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10.10.2019

अंकों के बीच की दूरी। बिंदु से बिंदु तक दूरी: सूत्र, उदाहरण, समाधान

छात्रों में गणित की समस्याओं को हल करना अक्सर कई कठिनाइयों के साथ होता है। छात्र को इन कठिनाइयों से निपटने में मदद करने के लिए, साथ ही उसे "गणित" विषय के सभी वर्गों में विशिष्ट समस्याओं को हल करने में अपने सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने के लिए सिखाना हमारी साइट का मुख्य उद्देश्य है।

विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए शुरू, छात्रों को अपने निर्देशांक द्वारा एक विमान पर एक बिंदु का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक का पता लगाना चाहिए।

विमान पर लिए गए दो बिंदुओं A (x A; y A) और B (x B; y B) के बीच की दूरी सूत्र में की गई है। d \u003d 2 ((x A - x B) 2 + (A - B पर) 2), जहां d उस खंड की लंबाई है जो इन बिंदुओं को विमान पर जोड़ता है।

यदि खंड के सिरों में से एक मूल के साथ मेल खाता है, और दूसरे में निर्देशांक M (x M; y M) है, तो d की गणना करने का सूत्र OM \u003d √ (x M 2 + y M 2) रूप लेगा।

1. इन बिंदुओं के दिए गए निर्देशांक पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना

उदाहरण 1.

निर्देशांक विमान पर अंक ए (2; -5) और बी (-4; 3) को जोड़ने वाले खंड की लंबाई का पता लगाएं (छवि 1)।

निर्णय।

समस्या की स्थिति में दी गई है: x ए \u003d 2; एक्स बी \u003d -4; A \u003d -5 और B \u003d 3. पर d खोजें।

सूत्र लागू करना d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), हम प्राप्त करते हैं:

d \u003d AB \u003d \u003d ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10।

2. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो तीन दिए गए बिंदुओं से बराबर है

उदाहरण 2

बिंदु O 1 के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो तीन बिंदुओं A (7; -1) और B (-2; 2) और C (-1; -5) से समान है।

निर्णय।

समस्या की स्थितियों के कथन से यह इस प्रकार है कि O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. वांछित बिंदु O 1 को निर्देशांक (a; b) है। सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

ओ 1 ए \u003d 1 ((ए - 7) 2 + (बी + 1) 2);

ओ 1 बी \u003d 1 ((ए + 2) 2 + (बी - 2) 2);

O 1 C \u003d 1 ((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

हम दो समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करते हैं:

(A ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d (((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
((((A - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d (((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को चुकाने के बाद, हम लिखते हैं:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 1) 2 + (b + 5) 2।

सरल बनाने के लिए, हम लिखते हैं

(-3 ए + बी + 0 \u003d ०,
(-2 ए - बी + ३ \u003d ०

सिस्टम को हल करने के बाद, हमें मिलता है: a \u003d 2; बी \u003d -1।

बिंदु O 1 (2; -1) इस स्थिति में निर्दिष्ट तीन बिंदुओं के बराबर है जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलते हैं। यह बिंदु तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक चक्र का केंद्र है (अंजीर। 2).

3. उस बिंदु के एब्सिस्सा (समन्वित) की गणना जो एब्सिस्सा (समन्वित) अक्ष पर स्थित है और इस बिंदु से एक निश्चित दूरी पर है

उदाहरण 3

बिंदु B (-5; 6) से बिंदु A की अक्ष अक्ष पर झूठ है। 10. बिंदु A का पता लगाएं।

निर्णय।

यह समस्या की स्थिति के बयान से निम्नानुसार है कि बिंदु A का समन्वय शून्य और AB \u003d 10 के बराबर है।

बिंदु A के फरस्किसा को अस्वीकार करते हुए, हम A (a; 0) लिखते हैं।

AB \u003d (((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d (((a + 5) 2 + 36)।

हम समीकरण obtain ((a + 5) 2 + 36) \u003d 10. प्राप्त करते हैं, इसे सरल बनाते हुए, हमारे पास है

और 2 + 10 ए - 39 \u003d 0।

इस समीकरण की जड़ें 1 \u003d -13 हैं; और 2 \u003d 3।

हमें दो अंक मिलते हैं A 1 (-13; 0) और A 2 (3; 0)।

की जाँच करें:

और 1 बी \u003d 1 ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

एक 2 बी \u003d 2 ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

प्राप्त दोनों बिंदु समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त हैं। (अंजीर। 3)।

4. एक बिंदु के एब्सिस्सा (समन्वित) की गणना जो एब्सिस्सा (समन्वित) अक्ष पर स्थित है और दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर है

उदाहरण 4

Oy अक्ष पर एक बिंदु खोजें जो कि बिंदु A (6; 12) और B (- 10) से समान दूरी पर है।

निर्णय।

Oy अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक को आज्ञा दें, समस्या की स्थिति के अनुसार, O 1 (0; b) (Oy अक्ष पर स्थित बिंदु शून्य अनुपस्थित होगा)। यह इस शर्त पर चलता है कि ओ 1 ए \u003d ओ 1 बी।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

ओ 1 ए \u003d 1 ((0 - 6) 2 + (बी - 12) 2) \u003d √ (36 + (बी - 12) 2);

О 1 В \u003d 1 (((+ + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2)।

हमारे पास समीकरण have (36 + (b - 12) 2) \u003d 64 (64 + (b - 10) 2) या 36 + (b - 12) 2 \u003d 64 + (b - 10) 2 है।

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं: बी - 4 \u003d 0, बी \u003d 4।

समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक बिंदु O 1 (0; 4) (अंजीर। 4)।

5. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो समन्वय अक्षों और कुछ दिए गए बिंदु से समान दूरी पर है

उदाहरण 5

निर्देशांक अक्ष पर और बिंदु A (-2; 1) से समान दूरी पर समन्वित तल पर स्थित बिंदु M ज्ञात कीजिए।

निर्णय।

आवश्यक बिंदु M, बिंदु A (-2; 1) की तरह, दूसरे समन्वय कोण में स्थित है, क्योंकि यह बिंदु A, P 1 और P 2 से समतुल्य है। (अंजीर। 5)। निर्देशांक अक्षों से बिंदु M की दूरी समान है, इसलिए, इसके निर्देशांक (-a) होंगे, जहां a\u003e 0।

समस्या की स्थितियों से यह इस प्रकार है कि MA \u003d MP 1 \u003d MP 2, MP 1 \u003d a; एमपी 2 \u003d | -ए |

यानी | -ए | \u003d ए।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

MA \u003d + ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2)।

आइए समीकरण बनाते हैं:

A ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) \u003d a।

स्क्वेरिंग और सरलीकरण के बाद हमारे पास है: एक 2 - 6 ए + 5 \u003d 0. हम समीकरण को हल करते हैं, हम 1 \u003d 1 पाते हैं; और 2 \u003d 5।

हमें दो अंक मिलते हैं M 1 (-1; 1) और M 2 (-5; 5) जो समस्या की स्थिति को पूरा करते हैं।

6. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो x- अक्ष (निर्देशांक) और इस बिंदु से समान दूरी पर है

उदाहरण 6

एक बिंदु M का पता लगाएं जैसे कि निर्देशांक अक्ष से और बिंदु A (8; 6) से इसकी दूरी 5 है।

निर्णय।

समस्या की स्थितियों से यह इस प्रकार है कि एमए \u003d 5 और बिंदु एम का एब्सिस्सा 5. 5. बिंदु एम के समन्वय को बी होने दें, फिर एम (5; बी) (अंजीर। 6)।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हमारे पास है:

एमए \u003d (((5 - 8) 2 + (बी - 6) 2)।

आइए समीकरण बनाते हैं:

8 ((5 - 8) 2 + (बी - 6) 2) \u003d 5. इसे सरल बनाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: बी 2 - 12 बी + 20 \u003d 0. इस समीकरण की जड़ें बी 1 \u003d 2 हैं; बी 2 \u003d 10. इसलिए, दो बिंदु हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं: एम 1 (5; 2) और एम 2 (5; 10)।

यह ज्ञात है कि कई छात्र, जब स्वयं समस्याओं को हल करते हैं, तो उन्हें हल करने के लिए तकनीकों और तरीकों पर निरंतर परामर्श की आवश्यकता होती है। अक्सर, एक शिक्षक की मदद के बिना एक समस्या को हल करने का एक तरीका खोजना एक छात्र के लिए संभव नहीं है। छात्र हमारी वेबसाइट पर समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सलाह प्राप्त कर सकता है।

अभी भी प्रश्न हैं? एक विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी कैसे पता करें?
ट्यूटर की मदद लेने के लिए।
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blog.site, सामग्री की पूर्ण या आंशिक प्रतिलिपि के साथ, स्रोत के लिए एक संदर्भ की आवश्यकता होती है।

छात्रों में गणित की समस्याओं को हल करना अक्सर कई कठिनाइयों के साथ होता है। छात्र को इन कठिनाइयों से निपटने में मदद करने के लिए, साथ ही उसे "गणित" विषय के सभी वर्गों में विशिष्ट समस्याओं को हल करने में अपने सैद्धांतिक ज्ञान को लागू करने के लिए सिखाना हमारी साइट का मुख्य उद्देश्य है।

विषय पर समस्याओं को हल करने के लिए शुरू, छात्रों को अपने निर्देशांक द्वारा एक विमान पर एक बिंदु का निर्माण करने में सक्षम होना चाहिए, साथ ही किसी दिए गए बिंदु के निर्देशांक का पता लगाना चाहिए।

विमान पर लिए गए दो बिंदुओं A (x A; y A) और B (x B; y B) के बीच की दूरी सूत्र में की गई है। d \u003d 2 ((x A - x B) 2 + (A - B पर) 2), जहां d उस खंड की लंबाई है जो इन बिंदुओं को विमान पर जोड़ता है।

यदि खंड के सिरों में से एक मूल के साथ मेल खाता है, और दूसरे में निर्देशांक M (x M; y M) है, तो d की गणना करने का सूत्र OM \u003d √ (x M 2 + y M 2) रूप लेगा।

1. इन बिंदुओं के दिए गए निर्देशांक पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना

उदाहरण 1.

निर्देशांक विमान पर अंक ए (2; -5) और बी (-4; 3) को जोड़ने वाले खंड की लंबाई का पता लगाएं (छवि 1)।

निर्णय।

समस्या की स्थिति में दी गई है: x ए \u003d 2; एक्स बी \u003d -4; A \u003d -5 और B \u003d 3. पर d खोजें।

सूत्र लागू करना d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2), हम प्राप्त करते हैं:

d \u003d AB \u003d \u003d ((2 - (-4)) 2 + (-5 - 3) 2) \u003d 10।

2. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो तीन दिए गए बिंदुओं से बराबर है

उदाहरण 2

बिंदु O 1 के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो तीन बिंदुओं A (7; -1) और B (-2; 2) और C (-1; -5) से समान है।

निर्णय।

समस्या की स्थितियों के कथन से यह इस प्रकार है कि O 1 A \u003d O 1 B \u003d O 1 C. वांछित बिंदु O 1 को निर्देशांक (a; b) है। सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

ओ 1 ए \u003d 1 ((ए - 7) 2 + (बी + 1) 2);

ओ 1 बी \u003d 1 ((ए + 2) 2 + (बी - 2) 2);

O 1 C \u003d 1 ((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

हम दो समीकरणों की एक प्रणाली की रचना करते हैं:

(A ((a - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d (((a + 2) 2 + (b - 2) 2),
((((A - 7) 2 + (b + 1) 2) \u003d (((a + 1) 2 + (b + 5) 2)।

समीकरणों के बाएँ और दाएँ पक्षों को चुकाने के बाद, हम लिखते हैं:

((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 2) 2 + (b - 2) 2,
((a - 7) 2 + (b + 1) 2 \u003d (a + 1) 2 + (b + 5) 2।

सरल बनाने के लिए, हम लिखते हैं

(-3 ए + बी + 0 \u003d ०,
(-2 ए - बी + ३ \u003d ०

सिस्टम को हल करने के बाद, हमें मिलता है: a \u003d 2; बी \u003d -1।

बिंदु O 1 (2; -1) इस स्थिति में निर्दिष्ट तीन बिंदुओं के बराबर है जो एक सीधी रेखा पर झूठ नहीं बोलते हैं। यह बिंदु तीन दिए गए बिंदुओं से गुजरने वाले एक चक्र का केंद्र है (अंजीर। 2).

3. उस बिंदु के एब्सिस्सा (समन्वित) की गणना जो एब्सिस्सा (समन्वित) अक्ष पर स्थित है और इस बिंदु से एक निश्चित दूरी पर है

उदाहरण 3

बिंदु B (-5; 6) से बिंदु A की अक्ष अक्ष पर झूठ है। 10. बिंदु A का पता लगाएं।

निर्णय।

यह समस्या की स्थिति के बयान से निम्नानुसार है कि बिंदु A का समन्वय शून्य और AB \u003d 10 के बराबर है।

बिंदु A के फरस्किसा को अस्वीकार करते हुए, हम A (a; 0) लिखते हैं।

AB \u003d (((a + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d (((a + 5) 2 + 36)।

हम समीकरण obtain ((a + 5) 2 + 36) \u003d 10. प्राप्त करते हैं, इसे सरल बनाते हुए, हमारे पास है

और 2 + 10 ए - 39 \u003d 0।

इस समीकरण की जड़ें 1 \u003d -13 हैं; और 2 \u003d 3।

हमें दो अंक मिलते हैं A 1 (-13; 0) और A 2 (3; 0)।

की जाँच करें:

और 1 बी \u003d 1 ((- 13 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

एक 2 बी \u003d 2 ((3 + 5) 2 + (0 - 6) 2) \u003d 10।

प्राप्त दोनों बिंदु समस्या की स्थिति के लिए उपयुक्त हैं। (अंजीर। 3)।

4. एक बिंदु के एब्सिस्सा (समन्वित) की गणना जो एब्सिस्सा (समन्वित) अक्ष पर स्थित है और दो दिए गए बिंदुओं से समान दूरी पर है

उदाहरण 4

Oy अक्ष पर एक बिंदु खोजें जो कि बिंदु A (6; 12) और B (- 10) से समान दूरी पर है।

निर्णय।

Oy अक्ष पर स्थित बिंदु के निर्देशांक को आज्ञा दें, समस्या की स्थिति के अनुसार, O 1 (0; b) (Oy अक्ष पर स्थित बिंदु शून्य अनुपस्थित होगा)। यह इस शर्त पर चलता है कि ओ 1 ए \u003d ओ 1 बी।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

ओ 1 ए \u003d 1 ((0 - 6) 2 + (बी - 12) 2) \u003d √ (36 + (बी - 12) 2);

О 1 В \u003d 1 (((+ + 8) 2 + (b - 10) 2) \u003d √ (64 + (b - 10) 2)।

हमारे पास समीकरण have (36 + (b - 12) 2) \u003d 64 (64 + (b - 10) 2) या 36 + (b - 12) 2 \u003d 64 + (b - 10) 2 है।

सरलीकरण के बाद, हम प्राप्त करते हैं: बी - 4 \u003d 0, बी \u003d 4।

समस्या की स्थिति के लिए आवश्यक बिंदु O 1 (0; 4) (अंजीर। 4)।

5. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो समन्वय अक्षों और कुछ दिए गए बिंदु से समान दूरी पर है

उदाहरण 5

निर्देशांक अक्ष पर और बिंदु A (-2; 1) से समान दूरी पर समन्वित तल पर स्थित बिंदु M ज्ञात कीजिए।

निर्णय।

आवश्यक बिंदु M, बिंदु A (-2; 1) की तरह, दूसरे समन्वय कोण में स्थित है, क्योंकि यह बिंदु A, P 1 और P 2 से समतुल्य है। (अंजीर। 5)। निर्देशांक अक्षों से बिंदु M की दूरी समान है, इसलिए, इसके निर्देशांक (-a) होंगे, जहां a\u003e 0।

समस्या की स्थितियों से यह इस प्रकार है कि MA \u003d MP 1 \u003d MP 2, MP 1 \u003d a; एमपी 2 \u003d | -ए |

यानी | -ए | \u003d ए।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हम पाते हैं:

MA \u003d + ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2)।

आइए समीकरण बनाते हैं:

A ((- a + 2) 2 + (a - 1) 2) \u003d a।

स्क्वेरिंग और सरलीकरण के बाद हमारे पास है: एक 2 - 6 ए + 5 \u003d 0. हम समीकरण को हल करते हैं, हम 1 \u003d 1 पाते हैं; और 2 \u003d 5।

हमें दो अंक मिलते हैं M 1 (-1; 1) और M 2 (-5; 5) जो समस्या की स्थिति को पूरा करते हैं।

6. एक बिंदु के निर्देशांक की गणना जो x- अक्ष (निर्देशांक) और इस बिंदु से समान दूरी पर है

उदाहरण 6

एक बिंदु M का पता लगाएं जैसे कि निर्देशांक अक्ष से और बिंदु A (8; 6) से इसकी दूरी 5 है।

निर्णय।

समस्या की स्थितियों से यह इस प्रकार है कि एमए \u003d 5 और बिंदु एम का एब्सिस्सा 5. 5. बिंदु एम के समन्वय को बी होने दें, फिर एम (5; बी) (अंजीर। 6)।

सूत्र द्वारा d \u003d √ ((x A - x B) 2 + (y A - y B) 2) हमारे पास है:

एमए \u003d (((5 - 8) 2 + (बी - 6) 2)।

आइए समीकरण बनाते हैं:

8 ((5 - 8) 2 + (बी - 6) 2) \u003d 5. इसे सरल बनाने के बाद, हम प्राप्त करते हैं: बी 2 - 12 बी + 20 \u003d 0. इस समीकरण की जड़ें बी 1 \u003d 2 हैं; बी 2 \u003d 10. इसलिए, दो बिंदु हैं जो समस्या की स्थिति को संतुष्ट करते हैं: एम 1 (5; 2) और एम 2 (5; 10)।

यह ज्ञात है कि कई छात्र, जब स्वयं समस्याओं को हल करते हैं, तो उन्हें हल करने के लिए तकनीकों और तरीकों पर निरंतर परामर्श की आवश्यकता होती है। अक्सर, एक शिक्षक की मदद के बिना एक समस्या को हल करने का एक तरीका खोजना एक छात्र के लिए संभव नहीं है। छात्र हमारी वेबसाइट पर समस्याओं को हल करने के लिए आवश्यक सलाह प्राप्त कर सकता है।

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विमान पर दो बिंदुओं के बीच की दूरी।
समन्वय प्रणाली

विमान का प्रत्येक बिंदु इसके निर्देशांक (x, y) की विशेषता है। वे वेक्टर 0 ए के निर्देशांक के साथ मेल खाते हैं, जिससे बिंदु 0 - मूल निकल जाता है।

आज्ञा दें कि A और B क्रमशः निर्देशांक (x 1 y 1) और (x 2, y 2) के साथ समतल के मनमाने बिंदु हैं।

फिर वेक्टर एबी में स्पष्ट रूप से निर्देशांक हैं (x 2 - x 1, y 2 - y 1)। यह ज्ञात है कि एक वेक्टर की लंबाई का वर्ग इसके निर्देशांक के वर्गों के योग के बराबर है। इसलिए, बिंदु ए और बी के बीच की दूरी, या, बराबर, वेक्टर एबी की लंबाई, स्थिति से निर्धारित होती है

d 2 \u003d (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2।

d \u003d \\ / (x 2 - x 1) 2 + (y 2 - y 1) 2

परिणामी सूत्र आपको विमान के किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाने की अनुमति देता है, अगर केवल इन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात हों

हर बार, विमान के किसी विशेष बिंदु के निर्देशांक के बारे में बोलते हुए, हमारा मतलब एक अच्छी तरह से परिभाषित समन्वय प्रणाली x0y है। लेकिन सामान्य तौर पर, विमान पर समन्वय प्रणाली को विभिन्न तरीकों से चुना जा सकता है। इसलिए, समन्वय प्रणाली x0y के बजाय, हम समन्वय प्रणाली x "0y" पर विचार कर सकते हैं, जो कि शुरुआती बिंदु 0 के आसपास पुराने समन्वय अक्षों को मोड़कर प्राप्त किया जाता है। वामावर्त  कोने पर तीर α .

यदि निर्देशांक प्रणाली में विमान के कुछ बिंदु x0y में निर्देशांक (x, y) था, तो नए समन्वय प्रणाली x "0y" में पहले से ही अन्य निर्देशांक (x ", y") होंगे।

एक उदाहरण के रूप में, अक्ष 0x पर स्थित बिंदु M पर विचार करें "और बिंदु 0 से 1 के बराबर दूरी पर स्थित है।

जाहिर है, समन्वय प्रणाली x0y में इस बिंदु में निर्देशांक (cos) है α , पाप α ), और समन्वय प्रणाली में x "0y" निर्देशांक (1,0)।

विमान A और B के किन्हीं दो बिंदुओं के निर्देशांक इस बात पर निर्भर करते हैं कि इस विमान में समन्वय प्रणाली कैसे परिभाषित की जाती है। लेकिन इन बिंदुओं के बीच की दूरी समन्वय प्रणाली स्थापित करने की विधि पर निर्भर नहीं करती है। इस महत्वपूर्ण परिस्थिति का अगले खंड में हमारे द्वारा पर्याप्त उपयोग किया जाएगा।

अभ्यास

I. निर्देशांक के साथ विमान के बिंदुओं के बीच की दूरी का पता लगाएं:

1) (3.5) और (3.4); 3) (0.5) और (5, 0); 5) (-3.4) और (9, -17);

2) (2, 1) और (- 5, 1); 4) (0, 7) और (3.3); 6) (8, 21) और (1, -3)।

द्वितीय। एक त्रिभुज की परिधि ज्ञात करें जिसके भाग समीकरणों द्वारा दिए गए हैं:

x + y - 1 \u003d 0, 2x - y - 2 \u003d 0 और y \u003d 1।

तृतीय। समन्वय प्रणाली x0y में, बिंदु M और N में क्रमशः निर्देशांक (1, 0) और (0,1) हैं। नई समन्वय प्रणाली में इन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात करें, जो कि 30 ° वामावर्त के कोण पर प्रारंभिक बिंदु के चारों ओर पुरानी कुल्हाड़ियों को मोड़कर प्राप्त की जाती है।

चतुर्थ। समन्वय प्रणाली x0y में, बिंदु M और N में निर्देशांक (2, 0) और (\\) हैं /    3/2, - 1/2), क्रमशः। नई समन्वय प्रणाली में इन बिंदुओं के निर्देशांक ज्ञात कीजिए, जो 30 ° दक्षिणावर्त के कोण से प्रारंभिक बिंदु के चारों ओर पुरानी कुल्हाड़ियों को मोड़कर प्राप्त की जाती है।

विमान पर उनके निर्देशांक के अनुसार बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना पृथ्वी की सतह पर प्राथमिक है - थोड़ा और अधिक जटिल: हम प्रक्षेपण परिवर्तनों के बिना बिंदुओं के बीच की दूरी और प्रारंभिक दिगंश को मापने पर विचार करेंगे। शुरू करने के लिए, हम शब्दावली को समझेंगे।

परिचय

बड़े वृत्त चाप की लंबाई  - गोले की सतह पर स्थित किसी भी दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी, इन दोनों बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखा के साथ मापी जाती है (इस रेखा को ओर्थोड्रोमी कहा जाता है) और गोलाकार या क्रांति की अन्य सतह के साथ गुजरती है। गोलाकार ज्यामिति यूक्लिडियन से अलग है और दूरी के समीकरण भी एक अलग रूप लेते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति में, दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा है। गोले पर, कोई सीधी रेखाएँ नहीं होती हैं। गोले पर ये रेखाएँ वृहत मंडलियों का हिस्सा हैं - मंडलियाँ जिनके केंद्र गोले के केंद्र से मेल खाते हैं। प्रारंभिक असर - द एज़िमुथ, जो बिंदु A से गति की शुरुआत में ले रहा है, बिंदु B से सबसे कम दूरी के लिए बड़े वृत्त का अनुसरण कर रहा है, अंतिम बिंदु बिंदु B होगा। बिंदु A से बिंदु B तक जाने पर बड़े वृत्त की रेखा के साथ, वर्तमान स्थिति से अंत बिंदु B तक का दिगंश निरंतर होता है। बदल रहा है। प्रारंभिक अज़ीमुथ निरंतर से अलग है, जिसके बाद अज़ीमुथ वर्तमान बिंदु से अंतिम तक नहीं बदलता है, लेकिन मार्ग दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटी दूरी नहीं है।

गोले की सतह पर किसी भी दो बिंदुओं के माध्यम से, यदि वे सीधे एक दूसरे के विपरीत नहीं हैं (अर्थात, वे एंटीपोड नहीं हैं), तो एक अद्वितीय बड़े चक्र को खींचा जा सकता है। दो बिंदु एक बड़े वृत्त को दो चापों में विभाजित करते हैं। लघु चाप की लंबाई दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है। दो एंटीपोड बिंदुओं के बीच बड़ी संख्या में बड़े वृत्त खींचे जा सकते हैं, लेकिन उनके बीच की दूरी किसी भी सर्कल पर समान होगी और सर्कल के आधे परिधि के बराबर होगी, या R * R, जहां R गोला के त्रिज्या होगा।

एक विमान पर (एक आयताकार समन्वय प्रणाली में), बड़े वृत्त और उनके टुकड़े, जैसा कि ऊपर बताया गया है, सूक्ति को छोड़कर सभी अनुमानों में आर्क हैं, जहां बड़े वृत्त सीधी रेखाएं हैं। व्यवहार में, इसका मतलब है कि हवाई जहाज और अन्य हवाई परिवहन हमेशा ईंधन बचाने के लिए बिंदुओं के बीच न्यूनतम दूरी के मार्ग का उपयोग करते हैं, अर्थात, उड़ान को एक बड़े वृत्त की दूरी के साथ किया जाता है, विमान पर यह एक चाप जैसा दिखता है।

पृथ्वी के आकार को एक गोले के रूप में वर्णित किया जा सकता है, इसलिए एक बड़े वृत्त पर दूरियों की गणना के लिए समीकरण पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच कम से कम दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण हैं और अक्सर नेविगेशन में उपयोग किया जाता है। इस विधि द्वारा दूरी की गणना अधिक कुशल है और कई मामलों में इसे डिज़ाइन किए गए निर्देशांक (आयताकार समन्वय प्रणालियों में) के लिए गणना करने की तुलना में अधिक सटीक है, क्योंकि, सबसे पहले, आपको भौगोलिक निर्देशांक को एक आयताकार समन्वय प्रणाली (प्रक्षेपण परिवर्तनों को पूरा करना) में अनुवाद करने की आवश्यकता नहीं है, और दूसरे, कई अनुमान, अगर गलत तरीके से चुने गए हैं, तो प्रोजेक्शन विकृतियों की प्रकृति के कारण महत्वपूर्ण लंबाई विकृतियां हो सकती हैं। यह ज्ञात है कि क्षेत्र के बजाय दीर्घवृत्त पृथ्वी के आकार का अधिक सटीक वर्णन करता है, हालांकि, इस लेख में, एक गोले पर दूरी की गणना को माना जाता है, 6372795 मीटर के त्रिज्या के साथ एक गोले का उपयोग गणनाओं के लिए किया जाता है, जो 0.5% के क्रम की दूरी की गणना करने में त्रुटि पैदा कर सकता है।

सूत्र

  एक बड़े वृत्त की गोलाकार दूरी की गणना करने के तीन तरीके हैं। 1. गोलाकार कोसाइन प्रमेय गणना की छोटी दूरी और छोटी गहराई (दशमलव स्थानों की संख्या) के मामले में, सूत्र के उपयोग से गोलाई से संबंधित महत्वपूर्ण त्रुटियां हो सकती हैं। λ1, λ1; φ2, λ2 - रेडियन में दो बिंदुओं का अक्षांश और देशांतर पृथ्वी (6372795 मीटर), अंतिम दूरी की इकाइयां उन इकाइयों के बराबर होंगी जिनमें त्रिज्या व्यक्त की जाती है (इस मामले में, मीटर)। 2. हावरिनस सूत्र  छोटी दूरी की समस्याओं से बचने के लिए उपयोग किया जाता है। 3. एंटीपोड के लिए संशोधन  पिछला सूत्र भी एंटीपोड बिंदुओं की समस्या के अधीन है; इसे हल करने के लिए, निम्न संशोधन का उपयोग किया जाता है।

मेरा PHP कार्यान्वयन

   // पृथ्वी त्रिज्या परिभाषित ("EARTH_RADIUS", 6372795); / * * दो बिंदुओं के बीच की दूरी * $ *A, $ λA - अक्षांश, 1 बिंदु का देशांतर, * $ *B, $ λB - अक्षांश, 2 बिंदु का देशांतर * http://gis-lab.info/ पर आधारित qa / great-circle.html * Mikhail Kobzarev * * / function calculTheDistance ($ A, $ λA, $ φB, $ λB) (// निर्देशांक का अनुवाद रेडियन में करें। latt \u003d $ φA * M_PI / 180; $ lat2 \u003d $ circlesB * M_PI / 180; $ long1 \u003d $ λA * M_PI / 180; $ long2 \u003d $ λB * M_PI / 180; // अक्षांशों और अक्षांशों के अंतर और दृष्टिकोण clit \u003d cos ($ lat1); $ cl2 \u003d cos ($ lat2) ); $ sl1 \u003d पाप ($ lat1); $ sl2 \u003d sin ($ lat2); $ डेल्टा \u003d $ long2 - $ long1; $ cdelta \u003d cos ($ डेल्टा); $ sdelta \u003d sin ($ डेल्टा); // गणना बड़े वृत्त की लंबाई $ y \u003d sqrt (pow ($ cl2 * $ sdelta, 2) + pow ($ cl1 * $ sl2 - $ sl1 * $ cl2 * $ cdelta, 2)); $ \u003d $ sl1 * $ sl2 + $ cl1 * $ cl2 * $ cdelta; // $ ad \u003d atan2 ($ y, $ x); $ dist \u003d $ ad * EARTH_RADIUS; वापसी $ dist;) एक फ़ंक्शन कॉल का उदाहरण: $ lat1 \u003d 77.1539; $ long1 \u003d -139.398; $ lat2 \u003d -77.1804; $ long2 \u003d -139.55; इको कैलकुलेशन TheDistance ($ lat1, $ long1, $ lat2, $ long2)। "एम"; // रिटर्न "17166029 मीटर"

एक आयताकार समन्वय प्रणाली दी जाए।

प्रमेय 1.1।किसी भी दो बिंदुओं के लिए M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) विमान के बीच, उनके बीच की दूरी d सूत्र द्वारा व्यक्त की जाती है

सबूत।हम क्रमशः M 1 और M 2 के लंबवत M 1 B और M 2 A से चूकते हैं

  अक्ष Oy और Ox पर और K द्वारा लाइनों M 1 B और M 2 A (चित्र 1.4) के प्रतिच्छेदन बिंदु को दर्शाते हैं। निम्नलिखित मामले संभव हैं:

1) अंक एम 1, एम 2 और के अलग हैं। जाहिर है, बिंदु K में निर्देशांक (x 2; y 1) है। यह देखना आसान है कि M 1 K \u003d fx 2 - x 1 ô, M 2 K \u003d fu 2 - 1 ô पर। क्योंकि ΔМ 1 КМ 2 आयताकार है, फिर पाइथोगोरियन प्रमेय द्वारा d \u003d М 1 М 2 \u003d = .

2) बिंदु K बिंदु M 2 के साथ मेल खाता है, लेकिन बिंदु M 1 (चित्र 1.5) से भिन्न होता है। इस मामले में, y 2 \u003d y 1

  और d \u003d M 1 M 2 \u003d M 1 K \u003d fx 2 - x 1 ô \u003d =

3) प्वाइंट K, बिंदु M 1 से मेल खाता है, लेकिन बिंदु M 2 से भिन्न होता है। इस स्थिति में, x 2 \u003d x 1 और d \u003d

एम 1 एम 2 \u003d केएम 2 \u003d फू 2 - 1 ओएच \u003d पर = .

4) बिंदु M 2 बिंदु M 1 के साथ मेल खाता है। फिर x 1 \u003d x 2, y 1 \u003d y 2 और

d \u003d M 1 M 2 \u003d O \u003d।

इस संबंध में खंड का विभाजन।

बता दें कि एक मनमाना सेगमेंट M 1 M 2 प्लेन पर दिया गया है और M को इस बात का कोई मतलब बताया जाए

  बिंदु M 2 (छवि 1.6) के अलावा अन्य खंड। समानता l \u003d द्वारा परिभाषित संख्या l   कहा जाता है रवैया,किस बिंदु पर M, खंड M 1 M 2 को विभाजित करता है।

प्रमेय 1.2।यदि बिंदु M (x; y) खंड M 1 M 2 को l के संबंध में विभाजित करता है, तो इस के निर्देशांक सूत्र द्वारा निर्धारित किए जाते हैं

x \u003d , य \u003d , (4)

जहाँ (x 1; y 1) बिंदु M 1, (x 2; y 2) के निर्देशांक, बिंदु M 2 के निर्देशांक।

सबूत।आइए हम सूत्रों के पहले (4) सिद्ध करें। दूसरा सूत्र समान सिद्ध होता है। दो मामले संभव हैं।

x \u003d x 1 \u003d = = .

2) सीधी रेखा एम 1 एम 2 ऑक्सी अक्ष (चित्र 1.6) के लंबवत नहीं है। हम अक्ष ऑक्स पर M 1, M, M 2 के बिंदुओं से लंबों को छोड़ते हैं और क्रमशः अक्ष 1, P 1, P, P 2 के साथ उनके चौराहे के बिंदुओं को निरूपित करते हैं। आनुपातिक खंड प्रमेय द्वारा   \u003d एल।

क्योंकि P 1 P \u003d fx - x 1 ô, PP 2 \u003d fx 2 - xô और संख्याएँ (x - x 1) और (x 2 - x) एक ही संकेत है (x 1 के लिए)< х 2 они положительны, а при х 1 >  x 2 नकारात्मक हैं), फिर

ल \u003d \u003d ,

x - x 1 \u003d l (x 2 - x), x + lx \u003d x 1 + lx 2,

x \u003d .

कोरोलरी 1.2.1।यदि M 1 (x 1; y 1) और M 2 (x 2; y 2) (दो मनमाना बिंदु हैं और बिंदु M (x; y) segment खंड M 1 M 2 के मध्य है, तो

x \u003d   , य \u003d (5)

सबूत।  चूंकि M 1 M \u003d M 2 M, तब l \u003d 1 और सूत्र (4) से हम सूत्र (5) प्राप्त करते हैं।

त्रिभुज का क्षेत्रफल।

प्रमेय 1.3।किसी भी बिंदु के लिए A (x 1; y 1), B (x 2; y 2) और C (x 3; y 3) एक-एक करके पड़े हैं;

लाइन, त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल S सूत्र द्वारा व्यक्त किया गया है

S \u003d ô (x 2 - x 1) (y 3 - y 1) - (x 3 - x 1) (y 2 - y 1) ô (6)

सबूत।क्षेत्र ∆ ABC अंजीर में दिखाया गया है। 1.7, गणना निम्नानुसार है

  S ABC \u003d S ADEC + S BCEF - S ABFD।

हम ट्रेपोज़ॉइड के क्षेत्र की गणना करते हैं:

एस ADEC \u003d
,

एस BCEF \u003d

एस एबीएफडी \u003d

अब हमारे पास है

S ABC \u003d ((x 3 - x 1) (y 3 + y 1) + (x 3 - x 2) (y 3 + y 2) - (x 2 - y 1) (y 1 + y 2) \u003d (x 3 y 3 - x 1 y 3 + x 3 y 1 - x 1 y 1 + x 2 y 3 - x 3 y 3 + x 2 y 2 - x 3 y 2 - x 2 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 2 + x 1 y 2) \u003d (x 3 y 1 - x 3 y 2 + x 1 y 2 - x 2 y 1 + x 2 y 3 -

X 1 y 3) \u003d (x 3 (y 1 - y 2) + x 1 y 2 - x 1 y 1 + x 1 y 1 - x 2 y 1 + y 3 (x 2 - x 1) \u003d \u003d (x 1 (y 2 - y 1) - x 3 (y 2 - y 1) + + 1 (x 1 - x 2) - y 3 (x 1 - x 2)) \u003d ((x 1 - x 3) (2 y 2 - y 1) + (x 1 - x 3) (y 1 - y 3)) \u003d ((x 2 - x 1) (3 - y 1) -

- (x 3 - x 1) (y 2 - y 1))।

एक अलग स्थान, एबीसी के लिए, सूत्र (6) समान रूप से सिद्ध होता है, लेकिन यह "-" चिन्ह के साथ बदल सकता है। इसलिए, सूत्र (6) में मॉड्यूल का चिह्न डालें।


व्याख्यान २।

समतल पर एक सीधी रेखा का समीकरण: एक मुख्य गुणांक वाली रेखा का समीकरण, रेखा का सामान्य समीकरण, खंडों में एक रेखा का समीकरण, दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा का समीकरण। रेखाओं के बीच का कोण, समांतरता की स्थिति और समतल पर लाइनों की लंबवतता।

2.1.   एक आयताकार समन्वय प्रणाली और कुछ लाइन एल।

परिभाषा 2.1।वेरिएबल x और y को जोड़ने वाले फॉर्म F (x; y) \u003d 0 के समीकरण को कहा जाता है लाइन एल का समीकरण(किसी दिए गए समन्वय प्रणाली में) यदि रेखा L पर पड़े किसी बिंदु के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं और किसी बिंदु के निर्देशांक इस रेखा पर संतुष्ट नहीं होते हैं।

एक विमान पर लाइनों के समीकरण के उदाहरण।

1) एक आयताकार समन्वय प्रणाली (चित्र 2.1) के ओए अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा पर विचार करें। अक्ष A के साथ इस रेखा के चौराहे के बिंदु को निरूपित करें, (a; o) or इसका या-

  तालमेल। समीकरण x \u003d एक दी गई रेखा का समीकरण है। वास्तव में, इस रेखा के किसी भी बिंदु M (a; y) के निर्देशांक इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं और किसी भी बिंदु के निर्देशांक को संतुष्ट नहीं करते हैं जो रेखा पर झूठ नहीं बोलता है। यदि a \u003d 0 है, तो रेखा उस अक्ष Oy से मेल खाती है, जिसका समीकरण x \u003d 0 है।

2) समीकरण x - y \u003d 0 समतल बिंदुओं के समूह को परिभाषित करता है जो I और III के कोणों का समन्वय करता है।

3) समीकरण x 2 - y 2 \u003d 0 the यह समन्वय कोणों के दो द्विभाजक का समीकरण है।

4) समीकरण x 2 + y 2 \u003d 0 समतल पर एक अद्वितीय बिंदु O (0; 0) को परिभाषित करता है।

5) समीकरण x 2 + y 2 \u003d 25 origin मूल पर केंद्रित 5 त्रिज्या के वृत्त का समीकरण है।
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