जिसे समांतर चतुर्भुज कहा जाता है तिरछा। आयताकार समानांतर चतुर्भुज

एक समानांतर चतुर्भुज एक ज्यामितीय आकृति है, जिसके सभी 6 फलक समांतर चतुर्भुज होते हैं।

इन समांतर चतुर्भुजों के प्रकार के आधार पर, निम्न प्रकार के समानांतर चतुर्भुज प्रतिष्ठित हैं:

• सीधा;
• झुका हुआ;
• आयताकार।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म है, जिसके किनारे आधार तल के साथ 90° का कोण बनाते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक चतुर्भुज प्रिज्म होता है, जिसके सभी फलक आयत होते हैं। घन एक प्रकार का चतुष्कोणीय प्रिज्म है जिसमें सभी फलक और किनारे बराबर होते हैं।

आकृति की विशेषताएं इसके गुणों को पूर्व निर्धारित करती हैं। इनमें निम्नलिखित 4 कथन शामिल हैं:

उपरोक्त सभी गुणों को याद रखना आसान है, उन्हें समझना आसान है और ज्यामितीय शरीर के प्रकार और विशेषताओं के आधार पर तार्किक रूप से घटाया जाता है। हालांकि, सामान्य यूएसई कार्यों को हल करते समय सरल कथन अविश्वसनीय रूप से उपयोगी हो सकते हैं और आपको परीक्षा देने के लिए आवश्यक समय बचाएंगे।

समानांतर पिंड सूत्र

कार्य का उत्तर खोजने के लिए, केवल आकृति के गुणों को जानना पर्याप्त नहीं है। ज्यामितीय निकाय का क्षेत्रफल और आयतन ज्ञात करने के लिए आपको कुछ सूत्रों की भी आवश्यकता हो सकती है।

आधारों का क्षेत्रफल उसी तरह पाया जाता है जैसे किसी समांतर चतुर्भुज या आयत के संगत सूचक। आप समांतर चतुर्भुज का आधार स्वयं चुन सकते हैं। एक नियम के रूप में, समस्याओं को हल करते समय, प्रिज्म के साथ काम करना आसान होता है, जिसके आधार पर एक आयत होती है।

परीक्षण कार्यों में समानांतर चतुर्भुज की पार्श्व सतह को खोजने के सूत्र की भी आवश्यकता हो सकती है।

परीक्षा के विशिष्ट कार्यों को हल करने के उदाहरण

अभ्यास 1।

दिया गया: आयताकार समानांतर चतुर्भुज आयाम 3, 4 और 12 सेमी।
ज़रूरीआकृति के मुख्य विकर्णों में से एक की लंबाई ज्ञात कीजिए।
समाधान: ज्यामितीय समस्या का कोई भी समाधान एक सही और स्पष्ट ड्राइंग के निर्माण से शुरू होना चाहिए, जो "दिए गए" और वांछित मूल्य को इंगित करेगा। नीचे दिया गया आंकड़ा कार्य स्थितियों के सही स्वरूपण का एक उदाहरण दिखाता है।

बनाई गई ड्राइंग की जांच करने और ज्यामितीय शरीर के सभी गुणों को याद करने के बाद, हम इसे हल करने के एकमात्र सही तरीके पर आते हैं। समांतर चतुर्भुज के 4 गुणधर्मों को लागू करने पर, हमें निम्नलिखित व्यंजक प्राप्त होता है:

सरल गणनाओं के बाद, हमें व्यंजक b2 = 169 प्राप्त होता है, इसलिए b = 13. कार्य का उत्तर मिल गया है, इसकी खोज और ड्राइंग पर 5 मिनट से अधिक नहीं खर्च करना आवश्यक है।

कार्य 2.

दिया गया: 10 सेमी के किनारे किनारे के साथ एक तिरछा समानांतर चतुर्भुज, 5 और 7 सेमी के आयामों के साथ एक केएलएनएम आयत, जो निर्दिष्ट किनारे के समानांतर आकृति का एक खंड है।
ज़रूरीएक चतुर्भुज प्रिज्म की पार्श्व सतह का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए।
समाधान: सबसे पहले आपको दिए गए को स्केच करना होगा।

इस कार्य को हल करने के लिए, आपको अपनी सरलता का उपयोग करने की आवश्यकता है। चित्र से यह देखा जा सकता है कि KL और AD भुजाएँ असमान हैं, जैसे ML और DC की जोड़ी है। हालाँकि, इन समांतर चतुर्भुजों के परिमाप स्पष्ट रूप से समान हैं।

नतीजतन, आकृति का पार्श्व क्षेत्र किनारे AA1 से गुणा किए गए क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र के बराबर होगा, क्योंकि स्थिति के अनुसार किनारे क्रॉस-सेक्शन के लंबवत है। उत्तर: 240 सेमी2.

इस पाठ में हम एक समानांतर चतुर्भुज की परिभाषा देंगे, इसकी संरचना और इसके तत्वों (समानांतर चतुर्भुज, समानांतर चतुर्भुज पक्ष और उनके गुणों) पर चर्चा करेंगे। और समांतर चतुर्भुज के फलकों और विकर्णों के गुणों पर भी विचार करें। इसके बाद, हम एक समानांतर चतुर्भुज में एक खंड के निर्माण की एक विशिष्ट समस्या को हल करेंगे।

विषय: रेखाओं और विमानों की समानता

पाठ: समांतर चतुर्भुज। बॉक्स फेस और विकर्ण गुण

इस पाठ में हम एक समानांतर चतुर्भुज की परिभाषा देंगे, इसकी संरचना, गुणों और इसके तत्वों (भुजाओं, विकर्णों) पर चर्चा करेंगे।

समानांतर चतुर्भुज दो समान समांतर चतुर्भुज ABCD और A 1 B 1 C 1 D 1 से बनता है, जो समानांतर विमानों में हैं। पदनाम: एबीसीडीए 1 बी 1 सी 1 डी 1 या एडी 1 (चित्र 1.)।

2. शैक्षणिक विचारों का त्योहार "ओपन लेसन" ()

1. ज्यामिति। ग्रेड 10-11: शैक्षिक संस्थानों के छात्रों के लिए एक पाठ्यपुस्तक (बुनियादी और प्रोफ़ाइल स्तर) / आई। एम। स्मिरनोवा, वी। ए। स्मिरनोव। - 5 वां संस्करण, संशोधित और पूरक - एम।: मेनमोज़िना, 2008। - 288 पी।: बीमार।

कार्य 10, 11, 12 पी. 50

2. एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के एक भाग की रचना कीजिए ABCDA1B1C1D1बिंदुओं से गुजरने वाला विमान:

ए) ए, सी, बी1

बी) बी 1, डी 1और पसली के बीच में एए1.

3. घन का किनारा a के बराबर है। एक शीर्ष से फैले हुए तीन किनारों के मध्य बिंदुओं से गुजरने वाले विमान के साथ घन के एक क्रॉस-सेक्शन का निर्माण करें, और इसकी परिधि और क्षेत्र की गणना करें।

4. एक समान्तर चतुर्भुज तल के प्रतिच्छेदन के परिणामस्वरूप कौन-सी आकृतियाँ प्राप्त की जा सकती हैं?

प्रिज्म कहलाता है समानांतर खातयदि इसके आधार समांतर चतुर्भुज हैं। सेमी। चित्र .1.

बॉक्स गुण:

एक समानांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक समानांतर होते हैं (अर्थात, समानांतर विमानों में स्थित होते हैं) और बराबर होते हैं।

समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और इस बिंदु से आधे हो जाते हैं।

समांतर चतुर्भुज के आसन्न फलक- दो चेहरे जिनमें एक आम किनारा है।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत फलक- ऐसे चेहरे जिनमें आम किनारे नहीं होते।

समांतर चतुर्भुज के विपरीत शीर्ष- दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं।

एक समानांतर चतुर्भुज का विकर्ण- एक खंड जो विपरीत शीर्षों को जोड़ता है।

यदि पार्श्व किनारे आधारों के तलों के लंबवत हों, तो समांतर चतुर्भुज को कहा जाता है सीधे.

एक सीधा समानांतर चतुर्भुज, जिसके आधार आयत हैं, कहलाते हैं आयताकार... एक प्रिज्म, जिसके सभी फलक वर्ग होते हैं, कहलाते हैं घनक्षेत्र.

समानांतर खात- एक प्रिज्म जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है।

सीधे समानांतर चतुर्भुज- आधार के तल के लंबवत किनारों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज।

आयताकार समानांतर चतुर्भुजएक सीधा समानांतर चतुर्भुज है, जिसके आधार आयत हैं।

घनक्षेत्र- समान किनारों के साथ आयताकार समानांतर चतुर्भुज।

समानांतर खातप्रिज्म कहलाता है, जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है; इस प्रकार, एक समानांतर चतुर्भुज के छह फलक होते हैं, और वे सभी समांतर चतुर्भुज होते हैं।

विपरीत फलक जोड़ीवार बराबर और समानांतर होते हैं। समानांतर चतुर्भुज में चार विकर्ण होते हैं; वे सभी एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं और उस पर आधे में विभाजित हो जाते हैं। किसी भी पहलू को आधार के रूप में लिया जा सकता है; आयतन ऊंचाई के आधार क्षेत्र के गुणनफल के बराबर है: V = Sh।

एक समांतर चतुर्भुज, जिसके चार भुजा फलक आयताकार होते हैं, सीधे कहलाते हैं।

एक सीधा समानांतर चतुर्भुज, जिसमें सभी छह फलक आयताकार होते हैं, आयताकार कहलाते हैं। सेमी। रेखा चित्र नम्बर 2.

एक सीधे समानांतर चतुर्भुज का आयतन (V) आधार क्षेत्र (S) और ऊँचाई (h) के गुणनफल के बराबर होता है: वी = शू .

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के लिए, इसके अलावा, सूत्र वी = एबीसी, जहां a, b, c किनारे हैं।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज का विकर्ण (d) इसके किनारों से संबंध द्वारा संबंधित है डी 2 = ए 2 + बी 2 + सी 2 .

आयताकार समानांतर चतुर्भुज- एक समानांतर चतुर्भुज जिसमें किनारे के किनारे आधारों के लंबवत होते हैं, और आधार आयत होते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के गुण:

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज में, सभी छह फलक आयत होते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के सभी डायहेड्रल कोने सीधे होते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है (तीन किनारों की लंबाई जिसमें एक सामान्य शीर्ष होता है)।

एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण बराबर होते हैं।

एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज, जिसके सभी फलक वर्ग होते हैं, घन कहलाता है। एक घन के सभी किनारे बराबर होते हैं; घन का आयतन (V) सूत्र द्वारा व्यक्त किया जाता है वी = ए 3, जहां a घन का किनारा है।

या (समान रूप से) छह चेहरों वाला एक बहुफलक और उनमें से प्रत्येक - समानांतर चतुर्भुज.

समानांतर चतुर्भुज के प्रकार

कई प्रकार के समानांतर चतुर्भुज हैं:

• एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है जिसमें सभी चेहरे आयत के रूप में होते हैं।
• एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज है जिसके पार्श्व फलकों पर 4 आयतें हैं।
• एक तिरछा समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज होता है जिसका पार्श्व फलक आधारों के लंबवत नहीं होता है।

आवश्यक तत्व

एक बॉक्स के दो चेहरे जिनमें एक आम किनारा नहीं होता है, उन्हें विपरीत कहा जाता है, और जिनके पास एक आम किनारा होता है उन्हें आसन्न कहा जाता है। एक बॉक्स के दो शीर्ष जो एक ही फलक से संबंधित नहीं हैं, विपरीत कहलाते हैं। सम्मुख शीर्षों को जोड़ने वाले रेखाखंड को समांतर चतुर्भुज का विकर्ण कहते हैं। एक समान शीर्ष वाले आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तीन किनारों की लंबाई को माप कहा जाता है।

गुण

• समानांतर चतुर्भुज अपने विकर्ण के मध्य बिंदु के बारे में सममित है।
• समानांतर चतुर्भुज की सतह से संबंधित और इसके विकर्ण के बीच से गुजरने वाले किसी भी खंड को इसके द्वारा आधा कर दिया जाता है; विशेष रूप से, समांतर चतुर्भुज के सभी विकर्ण एक बिंदु पर मिलते हैं और इससे समद्विभाजित होते हैं।
• बॉक्स के विपरीत फलक समानांतर और बराबर हैं।
• एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण की लंबाई का वर्ग इसके तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।

मूल सूत्र

सीधे समानांतर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्रएस बी = पी ओ * एच, जहां पी ओ आधार की परिधि है, एच ऊंचाई है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी = एस बी + 2 एस ओ, जहां एस ओ आधार का क्षेत्र है

आयतनवी = एस ओ * एच

आयताकार समानांतर चतुर्भुज

पार्श्व सतह क्षेत्रएस बी = 2 सी (ए + बी), जहां ए, बी आधार के किनारे हैं, सी आयताकार समानांतर चतुर्भुज का पार्श्व किनारा है

कुल सतह क्षेत्रफलएस पी = 2 (एबी + बीसी + एसी)

आयतनवी = एबीसी, जहां ए, बी, सी - एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज का माप।

घनक्षेत्र

सतह क्षेत्रफल: $एस\; =\; 6ए\; ^\; 2$
आयतन: $वी\; =\; ए\; ^\; 3$, कहाँ पे $ए$- घन का किनारा।

मनमाना समानांतर चतुर्भुज

एक तिरछी समानांतर चतुर्भुज में आयतन और अनुपात को अक्सर वेक्टर बीजगणित का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। समानांतर चतुर्भुज का आयतन तीन वैक्टर के मिश्रित उत्पाद के निरपेक्ष मान के बराबर होता है, जो एक शीर्ष से निकलने वाले समानांतर चतुर्भुज के तीन पक्षों द्वारा निर्धारित किया जाता है। समानांतर चतुर्भुज के पक्षों की लंबाई और उनके बीच के कोणों के बीच का अनुपात यह दावा करता है कि इन तीन वैक्टरों का ग्राम निर्धारक उनके मिश्रित उत्पाद के वर्ग के बराबर है: 215।

गणितीय विश्लेषण में

एक n-आयामी आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तहत गणितीय विश्लेषण में $बी$बहुत सी बातें समझो $x\; =\; (x\_1,\; \backslash \; ldots,\; x\_n)$प्रकार का $बी\; =\; \backslash \; (x\; |\; a\_1\; \backslash \; leqslant\; x\_1\; \backslash \; leqslant\; b\_1,\; \backslash \; ldots,\; a\_n\; \backslash \; leqslant\; x\_n\; \backslash \; leqslant\; b\_n\; \backslash )$

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नोट्स (संपादित करें)

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बॉक्स की विशेषता बताने वाला एक अंश

एक समानांतर चतुर्भुज एक प्रिज्म है जिसका आधार समांतर चतुर्भुज है। इस मामले में, सभी चेहरे होंगे समानांतर चतुर्भुज.
प्रत्येक समानांतर चतुर्भुज को तीन अलग-अलग तरीकों से एक प्रिज्म के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक दो विपरीत चेहरों को आधार के रूप में लिया जा सकता है (चित्र 5 में ABCD और A "B" C "D", या ABA "B" और CDC "D" हैं। , या बीसीबी "सी" और एडीए "डी")।
विचाराधीन शरीर में बारह किनारे हैं, चार समान और एक दूसरे के समानांतर।
प्रमेय 3 ... समानांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं, जो उनमें से प्रत्येक के मध्य के साथ मेल खाता है।
समानांतर चतुर्भुज ABCDA "B" C "D" (चित्र 5) में चार विकर्ण AC ", BD", CA ", DB" हैं। हमें यह साबित करना होगा कि उनमें से किन्हीं दो के मध्यबिंदु, उदाहरण के लिए AC और BD "संपाती हैं। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि ABC" D ", जिसकी समान और समानांतर भुजाएँ AB और C" D " हैं, एक समांतर चतुर्भुज है।
परिभाषा 7 ... एक सीधा समानांतर चतुर्भुज एक समानांतर चतुर्भुज होता है जो एक सीधा प्रिज्म भी होता है, यानी एक समानांतर चतुर्भुज जिसका पार्श्व किनारा आधार के तल के लंबवत होता है।
परिभाषा 8 ... एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज एक सीधा समानांतर चतुर्भुज है, जिसका आधार एक आयत है। इस स्थिति में, इसके सभी फलक आयत होंगे।
एक आयताकार समांतर चतुर्भुज एक सीधा प्रिज्म होता है, जो भी इसके चेहरे हम आधार के लिए लेते हैं, क्योंकि इसका प्रत्येक किनारा इसके साथ एक शीर्ष से निकलने वाले किनारों के लंबवत होता है, और इसलिए, परिभाषित चेहरों के विमानों के लंबवत होगा इन किनारों से। इसके विपरीत, एक सीधा, लेकिन आयताकार नहीं, समानांतर चतुर्भुज को केवल एक ही तरीके से सीधे प्रिज्म के रूप में देखा जा सकता है।
परिभाषा 9 ... एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज के तीन किनारों की लंबाई, जिनमें से कोई भी दो एक दूसरे के समानांतर नहीं हैं (उदाहरण के लिए, एक शीर्ष से फैले हुए तीन किनारे), इसके आयाम कहलाते हैं। दो | आयताकार समानांतर चतुर्भुज जिनके समान आयाम हैं, स्पष्ट रूप से एक दूसरे के बराबर हैं।
परिभाषा 10 एक घन एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज है, जिसके तीनों आयाम एक दूसरे के बराबर हैं, ताकि इसके सभी फलक वर्गाकार हों। दो घन, जिनके किनारे बराबर हैं, बराबर हैं।
परिभाषा 11 ... एक तिरछी समानांतर चतुर्भुज जिसमें सभी किनारे एक दूसरे के बराबर होते हैं और सभी चेहरों के कोण बराबर या पूरक होते हैं, एक समचतुर्भुज कहलाता है।
समचतुर्भुज के सभी फलक समान समचतुर्भुज होते हैं। (एक rhombohedron के आकार में बहुत महत्व के कुछ क्रिस्टल होते हैं, उदाहरण के लिए आइसलैंडिक स्पर के क्रिस्टल।) एक rhombohedron में, आप एक ऐसा शीर्ष (और यहां तक ​​​​कि दो विपरीत कोने) पा सकते हैं कि इसके आस-पास के सभी कोण एक दूसरे के बराबर हैं। .
प्रमेय 4 ... एक आयताकार समांतर चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के बराबर होते हैं। विकर्ण का वर्ग तीन आयामों के वर्गों के योग के बराबर होता है।
आयताकार समानांतर चतुर्भुज ABCDA "B" C "D" (चित्र 6) में, विकर्ण AC "और BD" बराबर हैं, क्योंकि चतुर्भुज ABC "D" एक आयत है (रेखा AB समतल BCB "C" के लंबवत है। जिसमें बीसी निहित है) ...
इसके अलावा, कर्ण वर्ग प्रमेय के आधार पर AC "2 = BD" 2 = AB2 + AD "2। लेकिन उसी प्रमेय के आधार पर AD" 2 = AA "2 + A" D "2; इसलिए हमारे पास है :
एसी "2 = एबी 2 + एए" 2 + ए "डी" 2 = एबी 2 + एए "2 + एडी 2.