प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदु क्या हैं। दो सीधी रेखाओं का चौराहा

समन्वय विधि द्वारा ज्यामितीय कार्य को हल करने के लिए, चौराहे बिंदु आवश्यक है, जिनमें से निर्देशांक समाधान में उपयोग किए जाते हैं। ऐसी स्थिति है जहां विमान पर दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक या अंतरिक्ष में एक ही प्रत्यक्ष के निर्देशांक निर्धारित करते हैं। यह आलेख उन बिंदुओं के निर्देशांक खोजने के मामलों को मानता है जहां निर्दिष्ट प्रत्यक्ष अंतर होता है।

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दो प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदुओं को परिभाषित करना आवश्यक है।

विमान पर रिलेट लाइन के विभाजन से पता चलता है कि वे एक आम बिंदु या पार करने में समानांतर, समानांतर हो सकते हैं। अंतरिक्ष में स्थित दो सीधी रेखाएं, अगर उनके पास एक आम बिंदु है तो प्रतिच्छेदन कहा जाता है।

इस तरह की सीधी आवाजों की चौराहे बिंदु की परिभाषा:

परिभाषा 1।

जिस बिंदु में दो सीधी रेखाओं को छेड़छाड़ को उनके चौराहे बिंदु कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, सीधे प्रतिच्छेद करने का बिंदु और एक चौराहे बिंदु है।

नीचे दिए गए आंकड़े पर विचार करें।

दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक को खोजने से पहले, नीचे दिए गए उदाहरण पर विचार करना आवश्यक है।

यदि एक्स वाई पर एक समन्वय प्रणाली है, तो दो सीधी रेखा ए और बी सेट हैं। डायरेक्ट ए फॉर्म के सामान्य समीकरण के अनुरूप 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0, प्रत्यक्ष बी के लिए, एक 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 के लिए। फिर एम 0 (एक्स 0, वाई 0) विमान का एक निश्चित बिंदु है। यह पहचानना आवश्यक है कि बिंदु एम 0 इन प्रत्यक्ष के चौराहे का बिंदु है या नहीं।

कार्य को हल करने के लिए, आपको परिभाषा का पालन करने की आवश्यकता है। फिर डायरेक्ट को बिंदु पर छेड़छाड़ करनी चाहिए, जिनके निर्देशांक निर्दिष्ट समीकरणों का समाधान 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 और 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 का समाधान है। इसलिए, चौराहे बिंदु के निर्देशांक सभी दिए गए समीकरणों में प्रतिस्थापित किए जाते हैं। यदि वे प्रतिस्थापन के दौरान एक वफादार पहचान देते हैं, तो एम 0 (x 0, y 0) को उनके चौराहे बिंदु माना जाता है।

उदाहरण 1।

दो अंतरंग सीधी रेखाएं 5 x - 2 y - 16 \u003d 0 और 2 x - 5 y - 1 9 \u003d 0। निर्देशांक के साथ बिंदु एम 0 होगा (2, - 3) चौराहे बिंदु हो।

फेसला

सीधे रेखाओं के चौराहे के लिए मान्य होने के लिए, यह आवश्यक है कि बिंदु एम 0 के निर्देशांक सीधे प्रत्यक्ष समीकरणों को संतुष्ट करते हैं। इसे प्रतिस्थापन द्वारा चेक किया गया है। हमें वह मिलता है

5 · 2 - 2 · (- 3) - 16 \u003d 0 ⇔ 0 \u003d 0 2 · 2 - 5 · (- 3) - 1 9 \u003d 0 ⇔ 0 \u003d 0

दोनों समानता वफादार हैं, जिसका अर्थ है एम 0 (2, - 3) निर्दिष्ट प्रत्यक्ष का चौराहे बिंदु है।

मैं नीचे दिए गए समन्वय प्रत्यक्ष पैटर्न पर यह समाधान दिखाऊंगा।

उत्तर:निर्देशांक (2, - 3) के साथ निर्दिष्ट बिंदु निर्दिष्ट प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदु होगा।

उदाहरण 2।

चाहे सीधी रेखा 5 x + 3 y प्रतिच्छेद है - 1 \u003d 0 और 7 x - 2 y + 11 \u003d 0 बिंदु एम 0 (2, - 3) पर?

फेसला

समस्या को हल करने के लिए, सभी समीकरणों में बिंदु के निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। हमें वह मिलता है

5 · 2 + 3 · (- 3) - 1 \u003d 0 ⇔ 0 \u003d 0 7 · 2 - 2 · (- 3) + 11 \u003d 0 ⇔ 31 \u003d 0

दूसरी समानता सही नहीं है, इसका मतलब है कि निर्दिष्ट बिंदु प्रत्यक्ष 7 x - 2 y + 11 \u003d 0 से संबंधित नहीं है। यहां से हमारे पास बिंदु एम 0 प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु नहीं है।

चित्र स्पष्ट रूप से दिखाता है कि एम 0 प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु नहीं है। उनके पास निर्देशांक (- 1, 2) के साथ एक आम बिंदु है।

उत्तर:निर्देशांक (2, - 3) के साथ बिंदु निर्दिष्ट प्रत्यक्ष का चौराहा बिंदु नहीं है।

विमान पर निर्दिष्ट समीकरणों का उपयोग करके दो निर्देशों के चौराहे के निर्देशांक को खोजने के लिए जाएं।

दो intersecting स्ट्रेट लाइन ए और बी समीकरणों के एक 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 और एक 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0, ओह वाई में स्थित है। जब एम 0 के चौराहे बिंदु को नोट किया जाता है कि निर्देशांक की खोज समीकरणों का उपयोग करके 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 और 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 का उपयोग करके जारी रखा जाना चाहिए।

यह परिभाषा से स्पष्ट है कि एम 0 प्रत्यक्ष चौराहे का एक आम बिंदु है। इस मामले में, इसके निर्देशांक समीकरणों को 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 और 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 को संतुष्ट करना चाहिए। दूसरे शब्दों में, यह प्राप्त प्रणाली का समाधान 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 2 x + b 2 y + c 2 \u003d 0 का समाधान है।

तो, चौराहे बिंदु के निर्देशांक को खोजने के लिए, सभी समीकरणों को सिस्टम में जोड़ने और इसे हल करने की आवश्यकता होती है।

उदाहरण 3।

दो सीधी रेखाएं x - 9 y + 14 \u003d 0 और 5 x - 2 y - 16 \u003d 0 विमान पर दिए गए हैं। अपने चौराहे को ढूंढना आवश्यक है।

फेसला

समीकरण स्थिति पर डेटा सिस्टम में इकट्ठा किया जाना चाहिए, जिसके बाद हम x - 9 y + 14 \u003d 0 5 x - 2 y - 16 \u003d 0 प्राप्त करते हैं। इसे हल करने के लिए, पहले समीकरण एक्स के सापेक्ष हल किया गया है, अभिव्यक्ति प्रतिस्थापित की जाती है:

एक्स - 9 वाई + 14 \u003d 0 5 एक्स - 2 वाई - 16 \u003d 0 ⇔ x \u003d 9 y - 14 5 x - 2 y - 16 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 9 y - 14 5 · 9 y - 14 - 2 y - 16 \u003d 0 ⇔ x \u003d 9 y - 14 43 y - 86 \u003d 0 ⇔ ⇔ x \u003d 9 y - 14 y \u003d 2 ⇔ x \u003d 9 · 2 - 14 y \u003d 2 ⇔ x \u003d 4 y \u003d 2

परिणामी संख्या निर्देशांक हैं जिन्हें ढूंढना आवश्यक था।

उत्तर: एम 0 (4, 2) डायरेक्ट एक्स - 9 वाई + 14 \u003d 0 और 5 एक्स - 2 वाई - 16 \u003d 0 के चौराहे का बिंदु है।

खोज निर्देशांक सिस्टम समाधान में कम हो गया है रेखीय समीकरण। यदि, स्थिति के अनुसार, एक और प्रकार का समीकरण दिया जाता है, तो इसे सामान्य में रखा जाना चाहिए।

उदाहरण 4।

सीधी रेखाओं के चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक का निर्धारण करें x - 5 \u003d y - 4 - 3 और x \u003d 4 + 9 · λ y \u003d 2 + λ, λ ∈ आर।

फेसला

शुरू करने के लिए, समीकरणों को सामान्य दिमाग में लाने के लिए आवश्यक है। फिर हम उस x \u003d 4 + 9 · λ y \u003d 2 + λ, λ ∈ r को इस तरह से परिवर्तित कर दिया गया है:

x \u003d 4 + 9 · λ y \u003d 2 + λ λ \u003d x - 4 9 λ \u003d y - 2 1 ⇔ x - 4 9 \u003d y - 2 1 ⇔ ⇔ 1 · (x - 4) \u003d 9 · (y - 2 ) ⇔ x - 9 y + 14 \u003d 0

उसके बाद, हम कैननिकल प्रजातियों के समीकरण के लिए एक्स - 5 \u003d वाई - 4 - 3 और हम परिवर्तित कर रहे हैं। हमें वह मिलता है

x - 5 \u003d y - 4 - 3 ⇔ - 3 · x \u003d - 5 · y - 4 ⇔ 3 x - 5 y + 20 \u003d 0

यहां से हमारे पास निर्देशांक चौराहे बिंदु हैं

x - 9 y + 14 \u003d 0 3 x - 5 y + 20 \u003d 0 ⇔ x - 9 y \u003d - 14 3 x - 5 y \u003d - 20

निर्देशांक खोजने के लिए क्रैमर विधि लागू करें:

Δ \u003d 1 - 9 3 - 5 \u003d 1 · (- 5) - (- 9) · 3 \u003d 22 δ x \u003d - 14 - 9 - 20 - 5 \u003d - 14 · (- 5) - (- 9) · ( - 20) \u003d - 110 ⇒ x \u003d δ x δ \u003d - 110 22 \u003d - 5 δ y \u003d 1 - 14 3 - 20 \u003d 1 · (- 20) - (- 14) · 3 \u003d 22 ⇒ y \u003d δ y δ \u003d 22 22 \u003d 1

उत्तर: एम 0 (- 5, 1)।

विमान पर प्रत्यक्ष लोगों के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक को खोजने का एक तरीका अभी भी है। यह लागू होता है जब रेखाओं में से एक पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दिया जाता है, जिसमें फॉर्म x \u003d x 1 + a x λ y \u003d y 1 + a y · λ, λ ∈ r) होता है। फिर, x, x \u003d x 1 + ax · λ और y \u003d y 1 + · λ के मान के बजाय, जहां हम λ \u003d λ 0 प्राप्त करते हैं, चौराहे के बिंदु के अनुरूप एक्स 1 + कुल्हाड़ी 0, y 1 + ay · λ 0।

उदाहरण 5।

चौराहे के बिंदु के निर्देशांक का प्रत्यक्ष x \u003d 4 + 9 · λ y \u003d 2 + λ, λ ∈ आर और एक्स - 5 \u003d वाई - 4 - 3।

फेसला

एक्स -5 \u003d वाई -4 - 3 अभिव्यक्ति x \u003d 4 + 9 · λ, y \u003d 2 + λ में प्रतिस्थापन करना आवश्यक है, फिर हम प्राप्त करते हैं:

4 + 9 · λ - 5 \u003d 2 + λ - 4 - 3

हल करते समय, हम उस λ \u003d - 1 प्राप्त करते हैं। यह इस प्रकार है कि सीधे x \u003d 4 + 9 · λ y \u003d 2 + λ, λ ∈ आर और एक्स - 5 \u003d वाई - 4 - 3 के बीच चौराहे का एक बिंदु है। निर्देशांक की गणना करने के लिए, पैरामीट्रिक समीकरण में अभिव्यक्ति λ \u003d - 1 को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है। फिर हमें वह x \u003d 4 + 9 · (- 1) y \u003d 2 + (- 1) ⇔ x \u003d - 5 y \u003d 1 मिलता है।

उत्तर: एम 0 (- 5, 1)।

विषय की पूरी समझ के लिए, आपको कुछ बारीकियों को जानने की जरूरत है।

पहले, प्रत्यक्ष स्थान को समझना आवश्यक है। जब वे छेड़छाड़ करते हैं, तो हम निर्देशांक पाएंगे, अन्य मामलों में मौजूद होने का कोई निर्णय नहीं होगा। इस जांच को नहीं बनाने के लिए, फॉर्म की प्रणाली को 1 x + b 1 y + c 1 \u003d 0 एक 2 x + b 2 + c 2 \u003d 0 बनाना संभव है यदि समाधान की उपस्थिति, हम निष्कर्ष निकालते हैं प्रत्यक्ष छेड़छाड़। यदि समाधान अनुपस्थित है, तो वे समानांतर हैं। जब सिस्टम में समाधान का अंतहीन सेट होता है, तो वे कहते हैं कि वे मेल खाते हैं।

उदाहरण 6।

दाना स्ट्रेट एक्स 3 + वाई - 4 \u003d 1 और वाई \u003d 4 3 एक्स - 4। निर्धारित करें कि उनके पास एक आम बिंदु है या नहीं।

फेसला

दिए गए समीकरणों को सरल बनाना, हम 1 3 x - 1 4 y - 1 \u003d 0 और 4 3 x - y - 4 \u003d 0 प्राप्त करते हैं।

बाद के समाधान के लिए सिस्टम में समीकरण एकत्र करना आवश्यक है:

1 3 x - 1 4 y - 1 \u003d 0 1 3 x - y - 4 \u003d 0 ⇔ 1 3 x - 1 4 y \u003d 1 4 3 x - y \u003d 4

यह देखा जा सकता है कि समीकरण एक-दूसरे में व्यक्त किए जाते हैं, फिर हमें समाधान का एक अनंत सेट मिलेगा। फिर समीकरण x 3 + y - 4 \u003d 1 और y \u003d 4 3 x - 4 एक ही सीधे द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इसलिए, कोई चौराहे अंक नहीं हैं।

उत्तर:निर्दिष्ट समीकरण एक ही प्रत्यक्ष निर्धारित करते हैं।

उदाहरण 7।

इंटरसेक्टिंग लाइनों 2 x + (2 - 3) y + 7 \u003d 0 और 2 3 + 2 x - 7 y - 1 \u003d 0 के बिंदुओं के निर्देशांक का पता लगाएं।

फेसला

हालत से, यह संभव है, प्रत्यक्ष अंतर नहीं करेगा। समीकरणों की एक प्रणाली बनाना और निर्णय लेना आवश्यक है। हल करने के लिए, गॉस विधि का उपयोग करना आवश्यक है, क्योंकि संगतता के लिए समीकरण की जांच करना संभव है। हमें एक प्रकार की प्रणाली मिलती है:

2 x + (2 - 3) y + 7 \u003d 0 2 (3 + 2) x - 7 y - 1 \u003d 0 ⇔ 2 x + (2 - 3) y \u003d - 7 2 (3 + 2) x - 7 y \u003d 1 ⇔ ⇔ 2 x + 2 - 3 y \u003d - 7 2 (3 + 2) x - 7 y + (2 x + (2 - 3) y) · (- (3 + 2)) \u003d 1 + - 7 · (- (3 + 2)) ⇔ ⇔ 2 x + (2 - 3) y \u003d - 7 0 \u003d 22 - 7 2

गलत समानता प्राप्त की, फिर सिस्टम में समाधान नहीं है। हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखा समानांतर हैं। चौराहे के कोई अंक नहीं हैं।

हल करने का दूसरा तरीका।

सबसे पहले आपको प्रत्यक्ष के चौराहे की उपस्थिति निर्धारित करने की आवश्यकता है।

एन 1 → \u003d (2, 2 - 3) एक सामान्य वेक्टर डायरेक्ट 2 एक्स + (2 - 3) वाई + 7 \u003d 0 है, फिर वेक्टर एन 2 → \u003d (2 (3 + 2), - 7 - सामान्य वेक्टर के लिए सीधे 2 3 + 2 एक्स - 7 वाई - 1 \u003d 0।

वैक्टर एन 1 → \u003d (2, 2 - 3) और एन 2 → \u003d (2 (3 + 2), - 7) की कॉललाइनरिटी की जांच करना आवश्यक है। हम फॉर्म 2 2 (3 + 2) \u003d 2 - 3 - 7 की समानता प्राप्त करते हैं। यह सही है, क्योंकि 2 2 3 + 2 - 2 - 3 - 7 \u003d 7 + 2 - 3 (3 + 2) 7 (3 + 2) \u003d 7 - 7 7 (3 + 2) \u003d 0। यहां से यह इस प्रकार है कि वैक्टर कॉललाइनर हैं। तो, सीधी रेखाएं समानांतर हैं और कोई चौराहे अंक नहीं है।

उत्तर:चौराहे के कोई अंक नहीं हैं, सीधे समानांतर।

उदाहरण 8।

निर्दिष्ट प्रत्यक्ष 2 x - 1 \u003d 0 और y \u003d 5 4 x - 2 के चौराहे के निर्देशांक का पता लगाएं।

फेसला

हल करने के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली बनाओ। प्राप्त करें

2 x - 1 \u003d 0 5 4 x - y - 2 \u003d 0 ⇔ 2 x \u003d 1 5 4 x - y \u003d 2

हमें मुख्य मैट्रिक्स का निर्धारक लगता है। इसके लिए, 2 0 5 4 - 1 \u003d 2 · (- 1) - 0 · 5 4 \u003d - 2। चूंकि यह शून्य के बराबर नहीं है, इसलिए सिस्टम में 1 समाधान है। इसलिए यह इस प्रकार है कि प्रत्यक्ष छेड़छाड़। हम चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक को खोजने का निर्णय लेते हैं:

2 x \u003d 1 5 4 x - y \u003d 2 ⇔ x \u003d 1 2 4 5 x - y \u003d 2 ⇔ x \u003d 1 2 5 4 · 1 2 - y \u003d 2 ⇔ x \u003d 1 2 y \u003d - 11 8

यह प्राप्त किया गया था कि निर्दिष्ट प्रत्यक्ष के चौराहे बिंदु में समन्वय एम 0 (1 2, - 11 8) हैं।

उत्तर: एम 0 (1 2, - 11 8) .

अंतरिक्ष में दो प्रत्यक्ष के चौराहे के निर्देशांक का पता लगाएं

उसी तरह प्रत्यक्ष स्थानों के चौराहे के अंक हैं।

जब प्रत्यक्ष ए और बी निर्दिष्ट होते हैं विमान का समन्वय ओ एक्स इंटरसेक्टिंग विमानों के जेड समीकरणों में, फिर प्रत्यक्ष ए होता है, जिसे किसी दिए गए सिस्टम का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है 1 x + b 1 y + c 1 z + d 1 \u003d 0 a 2 x + b 2 y + c 2 z + डी 1 \u003d 0 और सीधे बी - ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 \u003d 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 \u003d 0।

जब बिंदु एम 0 प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु है, तो इसके निर्देशांक दोनों समीकरणों के समाधान होना चाहिए। हम सिस्टम में रैखिक समीकरण प्राप्त करते हैं:

ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 \u003d 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 \u003d 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 \u003d 0

उदाहरणों पर ऐसे कार्यों पर विचार करें।

उदाहरण 9।

निर्दिष्ट डायरेक्ट एक्स के चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक को ढूंढें - 1 \u003d 0 वाई + 2 जेड + 3 \u003d 0 और 3 एक्स + 2 वाई + 3 \u003d 0 4 एक्स - 2 जेड - 4 \u003d 0

फेसला

हम एक सिस्टम एक्स - 1 \u003d 0 वाई + 2 जेड + 3 \u003d 0 3 एक्स + 2 वाई + 3 \u003d 0 4 एक्स - 2 जेड - 4 \u003d 0 और इसे हल करें। निर्देशांक खोजने के लिए, आपको मैट्रिक्स के माध्यम से हल करने की आवश्यकता है। फिर हम फॉर्म का मुख्य मैट्रिक्स प्राप्त करते हैं A \u003d 1 0 0 0 1 2 3 2 0 4 0 - 2 और विस्तारित टी \u003d 1 0 0 1 0 1 2 - 3 4 0 - 2 4। हम गॉस में मैट्रिक्स का रैंक निर्धारित करते हैं।

हमें वह मिलता है

1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 1 = 1 ≠ 0 , 1 0 0 0 1 2 3 2 0 = - 4 ≠ 0 , 1 0 0 1 0 1 2 - 3 3 2 0 - 3 4 0 - 2 4 = 0

यहां से यह इस प्रकार है कि एक विस्तारित मैट्रिक्स का रैंक 3 है। फिर समीकरणों की प्रणाली x - 1 \u003d 0 y + 2 z + 3 \u003d 0 3 x + 2 y + 3 \u003d 0 4 x - 27 - 4 \u003d 0 परिणामस्वरूप, केवल एक समाधान देता है।

मूल नाबालिग में एक निर्धारक 1 0 0 0 1 2 3 2 0 \u003d - 4 ≠ 0 है, फिर बाद के समीकरण फिट नहीं होता है। हम उस x - 1 \u003d 0 y + 2 z + 3 \u003d 0 3 x + 2 y + 3 \u003d 0 4 x - 2 z - 4 \u003d 0 ⇔ x \u003d 1 y + 2 z \u003d - 3 3 x + 2 y - 3। समाधान x \u003d 1 y + 2 z \u003d - 3 3 x + 2 y \u003d - 3 ⇔ x \u003d 1 y + 2 z \u003d - 3 3 · 1 + 2 y \u003d - 3 ⇔ x \u003d 1 y + 2 z \u003d - 3 y \u003d - 3 ⇔ ⇔ x \u003d 1 - 3 + 2 z \u003d - 3 y \u003d - 3 ⇔ x \u003d 1 z \u003d 0 y \u003d - 3।

तो, हमारे पास चौराहे का बिंदु है - 1 \u003d 0 वाई + 2 जेड + 3 \u003d 0 और 3 एक्स + 2 वाई + 3 \u003d 0 4 एक्स - 2 जेड - 4 \u003d 0 समन्वय (1, - 3, 0 है )।

उत्तर: (1 , - 3 , 0) .

फॉर्म की प्रणाली ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 \u003d 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 \u003d 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 \u003d 0 में केवल एक समाधान है। तो, सीधे ए और बी छेड़छाड़।

अन्य मामलों में, समीकरण में कोई समाधान नहीं है, यानी, और सामान्य अंक भी हैं। यही है, निर्देशांक के साथ एक बिंदु खोजना असंभव है, क्योंकि यह नहीं है।

इसलिए, फॉर्म की प्रणाली ए 1 एक्स + बी 1 वाई + सी 1 जेड + डी 1 \u003d 0 ए 2 एक्स + बी 2 वाई + सी 2 जेड + डी 2 \u003d 0 ए 3 एक्स + बी 3 वाई + सी 3 जेड + डी 3 \u003d 0 ए 4 एक्स + बी 4 वाई + सी 4 जेड + डी 4 \u003d 0 गॉस विधि द्वारा हल किया गया है। इसकी असंगतता के साथ, प्रत्यक्ष अंतर नहीं कर रहे हैं। यदि समाधान अनंत सेट हैं, तो वे मेल खाता है।

मैट्रिक्स के मुख्य और विस्तारित ग्रेड की गणना का उपयोग करके समाधान बनाना संभव है, जिसके बाद इसे केपर-कैपेलि के प्रमेय पर लागू किया जाता है। हमें समाधान की एक, सेट या पूर्ण अनुपस्थिति मिलती है।

उदाहरण 10।

डायरेक्ट एक्स + 2 वाई के समीकरण दिए गए हैं - 3 जेड - 4 \u003d 0 2 एक्स - वाई + 5 \u003d 0 और एक्स - 3 जेड \u003d 0 3 एक्स - 2 वाई + 2 जेड - 1 \u003d 0। चौराहा बिंदु खोजें।

फेसला

शुरू करने के लिए, समीकरणों की एक प्रणाली बनाते हैं। हम उस x + 2 y - 3 z - 4 \u003d 0 2 x - y + 5 \u003d 0 x - 3 z \u003d 0 3 x - 2 y + 2 z - 1 \u003d 0। हम इसे गॉस द्वारा हल करते हैं:

1 2 - 3 4 2 - 1 0 - 5 1 0 - 3 0 3 - 2 2 1 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 - 2 0 - 4 0 - 8 11 - 11 ~ ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 7 5 - 159 5 ~ 1 2 - 3 4 0 - 5 6 - 13 0 0 - 12 5 6 5 0 0 0 311 10

यह स्पष्ट है कि सिस्टम में समाधान नहीं है, फिर सीधी रेखाएं छेड़छाड़ नहीं करती हैं। चौराहे के कोई अंक नहीं हैं।

उत्तर: कोई चौराहा बिंदु नहीं।

यदि प्रत्यक्ष या पैरामीट्रिक समीकरणों की सहायता से प्रत्यक्ष दिया जाता है, तो प्रतिच्छेदन विमानों के समीकरणों के प्रकार का नेतृत्व करना आवश्यक है, जिसके बाद निर्देशांक मिलते हैं।

उदाहरण 11।

दो सीधी रेखाएं x \u003d - 3 - λ y \u003d - 3 · λ z \u003d - 2 + 3 · λ, λ ∈ r और x 2 \u003d y - 3 0 \u003d z 5 v o x z में। चौराहा बिंदु खोजें।

फेसला

हम दो छेड़छाड़ विमानों के प्रत्यक्ष समीकरण निर्दिष्ट करते हैं। हमें वह मिलता है

x \u003d - 3 - λ y \u003d - 3 · λ z \u003d - 2 + 3 · λ ⇔ λ \u003d x + 3 - 1 λ \u003d y - 3 λ \u003d z + 2 3 ⇔ x + 3 - 1 \u003d y - 3 \u003d जेड + 2 3 ⇔ ⇔ x + 3 - 1 \u003d y - 3 x + 3 - 1 \u003d z + 2 3 ⇔ 3 x - y + 9 \u003d 0 3 x + z + 11 \u003d 0 x 2 \u003d y - 3 0 \u003d z 5 ⇔ y - 3 \u003d 0 x 2 \u003d z 5 ⇔ y - 3 \u003d 0 5 x - 2 z \u003d 0

हमें 3 एक्स - वाई + 9 \u003d 0 3 एक्स + जेड + 11 \u003d 0 वाई - 3 \u003d 0 5 एक्स - 2 जेड \u003d 0 के निर्देशांक मिलते हैं, इसके लिए हम मैट्रिक्स के रैंक की गिनती करते हैं। मैट्रिक्स का रैग 3 है, और बेस माइनर 3 - 1 0 3 0 1 0 1 0 \u003d - 3 ≠ 0, इसका मतलब है कि अंतिम समीकरण प्रणाली से समाप्त होनी चाहिए। हमें वह मिलता है

3 x - y + 9 \u003d 0 3 x + z + 11 \u003d 0 y - 3 \u003d 0 5 x - 2 z \u003d 0 ⇔ 3 x - y + 9 \u003d 0 3 x + z + 11 \u003d 0 y - 3 \u003d 0

मैं क्रैमर विधि द्वारा सिस्टम का फैसला करता हूं। हम उस x \u003d - 2 y \u003d 3 z \u003d - 5 प्राप्त करते हैं। यहां से हम प्राप्त करते हैं कि निर्दिष्ट प्रत्यक्ष के चौराहे को निर्देशांक (- 2, 3, - 5) के साथ एक बिंदु देता है।

उत्तर: (- 2 , 3 , - 5) .

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यदि डायरेक्ट इंटरेक्ट बिंदु पर, इसके निर्देशांक एक समाधान हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

प्रत्यक्ष के चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें? सिस्टम को हल करें।

मैं यहां हूं दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ - ये विमान पर सीधे दो प्रतिच्छेदन (अक्सर) हैं।

कार्य कई चरणों में तोड़ने के लिए सुविधाजनक है। इस स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) एक सीधे समीकरण करें।
2) एक दूसरा प्रत्यक्ष समीकरण बनाओ।
3) सीधे लाइनों के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं।
4) यदि प्रत्यक्ष छेड़छाड़ हो, तो चौराहे बिंदु खोजें।

उदाहरण 13।

प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु खोजें

फेसला: चौराहे का बिंदु एक विश्लेषणात्मक विधि की तलाश करने की सलाह दी जाती है। सिस्टम को हल करना:

उत्तर:

P.6.4। बिंदु से सीधे दूरी तक

हमारे पास नदी की सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत पर आगे बढ़ेगा। यही है, बिंदु से रेखा तक की दूरी लंबवत खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी पारंपरिक रूप से दर्शायी हुई है ग्रीक अक्षर उदाहरण के लिए "आरओ", उदाहरण के लिए: बिंदु "ईएम" से एक सीधी रेखा "डी" तक दूरी।

बिंदु से दूरी निर्देशित करना सूत्र व्यक्त किया गया है

उदाहरण 14।

बिंदु से सीधे दूरी का पता लगाएं

फेसला: आपको बस जरूरत है - धीरे-धीरे सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित करें और गणना करें:

उत्तर:

P.6.5। सीधे के बीच कोण।

उदाहरण 15।

सीधे के बीच कोण का पता लगाएं।

1. जांचें कि प्रत्यक्ष लंबवत हैं या नहीं:

हम सीधे प्रत्यक्ष वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करते हैं:
तो सीधे लंबवत नहीं है।
2. प्रत्यक्ष के बीच कोण सूत्र की मदद से मिलेगा:

इस तरह:

उत्तर:

दूसरा आदेश घटता। वृत्त

विमान को आयताकार समन्वय प्रणाली 0hu सेट करने दें।

दूसरा क्रम वक्र एक रेखा को बिंदु एम (एक्स, वाई, जेड) के मौजूदा निर्देशांक के सापेक्ष दूसरी डिग्री के समीकरण द्वारा निर्धारित विमान कहा जाता है। सामान्य रूप से, यह समीकरण है:

जहां गुणांक ए, बी, सी, डी, ई, एल कोई वास्तविक संख्या है, और कम से कम संख्या में से एक, बी, शून्य से भिन्न के साथ।

1. विमान पर अंकों का एक सेट कहा जाता है, जिसमें से एक निश्चित बिंदु एम 0 (x 0, y 0) लगातार आर बिंदु एम 0 के बराबर होता है, को सर्कल का केंद्र कहा जाता है, और संख्या आर है RADIUS

- बिंदु m 0 (x 0, y 0) और आर में केंद्र के साथ सर्कल समीकरण।

यदि सर्कल का केंद्र निर्देशांक की शुरुआत के साथ मेल खाता है, तो हमारे पास है:

- कैनोलिक परिधि समीकरण।

दीर्घवृत्त।

अंडाकार विमान पर कई अंक हैं, जिनमें से प्रत्येक के लिए दो डेटा बिंदुओं की दूरी की मात्रा स्थिर (और यह मान) का मूल्य है अधिक दूरी इन बिंदुओं के बीच)। डेटा अंक कहा जाता है फोकस इलिप्स.

- कैननिकल दीर्घवृत्त समीकरण।

अनुपात कहा जाता है सनक दीर्घवृत्त और दर्शाता है :,। तब से< 1.

नतीजतन, कमी के साथ, दृष्टिकोण 1, यानी के लिए प्रयास करता है। बी एक से बहुत अलग नहीं है और एक दीर्घवृत्त का रूप सर्कल के आकार के करीब हो जाता है। सीमा के मामले में , यह एक सर्कल निकलता है, जिसका समीकरण है

एक्स 2 + वाई 2 \u003d ए 2।

अतिशयोक्ति

हाइपरोलोइक विमान पर कई बिंदुओं को बुलाया गया, जिनमें से प्रत्येक के लिए दूरी अंतर का पूर्ण मूल्य दो डेटा बिंदुओं तक है, जिसे कहा जाता है फोकस, एक स्थायी मूल्य है (बशर्ते यह मान फोकस के बीच की दूरी से कम है और 0 के बराबर नहीं है)।

एफ 1, एफ 2 पर ध्यान केंद्रित करने दें, उनके बीच की दूरी 2 सी, पैराबोला पैरामीटर द्वारा निरूपित की गई है)।

- कैनोनिकल पैराबोला समीकरण।

ध्यान दें कि नकारात्मक पी के समान समीकरण पैराबोला भी सेट करता है, जो 0u अक्ष के बाईं ओर स्थित होगा। समीकरण एक पैराबोला का वर्णन करता है, एक्सिस 0 यू के संबंध में सममित, पी\u003e 0 के साथ धुरी 0x के अंतर्निहित, पी\u003e 0 एक्स के धुरी के धुरी के बाद< 0.

ओह-ओह-ओह-ओह ... अच्छी तरह से, टिन, जैसे कि आप इसे स्वयं पढ़ते हैं \u003d) हालांकि, तो विश्राम मदद करेगा, खासकर जब से मैंने उपयुक्त सामान खरीदे। इसलिए, मैं पहले खंड में आगे बढ़ूंगा, मुझे उम्मीद है कि लेख के अंत तक मैं आत्मा की जोरदार व्यवस्था को संरक्षित करता हूं।

दो सीधी रेखाओं का पारस्परिक स्थान

मामला जब हॉल गाना बजाता है। दो सीधी रेखाएँ कर सकते हैं:

1) संयोग;

2) समानांतर रहें :;

3) या एक बिंदु में छेड़छाड़ :.

चायदानी के लिए मदद : कृपया चौराहे के गणितीय संकेत को याद रखें, यह अक्सर मिल जाएगा। प्रविष्टि बताती है कि प्रत्यक्ष बिंदु पर सीधे एक सीधे बिंदु के साथ छेड़छाड़ करता है।

दो सीधी रेखाओं के पारस्परिक स्थान को कैसे निर्धारित करें?

आइए पहली बार शुरू करें:

दो सीधी रेखा, तब और केवल अगर उनके संबंधित गुणांक आनुपातिक होते हैं, यानी, ऐसी संख्या "लैम्ब्डा" है, जो समानता का प्रदर्शन किया जाता है

प्रत्यक्ष पर विचार करें और संबंधित गुणांक से तीन समीकरण बनाएं :. यह प्रत्येक समीकरण से होता है, इसलिए, प्रत्यक्ष डेटा संयोग होता है।

दरअसल, यदि समीकरण के सभी गुणांक -1 को गुणा करें (अंक बदलें), और सभी समीकरण गुणांक 2 कम करें, फिर एक ही समीकरण प्राप्त किया जाएगा :.

दूसरा मामला तब होता है जब सीधे समानांतर:

तब दो सीधे समानांतर और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के समान होते हैं: , लेकिन अ.

उदाहरण के तौर पर, दो सीधे विचार करें। चर के साथ संबंधित गुणांक की आनुपातिकता की जांच करें:

हालांकि, यह काफी स्पष्ट है कि।

और तीसरा मामला, जब सीधी रेखा छेड़छाड़ करती है:

दो सीधी रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं, तब और केवल तभी जब उनके गुणांक चर के प्रति आनुपातिक नहीं होते हैं, यानी, "लैम्ब्डा" का ऐसा कोई अर्थ समान नहीं किया जा सकता है

तो, सीधे एक सिस्टम बनाने के लिए:

पहले समीकरण से यह निम्नानुसार है, और दूसरे समीकरण से: इसका मतलब है सिस्टम अधूरा है (कोई समाधान नहीं)। इस प्रकार, चर के साथ गुणांक आनुपातिक नहीं हैं।

निष्कर्ष: सीधे छेड़छाड़

व्यावहारिक कार्यों में, आप केवल समाधान योजना का उपयोग कर सकते हैं। वह, वैसे, क्लिनेरिटी के लिए वैक्टरों की जांच के लिए एल्गोरिदम को याद दिलाती है, जिसे हमने सबक में माना था रैखिक (NO) वैक्टर निर्भरता की अवधारणा। आधार वैक्टर। लेकिन अधिक सभ्य पैकेजिंग है:

उदाहरण 1।

प्रत्यक्ष के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं:

फेसला प्रत्यक्ष वैक्टर के अध्ययन के आधार पर:

ए) समीकरणों से प्रत्यक्ष वैक्टर मिलेगा: .

तो, वैक्टर कॉललाइनर और सीधे छेड़छाड़ नहीं हैं।

बस मामले में, चौराहे के साथ एक पत्थर डालें:

बाकी पत्थर कूदते हैं और अगले, सीधे अमर की आलस्य के लिए अनुसरण करते हैं \u003d)

बी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाएंगे:

सीधे एक ही गाइड वेक्टर है, इसका मतलब है कि वे या तो समानांतर या मेल खाते हैं। यहां और निर्धारक आवश्यक नहीं है।

जाहिर है, अज्ञात के गुणांक इसके साथ आनुपातिक हैं।

हम यह पता लगाते हैं कि समानता सत्य है या नहीं:

इस तरह,

सी) हम प्रत्यक्ष वैक्टर सीधे पाते हैं:

वैक्टर के डेटा निर्देशांक से संकलित निर्धारक की गणना करें:
इसलिए, गाइड वैक्टर कॉललाइनर। प्रत्यक्ष या तो समानांतर या मेल खाता है।

"लैम्ब्डा" की आनुपातिकता का अनुपात सीधे कॉललाइनर वैक्टर के अनुपात से देखना मुश्किल नहीं है। हालांकि, यह समीकरणों के गुणांक के माध्यम से पाया जा सकता है: .

अब पता लगाएं कि समानता सत्य है या नहीं। दोनों मुफ्त सदस्य शून्य, तो:

प्राप्त मूल्य इस समीकरण को संतुष्ट करता है (यह सामान्य रूप से किसी भी संख्या को पूरा करता है)।

इस प्रकार, प्रत्यक्ष संयोग।

उत्तर:

जल्द ही आप सीखेंगे (या पहले से ही सीखा जा चुके हैं) मौखिक रूप से सचमुच सेकंड में। इस संबंध में, मुझे कुछ भी नहीं देने का कोई मतलब नहीं है आत्म-निर्णय, एक ज्यामितीय नींव में एक और महत्वपूर्ण ईंट लॉन्च करना बेहतर है:

इसके लिए सीधे समानांतर कैसे बनाया जाए?

इस सबसे सरल समस्या की अज्ञानता के लिए, नाइटिंगेल-डाकू गंभीर रूप से दंडनीय है।

उदाहरण 2।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। समानांतर प्रत्यक्ष के समीकरण को, जो बिंदु के माध्यम से गुजरता है।

फेसला: एक अज्ञात प्रत्यक्ष पत्र द्वारा निरूपित करें। उसके बारे में क्या कहा जाता है? प्रत्यक्ष बिंदु के माध्यम से गुजरता है। और यदि सीधे समानांतर, यह स्पष्ट है कि प्रत्यक्ष "सीई" गाइड वेक्टर एक सीधी रेखा "डी" के निर्माण के लिए उपयुक्त है।

समीकरण से गाइड वेक्टर खींचें:

उत्तर:

उदाहरण ज्यामिति असहज दिखता है:

विश्लेषणात्मक चेक में निम्न चरणों में शामिल हैं:

1) हम जांचते हैं कि एक ही गाइड वेक्टर (यदि प्रत्यक्ष समीकरण ठीक से सरलीकृत नहीं है, तो वैक्टर कॉललाइनर होंगे)।

2) हम जांचते हैं कि बिंदु प्राप्त समीकरण संतुष्ट है या नहीं।

ज्यादातर मामलों में विश्लेषणात्मक जांच मौखिक रूप से प्रदर्शन करना आसान है। दो समीकरणों को देखें, और आप में से कई किसी भी ड्राइंग के बिना सीधे समानांतरता निर्धारित करेंगे।

आज एक स्वतंत्र समाधान के लिए उदाहरण रचनात्मक होंगे। क्योंकि आपको अभी भी बाबा यागा लेना है, और वह, आप जानते हैं, सभी प्रकार के रहस्यों का प्रेमी।

उदाहरण 3।

लाइन के समानांतर बिंदु के माध्यम से प्रत्यक्ष पास करने का समीकरण बनाएं यदि

एक तर्कसंगत है और बहुत नहीं तर्कसंगत तरीका समाधान। सबसे छोटा रास्ता पाठ के अंत में है।

समानांतर सीधे के साथ, उन्होंने थोड़ा काम किया और उनके पास वापस आ गया। सीधी रेखाओं को संयोग करने का मामला अधिक दिलचस्प है, इसलिए स्कूल कार्यक्रम से आपको परिचित कार्य पर विचार करें:

दो सीधी रेखाओं के चौराहे बिंदु को कैसे ढूंढें?

अगर सीधे बिंदु पर छेड़छाड़, इसके निर्देशांक एक निर्णय हैं रैखिक समीकरणों की प्रणाली

प्रत्यक्ष के चौराहे के बिंदु को कैसे खोजें? सिस्टम को हल करें।

मैं यहां हूं दो अज्ञात के साथ दो रैखिक समीकरणों की प्रणाली का ज्यामितीय अर्थ - ये विमान पर सीधे दो प्रतिच्छेदन (अक्सर) हैं।

उदाहरण 4।

प्रत्यक्ष के चौराहे का एक बिंदु खोजें

फेसला: हल करने के दो तरीके हैं - ग्राफिक और विश्लेषणात्मक।

ग्राफिक विधि केवल डेटा को सीधे खींचना और सीधे ड्राइंग से चौराहे बिंदु सीखना है:

यहां हमारा मुद्दा है :. जांचने के लिए, प्रत्येक समीकरण प्रत्यक्ष में अपने निर्देशांक को प्रतिस्थापित करना आवश्यक है, उन्हें वहां और वहां आना चाहिए। दूसरे शब्दों में, बिंदु के निर्देशांक सिस्टम का समाधान हैं। वास्तव में, हमने एक ग्राफिकल समाधान की समीक्षा की रैखिक समीकरणों की प्रणाली दो समीकरणों के साथ, दो अज्ञात।

ग्राफिक विधि, ज़ाहिर है, बुरा नहीं है, लेकिन ध्यान देने योग्य विपक्ष हैं। नहीं, मुद्दा यह नहीं है कि सातवें ग्रेडर कम हो जाते हैं, तथ्य यह है कि सही और सटीक ड्राइंग प्रतीक्षा समय। इसके अलावा, कुछ प्रत्यक्ष निर्माण इतना आसान नहीं है, और चौराहे बिंदु ही एयरटाल शीट के बाहर तीसरा राज्य में कहीं भी हो सकता है।

इसलिए, अंतरंग का बिंदु एक विश्लेषणात्मक विधि की तलाश करने के लिए अधिक उपयुक्त है। सिस्टम को हल करना:

सिस्टम को हल करने के लिए, समीकरणों के पुनर्मूल्यांकन की विधि का उपयोग किया जाता है। उपयुक्त कौशल को काम करने के लिए, सबक पर जाएं समीकरणों की प्रणाली को कैसे हल करें?

उत्तर:

तुच्छ जांचें - चौराहे बिंदु के निर्देशांक सिस्टम के प्रत्येक समीकरण को संतुष्ट कर सकते हैं।

उदाहरण 5।

अगर वे छेड़छाड़ करते हैं तो चौराहे के बिंदु को निर्देशित करें।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य कई चरणों में तोड़ने के लिए सुविधाजनक है। इस स्थिति का विश्लेषण बताता है कि यह आवश्यक है:
1) समीकरण प्रत्यक्ष बनाओ।
2) एक प्रत्यक्ष समीकरण बनाओ।
3) सीधे लाइनों के पारस्परिक स्थान का पता लगाएं।
4) यदि प्रत्यक्ष छेड़छाड़ हो, तो चौराहे बिंदु खोजें।

एक क्रिया एल्गोरिदम का विकास कई ज्यामितीय कार्यों के लिए विशिष्ट है, और मैं बार-बार इस पर ध्यान केंद्रित करूंगा।

पूरा समाधान और पाठ के अंत में उत्तर:

Stoptan और जूते की जोड़ी, जैसा कि हमें दूसरे पाठ अनुभाग में मिला:

लंबवत सीधी रेखाएं। बिंदु से सीधे दूरी तक।
सीधे के बीच कोण

चलो एक ठेठ और बहुत से शुरू करते हैं एक महत्वपूर्ण कार्य। पहले भाग में, हमने सीखा कि एक सीधी रेखा कैसे बनाएं, इसके समानांतर, और अब उत्सुक पैर पर झोपड़ी 90 डिग्री सामने आएगी:

इसके लिए एक सीधा, लंबवत कैसे बनाया जाए?

उदाहरण 6।

प्रत्यक्ष समीकरण द्वारा दिया गया है। बिंदु के माध्यम से पारित प्रत्यक्ष पास के लिए समीकरण लंबवत बनाओ।

फेसला: इस शर्त के तहत यह ज्ञात है। गाइड वेक्टर को सीधे ढूंढना अच्छा लगेगा। सीधे लंबवत के बाद से, फोकस सरल है:

समीकरण से "हटाएं" सामान्य के वेक्टर को हटा दें: जो सीधी रेखा होगी।

समीकरण बिंदु पर होने के लिए प्रत्यक्ष है और मार्गदर्शिका वेक्टर:

उत्तर:

हम एक ज्यामितीय etude लॉन्च करेंगे:

एम-हां ... ऑरेंज स्काई, ऑरेंज सागर, ऑरेंज ऊंट।

विश्लेषणात्मक समाधान जांचें:

1) समीकरणों से गाइड वैक्टर बाहर खींचें और मदद के साथ स्केलर उत्पाद वैक्टर हम निष्कर्ष निकालते हैं कि सीधी रेखाएं वास्तव में लंबवत हैं :.

वैसे, आप सामान्य वैक्टरों का उपयोग कर सकते हैं, यह भी आसान है।

2) यह जांचना कि प्राप्त समीकरण का बिंदु संतुष्ट है या नहीं .

चेक, फिर से, आसानी से मौखिक रूप से प्रदर्शन करते हैं।

उदाहरण 7।

यदि समीकरण ज्ञात है, तो चौराहे बिंदु लंबवत प्रत्यक्ष खोजें और बिंदु।

यह एक स्वतंत्र समाधान के लिए एक उदाहरण है। कार्य में कई क्रियाएं, इसलिए समाधान बिंदुओं पर रखने के लिए सुविधाजनक है।

हमारी आकर्षक यात्रा जारी है:

बिंदु से सीधे दूरी तक

हमारे पास नदी की सीधी पट्टी है और हमारा काम सबसे कम तरीके से पहुंचना है। कोई बाधा नहीं है, और सबसे इष्टतम मार्ग लंबवत पर आगे बढ़ेगा। यही है, बिंदु से रेखा तक की दूरी लंबवत खंड की लंबाई है।

ज्यामिति में दूरी पारंपरिक रूप से ग्रीक अक्षर "आरओ" द्वारा इंगित करती है, उदाहरण के लिए: - बिंदु से दूरी "ईएम" से सीधे "डी" तक।

बिंदु से सीधे दूरी तक सूत्र व्यक्त किया गया है

उदाहरण 8।

बिंदु से सीधे दूरी का पता लगाएं

फेसला: आपको बस इतना ही चाहिए, यह धीरे-धीरे सूत्र में संख्याओं को प्रतिस्थापित कर रहा है और गणना कर रहा है:

उत्तर:

एक ड्राइंग करें:

बिंदु से लाइन तक की दूरी लाल खंड की लंबाई बिल्कुल लंबाई है। यदि आप 1 इकाई पर चेकर्ड पेपर पर ड्राइंग करते हैं। \u003d 1 सेमी (2 कोशिकाएं), फिर दूरी को एक साधारण शासक द्वारा मापा जा सकता है।

एक ही ड्राइंग पर एक और कार्य पर विचार करें:

कार्य उस बिंदु के निर्देशांक को ढूंढना है जो प्रत्यक्ष बिंदु के बारे में सममित है । मैं स्वयं क्रियाओं को करने का प्रस्ताव करता हूं, लेकिन मैं मध्यवर्ती परिणामों के साथ समाधान एल्गोरिदम को दर्शाता हूं:

1) सीधे खोजें, जो सीधी रेखा के लंबवत है।

2) डायरेक्ट के चौराहे बिंदु का पता लगाएं: .

दोनों कार्यों को इस पाठ के ढांचे के भीतर विस्तार से अलग कर दिया गया है।

3) बिंदु खंड का एक मध्य है। हम बीच के समन्वय और एक सिरों को जानते हैं। द्वारा मिड-सेगमेंट समन्वय सूत्र ढूंढें।

यह सत्यापित करने के लिए अनिवार्य नहीं होगा कि दूरी 2.2 इकाइयां भी है।

यहां की कठिनाइयों की गणना में उत्पन्न हो सकती है, लेकिन माइक्रोकॉल्यूलेटर टावर में मदद करता है, जो हमें सामान्य अंशों पर विचार करने की अनुमति देता है। बार-बार सलाह दी, सलाह और फिर से।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी कैसे खोजें?

उदाहरण 9।

दो समानांतर सीधे के बीच की दूरी का पता लगाएं

यह एक स्वतंत्र निर्णय के लिए एक और उदाहरण है। मैं आपको थोड़ा बताऊंगा: हल करने के असीम तरीके हैं। पाठ के अंत में उड़ानों को आधा करना, लेकिन बेहतर अनुमान लगाने की कोशिश की, मुझे लगता है कि आपका स्मेल्टर अच्छी तरह से फैल गया।

दो सीधे के बीच कोण

कुछ भी नहीं, तो जाम्ब:


ज्यामिति में, दो प्रत्यक्ष के बीच कोण के लिए एक छोटा कोण स्वीकार किया जाता है, जिसमें से यह स्वचालित रूप से होता है कि यह ब्लंट नहीं हो सकता है। तस्वीर में, लाल चाप के साथ चिह्नित कोण को सीधे छेड़छाड़ के बीच कोण नहीं माना जाता है। और इसे ऐसा "हरा" पड़ोसी माना जाता है या विरोधी ओरिएंटेड "रास्पबेरी" कोण।

यदि प्रत्यक्ष लंबवत है, तो उनके बीच कोण से आप 4 कोणों में से कोई भी ले सकते हैं।

कोणों के बीच क्या अंतर है? अभिविन्यास। सबसे पहले, यह मौलिक रूप से "स्क्रॉलिंग" कोण की दिशा के लिए महत्वपूर्ण है। दूसरा, एक नकारात्मक उन्मुख कोण एक शून्य चिह्न के साथ दर्ज किया गया है, उदाहरण के लिए, यदि।

मैंने इसे क्यों बताया? ऐसा करना संभव है और कोण की सामान्य अवधारणा। तथ्य यह है कि सूत्रों में जिसके लिए हम कोनों को पाएंगे, यह आसानी से नकारात्मक परिणाम हो सकता है, और यह आपको आश्चर्यचकित नहीं होना चाहिए। "माइनस" चिह्न के साथ कोण कोई बदतर नहीं है, और इसमें पूरी तरह से ठोस ज्यामितीय अर्थ है। एक नकारात्मक कोण के लिए ड्राइंग में, इसके अभिविन्यास (दक्षिणावर्त) के तीर को निर्दिष्ट करना आवश्यक है।

दो सीधे के बीच कोण कैसे खोजें? दो कार्य सूत्र हैं:

उदाहरण 10।

सीधे के बीच कोने का पता लगाएं

फेसला तथा पहले फैशन

समीकरणों द्वारा निर्दिष्ट दो प्रत्यक्ष विचार करें आम:

अगर सीधे लंबवत नहींटी उन्मुख उनके बीच कोण सूत्र का उपयोग करके गणना की जा सकती है:

निकटतम ध्यान संप्रदाय को दिया जाता है - यह बिल्कुल ठीक है अदिश उत्पाद प्रत्यक्ष वैक्टर प्रत्यक्ष:

यदि, सूत्र का संप्रदाय शून्य तक खींचा गया है, और वैक्टर ऑर्थोगोनल और प्रत्यक्ष लंबवत होंगे। यही कारण है कि एक आरक्षण सीधे शब्द में प्रत्यक्ष की अपरिपक्वता के बारे में किया जाता है।

पूर्वगामी के आधार पर, समाधान दो चरणों की व्यवस्था करने के लिए सुविधाजनक है:

1) प्रत्यक्ष के प्रत्यक्ष वैक्टर के स्केलर उत्पाद की गणना करें:
तो सीधे लंबवत नहीं है।

2) डायरेक्ट के बीच कोण फॉर्मूला द्वारा मिलेगा:

के जरिए रिवर्स फ़ंक्शन ढूंढना आसान है और कोने ही। उसी समय, हम आर्कटेनेंट की विषमता का उपयोग करते हैं (देखें) प्राथमिक कार्यों के चार्ट और गुण):

उत्तर:

प्रतिक्रिया में, कैलकुलेटर का उपयोग करके गणना की गई सटीक मान, साथ ही अनुमानित मूल्य (अधिमानतः डिग्री, और रेडियंस में) निर्दिष्ट करें।

खैर, माइनस, इतना शून्य, कुछ भी भयानक नहीं है। यहां एक ज्यामितीय चित्रण है:

यह आश्चर्य की बात नहीं है कि कोण एक नकारात्मक अभिविन्यास साबित हुआ, क्योंकि कार्य के संदर्भ में, पहला नंबर सीधे चला जाता है और कोण के "कायाकल्प" इसके साथ शुरू हुआ।

यदि आप वास्तव में एक सकारात्मक कोण प्राप्त करना चाहते हैं, तो आपको प्रत्यक्ष स्थानों को बदलने की जरूरत है, यानी गुणांक दूसरे समीकरण से लेते हैं , और गुणांक पहले समीकरण से लेते हैं। संक्षेप में, आपको प्रत्यक्ष से शुरू करने की आवश्यकता है .

"ज्यामितीय एल्गोरिदम" श्रृंखला से सबक

हैलो, प्रिय पाठक!

हम ज्यामितीय एल्गोरिदम से परिचित होना जारी रखेंगे। आखिरी पाठ में, हमने दो बिंदुओं के निर्देशांक में एक सीधी रेखा का समीकरण पाया। हमारे पास एक प्रकार का समीकरण है:

आज हम एक फ़ंक्शन लिखेंगे जो दो सीधी रेखाओं के समीकरणों से उनके चौराहे बिंदुओं (यदि कोई हो) के निर्देशांक मिलेंगे। वास्तविक संख्याओं की समानता की जांच करने के लिए, हम एक विशेष Realeq () फ़ंक्शन का उपयोग करेंगे।

विमान पर अंक वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी द्वारा वर्णित हैं। तुलना ऑपरेशन के वास्तविक प्रकार का उपयोग करते समय, विशेष विशेषताओं को बनाना बेहतर होता है।

कारण ज्ञात है: पास्कल प्रोग्रामिंग की प्रणाली में वास्तविक के प्रकार पर कोई संबंध संबंध नहीं है, इसलिए फॉर्म ए \u003d बी के रिकॉर्ड्स, जहां ए और बी असली संख्याएं बेहतर नहीं हैं।
आज हम ऑपरेशन को लागू करने के लिए Realeq () फ़ंक्शन पेश करेंगे "\u003d" (सख्ती से बराबर):

फंक्शन Realeq (कॉन्स ए, बी: रियल): बूलियन; (सख्ती से बराबर) Realeq शुरू करें: \u003d ABS (A-B)<=_Eps End; {RealEq}

एक कार्य। दो सीधी रेखाओं के समीकरण दिए गए हैं: और। उनके चौराहे का बिंदु खोजें।

फेसला। स्पष्ट निर्णय प्रत्यक्ष के समीकरणों की प्रणाली को हल करना है: आइए इस प्रणाली को कुछ हद तक अलग तरीके से लिखें:
(1)

हम नोटेशन परिचय देते हैं :, , । यहां डी सिस्टम का निर्धारक है, और निर्धारकों के समन्वय के समेकित अज्ञात स्तंभ वाले गुणांक के स्तंभ को बदलने के परिणामस्वरूप प्राप्त निर्धारक। यदि, सिस्टम (1) परिभाषित किया गया है, यानी, इसका एक समाधान है। यह निर्णय निम्नलिखित सूत्रों में पाया जा सकता है: जिन्हें कहा जाता है क्रैमर सूत्र। मुझे याद दिलाना है कि दूसरा ऑर्डर निर्धारक की गणना कैसे की जाती है। निर्धारक दो विकर्णों को अलग करता है: मुख्य और पक्ष। मुख्य विकर्ण में निर्धारक के ऊपरी बाएं कोने से निचले दाएं कोण तक दिशा में ली गई तत्व शामिल हैं। साइड विकर्ण - निचले बाएं में दाएं ऊपरी से। दूसरे क्रम का निर्धारक मुख्य विकर्ण के तत्वों के तत्वों के बराबर है जो पक्ष विकर्ण के तत्वों के उत्पाद के उत्पाद के बराबर है।

Equality चेक को सत्यापित करने के लिए प्रोग्राम कोड में, Realeq () फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। वास्तविक संख्याओं पर गणना _eps \u003d 1e-7 तक बनाई गई है।

कार्यक्रम GEOM2; Const _eps: असली \u003d 1e-7; (गणना सटीकता) var a1, b1, c1, a2, b2, c2, x, y, d, dx, dy: real; फंक्शन Realeq (कॉन्स ए, बी: रियल): बूलियन; (सख्ती से बराबर) Realeq शुरू करें: \u003d ABS (A-B)<=_Eps End; {RealEq} Function LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2: real; var x,y:real):Boolean; {Определение координат точки пересечения двух линий. Значение функции равно true, если точка пересечения есть, и false, если прямые параллельны. } var d:real; begin d:=a1*b2-b1*a2; if Not(RealEq(d,0)) then begin LineToPoint:=True; dx:=-c1*b2+b1*c2; dy:=-a1*c2+c1*a2; x:=dx/d; y:=dy/d; end else LineToPoint:=False End;{LineToPoint} begin {main} writeln("Введите коэффициенты уравнений: a1,b1,c1,a2,b2,c2 "); readln(a1,b1,c1,a2,b2,c2); if LineToPoint(a1,b1,c1,a2,b2,c2,x,y) then writeln(x:5:1,y:5:1) else writeln("Прямые параллельны."); end.

हमने एक कार्यक्रम संकलित किया है जिसके साथ आप कर सकते हैं, लाइन समीकरणों को जानना, उनके चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक को ढूंढें।

1. कार्यों के कार्यों के चौराहे बिंदुओं के निर्देशांक को खोजने के लिए, आपको दोनों कार्यों को एक-दूसरे के समान करने की आवश्यकता है, सभी सदस्य को बाएं हिस्से में स्थानांतरित करें जिसमें $ x $ युक्त, और सही शेष और समीकरण द्वारा प्राप्त जड़ों को ढूंढें।
2. दूसरा तरीका यह है कि समीकरणों की एक प्रणाली बनाना आवश्यक है और इसे एक फ़ंक्शन को दूसरे फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करके हल करना आवश्यक है
3. तीसरी विधि कार्यों के ग्राफिक निर्माण और चौराहे बिंदु के दृश्य निर्धारण का तात्पर्य है।

दो रैखिक कार्यों का मामला

दो रैखिक कार्यों को $ f (x) \u003d k_1 x + m_1 $ और $ g (x) \u003d k_2 x + m_2 $ पर विचार करें। इन कार्यों को सीधे कहा जाता है। उन्हें पर्याप्त बनाना आसान है, आपको $ x_1 $ और $ x_2 $ के दो मान लेने की आवश्यकता है और $ f (x_1) $ और $ (x_2) $ खोजें। फिर फंक्शन $ G (x) $ के साथ एक ही चीज़ दोहराएं। इसके बाद, दृश्यों के ग्राफ के चौराहे के समन्वय को दृष्टि से ढूंढें।

यह ज्ञात होना चाहिए कि रैखिक कार्यों में चौराहे का केवल एक बिंदु है और केवल $ K_1 \\ NEQ K_2 $ है। अन्यथा, $ K_1 \u003d K_2 $ के मामले में, कार्य एक दूसरे के समानांतर हैं, क्योंकि $ K $ एक झुकाव कोण का गुणांक है। यदि $ K_1 \\ NEQ K_2 $, लेकिन $ m_1 \u003d m_2, तो चौराहे बिंदु $ m (0; m) $ होगा। यह नियम एक त्वरित कार्य समाधान के लिए याद रखने के लिए वांछनीय है।

दो nonlinear कार्यों का मामला