4x, साइन के परिवर्तन के साथ, निश्चित रूप से, और - 3 - सही। वैसे, यह है समीकरणों की पहली पहचान रूपांतरण। विस्मित होना? इसका मतलब है कि लिंक नहीं गया, और व्यर्थ में ...) हमें मिलता है:

x + 4x \u003d 2 + 3

हम इसी तरह प्रस्तुत करते हैं, मानते हैं:

पूरी खुशी के लिए हमें क्या कमी है? ताकि क्लीन एक्स बाईं ओर है! Fiftry हस्तक्षेप करता है। के साथ शीर्ष विषयों से छुटकारा पाएं समीकरणों का दूसरा समान रूपांतरण। अर्थात् - हम समीकरण के दोनों हिस्सों को विभाजित करते हैं। हमें एक तैयार उत्तर मिलता है:

एक उदाहरण निश्चित रूप से प्राथमिक है। यह एक कसरत के लिए है।) यह बहुत स्पष्ट नहीं है कि मुझे यहां समान रूपांतरण याद है? अच्छा जी। हम सींग के लिए एक बैल लेते हैं।) मैं कुछ और फैसला करूंगा।

उदाहरण के लिए, यह समीकरण है:

क्यों शुरू? गुहाओं के साथ - बाएं, आईसीएस के बिना - सही? ऐसा हो सकता है। एक लंबी सड़क पर थोड़ा कदम। और आप तुरंत, सार्वभौमिक और शक्तिशाली तरीके से कर सकते हैं। यदि, ज़ाहिर है, आपके शस्त्रागार में समीकरणों के समान परिवर्तन हैं।

मैं आपसे एक महत्वपूर्ण सवाल पूछता हूं: आप इस समीकरण में सबसे ज्यादा पसंद नहीं करते?

100 से 95 लोग जवाब देंगे: drobi। ! जवाब सही है। तो चलो उनसे छुटकारा पाएं। इसलिए, हम तुरंत शुरू करते हैं दूसरा समान रूपांतरण। आपको बाईं ओर अंश को गुणा करने की क्या ज़रूरत है, ताकि संप्रदाय पूरी तरह से कम हो जाए? सच है, 3. और सही? 4. लेकिन गणित हमें दोनों भागों को गुणा करने की अनुमति देता है एक जैसी संख्या। कैसे बाहर निकलें? और आप दोनों भागों को 12 के लिए गुणा करेंगे! वे। एक आम denominator पर। फिर ट्रोका गिरावट, और चौथी। यह मत भूलना कि आपको प्रत्येक भाग को गुणा करने की आवश्यकता है पूर्ण। यहां पहला कदम जैसा दिखता है:

ब्रैकेट प्रकट करें:

ध्यान दें! मीटर (x + 2) मैंने कोष्ठक में लिया! ऐसा इसलिए है क्योंकि अंशों को गुणा करते समय, संख्यात्मक पूरी तरह से गुणा करता है! और अब अंश और कटौती हो सकती है:

शेष ब्रैकेट का खुलासा करें:

एक उदाहरण नहीं, लेकिन ठोस खुशी!) अब मुझे युवा वर्गों से जादू याद है: आईकेएस के साथ - बाएं, आईसीए के बिना - सही! और इस रूपांतरण को लागू करें:

हम समान प्रदान करते हैं:

और दोनों भागों को 25 से विभाजित करें, यानी। हम दूसरे परिवर्तन को फिर से लागू करते हैं:

बस इतना ही। उत्तर: एच=0,16

एक नोट लें: मूल फ्रीज समीकरण को एक अच्छे दिमाग में लाने के लिए, हमने दो (केवल दो!) का इस्तेमाल किया समान परिवर्तन - हस्ताक्षर के परिवर्तन के साथ बाएं-दाएं स्थानांतरण करें और प्रति समीकरण के विभाजन को गुणा करें और एक ही संख्या। यह एक बहुमुखी तरीका है! काम तो हम साथ रहेंगे lymi समीकरण! पूरी तरह से कोई। यही कारण है कि मैं हर समय इन समान परिवर्तनों के बारे में हूं।)

जैसा कि हम देखते हैं, रैखिक समीकरणों को हल करने का सिद्धांत सरल है। हम समीकरण लेते हैं और उत्तर प्राप्त करने से पहले समान परिवर्तनों की मदद से इसे सरल बनाते हैं। गणना में मुख्य समस्याएं, और सिद्धांत रूप में एक समाधान में नहीं।

लेकिन ... सबसे प्राथमिक रैखिक समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में ऐसी आश्चर्य हैं, जो एक मजबूत मूर्खतापूर्ण कदम में और सौभाग्य से, केवल दो ऐसी आश्चर्य हो सकती हैं। हम उन्हें विशेष मामलों को बुलाएंगे।

रैखिक समीकरणों को हल करने में विशेष मामले।

पहले आश्चर्य।

मान लीजिए कि आपने प्राथमिक समीकरण को पकड़ा, कुछ, जैसे:

2x + 3 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

हल्के से ऊब गए, बाईं ओर दाईं ओर स्थानांतरित, आईसीए के बिना - दाईं ओर ... हस्ताक्षर के परिवर्तन के साथ, सब कुछ चिन-चिनार है ... हमें मिलता है:

2x-5x + 3x \u003d 5-2-3

हम इसे मानते हैं ... ओथंकी !!! हमें मिला:

अपने आप में, यह समानता आपत्तियों का कारण नहीं बनती है। शून्य वास्तव में शून्य है। लेकिन है! और हमें प्रतिक्रिया में लिखना चाहिए, एक्स क्या है अन्यथा, निर्णय नहीं माना जाता है, हाँ ...) डेडलॉक?

शांतता! ऐसे संदिग्ध मामलों में, सबसे आम नियम बचाता है। समीकरणों को कैसे हल करें? समीकरण को हल करने का क्या अर्थ है? का मतलब है, आईसीए के सभी मूल्यों को ढूंढें, जो मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय, हमें सच्ची समानता देगा।

लेकिन वफादार समानता हमारे पास है पहले से हो गई! 0 \u003d 0, यह सच कहाँ है?! यह पता लगाने के लिए बनी हुई है, किन विचारों को यह पता चला है। क्या गुहाओं को प्रतिस्थापित किया जा सकता है स्रोत समीकरण, यदि ये उद्देश्यों क्या आप अभी भी पूर्ण शून्य में परेशान हैं? आओ?)

हाँ!!! Icuses गठबंधन किया जा सकता है किसी को! आपको क्या चाहिए। कम से कम 5, कम से कम 0.05, हालांकि -220। वे अभी भी कम हो जाएंगे। यदि आप विश्वास नहीं करते हैं - आप जांच सकते हैं।) ICA के किसी भी मान का विज्ञापन करें स्रोत समीकरण और गिनती। हर समय शुद्ध सत्य होगा: 0 \u003d 0, 2 \u003d 2, -7.1 \u003d -7.1 और इसी तरह।

यहां आपके पास जवाब है: एक्स - कोई संख्या।

जवाब विभिन्न गणितीय आइकन के साथ दर्ज किया जा सकता है, सार नहीं बदलता है। यह बिल्कुल सही और पूर्ण प्रतिक्रिया है।

आश्चर्य दूसरा।

एक ही प्राथमिक रैखिक समीकरण लें और इसमें केवल एक संख्या बदलें। यहां हम तय करेंगे:

2x + 1 \u003d 5x + 5 - 3x - 2

एक ही समान परिवर्तनों के बाद, हम कुछ दिलचस्प प्राप्त करेंगे:

इस प्रकार सं। रैखिक समीकरण हल, अजीब समानता प्राप्त की। गणितीय भाषा बोलना हमें मिला गलत समानता। और सरल भाषा में, यह सच नहीं है। Rave। लेकिन कम में, यह बकवास समीकरण के सही समाधान के लिए काफी अच्छा कारण है।)

हम सामान्य नियमों के आधार पर फिर से समझते हैं। मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करते समय क्या डिब्बे, हमें देंगे वफादार समानता? हाँ नही! ऐसी कोई आईसीएस नहीं हैं। न तो क्या साबित होता है, सबकुछ टूट जाएगा, बकवास रहेगा।)

यहां आपके पास जवाब है: कोई समाधान नहीं है।

यह एक पूरी तरह से पूरा जवाब भी है। गणित में, ऐसे उत्तरों अक्सर पाए जाते हैं।

इस प्रकार सं। अब, मुझे उम्मीद है, किसी भी (न केवल रैखिक) समीकरण को हल करने की प्रक्रिया में आईसीएस का गायब होना शर्मनाक नहीं होगा। बात पहले से ही परिचित है।)

अब, जब हमने रैखिक समीकरणों में सभी नुकसानों से निपटाया, तो यह उन्हें निर्धारित करने के लिए समझ में आता है।

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